二次型及其矩阵表示ppt课件
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西北工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
第六章二次型本章共有三节内容：§1 二次型及其矩阵表示§2 化二次型为标准形§3 正定二次型§6.1二次型及其矩阵表示二次型的定义二次型的矩阵表示二次型的标准形合同矩阵一、二次型的定义12(,,,)n f x x x n 元二次型是指如下形式的二次齐次多项式211112121313112222232322222222n n n n nn n a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++++++++ 定义6.112,,,n x x x ；n 元二次型的特点：①含n 个自变量②二次齐次多项式：只含或的项，无一次项2i x i j x x 和常数项。
221212(,)5f x x x x =++不是二次型例如：特点：只含有变量的平方项，无混合乘积项。
222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 当a ij 为实数时，称f 为实二次型；当a ij 为复数时，称f 为复二次型。
本章仅讨论实二次型。
标准形：二、二次型的矩阵表示12,1(,,,)n n ij i ji j f x x x a x x ==∑ 若将改写成2()ij i j a x x i j <,ij i j ji j i a x x a x x +，其中ij ji a a =，则二次型可以表示为ij ji a a =即A 是对称矩阵，则二次型可用矩阵形式表示为：111211212222121212(,,)(,,)n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠若令11121121222212,n n n n nn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠A x ，其中T=x Ax 实对称矩阵A 称为二次型f 的矩阵，也把f 称为实对称矩阵A 的二次型,实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，二次型与实对称矩阵之间是一一对应的关系。
线性代数ppt 第五章 二次型
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n , a nn
x =
x1 x2 , xn
则 二 次 型 可 记 作 f = xT Ax, 其 中 A为 对 称 矩 阵 .
(3)
此时A 此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A 的矩阵, 称为对称矩阵A 对应的二次型. 对应的二次型. 对矩阵A的秩叫做二次型 的秩 二次型f的秩 二次型 的秩. f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2 )=3x +3x +2x
k1 0 TAP = P … 0
0 k2 … 0
… … … …
0 0 … kn
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
三. 矩阵的合同 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 记为: A B. 可逆矩阵 使得P 矩阵P 记为: 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. An与Bn合同(congruent): 合同(congruent):
(1) 反身性: A A; 反身性: A; (2) 对称性: A B B A; 对称性: (3) 传递性: A B, B C A C. 传递性:
定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
作业 P151 1. (B) 1(1), (3); 2
本章主要内容 (1) 二次型矩阵表示 (2) 标准二次型,规范二次型 标准二次型, 二次型 (3) 将二次型化为标准形 (4)二次型的正定型的判定—主要是利用顺序 (4)二次型的正定型的判定 主要是利用顺序 二次型的正定型的判定— 主子式判定 主子式判定 作业: 作业: P152 7(1); 20(1)
6.1 二次型及其矩阵表示
6
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
二、二次型的矩阵表示
推导 f ( x1 , x2 , L , xn ) =
2 a11 x1 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 x n 2 + a 21 x 2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 x n
LLLLLLLLLL 2 + a n1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
定义 含有 n 个变量的二次齐次多项式称为 n 元二次型。 个变量的二次齐次 二次齐次多项式称为 二次型。
(一般) 一般)
2 2 例如 (1) f ( x , y ) = 3 x + 8 x y + 2 y
是一个二 二次型。 是一个二元二次型。
2 2 2 (2) f ( x , y , z ) = x + 2 x y + 6 x z + 2 y + 4 y z + 4 z
2 2
3 4 x = ( x, y ) . 4 2 y
4
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
试试看： 试试看： (2) f ( x , y , z ) = x 2 + 2 x y + 6 x z + 2 y 2 + 4 y z + 4 z 2
=
x1 (a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n x n )
线性代数—二次型(课件)
称 为 由 变 量 x 1 , x 2 , , x n 到 y 1 , y 2 , , y n 的 一 个 线 性 变 换 。
记
x 1
X
x2
,
x n
y 1
Y
y2
,
y n
c11
C
c21
cn1
c12 c22
cn2
c1n
c2n
,
cnn
则上述线性变换可以写成矩阵形式： XCY. 11
的矩阵A和二次型的秩，其 中 a 1,a 2,a 3不 全 为 零 。
解 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) ( a 1 x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 ) 2
a1 2
a1
x1
( x1 , x2 , x3 ) a2 (x1, x2, x3)a2(a1,a2,a3)x2,
a3
x1 c11y1 c12y2 c1n yn x2 c2 1y1 c22y2 c2n yn , xn cn1 y1 cn2 y2 cnnxn
C 称为该线性变换的矩阵。
XCY.
若 C 0 ， 则 此 线 性 变 换 称 为 可 逆 线 性 变 换 。
如果C 为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。
a 2x 2 2 2 2 a 2x 3 2 x 3 2 a 2 n x 2 x n
称为一个(n元)二次型.
ann xn2
本书只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。
3
f(x1,x2,,xn) a 1 x 1 2 1 2 a 1 x 1 2 x 2 2 a 1 x 1 3 x 3 2 a 1 n x 1 x n
6
f(x1,x2, ,xn)XTA,X
高等代数讲义ppt第五章二次型
顺序主子式全大于零。
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
线性代数课件：第六章实二次型
线性代数课件第六章实二次型
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
二次型及其矩阵表示
二次型的标准型的意 义
标准型在二次型的理论和应用中具有 重要意义。例如，通过研究标准型， 我们可以更好地了解二次型的性质和 特点。此外，标准型也常常用于求解 二次型的最小二乘问题等应用中。
二次型的标准化的方 法
二次型的标准化方法包括将二次型转 化为标准型的过程。这个过程可以通 过正交变换来实现，具体来说就是通 过一系列可逆变换将二次型转化为其 同类中最为简单的一种形式。
02
二次型的矩阵表示
二次型的矩阵形式
二次型的矩阵形式
二次型可以表示为矩阵的形式，其中矩阵元素是二次项系数。对于一个二次型 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，其矩阵形式可以表示为 $f = x^T A x$，其中 $A$ 是一个对称矩阵。
矩阵的对称性
对于一个二次型 $f = x^T A x$，如果存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $f = (Px)^T A (Px)$ ，则称该二次型是正定的。正定二次型的矩阵 $A$ 是对称正定的。
正定二次型的性质
正定二次型具有一些特殊的性质。例如，正定二次型的标准型是唯一的，并且可以通过正 交变换将任何一个正定二次型转化为标准型。此外，正定二次型的矩阵是正定的，即其所 有特征值都是正的。
二次型的标准型介绍
二次型的标准型定义
二次型的标准型是指将二次型转化为 其同类中最为简单的一种形式。通过 作可逆变换，任何一个二次型都可以 化为标准型。
03
二次型的计算方法
二次型的矩阵计算
矩阵的二次型
对于一个给定的矩阵A，其二次型可以通过对其进行矩阵乘法 得到。
矩阵的奇异值分解
奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法，这种 方法可以用于计算二次型的值。
第五章二次型--精品PPT课件
设 f (x1…xn) = X’AX是K上n元二次型, 做非退 化线性替换X=CY, 其中C是K上的n阶可逆 阵. 则 f ( x1…xn ) = Y’C’YCY = g( y1…yn ).
定义: A , B∈Kn×n , A与B称为合同的,如果存 在n阶可逆阵C, 使B = C’AC.
注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系. 注 2: 若A与B合同, A’= A, 则B’=B.
p=n.
f (x1 … xn)是半正定型
f (x1 … xn)的正惯性指数
p=r ≤ n.
f (x1 … xn)是负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数q=n.
f (x1 … xn)是半负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数
q=r ≤ n.
正定二次型与正定矩阵_3
定理: A’ =A∈Rn×n, 则下列条件等价: (1).A是正定阵. (2).对任意0≠X∈Rn×1, 有X’AX > 0. (3).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得P’AP = In. (4).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得A = P’P. (5).A的正惯性指数p = n. (6).A的所有主子式 > 0. (7).A的所有顺序主子式 > 0. (8).A的所有特征值 > 0.
注 2 : R上n阶对称阵，按合同关系分类共有
(n+1)(n+2)/2类
正定二次型与正定矩阵_1
设f (x1 … xn)是R上n元二次型,如果对
(a1,a2,…,an)≠0，恒有：
(1).f (a1 … an) > 0, 则称 f (x1 … xn)是正定二次型. (2).f (a1 … an)≥0,则称 f (x1 … xn)是半正定二次型. (3) .f (a1 … an) < 0,则称 f (x1 … xn)是负定二次型. (4) . f (a1 … an)≤0, 则称 f (x1 … xn)是半负定二次型.
定义: A , B∈Kn×n , A与B称为合同的,如果存 在n阶可逆阵C, 使B = C’AC.
注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系. 注 2: 若A与B合同, A’= A, 则B’=B.
p=n.
f (x1 … xn)是半正定型
f (x1 … xn)的正惯性指数
p=r ≤ n.
f (x1 … xn)是负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数q=n.
f (x1 … xn)是半负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数
q=r ≤ n.
正定二次型与正定矩阵_3
定理: A’ =A∈Rn×n, 则下列条件等价: (1).A是正定阵. (2).对任意0≠X∈Rn×1, 有X’AX > 0. (3).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得P’AP = In. (4).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得A = P’P. (5).A的正惯性指数p = n. (6).A的所有主子式 > 0. (7).A的所有顺序主子式 > 0. (8).A的所有特征值 > 0.
注 2 : R上n阶对称阵，按合同关系分类共有
(n+1)(n+2)/2类
正定二次型与正定矩阵_1
设f (x1 … xn)是R上n元二次型,如果对
(a1,a2,…,an)≠0，恒有：
(1).f (a1 … an) > 0, 则称 f (x1 … xn)是正定二次型. (2).f (a1 … an)≥0,则称 f (x1 … xn)是半正定二次型. (3) .f (a1 … an) < 0,则称 f (x1 … xn)是负定二次型. (4) . f (a1 … an)≤0, 则称 f (x1 … xn)是半负定二次型.
§1 二次型及其矩阵表示、化二次型为标准形
2）若x＝Cy为可逆线性变换，则有可逆线性变换 y C 1 x
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
3、二次型经过可逆线性变换仍为二次型
事实上，
f ( x1, x2,..., xn ) xT Ax
x Cy
— —— —— —— —
| C | 0
(Cy)T A(Cy)
yT (CT AC ) y yT By g( y1, y2,..., yn )
①
L L L L
ann xn2
称为n元二次型(或简称二次型)．
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
注意
1) 为了计算和讨论的方便,式①中 xij (i j) 的系数
写成 2aij .
2) 式① 也可写成
n
f ( x1, x2 ,L , xn ) aii xi2 2
aij xi x j
an1
a22 M an2
... ...
a2n x2
M ann
xMn
n
a1 j x j
( x1,
x2 ,...,
xn )
j1 n
a2 j x j
j1
M
n
anj x j
j1
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
原二次型矩阵是合同的.
进而，有: 若AT A, BT B,
二次型 xT Ax 可经可逆的线性变换化为二次型 yT By
A与B合同.
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
四、 化二次型为标准形
二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
3、二次型经过可逆线性变换仍为二次型
事实上，
f ( x1, x2,..., xn ) xT Ax
x Cy
— —— —— —— —
| C | 0
(Cy)T A(Cy)
yT (CT AC ) y yT By g( y1, y2,..., yn )
①
L L L L
ann xn2
称为n元二次型(或简称二次型)．
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
注意
1) 为了计算和讨论的方便,式①中 xij (i j) 的系数
写成 2aij .
2) 式① 也可写成
n
f ( x1, x2 ,L , xn ) aii xi2 2
aij xi x j
an1
a22 M an2
... ...
a2n x2
M ann
xMn
n
a1 j x j
( x1,
x2 ,...,
xn )
j1 n
a2 j x j
j1
M
n
anj x j
j1
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
原二次型矩阵是合同的.
进而，有: 若AT A, BT B,
二次型 xT Ax 可经可逆的线性变换化为二次型 yT By
A与B合同.
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
四、 化二次型为标准形
二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型
第九章二次型掌握二次型及其矩阵的定义.ppt
X PY
2020-6-7
谢谢阅读
11
3、定义： 若矩阵P非奇异（可逆，非退化），
则称变量的线性变换X PY是非奇异的 （可逆的，非退化的）
注： X PY 是非奇异的 矩阵P可逆
P 0
2020-6-7
谢谢阅读
12
4、分析： f ( x1, x2,..., xn ) X AX
非奇异X PY
bij yi y j .
i2 j2
2020-6-7
谢谢阅读
22
nn
由归纳假设，对
bij yi y j 有非退化线性替换
i2 j2
z2 c22 y2 c23 y3 L c2n yn
z3 c32 y2 c33 y3 L c3n LLLLLLLLLL
zn cn2 y2 cn3 y3 L cnn
j2
j2
n
nn
a11( a111a1 j x j )2
aij xi x j
j2
i2 j2
配方 法
n
n
nn
a11[ x1 ( a111a1 j x j )]2 a111( a1 j x j )2
aij xi x j
j2
j2
i2 j2
n
nn
a11[ x1 ( a111a1 j x j )]2
（这表明二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
2020-6-7
正因为如此，讨论二次型时矩 阵是一个有力的工具.
谢谢阅读
8
3、例题: 1）求下列二次型的矩阵
f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x1x2 x1x3
f ( x1, x2 ) ( x1, x2 )
二次型及其矩阵表示
f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 a12 x1x2 L L a1n x1xn
a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn L L L L L L L L
an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
nn
aij xi x j .
基本结论
1、二次型经过线性替换仍为二次型. 2、二次型X´AX经非退化线性替换化为二次型Y´BY
A 与 B合同，即存在可逆阵 C Pnn，使 B CAC.
3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.
§5.1 二次型及其矩阵表示
f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 2a12 x1x2 L 2a1n x1xn
a22 x22 L L L 2a2n x2 xn
a33 x32 L 2a3n x3 xn
①
Байду номын сангаас
L L L L
ann xn2
称为数域P上的一个n元二次型（Quadratic Form）．
§5.1 二次型及其矩阵表示
)
2 7
4 8
6 5
x2 x3
n
3. xi2
xi x j
i 1
1i jn
n
4. ( xi x)2,
i 1
其中
x
1 n
n i 1
xi .
§5.1 二次型及其矩阵表示
二、非退化线性替换
1、定义 x1, x2 ,L , xn; y1, y2 ,L , yn 是两组文字,
cij P,i, j 1,2,...n
非退化线性替换：
x1 c11 y1 c12 y2 L c1n yn
第九章 二次型-掌握二次型及其矩阵的定义.ppt
3、性质: 若A与B合同, 则秩A = 秩B
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15
4、比较：合同，相似
A与B合同 存在可逆矩阵P可使PAP B 秩A=秩B
A与B相似 存在可逆矩阵P可使P1AP B 秩A=秩B AB fA(x) fB (x) 特征值相同
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y1 y2 yn
,
它是非退化的，
nn
且使 f ( x1, x2 , , xn ) a11 y12
bij yi y j .
i2 j2
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22
nn
由归纳假设，对
bij yi y j 有非退化线性替换
i2 j2
z2 c22 y2 c23 y3
x1
y1－
n
a111a1 j y j
令
j2
y2 x2
或
j2
x2 y2
yn xn
xn yn
即,
x1
1
x2 xn
0 0
a12 a11 1 0
0
a1n a11 0
1
ii）二次型与它的矩阵相互唯一确定
（这表明二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
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正因为如此，讨论二次型时 矩阵是一个有力的工具.
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8
3、例题: 1）求下列二次型的矩阵
f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x1x2 x1x3
《线性代数与空间解析几何》7-2二次型及其矩阵表示1.ppt
0 0 1 0 0 1
1 1 3 1 1 1.
0 0 1
C 2 0.
2 5
2 35
1
3
令
Q 1
2
3
1 5
4 35
2 3
,
0
则 Q 为正交矩阵且 ：
5 35
2 3
1
QT
AQ
Q 1
AQΒιβλιοθήκη 110.§7.2 化二次型为其标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
设 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn ,
x2 c21 y1 c22 y2 c2n yn ,
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可 记作
主轴定理
例2 将二次型 f 2x12 x22 2 2x1x2化成标准形,
并求所用正交变换矩阵.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 2 2
A 2 1
2 AE
2 2 3 0
2 1
得特征值 1 0, 2 3.
2．求特征向量
将 0代入AX 0,得基础解系 1
x1-2x2 2x3 2
去掉配方后多出来的项
4x22 4x32 +8x2 x3 2x22 2x32 8x2 x3
x1 2x2 2x3 2 6x22 6x32 16x2 x3
x1 2x2 2x3
2
6(
x22
8 3
x2
x3
)
6 x32
x1 2x2 2x3
2
6
1
=
1 3
(1,
2,
2)T
1 1 3 1 1 1.
0 0 1
C 2 0.
2 5
2 35
1
3
令
Q 1
2
3
1 5
4 35
2 3
,
0
则 Q 为正交矩阵且 ：
5 35
2 3
1
QT
AQ
Q 1
AQΒιβλιοθήκη 110.§7.2 化二次型为其标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
设 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn ,
x2 c21 y1 c22 y2 c2n yn ,
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可 记作
主轴定理
例2 将二次型 f 2x12 x22 2 2x1x2化成标准形,
并求所用正交变换矩阵.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 2 2
A 2 1
2 AE
2 2 3 0
2 1
得特征值 1 0, 2 3.
2．求特征向量
将 0代入AX 0,得基础解系 1
x1-2x2 2x3 2
去掉配方后多出来的项
4x22 4x32 +8x2 x3 2x22 2x32 8x2 x3
x1 2x2 2x3 2 6x22 6x32 16x2 x3
x1 2x2 2x3
2
6(
x22
8 3
x2
x3
)
6 x32
x1 2x2 2x3
2
6
1
=
1 3
(1,
2,
2)T
61二次型及其矩阵表示
取 a ji aij , 则 2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,
于是
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f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x2(a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
( x1,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
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都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
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二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
a11
x1
,
x2
,,
xn
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
x1
x
x2
,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
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于是
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f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x2(a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
( x1,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
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都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
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二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
a11
x1
,
x2
,,
xn
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
x1
x
x2
,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
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项的标准方程
a'x'2+c'y'2=f
(2)
在二次曲面的研究中也有类似的问题.
2 2020/5/27
定义 n元变量x1,x2,...,xn的二次多项式
f (x1, x2 ,L , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13x1x3 L 2a1n x1xn a22 x22 2a23x2 x3 L 2a2n x2 xn LLLLLL
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
6 2020/5/27
例设
f (x1, x2 , x3, x4 ) 2x12 x1x2 2x1x3
4x2 x4 x32 5x42
则它的矩阵为
2
1 2
1
0
1
A
2
0
0
2
1 0 1 0
0 2 0 5
7 2020/5/27
例 写出二次型
X T AX 1 (X T BX X T BX ) X T BX 2
这表明对称矩阵A是二次型 X T BX 的矩阵。
10 2020/5/27
一个二次型XTAX也可看成n维向量a的一个函数,即 f(a)=XTAX.
其中X=(x1,x2,...,xn)T是a在Rn的一组基下的坐标 向量. 所以二次型XTAX是向量a的n个坐标的二次齐 次函数. 因此二次型作为n维向量a的函数, 它的矩阵
记
a11 a12 L
A
a21 M
a22 M
L O
an1 an2 L
a1n aM2n , ann
(6.4)
X=(x1,x2,...,xn)T. 二次型(6.3)可以用矩阵乘积形式 简单表示为
nn
f (x1, x2,L , xn )
aij xi x j X T AX (6.5)
i1 j1
即二次型f(a)在两组基{e1,e2,...,en}和{h1,h2,...,hn}
下所对应的矩阵分别为 A 和 CTAC
其中CTAC仍是对称阵, YT(CTAC)Y是y1,y2,...,yn的 一个二次型.
12 2020/5/27
对于一般的二次型f(x1,x2,...,xn), 将其化为y1,y2,...,yn 的纯平方项之代数和(简称平方和), 是研究二次型的一
f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
1 2 0 A 2 2 3.
0 3 3
1 5 2 x1
求二次型
6.1 二次型及其矩阵表示
1 2020/5/27
二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨 论的有心二次曲线, 当中心与坐标原点重合时, 其一般方程是
ax2+2bxy+cy2=f
(1)
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式
. 为了便于研究这个二次曲线的几何性质, 通过
基变换(坐标变换), 把方程(1)化为不含x,y混合
f
x1,
x2
,
x3
9
4
10
x2
的矩阵A，
6 2 4 x3
并求f 的秩。
9 2020/5/27
设B为n阶方阵, 求证f X T BX的矩阵是A 1 (B BT ) 2
显然A是对称矩阵，x Rn
X T AX 1 ( X T BX X T BT X ) 2
X T BT X ( X T BT X )T X T BX
形.
13 2020/5/27
定义 对于两个矩阵A和B, 如果存在可逆阵C, 使得CTAC=B, 就称A合同于B, 记作AB.
由定义容易证明, 矩阵之间的合同关系也 具有反身性, 对称性和传递性. 由于合同关系有 对称性, 所以A合同于B, 也说成A与B是合同的, 或A,B是合同矩阵.
14 2020/5/27
个基本问题.
解决这个问题的基本方法是作一个非退化的线性
变换
X=CY,
(其中C为可逆阵, 这个变换也可看成向量a在基变换下
的坐标变换), 使得 XTAX=YT(CTAC)Y
成为y1,y2,...,yn的平方和. 这个基本问题, 从矩阵的角度来说, 就是对于一个
实对称矩阵, 寻找一个可逆矩阵C, 使得CTAC成为对角
是与一组基相联系的.
11 2020/5/27
如果a在两组基{e1,e2,...,en}和{h1,h2,...,hn}下的坐
标向量分别为
X=(x1,x2,...,xn)T和Y=(y1,y2,...,yn)T,
又 (h1,h2,...,hn)=(e1,e2,...,en)C,
于是
X=CY.
如此则有二次型 f(a)=XTAX=YT(CTAC)Y
ann xn2
(6.1)
当系数属于数域F时, 称为数域F上的一个n元
二次型.本章讨论实数域上的n元二次型, 简称二次型.
3 2020/5/27
由于xixj=xjxi, 具有对称性, 若令
aji=aij,
i<j,
(6.2)
则2aijxixj=aijxixj+ajixixj(i<j), 于是(6.1)式可以写成
对称形式
f (x1, x2 ,L , xn ) a11x12 a12 x1x2 L a1n x1xn a21x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn LLLL
an1xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
nn
aij xi x j .
i1 j1
(6.3)
Байду номын сангаас4 2020/5/27
5 2020/5/27
把A称为二次型的矩阵, 对于任意一个二次型 (6.1), 总可以通过(6.2)使其写成对称形式(6.3), 并对应
矩阵A. 由(6.2)知, A为对称矩阵, 又若A,B为n阶对称
方阵, 且 f(x1,x2,...,xn)=XTAX=XTBX,
则必有A=B. 故二次型和它的矩阵是相互唯一确定的. 所以, 研究二次型的性质转化为研究A所具有的性质.