偏微分方程数值解法

《偏微分方程数值解法》

课 程 设 计

题 目： 六点对称差分格式解热传导方程的初边值问题 姓 名： 王晓霜 学 院： 理学院 专 业： 信息与计算科学 班 级： 0911012 学 号：

指导老师：翟方曼

2012年12月14日

一、题目

用六点对称差分格式计算如下热传导方程的初边值问题

已知其精确解为

二、理论

1．考虑的问题

考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x

u a t u +∂∂=∂∂，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类：

第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：

（1.2） ()()x x u ϕ=0,, ∞<<∞-x

第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：

()13.1 ()()x x u ϕ=0,, l x l <<-

及边值条件

()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0

假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近

取 N l h =为空间步长，M

T =τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =； τk y y k ==, ()M k ,,1,0 = 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表示网格节点；

h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；

h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；

h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。

k

j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。

注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)k

j k j u u x t t t ∂∂⎛⎫≡ ⎪∂∂⎝⎭）： 2．区域网格剖分

取空间步长l

h N =和时间步长T M τ=，其中,N M 都是正整数。用两族平行直线(0,1,,)j x x j h j N ===L 和(0,1,,)k t t k k M τ===L 将矩形域{}0;0G x l t T =≤≤≤≤分割成矩形网格，网格节点为(,)j k x t 。以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h h h G G -=Γ是网格界点集合。

其次，用k

j u 表示定义在网点(,)j k x t 的函数，M k N j ≤≤≤≤0,0

3．建立相应差分格式

数值分析中，Crank-Nicolson 方法是有限差分方法中的一种，用于数值求解热方程以及形式类似的偏微分方程。它在时间方向上是隐式的二阶方法，数值稳定。该方法诞生于20世纪，由John Crank 与Phyllis Nicolson 发展。

①向前差分格式

()24.1 ()j j j x u ϕϕ==0

， k u 0=k N u =0

② 向后差分格式

()25.1 ()j j j x u ϕϕ==0

， k u 0=k N u =0

将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差分格式称之为六点对称格式，也称为Grank-Nicholson 格式：

()26.1 ()j j j x u ϕϕ==0

， k u 0=k N u =0

进一步，

()36.1 2r

-11++k

j u +()r +11+k j u 2r -11+-k j u =2r k j u 1++()r -1k j u 2

r +k j u 1-+j f τ 按层计算：首先，取0=k ，则利用初值()

j j j x u ϕϕ==0

和边值k u 0=k N u =0，来确定出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j ，即求解方程组：

2r -

11+j u +()r +11

j u 2r -1

1-j u =2r 01+j u +()r -10j u 2

r +01-j u +j f τ 1,,1,0-=N j ，k u 0=k N u =0。求出1

j u ，在由()18.1',取1=k ，可利用1

j u ，解出2j u ，1,,1,0-=N j 。如此下去，即可逐层算出所有k

j u ，1,,1,0-=M k 。

若记

三、截断误差

()=u R k

j ()()[]k j k j h Lu t x u L -,3=(

)22h O +τ。 注意：

2

1+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂k j t u =()()τk j k j t x u t x u ,,1-+()2τO + 又 两式相加

而

21+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂k j t u 2122+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅=k j x u a +j f 故有

()

22h O ++τ。 四、稳定性与收敛性

抛物方程的两层差分格式可以统一写成向量形式:

(1.7) 1k k AU BU F τ+=+

其中1111(,), (,,)k k k T N N U u u F f f --==，A 和B 是1N -阶矩阵。我们假定A 可逆，即（1.7）是唯