全国初中数学优质课大赛一等奖《一元二次方程与美丽的图形》教学设计
1 一元二次方程 一等奖创新教案_1
1 一元二次方程一等奖创新教案《一元二次方程》教案学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力．2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念．难点：由实际问题列出一元二次方程．准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项．教学过程1 复习导入：（1）给出一些式子，判断是不是方程。
2＋3＝5 3x＋2 5x＋3＝18 x－2y＝5我们学过那些方程：一元一次，二元一次，分式方程。
出示问题：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？解：设长方形绿地的宽为x米，则长为（x＋10）米，可得方程：x（x＋10）=900这个方程特征特征（1）是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是22 授新知（1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0)（2）练习：判断下列方程那些是一元二次方程（多媒体显示）（3）ax2+bx+c=0（a≠0)讨论：为什么二次项系数a不能为0？假如a=0会出现什么情？b、c能不能为0？（4）一元二次方程的项及各项系数。
3 拓展练习（1）关于x的方程ax2 —2bx＋a＝2x2, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？（2）已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。
4 课堂小结1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
部编版人教初中数学九年级上册《22.1 一元二次方程 教学设计》最新精品优秀完美获奖教案
前言：该教学设计（教案）由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。
实用性强。
高质量的教学设计（教案）是高效课堂的前提和保障。
（最新精品教学设计）课题：22.1一元二次方程一、教学目标1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程的概念.2.难点：把一元二次方程化成一般形式.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：（板书：3x-5=0）这是一个什么方程？（稍停）3x-5=0是一个一元一次方程（板书：一元一次方程）.师：哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程？生：……（让几名同学回答）师：（指准3x-5=0）只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程.（指准“一元一次方程”）一元指的是含有一个未知数，一次指的是未知数的次数是1.师：一元一次方程是我们在初一已经学过的，从今天开始，我们要学习一种新的方程，叫做一元二次方程（板书：一元二次方程）.（二）尝试指导，讲授新课师：什么样的方程是一元二次方程？（板书：x2-x=56）x2-x=56是一个一元二次方程，（板书：4x2-9=0）4x2-9=0也是一元二次方程，（板书：x2+3x=0）x2+3x=0也是一元二次方程，（板书：3y2-5y=7）3y2-5y=7也是一元二次方程.师：从这些一元二次方程，哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方程？（等到有一部分同学举手再叫学生）生：……（多让几名同学回答）师：（指准x2-x=56）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.（师出示下面的板书）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.师：请大家把一元二次方程的定义读两遍.（生读）师：根据一元二次方程的定义，（指准方程）我们很容易判断x2-x=56，4x2-9=0，x2+3x=0，3y2-5y=7这些方程都是一元二次方程.（板书：3x(x-1)=5(x+2)）现在请大家判断，这个方程是不是一元二次方程？为什么？（让生思考一会儿）生：……（让几名学生发表看法）师：把这个方程两边去括号，得到3x2-3x=5x+10（边讲边板书：3x2-3x=5x+10），去括号后容易看出，这个方程是一元二次方程.师：（指3x2-3x=5x+10）这个方程还可以继续整理，怎么继续整理？（指准方程）先把右边的5x和10都移到左边去，再合并，得到3x2-8x-10=0（边讲边板书：3x2-8x-10=0）.师：（指原方程和3x2-8x-10=0）大家可以比较这两个方程，这个方程是这个方程经过整理得到的，这个方程的形式又简单又整齐，我们把这种形式叫做一元二次方程的一般形式（板书：一元二次方程的一般形式）.师：从这个例子大家可以看到，任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式，一般形式就是ax2+bx+c=0这样的形式（边讲边板书：ax2+bx+c=0）.师：（指准ax2+bx+c=0）在一元二次方程的一般形式中，我们把ax2叫做二次项，a是二次项系数（板书：其中a是二次项系数）；bx叫做一次项，b是一次项系数（板书：b是一次项系数）；c叫做常数项（板书：c是常数项）.师：（指准3x2-8x-10=0）譬如，在这个方程中，二次项是3x2，二次项系数是3；一次项是-8x，一次项系数是-8；常数项是-10.师：（指x2+3x=0）大家看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是x2，二次项系数是1.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的一次项、一次项系数是什么？。
人教初中数学九上 《一元二次方程》教案 (公开课获奖) (3)
【教学目标】知识与技能：探索一元二次方程及其相关概念，能够区分各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识过程与方法：在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和开展人类理性精神的作用．【教学重难点】重点：一元二次方程的定义、各项系数的区分，根的作用．难点：根的作用的理解．【教学过程】一、情境引入问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的局部折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？学生通过分析设出适宜的未知数，列出方程．问题1考虑从不同角度列方程，角度一：等量关系是底面的长×宽等于底面积，设切去的正方形的边长是x cm，那么有方程(100－2x)(50－2x)＝3 600；角度二：等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积，再减去四个长方形的面积，同样设正方形的长是x cm，那么有方程通过整理得到方程．问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程方案安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？分析：全部比赛共28场，假设设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场，于是得到方程，经过整理得到方程．教师应注意：〔1〕学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚；〔2〕学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题．说明：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型． 二、探索新知 观察以下得到的方程： 〔1〕2753500x x -+=； 〔2〕2560x x --=； 〔3〕1(1)2x x -＝28． 学生活动：请口答下面问题．〔1〕上面几个方程整理后含有几个未知数？〔2〕按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？〔3〕有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？结论：〔1〕都只含一个未知数x ；〔2〕它们的最高次数都是2次的；〔3〕都有等号，是方程．归纳定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数〔一元〕，并且未知数的最高次数是2〔二次〕的方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 思考：为什么规定a ≠0强调：一元二次方程定义中的三个条件：〔1〕是整式方程，〔2〕含有一个未知数，〔3〕未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可说明：主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念． 三、新知应用例：将方程3(1)5(2)x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数． 解：去括号得233510x x x -=+，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式238100x x --=．其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题〔比方系数的符号问题〕．说明：进一步稳固一元二次方程的根本概念．例 猜想方程2560x x --=的解是什么？学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比方可以用尝试的方法取x＝1、2、3、4、5等，发现x＝8时等号成立，于是x＝8是方程的一个解，如此等等．教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此根底上让学生进行总结：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解〔又叫作一元二次方程的根〕．四、反应练习课本P4 练习1，2补充习题：将方程〔x+1〕2+〔x-2〕〔x+2〕=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．五、课堂小结1.一元二次方程的概念.一元二次方程的定义要求的三个条件。
一元二次方程教学设计一等奖 【完整版】
课题名称：一元二次方程
姓名：
王俊工作单Βιβλιοθήκη ：左云二中学科年级：
初中年级
教材版本：
一、教学内容分析
1.本单元教学的主要内容.
一元二次方程概念;解一元二次方程的方法;一元二次方程应用题.
2.本单元在教材中的地位与作用.
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法.学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程.应该说，一元二次方程是本书的重点内容
六、教学评价设计
1第一学时教学活动活动1【导入】复习提问
1．什么叫做方程什么叫做一元一次方程
2．指出下面哪些方程是已学过的方程分别叫做什么方程
3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”
一、ax²+bx+c=0（a≠0）
二、其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项； 是一次项系数； 是常数项
让学生列方程解决，然后老师点评分析，建立数学模型
根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念
结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等
通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它
提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题，并在练习过程中总结了列一元二次方程解应用题的六大类型
二、开篇引言
学数学要有大数学学习的思维方式，我们曾经讲过学几何的大规律、学代数的大规律、也说过学代数中的方程小规律。今天我们开始学一元二次方程这一章，让我们重温学有关方程章节的规律通法
五、教学过程
教师活动
江苏科学技术出版社初中数学九年级上册 一元二次方程-全国优质课一等奖
一元二次方程的教学设计兰礎彤一、教学目标1.通过探索实际问题的数量关系及其变化规律，经历从具体问题抽象出数学模型一元二次方程的过程，进一步使学生感受到方程式刻画显示世界数量关系的有效模型.2.通过“观察——归纳——总结”，得到医院二次方程的概念.3.能够将方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.二、学情分析1.之前学习过一元一次方程、二元一次方程对于元与次数有一定的了解；2.学生具有根据等量关系，写出方程的能力。
三、重点难点1.教学重点：一元二次方程的概念，根据一元二次方程的一般形式写出二次项系数、一项系数和常数项。
2.教学难点：对于一元二次方程一般形式的归纳以及对a≠0的理解。
四、教学过程活动1【导入】用方程描述下列问题中的数量关系：（1）正方形的面积是2m2．设正方形的边长是x m，可得方程为.（2）矩形的面积为2m2，矩形的长比宽多1m，设矩形的宽是x m，可得方程为.（3）如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2.设花圃的宽是x m，可得方程为.（4）一块石头从离海面45m高的绝壁上落下，设这块石头经过t s落到海面，可得方程为.（h=5t2，h表示物体距离海平面的高度，t表示下落的时间）（5）如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离比梯子的顶端与地面的距离多1m ．设梯子的底端与墙的距离是x m，可得方程为.活动2【讲授】1. x2＝2、x（x+1）=2、x（19－2x）＝24、5t2=45、x2＋（x－1 ）2＝25观察上面所得到的这些方程有哪些共同特征2.根据之前学习方程的经验，请给这类方程起个名字。
一元二次方程的定义：它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2.像这样的整式方程叫做一元二次方程．关于x的一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0 （a、b、c是常数，a≠0）思考：a为什么不等于0相关概念介绍二次项ax2二次项系数a一次项bx一次项系数b常数项c活动3【例题讲解】例1.写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）x2－2=0；（2）x 2+x －2=0；（3）－2x 2+19x －24=0；（4）5t 2－45=0；（5）2x 2－2x －24＝0.活动4【巩固练习】1. 判断下列各式是否为一元二次方程请说明理由.（1）x 2+4x －6=0； （2）t 2=2t ； （3）x 2=1；（4）y 2－2x －1=0； （5）(x －1)(x －2)=0； （6）(x －3)(x +1)=x 2；（7）0132=-+xx x ； （8）mx 2－2x +3=0（m 为常数） 小结：如何判断一个方程为一元二次方程2. 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）x 2=3x +1；（2）9x 2=4；（3）－(3x －2)(x +1)=8；（4）x (x +1)－4x (x －2)=2；3.用方程描述下列问题中的数量之间的相等关系：（1）两个连续的偶数的积为224.设较小的偶数为x ，可得方程 .（2）一个直角三角形的斜边长为13cm ，两条直角边相差7cm.设较短的直角边长为x cm ，可得方程 .（3）如图，在长40m 、宽22m 的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760m 2.设道路的宽为x m ，可得方程 .活动5【课堂总结】本节课你有什么收获或还有哪些困惑如果你继续学习一元二次方程，你还想学习哪些内容。
全国初中数学优秀课一等奖教师教学设计：二次函数与一元二次方程--教学设计
全国初中数学优秀课一等奖教师教学设计：二次函数与一元二次方程–教学设计一. 教材分析二次函数与一元二次方程是初中数学的重要内容，通过本节课的学习，使学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握一元二次方程的解法，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数和方程的基础知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但部分学生对于二次函数与一元二次方程之间的关系理解不够深入，对于一元二次方程的解法掌握不牢固。
三. 教学目标1.了解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.掌握一元二次方程的解法。
3.能够运用二次函数与一元二次方程解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.一元二次方程的解法。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，激发学生学习兴趣，引导学生主动探究，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习一次函数和二次函数的知识，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.呈现（10分钟）呈现教学案例，引导学生观察二次函数图像与一元二次方程解的关系。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试解一元二次方程，并总结解题方法。
4.巩固（10分钟）教师挑选几组练习题，让学生上黑板演示解题过程，加深对一元二次方程解法的理解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将二次函数与一元二次方程应用于实际问题，举例说明。
6.小结（5分钟）教师总结本节课的主要内容，强调二次函数与一元二次方程之间的关系，以及一元二次方程的解法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关二次函数与一元二次方程的练习题，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）教师根据讲解内容，板书重点知识点，方便学生复习。
以上教学设计供您参考，实际教学过程中可根据学生实际情况进行调整。
在完成本节课的教学设计之后，我对整个教学过程进行了深刻的反思，总结出了在课堂实施过程中遇到的一些问题，并针对这些问题提出了相应的解决办法和改进措施。
全国初中数学优秀课一等奖教师教案：一元二次方程--教案
全国初中数学优秀课一等奖教师教案：一元二次方程–教案一. 教材分析本节课的主题是一元二次方程，它是初中数学中的重要内容，也是后续学习更高阶数学的基础。
一元二次方程在实际生活中有着广泛的应用，如财务计算、物理运动等，因此，掌握一元二次方程的解法对于学生的数学素养和实际应用能力的提高具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了代数基础知识，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但一元二次方程较为复杂，需要学生具有较强的逻辑思维能力和抽象思维能力。
此外，学生需要掌握一元二次方程的解法，才能更好地应用于实际问题中。
三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程的概念和性质。
2.使学生掌握一元二次方程的解法。
3.培养学生将一元二次方程应用于实际问题的能力。
4.提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的概念和性质。
2.一元二次方程的解法。
3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题引导学生思考，提供典型案例让学生分析，小组合作促进学生交流。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.教学案例。
3.小组合作学习资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出实际问题，引发学生对一元二次方程的思考。
例如：“某个物品的价格是10元，如果卖家将价格降低5元，那么售价与成本价相等。
求这件物品的成本价。
”2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的定义、性质和解法。
通过PPT展示，让学生对一元二次方程有一个整体的认识。
3.操练（10分钟）让学生通过解答典型案例来掌握一元二次方程的解法。
教师引导学生进行分析，提示解题思路，学生独立完成解题过程。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生互相交流解题心得，共同解决问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
5.拓展（10分钟）让学生运用一元二次方程解决实际问题。
例如：“一个长方形的长比宽多2，且长方形的面积为36平方厘米，求长方形的长和宽。
《第1章 一元二次方程》word版 公开课一等奖教案 (1)
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因为下次再搜索到我的机会不多哦！一元二次方程（复习）教学目标：1、在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2、积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，提高自己的数学应用能力。
3、感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯。
教学重点：会解一元二次方程.教学难点：能用一元二次方程解决实际问题.教学过程：一、知识回顾:1、解方程2708250x x -+=，并叙述解一元二次方程的解法。
二、互助学习：（一）情景问题：小明把一张边长为10cm 的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。
（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？（二）、尝试解决问题1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？（长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？（长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。
优质课 精品教案 (省一等奖)《一元二次方程》公开课教案
21.1 一元二次方程教学过程设计[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。
本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。
教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。
由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。
学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。
通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。
24.1 圆 (第3课时)教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题．O BAC1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：〔1〕我们把顶点在圆心的角叫圆心角．〔2〕在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如下图的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如下图的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言． 老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．〞 〔1〕设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如下图 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOC 〔2〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．〔3〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的． 从〔1〕、〔2〕、〔3〕，我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：OBACD半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD三、稳固练习1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展例2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C=2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin c C =2R ，即sinA=2aR，sinB=2b R ，sinC=2c R，因此，十清楚显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin aA同理可证：sin b B =2R ，sin cC =2R∴sin a A =sin b B =sin cC=2R五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业1．教材P95 综合运用9、10、 [教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
人教版一元二次方程市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
标题：人教版一元二次方程教案引言：一元二次方程是中学数学中重要的内容之一，在代数学习中起着重要的作用。
本教案以人教版教材为基础，结合教学实践经验，旨在帮助学生深入理解一元二次方程的概念、性质和解法，提升他们的数学思维和解题能力。
一、课堂导入（10分钟）1. 通过实例引入：提出一个实际问题，如“一个长方形的面积是10平方米，宽度是3米，那么长是多少米？”引导学生思考并找出解题的方法。
二、概念介绍（20分钟）1. 定义一元二次方程：介绍一元二次方程的定义和形式，即形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知实数，且a≠0。
2. 概念解释：讲解方程中的系数、根、平方项等概念，以便学生对一元二次方程的组成元素有更好的理解。
3. 数学模型应用：通过实际问题的转化为一元二次方程，让学生明白方程是用来解决实际问题的工具，并培养抽象建模的能力。
三、一元二次方程的解法（40分钟）1. 因式分解法：介绍因式分解法解一元二次方程的基本思路和步骤，并通过实例演示具体的解题过程，引导学生理解该方法的应用。
2. 公式法：介绍求一元二次方程根的公式，讲解公式的推导过程，并通过实例演示具体的解题过程，帮助学生掌握公式的灵活运用。
3. 配方法：介绍一元二次方程的配方法解法，讲解配方法的基本思想和策略，并通过实例演示具体的解题过程，提升学生解题的多样性和变通能力。
四、一元二次方程的性质（20分钟）1. 判别式：介绍一元二次方程的判别式，并讲解判别式与方程的根的关系。
2. 根的性质：介绍一元二次方程根的性质，如根的数量和关系，以及根的大小关系等。
五、课堂练习与拓展（20分钟）1. 练习题：设计一些练习题，涵盖课堂所学知识点，帮助学生巩固所学内容。
2. 拓展活动：引导学生通过实际问题，自主思考并解决，并扩展一元二次方程的应用领域，激发学生的学习兴趣。
六、作业布置与反思（10分钟）1. 布置作业：布置一些相关的练习题，巩固学生掌握的知识。
初中八年级数学教案-一元二次方程-“百校联赛”一等奖
《一元二次方程》教学设计教材分析：《一元二次方程》是沪科版八年级上册第17章第一节的内容，是让学生理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般式a 2bc = 0（a ≠0）及相关的概念，并会应用一元二次方程的概念解决一些简单的习题。
本节课内容是学生学习一元二次方程解法的基础，是中学数学概念教学的主要内容，即是已学知识的巩固和发展，又是后续学习的基础。
本节内容设置了丰富的实例，让学生通过观察、类比、归纳建立一元二次方程模型，为接下继续学习一元二次方程的解法及应用起到铺垫作用。
教学目标：1、通过设置问题，建立数学模型，了解一元二次方程的概念。
知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式，会辨认一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
2、通过观察、归纳一元二次方程概念地教学，使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般形式以及各种特殊形式。
3、通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。
教学重难点：重点：一元一次方程的概念及其一般形式。
难点：把一元二次方程化成一般形式，会辨认一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
教学准备：多媒体课件教学过程：一、情境引入1、出示：2-5=36，同学们，还记得这种方程叫做什么方程吗你能说说这种方程的特点吗2、多媒体出示：你能根据题意，列出下列问题中关于未知数的方程吗问题1：把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求出正方形的边长。
设正方形的边长为 m ，可列出方程 ²3=4问题2：某蔬菜队2022年全年无公害蔬菜产量为100t，计划2022年无公害蔬菜的产量比2022年翻一番（即为200t）要实现这一目标，2022年和2022年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少设这个对2022-2022年无公害蔬菜产量的年平均增长率是，可列出方程：10012=200即22-1=0学生思考，探究方法，列出方程。
教师针对疑问给于指导，并让学生说一说解题思路。
一元二次方程人教版市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
一元二次方程人教版教案一、教学目标：1. 理解一元二次方程的概念与基本性质；2. 掌握一元二次方程的解的求解方法；3. 能够应用一元二次方程解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学重点：1. 掌握一元二次方程的求解方法；2. 能够灵活运用所学知识解决实际问题。
三、教学难点：1. 掌握一元二次方程解的判别式的使用方法；2. 能够运用一元二次方程解决实际问题。
四、教学过程：1. 导入教师通过一个简单的例子，引发学生对一元二次方程的兴趣，并带入当中的思考问题。
2. 概念解释教师概述一元二次方程的定义，解释其中的知识点，包括二次项、一次项、常数项等。
3. 解一元二次方程的基本步骤(1) 制定解题计划：先将方程化为标准形式 `ax^2 + bx + c = 0`；(2) 利用判别式 `D = b^2 - 4ac` 判断方程有无解，根据判别式的正负性分别讨论；(3) 若判别式大于0，则方程有两个不相等的实数根，可利用求根公式求解；(4) 若判别式等于0，则方程有两个相等的实数根，可利用求根公式求解；(5) 若判别式小于0，则方程无实数根，可利用虚数的概念给出方程的解；(6) 检验解的正确性，将解代入原方程验证。
4. 解题方法示例(1) 根据给定的一元二次方程，化为标准形式；(2) 计算判别式 `D` 的值；(3) 根据判别式的大小，分别给出方程的解；(4) 验证解的正确性。
5. 实际问题的应用教师通过一些实际问题的例子，引导学生将问题转化为一元二次方程，并解决问题。
6. 练习教师出示一些练习题，让学生自主解答，并进行批改。
7. 总结归纳教师总结前面所学内容，让学生对一元二次方程的解的求解方法有更深的理解和掌握。
五、教学延伸：1. 通过一元二次方程的相关应用问题，进一步提高学生的问题解决能力；2. 引导学生拓展思路，将一元二次方程与其他知识点相结合，培养学生的综合运用能力。
六、教学评价：1. 学生的课堂表现，包括积极性、参与度；2. 学生的解题能力，是否能独立解决一元二次方程的问题；3. 学生对概念的理解程度，是否能正确解释一元二次方程及其解的基本概念。
一元二次方程市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案模板
一元二次方程教案模板一、教学目标：1. 理解一元二次方程的定义及相关概念；2. 掌握一元二次方程的解法及解的个数；3. 能够灵活运用一元二次方程解决实际问题。
二、教学重点：1. 一元二次方程的表示方法；2. 一元二次方程的解的判定；3. 一元二次方程的解法及解的个数；4. 使用一元二次方程解决实际问题的策略。
三、教学内容：1. 一元二次方程的定义及相关概念：1.1 一元二次方程的定义：形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c分别为已知常数，a ≠ 0；1.2 一元二次方程的相关概念：根、系数、二次项、一次项、常数项等；1.3 一元二次方程的一般形式和标准形式。
2. 一元二次方程的解的判定：2.1 一元二次方程解的存在性：判别式b² - 4ac的符号决定一元二次方程的解的个数；2.2 判别式的意义及其在解个数判定中的作用；2.3 根的分布情况以图形方式进行解释。
3. 一元二次方程的解法及解的个数：3.1 一元二次方程的求根公式的推导及使用；3.2 解根公式的由来和意义；3.3 推导和应用解根公式的例题。
4. 使用一元二次方程解决实际问题的策略：4.1 将实际问题转化为一元二次方程；4.2 分析问题中的已知条件并建立方程；4.3 解出方程并验证解的可行性；4.4 结合解的意义给出实际问题的解答。
四、教学方法：1. 讲授法：通过讲解理论知识，介绍定义、公式和解题步骤；2. 归纳法：总结方程解法和实际问题解决的策略；3. 演示法：通过示例演示解方程和解决实际问题的过程；4. 练习法：让学生进行一元二次方程的解题练习，培养解决实际问题的能力。
五、教学资源：1. 教材：教科书、练习册；2. 课件：包含相关知识点的PPT；3. 其他教学辅助工具：黑板、白板、笔。
六、教学步骤：1. 引入：通过引发学生对实际问题的思考，引出一元二次方程的概念；2. 理论讲解：介绍一元二次方程的定义、相关概念、解的判定和解法；3. 解题演示：通过几个典型例题，演示一元二次方程的解法及解的个数的判定；4. 小组练习：将学生分成小组，让他们在小组内解决一些与现实问题相关的一元二次方程；5. 课堂讨论与总结：请学生展示解题过程，并讨论归纳一元二次方程解题的策略；6. 作业布置：布置相关课后练习题，巩固学生对一元二次方程的理解和应用能力。
人教初中数学九上《一元二次方程》教案 (公开课获奖) (2)
21.1 一元二次方程教学目标（三维目标）知识与技能目标：掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项过程与方法目标： 1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．情感态度与价值观目标：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．。
教学重点、难点重点：一元二次方程的意义及一般形式．难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”。
课型新授课教学准备、教学方法预习导航预习教材P2-3 认识一元二次方程的一般形式板书设计教学过程一、情境导入问题导入：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？教师二、新知探究（设计活动与知识点相对应）1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？（3）什么叫做分式方程？2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念．整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．3．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；个人（2）7x 2＋6＝2x （3x ＋1）； （3）7x 212= （4）6x 2＝x ；（5）2x 2＝5y ；（6）-x 2＝0(2)学生举例说一些一元二次方程，讨论。
4．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．ax 2称二次项，bx 称一次项，c 称常数项，a 称二次项系数，b 称一次项系数．一般式中的“a ≠0”为什么？如果a ＝0，则ax 2+bx+c ＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．5．例1 把方程3x （x-1）＝2（x ＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．三、例题讲解例1 把方程3x （x-1）＝2（x ＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．备课 四、巩固练习 分三个层次 单一知识点相对应练习、知识点综合训练、拔高训练，习题设计有选择余地练习1：教材P ．4中1，2． 练习2：下列关于x 的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：．032)1(2=++x ax 023)2(2=+mx x0128)1)(3(2=----m mx x m（4）（b 2＋1）x 2-bx ＋b ＝2； （5）2tx （x-5）＝7-4tx ．栏五、课堂小结（四）总结、扩展引导学生从下面三方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的区别和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义．六、作业设计1．教材P．4 练习2．2．思考题：1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x2项的方程叫做一元二次方程？”2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式（学有余力的学生思考）．教学反馈签字格式要求：①页面设置：页边距（厘米）：上：2厘米，下：2厘米，右：5厘米；行距设置为固定值18磅;纸张：A4。
初中九年级数学教案-一元二次方程-全国一等奖
3a26a2 019
＝3a22a2 019
＝3×22 019
＝2 025
【归纳总结】已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
课堂练习
（难点巩固）
1判断下列方程是否为一元二次方程
教师姓名
胡晓霞
单位名称
阿克苏市第十中学
填写时间
学科
数学
年级/册
九年级/上册
教材版本
人教版
课题名称
一元二次方程
难点名称
通过提出问题建立一元二次方程的数学模型，理解一元二次方程的概念
难点分析
从知识角度分析为什么难
从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，建立数学模型的过程，难度在于数量关系的分析和数学模型的选择。
师生活动：学生口答，师生共同归纳出一元二次方程的定义教师引导学生认识二次项及系数，一次项及系数，常数项
【归纳总结】一元二次方程的概念：等号两边都是整式, 只含有一个未知数一元，并且未知数的最高次数是2二次的方程，叫做一元二次方程
一元二次方程的一般形式是 ,其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数； 是常数项．
教学环节
教学过程
导入
【问题情境1】幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗
师生活动：教师展示问题，学生独立思考，小组内进行交流，若学生存在困难，教师可通过出示填空形式，m,则中间地毯的宽表示为 ,长表示为 ,则方程列为 ，整理得
教师追问：解决此类问题需要注意什么
初中九年级数学教案-《一元二次方程》-“十校联赛”一等奖
人教版数学九年级上册《一元二次方程》——教学设计石河子师范学校田霞人教版数学九年级上册第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程教学设计一、教学内容解析1.内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．2.内容解析本节课是概念课也是一元二次方程的起始课，它承载着学习方法、研究思路的引领作用.从教材的整体进行分析，方程问题始终以实际问题引入概念的，这样的设计：既分散列方程解决实际问题的教学难点，又使学生认识引入一元二次方程概念的现实必要性，同时循序渐进地培养学生从实际问题中抽象方程模型的能力.本节以实际问题为背景，建立数学模型，列出一元二次方程，引导学生观察这些方程的共同特点，并类比一元一次方程，归纳得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一元二次方程一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果．这样编排有利于学生理解并接收新知识，有充分地反映出一元二次方程以及有关概念来源于现实世界，是刻画现实世界的一个有效数学模型.二、学情分析学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程，在此基础上本节课将从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式.本班为自己任课的班级，平时对学生比较了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性，在练习题的设计上要针对学生的差异采取分层设计的方法。
该班学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，注重课堂教学的有效性。
三、教学目标与解析1.教学目标知识技能：1.理解一元二次方程的概念；2. 掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项；3.理解一元二次方程的根的意义，能够运用代入法检验根的正确性．数学思考：在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．问题解决：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移得到一元二次方程的概念．情感态度：通过用数学知识解决实际问题的思想激发学生的学习热情和积极性．2.目标解析（1）通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的次数升高，继而产生一元二次方程．学生能了解一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，培养学生分析问题和解决问题的能力及用数学思维的意识.（2）将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，让学生从数学符号的角度，完善一元二次方程的概念．学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数．（3）会判断一个数是否是一元二次方程的根.四、教学重点、难点重点：能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般形式.难点：把实际问题转化为一元二次方程的模型.五、教法与学法分析教法:在教学中,教师通过“问题情境——建立模型—一问题解决——反思拓展”的教学环节，让学生经历探究及数学建模的全过程,使学生能够抓住问题的本质,正确、熟练地运用一元二次方程解决实际问题,领会数学建模的思想和方法,提高数学的应用意识和应用数学知识解决实际问题的能力.学法:学生通过讨论,总结归纳本课的知识内容.六、教师准备：制作课件，精选习题七、时间分配：回顾—3分钟，一、创设情境导入新课——8分钟，二、实践探究交流新知——14分钟，三、开放训练体现应用——12分钟，四、课堂总结反思——8分钟七、教学过程设计。
人教版初中数学九年级上册 一元二次方程【全国一等奖】
一元二次方程教学目标1了解一元二次方程的概念；一般式a2＋b ＋c ＝0a≠0及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．2通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．3一元二次方程的一般形式及其有关概念，解决一些概念性的题目．4通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．教学重点一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．教学难点1通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 2判定一个数是否是方程的根．课时安排1课时．教学过程一、导入新课在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这就是黄金分割．按此比例，如果雕像的高为2 m ，那么它的下部应设计为多高如右图，雕像的上部高度AC 与下部高度BC 应有如下关系：AC ∶BC ＝BC ∶2，即AC 2BC 2=．设雕像下部高 m ，可得方程)2(22x x -=，整理得 0422=-+x x ．这个方程中有一个未知数，的最高次数是2．二、新课教学问题1：如下图，有一块矩形铁皮．长100 cm ．宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为36002cm ，那么铁皮各角应切去多大的正方形设切去的正方形的边长为 cm ，则盒底的长为100―2 cm ，宽为50―2 cm ．根据方盒的底面积为36002cm ，得100―250―2＝3 600．整理，得 0140030042=+-x x化简，得0350752=+-x x ．问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛全部比赛的场数为4×7＝28．设应邀请个队参赛，每个队要与其他－1个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共1)-x(x 21场． 列方程 281)-x(x 21=． 整理，得056-x -x 2=．思考：方程0422=-+x x 、0350752=+-x x 、056-x -x 2=有什么共同点教师引导学生思考、讨论．经过思考、讨论可以发现，这两个方程的两边都是整式；方程中只含一个未知数；未知数的最高次数都是2．归纳：1像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于的一元二次方程，经过整理，都能化成0c bx ax 2=++（a≠0）的形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；b 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．范例学习将方程3―1＝5＋2化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 分析：一元二次方程的一般形式是0c bx ax 2=++（a≠0）．因此，方程3―1＝5＋2必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：略．注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号．三、巩固练习见课件．四、课堂小结本节课要掌握：1一元二次方程的概念．2一元二次方程的一般形式0c bx ax 2=++（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．五布置作业习题第1、2、3题．。
初中九年级数学教案- 认识一元二次方程(区一等奖)
《一元二次方程》教学设计一、〖教学目标〗知识与技能： 1、了解一元二次方程的概念及一般形式；2、应用一元二次方程概念解决一些简单题目过程与方法：通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义 情感、态度与价值观：通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情二、〖教学重点、难点〗教学重点：一元二次方程的概念及其一般形式和用这些概念解决问题．教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．三、〖教学手段〗＋n ＝0 ⑶x1＋1＝0 ⑷2＝1 （只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程．其一般形式是ab=0，其中a 、b 是常数．）二、探索新知【问题1】如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形【分析】设切去的正方形的边长为 cm ，则盒底的长为__100－2cm __，宽为__50－2cm __．列方程__100－2·50－2＝3600__， 化简整理，得__2－75＋350＝0__．①【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛【分析】全部比赛共4×7=28场，设应邀请个队参赛，则每个队要与其它 （-1）队各赛1场，全场比赛共)1(21 x x 思考，回答学生通过分析设出合适的未知数，列出方程．问题1考虑从不同角度列方程，通过创设情境,引导学生复习一元一次方程的概念和一般形式,为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺垫．在现实生活中发现并提出简单的问题，吸引学生的。
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人教版《数学》九年级上册第21章第3节第2课时《一元二次方程与美丽的图形》教学设计单位:姓名：时间：【教学内容解析】：本节课的内容，是在学生学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题的基础上，通过学习“文化中感受美--探索中领悟美—交流中拓展美—练习中品味美—小节中收获美—作业中延续美”的过程，进一步讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题，并且在数量关系的复杂程度上又有了新的发展.课标要求：能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.本节内容的设置，正是《新课程标准》在知识点上呈螺旋上升趋势的具体体现，是用方程模型解决实际问题的发展，也为下一章学习二次函数的应用打下基础.【教学目标设置】：知识与能力：1、掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决问题.2、掌握通过利用图形移动，用化“零散为整体”的方法解决面积问题.3、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.过程与方法：1、经历探索列一元二次方程解决面积问题的过程.2、体验通过移动变化分析面积问题的方法.3、发展学生应用数学的意识.4、体会转化的数学思想.情感态度和价值观：让学生体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效地数学模型，感受和应用数学之美，感悟数学来源于生活，服务于生活；同时培养学生自我探索的兴趣和能力.教学重点：运用一元二次方程探索和解决面积问题.教学难点：利用图形移动化“零散为整体”，利用面积公式建立一元二次方程模型.【学生学情分析】：学生已经知道的：在学习一元一次方程及其应用和二元一次方程组、分式方程及其应用时，学生就已经经历了“问题情境—建立方程模型—解决问题”这一数学化过程，而且学生已经学会了解一元二次方程.学生能够自己解决的：初三学生的思维应该说已经具有一定的水平，对于矩形面积公式也能较灵活的应用，对于简单的有关面积的实际问题也能够通过寻找其中的数量关系来解决.学生需要教师指导的：学生对于面积问题的分析，图形的转化，根的取舍等需要通过学生的自主学习及教师的适时点拨、提升，总结.特别是利用转化的数学思想将图形“化零散为整体”的方法及用“割补法“求面积的方法需要教师及时的点拨、强调和总结.在教学过程中，教师还应从学生的积极性入手，挖掘学生的主动性和合作性，同时注意分层施教，增强学生克服困难的决心。
【教学策略分析】教法策略：本节课坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性.教学过程中，教师只注重点、引、激、评，注重学生探究能力的培养.还课堂给学生，让学生亲身体验知识的生成过程，拓展学生的创造性思维.同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生自我探索的兴趣和能力.所以本节课采用问题引导、启发讲授、直观演示、探究归纳的教学方法.学法策略：本节课的学习关键所在，是利用图形移动化“零散为整体”，利用面积公式建立一元二次方程模型从而准确列出方程解决问题.考虑到初三学生的思维应该说已经具有一定的水平，对于矩形面积公式也能较灵活的应用，对于简单的有关面积的实际问题也能够通过寻找其中的数量关系来解决，所以本节课采用探究体验、合作交流、当堂展示、相互评价的学习方法.【教学过程】（一）文化中感受美（探究体验） (播放视频：《未来——用数学方程预测的长相》)设计意图：通过对文化的欣赏，使学生认识到数学方程与现实图形的关系，激发了学生的好奇心和求知欲，调动了学生的积极性，为本节课揭示一元二次方程与美丽图形的关系做了铺垫，也提升了本节课教学内容的高度.（二）探索中领悟美（探究体验、当堂展示）如图是一个长25cm 、宽15cm 的长方体盒子.请同桌合作，在盒子上底面沿着水平方向和竖直方向各贴上一条宽度相等的矩形彩带，设计成一个漂亮的礼品盒.教师选四类不同的设计幼鱼（一）文化中感受美变身中成鱼进行展示展示：问：如果你设计的礼品盒上底面剩余空白部分面积为299cm ，请问彩带宽为多少？2问题引导：①解应用题的步骤是？②这四种方案中，哪种方案最容易列方程呢？为什么？③在自己设计的礼品盒上，怎样移动彩条，能将黄色空白部分转化成一个矩形呢？你能想出几种方法？直观展示：学生到讲台上展示四种不同的平移结果.启发讲授：我们知道，图形经过移动，它的面积大小不会改变。
这样，我们就可以通过移动彩条，把分散黄色空白部分组合成了一个矩形，我们称这个过程为化“分散为整体”从而更容易列出方程.解：（学生自主完成）设计意图：1、通过学生亲自探索列一元二次方程解决面积问题，分析找出等量关系，列方程检验作答，激发了学生自我探究的兴趣.2、鼓励学生积极探索问题，引导学生用移动的方法解决问题，培养学生灵活解题的能力.3、明确移动图形是本节课探索的重点，及时引导学生发现图形中存在的等量关系.（三）交流中拓展美（合作交流、当堂展示）1. 如图，我校为绿化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干宽度相等道路，余下部分种植草坪,草坪的总面积为540平方米.以下是三种设计方案，求各方案中道路的宽是多少米？请你设出未知数，列出方程.直观展示：多媒体动态展示两种不同的道路移动方法.探究归纳：通过移动图形来化“分散为整体”、利用面积公式建立一元二次方程模型是本节课的难点.2.剪一剪、拼一拼、移一移：如图，要设计一个平行四边形的花坛，花坛两邻边长分别为 80米、100米，两邻边所夹锐角为60°.在水平方向和竖直方向各有一条甬道，各条甬道的宽度相等，甬道面积是平行四边形面积的八分之一，甬道的宽为多少？问题引导：①这道题，我们想要化分散的草坪为整体，还能通过直接平移甬道实现吗？②根据前面的经验，我们把平行四边形转化成什么样的图形就可以了？③比较剪开前后两个图形，显然，这个矩形的长是100米，但是它的宽仍是80米吗？应该是多少？直观展示：1、学生到讲台展示剪、拼过程.2、多媒体动态展示剪、拼过程.设计意图：1、引导学生用不同的方法探究问题，用类比和化归的思想解决问题，最大限度的调动学生的积极性，拓展学生的思维.2、用问题串的形式设问，培养学生发现问题和解决问题的能力.3、“平行四边形中的问题怎么解决”是同学们最大的疑惑，鼓励学生通过合作交流和动手操作的方法探究和解决疑惑从而更好的突出重点、突破难点，增加学生探索的广度和深度.（四）练习中品味美（相互评价、当堂展示）1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图（2）所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm ，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是【】2A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=02.如图，是宽为20米，长为32米的矩形场地，要修建互相垂直的两条道路，纵向道路与横向道路的宽度比为3：2，要使剩余场地的面积为570平方米.（1）由题意，可设纵向道路宽为：米，则横向道路宽为：米；（2）可列方程为： .3.剪一剪、拼一拼、移一移：如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上下底分别为 100米、180米，高为80米，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各条甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的六分之一，甬道的宽为多少?设计意图：习题的反馈演练，进一步巩固了已有知识，突出了重点、难点，增强了学生问题的转化能力，渗透了数学建模思想，激发了学生持久学习的兴趣.（五）小结中收获美解应用题的步骤是： .列方程的关键是： .解决面积问题常用的方法是： .我还收获了：；；；.归纳拓展：1、这节课我们通过学习“用平移的方法“化分散为整体”，“用面积公式建立一元二次方程模型”，来解决实际问题.2、生活中还有很多的美好可以用美妙的数学方程来表达！比如下图是我们中学阶段接触到的三种圆锥曲线方程.有更多的美可以用数学来诠释！世界是一本以数学语言写成的书——伽利略用数学的眼光看待世界用数学的思维分析世界用数学的语言表达世界设计意图：1、及时进行知识整合，归纳解题方法，渗透数学思想与生活的联系，引导学生从感性认识上升到理性认识，培养学生归纳概括的习惯和能力.2、拓展学生思维，增加对方程与美丽图形认识的广度和深度，同时也与刚上课时的视频首尾呼应.（六）作业中延续美1.如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与平行,另一条与垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144平方米,求甬路的宽度?2.要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小小数点后一位）？设计意图：巩固本节课所学知识、方法和数学思想，突出重点，举一反三.【板书设计】：一元二次方程与美丽的图形---面积问题（32-x ）（20-x ）=540（32-2x ）（20-x ）=540（32-2x ）（20-2x ）=540 7(403)(100)1004038x x --=⨯⨯ 5(1402)(80)140806x x --=⨯⨯设计意图：.转化建模一元二次方程与美丽的图形——面积问题导学案班级：姓名：（一）文化中感受美（二）探索中领悟美如图是一个长25cm、宽15cm的长方体盒子.请同桌合作，在盒子上底面沿着水平方向和竖直方向各贴上一条宽度相等的矩形彩带，设计成一个漂亮的礼品盒.问：如果你设计的礼品盒上底面剩余空白部分面积为299cm ，请问彩带宽为多少？（三）交流中拓展美1.如图，我校为绿化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干宽度相等道路，余下部分种植草坪,草坪的总面积为540平方米. 以下是三种设计方案，求各方案中道路的宽是多少米？请你设出未知数，列出方程.2.剪一剪、拼一拼、移一移：如图，要设计一个平行四边形的花坛，花坛两邻边长分别为80米、100米，两邻边所夹锐角为60° .在水平方向和竖直方向各有一条甬道，各条甬道的宽度相等，甬面积是平行四边形面积的八分之一，甬道的宽为多少？（四）练习中品味美1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图（2）所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是【】A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=02.如图，是宽为20米，长为32米的矩形场地，要修建互相垂直的两条道路，纵向道路与横向道路的宽度比为3：2，要使剩余场地的面积为570平方米.（1）由题意，可设纵向道路宽为：米，则横向道路宽为：米；（2）可列方程为 .3.剪一剪、拼一拼、移一移：如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上下底分别为 100米、180米，高为80米，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各条甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的六分之一，甬道的宽为多少（五）小结中收获美解应用题的步骤是： .列方程的关键是： .解决面积问题常用的方法是： .我还收获了：；；；.用数学的眼光看待世界用数学的思维分析世界用数学的语言表达世界（六）作业中延续美1.如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与平行,另一条与垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144平方米,求甬路的宽度?2.要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？。