怎么求一元二次函数的最大值和最小值

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高中数学最值问题12种

高中数学最值问题12种高中数学最值问题是指在一定条件下，找出某个函数的最大值和最小值的问题。

这些问题需要通过一定的方法来求解，涉及到导数、不等式、二次函数、三角函数等数学知识。

下面我们将介绍12种高中数学最值问题的解法和相关概念。

1.函数的最大值和最小值：函数的最大值和最小值是指函数的各个值中最大和最小的值。

一元函数的最大值和最小值通常可以通过求解导数为0的点来获得。

多元函数的最大值和最小值可能需要使用拉格朗日乘数法等方法。

2.二次函数的最值：二次函数的最值可以通过求解顶点坐标来获得。

二次函数的最大值发生在开口向下的情况下，最小值发生在开口向上的情况下。

3.三角函数的最值：三角函数的最值可以通过研究函数的周期性和对称性来获得。

一般情况下，三角函数的最值为1和-1。

4.不等式的最值：不等式的最值是指不等式的解集中最大和最小的值。

不等式的最值可以通过求解方程来获得。

需要注意确定不等式边界的方式。

5.绝对值函数的最值：绝对值函数的最值可以通过研究函数的分段性质来获得。

需要考虑绝对值函数的参数取值范围。

6.对数函数的最值：对数函数的最值可以通过研究函数的定义域和值域来获得。

对数函数的最大值和最小值通常发生在底数小于1的情况下。

7.指数函数的最值：指数函数的最值可以通过研究函数的定义域和值域来获得。

指数函数的最大值和最小值通常发生在指数大于1的情况下。

8.等式的最值：等式的最值是指满足等式的变量的最大和最小的值。

等式的最值通常可以通过求解方程组来获得，在求解过程中需要注意排除无解的情况。

9.不定积分的最值：不定积分的最值可以通过求导和临界点的方式来获得。

需要注意确定积分的上下界。

10.定积分的最值：定积分的最值可以通过函数在积分区间上的最值来获得。

需要注意确定积分的上下界和积分变量的取值范围。

11.矩形面积的最值：矩形面积的最值可以通过求解矩形的边长和面积关系来获得。

需要注意确定矩形的条件和限制条件。

12.三角形面积的最值：三角形面积的最值可以通过求解三角形的边长和高的关系来获得。

一元二次方程求最小值

一元二次方程求最小值
一元二次方程的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是实数且a≠0。

要求一元二次方程的最小值，需要先确定函数的凸凹性。

一元二次方程是一个二次函数，它的图像可以是一个开口朝上或者朝下的抛物线。

而抛物线的最小值或最大值就对应着函数的凸部分的顶点。

1. 如果a > 0，那么抛物线开口朝上。

在这种情况下，二次函数的最小值等于抛物线的顶点的纵坐标。

2. 如果a < 0，那么抛物线开口朝下。

在这种情况下，二次函数的最小值不存在。

为了求得抛物线的顶点，可以使用顶点公式：x = -b / (2a)。

通过将x的值代入二次函数，可以得到对应的y值，即为函数的最小值。

需要注意的是，如果二次函数的最小值不对应于方程的解，则表示该方程无实数解。

此时，最小值是函数的极小值，仅存在于图像上。

二次函数在各种区间上的最值

二次函数在各区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。

分析：将配方，得顶点为、对称轴为当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。

（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是当时，可类比得结论。

二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。

函数的最大值为，最小值为。

图1练习. 已知，求函数的最值。

解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。

将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。

函数的最小值为，最大值为。

图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。

解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。

图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。

当时，函数取得最小值。

图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。

一元二次函数

一元二次函数一、一元二次函数的定义形如y=ax 2+bx+c(其中a ≠0)的函数称之为一元二次函数。

一般情况下，我们会把一元二次函数改写成：224()24b ac b y a x a a-=++写成这样的目的主要是：〔1〕可以看出对称轴方程及顶点坐标；抛物线的对称轴的方程为：x= -2b a 顶点坐标为〔-2b a ，244ac b a-)〔2〕可以得到最大、小值：当a ＞0，y 取最小值，y= 244ac b a-当a<0，y 取最大值，y= 244ac b a-由一元二次函数的对称轴，从而我们可以知道一元二次函数的单调性：当a>0时，〔-∞，-2b a ]为单调减区间；[-2b a ，+∞〕为单调增区间。

当a<0时，[-2b a ，+∞〕为单调减区间；〔-∞，-2ba]为单调增区间〔3〕解答平移问题方便。

平移的法那么遵循两条：左加右减，上加下减。

题型一：平移图像，求新的解析式【例题1】：y=x 2-2x+3向左移动一个单位，向上移动两个单位，移动后的解析式是什么？解答：y=(x-1)2+2根据“左加右减〞的原那么，向左移动一个单位，那么有：y=(x-1+1)2+2 根据“上加下减〞的原那么，向上移动两个单位，那么有y=(x-1+1)2+2+2 所以，最终的结果是：y=x 2+4题型二：三点求函数的解析式——方法：待定系数法【例题2】一元二次方程y=ax 2+bx+c 经过点A(1，3),B(2，4),C(3，11),求函数的解析式。

解答：根据题意有：a b c 34a 2b c 49a 3b c 11++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解上面的方程组，得：388a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以：y=3x 2-8x+8【例题3】函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为A(-3，0),B(1，0),并且经过点〔4,21〕，求函数的解析式。

一般情况下，如果告诉你一元二次方程的两个解x 1，x 2；这个时候我们设：y=a(x-x 1)(x-x 2)最为方便。

求函数的最大值和最小值方法归纳总结

函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。

例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。

3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。

将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。

例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。

通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。

例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。

将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。

二次函数在闭区间上的最值(详解)

二次函数在闭区间上的最值(详解)二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况。

设函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，求f(x)在x∈[m,n]上的最大值与最小值。

分析：将f(x)配方，得顶点为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴为x=-b/2a。

当a>0时，它的图像是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值：1）当-b/2a∈[m,n]时，f(x)的最小值是f(-b/2a)，f(x)的最大值是max{f(m),f(n)}。

2）当-b/2a∉[m,n]时，若-b/2a<m，由f(x)在[m,n]上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是max{f(-b/2a),f(n)}；若n<-b/2a，由f(x)在[m,n]上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是min{f(-b/2a),f(n)}。

当a<0时，可类比得结论。

二、例题分析归类：一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1.函数y=-x^2+4x-2在区间[0,3]上的最大值是6，最小值是-2.练.已知函数f(x)=x^2+x+1(x≤3)，求函数f(x)的最值。

2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2.如果函数f(x)=-x^2+2x+t在区间[t+1,t+2]上，求f(x)的最值。

例3.已知f(x)=-x^2-4x+3，当x∈[t,t+1](t∈R)时，求f(x)的最值。

二次函数最值知识点总结典型例题及习题

二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。

一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。

例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。

分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。

c - b^2/4a)。

因此，对称轴为x = -b/2a。

当a。

0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。

结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。

2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。

当a < 0时，情况类似。

二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。

t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。

二次函数求最大值和最小值的公式

二次函数求最大值和最小值的公式一次函数一般可以表示为y=ax+b，在图像上可以表示为一条直线，而二次函数则是数学中的一个更抽象的概念，它更常见的模式是y=ax^2+bx+c，它表示的是一条弧线，而这个弧线的最大值和最小值，就称作“二次函数求最大值和最小值的公式”，今天我们就来讲讲这个求最大值和最小值的公式。

首先，我们来看看如何求解二次函数的最大值和最小值的公式。

对于给定的二次函数 y=ax^2+bx+c，求其最大值和最小值的公式是f(x)=ax^2+bx+c，其中 a，b，c常数。

根据高等数学规律，二次函数的最大值或最小值的取值是在其函数的一阶导数为零的位置上，也就是求解一元二次方程 ax^2+bx+c=0，这就是求解二次函数最大值和最小值的公式。

其次，我们来讲讲求解二次函数最大值和最小值的具体步骤，它可以总结为三个步骤：（1）计算函数的一阶导数：由二次函数得到它的一阶导数f(x)=2ax+b，并将它代入原函数，求出原函数的最大值或最小值。

（2）求出一元二次方程的解：根据一元二次方程的求解公式，将 f(x)=2ax+b入一元二次方程 ax^2+bx+c=0，计算出一元二次方程的解。

（3）用解代入原函数：将解代入原函数，即 f(x)=ax^2+bx+c，计算出的就是原函数的最大值或最小值。

总结一下，求解二次函数求最大值和最小值的公式，需要计算函数的一阶导数，将求得的一元二次方程解代入原函数，即可得出原函数的最大值或最小值。

在学习求解二次函数求最大值和最小值的公式时，需要注意的是，在计算最大值和最小值的时候，要根据题目要求，判断函数是求最大值还是求最小值，这样才能得出准确的答案。

总之，二次函数求最大值和最小值的公式是一个比较重要的数学概念，理解和掌握了它，就可以帮助我们更加准确地解决数学中的问题了。

一元二次方程极值

一元二次方程极值数学中的一元二次方程是我们学习数学时必须掌握的基础知识之一。

在解一元二次方程时，我们不仅需要求出方程的根，还需要求出方程的极值。

本文将从定义、求解方法和实际应用三个方面来探讨一元二次方程的极值。

一、定义一元二次方程的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

在数学中，我们通常用导数来求解函数的极值。

对于一元二次函数，我们可以通过求导数来求解其极值。

二、求解方法对于一元二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，我们可以通过求导数来求解其极值。

首先，我们需要求出函数的导数 $f'(x)=2ax+b$。

然后，我们令导数等于零，即 $2ax+b=0$，解得 $x=-\frac{b}{2a}$。

将 $x=-\frac{b}{2a}$ 代入原函数 $f(x)$ 中，即可求出函数的极值。

当 $a>0$ 时，函数的极小值为 $f(-\frac{b}{2a})$；当 $a<0$ 时，函数的极大值为 $f(-\frac{b}{2a})$。

三、实际应用一元二次方程的极值在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，我们可以通过求解一元二次方程的极值来确定物体的最大高度、最大速度等。

在经济学中，我们可以通过求解一元二次方程的极值来确定企业的最大利润、最小成本等。

此外，一元二次方程的极值还可以应用于优化问题。

例如，在生产过程中，我们可以通过求解一元二次方程的极值来确定最优的生产方案，从而实现生产效益的最大化。

总之，一元二次方程的极值是数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。

通过掌握求解方法和实际应用，我们可以更好地理解和应用一元二次方程的极值。

二次函数最大值与最小值公式

二次函数最大值与最小值公式
二次函数最大值与最小值
二次函数，也称二次多项式，是一类在近几十年十分热门的函数，它的定义域是实数集，其表达式通常如下形式：
y=ax2+bx+c (a≠0)
又可以把这个函数写成如下形式：
y=a(x-x1)(x-x2)
其中x1,x2是二次函数的两个极值点，是它最大值或最小值取得条件。

那么对这个函数，最大值和最小值的求法有如下数学表达式：
若a>0，函数在x1处取最小值ymin=a(x1-x2)(x2-x1)=ax12-bx1-c；函数在
x2处取最大值ymax=ax22-bx2-c。

若a<0，函数在x1处取最大值ymax=a(x1-x2)(x2-x1)=ax12-bx1-c；函数在
x2处取最小值ymin=ax22-bx2-c。

如果我们把上面的公式整理一下，就可以得到最大值与最小值的公式：
当a>0时，ymax=ax22-bx2-c ,ymin=ax12-bx1-c；
当a<0时，ymax=ax12-bx1-c ,ymin=ax22-bx2-c。

以上就是关于二次函数最大值与最小值的公式，它们可以通过这个公式计算出最大值或最小值的坐标点，也可以计算出函数的最大值或最小值的大小。

在学习数学的过程中，计算这类函数最大最小值对于我们来说一定很有必要，常熟记此类公式，以便在需要的时候使用。

怎么求二次函数最大值和最小值

二次函数通常是指带有一元二次项的代数式，其一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a 不等于0。

该函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线。

下面是求二次函数最大值和最小值的方法：
当二次函数的系数a大于0时，函数的图像开口朝上，最小值在顶点处取得。

顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

因此，可以通过求解函数的一阶导数（也就是斜率函数）等于0的点，即解出二次函数的顶点，从而得到最小值。

当二次函数的系数a小于0时，函数的图像开口朝下，最大值在顶点处取得。

同样地，可以通过求解函数的一阶导数等于0的点，即解出二次函数的顶点，从而得到最大值。

需要注意的是，二次函数的最大值和最小值只有在函数的定义域范围内才有意义。

因此，在应用上述方法求解最大值和最小值时，需要先确定函数的定义域。

一元二次函数的三种取值范围

一元二次函数的三种取值范围一元二次函数是高中数学中常见的函数形式之一，其一般形式为y = ax^2 + bx + c。

在研究一元二次函数时，我们常常关注三个要素：系数a的正负性、判别式Δ的大小以及函数图像的开口方向。

首先，让我们来看系数a的正负性对一元二次函数的取值范围的影响。

当a>0时，函数图像开口朝上，称为正向开口；而当a<0时，函数图像开口朝下，称为负向开口。

这一点可以从函数的一元二次项的符号来判断。

正向开口的函数在定义域的两边分别有一个最小值，而负向开口的函数在定义域的两边分别有一个最大值。

因此，无论正向开口还是负向开口，一元二次函数的取值范围都没有上下限，可以取到正无穷或负无穷。

其次，我们来考虑判别式Δ的大小对一元二次函数的取值范围的影响。

判别式Δ主要涉及到函数的图像与x轴交点的情况。

判别式Δ的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。

当Δ>0时，函数图像与x轴有两个交点，因此函数的取值范围是介于这两个交点之间的实数；当Δ=0时，函数图像与x轴有且仅有一个交点，此时函数的取值范围是一个确定的实数；而当Δ<0时，函数图像与x轴没有交点，此时函数的取值范围是一个空集。

因此，判别式Δ的大小对一元二次函数的取值范围有着重要的影响。

最后，让我们关注一元二次函数图像的开口方向对取值范围的影响。

除了前面提到的正向开口和负向开口，一元二次函数还可以是横向开口或闭口的。

当变量x为实数时，横向开口的函数没有上下限，可以取到正无穷或负无穷；而闭口的函数则有一个最值，最小值发生在“山谷”中间的x轴交点处，最大值发生在“山顶”上。

横向开口和闭口的函数图像可以通过一元二次函数公式中的系数b的正负性来决定。

综上所述，一元二次函数的三种取值范围主要与系数a的正负性、判别式Δ的大小以及函数图像的开口方向有关。

通过研究这三个要素，我们可以更好地理解一元二次函数的性质，并在解题中进行正确的判断和求解。

在数学的世界中，每个要素都有其重要性和意义，它们共同构建了一元二次函数的全貌，帮助我们掌握函数的取值范围，更好地应用数学知识解决实际问题。

一元二次函数图像

一元二次函数图像一、一元二次函数型式y ＝ax 2＋bx ＋c 或f (x)＝ax 2＋bx ＋c二、一元二次函数图像画法1、形状：抛物线2、开口：a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下3、对称轴：x ＝－ab 2 4、与x 轴的交点：方程的根5、最大最小值：ab ac 424-三、例题1、 y ＝x 2－5x ＋6解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝25 方程根：x 2－5x ＋6＝0 x ＝2或x ＝3最小值：a b ac 424-＝－412、 y ＝x 2＋5x ＋6解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝－25 方程根：x 2＋5x ＋6＝0 x ＝－2或x ＝－3 最小值：a b ac 424-＝－413、 y ＝－x 2＋5x －6解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝25 方程根：－x 2＋5x －6＝0 x ＝2或x ＝3最大值：a b ac 424-＝414、 y ＝－x 2－5x －6解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝－25 方程根：－x 2－5x －6＝0 x ＝－2或x ＝－3 最大值：a b ac 424-＝415、 y ＝x 2－2x解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝1 方程根：x 2－2x ＝0 x ＝0或x ＝2 最小值：a b ac 424-＝－16、 y ＝－x 2－2x解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝－1 方程根：－x 2－2x ＝0 x ＝0或x ＝－2 最大值：a b ac 424-＝17、 y ＝x 2－2x ＋1解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－ab 2＝1 方程根：x 2－2x ＋1＝0 x ＝1最小值：a b ac 424-＝08、 y ＝－x 2＋2x －1解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－ab 2＝1 方程根：－x 2＋2x －1＝0 x ＝1最大值：ab ac 424-＝09、 y ＝x 2解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝0 方程根：x 2＝0x ＝0最小值：a b ac 424-＝010、 y ＝－x 2解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝0 方程根：－x 2＝0 x ＝0最大值：a b ac 424-＝011、 y ＝x 2＋x ＋1解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝－21 方程根：△＜0，方程无解最小值：a b ac 424-＝4312、 y ＝－x 2＋x －1解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝21 方程根：△＜0，方程无解最大值：a b ac 424-＝－43一元二次函数图像题1、y＝x2－7x＋102、y＝x2＋3x＋23、y＝－x2＋7x－124、y＝－x2－6x－85、y＝x2＋7x6、y＝－x2＋7x7、y＝x2＋4x＋48、y＝－x2＋6x－99、y＝x2＋x＋210、y＝－x2＋2x－4。

二次函数求最大值和最小值的公式

二次函数求最大值和最小值的公式二次函数在数学中具有重要的应用价值，特别是在求解实际问题中的最大值和最小值时，往往涉及到二次函数的最值问题。

在这篇文档中，我们将介绍如何通过求导数的方法来求解二次函数的最大值和最小值的公式。

二次函数的一般形式二次函数通常具有如下一般形式：y=ax2+bx+c，其中a eq0。

求二次函数的最值要求二次函数y=ax2+bx+c的最大值和最小值，可以通过以下步骤进行：1.首先，求出二次函数的导数。

对y=ax2+bx+c求导得到y′=2ax+b。

2.然后，令导数y′等于零，即2ax+b=0。

3.解以上方程可以得到导数为零时的横坐标 $x = -\\frac{b}{2a}$。

4.将横坐标 $x = -\\frac{b}{2a}$ 代入原二次函数y=ax2+bx+c中，即可求得纵坐标y。

5.最大值和最小值的判定：如果a>0，则二次函数开口向上，此时y=ax2+bx+c在 $x = -\\frac{b}{2a}$ 处取得最小值；如果a<0，则二次函数开口向下，此时y=ax2+bx+c在 $x = -\\frac{b}{2a}$ 处取得最大值。

举例说明以一个具体的例子来说明如何求解二次函数的最大值和最小值。

考虑二次函数y=x2−4x+3。

1.首先，求导数：y′=2x−4。

2.令导数y′=0，得到2x−4=0，解之得x=2。

3.将x=2代入原函数y=x2−4x+3，得到y=2。

4.由于a=1>0，所以二次函数y=x2−4x+3在x=2处取得最小值y=2。

结论通过以上步骤，我们可以得出二次函数求最大值和最小值的公式：对于二次函数y=ax2+bx+c，最小值为 $x = -\\frac{b}{2a}$ 时的函数值，最大值为 $x = -\\frac{b}{2a}$ 时的函数值（当a<0）。

这种方法对于求解二次函数的最值问题具有一定的普适性，能够帮助我们更好地理解二次函数的特性和性质。

最值问题19种题型

最值问题19种题型最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型，它要求我们找出一组数值中的最大值或最小值。

在解决最值问题的过程中，我们需要运用数学知识和技巧来推导和计算，以找到正确的答案。

下面将介绍19种最值问题的题型及其解法。

1.一元一次函数最值问题：给定一个一元一次函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

2.二次函数最值问题：给定一个二次函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

3.分段函数最值问题：给定一个分段函数，求其最大值或最小值。

解法是分别求出每个区间内的最大值或最小值，并比较大小。

4.绝对值函数最值问题：给定一个含有绝对值的函数，求其最大值或最小值。

解法是分别讨论绝对值的取正值和取负值的情况，并比较大小。

5.指数函数最值问题：给定一个指数函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

6.对数函数最值问题：给定一个对数函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

7.三角函数最值问题：给定一个三角函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

8.组合函数最值问题：给定一个由多个函数复合而成的函数，求其最大值或最小值。

解法一般是使用复合函数的链式法则进行求导，并令导数为零求解。

9.线性规划最值问题：给定一组线性不等式和线性目标函数，求其满足约束条件的最大值或最小值。

解法一般是使用线性规划的方法进行求解。

10.几何图形最值问题：给定一个几何图形，求其最大面积、最小周长等最值问题。

解法一般是使用几何知识和公式进行计算。

11.统计问题最值问题：给定一组数据，求其中的最大值、最小值或其他统计量。

解法一般是对数据进行排序或使用统计学方法。

12.矩阵最值问题：给定一个矩阵，求其中的最大值、最小值或其他特殊元素。

解法一般是使用矩阵运算和线性代数方法。

13.排列组合最值问题：给定一组元素，求其中的最大值、最小值或特殊组合。

用完全平方公式求最大最小值的方法

用完全平方公式求最大最小值的方法在数学中，完全平方公式是解决一元二次方程的重要工具之一。

除了解决方程外，完全平方公式还可以帮助我们求解二次函数的最值，即函数的最大值和最小值。

本文将介绍如何利用完全平方公式求解二次函数的最值问题。

什么是完全平方公式？完全平方公式是指将一个二次三项式等式变为平方形式的方法。

对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0，如果可以将其写成(a⋅x + b/2a)2 = d的形式，那么我们就可以利用完全平方公式求解它的根。

完全平方公式常用的形式有：•(a + b)2 = a2 + 2ab + b2•(a - b)2 = a2 - 2ab + b2求二次函数的最值步骤对于一个一般的二次函数f(x) = ax2 + bx + c，可以通过以下步骤求解函数的最值：1.将f(x)写成完全平方形式。

2.根据完全平方的形式，确定二次函数的最值点。

3.通过判断二次函数对称轴的位置，得出函数的最值。

具体步骤首先考虑一个标准的二次函数f(x) = ax2 + bx + c，我们可以将其写成完全平方形式：f(x) = a(x + b/2a)<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>/4a + c根据完全平方的形式，我们可以看出当x = -b/2a 时，f(x)取得最值。

此时，函数的最值为：•最小值：当a > 0 时，函数最小值为 -b2/4a + c•最大值：当a < 0 时，函数最大值为 -b2/4a + c例如，对于函数f(x) = 2x2 - 8x + 6，通过完全平方公式，可以得到f(x) = 2(x - 2)2 + 2。

因此，当x = 2 时，函数取得最小值为2。

此时，函数的最小值为2。

结论利用完全平方公式求解二次函数的最值是一种简单而有效的方法。

通过将二次函数写成完全平方形式，我们可以轻松确定函数的最值点，从而快速求解二次函数在不同区间内的最大值和最小值。

如何轻松找出一个二次函数的最大值或最小值

如何轻松找出一个二次函数的最大值或最小值抛物线顶点的纵坐标值（一般用k表示），是该二次函数的最大值或最小值。

我们学下怎么找它的值吧！步骤方法 1y = ax2 + bx + c 形式•1 确定你要找的是最大值还是最小值。

只能找其中一个，不能同时找俩。

二次函数的最值出现在顶点。

对于y = ax2 + bx + c， (c - b2/4a)就是顶点的函数值了。

a是正的情况：我们得到最小值，因为抛物线开口向上。

（顶点就是最低点了） a 是负的情况：我们得到最大值，因为抛物线开口向下（顶点就是最高点了。

）a的值如果是0，则就不是二次函数，不是我们的讨论范围。

1 确定你要找的是最大值还是最小值。

只能找其中一个，不能同时找俩。

二次函数的最值出现在顶点。

对于y = ax2 + bx + c， (c - b2/4a)就是顶点的函数值了。

a是正的情况：我们得到最小值，因为抛物线开口向上。

（顶点就是最低点了）a 是负的情况：我们得到最大值，因为抛物线开口向下（顶点就是最高点了。

） a的值如果是0，则就不是二次函数，不是我们的讨论范围。

方法 2y = a(x-h)2 + k 形式1 对于y = a(x-h)2 + k ，k就是顶点的函数最值。

k 是二次函数的最大值或最小值，根据 a的正负有所变化。

方法 3例子1找出这个函数的最大或最小值： f(x) = x2 + x + 12找出这个函数的最大或最小值： f(x) = -2(x-1)2 + 3小提示•抛物线的对称轴为x = h•-h 是取得最值时的自变量值。

.。

高中函数的最大值和最小值怎么求

高中数学中函数的最大值和最小值求解方法
在高中数学中，函数的最大值和最小值是关于函数在定义域内取得的最大和最小值。

为了求解函数的最大值和最小值，我们需要掌握一些方法和技巧，下面将介绍几种常见的方法：
寻找导数为零点
对于连续可导的函数，其极值点通常出现在导数为零的点。

因此，我们可以通过对函数求导并解方程找到函数的最大值和最小值。

具体步骤如下：
1.求出函数的导数。

2.解方程求出导数为零的点。

3.确定这些点中哪些是最大值，哪些是最小值。

利用一元二次函数的性质
当函数为一元二次函数时，可以利用一元二次函数的性质来求得最大值和最小值。

一元二次函数通常具有一个顶点，顶点处即为函数的最大值或最小值。

求解方法如下：
1.将一元二次函数表示为标准形式。

2.根据顶点公式，求出顶点的横坐标。

3.将横坐标代入函数中，求出最大值或最小值。

利用函数的性质
有些函数具有特定的性质，例如指数函数、对数函数等。

针对这些特定函数，我们可以利用其性质来求解最大值和最小值。

以指数函数为例，指数函数具有非负性，因此最小值为0。

对数函数则要求底数大于1才有定义，因此最小值为正数。

综上所述，求解函数的最大值和最小值是高中数学中的一个重要知识点。

通过掌握导数为零点、一元二次函数的性质以及函数的特性，我们可以灵活应用不同的方法来解决函数最大值和最小值的问题。

希望通过这些方法的介绍，读者能够更好地理解和掌握这一知识点。

一元二次函数最大值

一元二次函数最大值一、引言一元二次函数是高中数学中的重要内容，它在数学、物理、经济等领域都有广泛的应用。

其中，求一元二次函数的最大值是一个常见的问题，本文将从数学角度出发，探讨一元二次函数最大值的求解方法。

二、基本概念在介绍一元二次函数最大值的求解方法之前，我们先来了解一些基本概念。

一元二次函数的一般式为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$。

其中，$a$、$b$、$c$都是常数，$x$、$y$是变量。

一元二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。

三、求解方法1. 完成平方对于一元二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以通过完成平方的方法，将其转化为标准式$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=-\frac{b}{2a}$，$k=c-\frac{b^2}{4a}$。

这样，我们就可以通过观察标准式中的$k$值，来判断一元二次函数的最大值。

当$a>0$时，最大值为$k$；当$a<0$时，最大值为无穷小。

2. 导数法另一种求解一元二次函数最大值的方法是使用导数。

我们可以对一元二次函数$y=ax^2+bx+c$求导，得到$y'=2ax+b$。

当$y'=0$时，即可求得函数的极值点。

此时，函数的最大值为极值点的纵坐标。

需要注意的是，当$a>0$时，极值点为最小值；当$a<0$时，极值点为最大值。

四、例题解析现在，我们通过一个例题来进一步理解一元二次函数最大值的求解方法。

例题：求函数$y=2x^2-4x+3$的最大值。

解析：首先，我们可以通过完成平方的方法，将函数转化为标准式。

将$y=2x^2-4x+3$改写为$y=2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{2}$，可以看出，函数的最大值为$\frac{7}{2}$。

另一种方法是使用导数。

对函数$y=2x^2-4x+3$求导，得到$y'=4x-4$。