传热学上机C程序源答案之一维稳态导热的数值计算
一维稳态热传导方程的数值解法及其
由上两式有：
xe xe xe
e
P
E
（5）
此式即为界面上的当量导热系数调和平均公式，
它可以看成是串联过程中热阻叠加原则的反映。
当网格划分为均匀网格时
e
2P E P E
（4）
6.3 两种方法的比较
1）当λ E 0时，由4式λe 0，说明在一个绝热层
界面）
4）把物性阶跃面设置成一个节点的位置比作为控 制容积分界面，使计算结果会更加精确。（由于此种情
况阶跃面两侧温度梯度不同，如按3处理，相当于用平均值来代替，采用此种方法处理 时，物性阶跃面两侧温度梯度单独计算，提高了计算精度。）
一维稳态导热方程的离散形式可表示成：
aP T PaE T Ea W T W b
的表面上qe=0，合乎实际；但 3 式 λe 0;
2）如 P
分时， e
E
P
2
，按算术平均法，当网格为均匀划
E
P
2
则P，E间的导热阻力为
2
x
e
P
，说明P，E间的导
热热阻由导热系数大的决定 ，这是不对的。
若按调和平均法计算，由5式则导热热阻为
xe xexexe
w
TPxTwW
整理得：
TExT PTPxT WxSCSPTP0
e
w
e
w
TPxee xwwSpxTExeeTWxwwScx
简化成 aP T PaE T Ea W T W b （2）
§6 一维稳态热传导方程的数 值解法及其应用
6.1 一维稳态导热的通用控制方程
一维稳态导热方程离散化、边界条件及源项的处 理及非线性代数方程的求解方法等对对流问题数 值解也适用。 一维稳态导热微分方程的通用形式为
一维稳态导热问题数值计算
一维稳态导热问题数值计算刘强引言❖目前为止，一般稍微复杂的导热问题几乎都依靠数值法求解。
❖导热问题的数值法有三种：有限差分法，有限元法和边界元法。
本教材介绍目前在铸造领域温度场计算中普遍采用的直接差分法，也叫单元热平衡法。
❖基本思想：不用导热微分方程，而是直接通过能量守恒定律，根据相邻单元间的能量交换关系导出差热方程。
❖分析i 单元的热量平衡关系，从t n 到t n+1时间内，由i-1单元流入i 单元的热量为：=1Q x i T i T k n n ∆---)1()(x ∆⋅（1）由i 单元流入i+1单元的热量为：=2Q 由内能计算公式：t x i T i T k n n ∆⋅∆-+-)()1(Tm C Q p ∆=而在该时间内，得出单元的内能增量为：[])()(1i T i T C x Q n n p -∆=+ρ蓄（2）（3）根据能量守恒定律则能得出蓄Q Q Q =-21t x i T i T k n n ∆⋅∆---)1()([])()()()1(1i T i T C x t x i T i T k n n p n n -∆=∆⋅∆-+++ρ或是其中[])1()()2()1(1++-+-i T i T M i T M n n n tx M ∆⋅∆=α/上式即为显式差分格式（4）=+)(1i T n初始条件：边界条件：给定初始温度T （i ），i=1，2,3，…，N由初始和边界条件可计算区域内部各节点随时间t 变化的温度值：代表时间步常数给定边界温度n n N T T nn ,,2,1,0),(),1(⋅⋅⋅=),3,2,1;1,,3,2(),(⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=n N i i T n步骤如下由初始条件和边界条件知图中第0排的温度，知，其中由初始条件提供)1(~)2(T 00-N T 由边界条件提供，与)()1(00N T T 第一排的温度值)1,,3,2)(1(1-⋅⋅⋅=N i T 可由（4）式得到；再利用边界条件，得到),()1(11N T T 与即能得到第一排上的全部节点的温度再由（4）式和边界条件依次算得inT n⋅⋅⋅==⋅⋅⋅i),,),2,1;(,3,2(n显示与隐式差分格式)(1i T n +)(1i T n +)1()()1(+-i T i T i T n n n 、、在4式中，n+1排上的任一节点i 的温度只依赖在n 排上i 节点及相邻节点i-1、i+1的温度值换言之，就是可由明显地来表示出来⇒显示差分格式若用)1()()1(111+-+++i T i T i T n n n 、、时刻的温度去计算1+n t tx i T i Tk Q n n ∆⋅∆---=++)1()(111t x i T i T k Q n n ∆⋅∆-+-=++)()1(112,21Q Q 、则能得到（5）（6）结合（3）式便得到另一种差分格式)()1(1)()21()1(1111i T i T Mi T M i T M n n n n =+-++--+++（7）此式只是表示的时间水平不同，实际上⇒与（4）式形势完全一致式（7）即完全隐式差分格式谢谢。
一维稳态导热数值计算
一维稳态导热数值计算引言在工程和科学领域中，热传导是一个重要的问题，它涉及到物体内部的热量传递过程。
一维稳态导热是指物体在一个方向上的热传导过程，且不随时间变化。
为了分析和解决一维稳态导热问题，我们可以使用数值计算方法，如有限差分法。
本文将介绍一维稳态导热数值计算的基本原理和步骤。
基本原理一维稳态导热问题可以描述为以下的热传导方程：$$\\frac{{d}}{{dx}}(k \\frac{{dT}}{{dx}}) = 0$$其中，k是物质的热导率，T是温度。
我们需要根据边界条件和初始条件求解该方程的解析解或数值解。
在数值求解中，我们通常将问题的区域离散化，将连续变量转化为离散变量。
我们可以将区域划分为多个小区间，每个小区间内的温度和导热系数近似为常数。
然后，我们可以使用有限差分法来近似求解。
数值计算步骤为了进行一维稳态导热问题的数值计算，我们需要按照以下步骤进行操作：步骤 1：确定区域和边界条件首先，我们需要确定问题的区域，并确定边界条件。
区域可以是一根导热杆或其他具有一维结构的物体。
边界条件可以是固定温度或热流量。
步骤 2：离散化区域将区域离散化是数值计算的基础。
我们可以将区域划分为多个小区间，每个小区间内的温度和导热系数近似为常数。
确定离散化的步长可以根据问题的要求进行选择。
步骤 3：建立差分方程根据离散化后的区域，我们可以建立差分方程，将热传导方程转化为一个线性方程组。
在一维稳态导热问题中，通常采用中心差分法或其他差分格式进行近似。
步骤 4：求解线性方程组求解差分方程就是求解线性方程组。
我们可以使用常见的数值计算工具或算法，如高斯消元法或迭代法，来求解线性方程组。
根据边界条件的不同，方程组的形式也会有所不同，需要根据具体情况进行选择。
步骤 5：计算结果最后，根据线性方程组的解，我们可以计算出每个小区间内的温度分布。
可以根据具体需求进行进一步计算和分析。
总结本文介绍了一维稳态导热数值计算的基本原理和步骤。
一维稳态热传导方程的数值解法及其
具体步骤如下：（1）先假设一个温度分布初值；
（2）计算相应函数b, a n b 及 a p
（3）求解线性离散方程组； （4）由新的温度再计算函数（改进系数）；
（5）返回2后，再重复计算T，直到 104 为止。
其中
Tn1 Tn
Tn
设初值为T*，迭代后新的温度分布为T，
例如在热传导问题中SP为正值，意味着TP增加，源项热源也增加，如果这时没有有效的散热机构，可能会反 过来导致温度的升高，如此反复下去，造成温度飞升的不稳定现象。
为了保证代数方程迭代求解的收敛。Δν为控制容积的体积， 线性代数方程迭代求解收敛的一个充分条件是对角占优，即
ap anbSPV
ap anb
,这里A是控制体积界面的面积，这里取1，于是ΔV= ΔX
从而有
d dT x e d dT x w xSCSP T P0
对扩散项T 随x 呈分段线性分布得：
dT dx
e
e
TExTeP理得：
TExT ePTPxT w WxSCSPTP0
e
w
TPxee xwwSpxTExeeTWxwwScx
1) S c =4 S p=-5
2) S c =4-5Tp* S p=0
3) S c =4+7Tp* S p=-12
2）中将S作为常数（以上一次迭代计算的T*计算S）处理，使源项相对于T永远有一 个滞后；1）中Tp是迭代计算当前值使S能更快跟上Tp的变化；3）比实际的S~ T 关系更陡的曲线，使迭代收敛速度减慢，相当于欠松弛。
一维稳态导热方程的离散形式可表示成：
aP T PaE T Ea W T W b
1
aE
传热学2.3 典型一维稳态导热问题的分析解
1笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式·)()()(Φ+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ztz y t y x t x t c λλλτρ边界条件——导热物体边界上温度或换热情况第一类边界条件()0w t f ττ>=时第二类边界条件20()()w tf nτλτ∂>−=∂时第三类边界条件()()w w f th t t nλ∂−=−∂定解条件初始条件——初始时间温度分布非稳态项扩散项源项物理问题→数学描写→微分方程①导热系数为常数c zt y t x t a tρτ·222222)(Φ+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂②导热系数为常数 、无内热源 222222()t t t ta x y zτ∂∂∂∂=++∂∂∂∂③导热系数为常数 、稳态·2222220t t t x y z λ∂∂∂Φ+++=∂∂∂简化④导热系数为常数 、稳态 、无内热源 2222220t t tx y z ∂∂∂++=∂∂∂·)()()(Φ+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ztz y t y x t x t c λλλτρ⑴ 物理问题：大平壁，λ=const.⑵ 数学描写：微分方程边界条件·)()()(Φ+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂z tz y t y x t xt c λλλτρ导热微分方程稳态、一维、无内热源、常物性t 1t 2q oδxtdx1. 单层平壁⑶ 解微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧=−=⇒12121t c t t c δ112t x t t t +−=δ线性分布带入Fourier 定律δ12d d t t x t −=⇒)(12λδλδδλA ttt t q Δ=ΦΔ=−−=⇒—— 温度分布—— 通过平壁导热的计算公式共同规律可表示为 :2.热阻的含义过程中的转换量 = 过程中的动力 / 过程中的阻力)(λδA tΔ=Φ如：欧姆定律A R R A δδλλ==热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况RU I /=平板导热:转移过程的动力转移过程的阻力导热过程的转移量面积热阻热阻tq δλΔ=}多层平壁：由几层不同材料组成}例：房屋的墙壁 — 白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成}假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等边界条件：⎪⎩⎪⎨⎧====+=∑1110n n i i t t x t t x δ热 阻：nn n r r λδλδ==,,111L 3.多层平壁的导热t 1t 2t 3t 4t 1t 2t 3t 4三层平壁的稳态导热热阻的特点：串联热阻叠加原则：在一个串联的热量传递过程中，若通过各串联环节的热流量相同，则串联过程的总热阻等于各串联环节的分热阻之和。
一维传热问题数值计算
一维传热问题数值计算
一维传热问题是热传导理论中的经典问题，涉及热量在一个维
度上的传递和分布。
数值计算一维传热问题通常涉及使用数值方法
来模拟热量在材料中的传递和分布。
这个问题在工程、物理学和材
料科学等领域都有重要的应用。
首先，我们可以考虑使用有限差分法来数值计算一维传热问题。
有限差分法将材料空间离散化为若干个网格点，然后利用热传导方
程进行离散化，最终转化为一个差分方程。
通过迭代求解这个差分
方程，我们可以得到材料中温度随时间和空间的分布。
这种方法通
常需要考虑边界条件和初始条件，以及选择合适的时间步长和空间
步长。
另外，有限元法也是计算一维传热问题的常用数值方法。
有限
元法将材料分割为有限个小单元，然后利用单元间的热传导关系建
立整个系统的方程。
通过求解这些方程，可以得到材料中温度的分布。
有限元法通常适用于复杂几何形状的材料，并且可以很好地处
理不均匀材料性质的情况。
除了这些基本的数值方法，还可以考虑使用计算流体动力学
（CFD）方法来模拟一维传热问题。
CFD方法可以更全面地考虑流体在传热过程中的影响，适用于液体或气体在管道或其他结构中的传热问题。
在进行数值计算一维传热问题时，需要注意选择合适的数值方法和参数，以确保计算结果的准确性和稳定性。
同时，还需要考虑材料的热物性参数、边界条件、初始条件等因素，以保证数值模拟的真实性和可靠性。
总之，数值计算一维传热问题涉及多种数值方法和复杂的物理过程，需要综合考虑材料性质、边界条件和数值方法的选择，以获得准确而可靠的计算结果。
热传导和导热系数的计算
热传导和导热系数的计算热传导是指热量在物体内部由高温区向低温区传递的过程，它是固体、液体和气体等物质的一种基本热传递方式。
热传导的计算通常涉及到导热系数这个物理量，它是一个材料特性，用来描述材料内部热量传递的能力。
一、热传导的基本公式1.一维稳态热传导：对于一维稳态热传导，热量在物体内部的传递可以用傅里叶定律来描述：[ q = -kA ]其中，( q ) 是单位面积的热流量（W/m^2），( k ) 是导热系数（W/m·K），( A ) 是物体的横截面积（m^2），( ) 是温度梯度（K/m）。
2.二维和三维稳态热传导：对于二维和三维稳态热传导，热量在物体内部的传递可以用傅里叶定律的微分形式来描述：[ = ]其中，( q ) 是单位体积的热流量（W/m^3），( t ) 是时间（s），( ) 是热扩散系数（m^2/s），( T ) 是温度（K或°C），( ) 是温度梯度的二阶导数。
二、导热系数的定义和影响因素导热系数（k）是描述材料内部热量传递能力的物理量，单位为W/m·K。
导热系数反映了材料在单位厚度、单位温差条件下，单位时间内通过单位面积的热量。
2.影响因素：a)材料的种类：不同材料的导热系数不同，金属的导热系数一般较大，而绝缘材料的导热系数较小。
b)温度：材料的导热系数随温度的变化而变化，一般情况下，随着温度的升高，导热系数增大。
c)湿度：对于多孔材料，湿度对导热系数有较大影响，湿度越大，导热系数越大。
d)孔隙率：对于多孔材料，孔隙率越大，导热系数越小。
三、常见材料的导热系数以下是一些常见材料的导热系数（单位：W/m·K）：1.金属：40-460（如铜：380，铝：237）2.木材：0.1-0.2（如松木：0.14，柚木：0.2）3.塑料：0.1-1.5（如聚乙烯：0.4，聚丙烯：1.0）4.玻璃：1-2（如普通玻璃：1.1，高强度玻璃：1.6）5.空气：0.026（在常温常压下）四、热传导和导热系数的应用1.建筑领域：热传导和导热系数的计算在建筑领域具有重要意义，可以用于设计保温层、隔热材料等，以提高建筑的能源效率。
一维稳态导热数值解法matlab
一维稳态导热数值解法matlab 导热是物体内部热量传递的一种方式，对于一维稳态导热问题，我们可以使用数值解法来求解。
MATLAB是一种强大的数值计算软件，可以方便地实现一维稳态导热数值解法。
首先，我们需要了解一维稳态导热问题的基本原理。
一维稳态导热问题可以用一维热传导方程来描述，即：d²T/dx² = Q/k其中，T是温度，x是空间坐标，Q是热源的热量，k是热导率。
我们需要求解的是温度T在空间上的分布。
为了使用数值解法求解这个方程，我们需要将空间离散化。
假设我们将空间分成N个小区间，每个小区间的长度为Δx。
我们可以将温度T在每个小区间的位置上进行离散化，即T(i)表示第i个小区间的温度。
接下来，我们可以使用有限差分法来近似求解热传导方程。
有限差分法的基本思想是用差分代替微分，将微分方程转化为差分方程。
对于一维热传导方程，我们可以使用中心差分公式来近似求解：(T(i+1) - 2T(i) + T(i-1))/Δx² = Q(i)/k其中，Q(i)是第i个小区间的热源热量。
将上述差分方程整理后，可以得到：T(i+1) - 2T(i) + T(i-1) = (Q(i)/k) * Δx²这是一个线性方程组，我们可以使用MATLAB的矩阵运算功能来求解。
首先，我们需要构建系数矩阵A和常数向量b。
系数矩阵A是一个(N-1)×(N-1)的矩阵，其中A(i,i) = -2，A(i,i+1) = A(i,i-1) = 1。
常数向量b是一个(N-1)维的向量，其中b(i) = (Q(i)/k) * Δx²。
然后，我们可以使用MATLAB的线性方程组求解函数来求解这个方程组。
假设我们将求解得到的温度向量为T_solve，那么T_solve就是我们所求的稳态温度分布。
最后，我们可以使用MATLAB的绘图功能来可视化温度分布。
通过绘制温度随空间坐标的变化曲线，我们可以直观地观察到温度的分布情况。
4 稳定态导热问题的数值解
4 稳定态导热问题的数值解在稳定态时，固体或者静止流体内部导热方程可以写成以下形式：v T T T q x x y y z z λλλ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4-1)4.1 一维稳定态导热的差分方程对于一维稳态导热问题，式(4-1)可以写成：0v T q x x λ∂∂⎛⎫+= ⎪∂∂⎝⎭(4-2) 式(4-2)可以直接进行积分，采用分析解法得到其解析解。
本节利用数值解法，采用差分方法，建立一维导热问题的差分方程。
基本思路是先针对简单的一维问题，介绍将微分方程变为差分方程的基本方法。
一维情况的控制体如图4-1所示。
空间网格划分采用方法A ，主节点为P 节点。
图4-1 一维导热问题的控制体 对于式4-2，在控制体上采用中心差分，可得：()10v e w i T T q x x x λλ⎡⎤∂∂⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎢⎥∆∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦(4-3) 两边同时乘以控制体的体积()i x ∆()0v i e wT T q x x x λλ∂∂⎛⎫⎛⎫-+∆= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()0e w v i e wT T q x x x λλ∂∂⎛⎫⎛⎫-+∆=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ (4-4)在界面上继续采用中心差分，可得：()()()0P W E Pew v i e wT T T T q x x x λλδδ---+∆= (4-5)令：()()e w E W e wa a x x λλδδ==，v u P P q S S T =+（源项线性化处理）。
整理可得：()()()()0E E P W P W u P P i a T T a T T S S T x -+-++∆=()()E E W W u E W P P i i a T a T S x a a S x T ⎡⎤++∆=+-∆⎣⎦令：()E W P P i a a S x a +-∆=，()u i S x b ∆=则：P P E E W W nb nba T a T a Tb aT b =++=+∑ (4-6)上式即为一维稳定态导热问题内部节点的差分方程。
3传热学-一维稳态导热
L
1 + h 1 ⋅ 2 π r1
∑
n
i =1
3 通过空心球壁的导热
Heat conduction through a spherical shell
第一类边界条件
Constant surface temperature
热导率λ=C, 圆筒内径r1, 外径r2, 无内热源
•微分方程
Heat equation
• 热流密度
Heat flux
t w1 − t w 2 dt 1 q = −λ =λ ⋅ 2 = f (r ) dr 1 / r1 − 1 / r2 r t w1 − t w 2 1 1 1 − 4πλ r1 r2
• 热流量
Heat rate Φ = − λ A dt = dr
• 热流量
Heat rate
材料热导率随温度而变
λ= λ0(1+bt) •微分方程
Heat equation
d dx t t
dt λ =0 dx = t w1 = tw2
• 边界条件
Boundary condition
x=0 x =δ
• 温度分布
Temperature distribution
t A − tB Rc = q
7 延伸体的导热
Heat conduction from extended surfaces
Fin configurations
延伸体的种类
Straight Fins of uniform cross section
7.1 等截面直肋
假设(Assumptions)
r = r1
r = r1 → r 2
计算传热学第6节-第2章 一维导热3
TP1 =0.334T =0.334*4.64+2.118=3.67 P2+2.118
TP2 =0.602*5.24+1.49=4.64 TP3 =0.718*5.45+1.328=5.24
P4
P5 Pa Pb
代入可得 aP1=aP10 aP2=aP20 aP3=aP30 aP4=aP40 aP5=aP50
= = = = =
aE1(TP1,TP2)TP2+aW1(TP1)Tpa +6 aE2(TP2,TP3)TP3+aW2(TP2,TP1)TP1+6 aE3(TP3,TP4)TP4+aW3(TP3,TP2)TP2+6 aE4(TP4,TP5)TP5+aW4(TP4,TP3)TP3+6 aE5(TP5) TPb+aW5(TP5,TP4)TP4+6
解方程可得 TP1=TP11 TP2=TP21 TP3=TP31 TP4=TP41 TP5=TP51 代入可得 aP1=aP11 aP2=aP21 aP3=aP31 aP4=aP41 aP5=aP51
Pa Pb
TPa =3 TPb =5 解方程可得 TP1=TP1n TP2=TP2n TP3=TP3n TP4=TP4n TP5=TP5n
一维导热讨论问题
导热系数为x的函数λ
Pa P1 P2
λ=10W/m·k
(x)
P3
λ=50W/m·k P4 P5 Pb T=5℃
T=3℃
Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m
一维稳态热传导方程
一维稳态热传导方程
一维稳态热传导方程
一维稳态热传导方程是热传导问题的基本方程，其中，热传导系数K是用温度未变量的函数。
热传导方程的求解是热储存问题的基本算法，常用Finite element法和Finite Difference法求解。
一维稳态热传导方程
一维稳态热传导方程用来描述传统的单调方程热导率, 它表示
时间和空间的变化：
/d2T/dx2 + q_e = 0
其中：/d2T/dx2 为温度对x的二阶导数，q_e 为热源或热损失。
一般应用条件
1. 物质性质不变：
流体恒定的密度和热容，固体恒定的力学强度，导热系数和热容。
2. 境界条件：边界条件需要定义，自由表面是定义化学反应率的温度，或热损失。
热传导方程的求解
常用Finite element法和Finite Difference法求解。
Finite element法：采用有限元素方法，把区域分成小的等边形或三角形元素，然后求解每一个元素对应的温度场。
Finite Difference法：将方程化为一组一次方程组，然后由矩阵的求解得到方程组的解。
结论
一维稳态热传导方程是热传导问题的基本方程，其中，热传导系数K是用温度未变量的函数，然后常用Finite element法和Finite Difference法求解。
一维稳态导热
§2-3 一维稳态导热（Steady-State Conduction）
一维稳态导热： t 0 ； t=t(n) τ
gratddt dn
0C m
ΦλA gratdλA dt常数 dn
4
一、通过平壁的导热 平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因 而平板两侧保持均匀边界条件的稳态导 热就可以归纳为一维稳态导热问题。 从平壁的结构可分为单层壁，多层壁和 复合壁等类型 。
t2
t1
q 1 1
700 ℃
t3
t2
q
2 2
289 ℃
硅藻土层的平均温度为
t2 t3 499℃ 2
19
3.复合平壁
当B与C相差不是很 大时，是一维流动 。
t总 R d总
20
二、通过圆筒壁的导热 圆筒壁就是圆管的壁面。当管子的壁面
相对于管长而言非常小，且管子的内外壁 面又保持均匀的温度时，通过管壁的导热 就是 t=t(r) 的一维导热问题。
21
1、通过单层圆筒壁的导热
A(r) dt 2rl dt
dr
dr
分离变量： tw2 dt r2 dr
tw1
r1 2 l r
r
积分得：
tw2
t w1
2 l
ln
r2 r1
t1 r1
t2
r2
22
tw1tw2 tw1tw2 t 1 lnr2 1 lnd2 R
2l r1 2l d1
Rd
17
解：已知 1＝0.24m,
1=1.04W/(m℃) 2＝0.05m, 2=0.15W/(m℃) 3＝0.115m, 3=0.63W/(m℃) t1=1000℃
t2=60℃
一维稳态热传导方程
一维稳态热传导方程
* 《二维共轭热传导方程》.doc
### 二、计算方法
1、一维稳态热传导方程求解
稳态热传导方程可以把热温度当成一种流体，速度可以理解为温度的变化率。
求解一维稳态热传导方程，可以根据牛顿热传导方程： $frac{partial T(x,t)}{partial t} = frac{kappa}{
ho C_p} frac{partial ^2 T(x,t)}{partial x^2}$ 其中$T$是温度，$kappa$是传热系数，$
ho$是物质密度，$C_p$是比容热容量。
根据牛顿热传导方程，可以用有限差分法(finite difference method)来求解一维稳态热传导方程。
这种方法基本思路是用一系列
离散点近似地描述出温度分布，用差分公式及多项式估算温度的变化，进而求解出待求温度分布。
2、二维共轭热传导方程求解
二维共轭热传导方程可以表示为：
$frac{partial^2 T(x,y)}{partial x^2} + frac{partial^2
T(x,y)}{partial y^2} = 0$
一般来讲，我们可以将二维共轭热传导方程拆分成一维的，用有限差分法就可以求解出温度分布。
也可以用拉普拉斯变换法求解，也可以用三角形网格法，或者用椭圆分形网格法。
- 1 -。
计算传热学2
k i
k +1 i
−t
k i
t
<ε
t
k +1 1
,t
k +1 2
,L t
k +1 即为计算数值解 i
缺点：收敛慢。
27
2、高斯-赛德尔迭代法 为了加速 加速整个迭代计算过程，改进简单迭代法。 加速 。 即：每次迭代时总是使用节点温度的最新数值。 每次迭代时总是使用节点温度的最新数值。 例如，设定初场后
2H ch[m( x − H ) = 0.03, t3 = t f + θ0 = 93.35 3 ch( mH ) 3H ch[m( x − H ) x4 = = 0.045, t4 = t f + θ 0 = 92.53 ch( mH ) 3 x3 =
误差大， 误差大，网 格划分太疏
8
（2）若肋片端部为第三类边界条件 节点方程4：
25
代入方程，第一次迭代
ti1 = ai , j t 0 + ci j
i = 1, 2,L n
1 0 0 t1 = a1,1t10 + a1,2t2 + a1,3t3 + L + c1 1 0 0 t2 = a2,1t10 + a2,2t2 + a2,3t3 + L + c2
t , t ,L t
1 i
29
例. 用迭代法求解下列方程组
8t1 + 2t2 + t3 = 29 t1 + 5t2 + 2t3 = 32 2t + t + 4t = 28 1 2 3
1 t1 = 8 (29 − 2t2 − t3 ) 1 t2 = (32 − t1 − 2t3 ) 5 1 t3 = (28 − 2t1 − t2 ) 4
传热学一维稳态导热
传热学一维稳态导热传热学是物理学和工程学中一个重要的分支，研究热量在物质中的传递过程。
在传热学中，导热是其中一个重要的热传递方式。
导热是指热量通过传导传递，不涉及物质的移动。
在一维稳态导热的条件下，我们将详细介绍导热的基本原理和计算方法。
一维稳态导热的基本理论一维稳态导热是指热量沿一个方向传导，而且在传导过程中温度分布保持不变。
在一维稳态导热中，我们可以使用傅立叶热传导定律来描述热量的传导过程。
傅立叶热传导定律表明，单位时间通过导热展面的热流量与温度变化率成正比。
数学上可以表示为：$$ q = -k\\frac{{dT}}{{dx}} $$其中，q表示单位时间通过导热展面的热流量，k表示导热系数，dT表示温度的变化量，dx表示距离的微小变化量。
导热系数k是物质的属性，用于衡量物质传热的能力。
单位为W/(m·K)。
根据傅立叶热传导定律，可以得到温度随距离变化的微分方程。
在一维稳态导热中，由于温度分布保持不变，微分方程可以简化为：$$ q = -k\\frac{{dT}}{{dx}} = const $$这意味着在一维稳态导热中，热流量在传导过程中保持不变。
这是因为传热过程中能量守恒的原理。
一维稳态导热的计算方法在一维稳态导热的条件下，我们可以通过解微分方程来计算温度分布和热流量。
以下是一维稳态导热计算的基本步骤：1.确定热传导的边界条件：在一维稳态导热中，通常需要给定两个边界条件，例如温度或热流量。
这些边界条件用于确定问题的求解范围和约束条件。
2.确定物质的导热性质：导热系数k是物质传热能力的关键参数，需要根据材料的物性参数进行选择。
通常可以通过查表或实验来获取。
3.设定坐标系和建立微分方程：在一维稳态导热中，需要选择一个坐标系，并根据傅立叶热传导定律建立微分方程。
根据边界条件确定微分方程的边界条件。
4.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到温度随距离变化的数学表达式。
这将给出热流量和温度分布的解析解。
传热学-第3章-稳态导热的计算与分析
d dr
r
dt dr
0
对方程积分两次，可得通解为：
t c1 ln r c2
积分常数c1和c2由边界条件确定，
c1
tw1
ln r2
tw2
r1
c2
tw1
tw1
tw2
ln r1
ln r2 r1
圆筒壁的温度分布为：
t
tw1
tw1
tw
2
ln r ln r2
r1 r1
51
3.2.2 第一类边界条件下常物性、无内热源的圆筒壁
t x tw2
积分两次，得到通解为：
t c1x c2
10
3.1.2 第一类边界条件下的常物性、无内热源的平壁
t c1x c2
得到平壁内的温度分布为：
t
tw2 tw1
x
tw1
根据傅立叶定律，可求得通过平壁的
热流量和热流密度
Φ A dt A tw1 tw2 A t
dx
q dt tw1 tw2 t
第3章 稳态导热的计算与分析
导热的理论基础： ——导热的基本定律 ——导热微分方程
工程中的许多问题，直接利用三维、非稳 态的导热微分方程进行求解是没有必要的
可根据具体问题的特点进行简化
1
第3章 稳态导热的计算与分析
分析工程问题时，需要作出适当的简化和假设 稳态导热便是其中最重要也是最常用的简化之一 ——处于正常运行工况时的物体，可以看作处于稳定状
q
tw1 tw4
1 2 3
1 2 3
29
3.1.5 常物性、无内热源的多层平壁
❖ 由热流密度相等的原则可依 次求出各层间分界面上的温 度，即
传热学上机C程序源答案之一维非稳态导热的数值计算
二维稳态导热的数值计算2.1物理问题一矩形区域，其边长L=W=1，假设区域内无内热源，导热系数为常数，三个边温度为T1=0，一个边温度为T2=1，求该矩形区域内的温度分布。
2.2 数学描述 对上述问题的微分方程及其边界条件为：2222T T 0x y∂∂+=∂∂ x=0，T=T 1=0x=1，T=T 1=0y=0，T=T 1=0y=1，T=T 2=1 该问题的解析解：112121(1)sin n n n sh y T T n L x n T T n L sh W L ππππ∞=⎛⎫⋅ ⎪---⎛⎫⎝⎭=⋅ ⎪-⎛⎫⎝⎭⋅ ⎪⎝⎭∑ 2.3数值离散2.3.1区域离散区域离散x 方向总节点数为N ，y 方向总节点数为M ，区域内任一节点用I,j 表示。
2.3.2方程的离散 对于图中所有的内部节点方程可写为：2222,,0i j i jt t x y ⎛⎫⎛⎫∂∂+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 用I,j 节点的二阶中心差分代替上式中的二阶导数，得：+1,,-1,,+1,,-1222+2+0i j i j i ji j i j i j T T T T T T x y --+=上式整理成迭代形式：()()22,1,-1,,1,-12222+2()2()i j i j i j i j i j y x T T T T T x y x y ++=++++ (i=2,3……,N -1)，(j=2,3……,M -1)补充四个边界上的第一类边界条件得：1,1j T T = (j=1,2,3……,M),1N j T T = (j=1,2,3……,M),1i j T T = (i=1,2,3……,N),2i M T T = (i=1,2,3……,N)#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 10#define K 11main(){int i,j,l;float cha;float a,x,y,Fo,Bi;float t[N][K],b[N][K];/*打印出题目*/printf("\t\t\t一维非稳态导热问题\t\t");printf("\n\t\t\t\t\t\t----何鹏举\n");printf("\n题目：补充材料练习题三\n");y=1;/*y代表Δτ*/x=0.05/(N-1);a=34.89/(7800*712);Fo=(a*y)/(x*x);Bi=233*x/34.89;printf("\n显示格式条件:");printf("\n1、Fo=%3.1f<0.5\t",Fo);printf("\t2、1-2Fo*Bi-2Fo=%4.2f>0\n\n",1-2*Fo*Bi-2*Fo);/*时刻为零时，赋予初场温度*/for(i=0;i<N;i++)t[i][0]=1000;/*循环开始，每次计算一个时刻*/for(j=0;j<K-1;j++){for(i=0;i<N;i++)b[i][j]=t[i][j];/*下面对每一个时刻进行迭代求解对应的温度分布，公式按传热学课本P178页公式*/ cha=1;while(cha>0.001){for(i=0;i<N-1;i++){if(i==0)t[i][j+1]=Fo*(t[i+1][j]+t[i+1][j])+(1-2*Fo)*t[i][j];/*当计算t[0]时，要用到t[-1],其中t[-1]=t[2]的(对称分布)*/elset[i][j+1]=Fo*(t[i+1][j]+t[i-1][j])+(1-2*Fo)*t[i][j];t[N-1][j+1]=t[N-2][j]*(1-2*Fo*Bi-2*Fo)+2*Fo*t[N-1][j]+2*Fo*Bi*20;/*边界点温度用热平衡法推导出公式*/}cha=0;for(i=0;i<N;i++)cha=cha+abs(t[i][j]-b[i][j]);cha=cha/N;}}/*输出温度分布，其中l控制输出值的排列;这个结果是横轴为x，纵轴为τ的直角坐标下从左上角开始依次的*/printf("\n经数值离散计算的温度分布为：\n");l=0;for(j=K-1;j>=0;j--)for(i=0;i<N;i++){if(t[i][j]>999.99)printf("%6.1f ",t[i][j]);elseprintf("%6.2f ",t[i][j]);l=l+1;if(l==N){printf("\n");l=0;}}getchar();/*为了是生成的exe文件结果算的后不会立即退出，方便观看*/}。
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一维稳态导热的数值计算
1.1物理问题
一个等截面直肋，处于温度t∞=80
的流体中。
肋表面与流体之间的对流换热系数为
h=45W/(m2∙℃),肋基处温度tw=300℃，肋端绝热。
肋片由铝合金制成，其导热系数为λ=110W/(m ∙℃)，肋片厚度为δ=0.01m，高度为H=0.1m 。
试计算肋内的温度分布及肋的总换热量。
1.2数学描述及其解析解
引入无量纲过余温度
θ=t -t∞tw -t∞，则无量纲温度
描述的肋片导热微分方程
及其边界条件：22
20d m dx
θθ-=
x=0,θ=θw =1 x=H,
0x
θ∂=∂ 其中 A
hp
m =
λ上述数学模型的解析解为：[()]
()()
w ch m x H t t t t ch mH ∞∞--=-⋅
()()w hp
t t th mH m
∞∅=
-
1.3数值离散
1.3.1区域离散
计算区域总节点数取N 。
1.3.2微分方程的离散
对任一借点i 有：22
20i d m dx θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
用θ在节点i 的二阶差分代替θ在节点i 的二阶导数，得：211
2
20i i i i m x θθθθ+--+-=
整理成迭代形式：()1122
1
2i i i m x θθθ+-=++ (i=2,3……,N-1)
1.3.3边界条件离散
补充方程为：11w θθ==
右边界为第二类边界条件，边界节点N 的向后差分得：1
0N N x
θθ--=，将此式整理为
迭代形式，得：N 1N θθ-=
1.3.4最终离散格式
11w θθ==
()1
1221
2i i i m x
θθθ+-=
++ (i=2,3……,N-1) N 1N θθ-=
1.3.5代数方程组的求解及其程序
假定一个温度场的初始发布，给出各节点的温度初值：01θ，02θ，….，0
N θ。
将这些初
值代入离散格式方程组进行迭代计算，直至收敛。
假设第K 步迭代完成，则K+1次迭代计算式为：K 1
1
w θθ+=
()
11
11
2212i i K K K i m x
θθθ+-++=
++ (i=2,3……,N-1) 1
11N K K N θθ-++=
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define N 11
main()
{
int i;
float cha;/*cha含义下面用到时会提到*/
float t[N],a[N],b[N];
float h,t1,t0,r,D,H,x,m,A,p; /*r代表λ,x代表Δx，D代表δ*/
printf("\t\t\t一维稳态导热问题\t\t");
printf("\n\t\t\t\t\t\t----何鹏举\n");
printf("\n题目：补充材料练习题一\n");
printf("已知：h=45，t1=80, t0=200, r=110, D=0.01, H=0.1 (ISO)\n");
/*下面根据题目赋值*/
h=45.0; t1=80.0; t0=300.0; r=110.0; D=0.01; H=0.1;
x=H/N; A=3.1415926*D*D/4; p=3.1415926*D; m=sqrt((h*p)/(r*A));
/*x代表步长，p代表周长，A代表面积*/
printf("\n请首先假定一个温度场的初始分布，即给出各节点的温度初值：\n");
for(i=0;i<N;i++)
{
scanf("%f",&t[i]);
a[i]=(t[i]-t1)/(t0-t1);
b[i]=a[i];/*这里b[i]用记录一下a[i]，后面迭代条件及二阶采用温度初场要用到*/ }
/*采用一阶精度的向后差分法数值离散*/
cha=1;
while(cha>0.0001)
{
a[0]=1;
for(i=1;i<N;i++)
a[i]=(a[i+1]+a[i-1])/(2+m*m*x*x);
a[N-1]=a[N-2];
cha=0;
for(i=0;i<N;i++)
cha=cha+a[i]-b[i];
cha=cha/N;/*cha代表每次迭代后与上次迭代各点温度差值的平均值*/
}
for(i=0;i<N;i++)
t[i]=a[i]*(t0-t1)+t1;
printf("\n\n经数值离散(一阶精度的向后差分法)计算得肋片的温度分布为:\n");
for(i=0;i<N;i++)
printf("%4.2f\t",t[i]);
printf("\n\n");
getchar();
/*采用二阶精度的元体平衡法数值离散(温度初值还用设定的初场，便于比较)*/ for(i=0;i<N;i++)
a[i]=b[i];
cha=1;
while(cha>0.0001)
{
a[0]=1;
for(i=1;i<N;i++)
a[i]=(a[i+1]+a[i-1])/(2+m*m*x*x);
a[N-1]=a[N-2]/(1+0.5*m*m*x*x);
cha=0;
for(i=0;i<N;i++)
cha=cha+a[i]-b[i];
cha=cha/N;
}
for(i=0;i<N;i++)
t[i]=a[i]*(t0-t1)+t1;
printf("\n\n经数值离散(二阶精度的元体平衡法)计算得肋片的温度分布为:\n"); for(i=0;i<N;i++)
printf("%4.2f\t",t[i]);
printf("\n\n");
getchar();
}
-----精心整理，希望对您有所帮助!。