2020年全国高考导数压轴题汇编

2016全国各地导数压轴题汇编

1、（2016年全国卷Ｉ理数）

已知函数2

)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点

（I ）求a 的取值范围

（II ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，求证：221<+x x

2、（2016年全国卷Ｉ文数）

已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x （I ）讨论)(x f 的单调性

（II ）若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围

3、（2016年全国卷II 理数）

(I )讨论函数x x 2f (x)x 2

-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II )证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax a g x x

-->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.

4、（2016年全国卷II 文数）

已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.

（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；

(II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.

5、（2016年全国卷III 理数）

设函数)1)(cos 1(2cos )(+-+=x a x a x f 其中a ＞0，记|)(|x f 的最大值为A

（Ⅰ）求)(x f '；

（Ⅱ）求A ；

（Ⅲ）证明A x f 2)(≤'

6、（2016年全国卷III 文数）

设函数()ln 1f x x x =-+.

（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x

-<<； （Ⅲ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->.

7、（2016年天津理数）

设函数R x b ax x x f ∈---=,)1()(3

其中R b a ∈, (Ⅰ)求)(x f 的单调区间；

(Ⅱ)若)(x f 存在极点0x ，且)()(01x f x f =其中01x x ≠，求证：3201=+x x ； (Ⅲ)设0>a ，函数|)(|)(x f x g =,求证：)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于．．．4

1

8、（2016年四川理数）

设函数x a ax x f ln )(2

--=其中R a ∈ （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；

（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得x e x

x f -->11)(在区间（1，+∞）内恒成立(e =2.718…

为自然对数的底数)。

9、（2016年山东理数）

已知()2

21()ln ,x f x a x x a R x -=-+∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）当1a =时，证明()3()'2

f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立 2、 (I)()()()()()

'12112.x x f x x e a x x e a =-+-=-+

(i)设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >.

所以在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增.

(ii)设0a <，由()'0f x =得x=1或x=ln(-2a). ①若2

e a =-，则()()()'1x

f x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增. ②若2e a >-，则ln(-2a)<1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞时，()'0f x >；

当()()ln 2,1x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()

ln 2,1a -单调递减. ③若2e a <-，则()21ln a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞时，()'0f x >，当()()1,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减.

(II)(i)设0a >，则由(I)知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增.

又()()12f e f a =-=，，取b 满足b <0且ln 22

b a <，

则()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=-> ⎪⎝

⎭，所以()f x 有两个零点. (ii)设a =0，则()()2x f x x e =-所以()f x 有一个零点.

(iii)设a <0，若2

e a ≥-，则由(I)知，()

f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时，()f x <0，故()f x 不存在两个零点；若2e a <-

，则由(I)知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递减，

在()()ln 2,a -+∞单调递增.又当1x ≤时()f x <0，故()f x 不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为()0,+∞.

3、试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.

且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增，

因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=-

所以(2)(2),(2)20x x

x e x x e x ->-+-++> （II ）22(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x

-+++==+ 由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥ 因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =，

当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；

当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增.

因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为