2011年湖南高考理科数学试题及标准答案
2011年湖南高考数学试题(理科)
俯视图侧视图正视图3342011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学((理科)本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合33{|0},{|||},""""122x P x Q x x m P m Q x =≤=-≤∈∈-那么是的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.公差不为0的等差数列{}n a 中,2200520072009330a a a -+=,数列{}n b 是等比数列，且20072007b a =,则20062008b b =（ ）A ．4B ．8C ．16D ．363. 若纯虚数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+（其中i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ）A ．2-B ．2C ．-4D ．44．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A. 123B. 363C. 273D. 65．已知直线0=++C By Ax （其中0,222≠=+C C B A ）与圆422=+y x 交于N M ,，O 是坐标原点，则OM ·ON =（ ） A ．- 1 B ．- 1 C ． - 2 D ．2 6．设0(sin cos )a x x dx π=+⎰，则二项式61()a x x-，展开式中含2x 项的系数是（ ） A. 192- B. 192 C. -6 D. 6 7．已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是（ ）8．关于x 的方程2(1)10(0,)x a x a b a a b +++++=≠∈R 、的两实根为12,x x ，若A B C D12012x x <<<<，则ba的取值范围是（ ）A ．4(2,)5--B ．34(,)25--C ．52(,)43--D ．51(,)42--第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9—12题）9. 右图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出 的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ；方差为 .10.已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为_______．11. 在如下程序框图中，已知：0()x f x xe =，则输出的是_________ _.12. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅= ，123tan 3PF F ∠=，则该椭圆的离心率为 ． （二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线:cos 4l ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使12OM OP ⋅=.设R 为l 上任意一点，则RP 的最小值 ．14. （不等式选讲选做题）若关于x 的不等式1x x a +-<(a ∈R )的解集为∅，则a 的取值范围是 ．15. （几何证明选讲选做题）如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ．且AD ＝19，BE ＝16，BC ＝4，则AE ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知在ABC V 中，A B C ∠∠∠﹑﹑所对的边分别为a ﹑b﹑c ，若cos cos A bB a= 且sin cos C A = (Ⅰ)求角A 、B 、C 的大小；(Ⅱ)设函数()()sin cos 222C f x x x A ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的单调递增．．区间，并指出它相邻两对称轴间的距离.7 98 4 4 6 4 7 9 3否 是开始 输入f 0 (x ) 0=i )()(1'x f x f i i -= 结束1+=i i i =2009输出 f i (x )17. （本小题满分13分）在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中, A 、B 两个代表队进行对抗赛, 每队三名队员, A 队队员是123,A A A 、、B 队队员是123,B B B 、、按以往多次比赛的统计, 对阵队员之间胜负概率如下表, 现按表中对阵方式出场进行三场比赛, 每场胜队得1分, 负队得0分, 设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η, 且3ξη+=.（Ⅰ）求A 队得分为1分的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强.18. （本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左右顶点分别为A C 、，上顶点为B ，过C B F ,,三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为()n m ,.(Ⅰ)当0m n +≤时，椭圆的离心率的取值范围. (Ⅱ)直线AB 能否和圆P 相切？证明你的结论.19. （本小题满分13分）在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）.将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小； （III ）求二面角B －A 1P －F 的余弦值. 20. （本小题满分14分）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4， 公差为2的等差数列.(Ⅰ)求证：数列{}n a 是等比数列； (Ⅱ) 若()n n n b a f a =⋅，当2k =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（III ）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由． 21. （本小题满分14分）已知函数F (x )=|2x －t |－x 3+x +1（x ∈R ，t 为常数，t ∈R ）.对阵队员A 队队员胜 A 队队员负 1A 对1B 23 13 2A 对2B 25 353A 对3B 37 35(Ⅰ)写出此函数F (x )在R 上的单调区间；(Ⅱ)若方程F (x )－k =0恰有两解，求实数k 的值．【答案及详细解析】一、选择题：本大题理科共8小题，每小题5分，共40分. 文科共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
da2011年高考数学试卷答案 湖南理
【参考答案】 【1】．D提示：由(i)i i a b +=+得1i i a b -+=+，则1,1a b ==-.故选（D ）. 【2】．A 提示：当1a=时，{}1N =，则N M ⊆，满足充分性；当N M ⊆时，则21a =或22a =，推不出1a =，不满足必要性.故选（A ）. 【3】．B提示：由已知可得该几何体由一球和一四棱柱组成，四棱柱的底面是边长为3的正方形，高为2，体积为23318⨯⨯=，球的体积为3439()322⨯π⨯=π，所以该几何体的体积为9182π+.故选（B ）.【4】．C 提示：2 6.635K ＞，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选（C ）.【5】．C提示：令22209x y a -=，则有30x ay ±=，所以2a =.故选（C ）. 【6】．D提示：33002cos 2sin S xdx x ππ===⎰故选（D ）.【7】．A提示：画出可行域，利用图解法求解，当且仅当直线z x my =+过点1(,)11mm m ++时有最大值2121m z m +=+＜，又1m ＞，解得11m ＜＜故选（A ）.【8】．D 提示：将t x =代入2(),()ln f x x g x x ==中，得到点NM ,的坐标分别为2(,)t t ，(,ln )t t ，从而2ln (0),MN t t t =-＞对其求导，可知当且仅当22=t 时取到最小.故选（D ）. 【9】．2提示：首先将曲线1C 和2C 的方程化为圆1C :()1122=-+y x ，和直线2C ：01=+-y x ，可以用代数法（0>Δ）或几何法（=<=01d r ）得到两曲线1C 与2C 相交.故有2个交点.【10】．9提示：22222222111()(4)144xy x y y x x y ++=+++≥59+=，当且仅当222214x y x y=时取等号.【11】．3提示：如图，连结EC ，AB ，OA ，由,A E 是半圆周上的两个三等分点可知：30EBC ∠=,且△ABO是正三角形，所以2,1EC BE BD ===，且3AF BF ==.故填3. 【12】．25 提示：因为11=a ，74=a ，所以2=d ，则25245515=⋅⨯+=d a S .故填25. 【13】．23提示：①当1=i，计算()1021=-+=x x S ；②当2=i ，计算()2211S x x =+-=； ③当3=i ，计算()2312S x x =+-=；④当34>=i ，计算32=S ，输出32=S .故填32.【14】．14-提示：设,,BC AB ==a b 则1,2AD AB BD =+=+b a 121,333BE BC CE BC CA =+=+=-a b 且1cos1202⋅==-a b ，所以=⋅121()()233+⋅-b a a b =2211113324-+⋅=-a b a b .故填14-.【15】．（1）()2P A =π;（2）()41=A B P提示：（1）是几何概型：()2πS P A S ==正圆；（2）是条件概率：()41=A B P .【16】．（1）2；（2）1093 提示：（1）由题意知32101212120202=⨯+⨯+⨯+⨯，所以(12)2I =；（2）在2进制的(2)k k ≥位数中，没有0的有1个，有1个0的有11C k -个，有2个0的有21C k -个，…，有m 个0的有1C m k -个，…，有1k -个0的有11C 1k k --=个. 故对所有2进制为k 位数的数n ，在所求式中的()2I n 的和为：0112211111112+C 2C 2C 23.k k k k k k ------⋅⋅+⋅++⋅= 又712721=-恰为2进制的最大7位数，所以1277()1122231093I n k n k -===+=∑∑.【17】．解：（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0A π＜＜，所以sin 0A ＞.所以sin cos .CC =又cos 0C ≠，所以tan 1C =，则4C π=.（2）由（1）知34B A π=-，所以cos()cos()4A B A A π-+=-π-=πcos 2sin()6A A A +=+.因为304A π＜＜，所以11.6612A πππ+＜＜从而当62A ππ+=，即3A π=时，2sin()6A π+取最大值2.综上所述，cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==【18】．（1）P （“当天商店不进货”）=P （“当天商品销售量为0件”）+P （“当天商品销售量为1件”）=153.202010+= （2）由题意知，X 的可能取值为2，3.(2)P X ==P （“当天商品销售量为1件”）=51.204= (3)P X ==P （“当天商品销售量为0件”）+P （“当天商品销售量为2件”）+P （“当天商品销售量为3件”）1953.2020204=++= 故X 的分布列为：所以X 的数学期望为23.444EX =⨯+⨯=【19】．解法1：（1）如图2，连结OC ，因为OA OC =，D 是AC 的中点，所以AC OD ⊥.又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以AC PO ⊥，因为OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD ，而AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC .（2）在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，由（1）知，平面POD ⊥平面PAC . 所以OH ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，所以PA OH ⊥. 在平面PAO 中，过O 作OG PA ⊥于G ，连结HG ， 则有PA ⊥平面OGH ，从而PA HG ⊥. 故OGH ∠为二面角B PA C --的平面角.在Rt △ODA中，sin 45OD OA =⋅︒=在Rt △POD中，==O H =在Rt △POA中，OG ===在Rt △OHG中，sin 5OH OGH OG ∠===所以cos OGH∠=== 故二面角B PAC --的余弦值为5解法2：（1）如图3所示，以O 为坐标原点，,,OB OC OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0),O A B C P -，11(,,0)22D -， 设1111(,,)x y z =n 是平面POD 的一个法向量，则由110,0OD OP ⋅=⋅=n n，得111110,220.x y ⎧-+=⎪=所以1110,,z x y ==取11,y =得1(1,1,0).=n 设2222(,,)x y z =n 是平面PAC 的一个法向量，则由220,0PA PC ⋅=⋅=n n ，图3图2得22220,0.x y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩所以22222,.1,x y ===取z得2(=n .因为()()121,1,00,⋅=⋅=n n所以12.⊥n n 从而平面POD ⊥平面PAC .（2）因为y 轴⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为3(0,1,0).=n由（1）知，平面PAC的一个法向量为2(=n .设向量23和n n 的夹角为θ，则2323cos ||||5θ⋅===⋅n n n n由图3可知，二面角B PA C --的平面角与θ相等，所以二面角B PAC --的余弦值为【20】．解：（1）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||202v c -+， 故100315(||)(3||10)202y v c v c v v=-+=-+. （2）由（1）知，当0v <≤c 时，55(310)(3310)15;c y c v v v+=-+=- 当c v <≤10时，55(103)(3310)15.c y v c v v -=-+=+ 故(310)15,0,5(103)15,10.c v c vy c c v v 5+⎧-<⎪⎪=⎨-⎪+<⎪⎩≤≤1）当0c <≤103时，y 是关于v 的减函数， 故当min 310,20.2c v y ==-时 2）当103c <≤5时，在(]0,c 上，y 是关于v 的减函数；在(],10c 上，y 是关于v 的增函数， 故当min 50,.v c y c==时 【21】．解：（1）由题意知.1,2,2,2,23======b a a b b a ac e解得又从而故12,C C 的方程分别为.1,14222-==+x y y x（2）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.由2,1,y kx y x =⎧⎨=-⎩得210.x kx --=设()()1122,,A x y B x y ，，则12x x ，是上述方程的两个实根，于是 .1,2121-==+x x k x x又点M 的坐标为()0,1-，所以2121212212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MBMA +++=++=+⋅+=⋅ .11122-=-++-=k k故,MA MB ⊥即.MD ME ⊥（ii ）设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为1121,1,1,y k x y k x y x =-⎧=-⎨=-⎩由解得121,01 1.x k x y y k =⎧=⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，或， 则点A 的坐标为)1,(211-k k .又直线MB 的斜率为11k -， 同理可得点B 的坐标为).11,1(211--k k于是211111111|||||||22||k S MA MB k k k +=⋅=-=.由1221,440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，得.08)41(1221=-+x k x k解得12121218,140,141.14k x k x y k y k ⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或， 则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++ 又直线ME 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211k k k k +-+- 于是2112221132(1)||1||||2(14)(4)k k S MD ME k k +⋅=⋅=++. 因此21122114(417).64S k S k =++ 由题意知，21211417(417),6432k k ++=解得214,k =或211.4k =又由点,A B 的坐标可知，2121111111,1k k k k k k k -==-+所以3.2k =± 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2323x y x y -==和【22】．解：（1）由3(),[0,)h x x x x =-∈+∞，而(0)0,(1)1h h ==-<且，(2)60,0()h x h x =>=则为的一个零点，且()h x 在（1，2）内有零点.因此()h x 至少有两个零点.1221()31,2h x x x -'=--记1221()31,2x x x ϕ-=--则321()6.4x x x ϕ-'=+当(0,),()0,()(0,)x x x ϕϕ'∈+∞>+∞时因此在内单调递增，则()(0,)x ϕ+∞在内至多只有一个零点.又因为(1)0,0,()x ϕϕϕ><则在内有零点， 所以()(0,)x ϕ+∞在内有且只有一个零点，记此零点为111,(0,),()()0x x x x x ϕϕ∈<=则当时；当1(,)x x ∈+∞时，1()()0.x x ϕϕ>=所以，当1(0,),()x x h x ∈时单调递减，而1(0)0,()(0,]h h x x =则在内无零点；当1(0,),()x x h x ∈时单调递减，而1(0)0,()(0,]h h x x =则在内无零点； 当1(,),()x x h x ∈+∞时单调递增，则1()(,)h x x +∞在内至多只有一个零点. 从而()h x 在(0,)+∞内至多只有一个零点. 综上所述，()h x 有且只有两个零点.（2）记()h x 的正零点为0,x 即300x x =（i ）当0a x <时，由1,a a =即10.a x <而332100,a a x x =+<=因此20.a x <由此猜测：0n a x <.下面用数学归纳法证明.①当1n=时10,a x <显然成立.②假设当nk =（k ≥1）时，0k a x <成立，则当1n k =+时，由33100k k a a x x +=<=知，10.k a x +<因此，当1n k =+时，10k a x +<成立.故对任意的*0,k n a x ∈<N成立.（ii ）当a ≥0x 时，由（1）知，0()(,)h x x +∞在内单调递增，则()h a ≥0()0h x =，即3a ≥a从而321a a a ==3,a 即2a ≤a .由此猜测：n a ≤a ，下面用数学归纳法证明， ①当1n=时，1a ≤a 显然成立.②假设当n k =（k ≥1）时，k a ≤a 成立，则当1n k =+时，由31k k a a +=+a +3a 知，1k a +≤a .因此，当1n k=+时，1k a +≤a 成立.故对任意的*,n n a ∈N≤a 成立.综上所述，存在常数0max{,}M x a =，使得对于任意的*,n ∈N 都有n a ≤.M【End】。
2011年湖南高考数学试题(理科)
2011年湖南高考数学试题（理科）参考公式：（1）()()()P ABP B AP A，其中,A B为两个事件，且()0P A，（2）柱体体积公式V Sh，其中S为底面面积，h为高。
（3）球的体积公式343V R，其中R为求的半径。
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.若,a b R，i为虚数单位，且()a i ib i，则（）A．1,1a b B．1,1a b C．1,1a b D．1,1a b2.设{1,2}M，2{}N a，则“1a”是“N M”则（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9122B．9182C．942D．36184.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d算得22110(40302027.860506050K附表：2()P K k0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”332正视图侧视图俯视图图1。
2011年高考理科数学(湖南卷)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。
参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则 A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b =-=- D ．1,1a b ==-2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．9122π+B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表，得到的正确结论是A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1 6. 由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为A ．12B ．1 CD7. 设1m >，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为A．(1,1+ B．(1)++∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 答案：A8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为A ．1B ．12C．2 D．2二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
2011年高考湖南卷理科数学解析版
2011年高考湖南卷理科数学解析版年高考湖南卷理科数学解析版本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。
分。
参考公式：（1）()()()P A B P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >，（（2）柱体体积公式V S h =，其中S 为底面面积，h 为高。
为高。
（（3）球的体积公式343V R p =，其中R 为求的半径。
为求的半径。
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
求的。
1.若,a b R Î，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（，则（） A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b =-=- D ．1,1a b ==- 答案：D解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。
2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M Í”则（”则（ ） A ．充分不必要条件充分不必要条件 B ．必要不充分条件必要不充分条件 C ．充分必要条件充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件不充分又不必要条件 答案：A解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M Í”，反之“N M Í”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”。
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．9122p + B ．9182p + C ．942p + D ．3618p +答案：B解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积其体积3439+332=18322V pp =´´+（）。
2011年湖南高考理科数学试题详细解析
2011年湖南高考理科数学试题详细解析理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212ii +-的共轭复数是 （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i【解析】212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为i -，故选C （2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=【解析】由偶函数排除A,由在+∞（0，）单调递增，排除C ，D,故选B（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040【解析】由程序框图知，k=1,p=1；k=2,p=2；k=3,p=6；k=4,p=24；k=5,p=120；k=6,p=720.故选B（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=，故选A （5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45【解析】由已知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为【解析】由题设知该几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。
2011湖南数学高考试题及答案
2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(湖南卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－12．设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为…()A．92π＋12 B．92π＋18C．9π＋42 D．36π＋184．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++算得，22110(40302020)7.860506050K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”5．设双曲线2221(0)9x yaa-=>的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4 B．3 C．2 D．16．由直线ππ,,033x x y=-==与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为()A．12B．1 C．32D．37．设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,12)+B ．(12,)++∞C ．(1，3)D ．(3，＋∞)8．设直线x ＝t 与函数2(),()ln f x x g x x ==的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B ．12 C ． 52 D ． 22 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．(一)选做题(请考生在第 9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分．)9．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩，(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为______．10．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则222211()(4)x y y x++的最小值为______． 11．如图，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为______．(二)必做题(12～16题)12．设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝______.13．若执行如图所示的框图，输入1231,2,3,2x x x x ====，则输出的数等于______． 14．在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE == ，则AD BE ⋅= ______.15．如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则。
2011年湖南卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学本试卷共22题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >，（2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）） ）． ．由算得，．5．（5分）（2011•湖南）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）y=cosx）．．．7．（5分）（2011•湖南）设m＞1，在约束条件下，目标函数Z=X+my的最大值小于2，则m 的取值范围，（M，N，则当|MN|达到最小时．．．9．（5分）（2011•湖南）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，则C1与C2的交点个数为_________．10．（5分）（2011•湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为_________．11．（2011•湖南）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交与点F，则AF的长为_________．12．（5分）（2011•湖南）设Sn是等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S9=_________．13．（5分）（2011•湖南）若执行如图所示的框图，输入x1=1，，则输出的数等于_________．14．（5分）（2011•湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设，则=_________．15．（5分）（2011•湖南）如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该院内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）P（A）=_________；（2）P（B|A）=_________．16．（5分）（2011•湖南）对于n∈N+，将n 表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+ak﹣1×21+ak×20，当i=0时，ai=1，当1≤i≤k时，a1为0或1．记I（n）为上述表示中ai为0的个数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I （1）=0，I（4）=2），则（1）I（12）=_________；（2）=_________．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）（2011•湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．（1）求角C的大小；（2）求sinA﹣cos （B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）（2011•湖南）如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点．（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．20．（13分）（2011•湖南）如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．21．（13分）（2011•湖南）如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交与D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．22．（13分）（2011•湖南）已知函数f（x）=x3，g （x）=x+．（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）﹣g （x）的零点个数．并说明理由；（Ⅱ）设数列{ an}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（an+1）=g（an），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有an≤M．2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学(参考答案)1.答案：D 2.答案：A解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”。
2011年湖南高考理科数学精彩试题及问题详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学（理工农医类）参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 答案：D2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”。
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9122π+ B ．9182π+ C ．942π+ D ．3618π+答案：B解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。
由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：C解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
2011年全国高考理科数学试题-湖南卷
2011年全国高考理科数学试题-湖南卷1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）A. 1,1a b ==B. 1,1a b =-=C. 1,1a b =-=-D. 1,1a b ==- 答案：D分析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-．2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 答案：A分析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”．3.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.9122π+ B. 9182π+C. 942π+D. 3618π+ 答案：B分析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439()33218322V ππ=+⨯⨯=+．4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯． 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A. 在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D. 有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 答案：C分析：由3K 7.8 6.635≈>，而3(6.35)0.10P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选C ．5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 答案：C分析：依题意知，双曲线的渐近线为，3y x a=±，故可知2a =．6.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A.12B. 1C.D. 答案：D分析：由定积分知识可得3333cos sin |(22S xdx x ππππ--===--=⎰D ．7.设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A. (1,1B. (1)+∞C. (1,3)D. (3,)+∞ 答案：A分析：画出可行域如图所示，可知5z x y =+在点1(,)11mm m++取最大值，由21211m m m+<++，解得11m <<．8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ） A. 1B. 12C.D. 2答案：D分析：由题2||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，则1()2h x x x'=-，令()0h x '=解得2x =，因(0,)2x ∈时，()0h x '<，当(,)2x ∈+∞时，()0h x '>，所以当x =时，||MN 达到最小，即t =9.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为_____． 答案：2分析：曲线221:(1)1C x y +-=，2:10C x y -+=，由圆心到直线的距离01d ==<，故1C 与2C 的交点个数为2．10.设,x y R ∈，则222211()(4)x y y x++的最小值为_____． 答案：9分析：由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=．11.如图，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，AD BC ⊥，垂足为D ，BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为_____．分析：由题可知，60AOB EOC ︒∠=∠=，2OA OB ==，得1OD B D ==，DF =，又23AD BD CD =⋅=，所以AF AD DF =-=12.设n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则9S =_____． 答案：25分析：∵数列{}n a 为等差数列， ∴1(1)n a a n d =+-，1(1)2n n n S na d -=+， ∵141,7a a ==，∴41(41)7a d =+-=，∴2d =，99(91)912812S ⨯-∴=⨯+⨯=． 故答案为：81 ．13.若执行如图所示的框图，输入1231,2,3,2x x x x ====，则输出的数等于_____．答案：23分析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则222(12)(22)(32)233S -+-+-==．14.在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE ⋅=_______ ． 答案：14-分析：由题12AD CD CA CB CA =-=-，13BE CE CB CA CB =-=-， 所以111171()()232364AD BE CB CA CA CB CB CA ⋅=-⋅-=--+⋅=-．15.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则(1) ()P A =_____；(2) (|)=P B A _____．答案：见解析分析：(1)由几何概型概率计算公式可得；(2)由条件概率的计算公式可得21()14(|)===2()4P AB P B A P A ππ⨯．16.对于*n N ∈，将n 表示为1210012122222k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯，当0i =时，1i a =，当1i k ≤≤时，i a 为0或1，记()I n 为上述表示中i a 为0的个数，（例如0112=⨯，2104120202=⨯+⨯+⨯：故(1)0,(4)2I I ==）则 (1)(12)I =_____ ；(2)127()12I n n ==∑_____．答案：(1)2 ；(2)1093分析：(1)因32101212+120202=⨯⨯+⨯+⨯，故(12)2I =；(2)在2进制的(2)k k ≥位数中，没有0的有1个，有1个0的有11k C -个，有2个0的有21k C -个，……有m 个0的有1mk C -个，……有1k -个0的有111k k C --=个． 故对所有2进制为k 位数的数n ，在所求式中的()2I n 的和为：01122111111122223k k k k k k C C C ------⋅+⋅+⋅++⋅=． 又712721=-恰为2进制的最大7位数，所以1277()1122231093I n k n k -===+=∑∑．。
2011年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解湖南理
2011年湖南理一、选择题（共8小题；共40分）1. 若a,b∈R，i为虚数单位，且a+i i=b+i，则 A. a=1,b=1B. a=−1,b=1C. a=−1,b=−1D. a=1,b=−12. 设M=1,2，N=a2，则＂a=1＂是＂N⊆M＂的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．A. 92π+12 B. 92π+18 C. 9π+42 D. 36π+184. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2=n ad−bc2a+b c+d a+c b+d 算得K2=110×40×30−20×20260×50×60×50≈7.8附表：P K2≥k0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是 A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为＂爱好该项运动与性别有关＂B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为＂爱好该项运动与性别无关＂C. 有99%以上的把握认为＂爱好该项运动与性别有关＂D. 有99%以上的把握认为＂爱好该项运动与性别无关＂5. 设双曲线x2a2−y29=1a>0的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为 A. 4B. 3C. 2D. 16. 由直线x=−π3,x=π3,y=0与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为 A. 12B. 1 C. 32D. 37. 设m>1，在约束条件y≥x,y≤mx,x+y≤1下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为A. 1,1+2B. 1+2,+∞C. 1,3D. 3,+∞8. 设直线x=t与函数f x=x2,g x=ln x的图象分别交于点M,N，则当∣MN∣达到最小时t的值为A. 1B. 12C. 52D. 22二、填空题（共8小题；共40分）9. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=cosαy=1+sinα α为参数，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为ρcosθ−sinθ+1=0，则C1与C2的交点个数为．10. 设x,y∈R，且xy≠0，则 x2+1y 1x+4y2的最小值为．11. 如图，A、E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为．12. 设S n是等差数列a n n∈N∗的前n项和，且a1=1，a4=7，则S5=．13. 若执行如图所示的框图，输入x1=1,x2=2,x3=3,x=2，则输出的数等于．14. 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC =2BD ，CA =3CE ，则AD ⋅BE= ．15. 如图所示，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）P A = ；（2）P B ∣A = ．16. 对于n ∈N ∗，将n 表示为n =a 0×2k +a 1×2k−1+a 2×2k−2+⋯+a k−1×21+a k ×20．当i =0时，a i =1，当1≤i ≤k 时，a i 为0或1．记I n 为上述表示中a i 为0的个数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，则I 1 =0，I 4 =2），则I 12 = ；2I n 127n =1= ．三、解答题（共6小题；共78分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A =a cos C ．（1）求角C 的大小； （2）求 3sin A −cos B +π4 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量 件 0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．（1）求当天商品不进货的概率；（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．19. 如图，在圆锥PO中，已知PO=⊙O的直径AB=2，C是AB的中点，D为AC的中点．（1）证明：平面POD⊥平面PAC；（2）求二面角B−PA−C的余弦值．20. 如图，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v v>0，雨速沿E移动方向的分速度为c c∈R．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与∣v−c∣×S成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=32时．（1）写出y的表达式；（2）设0<v≤10，0<c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．21. 如图，椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，x轴被曲线C2:y=x2−b截得的线段长等于C1的长半轴长．（1）求C1，C2的方程；（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交与点D，E．①证明：MD⊥ME；②记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得S1S2=1732?请说明理由．22. 已知函数f x=x3，g x=x+x．（1）求函数 x=f x−g x的零点个数，并说明理由；（2）设数列a n n∈N∗满足a1=a a>0，f a n+1=g a n，证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N∗，都有a n≤M．答案第一部分 1. D 【解析】因为 a +i i =−1+a i =b +i ，根据复数相等的条件可知a =1,b =−1． 2. A 【解析】因为" a =1 "，即N = 1 ，满足" N ⊆M "，反之" N ⊆M "，则N = a 2 = 1 ，或N = a 2 = 2 ，不一定有" a =1 "．3. B【解析】由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V =4π 3 3+3×3×2=9π+18.4. C 【解析】由题意K 2=7.8>6.635，有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”．同时，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；5. C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为y =±3ax ，故可知a =2． 6. D 【解析】由定积分知识可得S = cos x d x π3−π3=sin x ∣−π3π3=32− −32= 3．7. A【解析】根据约束条件画出可行域如图所示，将目标函数化为斜截式为y =−1mx +zm，平移x +my =0，结合图形可以看出当目标函数过y =mx 与x +y =1的交点B 时取到最大值．联立 y =mx ,x +y =1,得交点坐标为B 1m +1,m m +1 ．将其代入目标函数得z max =1+m 2m +1．由题意可得1+m 2m +1<2，又m >1，所以1<m <1+8. D【解析】由题可得∣MN ∣=x 2−ln x x >0 ，不妨令 x =x 2−ln x ，则 ʹ x =2x −1x ，令ʹ x =0解得x = 22． 因为当x ∈ 0, 22时， ʹ x <0，当x ∈ 22,+∞ 时， ʹ x >0，所以当x = 22时，∣MN ∣达到最小，即t =22． 第二部分 9. 2 10. 9 【解析】x 2+1y 2 1x 2+4y 2 =1+1x 2y2+4x 2y 2+4≥5+2 4=9, 当且仅当x 2y 2=12时取等号． 11.2 33【解析】由题可知，∠AOB =∠AOE =60∘，OA =OB =OE =2，得△ABO 和△AEO 为正三角形，则AD = 3，AE =2． 由△AEF ∽△BDF ，得AF FD=AE BD=2．所以3−AF=2，解得AF =2 33．12. 25 13. 23 【解析】S = 1−2 2+ 2−2 2+ 3−2 2=2.14. −14【解析】依题意，AD=CD −CA =12CB −CA ,BE=CE −CB =13CA −CB . 所以AD ⋅BE = 12CB −CA ⋅ 13CA −CB =−12−13+76CB ⋅CA =−14. 15. 2π，14【解析】由几何概型概率计算公式可得：P A =S 正圆=2; 由条件概率的计算公式可得：P B ∣A =P AB=2π×142π=1.16. 2，1093【解析】将n 表示为n =a 0×2k +a 1×2k−1+a 2×2k−2+⋯+a k−1×21+a k ×20，实际上是将十进制的数转化为二进制的数．（1）因为12=1×23+1×22+0×21+0×20，所以I 12 =2． （2）当n =1时，二进制为1，则I 1 =0，2I 1 =20．即2I 1 =30． 当n =2时，二进制为10，则I 2 =1，2I 2 =21； 当n =3时，二进制为11，则I 3 =0，2I 3 =20；则 2I n3n =2=21+20=31． 当n =4时，二进制为100，则I 4 =2，2I 4 =22； 当n =5时，二进制为101，则I 5 =1，2I 5 =21； 当n =6时，二进制为110，则I 6 =1，2I 6 =21； 当n =7时，二进制为111，则I 7 =0，2I 7 =20．则 2I n7n =4=22+21+21+20=32． 类似地，有 2I n 15n =8=33， 2I n 31n =16=34， 2I n 63n =32=35， 2I n 127n =64=36． 于是 2I n 127n =1=30+31+32+33+34+35+36=1093． 第三部分17. （1）由正弦定理得sin C sin A =sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A >0，从而sin C =cos C ,又cos C ≠0，所以tan C =1，则C =π4． （2）由（1）知B =3π4−A ．于是3sin A −cos B +π4= 3sin A −cos π−A= 3sin A +cos A=2sin A +π6.因为0<A <3π4，所以π<A +π<11π, 从而当A +π6=π2，即A =π3时，2sin A +π6取最大值2.综上所述， 3sin A −cos B +π4 的最大值为2，此时A =π3，B =5π12．18. （1）记事件A 为当天不进货，事件B 为当天销售了0件，事件C 为当天销售了1件，则P A =P B +P C =1+5=3.（2）记事件D 为当天销售了2件，记事件E 为当天销售了3件． 第二天开始营业时该商品有3件包括第一天销售了0件、2件或3件． 由题意知，X 的可能取值为2,3.P X =2 =P C =520=14. P X =3 =P B +P D +P E =34.故X 的分布列为X 23P13 X 的数学期望为EX =2×14+3×34=114.19. （1）连接OC ，因为OA=OC，D为AC的中点，所以AC⊥OD．又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO．因为OD,PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD．而AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC．（2）在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由（1）知，平面POD⊥平面PAC，所以OH⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC,所以PA⊥OH．在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G,连接HG，则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG，所以∠OGH是二面角B−PA−C的平面角．在Rt△ODA中，OD=OA⋅sin45∘=2 2 ,在Rt△POD中，OH=PO2+OD2=2×222+2=10,在Rt△POA中，OG=PO⋅OA PO2+OA2=22+1=6 ,在Rt△OHG中sin∠OGH=OH=10563=15 5,所以cos∠OGH=10 5 ,故二面角B−PA−C的余弦值为105．20. （1）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为320∣v−c∣+12，故y=100v320∣v−c∣+12=53∣v−c∣+10.（2）由（1）知，当0<v≤c时，y=53c−3v+10=53c+10v−15;当c<v≤10时，y=5v3v−3c+10=510−3c+15.故y=53c+10v−15,0<v≤c,510−3c+15,c<v≤10.①当0<c≤103时，y是关于v的减函数．故当v=10时，y min=20−3c2．②当103<c≤5时，在0,c上，y是关于v的减函数；在c,10上，y是关于v的增函数；故当v=c时，y min=50c．21. （1）由题意知e=c=3,从而a=2b,又2=a，解得a=2,b=1.故C1，C2的方程分别为x 24+y2=1，y=x2−1．（2）①由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx．由y=kx,y=x2−1.得x2−kx−1=0,设A x1,y1，B x2,y2，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k,x1x2=−1.又点M的坐标为0,−1，所以k MA⋅k MB=y1+1x1⋅y2+1x2=kx1+1kx2+1x1x2=k2x1x2+k x1+x2+112=−k2+k2+1=−1,故MA⊥MB，即MD⊥ME．②设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x−1，由y=k1x−1,y=x2−1.解得x=0,y=−1.或x=k1,y=k12−1.则点A的坐标为k1,k12−1．又直线MB的斜率为−1k1，同理可得点B的坐标为 −1k1,1k12−1．于是S1=1∣MA∣⋅∣MB∣=11+k12⋅∣k1∣⋅1+112⋅∣∣∣−11∣∣∣=1+k121.由y=k1x−1,x2+4y2−4=0.得1+4k12x2−8k1x=0,解得x=0,y=−1.或x=8k112, y=4k12−112.则点D的坐标为8k11+4k12,4k12−11+4k12．又直线ME的斜率为−1k1，同理可得点E的坐标为−8k14+k12,4−k124+k12．于是S2=1∣MD∣⋅∣ME∣=321+k12⋅∣k1∣1212,因此S1 2=14k12+412+17.由题意知1 644k12+4k12+17=1732,解得k12=4 或 k12=1 .又由点A，B的坐标可知k=k12−1k12k1+1k1=k1−11,所以k=±32．故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y=32x和y=−32x．22. （1）由 x=x3−x−x知，x∈0,+∞，而 0=0，且1=−1<0,2=6−2>0,则x=0为 x的一个零点，且 x在1,2内有零点，因此 x至少有两个零点．x=x x2−1−x−12,记φx=x2−1−x−1，则φʹx=2x+12x−3.当x∈0,+∞时，φʹx>0,因此φx在0,+∞上单调递增，则φx在0,+∞内至多只有一个零点．因此 x在0,+∞内也至多只有一个零点，综上所述， x有且只有两个零点．（2）记 x的正零点为x0，即x03=x0+x0①当a<x0时，由a1=a，即a1<x0．而a23=a1+a1<x0+x0=x03,因此a2<x0．由此猜测：a n<x0．下面用数学归纳法证明：1）当n=1时，a1<x0显然成立；2）假设当n=k k≥1时，有a k<x0成立，则当n=k+1时，由a k+13=a k+a k<x0+x0=x03知，a k+1<x0，因此，当n=k+1时，a k+1<x0成立．故对任意的n∈N∗，a n<x0成立．②当a≥x0时，由（1）知， x在x0,+∞上单调递增．则 a≥ x0=0，即a3≥a+a．从而a23=a1+a1=a+a≤a3,即a2≤a，由此猜测：a n≤a．下面用数学归纳法证明：1）当n=1时，a1≤a显然成立；2）假设当n=k k≥1时，有a k≤a成立，则当n=k+1时，由a k+13=a k+a k≤a+a≤a3知，a k+1≤a，因此，当n=k+1时，a k+1≤a成立．故对任意的n∈N∗，a n≤a成立．综上所述，存在常数M=max x0,a，使得对于任意的n∈N∗，都有a n≤M．。
2011年高考理科数学试卷解析(湖南卷)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分1 50分。
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.若，为虚数单位，且，则（）A．B．C．D．答案：D解析：因，根据复数相等的条件可知。
2.设，，则“”是“”则（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件答案：A解析：因“”，即，满足“”，反之”，则，或，不一定有“”。
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．答案：B解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积。
4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”答案：C解析：由，而，故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。
6. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1 C．D．答案：D解析：由定积分知识可得，故选D。
7. 设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为（）A．B．C．D．答案：A解析：画出可行域，可知在点取最大值，由解得。
8.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（）A．1B．C．D．答案：D解析：由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小。
即。
二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
2011年湖南高考数学理科试卷(带详解)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且(i)i i a b +=+，则 （ ） A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b =-=- D ．1,1a b ==-【测量目标】复数的四则运算.【考查方式】利用复数相等的条件直接求值. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】因(i)i 1i i a a b +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-. 2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【测量目标】集合间的关系,充分必要条件. 【考查方式】给出两个集合直接考查. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”.3.如图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）第3题图A ．9π122+ B ．9π182+ C ．9π42+ D ．36π18+【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，通过判断直接求体积. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体， 其体积3439π()332π+18322V =+⨯⨯=. 4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计爱好40 20 60 不爱好20 30 50 总计60 50 110由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：2()P K k … 0.0500.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是 （ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 【测量目标】独立性检验.【考查方式】给出统计图表直接考查. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由27.8 6.635,K ≈>而2( 6.635)0.010P K =…，故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】由双曲线方程直接求出渐近线方程，再结合给出的渐近线方程比较求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =. 6. 由直线ππ,,033x x y =-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．12 B ．1 C．2D【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】直接给出曲线和直线方程求面积. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由定积分知识可得ππ33ππ33cosd sin |(22S x x --===-=⎰7. 设1m >，在约束条件1y xy mx x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为 （ ） A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 【测量目标】线性规划求最值.【考查方式】给出约束条件和目标函数的范围求目标函数y 轴系数的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】可知z x my =+在点1(,)11m m m++取最大值，由 21211m m m+<++解得11m <<. 8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为 （ ）A ．1B ．12C ．2D ．2【测量目标】利用导数判断单调性求最值.【考查方式】利用直线与曲线相交，求相交直线方程再运用导数性质求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由题2||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，则1()2h x x x'=-，令()0h x '=解得2x =，因(0,)2x ∈时，()0h x '<，当()2x ∈+∞时，()0h x '>，所以当2x =时，||MN 达到最小，即2t =.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上.一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 . 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出极坐标方程与参数方程，将其转化为普通方程后解不等式求解. 【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】曲线221:(1)1C x y +-=，2:10C x y -+=，由圆心到直线的距离01d ==<，故1C 与2C 的交点个数为2. 10.设,x y ∈R ,则222211()(4)x y y x++的最小值为 . 【测量目标】不等式选讲.【考查方式】给出两个乘式直接考查. 【难易程度】中等 【参考答案】9【试题解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x+++=…. 11.如图，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，AD BC ⊥,垂足为D , BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 .第11题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】通过线段和圆的位置关系考查. 【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】由题可知，60AOB EOC ∠=∠=，2OA OB ==,得1OD BD ==,3DF =，又23AD BD CD ==，所以3AF AD DF =-=. 二、必做题（12~16题）12．设n S 是等差数列*{}()n a n ∈N 的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S = 【测量目标】等差数列的前n 项和.【考查方式】给出等差数列某两项的值求出通项再求和. 【难易程度】容易 【参考答案】25【试题解析】由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252S +⨯==. 13．若执行如图所示的框图，输入1231,2,3,2x x x x ====， 则输出的数等于 .第13 题图【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】直接给出程序框图考查. 【难易程度】中等 【参考答案】23【试题解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则222(12)(22)(32)233S -+-+-==. 14．在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE == ，则________AD BE =.【测量目标】平面向量在平面几何中的运用. 【考查方式】给出向量间的关系求解. 【难易程度】容易 【参考答案】14-【试题解析】由题12AD CD CA CB CA =-=- ，13BE CE CB CA CB =-=-，所以111171()()232364AD BE CB CA CA CB CB CA =--=--+=-. 15．如图， EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）=______P A （）；（2）=______P B A （|）第15题图【测量目标】几何概型.【考查方式】利用两个图形面积的比值求解. 【难易程度】容易 【参考答案】（1）2π；（2）1=4PB A （|） 【试题解析】（1）由几何概型概率计算公式可得2==πS P A S 正圆（）； （2）由条件概率的计算公式可得21×1π4===24πP AB P B A P A （）（|）（）.16.对于*n ∈N ，将n 表示为1210012122222k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ，当0i =时，1i a =，当1i k 剟时，i a 为0或1.记()I n 为上述表示中i a 为0的个数，（例如0112=⨯，2104120202=⨯+⨯+⨯：故(1)0,(4)2I I ==）则（1）(12)_____I = （2）127()12______I n n ==∑【测量目标】排列组合及其应用. 【考查方式】利用特定的条件求解. 【难易程度】较难 【参考答案】（1）2；（2）1093【试题解析】（1）因3211212+120202=⨯⨯+⨯+⨯，故(12)2I =；（2）在2进制的(2)k k …位数中，没有0的有1个，有1个0的有11C k -个，有2个0的有21C k -个，……有m 个0的有1C m k -个，……有1k -个0的有11C 1k k --=个.故对所有2进制为k 位数的数n ，在所求式中的()2I n 的和为：0112211111112C 2C 2C 23k k k k k k ------⨯++++=. 又712721=-恰为2进制的最大7位数，所以1277()1122231093I n k n k -===+=∑∑.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =.（I ）求角C 的大小；（II πcos()4A B -+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 【测量目标】正弦定理，三角函数的最值. 【考查方式】给出边角之间的关系求解. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C = 因为0π,A <<所以sin 0.A >πsin cos .cos 0,tan 1,4C C C C C =≠==从而又所以则.(步骤1) （II ）由（I ）知3π.4B A =-于是 πcos()cos(π)4A B A A -+=--πcos 2sin().6A A A =+=+3πππ11ππππ0,<+<,=,,46612623A A A A <<∴+= 从而当即时π2sin()6A +取最大值2．（步骤2）πcos()4A B -+的最大值为2，此时π5π,.312A B ==（步骤3） 18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率.(Ⅰ）求当天商品不进货．．．的概率； （Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望. 【测量目标】对立事件的概率，离散型随机变量的期望. 【考查方式】运用实际生活背景考查.【难易程度】容易 【试题解析】（I ）P （“当天商店不进货”）=P （“当天商品销售量为0件”）+P （“当天商品销售量1件”）=153202010+=.（步骤1） （II ）由题意知，X 的可能取值为2，3.51(2)()204P X P ====“当天商品销售量为1件”； (3)()+()+(1953)++32020204P X P P P ====“当天商品销售量为0件”“当天商品销售量为2件”“当天商品销售量为3件”（步骤）故X 的分布列为X2 3 P 14 34 X 的数学期望为13112+3=444EX =⨯⨯.（步骤4）19.（本题满分12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO O = 的直径2,,A B C A B D A C=是的中点,为的中点． （I ）证明：;POD PAC ⊥平面平面 （II ）求二面角B PA C --的余弦值．第18题图【测量目标】面面垂直，二面角.【考查方式】在圆锥中考查. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）连接OC ， 因为OA OC =,D 为AC 中点，所以AC OD ⊥. 又,,.PO O AC O AC PO ⊥⊂⊥ 底面底面所以因为,OD PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC POD ⊥平面而AC PAC ⊂平面，所以POD PAC ⊥平面平面.（步骤1）（II ）在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，由（I ）知，POD PAC ⊥平面平面,所以,OH PAC ⊥平面又,PA PAC ⊂平面所以PA OH ⊥.在平面PAO 中，过O 作OG PA G ⊥于,连接HG ,则有PA OGH ⊥平面， 从而PA HG ⊥，所以OGH ∠是二面角B PA C --的平面角．（步骤2）在Rt ,sin 452ODA OD OA ==△中在Rt ,POD OH ===△中在Rt ,POA OG ===△中在Rt ,sin OH OHG OGH OG ∠===△中所以cos 5OGH ∠=. 故二面角B PA C --的余弦值为5.（步骤3）第19题图20. 如图，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为(0)v v >，雨速沿E 移动方向的分速度为()c c ∈R .E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d =100，面积S =32时. （Ⅰ）写出y 的表达式；（Ⅱ）设0＜v …10,0＜c …5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少.第19题图【测量目标】分段函数模型，利用函数单调性及最值. 【考查方式】利用将立体几何与函数综合考查. 【难易程度】中等【试题解析】（I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||202v c -+， 故100315(||)(3||10)202y v c v c v v=-+=-+.（步骤1） （II ）由(I)知，当0v c <…时，55(310)(3310)15c y c v v v+=-+=-； 当10c v <…时，55(103)(3310)15c y v c v v-=-+=+. 故5(310)15,05(103)15,10c v c vy c c v v +⎧-<⎪⎪=⎨-⎪+<⎪⎩…….（步骤2）(1)当1003c <…时，y 是关于v 的减函数.故当10v =时，min 3202cy =-.（步骤3） (2) 当1053c <…时，在(0,]c 上，y 是关于v 的减函数；在(,10]c 上，y 是关于v 的增函数；故当v c =时，min 50y c=.（步骤4） 21.(本小题满分13分） 如图，椭圆221221(0)x y C a b a b +=>>：，x轴被曲线22:C y x b =- 截得的线段长等于1C 的长半轴长.（Ⅰ）求1C ，2C 的方程；（Ⅱ）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B ,直线MA ,MB 分别与1C 相交于D ,E .（i ）证明：MD ME ⊥；(ii)记△MAB ,△MDE 的面积分别是12,S S .问：是否存在直线l ,使得121732S S =? 请说明理由.第21题图【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】利用直线与椭圆相交的位置关系和条件考查. 【难易程度】较难【试题解析】（I）由题意知c e a ==2a b =，又a =，解得2,1a b ==.故1C ，2C 的方程分别为2221,14x y y x +==-. （步骤1） （II ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为y kx =.由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=，（步骤2） 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212,1x x k x x +==-. 又点M 的坐标为(0,1)-，所以2221212121212121211(1)(1)()1111MA MBy y kx kx k x x k x x k k k k x x x x x x +++++++-++=====--故MA MB ⊥，即MD ME ⊥.（步骤3）（ii ）设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11y k x =-，由1211y kx y x =-⎧⎨=-⎩解得01x y =⎧⎨=-⎩或1211x k y k =⎧⎨=-⎩，则点A 的坐标为211(,1)k k -（步骤4） 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为21111(,1)k k --.于是211111111||||||||.22||k S MA MB k k k +==-= （步骤5）由1221440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2211(14)80k x k x +-=，解得01x y =⎧⎨=-⎩或12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为2112211841(,)1414k k k k -++；（步骤6） 又直线ME 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标211221184(,)44k k k k --++ 于是2112221132(1)||1||||2(14)(4)k k S MD ME k k +==++ 因此21122111(417)64S k S k =++（步骤7） 由题意知，21211117(417)6432k k ++=,解得214k = 或2114k =. 又由点,A B 的坐标可知，21211111111k k k k k k k -==-+，所以3.2k =± 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为32y x =和32y x =-.（步骤8） 22.（本小题满分13分）已知函数f (x ) =3x ，g (x )=x（Ⅰ）求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列*{}()n a n ∈N 满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M ,使得对于任意的*n ∈N ，都有n a …M . 【测量目标】利用导数求单调性，不等式恒成立问题.【考查方式】给出两个函数式，利用导数及不等式求解.【难易程度】较难【试题解析】（I）由3()h x x x =-知，[0,)x ∈+∞，而(0)0h =，且(1)10,(2)60h h =-<=，则0x =为()h x 的一个零点，且()h x 在12（，）内有零点，因此()h x 至少有两个零点（步骤1） 122()(1)h x x x x -=--，记122()1x x x ϕ-=--，则321()22x x x ϕ-'=+. 当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，因此()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，则()x ϕ在(0,)+∞内至多只有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞内也至多只有一个零点，综上所述，()h x 有且只有两个零点.（步骤2） （II ）记()h x 的正零点为0x，即300x x =（1）当0a x <时，由1a a =，即10a x <.而332100a a x x ==，因此20a x <，由此猜测：0n a x <.下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，10a x <显然成立；（步骤3） ②假设当(1)n k k =…时，有0k a x <成立，则当1n k =+时，由13300k k a a x x +=+<知，10k a x +<，因此，当1n k =+时，10k a x +<成立. 故对任意的*n ∈N ，0n a x <成立.（步骤4）（2）当0a x …时，由（1）知，()h x 在0(,)x +∞上单调递增.则0()()0h a h x =…，即3a a +….从而2331a a a a ==，即2a a …，由此猜测：n a a ….下面用数学归纳法证明：①当1n =时，1a a …显然成立；（步骤5） ②假设当(1)n k k =…时，有k a a …成立，则当1n k =+时，由133k k a a a a +=+知，1k a a +…，因此，当1n k =+时，1k a a +…成立.故对任意的*n ∈N ，n a a …成立. 综上所述，存在常数0max{,}M x a =，使得对于任意的*n ∈N ，都有n a M ….（步骤6）。
2011年湖南省高考数学试卷(理科)及答案
2011年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=﹣1，b=﹣1 D．a=1，b=﹣12．（5分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．（5分）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42 B．36π+18 C． D．4．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，．P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”5．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．16．（5分）由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1 C．D．7．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3） D．（3，+∞）8．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，则C1与C2的交点个数为．10．（5分）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为．11．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为．12．（5分）设S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S9=．13．（5分）若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，=2，则输出的数等于．14．（5分）在边长为1的正三角形ABC中，设，，则=．15．（5分）如图，EFGH 是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）P（A）=；（2）P（B|A）=．16．（5分）对于n∈N+，将n 表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×21+a k×20，当i=0时，a i=1，当1≤i≤k时，a1为0或1．记I（n）为上述表示中a i为0的个数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），则（1）I（12）=；（2）=．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC 1）求角C大小；（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．18．（12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点．（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．20．（13分）如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．21．（13分）如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．22．（13分）已知函数f（x）=x3，g （x）=x+．（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）﹣g （x）的零点个数．并说明理由；（Ⅱ）设数列{a n}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（a n+1）=g（a n），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．2011年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•湖南）若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=﹣1，b=﹣1 D．a=1，b=﹣1【分析】利用复数的乘法运算将等式化简；利用复数相等实部、虚部分别相等；列出方程求出a，b的值．【解答】解：（a+i）i=b+i即﹣1+ai=b+i∴a=1，b=﹣1故选D2．（5分）（2011•湖南）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【分析】先由a=1判断是否能推出“N⊆M”；再由“N⊆M”判断是否能推出“a=1”，利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N⊆M当N⊆M时，a2=1或a2=2有所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件．故选A．3．（5分）（2011•湖南）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42 B．36π+18 C． D．【分析】由三视图可知，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加．【解答】解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，四棱柱的体积3×3×2=18，球的体积是，∴几何体的体积是18+，故选D．4．（5分）（2011•湖南）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，．P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【分析】题目的条件中已经给出这组数据的观测值，我们只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于6.635，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”．【解答】解：由题意算得，．∵7.8＞6.635，∴有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”故选：C．5．（5分）（2011•湖南）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由题意，，即可求出a的值．【解答】解：由题意，，∴a=2，故选：C．6．（5分）（2011•湖南）由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1 C．D．【分析】为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解，积分的上下限分别为与，cosx即为被积函数．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积S=cosxdx==﹣（﹣）=，所以围成的封闭图形的面积是．故选D．7．（5分）（2011•湖南）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3） D．（3，+∞）【分析】根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的不等式组，解不等式组即可求出m 的取值范围．【解答】解：∵m＞1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得1﹣＜m＜又∵m＞1解得m∈（1，）故选：A．8．（5分）（2011•湖南）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）（2011•湖南）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，则C1与C2的交点个数为2．【分析】先根据sin2α+cos2α=1，求出曲线C1的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，求出曲线C2的直角坐标方程，然后判定交点个数即可．【解答】解：∵曲线C1的参数方程为（α为参数），sin2α+cos2α=1∴曲线C1的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，p（cosθ﹣sinθ）+1=0∴曲线C2的方程为x﹣y+1=0而圆心到直线的距离d=0＜r，故C1与C2的交点个数为2故答案为：210．（5分）（2011•湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为9．【分析】对展开，利用基本不等式即可求得其最小值．【解答】解：∵x，y∈R，且xy≠0，∴=1+4+≥5+2=9当且仅当时等号成立，∴的最小值为9．故答案为9．11．（2011•湖南）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为．【分析】根据半圆的三等分点，得到三个弧对应的角度是60°，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形的有关长度，做出要求的线段的长度．【解答】解：∵A，E是半圆周上的两个三等分点∴弧EC是一个60°的弧，∴∠EBC=30°，则CE=2，连接BA，则BA=2，∴在含有30°角的直角三角形中，BD=1，DF=，AD=∴AF=，故答案为：12．（5分）（2011•湖南）设S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S9=81．【分析】先根据数列{a n}为等差数列，求出公差d，然后根据等差数列的前n项和公式求得S9．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d，S n=na1+∵a1=1，a4=7∴a4=1+（4﹣1）d=7∴d=2∴S9=9×1+×2=81故答案为：8113．（5分）（2011•湖南）若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，=2，则输出的数等于．【分析】先弄清该算法功能，S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，依此类推，当i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，输出所求即可．【解答】解：S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，i=2S=1+（2﹣2）2=1，i=2，满足条件i＜3，执行循环体，i=3S=1+（3﹣2）2=2，i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，则S=×2=故答案为：14．（5分）（2011•湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设，，则=﹣．【分析】根据，，确定点D，E在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵，∴D为BC的中点，∴，∵，∴，∴=）==﹣，故答案为：﹣．15．（5分）（2011•湖南）如图，EFGH 是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）P（A）=；（2）P（B|A）=．【分析】此题是个几何概型．用面积法求出事件A“豆子落在正方形EFGH内”的概率p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）=即可求得结果．【解答】解：用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，∴P（A）==，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，P（AB）==，∴P（B|A）=．故答案为：．16．（5分）（2011•湖南）对于n∈N+，将n 表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k ×21+a k×20，当i=0时，a i=1，当1≤i≤k时，a1为0或1．记I（n）为上述表﹣1示中a i为0的个数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），则（1）I（12）=2；（2）=1093．【分析】（1）根据题意，分析可得，将n 表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k×21+a k×20，实际是将十进制的数转化为二进制的数，易得12=1×23+1×22+0﹣1×21+0×20，由I（n）的意义，可得答案；（2）将n分为n=127，64≤n≤126，32≤n≤63，…n=1等7种情况，有组合数的性质，分析其中I（n）的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，12=1×23+1×22+0×21+0×20，则I（12）=2；（2）127=1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20，设64≤n≤126，且n为整数；则n=1×26+a1×25+a2×24+a3×23+a4×22+a5×21+a6×20，a1，a2，a3，a4，a5，a6中6个数都为0或1，其中没有一个为1时，有C60种情况，即有C60个I（n）=6；其中有一个为1时，有C61种情况，即有C61个I（n）=5；其中有2个为1时，有C62种情况，即有C62个I（n）=4；…2I（n）=C6026+C61×25+C62×24+C63×23+C64×22+C65×2+1=（2+1）n=36，同理可得：=35，…=31，2I（1）=1；则=1+3+32+…+36==1093；故答案为：（1）2；（2）1093．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）（2011•湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC1）求角C大小；（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．【分析】（1）利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C=．（2）B=﹣A，化简sinA﹣cos（B+），通过0＜A＜，推出＜A+＜，求出2sin（A+）取得最大值2．得到A，B．【解答】解：（1）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC，因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，又cosC≠0，所以tanC=1，C=．（2）有（1）知，B=﹣A，于是sinA﹣cos（B+）=sinA+cosA=2sin（A+）．因为0＜A＜，所以＜A+＜，从而当A+=，即A=时2sin（A+）取得最大值2．综上所述sinA﹣cos（B+）的最大值为2，此时A=，B=．18．（12分）（2011•湖南）某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量（件）0 1 2 3 频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率． （Ⅰ）求当天商品不进货的概率；（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望． 【分析】（I ）“当天商品不进货”包含两个事件的和事件，利用古典概型概率公式求出两个事件的概率；再利用互斥事件的和事件概率公式求出当天商品不进货的概率．（II ）求出x 可取的值，利用古典概型概率公式及互斥事件和事件的概率公式求出x 取每一个值的概率值；列出分布列；利用随机变量的期望公式求出x 的期望． 【解答】解：（I ）P （“当天商店不进货”）=P （“当天商品销售量为0件”）+（“当天的商品销售量为1件”） =（II ）由题意知，X 的可能取值为2，3 P （X=2）=P （“当天商品销售量为1件”）=P （X=3）=（“当天的销售量为0”）+P （“当天的销售量为2件”）+P （“当天的销售量为3件”）=故x 的分布列 x 2 3 pX 的数学期望为EX=19．（12分）（2011•湖南）如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点．（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）连接OC，先根据△AOC是等腰直角三角形证出中线OD⊥AC，再结合PO⊥AC证出AC⊥POD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD ⊥平面PAC；（Ⅱ）过O分别作OH⊥PD于H，OG⊥PA于G，再连接GH，根据三垂线定理证明∠OGH为二面角B﹣PA﹣C的平面角，最后分别在Rt△ODA、Rt△ODP、Rt△OGH中计算出OH、OG和sin∠OGH，最后求出所求二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵OA=OC，D是AC的中点∴AC⊥OD又∵PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O∴AC⊥PO∵OD、PO是平面POD内的两条相交直线∴AC⊥平面POD，而AC⊂平面PAC∴平面POD⊥平面PAC（Ⅱ）在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由（Ⅰ）知，平面POD⊥平面PAC 所以OH⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC∴PA⊥HO在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连接GH，则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG．故∠OGH为二面角B﹣PA﹣C的平面角在Rt△ODA中，OD=OA•sin45°=在Rt△ODP中，OH=在Rt△OPA中，OG=在Rt△OGH中，sin∠OGH=所以cos∠OGH=故二面角B﹣PA﹣C的余弦值为20．（13分）（2011•湖南）如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．【分析】（Ⅰ）E移动时的总淋雨量应该等于单位时间内的淋雨量乘以所用的时间，可先求出单位时间内的淋雨量的式子，再乘以时间即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质，将（Ⅰ）中的函数分解为分段函数的形式，再由c的不同取值范围讨论函数的单调性，在不同的情况下，单调区间不同，总淋雨量最小值对应的v值也不同．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0＜v≤c时，当c≤v≤10时，故（1）当0＜c＜时，y是关于v的减函数，故当v=10时，；（2）当时，在（0，c]上y是关于v的减函数，在（c，10]上，y是关于v的增函数，故当v=c时，答：（Ⅰ）函数y的表达式为（Ⅱ）（1）在0＜c的情况下，当v=10时，总淋雨量y最少；（2）在的情况下，当v=c时，总淋雨量y最少．21．（13分）（2011•湖南）如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．【分析】（Ⅰ）先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程；（Ⅱ）（i）把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B坐标的等量关系，再代入求出k MA•k MB=﹣1，即可证明：MD⊥ME；（ii）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．【解答】解：（Ⅰ）由题得e=，从而a=2b，又2=a，解得a=2，b=1，故C1，C2的方程分别为，y=x2﹣1．（Ⅱ）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，由得x2﹣kx﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1，又点M的坐标为（0，﹣1），所以k MA•k MB=====﹣1．故MA⊥MB，即MD⊥ME．（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x﹣1．由，解得或．则点A的坐标为（k1，k12﹣1）．又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为（﹣，﹣1）．于是s1=|MA|•|MB|=•|k1|••|﹣|=．由得（1+4k12）x2﹣8k1x=0．解得或，，则点D的坐标为（，）．又直线ME的斜率为﹣．同理可得点E的坐标为（，）．于是s2=|MD|•|ME|=．故=，解得k12=4或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=﹣x．22．（13分）（2011•湖南）已知函数f（x）=x3，g （x）=x+．（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）﹣g （x）的零点个数．并说明理由；（Ⅱ）设数列{a n}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（a n+1）=g（a n），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．【分析】（Ⅰ）由h（x）=知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，且h（1）=﹣1＜0，h（2）=6﹣，再研究函数在（0，+∞）上的单调性，以确定零点个数即可（Ⅱ）记h（x）的正零点为x0，即，当a＜x0时，由a1=a，即a1＜x0，而，a2＜x0．由此猜测a n＜x0．当a≥x0时，由（Ⅰ）知，当x∈（x1，+∞）时，h（x）单调递增，h（a）＞h（x0）=0，从而a2＜a，由此猜测a n＜a．然后用数学归纳法证明．【解答】解：（Ⅰ）由h（x）=知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，且h （1）=﹣1＜0，h（2）=6﹣，则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，∴h（x）至少有两个零点．由h（x）=，记，则，当x∈（0，+∞）时，g（x）单调递增，故可判断出h（x）在（0，+∞）仅有一个零点，综上所述，h（x）有且只有两个零点．（Ⅱ）记h（x）的正零点为x0，即，（1）当a＜x0时，由a1=a，即a1＜x0，而，∴a2＜x0．由此猜测a n＜x0．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1＜x0，成立．②假设当n=k时a k＜x0成立，则当n=k+1时，由，知a k＜x0．+1＜x0成立．因此当n=k+1时，a k+1故对任意的n∈N*，a n≤x0成立．（2）当a≥x0时，由（Ⅰ）知，当x∈（x0，+∞）时，h（x）单调递增，∴h（a）＞h（x0）=0，从而a2≤a，由此猜测a n≤a．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1≤a，成立．②假设当n=k时a k＜a成立，则当n=k+1时，由，知a k+1＜a．＜a成立．故对任意的n∈N*，a n≤a成立．因此当n=k+1时，a k+1综上所述，存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．。
2011年湖南卷(理科数学)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（湖南卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a ，b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则 A.1a =，1b = B.1a =-，1b = C.1a =-，1b =- D.1a =，1b =- 2.设集合{1,2}M =，2{}N a =则 “1a =”是“N M ⊆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 3.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.9122π+ B.9182π+ C.942π+ D.3618π+ 4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++算得，22110(40302020)7.860506050k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.正视图侧视图侧视图参照附表，得到的正确结论是A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”5.设双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 A.4 B.3 C.2 D.1 6.由直线3x π=-，3x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为A.12B.1C.27.设1a >，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为A.(1,1+B.(1)++∞ C.(1,3) D.(3,)+∞ 8.设直线x t =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于点M ，N ，则当MN 达到最小时t 的值为 A.1 B.12C.2D.2二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分. （一）选做题：请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分.9.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 .10.设x ,y R ∈，则222211()(4)x y y x++的最小值为 . 11.如图2，A ,E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，AD BC ⊥,垂足为D ,BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 .（二）必做题（12～16题）12.设n S 是等差数列{}n a （n N *∈），的前n 项和，且7,141==a a ，则9S = . 13.若执行如图3所示的框图，输入11x =，22x =，33x =-，2x =则输出的数等于 .14.在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =u u u v u u u v ，3CA CE =u u u v u u u v，则=⋅ .15.如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该院内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴C 影部分）内”，则（1）()P A = ；（2）(/)P B A = .16.对于n N +∈，将n 表示1210012122222k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯L ,当0i =时，1i a =，当1i k ≤≤时，1a 为0或1.记()I n 为上述表示中i a 为0的个数（例如：012I =⨯，2104120202=⨯+⨯+⨯），故(1)0I =，(4)2I =，则 （1）(12)I = ；(2)∑=mn n I 1)(2= .ABCEDFO三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且满足sin cos c A a C ⋅=⋅. （Ⅰ）求角C 的大小；cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小.18.（本小题满分12分）试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率. （Ⅰ）求当天商品不进货的概率；（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期型. 19.（本小题满分12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO ，O e 的直径2AB =,C 是»AB 的中点，D 为AC 的中点.（Ⅰ）证明：平面POD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角B PA C --的余弦值.20.（本小题满分13分）如图，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （0v >），雨速沿E移动方向的分速度为c （c R ∈）.E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c S -⨯成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离100d =，面积32S =时.（Ⅰ）写出y 的表达式；（Ⅱ）设010v <≤,05c <≤，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少.21.（本小题满分13分）如图，椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>），的离心率为，x 轴被曲线2C ：2y x b =- 截得的线段长等于1C 的长半轴长. （Ⅰ）求1C ，2C 的方程；（Ⅱ）设2C 与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1C 相交与D ，E . （i ）证明：MD ME ⊥；（ii ）记MAB ∆，MDE ∆的面积分别是1S ,2S .问：是否存在直线l ,使得121732S S =? 请说明理由.22.（本小题满分13分）已知函数3()f x x =，()g x x =（Ⅰ）求函数()()()h x f x g x =-的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列{}n a （n n N ∈）满足1a a =（0a >），1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M ，使得对于任意的n n N ∈，都有n a M ≤.。
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２011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(理工农医类）
参考公式：（1)()()()
P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >, (2)柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积,h 为高。
(３）球的体积公式343
V R π=，其中R 为求的半径。
一选择题：本大题共8小题,每小题5分,共4０分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的。
１.若,a b R ∈,i 为虚数单位,且()a i i b i +=+，则（ ）
Ａ.1,1a b == B ．1,1a b =-= Ｃ.1,1a b =-=- D.1,1a b ==- 答案：D
2.设{1,2}M =,2
{}N a =,则“1a =”是“N M ⊆”则（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 Ｄ.既不充分又不必要条件
答案：A
解析:因“1a =”,即{1}N =,满足“N M ⊆”,反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”。
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A.
9122π+ Ｂ.9182
π+ C.942π+ D ．3618π+ 答案：Ｂ
解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体,其体积3439+332=18322
V ππ=⨯⨯+（）。
:
由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得2
2110(40302020)7.860506050
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” Ｃ.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
答案：C
解析:由2
7.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=,故由独立性检验的意义可知选C. 5．设双曲线22
21(0)9
x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为( ） A ．４ B.3 Ｃ.2 D ．1
答案：C
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3
y x a =±
,故可知2a =。
６.
由直线,,033x x y ππ
=-==
与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）
Ａ．12
Ｂ.1 Ｃ 答案：D 解析:由定积分知识可得3333cos sin |()2
2
S xdx x π
π
ππ
--=
==--
=⎰故选Ｄ。
７. 设1m >,在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z x my =+的最大值小于2,则m 的取值
范围为（ ）
A.(1,1+ B ．(1)
+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 答案:A
解析：画出可行域，可知5z x y =+在点1(,)11m m m
++取最大值,由21211m m m +<++解得11m <<。
8.设直线x t =与函数2
(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ )。