山东省寿光现代中学2007—2008学年度高三第二次考试数学试题

山东省寿光现代中学2007—2008学年度高三第二次考试
数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意要求的.
1．用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次经计算0)5.0(0)0(><f f ，，可得其
中一个零点∈0x ，第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为（ ） A ．（0，0.5），)25.0(f B ．（0，1），)25.0(f
C ．（0.5，1），)75.0(f
D ．（0，0.5），)125.0(f
2．若)(cos 2cos 3)(sin x f x x f ，则-==
（ ）
A ．x 2cos 3-
B ．x 2sin 3-
C ．x 2cos 3+
D ．x 2sin 3+ 3．下列关于函数1
212)(+-=x x
x f 的奇偶性判断正确的为
（ ）
A ．是奇函数但不是偶函数
B ．是偶函数但不是奇函数
C ．既是奇函数也是偶函数
D ．既不是奇函数也不是偶函数
4．在等比数列30963303032122}{a a a a a a a a q a n ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ，则，且中，公比等于（ ）
A ．210
B ．215
C ．216
D ．220
5．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a+3b+c=10，则a 的值为 （ ） A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 6．在等差数列11912108643
1240}{a a a a a a a a n -=++++，则中，若的值为
（ ）
A ．30
B ．31
C ．32
D ．33
7．设10<<a ，
函数]2,[log )(a a x x f a
在区间=上的最大值与最小值之差为2，
则a 的值（ ） A ．2
2 B ．
4
1 C ．2
1 D ．3
1
8．若在等差数列}{n a 中，1662a a a ++为一个确定的常数，则其前n 项和S n 中也为确定的常数的是
（ ）
A ．S 17
B ．S 15
C ．S 8
D ．S 7
9．如图在△ABC 中BC=2，AB+AC=3，中线AD 的长为y ，若AB 的长为x ，则y 与x 函数
关系式及定义域为 （ ）
A ．)),0(( 2
732
+∞∈+
-=x x x y
B ．
))2
5
,21(( 27
32
∈+
-=x x x y
C ．))2
5
,21(( 27
32
∈+
+=x x x y
D ．))2
5,0(( 27
32
∈+
-=
x x x y
10．已知⎩
⎨⎧∈+-∈+=]1,0[ ,1]
0,1[ ,1)(2x x x x x f ，则下列函数的图象错误的是
（ ）
11．已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且)4(0)2(+∈=x f R x f ，都有，对任意 )4()(f x f +=成立，则)2006(f 的值为 （ ）
A ．4012
B ．2006
C ．2008
D ．0
12．设*,2
)0(1)0()],([)(12)(111N n f f a x f f x f x
x f n n n n n ∈+-=
=+=
+，定义，则数列}{n a 的通项公式
为
（ ）
A ．不能确定
B ．1
1
)
21
()
1(+--=n n n
a C ．1)2
1
()1(+-=n n n a D ．1
)
2
1
(+=n n a
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置. 13．若函数12
)(22
-=
-+a
ax x x f 的定义域为R ，则a 的取值范围为
14．函数)( 2cos 2
1cos )(R x x x x f ∈-
=的最大值等于
15．某港口水的深度y （米）是时间t （240≤≤t ，单位：时）的函数，记作)(t f y =，下
经长期观察，)(t f y =的曲线可以近似的看成函数b t A y +=ωsin 的图象，根据以上
的数据，可得函数)(t f y =的近似表达式为
16．已知函数*)( )(1:}{32)(11N n a f a a a x x f n n n ∈==+=+且满足，数列，则该数列
的通项公式a n 为
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．（本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分） 已知函数)
0( 11)(>-=
a x a x f
（1）用函数单调性的定义证明),0()(+∞在x f 上是单调递增函数； （2）若)(x f 的定义域、值域都是]2,21
[，求实数a 的值.
18．已知α
αα
απ
βαπ2sin cos 10cos 4)2
(
2sin )tan(,3
1)tan(2
2
-+-=
+-=+a .
（Ⅰ）求)tan(βα+的值；（Ⅱ）求βtan 的值. 19．（本题满分12分，第一、二小问满分各6分）
在等比数列，，且，公比中252)1,0(*)( 0,}{825351=++∈∈>a a a a a a q N n a a n n
53a a 与又的等比中项为
2，
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设}{l og 2
n n n b c b ，数列=的前n 项和为S n ，当1
1
1
21r S S S +++ 最大时，求n 的值.
20．如图13-2-9，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处（13-）海里的B 处有一艘
走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船，奉命以103海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度，从B 处向北偏东30°
方向逃窜. 问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.
21．函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且对任意实数x ，都有
.)1()1(成立-=+x f x f 已知当.log
)(]2,1[x x f x a
=∈时，
（1）求]1,1[-∈x 时，函数)(x f 的表达式；
（2）求)()( ]12,12[x f Z k k k x 时，函数∈+-∈的解析式； （3）若函数)(x f 的最大值为2
1，在区间[－1，3]上，解关于x 的不等式.4
1)(>
x f
22．（本小题满分14分）
已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =4a n +S n －1－a n －1（*2N n n ∈≥且）. （1）求证：数列}{n a 是等比数列；
（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n =b 1+b 2+…+b n ；
（3）若c n =)0](lg )lg 3(lg [1>+++t a t n t n n
，且数列{c n }中的每一项总小于它后面的项，
求实数t 的取值范围.
山东省寿光现代中学2007—2008学年度高三第二次考试
数学试题详细参考答案
1．解析：A 本题考查利用二分法寻求函数的零点，由定义可知选A
2．C 解析：本题考查了复合函数解析式的换元法求解及三角函数余弦二倍角公式的应用。

由x x x f 2
sin 222cos 3)(sin +=-=
可得]1,1[,22)(2-∈+=x x x f ]
∴x x x x f 2cos 3cos 22)(cos 2+=+=，故应选C
3．A 解析：函数1
212)(+-=x x
x f 的定义域为R ，又)(2
1211
2
12)(x f x f x
x x
x -=+-=
+-=
---
∴)(x f 是奇函数但不是偶函数，故选A 。

4．D 解析：设，，则10
2985228741q x a a a a x a a a a ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅
101030963q q x a a a a ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ∴30
330321q x a a a a ⋅=⋅⋅⋅⋅ ，
,12230303==⋅x x ， ∴20
309632=⋅⋅⋅⋅a a a a ，故选D
5．D 解析：由互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，可设a=b －d ，c=b+d ，由a+3b+c=10
可得b=2，所以a=2－d ，c=2+d ，又c ，a ，b 成等比数列可得)2(2)2(2
d d +=-，解得d=0，或d=0（舍去），所以a =－4，故选D 。

6．C 解析：设等差数列}{n a 的公差为d ，由等差数列的性质知：24058=a
∴488=a ∴323
4823
23
33
1888119=⨯=
=
+-
+=-a d a d a a a ，故选C
7．A 解析：∵]2,[ log )(10a a x x f a a
区间在，=∴<<上单调递减，∴)(x f 的最大值为
1)(=a f ，最小值为2log
12log
)2(a a
a a f +==，∴22log
=-a
∴2
2=a ，故选A
8．B 解析：设等差数列}{n a 的公差为d ，则a 2+a 6+a 16=3a 1+21d=3（a 1+7d ）=3a 8为常数，即
a 8为常数，∴S 15=15a 8也为常数，故选B 。

9．B 解析：由余弦定理得
222)3(c o s 21x A D C y y -=∠-+ …………①
2
22)c o s (21x A D C y y =∠--+π …………②
由①+②得 ⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧>+-<<⇒->+>+-=
x
x x x x x x x y 2)3(2521320
2732
，其中，故选B
10．D 解析：首先画出)(x f 的图象，)1(-x f 的图象由)(x f 图象向右平移一个单位得到，
所以A 是正确的，)(x f -的图象与)(x f 图象关于y 轴对称，所以B 是正确的；当0≥x 时，|)(|x f 的图象与)(x f 的图象相同，当x<0时，|)(|x f 的图象与)(x f （x>0）部分的图象关于y 轴对称，所以C 是正确的；故选D 。

11．D 解析：在)4()2()2(2)4()()4(f f f x f x f x f +-=-=+=+有中，令，
∵函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且)()4(0)4(0)2(x f x f f f =+∴=∴=，，，
即4为)(x f 的一个周期， ∴0)2()2006(==f f ，故选D
12．B 解析：)
0(2)
0(1212
)
0(121
)
0(12
2
)0(1)0(111n n n n n n n f f f f f f a +-⋅=++-+=
+-=
+++ 即 20
12)0(2
111=+=
-
=+f a a n n ，又
∴}{n a 是首项为4
12
)0(1)0(111=
+-=
f f a ，公比为2
1-
的等比数列，
∴1
)2
1(4
1--=
n n a ，故选B
13．答案：[－1，0]
解题思路：∵定义域为R ，即012
22
≥--+a
ax x 恒成立。

∴022
≥-+a ax x 恒成立，∴0442
≤+=∆a a
即01≤≤-a ，故填[－1，0] 14．答案：
4
3
解题思路：本题考查三角函数的运算及性质，2
1cos
cos 2cos 2
1cos )(2
+
-=-
=x x x x x f
4
3)21(cos 2
+
-
-=x 。

∴当cos x =
2
1时，)(x f 最大值为
4
3。

15．106
sin
3+=t π
[解析]从表可以看出，当t=0时，y=10，且函数的最小正周期T=12，∴b=10，由
6
122π
ωω
π
=
=得，由t=3时y=13得13102
sin
=+π
A ，∴A=13，∴y=f (t)
的近似表达式为.106
sin
3+=t y π
16．}3{)1)(3(23,32:32111+≥+=+∴+=-=+++n n n n n n n a n a a a a a ，即，解析是以
a 1+3=4为首项，2为公比的等比数列，∴a
n
+3=4·2n －1=2n+1，所以该数列的通项
32
1
-=+n n a
17．（1）证明：设0,00212121><-<<x x x x x x ，则 011)11(
)11(
)()(2
1211
2
2
1
21<-=-=
---=-x x x x x x x a x a x f x f ……5分
),0()()()(21+∞<在即x f x f x f 上是单调递增函数。

…………6分
（2）∵)(x f 的定义域、值都是]2,2
1
[)(]2,2
1
[在，又x f 上是单调增函数 ………7分
∴5
222
112
121
9 2)2(21)21(=
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=-⎪⎩⎪⎨⎧==a a a f f 即分 …………12分
18．解：（Ⅰ）∵3
1)tan(-=+απ ∴3
1tan -
=α ……1分
∵α
αααα
αααπβα2sin cos 10cos 42sin 2sin cos 10cos 4)2sin()tan(2
2
2
2
-+=
-+-=+ …………2分
)
s i n c o s 5(c o s 2)c o s 2(s i n c o s 2c o s s i n 2c o s 10cos 4cos sin 22
2ααααααα
ααααα-+=
-+=
α
αα
αααt a n 52t a n s i n c o s 5c o s 2s i n -+=
-+=
…………5分
∴16
53
1523
1)tan(=+
+-
=
+βα …………7分
（Ⅱ）∵α
βααβααβαβtan )tan(1tan )tan(])tan[(tan ++-+=-+=（10分）
∴43
313116
5131165tan =
⨯-
+=
β …………12分
19．（1）∵252 ,252255323825351=++∴=++a a a a a a a a a a
又5 ,053=+∴>a a a n …………2分 又53a a 与的等比中项为2， ∴a 3a 5=4
而1,4,)1,0(5353==∴>∴∈a a a a q ，
…………4分 ∴n
n n a a q --=⨯===
5112)2
1(16,16,21
…………6分 （2）1 5log 12
-=--==+n n n n b b n a b
∴{b n }是以b 1=4为首项，－1为公差的等差数列 ∴2
9 ,2
)
9(n n S n n S n n -=∴
-=
…………8分
∴当0 9 ;09 ;08<>==>≤n
S
n n S n n S n n n n 时，
当时，当时， ∴当n=8或9时，n
S S S S n ++++ 3
2
1
321 最大 …………12分
20．详解：设缉私船应沿CD 方向行 驶t 小时，才能最快截获（在D 点）走私船，则CD=10t
3海里，BD=10t 海里。

在△ABC 中，由余弦定理，得
BC 2=AB 2+AC 2－2AB ·AC ·cosA=)13(22)13(2
2--+-·2·cos120°=6，
∴BC=6海里 …………2分
又∵
2
26
120sin 2sin sin sin sin =
︒
⋅=
⋅=
∴=
BC
A
AC ABC ABC
AC A
BC ，
∴∠ABC=45°，∴B 点在C 点的正东方向上，
∴∠CBD=90°+30°=120° ……4分 在△BCD 中，由正弦定理得
C B D
CD BCD
BD sin sin =
]
∴12
310120sin 10sin sin =
︒
⋅=
⋅=t
t CD
CBD
BD BCD
∴∠BCD=30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶 …………8分 又在△BCD 中，∠CBD=120°，∠BCD=30°，∴∠D=30°， ∴BD=BC ，即.610=
t
∴10
6=t 小时≈15分钟 ………………11分
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟。

21．详解：（1）∵)()1()1(x f x f x f ，且-=+是R 上的偶函数。

∴⎩⎨
⎧∈--∈+==+]
1,0[),2(log ]0,1[),2(log )()2(x x x x x f x f a a ……4分
（2）当).22(log )2()(]2,12[k x k x f x f k k x a -+=-=-∈时， 同理 ).22(log )(]12,2[k x x f k k x a +-=+∈时，
∴)( ]12,2[),22(log ]
2,12[),22(log )(Z k k k x k x k k x k x x f a a ∈⎩
⎨
⎧+∈+--∈-+= ……8分 （3）由于函数是以2为周期，故考查区间[－1，1]
若.42
12log 1==
>a a a
，即时，
若 42
1)12(log 10=∴=
-<<a a a ，矛盾，舍去，，则 ……10分
由（2）知所求不等式的解为).24,2()22,22(-⋃-+- ……12分
22．[解析]（1）*),2(31
3411
11
11N n n a a a a S S a a S a S n n n n n n n n n n ∈≥=⇒=⇒⎩⎨⎧-=-+=---+-， ∴{a n }是以
3
1为公比的等比数列 …………4分
（2）由（1）知1)3
1(-=n n a ，∴1)3
1
(-=n n b
∴1
2
3
3
33
21-+
++
+
=n n n T ∴n
n n
n n T 3
3
13
23
13
11
2
+
-+
++
=
+
∴3
11)31(13
3
1
3
13
113
21
2-
-=
-++++=-n
n n n n T n n n
n n )3
1()31(212
33
1--
=
- ∴n n n n T )3
1(2
3)3
1(434
91--=+ …………8分
（3）t nt t n n t a t n t c n
n n
n n
n lg ])3
1
lg(lg 3lg []lg )lg 3(lg [1=++=++=+
由题意知
),2,1(01 =>-+n c c n n 恒成立，
即.0])1)[((lg lg lg )1(11>-+=-+=-++n n n n n t n t n t t nt t t n c c 对任意自然数n 恒成立。

∵t>0, ∴t n
>0。

①若t>1，则lgt>0，且0)1(01>-+⇒>-'n t n t
2
11
11
>
∴-->
⇒-->
t t t n t t n ，恒成立对任意，∴t>1 ……10分
②若t=1，lgt=0不合题意 …………11分 ③若0<t<1时，lgt<0， 1
0)1(-->
⇒<-+∴t t n n t n 恒成立，
∴2
1
0 2
101
1<<∴<<-->t t t t ，解得 …………13分
综上，0<t<
2
1或t>1. …………14分。