最新泛函分析题目

川大2011年泛函分析模拟试题

一、 叙述题

1、 在度量空间(),X ρ中，列紧集、完全有界集的定义及二者之间的关系

列紧集：设A 是度量空间(),X ρ的一个子集，若{}n x A ∀⊂在X 中有一个收敛子列

{}k

n x ，则称A 为列紧集；

完全有界集：M 是度量空间(),X ρ的一个子集，0ε∀>，都存在M 的一个有穷ε网，则称M 为完全有界集。

关系：()A M ⊂列紧集一定是完全有界集，完全有界集不一定是列紧集：但在完备的度量空间中，列紧集与完全有界集等价（即A M ⇔）

2、 在欧式空间n

R 中，有界集、完全有界集和列紧集三者之间的关系；紧集与有界闭

集的关系

在欧式空间n R 中，有界集⇔完全有界集⇔列紧集， 紧集⇔有界闭集 二、

证明题：

1、 线性算子T 在D 上连续⇔T 在D 上有界。

证 充分性：因为T 在D 上有界，故0, T M

x D x M x

∃>∀∈≤成立

，即

Tx T M x θθ

-≤-，故T 在θ点连续，从而T 在D 上连续；

必要性：若T 在D 无界，

0,,..n n n

n x D st Tx n x ∀>∃∈>

令

n n n

x y n x =

，

则

10n n n x y n x n

==→，即0n y →。又因为T 连

续，

故0n n Ty T Ty θθ=⇒→→，

这与1n

n n

Tx Ty n x =

> 矛

盾，故假设不成立，即T 在D 上有界。

2、 求证(),l X Y 为B 空间。（其中X 为*

B 空间，Y 为B 空间）

证 显然(),l X Y 是一个线性空间，兹证T 是范数：

()0,000T T T x x X T ≥=⇔=∀∈⇔=；

1212121

2

1

1

1

s u p s u p s u p x x x T T T x T x T x

T x T T

===+=+≤+=+

；

1

1

sup sup x x aT aTx a Tx a T

=====。

再证完备性。设{}(),n T l X Y ∀⊂为基本列，由0,,,N n N p N ε+

∀>∃∀>∀∈，

有

1

sup n n p n n p x T T T x T x ε++=-=-< ⇒ 0,,,,N n N p N x X ε+∀>∃∀>∀∈∀∈，

有

n n p T x T x x

ε+-<，说明{}n T x 为Y 中的基本列，而Y 为B 空间

()n T x y Y n →∈→∞，记Tx y =。我们要证(),T l X Y ∈，不难看出T 是线性的，再

证其有界。事实上，n N ∃∈使得()11n n Tx y T x T x

=≤+≤+ ()

,1x X x ∀∈=

即得

1n T T ≤+ 。

3、 Hilbert 空间X 中的正交投影算子为线性有界算子。

证 设闭线性子空间()M X H ⊂ ，依正交分解定理，x X ∀∈，存在唯一的分解

,y M z M ⊥∈∈，使得 x y z =+。

记 :M P x y X M =→ 称M P 为正交投影算子。 ①M P 是线性算子 令

111222M M x P x z x P x z =+⎫

⎬=+⎭

则()1212M M x x P P z z αβαβαβ+=+++

()1212M M M P x x P x P x αβαβ⇒+=+

②有界性 x X ∀∈ 有2

222

M P x

x z x =-≤ ⇒M P x x ≤； 由①和②知，

M P 是有界的线性算子。

三、 S 是由一切序列()12,,,,n x x x x =

⋯⋯组成的集合，在S 中定义距离为

()11,21n n n

n n n

x y x y x y ρ∞

=-=+-∑，求证S 是一个完备的距离空间。

证 先证S 是距离空间：

()11

,021n n n n n n

x y x y x y ρ∞

=-=≥+-∑当且仅当(),0x y x y ρ==时；

()()11,,21n n

n

n n n

x y x y y x x y ρρ∞

=-==+-∑ ()()()1111111

,212111211211

,,21n n n n

n n n n n n n n n

n n n n n n n

n

n n n n

n n n n

n n n n n n n n n

x y x z z y x y x y x z z y x z z y x z x z z y x z z y x z z y z y ρρρ∞

∞==∞∞==∞

=--+-=≤+-+-+-⎛⎫--- ⎪≤+

= ⎪+-+-+-⎝

⎭

-+=++-∑∑∑∑∑ 即S 是一个以ρ为距离的距离空间,记作(),S ρ；

再证距离空间(),S ρ是完备的： 取基本列{}

m x S ⊂若

()()()

()()()()1

1

,021m p m n n

m p m n m p m n n n

x x x x x x ρ+∞

++=-=→+-∑

(当,m p N →∞∀∈),则()

()

,0m p m n n n N x x +∀∈-→(当,m p N →∞∀∈).

于是存在()()**

, m

n n n x x x m →→∞使得当.因此, 0ε∀>,取0n ,使得

1

22

n ε

<,再取N ,使当m N >时有

()*2m n n x x ε

-< ()01,2,,n n =⋯

,

便得到