相似对角化 特征值
线性代数 4-3实对称矩阵的相似对角化
(ii ) 对每一个重特征值λi，求出对应的ri 个线性无关的特 征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ),由性质知∑ ri = n. (i
i =1 m
(iii ) 用施密特正交化方法将每一个重特征值λi 所对应的 ri 个线性无关的特征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ) (i 先正交化再单位化为ηi1 ,ηi 2 , L ,ηiri ； = 1,2, L , m )， (i 它们仍为属于λi的特征向量。
Q A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
T T T
(λ 2 p2 ) = λ 2 p1T p2 , 于是 λ1 p p2 = p Ap2 = p
T 1 T 1 T 1
(λ1 λ 2 ) p1T p2 = 0.
Q λ1 ≠ λ2 , ∴ p p2 = 0. 即p1与p2正交.
x1 + x2 + x3 = 0 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0 1 1 1 → 1 1 1 → 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1
x2 = x1 α 3 = 1， 1， T （ 0） x3 = 0
对于一般矩阵， 对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向 量线性无关，但不一定是正交的； 量线性无关，但不一定是正交的；实对称矩阵相异特 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。
T
P = (ξ1 ξ 2
1 2 2 ξ3 ) = 2 1 0 2 0 1
线性代数-矩阵相似对角化
代数重数为 当λ 2 = λ 3 = 2时：(代数重数为 2 ) 解齐次方程组 (λ 2E − A)x = 0
4 − 1 − 1 (2E − A) = 0 0 0 4 − 1 − 1
r
1 − 1 − 1 4 4 0 0 0 0 0 0
的特征值， 的特征向量， 设 λ 为方阵 A 的特征值， α为 A 的属于 λ 的特征向量， E 是单位矩阵
(1) k + λ 是 kE ＋ A 的特征值 ( kE＋ A )α = kα＋ A α = kα ＋ λα = ( k + λ )α ＋ ( 2 )k λ 是 kA 的特征值 (kA )α = kA α = kλα = ( k λ )α ( 3 )λ m 是 A m 的特征值 A m α = A m − 1 A α = A m − 1 λα = λ A m − 1α = λ m α
11
☺特征值的性质 特征值的性质
定理1
设A为n阶方阵，λ1，λ 2， λ n为A的n个特征值，则有： 阶方阵， L 个特征值，则有： (1) λ1 + λ 2 + L + λ n = a11 + a 22 + L + a nn tr ( A) 迹 ( 2) λ1λ 2 Lλ n =| A |
f ( λ ) =| λ E − A | = a n λ n + a n − 1 λ n − 1 + L + a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0
1 0 − 1 0 1 0 0 0 0
当λ1 = －1时： 解齐次方程组 (λ 1E − A)x = 0
(－E − A)
r
第七章-方阵的特征值与相似对角化
一、n 维向量的定义及运算一、n 维向量的定义及运算二、向量空间二、向量空间第一节方阵的特征值及其特征向量第二节相似矩阵第三节实对称阵的相似对角化一、方阵的特征值及其特征向量的概念一、方阵的特征值及其特征向量的概念二、方阵的特征值及其特征向量的计算二、方阵的特征值及其特征向量的计算三、方阵的特征值及其特征向量的性质三、方阵的特征值及其特征向量的性质对11=λ，解方程组0)1(=−x A E ，由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=−000110101211121112r A E ， 所以A 的对应于特征值11=λ的全部特征向量为),0(111R k k k ka x ∈≠⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==得基础解系： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111a .对22−=λ，解方程组0)2(=−−x A E ，由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−=−−0000001111111111112r A E 得基础解系： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=101,01121a a ，所以A 的对应于特征值22−=λ的全部特征向量为：,,(10101111212111R k k k k a k a k x ∈⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=+=且不同时为零）对21=λ，解方程组0)2(=−x A E ，由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=−0001101012111211122r A E得基础解系： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111a .所以A 的对应于特征值21=λ的全部特征向量为 ),0(111R k k k ka x ∈≠⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==对132−==λλ，解方程组0)(=−−x A E ， 由 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−=−−000000111111111111r A E得基础解系： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=101,01121a a ，所以A 的对应于特征值132−==λλ的全部特征向量为：R k k k k a k a k x ∈⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=+=21212211,(101011且不同时为零）推论1、方阵A 可逆Ù|A|≠0ÙA 的特征值全不为零。
特征值和特征向量 矩阵的相似对角化
T
T
i 1
n
i 1
是A的主对角元之和，称为方阵A的迹，记作tr(A); (2) i 12 n A .
i 1
13
理学院数学科学系
证: 因为 1 , 2 ,, n是A的n个特征向量，则有 E A 0 的根为 1 , 2 ,, n，所以
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 另外 an1 an 2 ann ( a11 )( a22 )( ann ) 令 0 ，即得 12 n A . 比较两端的 n1的系数，可得 1 2 n a11 a22 ann .
3 1 E A 1 3 2 2 6 8 (3 ) 1 ( 2)( 4)
7
理学院数学科学系
当 1 2 时，解齐次方程组 ( 2 E A) X 0，即
1 得基础解系 11 1 , 即A的属于1 2的线性无关的特征向 量，因此A的属于1 2 的全部特征向量为 k11 ( k 0).
A 3 A 2 E A A1 3 A 2E 2 A1 3 A 2 E ( A) 则有 ( ) 21 3 2, 故 ( A)的特征值为 (1) 2 11 3 1 2 1 (1) 2 (1)1 3 (1) 2 3 (2) 2 21 3 2 2 3 因此 A 3 A 2 E (1) (1) (2) 9.
一、特征值和特征向量的概念 Def4.1 设A为n阶方阵，若有数 和n元非零列向量 ，使 得 A 成立， 则称数 是方阵A的特征值， 称向量 为方阵A的属于(或对应于)特征值 的特征向量. 特征向量是非零的向量. 特征值与特征向量是互相对应的，数 是特征值就一定有 非零向量与它对应；反之，非零向量 是特征向量就一定 有一个数与它对应. 一个特征向量对应唯一一个特征值. 一个特征值对应的特征向量有无穷多个, 因此我们关心线 性无关的特征向量.
矩阵的特征值与矩阵的相似对角化
当 λ1 = −1 时， 齐次线性方程组为
(A+ E)x = 0
5 − 5 1 −1 系数矩阵 ( A + E ) = → 2 −2 0 0
x1 = x2
1 得基础解系: 令 x2 = 1 得基础解系 p1 = 1
当
λ2 = 2 时， 齐次线性方程组为 ( A − 2 E ) x = 0
例6：已知 阶矩阵 A 的特征值为 ，2，3， ：已知3阶矩阵 的特征值为1， ， ， 能否与对角阵相似？ 设 B = A2 − 3 A + E , 问矩阵 B 能否与对角阵相似？ 解： 方法 方法1 令 f ( x) = x3 − 3 x + 1
B = f ( A) = A 3 − 3 A + E ,
2n =0 0 0 n n 5 + 1 5 − 1 2 2 n n 5 − 1 5 + 1 2 2 0
B n = PAn P −1
例9
x1 + 2x2 + 3x3 = 1, 取何值时， 设x1 + 3x2 + 6x3 = 2, 问λ取何值时， 2x + 3x + 3x = λ, 2 3 1
∴ B 的特征值为 f (1) = −1
f (2) = 3 f (3) = 19
3阶矩阵 B 有3个不同的特征值，所以 B可以对角化。 阶矩阵 个不同的特征值， 可以对角化。 个不同的特征值
方法2： 个不同的特征值， 方法 ：因为矩阵 A 有3个不同的特征值，所以可以对角化， 个不同的特征值 所以可以对角化， 1 即存在可逆矩阵 P , 使得 P − 1 AP = Λ = 2 3 3 −1 −1 ∴ P BP = P ( A − 3 A + E ) P
相似及相似对角化
diag(1, 2 , n
, n )，
对角化条件： n 阶方阵 A 与对角阵相似 无关的特征向量.
A 有 n 个线性
1、相似对角化条件
说明 (1)若 A～Λ diag (1, 2 , , n ), 则A与Λ的特征值 相同， Λ 的主对角线元素1, 2 , , n为A的全部特征值.
(3) 将 pi1, pi 2 , , piri，正交化，单位化，得 qi1, qi 2 , , qiri , 仍为 i 之特征向量；
(4) 写出正交矩阵（即为正交相似变换矩阵） Q q11, , q1r1 , q21, , q2 r2 , , qm1, , qmrm ,
及对角阵
3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵
1
, n )
3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵
推论 设1, 2 ,..., m是n 阶实对称矩阵A的m 个不同
的特征值，重数依次为 r1, r2 , , rm , 且 r1 r2 rm n 则 ri 重特征值 i 必有 ri 个线性无关的特征向量.
3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵 n 阶实对称阵 A 正交相似于对角阵的问题与 求解步骤
值，重数依次为 r1 , r2 , , rm , 且 r1 r2 rm n. 则 A 与对角阵相似 A 的ri 重特征值i恰有ri个线性 无关的特征向量(i 1, 2, , m) p1r1 r1 个 线性无关 1 r1 重 p11 p12 p2r2 r2 个 线性无关 2 r2 重 p21 p22 即
a1P 1 AP a0 P 1EP
4、矩阵多项式
推论 设, p是A的特征值和特征向量，则
特征值和特征向量矩阵的相似对角化
特征值和特征向量矩阵的相似对角化在线性代数中，矩阵是一个非常重要的数学对象。
特征值和特征向量则是矩阵中一组与矩阵相互关系紧密的特征。
矩阵的相似对角化是矩阵与特征值、特征向量之间的重要关系。
首先，我们来了解特征值和特征向量的概念。
设A是一个n阶矩阵，若存在一个非零向量X，使得满足AX=λX，其中λ是一个数，则称λ为矩阵A的特征值，X为特征值λ所对应的特征向量。
特征向量表示在进行矩阵变换时，只发生一个标量倍数的变化，特征值则表示这个标量倍数的大小。
接下来，我们来探讨一下矩阵的相似对角化。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得P−1AP是一个对角矩阵D，那么就称矩阵A相似于对角矩阵D，即A的相似对角化。
在相似对角化的过程中，矩阵A与D具有相同的特征值，而对角矩阵D的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
要进行矩阵的相似对角化，首先需要求得矩阵A的特征值和特征向量。
假设λ1,λ2,...,λn是矩阵A的n个特征值，对应的特征向量分别为X1,X2,...,Xn。
将这些特征向量按列排列，并组成一个矩阵P=[X1,X2,...,Xn]，则P是一个可逆矩阵。
根据特征向量的定义，我们可以得到AX=PX，进一步可以得到AX=PX=PX[λ1,λ2,...,λn]，即可以得到AP=P[λ1,λ2,...,λn]。
将矩阵A与对角矩阵D相乘，可以得到AP=PD。
根据上述推导，我们可以得到P−1AP=D，即A相似于对角矩阵D。
这个过程就是矩阵的相似对角化。
矩阵的相似对角化有很多应用。
一个重要的应用是简化矩阵的计算。
对于相似的矩阵，它们具有相同的特征值，因此在计算矩阵的n次幂、矩阵的指数函数等复杂运算时，可以先对矩阵进行相似对角化，再进行计算。
相似对角矩阵的计算更加简单，计算结果也更容易分析和理解。
另外，相似对角化还可以帮助我们研究线性系统的稳定性。
对于一个线性系统，其稳定性可以通过矩阵的特征值来判断。
若所有特征值的实部都小于零，则线性系统是稳定的，否则不稳定。
矩阵相似对角化条件
矩阵相似对角化条件矩阵的相似对角化是矩阵分析中一个重要的概念。
对于一个方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，那么我们就说矩阵A是可对角化的。
矩阵相似对角化的条件可以从多个角度来考虑，以下是主要的几个：1. 特征值条件：矩阵A是可对角化的当且仅当A的特征值都是实数，并且对于每个特征值$\lambda$，都有恰好对应于$\lambda$的线性无关的特征向量$v_1, \ldots, v_n$。
2. 几何重数等于代数重数：对于一个给定的矩阵A，其特征值的几何重数（即特征向量的个数）必须等于其代数重数（即特征值的重数）。
如果这两个数量不相等，那么矩阵A无法被对角化。
3. 满秩条件：如果矩阵A的秩等于其最小多项式的次数，那么A是可对角化的。
这是因为最小多项式的次数等于矩阵的特征值的个数，而矩阵的秩等于其最大线性无关组的个数，所以如果秩等于特征值的个数，那么就存在一组特征向量，它们可以线性无关并且覆盖所有特征值，这样就可以找到一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
4. Jordan标准型：任何一个方阵都可以通过初等行变换变为Jordan标准型。
如果这个Jordan标准型只包含不同特征值的块，那么这个矩阵就是可对角化的。
5. 多项式矩阵：对于一个多项式矩阵$f(x)$，如果存在一个可逆矩阵P，使得$f(x)=P^{-1}XP$，那么我们就说f(x)是可对角化的。
在这种情况下，我们可以找到一个多项式矩阵S，使得$f(x)=S^{-1}x^nS$，其中x^n是n阶单位矩阵。
这些条件从不同的角度提供了对于矩阵是否可以相似对角化的判断方法。
在实际应用中，我们通常会使用其中的一个或多个条件来判断一个给定的矩阵是否可以相似对角化。
高中数学《特征值与相似对角化》课件
18
k1(1-m)X1+…+km-1(m-1-m)Xm-1= 0
由归纳假设 X1,X2,…,Xm-1线性无关.
所以 ki (i -m)=0， i=1,2,…,m-1
由已知i m, i=1,2,…,m-1, 得
ki =0, i=1,2,…,m-1, 代入(1)式, 有
kmXm= 0,又Xm0, 所以 km= 0. 故 X1, X2,…,Xm线性无关.
E B E T 1AT T 1(E A)T
T 1 E A T E A .
27
1
推论
若n阶方阵A与对角阵
2
n
相似, 则 1, 2 , , n 是A 的n个特征值.
1
E A E
2
n
1 2 n
结论成立.
28
3 相似矩阵有5个同
如果A, B是两个n阶方阵, A~B.则有
31
8.2.2 相似对角化的条件及方法
1 定义 若A与对角阵相似,称A可以相似
对角化.
2 相似对角化的条件
定理8.3 n阶方阵A与对角阵相似
A有n个线性无关的特征向量.
T-1AT=为对角阵
T的n个列向量是
A的n个线性无关的特征向量,且的主对
角线上元素是与其对应的特征值.
32
(注意:证明过程给出相似对角化的方法)
(2) X1, X2是属于 0的特征向量,则
A( X1 X2 ) AX1 AX 2 0 X1 0 X2 0(X1 X2) 7
特征子空间:
对A的特征值 ,称0 方程组 (0E A)X 0
的解空间N (0E为 A)的关于特征值 0
的特征子空间.
矩阵相似对角化
例如，对于矩阵$A = begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}$，其特征值为 $lambda_1 = 1, lambda_2 = 2, lambda_3 = 3$，对 应的特征向量分别为$x_1 = begin{bmatrix} -2 -4 -6 end{bmatrix}, x_2 = begin{bmatrix} -1 -2 -3 end{bmatrix}, x_3 = begin{bmatrix} 1 2 3 end{bmatrix}$。选取可逆矩阵$P = begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 -4 & -2 & 2 -6 & -3 & 3 end{bmatrix}$， 则有$P^{-1}AP = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end{bmatrix}$。
性质
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 特征多项式和特征值。
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 特征子空间和特征向 量。
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 行列式值。
相似矩阵的判定
如果一个矩阵具有n个线性无关 的特征向量，则该矩阵可相似 对角化。
如果一个矩阵的所有特征值都 是单重的，则该矩阵可相似对
矩阵分解
矩阵相似对角化是矩阵分解的一 种形式，可以将一个复杂的矩阵 分解为易于处理的几个部分，如 三角矩阵、对角矩阵等。
线性变换
矩阵相似对角化可以用于研究线 性变换的性质。通过对矩阵进行 相似对角化，可以了解线性变换 在各个方向上的拉伸、压缩、旋 转等效应。
矩阵的相似和对角化的性质和应用
矩阵的相似和对角化的性质和应用矩阵的相似和对角化是线性代数中比较基础的概念，也是常常用到的重要工具。
在本文中，我将介绍矩阵相似的定义及其一些性质，探讨矩阵对角化的方法和应用。
一、矩阵相似1.1 定义设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在一个可逆矩阵 $P$，使得$B=P^{-1}AP$，则称 $B$ 与 $A$ 相似，$P$ 叫做相似变换矩阵。
1.2 性质（1）相似关系是一种等价关系。
对于任意的 $n$ 阶矩阵 $A$，有 $A\sim A$。
若 $A\sim B$，则$B\sim A$。
若 $A\sim B$，$B\sim C$，则 $A\sim C$。
（2）相似关系保持一些矩阵的特性。
若 $A$ 是一个对称矩阵，则 $B=P^{-1}AP$ 也是对称矩阵。
若$A$ 是一个正定矩阵，则 $B=P^{-1}AP$ 也是一个正定矩阵。
（3）相似矩阵有相同的特征值和相同的秩。
若 $A\sim B$，则 $A$ 和 $B$ 有相同的特征值。
即它们的特征多项式相同。
并且相似矩阵有相同的秩。
二、对角化2.1 定义设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵。
若存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=D$，其中 $D$ 是一个对角矩阵，则称 $A$ 可对角化，$D$ 叫做 $A$ 的一个对角化矩阵，$P$ 叫做对角化矩阵。
2.2 对角化的必要条件若$A$ 可对角化，则$A$ 必须有$n$ 个线性无关的特征向量。
即存在一组线性无关的向量$\{\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n}\}$，使得$A\vec{v_i}=\lambda_i\vec{v_i}$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。
2.3 对角化的方法（1）在求解 $A$ 的特征值 $\lambda$ 和特征向量 $\vec{v}$ 后，将特征向量按列组成矩阵 $P$，得到 $D=P^{-1}AP$。
矩阵相似对角化的条件
矩阵相似对角化的条件一、前言矩阵相似对角化是研究矩阵理论中的一个重要问题。
在数学、物理和工程学科中，矩阵相似对角化有着广泛的应用。
本文将从定义、性质与条件三个方面探讨矩阵相似对角化的相关条件。
二、定义矩阵相似对角化是将一个矩阵通过相似变换转化为对角矩阵的过程。
相似变换是指存在一个可逆矩阵P，使得相似变换前的矩阵A与相似变换后的矩阵B之间存在如下关系：B=P^-1AP其中，A与B是相似矩阵，P是相似变换矩阵。
三、性质1. 相似矩阵具有相同的特征值设A与B是相似矩阵，其相似变换矩阵为P，则有：|B-λE|=|P^-1AP-λE|=|P^-1AP-P^-1λEP|=|P^-1||A-λE||P|=0因此，相似矩阵A与B具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值。
2. 相似矩阵的特征向量基相同设A与B是相似矩阵，其相似变换矩阵为P，则有：AP=PB设x是A的特征向量，则有Ax=λx。
将其代入上式得：P^-1APx=P^-1PBx即B(Px)=λ(Px)，从而Px是B的特征向量。
因此，相似矩阵A与B的特征向量基是相同的。
3. 两个矩阵同时相似于一个对角矩阵设A、B和C是三个相似矩阵，其相似变换矩阵分别为P、Q和R，则有：B=Q^-1AQ, C=R^-1AR因此，有：C=(R^-1Q)Q^-1AQ(R^-1Q)^-1也就是说，A、B和C同时相似于对角矩阵。
四、条件矩阵相似对角化的条件具有如下几个方面：1. 矩阵可对角化如果一个矩阵能够对角化，那么就存在一个矩阵P，使得A=PDP^-1，其中D是对角矩阵。
这意味着，A具有n个线性无关的特征向量。
2. 矩阵相似于对角矩阵如果A相似于对角矩阵D，那么相似变换矩阵P的列向量应该是A的特征向量。
3. 不同特征值的特征向量线性无关如果A的不同特征值的特征向量线性无关，那么就存在P，使得A=PDP^-1，其中D是对角矩阵。
这是因为，在这种情况下，就有n个线性无关的特征向量可以组成相似变换矩阵P的列向量。
相似于对角矩阵的条件
相似于对角矩阵的条件对角矩阵是一种非常特殊的矩阵形式，它的特点是只有主对角线上的元素非零，而其他位置的元素均为零。
因此，对角矩阵在矩阵运算中有着非常特殊的性质，比如方便进行矩阵乘法和求逆等操作。
而相似于对角矩阵的矩阵条件则是指，一个矩阵在相似变换下可以化为对角矩阵的条件。
通俗来说，就是当一个矩阵可以通过一个相似变换变成对角矩阵时，我们就称这个矩阵是相似于对角矩阵的。
那么，什么样的矩阵可以相似于对角矩阵呢？下面我们将从不同角度来探讨这个问题。
一、对角化定理对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆阵P，使得 $P^{-1}$AP是对角矩阵，即$P^{-1}$AP=D，则称矩阵A可相似对角化，其中矩阵D为A的相似标准形。
根据这个定义，我们可以得出一个结论：一个矩阵A可以相似于对角矩阵的充要条件是存在一个可逆阵P，使得$P^{-1}$AP是对角矩阵。
这个定理也是相似对角化的基本定理，对于很多线性代数问题，我们可以通过相似对角化的方法来求解。
二、特征值与特征向量对于一个n阶方阵A，设λ是它的一个特征值，v是对应的一个特征向量，那么我们有：Av=λv。
$\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}$也就是说，A相似于对角矩阵D的充要条件是A有n个线性无关的特征向量，且这些特征向量可以组成一个可逆矩阵P。
在实际问题中，我们可以通过求解特征值和特征向量的方法来判断一个矩阵是否可以相似于对角矩阵。
三、可对角化的充要条件总结一下，矩阵相似于对角矩阵的条件有很多种表述方式。
矩阵的相似及对角化
最大个数与该特征值的重数相等；
⑤ 对 的任意特征值 ，其重数 满足
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例 矩阵
能对角化吗？若能，求出可逆
矩阵 使得
为对角阵.
解 矩阵 A 的特征多项式为
即三阶矩阵 有 3个不同的特征值 故 可对角化.
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对
令
得
对
初等行变换
的基础解系为
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令 从而有 所以
，则
且
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矩阵可对角化理论的应用 应用之二：由特征值及特征向量反求矩阵
例题 设 于特征值
为 的分别属 的特征向量，求
解答 设
则
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于是 从而有
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课堂练习
1 若矩阵
有相同的特征值，也都有 个
线性无关的特征向量，则（ ）
分别取
即得
的基
础解系为
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对特征根
，因
初等行变换
取
得
令
的基础解系 则
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矩阵可对角化理论的应用
应用之一：利用对角化理论求可对角化方阵的幂
例题 矩阵
，求
解答 因 两个不同特征值易求源自即二阶矩阵 有 故 可对角化.
的基础解系为
的基础解系为
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矩阵可对角化的充要条件
定理 阶矩阵 可对角化的充要条件为 有 个线性 无关的特征向量.
证明 必要性 若矩阵 可对角化，则存在 及可逆阵 使得 从而有
14实对称矩阵的相似对角化
再单位化，得：
1 2 2 T 将 ξ1 = (1， − 2 ) 单位化，得： η1 = ， ， ） . 2， （ − 3 3 3 T T 将ξ 2 = ( −2,1,0) , ξ 3 = ( 2,0,1) 正交化，得： （ξ 3，β 2） 1 T β 2 = ξ 2 = ( −2,1,0) ，β 3 = ξ 3 − β 2 = ( 2,4,5)T （β 2，β 2） 5
性质3： 性质 ：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。
由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
二、实对称矩阵的相似对角化： 实对称矩阵的相似对角化： 定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似 一定与对角矩阵相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵相似。 定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似 一定与对角矩阵正交相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵正交相似。
∵ A = 0,∴ k = l . ∵ A − E = 0,∴ k = l = 0. 1 1 1 0 1 0 2 ∴ A = 0 1 0 . 2 Q= 0 1 0 1 0 1 − 1 0 1 2 2
A, P或Q及Λ三者的互求
且与对角阵相似。 1 1 2 − 2 Λ= 2 P = (α1 , α 2 , α 3 ) = 2 − 2 − 1 2 1 3 2 0 − 2 7 2 2 1 1 −1 A = PΛ P = 0 5 − 2 P −1 = 1 2 − 2 1 3 9 −2 −2 6 − 2 − 1 2
性质2： 性质 ：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向 对一般矩阵，只能保证相异特征 量必定正交。
值所对应的特征向量线性无关。
实对称矩阵的相似对角化
1
1
,
2
13 2 4
所以
A
U
1
U
1
1
1
9
2 4
10
2
.
2 13
基本概念 实对称矩阵 基本理论 ① 实对称矩阵有n个实特征值 ② k重特征值有k个线性无关的特征向量 ③ 不同特征值下特征向量正交
基本方法 ① 求正交阵使实对称阵相似对角化
② 由一组特征值下的特征向量， 求另外一个特征值下的特征向量， 进而求得未知矩阵
1/ 2
1/ 6
1/ 3
1
1
/ 0
2
，
2
1/ 2 /
6 6
，
3
1/ 1 /
3 3
第四步 令Q (1 2 3 ), 写出结果, 即
1/ 2 Q 1/ 2 0
1/ 6 1/ 6 2 / 6
1/ 1/ 1/
3
3 3
0
则 Q 1
AQ
0
0
0 0 0
0
0
3
归纳步骤
(1) 求全部特征值及所属的无关特征向量； (2) 将同一特征值下的无关特征向量正交化； (3) 将正交化后的特征向量单位化； (4) 构造Q，则 Q1 AQ ，注意特征向量与
Q-1 AQ= .
二、对于实对称矩阵A ，求正交矩阵Q，使得A相似对 角化 （ 即 Q1 AQ ） 的方法
1 1 1
例1
设
A
1
1
1 求正交阵Q，使 Q1 AQ 为对角阵.
1 1 1
解 第一步 求A的特征值与所属的无关特征向量
1 1 1
E A 1 1 1 2( 3) 0, Q 1 0(二重), 2 3 1 1 1
线性代数矩阵的相似对角化与特征值分解
线性代数矩阵的相似对角化与特征值分解线性代数是现代数学的一个重要分支，研究向量空间、线性变换和矩阵等代数结构及其相互关系。
在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，而矩阵的相似对角化与特征值分解是矩阵理论中的两个重要概念。
一、矩阵的相似对角化在线性代数中，给定一个方阵A，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P的逆矩阵存在且AP=PD，其中D为对角矩阵，那么称矩阵A与对角矩阵D相似，并称P为可逆矩阵P的逆变形式。
相似对角化的概念其实是在矩阵的变相似的基础上提出的，即可以通过改变坐标系，将一个矩阵转化为对角矩阵。
这种转化有助于简化矩阵的运算和分析，使得问题变得更加清晰和易于解决。
在相似对角化的过程中，对角矩阵D的对角元素就是矩阵A的特征值。
通过矩阵的特征值和特征向量可以得到矩阵的相似对角化形式。
相似对角化的好处之一是可以在一定程度上简化矩阵的计算，比如求矩阵的幂等运算、矩阵的矢量和等。
二、特征值分解特征值分解是矩阵理论中的另一个重要概念。
给定一个方阵A，如果存在一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得P的逆矩阵存在且A=PDP^-1，那么称矩阵A存在特征值分解。
特征值分解的概念可以看作是相似对角化的一种特殊情况，即P也是矩阵A的特征向量构成的矩阵。
因此，特征值分解可以理解为一种将矩阵A分解为特征值和特征向量的表达方式。
特征值分解不仅可以用来描述矩阵的性质和特点，而且在很多实际问题中有广泛的应用。
比如在机器学习中，特征值分解可以用来降维和特征提取。
在信号处理中，特征值分解可以用于频谱分析和滤波器设计。
三、线性代数矩阵的应用线性代数矩阵的相似对角化和特征值分解在实际应用中有着广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用领域：1. 图像处理和计算机视觉：在图像处理和计算机视觉中，矩阵的相似对角化和特征值分解可以用于图像压缩、图像去噪、图像恢复等方面。
通过对图像矩阵进行相似对角化和特征值分解，可以提取图像的主要特征，从而实现对图像的处理和分析。
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相似对角化特征值
相似对角化是线性代数中的一个重要概念，它涉及到矩阵的相似性和对角化两个方面。
首先，考虑一个n阶方阵A。
如果存在一个非奇异矩阵P，使得P^{-1}AP为对角矩阵D，那么我们称矩阵A与矩阵D相似，并且称P 为相似变换矩阵。
换句话说，相似对角化就是将一个矩阵通过相似变换转化为对角矩阵的过程。
在相似对角化中，特征值起着重要的作用。
特征值是方阵A的特征多项式的根，它描述了矩阵A在线性变换下的不变性质。
在对角化过程中，对角矩阵D的对角元素即为原矩阵A的特征值。
特征值的求解通常需要解特征方程det(A-λI)=0，其中λ为待求特征值，I为单位矩阵。
解得的特征值可以用来判断矩阵是否可以对角化，以及对角化后的对角矩阵中的元素。
需要注意的是，并非所有矩阵都可以相似对角化。
一个矩阵可以相似对角化的充要条件是它有n个线性无关的特征向量，其中n为矩阵的阶数。
如果一个矩阵存在重复的特征值，则对应的特征向量数量可能小于矩阵的阶数，此时矩阵无法相似对角化。
相似对角化的重要性在于它可以简化矩阵的计算和分析过程。
通过对角化，我们可以将原矩阵的乘法运算转化为对角矩阵的乘法运算，从而更方便地进行计算。
同时，对角矩阵的特殊结构也能提供关于矩阵性质的重要信息。
总之，相似对角化是一种重要的矩阵变换方法，可以将矩阵转化
为对角矩阵，使得矩阵的计算和分析更加简洁和方便。
特征值在相似对角化中起到关键作用，它描述了矩阵在线性变换下的不变性质。