8.4空间点、直线、平面之间的位置关系-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系

1、平面的概念

（1）平面的定义

几何里所说的“平面”是从课桌面、黑板面、海洋这样一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的．

平面的两个特点：①平；②无限延展性．

点评：平面和点、直线的概念类似，是一个不加定义的原始概念，只能通过描述加以理解．正像点的特征是没有形状、大小、质量一样，直线也没有粗细、长短，可以无限延伸；平面也是无边界、无厚度、不可度量的．

（2）平面的画法．

①水平放置的平面通常画成一个平行四边形；

②它的锐角通常画成45°；

③横边长等于其邻边长的2倍．

如果一个平面被另一个平面遮住，为增强立体感，把挡住的部分用虚线画出来(如图所示)．

（3）平面的表示．

下图所示的平面可表示为：

①平面ABCD；②平面AC；③平面α.

2、空间点、直线、平面的位置关系及三种语言的转化

文字语言表达数学符号语言图形表示

点A在直线l上A∈l

点A在直线l外A∉l

知识梳理

点A在平面α内A∈α

点A在平面α外A∉α

直线l在平面α内l⊂α

直线l在平面α外l⊄α

直线l，m相交于点A l∩m＝A

平面α，β相交于直线l α∩β＝l

3、平面的基本性质

公理内容图形符号

公理1如果一条直线上的两点在

一个平面内，那么这条直

线在此平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，

B∈α⇒l⊂α

公理2 过不在一条直线上的三

点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共

线⇒存在唯一的平

面α，使A，B，C

∈α

公理3 如果两个不重合的平面有

一个公共点，那么它们有

且只有一条过该点的公共

直线

P∈α且P∈β⇒α∩β

＝l且P∈l

4、空间两条直线的位置关系：

①从是否有公共点的角度来分：

②从是否共面的角度来分：

5、异面直线

（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． （2）画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．

6、平行公理(公理4)

文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行的传递性．

符号表述：

⎭

⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒ a ∥c .

7、等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

如图，AB ∥A 1B 1，BC ∥B 1C 1，对于∠ABC 与∠A 1B 1C 1两个角的方向相同，这两个角相等；对于∠ABC 与∠E 1B 1C 1

两个角的方向不同，这两个角互补，即∠ABC ＋∠E 1B 1C 1＝180°.

8、直线和平面的位置关系

位置 关系 直线a 在平面α内 直线a 在平面α外

直线a 与平面α相交 直线a 与平面α平行 公共点 有无数个公共点

有且只有一个公共点

无公共点 符号

a ⊂α

a ∩α

a ∥α

表示

图形表示

9、两个平面的位置关系

位置关系图示表示法公共点个数

两平面平行α∥β0个

两平面相交α∩β

有无数个

(在一条直线上)

题型一平面

例1如图，四棱锥P ABCD

-，AC BD O

=，M是PC的中点，直线AM交平面PBD于点N，则下列结论正确的是（）

A．,,,

O N P M四点不共面B．,,,

O N M D四点共面

C．,,

O N M三点共线D．,,

P N O三点共线

【答案】D

【分析】

根据公理一、二、三逐一排除即可．

【详解】

直线AC与直线PO交于点O，所以平面PCA与平面PBD交于点O，所以必相交于直线PO，直线AM在平面PAC 内，点N AM

∈故N∈面PAC，故O N P M

，，，四点共面，所以A错．

点D若与M,N共面，则直线BD在平面PAC内，与题目矛盾，故B错．

知识典例

O,M为中点，所以OM//PA，ON PA P

⋂=，故C错．

⋂=，故ON OM O

故选D．

巩固练习

下列说法正确的是______.

①平面的厚度是5cm；

②经过一条直线和一个点确定一个平面；

③两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；

④经过三点确定一个平面.

【答案】③

【分析】

根据欧式几何四个公理，对四个说法逐一判断是否正确.

【详解】

对于①，由于平面是可以无限延伸的，故①说法错误.对于②，这个必须在直线外，故②判断错误.对于③，由于三个交点各不相同，根据公理2可知，③说法正确.对于④，这三个点必须不在同一条直线上，故④判断错误.故本小题答案为：③.

题型二异面直线

例2若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为( )

A．相交、平行或异面B．相交或平行

C．异面D．平行或异面

【答案】A

【分析】

根据异面直线的定义可得直线a，c的位置关系可能相交，可能平行，可能是异面直线．

【详解】

因为a，b是异面直线，b，c是异面直线，

则a，c的位置关系可能相交，可能平行，也可能是异面直线．

如下图所示，满足题意的条件，图①中a，c相交，图②中a，c平行，图③中a，c是异面直线.