数学数形结合解题技巧

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数形结合巧解题

数形结合巧解题从开始接触数学以来，与我们经常打交道的无非就是“数”与“形”，那么大家有没有试过把它们结合起来呢，也就是数形结合。

如果没有，请从现在开始试一试吧，你会发现它巧妙的解题思路。

下面我们就来慢慢的体会它的巧妙之处。

一、计算（1）22121+ 如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为21的长方形，接着把面积为21的长方形等分成两个面积为41的正方形。

利用图形揭示的规律是：求22121+的和，刚好等于求黄色和蓝色部分面积的和，所以将全部的面积减去红色的面积，剩下就是我们要求的，而红色部分的面积又等于蓝色部分的面积，即221，那么，原式=1－221=43 类似地，同理可得:（2）22321121++=1－231=87(3) 22243211121+++=1－241=1615 …….. 依次下去，求22243211121++++…….+21n 就不难了,等于1－21n ，而且，我们可以发现，当n 无限增大时，这一式子的值最接近于这一正方形的面积1。

二、几何图形与乘法公式按图所示的两种方式分割正方形,用两种方法求正方形的面积。

b a（1）y x(2)图（1）：①S=)(2b a + ②S=ab ab b a +++22 可得：)(2b a +=ba ab 222++ 图（2）：①S=4xy+)(2y x - ②S=)(2y x + 可得：)(2y x +=4xy+)(2y x -上述运用了数形结合把复杂的问题简单化，抽象问题具体化了，它将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。

所以，同学们在学习的过程中可以尝试一下数形结合，你会有意想不到的收获。

高中数学几何解题技巧之数形结合策略

高中数学几何解题技巧之"数""形"结合策略摘要："数""形"结合策略是高中数学几何解题的重要技巧，通过将几何形状与数学关系相结合，利用数学方法解决几何问题。

关键词：高中数学；几何解题技巧；数""形"结合策略前言在高中数学几何解题中，"数""形"结合策略是一种重要的技巧。

通过将几何形状与数学关系相结合，可以更好地理解和解决几何问题。

一、介绍"数""形"结合策略的概念和重要性"数""形"结合策略是在解决高中数学几何问题时常用的一种方法。

它结合了数学的抽象思维和几何的形象思维，通过数学的计算和几何的图形分析相互支持，从而更全面地理解和解决问题。

这种策略的重要性在于它能够帮助我们从不同的角度来理解几何问题。

几何问题通常涉及到图形的形状、大小、位置等方面的特征，而数学则提供了精确的计算和推理工具。

通过将数学和几何结合起来，我们可以更好地理解几何问题的本质，并找到解决问题的有效方法。

"数""形"结合策略的基本思路是将几何问题转化为数学问题，然后利用数学的方法进行计算和推理，最后再将结果转化回几何语言。

这种策略使我们能够通过数学的计算和推理来揭示几何问题的隐藏规律和性质，从而更深入地理解几何概念。

例如，在解决三角形的问题时，我们可以利用角度和边长的关系，通过数学计算来推导出三角形的性质和关系。

同时，我们也可以通过几何图形的分解和组合，利用图形的对称性和变换来简化问题的解决过程。

这种数形结合的策略使我们能够更全面地理解和解决几何问题[1]。

二、解释为什么这种策略在解决几何问题时很有用"数""形"结合策略在解决几何问题时非常有用，原因如下：首先，几何问题通常涉及到图形的形状、大小、位置等方面的特征。

初中数学数形结合解题思想方法探究

初中数学数形结合解题思想方法探究数学是一门精确的科学，其中涉及到的数形结合问题是数学中的一个重要内容。

解决数形结合问题的方法有很多，下面将介绍三种常用的解题思想和方法。

一、几何思想几何思想是解决数形结合问题的一种重要思想。

它通过几何图形的性质和关系来解决问题。

解题时，可以先根据题目中给出的条件画出几何图形，并找出几何图形之间的性质和关系。

然后利用这些性质和关系进行推理和计算，最终得到问题的解答。

有一个矩形，它的周长是30cm，面积是100cm²，求矩形的长和宽。

解：设矩形的长为x，宽为y。

根据题目中的条件，可以得到以下两个方程：2(x+y) = 30xy = 100利用几何思想，可以发现矩形的周长等于长和宽的两倍之和，即2(x+y)，所以可以得到第一个方程。

通过这两个方程，可以解得x=10，y=10。

所以矩形的长和宽分别是10cm。

二、代数思想代数思想是解决数形结合问题的另一种重要思想。

它通过建立代数模型来解决问题。

解题时，可以将问题中的未知量用代数符号表示出来，并建立相应的方程或不等式。

然后利用代数的方法进行运算和计算，得到问题的解答。

有一个数字，它是一个两位数，相反的两个数字之差是36，这个数字是多少？利用代数思想，可以将相反的两个数字表示成10x+y和10y+x。

它们之差是36，所以可以得到上述方程。

三、逻辑思想有5个小方块，它们的边长分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，将这些小方块拼成一个正方形，这个正方形的边长是多少？解：根据题目中给出的条件，可以知道这个正方形一共有5个小方块，而且边长依次增加1cm。

通过观察和推理，可以得到以下结论：1. 正方形的边长一定大于等于最长的小方块的边长，即大于等于5cm。

2. 正方形的边长一定小于等于所有小方块的边长之和，即小于等于1+2+3+4+5=15cm。

根据以上两个结论，可以得到正方形的边长的范围是5cm到15cm之间。

再观察题目中给出的条件，可以发现正方形的边长的值一定在这个范围中。

高三数学数形结合的解题方法与技巧分析

高三数学数形结合的解题方法与技巧分析在高三数学中，数形结合的解题方法和技巧十分重要。

它不仅可以帮助我们更好地理解和掌握数学知识，还可以提高解题效率和准确性。

下面，笔者就介绍一些数形结合的解题方法和技巧，希望能对大家学习数学有所帮助。

1.画图是重要的第一步在解题过程中，随时运用画图的方法可以帮助我们更好地理解和解决问题。

但是，我们画图的目的不仅仅是为了画出一个美观的图形，更重要的是理清思路和抓住重要的信息。

所以，在画图的时候，一定要注意以下几点：1) 画出尽可能规整、简单的图形，不要过于花哨。

2) 根据题目解决要点着重绘制关键性点，如角、中点、垂线等。

3) 画图不仅限于二维平面，也可以画出立体图形，例如圆柱、球等。

2.利用相似性质求解在数形结合中，相似性质是十分重要的一个概念。

相似的两个图形，它们的对应边长比例相等，对应角度相等。

因此，我们可以利用相似性质来解决一些难题，尤其是涉及到比例和角度的计算。

3.从实际问题入手在解决数学问题时，我们可以将其与实际生活中的问题结合起来，这样有助于提高我们的兴趣和理解力。

例如，可以利用直观的方法来解决几何问题，以及利用动画来模拟一些数学现象等。

4.注意形式化证明的效果在数学学科中，形式化证明是一种有效且标准的解题方法。

所谓形式化证明，就是用严谨的语言表达出问题的所有要素，从而达到证明问题的目的。

5.切忌打乱了思路在解决数学问题时，我们必须按照一定的方法和思路，逐步推进解题的进程。

如果将不同的思路混合在一起，很容易就会迷失方向，不知道该从何处入手。

因此，我们要按照一个逐步深入的思路去解决问题，不要跳跃式地处理问题，这样才能找到规律并完整地解决问题。

6.避免错误解题方法在解决数学问题时，我们要避免一些错误的解题方法，如假设过程不完整、推理错误、求解方向错误等。

因此，在解决问题时，我们必须根据问题的性质和要求，选取最合适、最简单、最易于理解的解决方案。

7.学会多角度思考在数学解题中，我们可以尝试从多个角度思考问题，这样可以更全面、更深刻地理解和解决问题。

数形结合解题方法和技巧

数形结合解题方法和技巧
本文介绍数形结合解题方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这一方法，提高数学解题能力。

数形结合是一种常用的数学解题方法，它将数学问题与几何图形相结合，通过直观的几何图形来帮助解决复杂的数学问题。

下面，我们介绍一些数形结合解题的方法和技巧。

一、利用几何图形的性质
几何图形具有许多特定的性质，如线段长度、角度大小、平行关系等。

在解题时，我们可以利用这些性质来帮助我们理解问题，甚至可以通过这些性质来推导出未知数的值。

例如，在一道求解三角形题目中，我们可以利用三角形的边角关系，通过余弦定理或正弦定理来求解未知角度或边长。

二、利用几何图形的变换
几何图形可以通过平移、旋转、翻折等变换来改变形态，而这些变换并不改变图形的本质属性。

在解题时，我们可以利用这些变换来帮助我们理解问题。

例如，在一道求解相似三角形题目中，我们可以
通过旋转或翻折等变换将原图形变换成易于求解的图形，然后再进行计算。

三、利用几何图形的切分
几何图形可以通过切分来将复杂的问题分解成简单的问题。

在解题时，我们可以利用这些切分来帮助我们理解问题。

例如，在一道求解曲线图形题目中，我们可以通过切分将曲线分割成一些简单的线段或曲线，然后再分别进行计算，最后再将结果相加得到答案。

数形结合是一种非常有用的解题方法，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。

数学小巧思解决复杂算式的巧妙技巧

数学小巧思解决复杂算式的巧妙技巧在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种复杂的算式，由于步骤繁琐或运算量大，可能会让我们感到头疼。

但实际上，只需要掌握一些小巧思，就能够简化计算过程，提高效率。

本文将介绍一些解决复杂算式的巧妙技巧，帮助大家更轻松地面对数学难题。

一、使用数形结合法简化计算数形结合法是一种将数学问题通过图形化方式进行表示的方法。

通过将算式转化为几何图形，可以利用图形的性质来解决问题。

例如，我们遇到一个复杂的多项式相乘的算式，可以利用数形结合法进行简化。

假设有一个算式 (a + b)(c + d)，我们可以将它表示为一个矩形，其中a、b、c、d分别代表矩形的边长。

通过观察面积的变化，我们可以得到简化后的结果。

二、利用分配律简化计算分配律是数学中常用的一条基本运算法则，它可以帮助我们简化复杂的算式。

例如，当我们遇到一个算式 a(b + c)，我们可以利用分配律将其转化为 ab + ac。

通过这种方式，我们可以减少乘法的步骤，简化计算过程。

三、使用乘法简化法则简化乘法运算在进行乘法运算时，我们可以利用一些简化法则，快速计算出结果。

1. 乘以10的幂：当一个数乘以10的幂时，我们只需要将这个数的末尾添加对应数量的0即可。

例如，3 × 10^4 = 30000。

2. 乘法交换律：当我们遇到较大的乘法运算时，可以根据交换律的原则，优先计算两个数中较小的数。

例如，3 × 7 × 8 = 8 × 3 × 7。

3. 减法替代法：当我们需要计算一个较大数减去一个较小数时，可以将减法转化为加法。

例如，27 - 8 = 27 + (-8) = 19。

四、利用特殊性质简化计算在数学中，有一些特殊性质可以帮助我们简化计算。

1. 平方差公式：当我们遇到两个平方数相减时，可以利用平方差公式，将其转化为一个平方差的形式。

例如，16 - 9 = (4 + 3)(4 - 3) = 7。

数形结合在初中数学解题中的有效应用

数形结合在初中数学解题中的有效应用初中数学解题中恰当运用函数形结合是有效解题的关键，下面介绍函数形结合在初中数学解题中的有效应用：一、求最大\最小值1．函数 f(x) 在不等式约束条件下求最大值或者最小值时，经常用极值的概念来解决，用法为：在不等式约束条件上求f(x) 的导数为0 ，从而确定f(x) 的极值点，利用这些极值点从而求出函数f(x)最大值或最小值。

2．f(x,y) 在不等式约束条件上求极值，它如果是可分离的函数，应分别求x,y两个坐标的极值；如果f(x,y) 为不可分离的函数，则要求函数的偏导数并得出f关于x,y的偏导数并都等于零，从而确定它的极值点，接着再利用极值点解出函数的极值。

二、绘出函数的图形1．一般函数的图形是关于x的函数，只要把直线y=f(x) 的图形绘出来，就可以完全确定函数f(x) 的图形。

2．根据函数值的大小和正负特点，绘制好函数的上下半部分及不变函数部分，包括轴、极点、极值点、波峰波谷等，再加上标记值，有助于理解函数的特点和图像的形状。

三、求函数的导数和不变函数1．以一元函数为例，一般情况下，要求一元函数的极值时，都先求函数的一阶导数，进而确定函数极值点，从而求出最大值和最小值，从而得出极限结果。

2．函数不变函数是指在函数变换到某种形式时，不会变化其内容及图示，其办法就是微积分，从而找出不变两边的函数图形，进而找出不变函数。

四、解绝对值函数1．绝对值函数指的是一个函数中的绝对值，常用的方法是将函数的变量的绝对值部分替换掉，即将$|x|$替换成y，得到y=f(x)，此时用一般函数的方法可以求该函数的极值点，这样就可以解出绝对值函数的极值问题。

2．绘制绝对值函数的图形，要注意采用原函数的定义域，绘制出绝对值函数的左右半部分，然后将左右半部分的图形连接在一起，最后再连接各个变化的部分，就可以绘出绝对值函数的图形。

总之，函数形结合在初中数学解题中的有效应用多种多样，包括合理利用函数求极值、绘制函数图形、求函数的导数和不变函数、解绝对值函数等，运用函数形结合，可以快速、省力、更准确地解一些难题，是初中数学解题的有效方法之一。

浅谈初中数学解题技巧之数形结合

浅谈初中数学解题技巧之数形结合数学是一门抽象而又具体的学科，它与许多其它学科所不同的地方在于，它既要求学生具备一定的逻辑思维能力，又要求学生具备一定的数形结合能力。

在初中数学中，数形结合是非常重要的一种解题技巧，它要求学生能够把抽象的数字与具体的形状相结合，通过分析形状的特征来解决数学问题。

本文将浅谈初中数学解题技巧之数形结合，希望对广大初中生能有所帮助。

数形结合是指直观的、具体的图象与抽象的数字结合在一起，共同解决问题。

数形结合能够帮助学生更好地理解数学问题，提高数学解题的效率。

对于初中生来说，数形结合在解决几何题目中尤为重要，因为几何问题是与形状和图像紧密相关的。

数形结合技巧在许多数学问题中都有应用，下面我们可以通过具体的例子来说明。

首先我们来看一个简单的例子：已知一条线段AB长8厘米，现在在AB线段上任取一点C，连接AC、BC两线段，假如AC : CB = 3:5，求AC长度。

这是一个求长度的问题，通过观察题目可以按照如下步骤来解决：首先我们可以利用形状来分析，假设线段AB为一根棒，点C为一点，连接AC和BC就是把这根棒分成了两部分，比例为3:5，我们可以通过这样的形状图像来直观地理解题目，然后我们可以通过代数的方式来解决这个问题，设AC长度为3x，BC长度为5x，那么由题意可得3x+5x=8，解得x=1，所以AC长度为3*1=3厘米，BC长度为5*1=5厘米。

通过这个例子我们可以看到，通过观察题目所给的形状图像，能够更好地帮助我们解决题目。

其次我们来看一个稍微复杂一点的例子：如图，已知正方形ABCD中，点E是线段BC 的中点，连线AE和DE相交于点F，求证：△BEF与△ABC全等。

这是一个证明题，通过观察题目，我们可以根据图形来分析：已知正方形ABCD中，点E是线段BC的中点，连线AE和DE相交于点F，我们可以通过观察图形，发现△BEF与△ABC 具有相同的形状，因为△BEF是△ABC的一部分，且△BEF与△ABC的对应边相等，所以可以认为△BEF与△ABC全等。

高考数学“数形结合”解题思想方法、知识点及题型整理

高考数学总复习第三讲：数形结合一、专题概述 ---什么是数形结合的思想数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．二、例题分析1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．例1．函数的图象的一条对称轴方程是：（A）（B）（C）（D）分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：，其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．例2．问：圆上到直线的距离为的点共有几个？分析由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．将圆方程变形为：，知其圆心是C(-1,-2)，半径，而圆心到定直线L的距离为，由此判定平行于直线L且距离为的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1）启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化．例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象．分析由=，可知函数是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象．例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．分析由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是多少？分析满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）因此所求图形的面积为：4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．例6．已知C<0，试比较的大小．分析这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：例7 解不等式解法一（用代数方法求解），此不等式等价于：解得故原不等式的解集是解法二（采用图象法）设即对应的曲线是以为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象是一直线．（如图）解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是．借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．例8 讨论方程的实数解的个数．分析：作出函数的图象，保留其位于x 轴上方的部分，将位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，便可得到函数的图象．（如图）再讨论它与直线y=a 的交点个数即可． ∴当a ＜0时，解的个数是0；当a=0时或a ＞4时，解的个数是2；当0＜a ＜4时，解的个数是4；当a=4时，解的个数是3．9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k 的不同取值有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例10．设点P(x,y)在曲线上移动，求的最大值和最小值．解曲线是中心在（3，3），长轴为，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示）消去y得解得：故的最大值为，最小值为例11．求函数（其中a,b,c是正常数）的最小值．分析采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，则其中的等号在P为线段AB与x轴的交点外，即时成立．故y的最小值为例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程．分析在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决．解，设R点对应的复数为：，P点对应的复数为则故即由点在椭圆上可知有：整理得：就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆．三解题训练1．求下列方程实根的个数：（1）（2）（3）2．无论m取任何实数值，方程的实根个数都是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定3．已知函数的图象如右图则（）（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)（C）b∈(1,2) （D）b∈(2,+ ∞)4．不等式的解集是（）（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式一定有解，则a的取值范围是（）（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1]6．解下列不等式：（1）（2）7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量绕点A逆时针方向旋转至向量，则点C对应的复数是_______．8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________9．若复数z满足10．函数的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两定点的坐标是( )（A）（–，–）（，）（B）（–，）（，–）（C）（–2，2）（2，2）（D）（2，–2）（–2，2）11．曲线与直线的交点个数是（）．（A）0（B）1 （C）2（D）312．曲线与直线有两个交点，则实数k的取值是（）（A）（B）（C）（D）13．已知集合，满足，求实数b的取值范围．14．函数的值域是（）（A）（B）（C）（D）四、练习答案1．（1）2个（2）63个（3）2个提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数．2．B、提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系．3．A、提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形学习好资料欢迎下载f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而可知b=-3a<0，故选（A）4．A5．A6．（可以利用图象法求解）（1）x≤-1或0<x≤3（2）x≤-17．18．210°9．10．A11．D 提示：在曲线方程中，分x≥0或x<0两种情形讨论，作出图形即可．12．C13．14．A 提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=k AB，而A点为圆x2+y2=1上的动点。

初二数形结合题解题技巧

初二数形结合题解题技巧
1. 观察图形特点：首先要仔细观察数形结合题中的图形，寻找图形的特点和规律。

例如，图形的对称性、重复性、变化规律等。

2. 运用数学知识：根据题目所给条件和图形的特点，运用基本的几何知识和数学公式进行推理和计算。

如长度、面积、角度的计算等。

3. 利用图形的辅助线：当图形较为复杂时，可以尝试画一些辅助线来辅助解题。

通过引入辅助线，可以将问题转化为更简单的几何问题或代数问题解答。

4. 运用逻辑思维：通过分析题目中的条件和信息，利用逻辑推理思维，找到图形之间的联系和规律，从而推导出答案。

5. 多角度思考：解题时不要固守一种思维方式，可以尝试从不同角度思考问题，寻找多种可能性和解题思路。

6. 锻炼空间想象力：数形结合题通常涉及到对图形的空间变换和投影等概念，因此锻炼空间想象力能够帮助更好地理解和解决问题。

总之，解答数形结合题需要考虑到数学知识的应用，观察和分析图形特点，灵活运用解题技巧和思维方式，以及锻炼创造性和逻辑思维能力。

解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略份

解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略(一)份解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略 1解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略一、“数”“形”结合解题法的理论概述（一）方法释义首先，关于解析几何的释义，其泛指几何学上一个小分支，主要用代数方法研究集合对象之间的关系和性质，因此也称作“坐标几何”。

其包括平面解析几何和立体解析几何两部分，其中，平面解析几何是二维空间上的解析几何；立体解析几何是三维空间上的解析几何，而立体解析几何则比平面解析几何更加复杂、抽象。

其次，关于数形结合的.释义，即是把题目所给条件中的“数”与“形”一一对应，用简单的、直观的几何图形以及条件之间的位置关系把复杂的、抽象的数学语言以及条件之间的数量关系结合起来，通过形象思维与抽象思维之间的结合，以形助数，或以数解形，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，以起到优化解题途径的目的。

（二）解题思路在遇到解析几何时，能清楚条件与问题之间的数量关系与位置关系，将“数”与“形”一一对应，便能够快速找到解题突破点。

事实上，当熟练掌握到数形结合方法，能够举一反三时，遇到的所有题目都将是同一题目了。

因此，掌握数形结合思，就必须厘清下列关系：第一点，复数、三角函数等以几何条件和几何元素为背景建立的概念；第二点，题目所给的等式或代数方程式的结构中所含明显的几何意义；第三点，函数与图象的对应关系；第四点曲线与方程的对应关系；第五点，实数与数轴上的点的对应关系。

二、“数”“形”结合法在几何解题中的实例解析（一）解析几何中圆类问题实践证明，数形结合对速解圆类问题的帮助很大，因为在一般解题过程中，解析几何圆类问题主要围绕求圆与圆之间的位置关系、圆与直线的位置关系、圆的标准方程等几方面展开。

比如在判断圆与直线的位置关系时，通过建立直角坐标系，便可以直观地观察到直线在圆外，但是答题需要写出确切的答题步骤才能得分。

这时就需要有“数”“形”结合解题思想的辅导——以数解形：通过计算圆心到直线的距离，距离比圆的半径大即表明直线在圆外。

中职数学解题技巧之“数”“形”结合———以高教版教材为例

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２２数学学习与研究㊀２０２３１６中职数学解题技巧之结合中职数学解题技巧之数形结合㊀㊀㊀以高教版教材为例Һ张泽润㊀（安徽亳州新能源学校，安徽㊀亳州㊀２３６７００）㊀㊀ʌ摘要ɔ解题教学一直都是中职数学教学的重中之重．在解题教学中渗透数学思想有利于增进学生对数学解题技巧的感悟，进一步提高学生审题㊁解题的效率．文章基于中职数学解题教学实际教情对应用数形结合思想传授学生解题技巧展开研究，在指出数形定义㊁介绍数形结合思想的同时，结合高教版课程教学案例指出教师可以从以形助数㊁以数解形㊁数形结合三个层面出发落实解题教学工作，希望为提升中职数学解题教学质量提供参考．ʌ关键词ɔ中职数学；解题；数形结合；技巧中职数学解题教学中，教师应认识到数与形的教育价值，同时结合中职数学解题教学的根本需求合理设计解题教学方案，引导学生在以形助数㊁以数解形㊁数形结合的过程中体会化简问题㊁转换问题的方法，进一步丰富学生的解题技巧．一㊁数与形的定义及数形结合思想的应用价值（一）数与形的定义数是一种抽象的概念，用于表示长短㊁多少㊁高低等，本质上是一种度量符号．在数学研究中，数的定义十分广泛，包括整数㊁分数㊁小数㊁无理数㊁负数㊁用字母表示的数㊁方程㊁函数㊁代数等．形是一种直观概念，指的是可以看得见的图形．在数学研究中，形可以指代直线㊁圆㊁三角形㊁球㊁正方体㊁双曲线㊁正方形等多种可以用肉眼直接观察的图形．（二）数形结合思想的应用价值数与形相互依存，也可以相互转化．数形结合思想的应用价值主要体现在以下两方面：一方面，有助于加深学生对数学解题理论的理解．数学解题理论包括数学概念㊁数学性质㊁数学方法等多项内容．中职数学教学内容具有一定的抽象性，直接为学生讲解的话，无法使其在第一时间领会解题理论，会限制其解题能力的形成与发展．借助数形结合思想，教师可以用直观的图示将复杂㊁抽象的数学理论展示出来，增进学生对数学理论的理解，进一步提升学生的解题能力．另一方面，有利于提升学生数学解题思维的灵活性．中职数学解题教学涉及一些形式新颖㊁内容复杂的数学习题．常规思路无法快速㊁高效地解决此类问题，容易使学生产生负面的解题情绪．将数形结合思想用于中职数学解题教学中，有利于引导学生从数形两个角度分析数学问题，让其在形转数㊁数转形的过程中开展一系列的思维活动，增强学生的思维灵活性，使学生总结出更多的解题技巧．二㊁数形结合解决中职数学问题的基本技巧（一）以形助数，加强直观，快速解决问题中职数学解题教学中的代数问题具有抽象性强㊁复杂程度高的特征．应用以数解数的方法可以解决大部分代数问题，但其解题过程复杂，错误率高．在解决代数问题时，教师可以指导学生应用以形助数的方法解决代数问题，将代数问题转化为直观㊁具体的图形简化问题，帮助学生快速确定解题思路，快速解决代数问题．１．用形助力集合问题求解，提高学生审题能力审题是解决数学问题的第一项程序，也是正确解题的关键．让学生掌握审题技巧可以极大程度地缩短学生的审题时间，从而提高学生的解题效率．集合问题看似抽象，但应用数形结合思想却可以快速提炼题目的主干信息，从而确定解题思路，加快解题步伐．解决集合问题时，教师可以指导学生根据题意绘制数轴图㊁文氏图等多种图形，让学生在绘图㊁看图的过程中明确题目关键信息，确定问题求解思路，为高效解题奠定基础．以高教版集合的运算一课的解题教学为例，教师可以先应用多媒体课件呈现典型例题，再指导学生用以形助数的方式解决问题．㊀㊀㊀解题技巧与方法１２３㊀数学学习与研究㊀２０２３１６例１㊀设集合Ａ＝｛ｘ｜１＜ｘ＜４｝，集合Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３ɤ０｝，则Ａɘ（∁ＲＢ）＝（㊀㊀）．Ａ．（１，４）㊀Ｂ．（３，４）㊀Ｃ．（１，３）㊀Ｄ．（１，２）ɣ（３，４）这一问题的正确答案为Ｂ，主要考查学生对求不等式型集合的交㊁并集方法的掌握情况．在解决这一问题时，教师可以指导学生通过绘制数轴图的方式将复杂问题直观呈现出来，让学生在观察图形㊁分析图形的过程中确定正确答案．求解这一例题的思路如下：求出集合Ｂ中ｘ的取值范围，即Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３ɤ０｝＝｛ｘ｜－１ɤｘɤ３｝；绘制数轴图，并根据计算求值结果在数轴图上画出ｘ的范围；接着，将求值结果代入原问题中，根据所求内容，推理出Ａɘ（∁ＲＢ）＝｛ｘ｜１＜ｘ＜４｝ɘ｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞３｝．这时，学生将这一步骤的计算结果同样表现在数轴图上，即可直观观察出问题答案为｛ｘ｜３＜ｘ＜４｝，最终得到正确答案．２．用形助力不等式问题求解，提高学生解题效率不等式问题是中职数学解题教学中的常见问题．很多学生在解不等式问题时习惯性地使用作差法㊁作比法等代数方法．然而，此类方法的计算量较大，对学生的运算能力要求较高．部分学生存在运算能力差㊁马虎的问题，得出的运算结果准确率不高，继而影响不等式问题的求解质量．为此，教师可以指导学生应用形解决不等式问题，让学生在直观看图的过程中比较大小，从而提高学生的解题效率．以高教版一元二次不等式一课的解题教学为例，有问题如下：例２㊀设函数ｆ（ｘ）＝１２æèçöø÷１＋ｘ，ｘɤ０，ｘ，ｘ＞０，ìîíïïïï若ｆ（ｘ０）＞１，则ｘ０的取值范围是（㊀㊀）．Ａ．（－１，１）㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．（－１，＋ɕ）Ｃ．（－ɕ，－２）ɣ（０，＋ɕ）Ｄ．（－ɕ，－１）ɣ（１，＋ɕ）这一问题是典型的求不等式解集的问题，不仅考查了不等式的基本知识，还考查了函数㊁利用函数的单调性解不等式等知识．解这一题时，教师可以指导学生借助数形结合思想解决问题，用以形助数的方式简化问题．比如，教师可以根据原题信息，在平面直角坐标系中绘制出函数图像，并在图像中绘制直线ｙ＝１，直线ｙ＝１与函数图像分别交于点（－１，１）与（１，１）．这时，教师再指导学生观察图像，就可以由ｆ（ｘ）＞１推理出ｘ＜－１或ｘ＞１，从而确定问题的正确选项为Ｄ选项．这样，学生就能在解题学习中体会到以形助数方法的优越性，不仅丰富了解题方法，还锻炼了数学联想㊁几何直观㊁逻辑推理等综合能力．（二）以数解形，细致入微，巧妙解决问题中职数学解题教学中的几何问题具有直观性强的特征．但是，直观性强并不意味着题目简单．很多学生在解决几何问题时缺乏解题思路，最终解题失败．对此，教师可以指导学生应用以数解形的方法解决此类问题，通过为图形赋值等方式帮助学生理解图形的真正含义，从而帮助学生确定解题方向，巧妙解决几何问题．１．用数助力立体几何问题求解，培养学生直观想象素养立体几何问题看似简单，实则不易解决．由于部分学生缺乏良好的几何直观㊁数学联想㊁数学抽象等能力，不能在解题时快速找到题眼，导致几何问题解决效率低下．为此，教师可以将数形结合思想用于立体几何解题教学中，通过指导学生应用代数的方法解决立体几何问题，为学生指明解决立体几何问题的方向，从而提升其数学直观水平，使学生能够巧妙地解决立体几何难题．以高教版柱㊁锥㊁球及其简单组合体一课的解题教学为例，有问题如下：例３㊀әＡＢＣ的平面直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ是边长为ａ的正三角形，那么әＡＢＣ的面积是（㊀㊀）．Ａ．３２ａ２㊀㊀Ｂ．３４ａ２㊀㊀Ｃ．６２ａ２㊀㊀Ｄ．６ａ２这一问题是典型的立体几何直观图问题．在这一问题中，已知信息只有 әＡＢＣ的平面直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ是边长为ａ的正三角形这一句话，部分学生很容易陷入解题的迷雾中．这时，教师可以应用以数解形的思想方法，指导学生解题．比如，先绘制әＡＢＣ的直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ，取ＢᶄＣᶄ所在的直线为ｘᶄ轴，ＢᶄＣᶄ的中点为Ｏᶄ，以过Ｏᶄ与Ｏᶄｘᶄ成４５ʎ角的直线为ｙᶄ轴，过Ａᶄ作ＭᶄＡᶄʊＯᶄｙᶄ，交ｘᶄ轴于点Ｍᶄ，则在ＲｔәＡᶄＯᶄＭᶄ中，ＯᶄＡᶄ＝３２ａ，øＡᶄＭᶄＯᶄ＝４５ʎ，接着展开相应的推理与运算，即可得到正确答案为Ｃ选项．２．用数助力解析几何问题求解，培养学生逻辑推理素养解析几何具有点与实数对一一对应㊁曲线与方程㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２３１６一一对应的特征，是中职数学几何教学的重点内容．在中职数学解题教学中，解析几何问题多体现为求直线与圆的位置关系㊁圆与圆的位置关系，等等．同时，受题目信息限制，很多时候学生无法应用几何方法求证直线与圆㊁圆与圆的位置关系，不能正确解答数学题目．为此，教师可以在教学中渗透数形结合思想，指导学生应用代数的方式进行逻辑推理，构建数学模型，以此求解出问题答案．以高教版两点间的距离与线段中点的坐标一课的解题教学为例，例４㊀已知әＡＢＣ的三个顶点分别为Ａ（１，０），Ｂ（－２，１），Ｃ（０，３），试求ＢＣ边上的中线ＡＤ的长度．针对这一问题进行解题教学时，教师可以适时渗透以数解形的数学思想方法，先根据原题绘制出解题示意图，再指导学生假设ＢＣ的中点Ｄ的坐标为（ｘＤ，ｙＤ），进行推理：解㊀由Ｂ（－２，１），Ｃ（０，３）得到ｘＤ＝（－２）＋０２＝－１，ｙＤ＝１＋３２＝２，故：｜ＡＤ｜＝（－１－１）２＋（２－０）２＝２２，则ＢＣ边上的中线ＡＤ的长度为２２．（三）数形结合，综合应用，高效解决问题数形结合百般好，隔离分家万事休．我国数学家华罗庚的这句名言说明了数形结合的重要性．在中职数学解题教学中，很多学生在解题时存在解题视野局限㊁解题思路单一的问题，不能高效解决数学问题．为此，教师可以在解题教学中渗透数形结合思想，指导学生综合代数㊁几何的相关知识解决问题，从而提高学生灵活解决数学应用问题的能力．以高教版函数的应用一课的解题教学为例，教师可以为学生呈现典型例题：例５㊀已知ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５，ｘɪ［ｔ，ｔ＋１］，若ｆ（ｘ）的最小值记为ｈ（ｔ），请写出ｈ（ｔ）的表达式．针对这一例题进行解题教学时，教师可以先给学生３５分钟的时间自主思考，之后应用数形结合思想进行思路点拨：依据函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５的对称轴与区间的位置关系，结合函数图像确定ｆ（ｘ）在ｘɪ［ｔ，ｔ＋１］上的增减情况，进而可以明确在何处取最小值．之后，教师可以在黑板上演绎解题过程，让学生学习更加新颖的解题方法：解㊀由于ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５＝ｘ＋３２æèçöø÷２－２９４，所以抛物线ｆ（ｘ）的对称轴为直线ｘ＝－３２，开口向上（如图１）．图１根据图像推导可得：ｈ（ｔ）＝ｔ２＋５ｔ－１，ｔɤ－５２，－２９４，－５２＜ｔɤ－３２，ｔ２＋３ｔ－５，ｔ＞－３２．ìîíïïïïïïï通过解题可以发现，将数形结合思想用于函数问题的求解，可以使函数问题变得清晰㊁直观，有利于学生明确自身解题思路，从而快速求解函数问题．解题教学中，教师应抓住数形结合思想的渗透时机，同时不断组织类似的演绎教学活动，以此加深学生对数形结合思想的认识，提升学生的数学解题思维水平．结束语中职数学教学以培养学生的数学抽象㊁建模应用㊁几何直观等核心素养为主要教学追求，将更多教学资源融入数学解题教学是非常有必要的．在具体的解题教学过程中，教师应把握数形的本质，根据数形之间的具体关联合理开展解题教学工作，以此锻炼学生的审题㊁析题㊁解题能力，有效培养中职学生的数学学科综合素养．ʌ参考文献ɔ［１］袁亮驹．关于中职数学解题教学的思考［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（２７）：６５－６７．［２］星蓉生．浅谈核心素养视角下的中职数学解题策略直线与圆的方程示例［Ｊ］．数学大世界（上旬），２０２２（０７）：６８－７０．［３］成江涛．中职数学应用题解题策略［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２０（０９）：７７．［４］洪巧云．中职数学学生常用解题方法［Ｊ］．试题与研究，２０１８（３２）：６２－６３．。

高三数学数形结合的解题方法与技巧分析

高三数学数形结合的解题方法与技巧分析数学与数形结合是高中阶段数学学习中一个非常重要的话题，通过数学和数形相结合可以更好地理解和记忆数学概念和定理，提高解题能力和创新思维水平。

本文将从以下两个方面来分析高三数学数形结合解题的方法与技巧：一、数形结合的优势数学和数形结合的主要优势在于能够直观地展现数学概念和定理，帮助学生更深入地理解数学知识。

在解题中利用数形结合的方法，可以让学生通过对图形的观察、分析和推理，更深层次地理解和应用数学概念和定理。

比如，在解决立体几何问题时，如果能够将模型构建完整，按照比例缩小，将其投影到二维平面上，然后在平面图形中寻找和应用几何知识，就可以更好地促进学生对几何学和代数学的理解和融合。

此外，数形结合的方法也能够激发学生解题的兴趣和好奇心，吸引他们积极参与学习过程，探索数学的奥秘。

在具体解题时，数形结合也有一些具体的方法和技巧，下面简单介绍一下：1. 绘制图形。

在解决几何问题时，首先要绘制出几何图形，并标注出已知条件和需求，这可以帮助我们更好地理解和分析问题。

2. 利用运动方法。

在解决三角函数、立体几何等问题时，可以运用类似“旋转”、“平移”等运动方法，来变换图形的形态，使问题更加清晰、简单。

3. 利用相似与比例。

在解决几何和代数相关的问题时，可以利用相似性和比例关系，将问题转化成易于计算和解决的形式。

4. 利用投影与视角。

在解决立体几何问题时，可以利用三视图或进行透视投影，将三维的情形转变为平面图形，在平面图形中进行理解和计算。

5. 利用变量与方程。

在解决代数问题时，可以引入变量，建立数学模型，并用方程或不等式来描述问题，进而求解未知量。

总之，数学和数形结合有着不可替代的优势和方法，通过分析和应用这些方法和技巧，可以提高学生的解题能力，促进学生的数学思维的发展。

同时，学生也需要不断地锻炼和实践，确保数学和数形结合这种方法真正落地并取得成效。

(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档

数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析例1.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法：令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。

初中数学学习中的解题技巧——数形结合

初中数学学习中的解题技巧——数形结合数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.用数形结合的思想解题可分两类：(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等.数形结合所涉及的热点内容：在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【思路点拨】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n^2+2n．【答案与解析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个；第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个；按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）.故答案为n（n+2）=n2+2n.【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.举一反三：【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n 个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．解：设第n个图形的棋子数为S1．第1个图形，S1=1；第2个图形，S2=1+4；第3个图形，S3=1+4+7；第n个图形，Sn=1+4+…+3n-2；第（n-1）个图形，Sn-1=1+4+…+[3（n-1）-2]；则第n个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子．2.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 .A.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c【思路点拨】首先从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b＞0，c-b＜0，然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果．具体步骤为：① a,b,c的具体位置，在原点左边的小于0，原点右边的大于0.②比较绝对值的大小.|a|＜|c|＜|b|.③化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次根式中的被开方数的底数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.④进行化简计算，得出最后结果.【答案与解析】从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，故a+b＞0，c-b＜0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c．故选A．【总结升华】此题主要考查了利用数形结合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，进而考察了非负数的运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值（|a|），完全平方式(a±b)2，二次根式.性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0.3. 图①是一个边长为的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是A.B.C.D.【思路点拨】这是完全平方公式的几何背景，用几何图形来分析和理解完全平方公式的实质.是一个很典型的“数形结合”的例子，用图形的变换来帮助理解代数学中的枯燥无味的数学公式.根据图示可知，阴影部分的面积是边长为（m+n）的正方形的面积减去中间白色的小正方形的面积（m2+n2），即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．【答案】B.【解析】（m+n）2-（m2+n2）=2mn．故选B．【总结升华】本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2-（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．举一反三【变式】如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个空心正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长是多少？（2）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积；（3）观察图2，你能写出下列三个代数式：（m+n）2、（m-n）2、mn之间的关系吗？解：（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于（m-n）；（2）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn．4.我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是_____.（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y=6，求的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= ____DB= ____.②在AB上取一点P，可设AP= _____，BP= _____.最小值为 ___．【思路点拨】（1）利用二次函数的顶点坐标就可得出函数的极值；（2）①延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求；②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形，进而利用勾股定理求出即可；（3）①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y；最小值利用勾股定理求出即可.【答案与解析】（1）抛物线所对应的二次函数的最大值是4；（2）①如图所示，点P即为所求．（作法：延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求.说明：不必写作法和证明，但要保留作图痕迹；不连接PA不扣分；（延长BD，同样的方法也可以得到P点的位置．）②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形．∴FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AF．∵AB=3，BD=2，∴BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，∴在Rt△ABF中，AF2=AB2-BF2=8，∴AF=2EG=2.∴在Rt△BEG中，BE2=EG2+BG2=17，∴BE=（cm）.∴PA+PB的最小值为cm.即所用水管的最短长度为cm.（3）图3所示，①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y，③的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，∴作C点关于线段AB的对称点C′，连接C′D，过C′点作C′E⊥DB，交BD延长线于点E，∵AC=BE=3，DB=5，AB=C′E=6，∴DE=8，..∴最小值为10．故答案为：①4；②x，y；③PC，PD，10．【总结升华】此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以及勾股定理是解题关键．作图题不要求写出作法，但必须保留痕迹.最后点题，即“xx即为所求”.5.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象过点(-1,2)和(1,0),且与y轴相交与负半轴.以下结论（1）a＞0；（2）b＞0；（3）c＞0；（4）a+b+c=0；（5）abc<0；（6）2a+b＞0;（7）a+c=1；（8）a＞1中,正确结论的序号是.【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案与解析】解：①由抛物线的开口方向向上，可推出a＞0，正确；②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=＞0，又因为a＞0，∴b＜0，错误；③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，错误；④由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，正确；⑤∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，错误；⑥由图象可知：对称轴x=＞0且对称轴x=＜1，∴2a+b ＞0，正确；⑦由图象可知：当x=-1时y=2，∴a-b+c=2， ---①当x=1时y=0，∴a+b+c=0， ---②①+②，得2a+2c=2，解得 a+c=1，正确；⑧∵a+c=1，移项得a=1-c，又∵c＜0，∴a＞1，正确．故正确结论的序号是①④⑥⑦⑧．【总结升华】考查二次函数的解析式、图象，及综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力．二次函数y=ax2+bx+c图象与系数之间的关系：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．存在着“左同右异”，即a,b同号.对称轴在y轴的左边，a,b异号，对称轴在y轴的右边.（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=±1时，ax2+bx+c就变成了a±b+c了.这道题的第7小题：当x=1时，a+b+c=0……①当x=-1时，a-b+c=2……②,①+②得，2a+2c=2，即a+c=1.举一反三【变式】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，x=是该抛物线的对称轴．根据图中所提供的信息，请你写出有关a，b，c的四条结论，并简单说明理由．解：①∵开口方向向上，∴a＞0，②∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，③∵对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＜0，④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，⑤当x=1时，y=a+b+c＜0，⑥当x=-1时，y=a-b+c＞0．结论有：a＞0，b＜0，c＜0，a+b+c＜0，a-b+c＞0等．。

初中数学解题思想解题方法——数形结合

解题思想之数形结合一、注解：数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。

在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。

数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。

二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】如图，在所给数轴上表示出实数—3，—1，2-的点，并把这组数从小到大用“＜”连接。

【例2】已知a＜0，b＜0，且a＜b，则（）A —b＞—aB —b＞aC —a ＞bD b＞a2.在不等式中的运用【例3】不等式组2030xx-⎧⎨-≥⎩p的正整数解的个数为（）A 1个B 2个C 3个D 4个【例4】关于x的不等式组521xx a-≥-⎧⎨-⎩f无解，则a的取值范围是。

3.在方程（组）中的运用【例5】利用图像法解方程组24212x yx y-=⎧⎨+=⎩4.在函数中的运用【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。

已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。

给出三个判断：（1）0点到3点，只进水不出水；（2）3点到4点，不进水只出水；（3）4点到6点，不进水不出水。

则以上判断正确的是（）A （1）B （2）C （2）（3）D （1）（2）（3）【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在（1）a＜0,（2）b＞0（3）c＜0（4）b2-4ac＞0中，正确的判断是（）A （1）（2）（3）（4）B （4）C（1）（2）（3）D（1）（4）5.在统计与概率中的运用【例8】近年来，某市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市2001—2004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。

小学奥数数形结合解题汇总

⼩学奥数数形结合解题汇总第⼀讲数形结合解题兴趣篇：1、数形结合的思想。

2、⽤长⽅形的⾯积来解决应⽤题。

3、⽤⾯积来证明初中的公式。

4、⽤柳卡图来解答⾏程问题。

长⽅形是⼀种⼏何图形，其⾯积公式为：长×宽＝⾯积.在许多应⽤问题中，也有类似的特点，即两个量相乘等于第三个量.如：单价×件数＝总价，速度×时间＝路程等.如果我们⽤长⽅形的长表⽰⼀个量，⽤长⽅形的宽表⽰另⼀个量，那么⾯积则表⽰这两个量的积.这样⼀来，抽象的数量关系在长⽅形图中变得具体、形象，对于我们分析和解决问题会带来很多⽅便.1、⽤⼩学知识证明。

a2? b2 =(a+b)( a?b) (a+b)( c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b) 2 = a2 + b2 +2ab (a+b)c=ac+bc (a+b+c) 2 = a2 + b2 +c2 +2ab+2ac+2bc1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n212＋22＋32＋42＋……＋n2 = n(n＋1)(2n＋1)÷62、 46×64=3、有三组数：A组为0.6 0.9 1.5 B组为3.2 4.3 2.5（1）从每⼀组数中选⼀个数，再相乘会得到多少个积。

（2）求所有的积的和是多少。

（⽤⼩学知识说明）4、全班同学去划船，如果减少⼀条船，每条船正好坐9⼈，如果增加⼀条船，每条船正好坐6⼈.问全班有多少⼈？5、⼩旭有10分和20分邮票共18张，⾯值2.80元。

两种邮票各多少张？6、⼀个学⽣从家到学校上课，先⽤每分钟80⽶的速度⾛了3分钟，发现这样⾛下去将迟到3分钟，于是他就改⽤每分钟110⽶的速度前进，结果提前3分钟.这个学⽣家到学校有多远？7、甲⾃⾏车每⼩时⾏15千⽶，⼄⾃⾏车每⼩时⾏12千⽶。

⼄先⾏1.5⼩时，问⼏⼩时后甲可追上⼄？8、⼀正⽅形的⼀边减少五分之⼀，另⼀边增加2⽶，得到⼀个长⽅形，这个长⽅形的⾯积与原正⽅形的⾯积相等。

小学数学总结_数形结合

第一讲数形结合看到数，想到形，利用图形的技巧解决问题。

a 想到线段，2a 想到正方形，3a 想到正方体。

一、三角形数自然数列，金字塔数列，可以构成三角形的图形，成为三角形数。

连续自然数的三角形数的解题思路：1、是连续自然数列，1+2+…+n ，2、圈内填等差数列，3、旋转对称求解。

详见相关例题。

二、正方形数平方数、奇数数列、金字塔数列，可以构成正方形的图形，成为正方形数。

1+3+5+7+…+(2n-1)＝2n ,1+2+3+…+n+…+3+2+1＝2n ,23333)...321(...321n n++++++++=。

101、【补充1】1+2+3+…+n ＝21n(n+1)，想到的图形？【难度级别】★☆☆☆☆ 【解题思路】正三角形。

102、【补充2】求解222 (21)n +++【难度级别】★★★☆☆【解题思路】提供数形结合的两种方法，通过此题了解三角形数、正方形数的求解方法。

方法一：正方形数(金字塔数列、奇数列)平方数可以表示成金字塔数列：21＝1，1个数； 22＝1+2+1，3个数； 23＝1+2+3+2+1，5个数；24＝1+2+3+4+3+2+1，7个数；……数的个数，构成了奇数列，1+3+5+7+…+(2n-1)＝2n ，奇数列可以构成正方形数，将金字塔数列填入正方形数中，如上图。

所以，222 (21)n +++＝(2n-1)×1+(2n-3)×2+(2n-5)×3+…+[2n-(2n-1)]×n＝2n ×(1+2+3+…+n)-[1×1+2×3+3×5+4×7+…+n ×(2n-1)]1112121231234321＝n ×n ×(n+1)-[2(2n-1)+1]÷3×2)1(+⨯n n ＝)12)(1(61++⨯⨯n n n其中，1×1+2×3+3×5+4×7+…+n ×(2n-1)是采用三角形数的求解方法： 1、连续自然数，1、2、3、…、n 2、每个圈内的数，形成奇数数列 3、旋转对称每个位置的平均值为：[2(2n-1)+1]÷3，数的个数为：1+2+3+…+n ＝2)1(+⨯n n所以，1×1+2×3+3×5+4×7+…+n ×(2n-1)＝[2(2n-1)+1]÷3×2)1(+⨯n n 。