8.4空间点、直线、平面之间的位置关系-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面的概念（1）平面的定义几何里所说的“平面”是从课桌面、黑板面、海洋这样一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的．平面的两个特点：①平；②无限延展性．点评：平面和点、直线的概念类似，是一个不加定义的原始概念，只能通过描述加以理解．正像点的特征是没有形状、大小、质量一样，直线也没有粗细、长短，可以无限延伸；平面也是无边界、无厚度、不可度量的．（2）平面的画法．①水平放置的平面通常画成一个平行四边形；②它的锐角通常画成45°；③横边长等于其邻边长的2倍．如果一个平面被另一个平面遮住，为增强立体感，把挡住的部分用虚线画出来(如图所示)．（3）平面的表示．下图所示的平面可表示为：①平面ABCD；②平面AC；③平面α.2、空间点、直线、平面的位置关系及三种语言的转化文字语言表达数学符号语言图形表示点A在直线l上A∈l点A在直线l外A∉l知识梳理点A在平面α内A∈α点A在平面α外A∉α直线l在平面α内l⊂α直线l在平面α外l⊄α直线l，m相交于点A l∩m＝A平面α，β相交于直线l α∩β＝l3、平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α，使A，B，C∈α公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l且P∈l4、空间两条直线的位置关系：①从是否有公共点的角度来分：②从是否共面的角度来分：5、异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． （2）画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．6、平行公理(公理4)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行的传递性．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒ a ∥c .7、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．如图，AB ∥A 1B 1，BC ∥B 1C 1，对于∠ABC 与∠A 1B 1C 1两个角的方向相同，这两个角相等；对于∠ABC 与∠E 1B 1C 1两个角的方向不同，这两个角互补，即∠ABC ＋∠E 1B 1C 1＝180°.8、直线和平面的位置关系位置 关系 直线a 在平面α内 直线a 在平面α外直线a 与平面α相交 直线a 与平面α平行 公共点 有无数个公共点有且只有一个公共点无公共点 符号a ⊂αa ∩αa ∥α表示图形表示9、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β有无数个(在一条直线上)题型一平面例1如图，四棱锥P ABCD-，AC BD O=，M是PC的中点，直线AM交平面PBD于点N，则下列结论正确的是（）A．,,,O N P M四点不共面B．,,,O N M D四点共面C．,,O N M三点共线D．,,P N O三点共线【答案】D【分析】根据公理一、二、三逐一排除即可．【详解】直线AC与直线PO交于点O，所以平面PCA与平面PBD交于点O，所以必相交于直线PO，直线AM在平面PAC 内，点N AM∈故N∈面PAC，故O N P M，，，四点共面，所以A错．点D若与M,N共面，则直线BD在平面PAC内，与题目矛盾，故B错．知识典例O,M为中点，所以OM//PA，ON PA P⋂=，故C错．⋂=，故ON OM O故选D．巩固练习下列说法正确的是______.①平面的厚度是5cm；②经过一条直线和一个点确定一个平面；③两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；④经过三点确定一个平面.【答案】③【分析】根据欧式几何四个公理，对四个说法逐一判断是否正确.【详解】对于①，由于平面是可以无限延伸的，故①说法错误.对于②，这个必须在直线外，故②判断错误.对于③，由于三个交点各不相同，根据公理2可知，③说法正确.对于④，这三个点必须不在同一条直线上，故④判断错误.故本小题答案为：③.题型二异面直线例2若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为( )A．相交、平行或异面B．相交或平行C．异面D．平行或异面【答案】A【分析】根据异面直线的定义可得直线a，c的位置关系可能相交，可能平行，可能是异面直线．【详解】因为a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系可能相交，可能平行，也可能是异面直线．如下图所示，满足题意的条件，图①中a，c相交，图②中a，c平行，图③中a，c是异面直线.故选：A ．在正方体1111ABCD A B C D 中，1BD 与1B C 是（ ）A ．相交直线B ．平行直线C ．异面直线D ．相交且垂直的直线【答案】C 【分析】根据异面直线的概念可判断出1BD 与1B C 是异面直线. 【详解】由图形可知，1BD 与1B C 不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 故选：C.题型三 三点共线例 3 如下图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且直线EH 与直线FG 交于点O .求证：B ，D ，O 三点共线．巩固练习证明：要证三点共线，只需确定一点在另两点确定的直线上即可． ∵E ∈AB ，H ∈AD ，∴E ∈平面ABD ，H ∈平面ABD ， ∴EH ⊂平面ABD ， ∵EH ∩FG ＝O ， ∴O ∈平面ABD .同理O ∈平面BCD ，即O ∈平面ABD ∩平面BCD . 又∵平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴O ∈BD ，即B ，D ，O 三点共线．在四面体ABCD 中，E ，H 分别是线段AB ，AD 的中点，F ，G 分别是线段CB ，CD 上的点，且12CF CG BF DG ==．求证：（1）四边形EFGH 是梯形；（2）AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点． 【答案】（1）见证明；（2）见证明 【分析】（1）连结BD ，推导出∥EH FG 且EH FG ≠，由此能证明四边形EFGH 是梯形． （2）设EFHG K =，则K ∈平面ABC ，K ∈平面ACD ，由平面ABC 平面ACD AC =，得K AC ∈，由此能证明AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点． 【详解】证明：（1）连结BD ，∵E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，巩固练习∴∥EH BD ，且12EH BD =，又∵13CF CG CB CD ==， ∴∥FG BD ，且13FG BD =，因此∥EH FG 且EH FG ≠， 故四边形EFGH 是梯形．（2）由（1）知EF ，HG 相交，设EFHG K =，∵K EF ∈，EF ⊂平面ABC ，∴K ∈平面ABC ， 同理K ∈平面ACD ，又平面ABC 平面ACD AC =，∴K AC ∈，故EF 和GH 的交点在直线AC 上．所以AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点．题型四 点线面位置关系例 4 已知直线l ，m 与平面α，β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l ∥m ，则必有α∥β B ．若l ⊥m ，则必有α⊥β C ．若l ⊥β，则必有α⊥β D ．若α⊥β，则必有m ⊥α【答案】C 【分析】对各选项举出反例或者根据判定定理进行判断即可 【详解】解：对于选项A ，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A 错误； 对于选项B ，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B 错误；对于选项C，因为l⊂α，l⊥β，符合面面垂直的判定定理，所以α⊥β，所以选项C正确；对于选项D，直线m可能和平面α不垂直，所以选项D错误．故选：C．巩固练习下列四个命题中正确的是（）① 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行；② 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；③ 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；④ 过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行．A．①④B．②③C．①②③D．①②③④【答案】B【分析】①可由空间中直线与平面的位置关系判断；② ③可由直线与平面平行的性质判断；④可用排查法判断．【详解】空间中直线与平面的位置关系有相交，平行与直线在平面内①错误，直线还可能与平面相交②正确③正确因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线都在与这个平面平行的平面内．④不一定正确 ,当点在其中一条直线上时，不存在平面与两条异面直线都平行.故选B.巩固提升1、已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直【答案】B【分析】当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线；由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线；β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内；β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直. 【详解】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D中，β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直，故D错误．故选：B．2、下列说法中正确的是( )A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行D．过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行【答案】D【分析】根据空间点、线、面间的位置关系进行判断，即可得出结论.【详解】解：对于A，当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故A错；对于B，由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故B错；对于C，过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，如过正方体的上底面的中心任意作一条直线（此直线在上底面内），此直线均与下底面平行，故C错；对于D，过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故D对.故选：D.⊄，则下列结论成立的是( )3、若直线a不平行于平面α且aαA．平面α内的所有直线与a异面B．平面α内不存在与a平行的直线C．平面α内存在唯一的直线与a平行D．平面α内的直线与a都相交【答案】B【分析】由题意知直线a 与平面α相交，依次判断选项即可.【详解】解:由条件知直线a 与平面α相交，则平面α内的直线与a 可能相交，也可能异面.不可能平行故选:B.4、如图在三棱柱111ABC A B C -中，下列直线与1AA 成异面直线的是（ ）A ．1BBB ．1CC C ．11B CD ．AB【答案】C【分析】 根据空间中直线与直线的位置关系判断出各选项中的直线与直线1AA 的位置关系，可得出结论.【详解】由在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB AA ，11//CC AA ，11B C 与1AA 异面，1AA AB A =.故选：C.5、经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )A ．1个B ．2个C ．无数个D ．1个或无数个 【答案】D【分析】讨论平面α外一点和平面α内一点连线，与平面α垂直和不垂直两种情况.【详解】（1）设平面ABCD 为平面α，点1A 为平面α外一点，点A 为平面α内一点，此时，直线1AA 垂直底面，过直线1AA 的平面有无数多个与底面垂直；（2）设平面ABCD 为平面α，点1B 为平面α外一点，点A 为平面α内一点，此时，直线1AB 与底面不垂直，过直线1AB 的平面，只有平面11ABB A 垂直底面.综上，过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有1个或无数个，故选D.6、若平面α和直线a ，b 满足aA α=，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是（ ） A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或异面 【答案】D【分析】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面.【详解】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面.故答案为D7、下列说法正确的是（ ）A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线B ．若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 共面C ．若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面D ．依次首尾相接的四条线段必共面【答案】A【分析】利用反证法可知A 正确；直线DE 与直线AC 异面时，,,,,A B C D E 不共面，排除B ；C 中,b c 可为异面直线，排除C ；D 中四条线段可构成空间四边形，排除D .【详解】A 选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，A 正确；B 选项：若,,A BC 三点共线，直线DE 与直线AC 异面，此时,,,,A B CDE 不共面，B 错误；C 选项：,a b 共面，,a c 共面，此时,b c 可为异面直线，C 错误；D 选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，D 错误.本题正确选项：A8、已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若α∥β,m ⊂α,n ⊂β，则m ∥nB ．若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βC ．若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ⊥nD ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥β 【答案】D【分析】在A 中，m 与n 平行或异面；在B 中，m 与β相交、平行或m β⊂；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，由线面平行的性质定理得//m β．【详解】由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面，故A 错误；在B 中，若αβ⊥，m α⊂，则m 与β相交、平行或m β⊂，故B 错误；在C 中，若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，若//αβ，m α⊂，则由线面平行的性质定理得//m β，故D 正确． 故选D ．9、设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果//a α，//b α，那么//a b ；②如果//αβ，a α⊂，b β⊂，那么//a b ；③如果a α⊥，a β⊥，那么//αβ；④如果αβ⊥，a α⊂，那么a β⊥．其中正确命题的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】C【分析】根据空间线面位置关系的定义、性质进行判断.【详解】①如果//a α，//b α，则,a b 可以相交、平行或异面，故错误；②如果//αβ，a α⊂，b β⊂，则,a b 没有公共点，所以,a b 可以平行或异面，故错误； ③如果a α⊥，a β⊥，则//αβ，故正确；④如果αβ⊥，不妨设l αβ=，又a α⊂，则当a l ⊥时，a β⊥，则当a 不垂直于l 时，a 与β不垂直，故错误，故选：C .10、若点M 是两条异面直线,a b 外的一点，则过点M 且与,a b 都平行的平面有______个.【答案】0或1【分析】利用线面平行的判断定理，可得结论.【详解】解：点M 在过a 且与b 平行的平面或过b 且与a 平行的平面内时，没有满足条件的平面； 当点M 不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有1个.故答案为：0或1.11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱11,,AA AB CC 的中点.试判断以下各对线段所在的直线的位置关系：（1）AB 与1DD ：____________.（2）1D E 与BC ：____________.（3）1D E 与BG ：____________.（4）1D E 与CF ：____________.【答案】异面 异面 平行 相交【分析】根据平行直线、异面直线、相交直线的判定方法，即得解.【详解】（1）因为1D ∉平面ABCD ，D ∈平面ABCD ，AB 平面ABCD ，D AB ∉，所以AB 所在直线与1DD 所在直线是异面直线.（2）1D E 的延长线与DA 的延长线相交，交点不在BC 所在直线上，所以1D E 与BC 异面.（3）取1D D 的中点M ，连接,MA MG ，可证四边形MABG 为平行四边形，所以MA GB ∥.又因为1D E MA ∥，所以由基本事实4知，1D E BG ∥.（4）延长1,D E CF ，与DA 的延长线交于同一点，所以1D E 与CF 相交.。