相关分析及其原理(全)

相关原理

一、两个随机变量的相关系数

通常，两个变量之间若存在一一对应的确定关系，则称两者存在着函数关系。当两个随机变量之间具有某种关系时，随着某一变量数值的确定，另一却可能取许多不同的值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。

下图表示由两个随机变量x和y组成的数据点的分布情况。

左图中个点分布很散，可以说变量x和变量y之间是无关的。

右图中x和y虽无确定关系，但从统计结果、从总体看，大体上具有某种程度上的线性关系，因此说他们之间有着相关关系。

变量x和y之间的相关程度常用相关系数ρxy表示

ρxy=E[(x−μx)(y−μy)]

σxσy

式中E-------数学期望；

μx-------随机变量x的均值，μx=E[x]；

μy-------随机变量y的均值，μx=E[y]；

σxσy-------随机变量x、y的标准差

σx2=E[(x−μx)2]

σy2=E[(y−μy)2]

利用柯西-许瓦兹不定式

E[(x−μx)( y−μy)]2≤E[(x−μx)2] E[(y−μy)2]

故知｜ρxy｜≤1。当数据点分布愈接近于一条直线时，ρxy的绝对值愈接近1，x,y的线性关系度愈好，ρxy的正负号则是表示一变量随另一变量的增加而增或减。当ρxy接近于零，则可认为x,y两变量之间完全无关，但仍可能存在着某种非线性的相关关系甚至函数关系。

二、信号的自相关函数

假如x（t）是某各态历经随机过程的一个样本记录，x（t+τ）是x（t）时移τ后的样本，在任何t=t i时刻，从两个样本上分别得到两个值x(t i)和x(t i+τ)，而且x（t）和x（t+τ）具有相同的均值和标准差。例如把ρ

简写成ρx(τ),那么有，

x（t）x（t+τ）

ρx(τ)=lim

T→∞

1

T

∫[x(t)−μx][x(t+τ)−μx]dt

T

σx2

将分子展开并注意到

lim T→∞1

T

∫x(t)dt

T

=μx

lim T→∞1

T

∫x(t+τ)dt

T

=μx

从而得

ρx(τ)=lim

T→∞1

T ∫x(t)x(t+τ)dt−μx2 T

σx2

对各态历经随机信号及功率信号可定义自相关函数R X(τ)为

R X(τ)=lim

T→∞1

T

∫x(t)x(t+τ)dt

T

则

ρx(τ)=R X(τ)−μx 2

σx2

显然ρx(τ)和R X(τ)均随τ而变化，而两者成线性关系。如果该随机过程的均值μx=0，则ρx(τ)=R X(τ)

σx2

。

自相关函数具有下列性质：

1）由ρx(τ)=R X(τ)−μx2

σx2

可得R X(τ)= ρx(τ) σx2+μx2

又因为｜ρxy｜≤1，所以μx2−σx2≤R X(τ)≤μx2+σx2 2）自相关函数在τ=0时为最大值，并等于该随机信号的均方值φx2

R X(0)=lim

T→∞1

T

∫x(t)x(t)dt

T

=φ

x

2

证明：任何正函数的数学期望恒为非负值，即

E{[X(t)±X(t+τ)]2}≥0

E{X2(t)±2X(t)X(t+τ)+X2(t+τ)}≥0

而E[X2(t)]= E[X2(t+τ)]= R X(0)

带入前式可得2R X(0) ±2R X(τ) ≥0

于是R X(0) ≥｜R X(τ)｜

需要注意的是

因为R X(0) ≥｜R X(τ)｜，所以并不排除在其他τ≠0的地方R X(τ)也有可能出现同样的最大值。

例如：随机相位正弦函数x（t）=x0sin(ω0t+φ)的自相关函数

R X(τ)=x02

2

cosω0τ

在τ=2nπ

ω0

,n=0,±1, ±2,⋯⋯时，均出现最大值

x02

2

。

取随机相位正弦波为x（t）=4sin(π

2

t+θ)

其中θ是在(0,2π)上均匀分布的的随机变量。求自相关函数：

R X(t1t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[4sin(π

2t1+θ)∗4sin(π

2

t2+θ)]

=16E[sin(π

2t1+θ)∗sin(π

2

t2+θ)]

=16∫sin(π

2t1+θ)

2π0sin(π

2

t2+θ)1

2π

dθ

=4

π

∫[cosπ

2

(t1−t2)

2π

−cos(π

2

(t1+t2)+2θ)]

=8 cosπ

2

(t1−t2)

syms t1 t2 k y1=4*sin((pi/2)*t1+k); y2=4*sin((pi/2)*t2+k); y=y1*y2; R=1/(2*pi)*int(y,k,0,2*pi); ezmeshc(R)

3）当τ足够大或τ→∞ 时，随机变量x（t）和x(t+τ)之间不存在内在联系，彼此无关，故

ρX(τ)τ→∞→0ρX(

τ)

τ→∞

→R X2

4）自相关函数为偶函数，即