第6篇第3讲基本不等式
谈谈配凑基本不等式中的和式与积式的技巧
备考指南备考指南式变形为(m -2)(y -3)=6，将目标式变形为2(m -2)+3(n -3)+13，并把2(m -2)+3(n -3)视为两式的和，直接使用基本不等式求得最值.三、幂的变换幂的变换主要通过乘方来实现升幂、降幂.当代数式中含有指数幂，且指数幂的次数不一样时，往往可以通过幂的变换来改变指数，从而配凑出两式的和或积，为运用基本不等式创造条件.例3.已知α∈[0,π2]，则cos αsin α的最大值为_____.解：(cos αsin α)4=cos 4αsin 2α=12cos 2α⋅cos 2α⋅2sin 2α≤12(cos 2α+cos 2α+2sin 2α3)3=427,当且仅当cos 2α=2sin 2α，即tan α因此cos αsin α目标式中含有根式，需将其乘四次方，进行升幂处理，以去掉根号，并将根式化为2次式，就可以将cos 2α、cos 2α、2sin 2α看作三个式子的积，而其和为定值2，再运用基本不等式求得最值.四、换元变换换元法是解答高中数学问题的常用方法.运用换元法解答问题时，需从代数式的特征入手，将其中较为复杂的式子，如根式、根号下的式子、绝对值内部的式子、频繁出现的式子等用一个新元替换，通过换元建立目标式与已知关系式之间的联系，以配凑出两式的和或积.例4.已知x 2-3xy +2y 2=1，则x 2+y 2的最小值为_____.解：由x 2-3xy +2y 2=(x -y )(x -2y )=1，令t =x -y ，则x -2y =1t(t ≠0)，因为x 2+y 2=[2(x -y )-(x -2y )]2+[(x -y )-(x -2y )]2，则x 2+y 2=(2t -1t )2+(t -1t )2=5t 2+2t2-6≥-6=210-6，当且仅当5t 2=2t2，即t 25则x 2+y 2的最小值为210-6.先将已知关系式进行因式分解；然后令t =x -y ，即可将目标式转化为关于t 的式子5t 2+2t 2-6.而5t 2+2t 2为两式的和，其积为定值，这样便通过换元，配凑出基本不等式中的和式与积式.五、倒数变换进行倒数变换的难度较大，不仅需要仔细观察代数式的结构特征，建立各式之间的联系，还需熟练运用所学的公式进行恒等变换.有些式子，如根式、有理式、分式、对数式，在取倒数后，其形式、结构就会发生变化，这就为配凑两式的和或积创造了条件.例5.已知α，β∈(0，π2)，且tan α=3tan β，则α-β的最大值为______.解：令tan(α-β)=k ，则k =tan α-tan β1+tan αtan β=2tan β1+3tan 2β，取倒数得：1k =12tan β+32tan β≥=3，当且仅当12tan β=32tan β，即tan βtan α=3，α=π3，β=π6时取等号，此时k由于α，β∈(0，π2)，则0<α-β<π2，可得0<k 而正切函数在(0，π2)上单调递增，因此α-β的最大值为π6.我们直接求α-β的最大值的难度较大，于是从两角和的正切公式入手，通过取倒数，构造出两式的和与积，从而求得最值.总之，要配凑出基本不等式中的和式与积式，需掌握并灵活运用一些进行恒等变换的技巧，通过“1”的变换、加减变换、幂的变换、换元变换、倒数变换，将代数式进行合理的变形.（作者单位：四川省遂宁市第二中学校）57。
基本不等式解题“三步走”
课程篇基本不等式主要包含下列四种形式：①a+b ≥2ab √；②a 2+b 2≥2ab ；③ab ≤（a+b 2）2；④2（a 2+b 2）≥（a+b ）2。
其应用因灵活多变，不易为学生掌握，本文从解题角度入手来帮助学生解决这个问题。
第一步：应用特征基本不等式的应用特征：题目中会出现和（a+b ），积（ab ），倒数和（1a +1b ），平方和（a 2+b 2）四个中的两个，且一个是定值，一个是最值。
举例如下：例1.已知a 2+b 2=1（a ，b>0），求a+b 的最大值。
分析：条件中有平方和为定值、结论中有和为最值，满足基本不等式的应用特征，故可以直接使用基本不等式求解。
而包含和与平方和的基本不等式是公式④。
解：∵（a+b ）2≤2（a 2+b 2）=2×1=2∴a+b ≤2√（当且仅当a=b =2√2时等号成立）∴a+b 的最大值为2√。
例2.α为锐角，求sin αcos α的最大值。
分析：题目中只有一个字母α，但可以发现结论中是sin α与cos α积的最值，而sin α与cos α的平方和是定值1为隐藏条件，满足基本不等式的应用特征。
包含和与积的基本不等式是公式②。
解：∵2sin αcos α≤sin 2α+cos 2α=1∴sin αcos α≤12（当且仅当sin α=cos α=2√2，即α=π4时等号成立）∴sin αcos α的最大值为12。
点评：在使用基本不等式时可能会出现在和、积、倒数、平方和这四个中，题目上只有一个最值。
那就需要你寻找隐藏的定值，而隐藏的定值就必然在剩下三个中（例1）。
同时在使用中不一定是两个字母，它可能是只有一个字母（例2）。
第二步：应用技巧在题目满足基本不等式的应用特征时，经常会出现不能直接得出定值或直接应用公式的情况。
这时就需要有一定的技巧进行转化，技巧规律为：加减常数（或定值）与乘除常数（或定值）。
举例如下：例3.求x +4x+1（x >0）的最小值。
初中不等式知识点总结(合集12篇)
初中不等式知识点总结第1篇转化思维转化思维，既是一种方法，也是一种思维。
转化思维，是指在解决问题的过程中遇到障碍时，通过改变问题的方向，从不同的角度，把问题由一种形式转换成另一种形式，寻求最佳方法，使问题变得更简单、清晰。
创新思维创新思维是指以新颖独创的方法解决问题的思维过程，通过这种思维能突破常规思维的界限，以超常规甚至反常规的方法、视角去思考问题，得出与众不同的解要培养质疑的习惯在家庭教育中，家长要经常引导孩子主动提问，学会质疑、反省，并逐步养成习惯。
在孩子放学回家后，让孩子回顾当天所学的知识：老师如何讲解的，同学是如何回答的？当孩子回答出来之后，接着追问：“为什么？”“你是怎样想的？”启发孩子讲出思维的过程并尽量让他自己作出评价。
有时，可以故意制造一些错误让孩子去发现、评价、思考。
通过这样的训练，孩子会在思维上逐步形成独立见解，养成一种质疑的习惯。
初中不等式知识点总结第2篇1、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集。
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
初中不等式知识点总结第3篇1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立;初中不等式知识点总结第4篇1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上;2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想;3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。
高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)
高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇）篇一：高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。
2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。
教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。
（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。
基本不等式的教学设计一等奖4篇
第4篇教学设计一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形．（二）能力训练点培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．（三）德育渗透点培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．（四）美育渗透点通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操，数学教案－不等式和它的基本性质教学设计方案(二)。
二、学法引导1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法．2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．三、重点·难点·疑点及解决办法（一）重点掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．（二）难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．（三）疑点弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点．（四）解决办法讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键．四、课时安排一课时五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片．六、师生互动活动设计1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质．2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质．3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育．七、教学步骤（一）明确目标本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用．（二）整体感知通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方．（三）教学过程1．创设情境，复习引入什么是等式？等式的基本性质是什么？学生活动：独立思考，指名回答．教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式．请同学们继续观察习题：（1）用“＞”或“＜”填空．①7＋3____4＋3 ②7＋（－3）____4＋（－3）③7×3____4×3 ④7×（－3）____4×（－3）（2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误．【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质．学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质．教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变．”师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书．不等式基本性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，－3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论．【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的.方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书．不等式基本性质2 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式基本性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．师生活动：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记．强调：要特别注意不等式基本性质3．实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？学生活动：思考、同桌讨论．归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似．下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．①若，则，；②若，且，则，；③若，且，则，．师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用．注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若，则．②若，且，则，这些先不要向学生说明．2．尝试反馈，巩固知识请学生先根据自己的理解，解答下面习题．例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．（1）（2）（3）（4）学生活动：学生独立思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．教师板书（1）（2）题解题过程．（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变．所以（2）根据不等式基本性质1，两边都减去，得（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4得【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与或对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范．例2 设，用“＜”或“＞”填空．（1）（2）（3）学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照．解：（1）因为，两边都减去3，由不等式性质1，得（2）因为，且2＞0，由不等式性质2，得（3）因为，且－4＜0，由不等式性质3，得教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励．注意问题：例2（3）是根据不等式性质3，不等号方向应改变．这是学生做题时易出错误之处．【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力．3．变式训练，培养能力（1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示．）①∵∴（）②∵∴（）③∵∴（）④∵∴（）⑤∵∴⑥∵∴（）学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛．答案：①（A）②（B）③（C）④（C）⑤（C）⑥（A）【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．（2）单项选择：①由得到的条件是（）A．B．C．D．②由由得到的条件是（）A．B．C．D．③由得到的条件是（）A．B．C．D．是任意有理数④若，则下列各式中错误的是（）A．B．C．D．师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由．答案：①A ②D ③C ④D（3）判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”①∵∴( ) ②∵∴( )③∵∴( ) ④若，则∴，( )学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误．答案：①√②×③√④×【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）练习第③④题易出错，教师应讲清楚．（四）总结、扩展1．本节重点：（1）掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3．（2）能正确应用性质对不等式进行变形．2．注意事项：（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点．（2）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．3．考点剖析：不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题．八、布置作业（一）必做题：P61 A组4，5．（二）选做题：P62 B组1，2，3．参考答案（一）4．（1）（2）（3）（4）5．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（二）1．（1）（2）（3）2．（1）（2）（3）（4）3．（1）（2）（3）九、板书设计6.1 不等式和它的基本性质（二）一、不等式的基本性质1．不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．若，则，．2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，若，，则．3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则．二、应用例1 解（1）（2）（3）（4）例2 解（1）（2）（3）三、小结注意不等式性质3的应用．四、背景知识与课外阅读盒子里有红、白、黑三种球，若白球的个数不少于黑球的一半，且不多于红球的，又白球和黑球的和至少是55，问盒中红球的个数最少是多少个？第5篇教学设计初二下册数学16.1.2分式的基本性质说课稿设计16.1.2《分式的基本性质》说课稿今天我说课的内容是《分式的基本性质》。
高中数学基本不等式讲解
高中数学基本不等式讲解一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是围绕高中数学中的重要内容——基本不等式进行讲解。
基本不等式不仅是解决数学问题的有力工具，而且对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略选择能力具有重要意义。
通过本节课的学习，学生将掌握基本不等式的性质、应用条件及其在解题中的应用策略。
2、教学对象本次教学的对象是高中二年级的学生。
经过之前的学习，他们已经具备了一定的代数运算能力和逻辑推理能力，但对于基本不等式的理解可能还停留在表面，缺乏深入的认知和灵活的运用。
因此，本节课将针对学生的实际情况，通过启发式教学、案例分析等方式，帮助学生更好地理解基本不等式，提高解题能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解基本不等式的定义及其证明过程，掌握基本不等式的表达形式；（2）能够运用基本不等式解决实际问题，如求最值、证明不等式等；（3）掌握基本不等式的应用条件，了解其在解决高中数学问题中的重要性；（4）通过基本不等式的学习，提高学生的运算速度和准确率，增强代数变形能力。
2、过程与方法（1）采用启发式教学方法，引导学生主动探究基本不等式的性质和证明过程，培养学生的自主学习能力；（2）通过典型例题的讲解和练习，使学生掌握基本不等式的应用方法，提高解决问题的策略选择能力；（3）组织小组讨论，让学生在合作交流中碰撞出思维的火花，相互学习，共同提高；（4）注重培养学生从特殊到一般、从具体到抽象的思维方式，提高学生的逻辑推理能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的探究精神和创新意识；（2）通过基本不等式的学习，使学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，增强学生的实用主义观念；（3）培养学生严谨、细致的学习态度，使学生养成认真审题、规范解题的良好习惯；（4）教育学生遵循数学的客观规律，尊重事实，树立正确的价值观；（5）通过团队合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力，提高学生的综合素质。
三个未知数的基本不等式
三个未知数的基本不等式在数学中，不等式是一个重要的概念。
它描述了数之间的大小关系，使用不等号（<，>，≤，≥）来表示。
今天我们将讨论三个未知数的基本不等式。
首先，让我们看看一个关于三个未知数的简单不等式。
假设我们有三个实数a，b，c。
我们可以写下如下不等式：a +b > c这个不等式告诉我们，如果我们将a和b相加的结果大于c，那么这个不等式就成立。
换句话说，这个不等式告诉我们c应该是a和b之和的上限。
例如，如果a=2，b=3，c=4，那么这个不等式成立，因为2+3=5大于4。
但如果a=1，b=2，c=4，那么这个不等式不成立，因为1+2=3小于4。
接下来，让我们看一个稍微复杂一些的不等式。
假设我们有三个非零实数x，y，z。
我们可以写下如下不等式：xy + yz + xz ≥ 0这个不等式告诉我们，如果我们将xy、yz和xz这三个数相加的结果大于等于0，那么这个不等式就成立。
换句话说，这个不等式告诉我们这三个数的乘积的和应该大于等于0。
例如，如果x=1，y=-2，z=3，那么这个不等式成立，因为1*(-2) + (-2)*3 + 1*3 = -2 + (-6)+ 3 = -5 大于等于0。
但如果x=1，y=2，z=3，那么这个不等式也成立，因为1*2 + 2*3 + 1*3 = 2 + 6 + 3 = 11 大于等于0。
最后，让我们来看一个更加复杂和有趣的不等式。
假设我们有三个正实数p，q，r。
我们可以写下如下不等式：p/(q+r) + q/(p+r) + r/(p+q) ≥ 3/2这个不等式告诉我们，如果我们将每一个项的比值相加的结果大于等于3/2，那么这个不等式就成立。
换句话说，这个不等式告诉我们分数项的和应该大于等于3/2。
这个不等式实际上是著名的尼尔森不等式的特例。
它在数学中有广泛的应用，尤其在不等式证明方面。
这个不等式的证明涉及到一些高级的数学知识和技巧，超出了本文的范围。
不等式基本性质和证明
第一讲 不等式的基本性质与证明一、 知识点分析不等式概念：我们把含有不等号的式子叫做不等式。
不等式的基本性质：（1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c a c b b a >⇒>>,（传递性） （3）c b c a b a ±>±⇒>（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向相加性） （5）bc ac c b a >⇒>>0,.，bc ac c b a <⇒<>0,（6）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向相乘性） （7）a ﹥b ，ab ﹥0，a 1⇒﹤b1(倒数变向性) （8）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则），)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）注：1、无同向相减性和同向相除性，且同向相乘性须正数2、性质（8）中，若n 为正奇数，则无须b a ,都大于零两个实数大小的比较：作差法 b a b a >⇔>-0；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0作商法 若b a ,﹥0，则b a ﹥1a ⇔﹥b ；b a ﹤1a ⇔﹤b ；ba=1a ⇔=b不等式的证明方法： ①作差法②作商法③综合法：由因到果 ④分析法：执果索因 ⑤放缩法：常见类型有⑴nn n n n n n n n111)1(11)1(11112--=-<<+=+- （放缩程度较大）;⑵)1111(2111122+--=-<n n n n （放缩程度较小）;⑶1(212221--=-+<=n n n n nn⑥数学归纳法：常用于数列类的不等式 ⑦利用函数单调性法二、 例题精选例1.⑴比较a 与b 的大小：a =m 3－m 2n －3mn 2 与 b =2m 2n －6mn 2＋n 3⑵设21x x <，比较1211x x -+与2221x x -+的大小⑶设0,0>>b a ，试比较a b b a b a b a 与的大小 例2．⑴已知y x x yx y x y x ---≤≤≤≤5,,2,51,322求的取值范围 ⑵已知y x y x y -≤-≤≤+≤2,51,3x 2求的取值范围例3. 判断下列命题A 是命题B 的什么条件 ⑴ A ：x >3 B:x 1<31 ⑵ A ：x <3 B ：x 1>31 ⑶ A ：x >y B ：yx 11< ⑷ A ：32>>y x 且 B:65>>+xy y x 且例4. 甲乙两人从A 地同时出发沿同一条路线步行到B 地，甲在前一半时间行走的速度为x ，后一半时间行走的速度为y ，乙用速度x 走完前半段路程，用速度y 走完后半段路程，若x ≠y ，试指出谁先到达B 地，并说明理由。
不等式的基本理论
•= (x -1)2 (2x2 + 2x + 1)
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2]
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小
• 解： (2x4+1) - (2x3+x2 ) = 2x4+1 - 2x3 _ x2
•
= (2x4 - 2x3 )- (x2 -1)
•
= 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1)
• = (x－1) [2x3 - (x +1) ]
• = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)]
a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
• ⑴ 上式中的左边部分反映的是实数的运算性质，而右边部分的 则是实数的大小顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序 之间的关系。这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小，而且 是推导不等式的性质，不等式的证明，解不等式的主要依据。
不等式的基本理论
• 观察以下四个不等式：
• a+2 > a+1----------------(1) • a+3>3a-------------------(2) • 3x+1<2x+6--------------(3) • x<a------------------------(4)
一.基本概念
• ⑵ 判断两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a - b 的符号， 从而归结为实数运算的符号法则，分三步进行：①作差；②变形； ③定号.
基本不等式基础入门篇
基本不等式基础入门篇基本不等式：()()2240a b ab a b +-=-≥ ()24a b a b ⇒+≥ 当a,b>0时，两边开方可得：2a b ab +≥2a b +≥左边是两个正数的算数平均数，右边是两个正数的几何平均数。
故此不等式称之为：均值不等式，也叫基本不等式。
一正二定三相等：一正：使用的对象a,b 必须是正数；二定：和定积最大，积定和最小；三相等：当且仅当a=b 时，取得最大（小）值。
常见的类型：一、和积互化积定1.已知a,b>0，且ab=1,求a+b 的最小值；2.已知a,b>0，且ab=2,求2a+b 的最小值；3.已知a,b>0，且ab=1,求2a+3b 的最小值；和定1.已知a,b>0，且a+b=1，求ab 的最大值；2.已知a,b>0，且2a+b=1，求ab的最大值；3.已知a,b>0，且a+b=1，求2ab的最大值；三、1 tt +型1.当x>0时，求1xx+的最小值；2.当x>0时，求12xx+的最小值；3.当x>1时，求121xx+-的最小值；4.当x<1时，求1231xx++-的最大值；5.当x>0时，求221x xx-+的最小值；（引申：高低次）四、构造“齐次”（柯西不等式）1.已知a,b>0，且1a b +=，求11+a b的最小值； 2. 已知a,b>0，且1a b +=，求21+a b的最小值； 3. 已知a,b>0，且1a b +=，求11+2a b的最小值； 4. 已知a,b>0，且2a b +=，求13+2a b的最小值； 5. （提升）已知a,b>0，且2ab =，求22a ab+的最小值； 6. （提升）已知1a b +=，求a b ab -的最小值；。
基本不等式应用的常见技巧策略
ʏ徐州中学 孙 慧基本不等式及其应用是不等式模块中的一个重要知识点,也是高考中直接应用或间接应用的一个重要考查点与工具,在众多的数学知识与相关内容中都有基本不等式的影子㊂利用基本不等式解决问题时,需要注意 一正,二定,三相等 这三个基本条件,这是应用基本不等式的关键所在㊂本文结合基本不等式应用中的常见技巧策略加以实例剖析,引领并指导数学学习与解题研究,起到抛砖引玉的作用㊂一㊁常量巧引入,配凑法应用配凑法的目的就是构建适合基本不等式应用的基本条件 和为定值 或 积为定值 的形式,借助对应代数式的恒等变形与转化,通过添加项㊁拆分项等技巧方法,进而利用基本不等式来解决问题㊂常见的配凑法就是对相应的代数式进行配系数㊁凑常数等变形处理㊂例1 若x <23,则函数f (x )=3x +1+93x -2有( )㊂A.最大值0 B .最小值9C .最大值-3 D .最小值-3解析:因为x <23,所以3x -2<0,利用基本不等式可得函数f (x )=3x +1+93x -2=3x-2+93x -2+3=-(2-3x )+92-3x+3ɤ-2(2-3x )㊃92-3x+3=-6+3=-3,当且仅当2-3x =92-3x ,即x =-13时等号成立,所以函数f (x )=3x +1+93x -2有最大值-3㊂故选C ㊂点评:配凑法的根本目的就是合理创设应用基本不等式的条件,创设 积为定值 或 和为定值 这一前提条件,这就需要对题设条件或所求结论的关系式进行一些必要的配凑处理,配系数㊁凑常数等技巧方法经常是借助因式分解㊁平方处理㊁增减常数等方式来达到目的,实现利用基本不等式来解决问题的目的㊂二㊁乘 1后变形,代换法应用代换法就是利用常数的变形,以及代数式与 1 的积㊁商都是自身的性质,通过代数式的变形构造出满足 和为定值 或 积为定值 的基本形式,符合基本不等式的应用条件㊂代换法的本质就是常数与参数之间的灵活变形与转化,常数化成 1 是代数式等价变形的基础㊂例2 已知x >0,y >0,且满足x +2y=3x y ,则2x +y 的最小值为㊂解析:因为x +2y =3x y ,所以23x +13y=1,由基本不等式可得2x +y =(2x +y )㊃23x +13y=2x 3y +2y 3x +53ȡ22x 3y ˑ2y3x +53=43+53=3,当且仅当2x 3y =2y 3x ,即x =y 时等号成立,所以2x +y 的最小值为3㊂故填3㊂点评:代换法应用的根本就是通过常数与关系式之间的等价关系加以合理代换处理,具体代换时,可以是乘 1后变形,也可是51解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年11月乘以其他常数进行处理,特别要注意乘常数后要加以同除处理,保证代数关系式的恒等变形㊂三㊁双变元首选,消元法应用消元法就是用来解决一些比较复杂的多变元的代数式最值问题,借助题设条件,合理减少变量的个数,经常是转化为只含有一个变量的代数式,进而利用基本不等式来分析与应用㊂消元法的实质就是减元,将多变元问题转化为单变元问题来处理㊂例3 已知x >0,y >0,x +3y +x y =9,则x +3y 的最小值为㊂解法一:(换元消元法)已知x +3y +x y=9,利用基本不等式可得9-(x +3y )=x y =13㊃x ㊃3y ɤ13㊃x +3y22,当且仅当x=3y ,即x =3,y =1时等号成立,整理上式得(x +3y )2+12(x +3y )-108ȡ0,令x +3y =t ,则t >0,且t 2+12t -108ȡ0,解得t ȡ6,所以x +3y 的最小值为6㊂故填6㊂解法二:(代入消元法)已知x +3y +x y =9,则x =9-3y 1+y ,所以x +3y =9-3y 1+y +3y =9-3y +3y (1+y )1+y=9+3y21+y=3(1+y )2-6(1+y )+121+y =3(1+y )+121+y-6ȡ23(1+y )ˑ121+y -6=12-6=6,当且仅当3(1+y )=121+y,即y =1,x =3时等号成立,所以x +3y 的最小值为6㊂故填6㊂点评:消元法的根本目的就是减少变量的个数,方便配凑出 和为常数 或 积为常数 的基本形式,为基本不等式的应用指明方向,从而更加直观有效地利用基本不等式来分析与求解最值㊂四㊁多层次推进,分步法应用分步法就是用来解决一些比较复杂的多变元(一般是三变元及以上)的代数式最值问题,结合分步法处理,分层次合理加以逐步消元,不断减少变量的个数,进而吻合基本不等式应用的条件,从而得以求解最值㊂分步法的实质就是逐步消元,注意在多次利用基本不等式时,要保证等号成立时条件的一致性㊂例4 已知a ,b ,c 是正实数,且b +c=6,则a c 2+2a b c +8a +1的最小值为㊂解析:由于a c 2+2a b c +8a +1=a c b +2ab c +8a +1=a c b +2b c+8a +1,结合b +c =6,利用基本不等式可得c b +2b c =cb+2ˑb +c 62b c=c b +(b +c )23b c =4c 3b +b 3c +23ȡ24c 3b ˑb 3c +23=2ˑ23+23=2,当且仅当4c 3b =b3c ,即b =2c 时等号成立;再次利用基本不等式可得ac b +2b c+8a +1ȡ2a +8a +1=2(a +1)+8a +1-2ȡ22(a +1)ˑ8a +1-2=2ˑ4-2=6,当且仅当2(a +1)=8a +1,即a =1时等号成立㊂所以a c 2+2ab c+8a +1的最小值为6,当且仅当a =1,且b =2c=263时等号成立㊂故填6㊂点评:分步法就是综合应用配凑法㊁换元法或消元法等,通过两次及以上的基本不等式的应用来分析与求解对应复杂代数式的最值问题㊂注意在多次利用基本不等式进行分步时,要注意每步中取等号的条件的前后一致性,不能出现前后矛盾,这也是分步法中比较容易出错的地方㊂在实际应用基本不等式来解决问题时,抓住基本不等式应用的三个基本条件,或配凑法应用,或代换法处理,或消元法解决,或分步法应用等,掌握解决问题的 通技通法 ,举一反三,融会贯通,从而进一步养成良好的思维习惯,提升数学能力,更好地借助基本不等式来解决相应的数学问题㊂(责任编辑 王福华)61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年11月。
[基本不等式公式四个]基本不等式
![[基本不等式公式四个]基本不等式](https://img.taocdn.com/s3/m/7e726cd729ea81c758f5f61fb7360b4c2e3f2aa8.png)
[基本不等式公式四个]基本不等式基本不等式篇(一):初中数学教学课件一、内容和内容解析（一）内容概念：不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式以及能在数轴上表示简单不等式的解集．（二）内容解析现实生活中存在大量的相等关系，也存在大量的不等关系．本节课从生活实际出发导入常见行程问题的不等关系，使学生充分认识到学习不等式的重要性和必然性，激发他们的求知欲望．再通过对实例的进一步深入分析与探索，引出不等式、不等式的解、不等式的解集以及解不等式几个概念．前面学过方程、方程的解、解方程的概念．通过类比教学、不等式、不等式的解、解不等式几个概念不难理解．但是对于初学者而言，不等式的解集的理解就有一定的难度．因此教材又进行数形结合，用数轴来表示不等式的解集，这样直观形象的表示不等式的解集，对理解不等式的解集有很大的帮助．基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示在数轴上．二、目标和目标解析（一）教学目标1．理解不等式的概念2．理解不等式的解与解集的意义，理解它们的区别与联系3．了解解不等式的概念4．用数轴来表示简单不等式的解集（二）目标解析1．达成目标1的标志是：能正确区别不等式、等式以及代数式．2．达成目标2的标志是：能理解不等式的解是解集中的某一个元素，而解集是所有解组成的一个集合．3．达成目标3的标志是：理解解不等式是求不等式解集的一个过程．4、达成目标4的标志是：用数轴表示不等式的解集是数形结合的又一个重要体现，也是学习不等式的一种重要工具．操作时，要掌握好“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可，边界点含于解集中用实心圆点，或者用空心圆点；二是定方向，小于向左，大于向右．三、教学问题诊断分析本节课实质是一节概念课，对于不等式、不等式的解以及解不等式可通过类比方程、方程的解、解方程类比教学，学生不难理解，但是对不等式的解集的理解就有一定的难度．因此，本节课的教学难点是：理解不等式解集的意义以及在数轴上正确表示不等式的解集．四、教学支持条件分析利用多媒体直观演示课前引入问题，激发学生的学习兴趣．五、教学过程设计（一）动画演示情景激趣多媒体演示：两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏，现在换了一个大人上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了，这是什么原因呢？设计意图：通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，培养学生的观察能力，分析能力，激发他们的学习兴趣．（二）立足实际引出新知问题一辆匀速行驶的汽车在11基本不等式篇(二):有关高二数学下学期教学计划高二数学下学期教学计划一、学生基本情况261班共有学生75人，268班共有学生72人。
不等式知识点总结
不等式知识点总结不等式知识点总结上学的时候，相信大家一定都接触过知识点吧！知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。
你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗？以下是小编收集整理的不等式知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
不等式知识点总结篇1不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
一元一次不等式的符号方向：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。
在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：AB，A+CB+C在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：AB，A-CB-C在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：AB，AxCBxC(C0)在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：AB，AxC 如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。
不等式知识点总结篇21.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a>bb>a②传递性:a>b，b>ca>c③可加性:a>ba+c>b+c④可积性:a>b，c>0ac>bc⑤加法法则:a>b，c>da+c>b+d⑥乘法法则：a>b>0，c>d>0ac>bd⑦乘方法则：a>b>0，an>bn(n∈N)⑧开方法则：a>b>02.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+，那么(当且仅当a=b时等号)如果为实数，则重要结论(1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
一轮复习配套讲义：第6篇 第4讲 基本不等式(2)
第4讲 根本不等式[最|新考纲]1．了解根本不等式的证明过程．2．会用根本不等式解决简单的最|大(小)值问题.知 识 梳 理1．根本不等式：ab ≤a ＋b2 (1)根本不等式成立的条件：a >0 ,b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ,b 的算术平均数 ,ab 称为正数a ,b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R )．当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ) ,当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ) ,当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ,b 同号) ,当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用根本不等式求最|值 x ＞0 ,y ＞0 ,那么(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时 ,x ＋y 有最|小值是2p (简记：积定和最|小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ,那么当且仅当x ＝y 时 ,xy 有最|大值是s 24(简记：和定积最|大)．辨 析 感 悟1．对根本不等式的认识(1)当a ≥0 ,b ≥0时 ,a ＋b2≥ab .(√)(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．(×) 2．对几个重要不等式的认识(3)(a ＋b )2≥4ab (a ,b ∈R )．(√) (4)2ab a ＋b＝21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22.(×)(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ,b ,c ∈R )．(√) 3．利用根本不等式确定最|值(6)函数y ＝sin x ＋4sin x ,x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2的最|小值为4.(×) (7)(2021·福州模拟改编)假设x ＞－3 ,那么x ＋4x ＋3的最|小值为1.(√) (8)(2021·四川卷改编)函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0 ,a ＞0)在x ＝3时取得最|小值 ,那么a ＝36.(√) [感悟·提升]两个防范 一是在应用根本不等式求最|值时 ,要把握不等式成立的三个条件 ,就是 "一正 - -各项均为正；二定 - -积或和为定值；三相等 - -等号能否取得〞 ,假设忽略了某个条件 ,就会出现错误．对于公式a ＋b ≥2ab ,ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,要弄清它们的作用、使用条件及内在联系 ,两个公式也表达了ab 和a ＋b 的转化关系．如(2)、(4)、(6)．二是在利用不等式求最|值时 ,一定要尽量防止屡次使用根本不等式．假设必须屡次使用 ,那么一定要保证它们等号成立的条件一致.学生用书第103页【例1】x ＞0 ,y ＞0 ,z ＞0. 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8.证明 ∵x ＞0 ,y ＞0 ,z ＞0 ,∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0 ,x y ＋z y ≥2 xzy ＞0 , x z ＋y z ≥2 xyz ＞0 ,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．规律方法 利用根本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况 ,证明思路是从已证不等式和问题的条件出发 ,借助不等式的性质和有关定理 ,经过逐步的逻辑推理最|后转化为需证问题． 【训练1】a ＞0 ,b ＞0 ,c ＞0 ,且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＞0 ,b ＞0 ,c ＞0 ,且a ＋b ＋c ＝1 , ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9 ,当且仅当a ＝b ＝c ＝13时 ,取等号．考点二 利用根本不等式求最|值【例2】 (1)(2021·山东卷)设正实数x ,y ,z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0 ,那么当xyz 取得最|大值时 ,2x ＋1y －2z 的最|大值为( )． A ．0 B ．1 C.94D ．3(2)(2021·广州一模)2x ＋2y ＝1 ,(x ＞0 ,y ＞0) ,那么x ＋y 的最|小值为( )． A ．1 B ．2 C ．4 D ．8审题路线 (1)x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0⇒变形得z ＝x 2－3xy ＋4y 2⇒代入zxy ⇒变形后利用根本不等式⇒取等号的条件把2x ＋1y －2z 转化关于1y 的一元二次函数⇒利用配方法求最|大值．解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0 ,得z ＝x 2－3xy ＋4y 2 , ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3.又x ,y ,z 为正实数 ,∴x y ＋4yx ≥4 , 当且仅当x ＝2y 时取等号 ,此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1 ,当1y ＝1 ,即y ＝1时 ,上式有最|大值1.(2)∵x ＞0 ,y ＞0 ,∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ,即x ＝y ＝4时取等号． 答案 (1)B (2)D规律方法 条件最|值的求解通常有两种方法：一是消元法 ,即根据条件建立两个量之间的函数关系 ,然后代入代数式转化为函数的最|值求解；二是将条件灵活变形 ,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子 ,然后利用根本不等式求解最|值．【训练2】 (1)假设正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy ,那么3x ＋4y 的最|小值是( )． A.245B.285 C ．5 D ．6(2)(2021·浙江十校联考)假设正数x ,y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30 ,那么xy 的最|大值是( )． A.43B.53 C ．2 D.54解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1 ,∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ,即x ＝1 ,y ＝12时 ,等号成立) , ∴3x ＋4y 的最|小值是5.(2)由x ＞0 ,y ＞0 ,得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立) ,∴12xy ＋3xy ≤30 ,即xy ≤2 ,∴xy 的最|大值为2. 答案 (1)C (2)C考点三 根本不等式的实际应用【例3】(2021·济宁期末)小|王大学毕业后 ,决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查 ,生产某小型电子产品需投入年固定本钱为3万元 ,每生产x 万件 ,需另投入流动本钱为W (x )万元 ,在年产量缺乏8万件时 ,W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时 ,W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析 ,小|王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定本钱－流动本钱)(2)年产量为多少万件时 ,小|王在这一商品的生产中所获利润最|大 ?最|大利润是多少 ?解 (1)因为每件商品售价为5元 ,那么x 万件商品销售收入为5x 万元 ,依题意得 ,当0＜x ＜8时 ,L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时 ,L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －30＜x ＜835－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x x ≥8.(2)当0＜x ＜8时 ,L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时 ,当x ＝6时 ,L (x )取得最|大值L (6)＝9万元 , 当x ≥8时 ,L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15 ,此时 ,当且仅当x ＝100x 时 ,即x ＝10时 ,L (x )取得最|大值15万元．∵9＜15 ,所以当年产量为10万件时 ,小|王在这一商品的生产中所获利润最|大．最|大利润为15万元．规律方法 (1)利用根本不等式解决实际问题时 ,应先仔细阅读题目信息 ,理解题意 ,明确其中的数量关系 ,并引入变量 ,依题意列出相应的函数关系式 ,然后用根本不等式求解．(2)在求所列函数的最|值时 ,假设用根本不等式时 ,等号取不到 ,可利用函数单调性求解．【训练3】 为响应国|家扩大内需的政策 ,某厂家拟在2021年举行促销活动 ,经调查测算 ,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k2t ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动 ,那么该产品的年销量只能是1万件．2021年生产该产品的固定投入为6万元 ,每生产1万件该产品需要再投入12万元 ,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均本钱的1.5倍(产品本钱包括固定投入和再投入两局部)．(1)将该厂家2021年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时 ,厂家利润最|大 ? 解 (1)由题意有1＝4－k 1 ,得k ＝3 ,故x ＝4－32t ＋1.∴y ＝1.5×6＋12xx×x －(6＋12x )－t ＝3＋6x －t ＝3＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)．(2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12.由根本不等式9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≥29t ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＝6 , 当且仅当9t ＋12＝t ＋12 ,即t ＝2.5时等号成立 ,故y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12 ≤27.5－6＝21.5.当且仅当9t ＋12＝t ＋12时 ,等号成立 ,即t ＝2.5时 ,y 有最|大值21.5.所以2021年的年促销费用投入2.5万元时 ,该厂家利润最|大 ,最|大利润为21.5万元． 1．根本不等式具有将 "和式〞转化为 "积式〞和将 "积式〞转化为 "和式〞的放缩功能 ,常常用于比拟数(式)的大小或证明不等式 ,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点 ,选择好利用根本不等式的切入点．2．连续使用公式时取等号的条件很严格 ,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．教你审题7 - -如何挖掘根本不等式中的 "相等〞【典例】(2021·天津卷)设a ＋b ＝2 ,b >0 ,那么12|a |＋|a |b 取得最|小值为________． [审题] 一审条件：a ＋b ＝2 ,b ＞0 ,转化为条件求最|值问题； 二审问题：12|a |＋|a |b 转化为 "1〞的代换； 三审过程：利用根本不等式时取等号的条件．解析 因为a ＋b ＝2 ,所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34 ,当且仅当b 4|a |＝|a |b ,a <0 ,即a ＝－2 ,b ＝4时取等号 ,故12|a |＋|a |b 的最|小值为34. 答案 34[反思感悟]在求解含有两个变量的代数式的最|值问题时 ,通常的解决方法是变量替换或常值 "1”的替换 ,即由条件得到某个式子的值为常数 ,然后将欲求最|值的代数式乘上常数 ,再对代数式进行变形整理 ,从而可利用根本不等式求最|值． 【自主体验】(2021·台州一模)设x ,y 均为正实数 ,且32＋x ＋32＋y＝1 ,那么xy 的最|小值为( )． A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16 解析 由32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ,∵x ,y 均为正实数 ,∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立) ,即xy －2xy －8≥0 ,解得xy ≥4 ,即xy ≥16 ,故xy 的最|小值为16. 答案 D对应学生用书P303根底稳固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2021·泰安一模)假设a ,b ∈R ,且ab ＞0 ,那么以下不等式中 ,恒成立的是( )．A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b ＞2abC.b a ＋ab ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab解析 因为ab ＞0 ,即b a ＞0 ,a b ＞0 ,所以b a ＋ab ≥2b a ×ab ＝2.答案 C2．(2021·杭州一模)设a ＞0 ,b ＞0.假设a ＋b ＝1 ,那么1a ＋1b 的最|小值是( )． A ．2 B.14 C ．4 D ．8解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4 ,当且仅当ba＝ab,即a＝b＝12时,取等号,所以最|小值为4.答案 C3．(2021·金华十校模拟)a＞0 ,b＞0 ,a ,b的等比中项是1 ,且m＝b＋1a,n＝a＋1b,那么m＋n的最|小值是()．A．3 B．4 C．5 D．6解析由题意知：ab＝1 ,∴m＝b＋1a＝2b ,n＝a＋1b＝2a ,∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4.答案 B4．(2021·陕西卷)小|王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b) ,其全程的平均时速为v ,那么()．A．a<v<ab B．v＝abC.ab<v<a＋b2D．v＝a＋b2解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b ,∴v＝2ssa＋sb＝2sab(a＋b)s＝2aba＋b<2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b>a2－a2a＋b＝0 ,∴v>a.答案 A5．(2021·兰州模拟)函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1) ,当x＝a时,y取得最|小值b ,那么a＋b＝()．A．－3 B．2 C．3 D．8解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5 ,由x＞－1 ,得x＋1＞0 ,9x＋1＞0 ,所以由根本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1 ,当且仅当x＋1＝9x ＋1 ,即(x ＋1)2＝9 ,所以x ＋1＝3 ,即x ＝2时取等号 ,所以a ＝2 ,b ＝1 ,a ＋b ＝3. 答案 C 二、填空题6．(2021·广州模拟)假设正实数a ,b 满足ab ＝2 ,那么(1＋2a )·(1＋b )的最|小值为________．解析 (1＋2a )(1＋b )＝5＋2a ＋b ≥5＋22ab ＝9.当且仅当2a ＝b ,即a ＝1 ,b ＝2时取等号． 答案 97．x ,y ∈R ＋ ,且满足x 3＋y4＝1 ,那么xy 的最|大值为______． 解析 ∵x ＞0 ,y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12 ,∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4 ,即当x ＝32 ,y ＝2时取等号． 答案 38．函数y ＝a 1－x (a ＞0 ,a ≠1)的图象恒过定点A ,假设点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上 ,那么1m ＋1n 的最|小值为________． 解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1) ,又∵A 在直线上 ,∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4 ,当且仅当m ＝n ＝12时 ,取 "＝〞 ,∴1m ＋1n 的最|小值为4. 答案 4 三、解答题9．a ＞0 ,b ＞0 ,a ＋b ＝1 ,求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.证明 1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ,∵a ＋b ＝1 ,a ＞0 ,b ＞0 ,∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4 , ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.10．x >0 ,y >0 ,且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最|大值； (2)求1x ＋1y 的最|小值． 解 (1)∵x >0 ,y >0 ,∴由根本不等式 ,得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20 ,∴210xy ≤20 ,xy ≤10 ,当且仅当2x ＝5y 时 ,等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝202x ＝5y 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2 此时xy 有最|大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5 ,y ＝2时 ,u ＝lg x ＋lg y 有最|大值1. (2)∵x >0 ,y >0 ,∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020 , 当且仅当5y x ＝2xy 时 ,等号成立．由⎩⎨⎧2x ＋5y ＝205y x ＝2xy 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最|小值为7＋21020.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．x >0 ,y >0 ,且2x ＋1y ＝1 ,假设x ＋2y >m 2＋2m 恒成立 ,那么实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞ ,－2]∪[4 ,＋∞)B ．(－∞ ,－4]∪[2 ,＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0 ,y >0且2x ＋1y ＝1 , ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8 ,当且仅当4y x ＝x y ,即x ＝4 ,y ＝2时取等号 ,∴(x ＋2y )min ＝8 ,要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立 , 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立 , 即8>m 2＋2m ,解得－4<m <2. 答案 D2．(2021·郑州模拟)正实数a ,b 满足a ＋2b ＝1 ,那么a 2＋4b 2＋1ab 的最|小值为( )．A.72 B ．4 C.16136 D.172解析 因为1＝a ＋2b ≥22ab ,所以ab ≤18 ,当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ,所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0 18单调递减 ,所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12. 答案 D 二、填空题3．(2021·南昌模拟)x ＞0 ,y ＞0 ,x ＋3y ＋xy ＝9 ,那么x ＋3y 的最|小值为________． 解析 由 ,得xy ＝9－(x ＋3y ) ,即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22,令x ＋3y ＝t ,那么t 2＋12t －108≥0 ,解得t ≥6 ,即x ＋3y ≥6. 答案 6三、解答题4．(2021·泰安期末考试)小|王于年初用50万元购置一辆大货车 ,第|一年因缴纳各种费用需支出6万元 ,从第二年起 ,每年都比上一年增加支出2万元 ,假定该车每年的运输收入均为25万元．小|王在该车运输累计收入超过总支出后 ,考虑将大货车作为二手车出售 ,假设该车在第x 年年底出售 ,其销售价格为(25－x )万元(国|家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底 ,该车运输累计收入超过总支出 ?(2)在第几年年底将大货车出售 ,能使小|王获得的年平均利润最|大 ?(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元 , 那么y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10 ,x ∈N ) , 即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10 ,x ∈N ) ,由－x 2＋20x －50＞0 ,解得10－52＜x ＜10＋5 2.而2＜10－52＜3 ,故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出 ,所以销售二手货车后 ,小|王的年平均利润为y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ,而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x ＝9 ,当且仅当x ＝5时等号成立 ,即小|王应当在第5年将大货车出售 ,才能使年平均利润最|大．方法强化练 - -不等式 (对应学生用书P305)(建议用时：75分钟)一、选择题1． "|x |＜2”是 "x 2－x －6＜0”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 不等式|x |＜2的解集是(－2,2) ,而不等式x 2－x －6＜0的解集是(－2,3) ,于是当x ∈(－2,2)时 ,可得x ∈(－2,3) ,反之那么不成立 ,应选A. 答案 A2．(2021·青岛一模)假设a ,b 是任意实数 ,且a ＞b ,那么以下不等式成立的是( )．A ．a 2＞b 2B.b a ＜1 C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b解析 ∵0＜13＜1 ,∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是减函数 ,又a ＞b ,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b . 答案 D3．(2021·杭州二中调研)假设不等式|8x ＋9|＜7和不等式ax 2＋bx ＞2的解集相等 ,那么实数a ,b 的值分别为( )． A ．a ＝－8 ,b ＝－10 B ．a ＝－4 ,b ＝－9 C ．a ＝－1 ,b ＝9 D ．a ＝－1 ,b ＝2解析 据题意可得|8x ＋9|＜7的解集是{x |－2＜x ＜－14} ,故由{x |－2＜x ＜－14}是一元二次不等式ax 2＋bx ＞2的解集 ,可知x 1＝－2 ,x 2＝－14是ax 2＋bx －2＝0的两个根 ,根据根与系数的关系可得x 1x 2＝－2a ＝12 , ∴a ＝－4 ,x 1＋x 2＝－b a ＝－94 ,∴b ＝－9 ,应选B. 答案 B4．(2021·浙江温岭中学模拟)以下命题错误的选项是( )． A ．假设a ≥0 ,b ≥0 ,那么a ＋b2≥ab B ．假设a ＋b2≥ab ,那么a ≥0 ,b ≥0 C ．假设a ＞0 ,b ＞0 ,且a ＋b2＞ab ,那么a ≠b D ．假设a ＋b2＞ab ,且a ≠b ,那么a ＞0 ,b ＞0解析 假设a ＋b2＞ab ,且a ≠b ,那么a ＝0 ,b ＞0或a ＞0 ,b ＝0或a ＞0 ,b ＞0.故D 错误． 答案 D5．(2021·长沙诊断)实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0 x ＋2y ≥03x ＋y －5≤0 那么2x ＋y 的最|大值是( )．A ．0B ．3C ．4D ．5解析 设z ＝2x ＋y ,得y ＝－2x ＋z ,作出不等式对应的区域 ,平移直线y ＝－2x ＋z ,由图象可知当直线经过点B 时 ,直线的截距最|大 ,由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝03x ＋y －5＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2 即B (1,2) ,代入z ＝2x ＋y ,得z ＝2x ＋y ＝4. 答案 C6．(2021·北京海淀一模)设x ,y ∈R ＋ ,且x ＋4y ＝40 ,那么lg x ＋lg y 的最|大值是( )．A ．40B ．10C ．4D ．2解析 ∵x ,y ∈R ＋ ,∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ,当x ＝4y ＝20时取等号 , ∴xy ≤100 ,lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 答案 D7．某种生产设备购置时费用为10万元 ,每年的设备管理费共计9千元 ,这种生产设备的维修费为第|一年2千元 ,第二年4千元 ,第三年6千元 ,而且以后以每年2千元的增量逐年递增 ,那么这种生产设备最|多使用多少年报废最|合算(即使用多少年的年平均费用最|少)( )． A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解析 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由 ,得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x ,即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)．由根本不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3 ,当且仅当10x ＝x10 ,即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最|合算 ,年平均费用为3万元． 答案 C8．(2021·天水一模)实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1 y ≤a (a >1)x －y ≤0 假设目标函数z ＝x ＋y 取得最|大值4 ,那么实数a 的值为( )． A ．4 B ．3 C ．2 D.32 解析作出可行域 ,由题意可知可行域为△ABC 内部及边界 ,y ＝－x ＋z ,那么z 的几何意义为直线在y 轴上的截距 ,将目标函数平移可知当直线经过点A 时 ,目标函数取得最|大值4 ,此时A 点坐标为(a ,a ) ,代入得4＝a ＋a ＝2a ,所以a ＝2. 答案 C9．(2021·湖州模拟)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0 y ≥0.假设目标函数z ＝ax＋by (a ＞0 ,b ＞0)的最|大值为12 ,那么2a ＋3b 的最|小值为( )．A.256B.83C.113 D ．4解析 不等式表示的平面区域如下图阴影局部．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0 ,b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时 ,目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0 ,b ＞0)取得最|大值12 ,即4a ＋6b ＝12 ,即2a ＋3b ＝6. 所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b≥136＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时等号成立)． 答案 A10．(2021·金丽衢十二校联考)任意非零实数x ,y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立 ,那么实数λ的最|小值为( )．A ．4B ．5 C.115D.72解析 依题意 ,得3x 2＋4xy ≤3x 2＋[x 2＋(2y )2]＝4(x 2＋y 2) ,因此有3x 2＋4xyx 2＋y2≤4 ,当且仅当x ＝2y 时取等号 ,即3x 2＋4xy x 2＋y 2的最|大值是4 ,结合题意得λ≥3x 2＋4xyx 2＋y 2 ,故λ≥4 ,即λ的最|小值是4. 答案 A 二、填空题11．(2021·烟台模拟)关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 12 ,那么不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 12知a <0 ,且－13 ,12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根 ,由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×12＝ca ,解得a ＝－12 ,c ＝2 ,∴－cx 2＋2x －a >0 ,即2x 2－2x －12<0 ,其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)12．(2021·武汉质检)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3xx ≥0⎝ ⎛⎭⎪⎫13xx ＜0那么不等式f (x )＜9的解集是________．解析 当x ≥0时 ,由3x ＜9得0≤x ＜2. 当x ＜0时 ,由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＜9得－2＜x ＜0.故f (x )＜9的解集为(－2,2)． 答案 (－2,2)13．(2021·湖北七市联考)点P (x ,y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0 x ＋y ≤3y ≥x ＋1表示的平面区域内 ,假设点P (x ,y )到直线y ＝kx －1(k ＞0)的最|大距离为2 2 ,那么k ＝________. 解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线y ＝kx －1的大概位置 ,如下图 ,因为k ＞0 ,所以由图可知 ,点(0,3)到直线y ＝kx －1的距离最|大 ,因此|0－1－3|k 2＋1＝2 2 ,解得k ＝1(负值舍去)．答案 114．(2021·湘潭诊断)向量a ＝(x －1,2) ,b ＝(4 ,y ) ,假设a ⊥b ,那么9x ＋3y 的最|小值为________．解析 由a ⊥b 得a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0 ,即2x ＋y ＝2.所以9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝6. 答案 615．(2021·宁波十校联考)设a ,b ∈(0 ,＋∞) ,a ≠b ,x ,y ∈(0 ,＋∞) ,那么a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ,当且仅当a x ＝b y 时 ,上式取等号 ,利用以上结论 ,可以得到函数f (x )＝2x＋91－2x(x ∈(0 ,12))的最|小值为________． 解析 根据结论 ,f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25 ,当且仅当22x ＝31－2x ,即x ＝15∈(0 ,12)时 ,f (x )取最|小值为25. 答案 25 三、解答题16．(2021·长沙模拟)f (x )＝2xx 2＋6. (1)假设f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2} ,求k 的值； (2)假设对任意x >0 ,f (x )≤t 恒成立 ,求实数t 的范围． 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0 , 由其解集为{x |x <－3或x >－2} ,得x 1＝－3 ,x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根 , 所以－2－3＝2k ,即k ＝－25. (2)∵x >0 ,f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤66 , 由f (x )≤t 对任意x >0恒成立 ,故实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66 ＋∞.17．(2021·广州诊断)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状) ,高度恒定 ,它的后墙利用旧墙不花钱 ,正面用铁栅 ,每米长造价40元 ,两侧墙砌砖 ,每米长造价45元 ,顶部每平方米造价20元 ,求：仓库面积S 的最|大允许值是多少 ?为使S 到达最|大 ,而实际投资又不超过预算 ,那么正面铁栅应设计为多长 ? 解 设铁栅长为x 米 ,一侧砖墙长为y 米 ,那么顶部面积S ＝xy ,依题设 ,得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200 ,由根本不等式 ,得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ,那么S ＋6S －160≤0 ,即(S －10)(S ＋16)≤0 ,故0＜S ≤10 ,从而0＜S ≤100 ,所以S 的最|大允许值是100平方米 ,取得此最|大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100 ,解得x ＝15 ,即铁栅的长应设计为15米． 18．(2021·泉州调研)函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时 ,讨论f (x )的单调性；(2)假设x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥0 ,求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－2时 ,f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1. f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0 ,得x ＝2－1或2＋1.当x ∈(－∞ ,2－1)时 ,f ′(x )＞0 ,f (x )在(－∞ ,2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1 ,2＋1)时 ,f ′(x )＜0 ,f (x )在(2－1 ,2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1 ,＋∞)时 ,f ′(x )＞0 ,f (x )在(2＋1 ,＋∞)上是增函数． (2)法一 ∵当x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥0 , ∴3ax 2≥－x 3－3x －1 , ∴a ≥－x 3－1x －13x 2 ,设g (x )＝－x 3－1x －13x 2 ,∴求g (x )的最|大值即可 ,那么g ′(x )＝－13＋1x 2＋23x 3＝－x 3＋3x ＋23x 3,设h (x )＝－x 3＋3x ＋2 ,那么h ′(x )＝－3x 2＋3 ,当x ≥2时 ,h ′(x )＜0 , ∴h (x )在[2 ,＋∞)上单调递减 , ∴g ′(x )在[2 ,＋∞)上单调递减 , ∴g ′(x )≤g ′(2)＝0 , ∴g (x )在(2 ,＋∞)上单调递减 , ∴g (x )max ＝g (2)＝－54 , ∴a ≥－54.法二 因为x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥0 ,所以由f (2)≥0 ,得a ≥－54. 当a ≥－54 ,x ∈(2 ,＋∞)时 ,f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0 , 所以f (x )在(2 ,＋∞)上是增函数 ,于是当x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥f (2)≥0. 综上 ,a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－54 ＋∞. 学生用书第105页教育工作中的百分之一的废品 ,就会使国|家遭受严重的损失 .- -马卡连柯教师应当善于组织 ,善于行动 ,善于运用诙谐 ,既要快乐适时 ,又要生气得当 .教公众号：惟微小筑。
基本不等式消元法和换元法的区别
基本不等式消元法和换元法的区别篇一：哎呀呀，我是一名小学生，对于基本不等式消元法和换元法，这可真是让我头疼了好久呢！先来说说消元法吧。
比如说，有这样一道题：已知x + 2y = 3，求2x + 4y 的最小值。
这时候，我们就可以把2x + 4y 变成2(x + 2y)，然后因为x + 2y = 3，所以2(x + 2y) = 2×3 = 6，这不就轻松得出答案啦？消元法就像是把一个复杂的拼图里多余的部分去掉，只留下我们需要的关键部分，让问题变得简单明了，难道不是吗？再讲讲换元法。
举个例子，有个式子是x + 1/x ，我们可以令t = x + 1/x ，然后对t 进行处理。
这就好比给式子穿上了一件新衣服，换了个样子，但是本质还是一样的，只是处理起来可能更容易了，你说神奇不神奇？那消元法和换元法到底有啥区别呢？消元法是直接利用已知条件把一些项消除掉，简化式子；而换元法是给式子中的一部分或者整个式子换一个新的“名字”，用新的变量来处理问题。
在解题的时候，要是遇到那种有很多变量，但是又有一些条件能把一些变量用其他变量表示出来的，那就用消元法，把复杂的式子变得简单。
要是式子看起来很复杂，找不到直接的关系，那就试试换元法，说不定换个角度就能找到突破口啦！反正我觉得吧，这两种方法都是数学解题的好帮手，就看我们怎么巧妙地运用它们啦！篇二：哎呀呀，说起基本不等式消元法和换元法，这可真是让我这个小学生好好琢磨了一番呢！咱先来说说消元法吧。
就好像我们在搭积木，有时候积木太多太乱，我们就得把一些不需要的拿走，让剩下的更好搭建。
消元法也是这样，在一个式子里面，如果有好几个未知数，我们就想办法把其中一些通过等式关系给去掉，只留下我们关心的那几个。
比如说，有个式子是“x + y + z = 10，然后还有个条件是y = 2x”，那我们不就可以把y 用2x 代替，式子就变成了“x + 2x + z = 10”，这不就把未知数y 给消掉了嘛！这难道不好理解吗？再看看换元法，它就像是变魔术一样！假如式子里面有个很复杂的部分，比如说“x² + 2x + 1”，看起来好麻烦对不对？那我们就设“t = x² + 2x + 1”，这样式子一下子就变得简单多啦，变成了关于t 的式子，处理起来是不是轻松了好多？那这两种方法到底有啥区别呢？消元法是直接把一些未知数用等式关系去掉，就像是在战场上直接消灭敌人；而换元法呢，是把复杂的部分用一个新的字母代替，就像是给复杂的东西穿上了一件简单的外套。
数学高中基本不等式讲解
数学高中基本不等式讲解一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是以“数学高中基本不等式讲解”为主题，对基本不等式进行深入的剖析和讲解。
内容包括不等式的定义、性质、证明和应用等方面，旨在帮助学生掌握基本不等式的核心概念，提高解题技巧，培养逻辑思维和推理能力。
2、教学对象本节课的教学对象为高中二年级的学生。
经过之前的学习，他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，但对于基本不等式的理解可能还不够深入。
因此，本节课将针对学生的实际情况，采用适当的教学策略，帮助他们更好地理解和应用基本不等式。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握基本不等式的定义、性质及证明方法；（2）学会运用基本不等式解决实际问题，提高解题技巧；（3）能够运用基本不等式进行简单的数学推理和分析；（4）培养运用基本不等式发现问题和提出问题的能力。
2、过程与方法（1）通过自主探究、小组合作等方式，让学生在过程中体验基本不等式的发现和证明过程；（2）运用启发式教学策略，引导学生主动思考、提问，培养学生的逻辑思维和创新能力；（3）设计具有梯度的问题，使学生在解决问题的过程中逐步掌握基本不等式的应用方法；（4）通过变式训练和拓展练习，提高学生运用基本不等式解决实际问题的能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神；（2）引导学生认识到基本不等式在生活中的广泛应用，增强数学学习的现实意义；（3）培养学生严谨、踏实的学术态度，养成独立思考和合作交流的习惯；（4）通过基本不等式的学习，让学生感受到数学的优美和简洁，提高审美情趣；（5）培养学生的团队协作意识，使他们在合作中学会倾听、尊重和包容。
三、教学策略1、以退为进在教学基本不等式的过程中，采用“以退为进”的教学策略。
首先，教师通过回顾学生已掌握的不等式知识，如一元一次不等式、一元二次不等式等，为学生搭建知识过渡的桥梁。
然后，逐步引导学生探索基本不等式的性质和证明方法，让学生在自主探究的过程中发现问题、解决问题，从而实现知识的深入理解和能力的提升。
基本不等式观课有感（共5篇） 基本不等式观后感
基本不等式观课有感（共5篇）基本不等式观后感第1篇：基本不等式观课有感★《基本不等式》观课有感今天在我校听了张老师上的《基本不等式》一课，我感触较深，作为一名从事数学教学二十多年的老师，我仍然从中获得了不少启发，获益匪浅，现在谈一谈我的观课心得。
一、教材与学情分析准确、全面；教学目标明确、具体、可观测、可操作、可评价，体现三维目标整体要求；重点、难点处理符合学生认知规律。
1.“基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了。
它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
2.学生通过两个探究实例，在老师的引导下从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；又经过讨论，进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，自己分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高了逻辑推理论证能力；教师能带领学生结合课本的探究图形，进一步探究基本不等式的几何解释，强化了数形结合的思想；二、教学环节相对完整、过程流畅、结构清晰；课堂容量适当，时间布局合理。
我们都知道，基本不等式这一节有几个高考考点，但是对于学生而言，刚刚接触，理解的不是很透彻。
张老师本节课只是三课时的第一课时，只讲基本不等式及其几何意义。
让学生通过练习，充分理解不等式中的“一正，二定，三相等”的具体含义和应用。
并辅以高考题型，以让学生掌握高考动向。
三、教学组织形式多样，方法有效，引导学生自主、合作、探究学习；反馈和评价及时恰当。
在新课讲解方面，张老师能仔细研读教材，发现了本节课主要是让学生明白如何用基本不等式求最值。
如何用好基本不等式，需要学生理解六字方针：一正二定三等。
这是比较抽象的内容。
尤其是“定”的相关变化比较灵活，不可能在一节课解决。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3讲 基本不等式A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·宁波模拟)下列函数中，最小值为4的个数为 ( )． ①y ＝x ＋4x ；②y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)；③y ＝e x ＋4e －x ；④y ＝log 3x ＋4log x 3. A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析 ①中，由于x 的符号不确定，故不满足条件；②中，0<sin x ≤1，而应用基本不等式时等号成立的条件为sin x ＝2，故不满足条件；③正确；④中log 3x ，log x 3的符号不确定，故不满足条件，综上只有③满足条件． 答案 D2．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是 ( )．A.120B.15C.12D ．2解析 ∵lg x ＋lg y ＝lg xy ＝2，∴xy ＝100，∴1x ＋1y ≥2 1xy ＝15.答案 B3．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( )． A.13 B.12 C.34D.23解析 ∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0. ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当x＝1－x，即x＝12时取等号．答案 B4．函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是()．A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2解析∵x>1，∴x－1>0，∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2(x－1)＋3x－1＝(x－1)2＋2(x－1)＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时取等号．答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·黄冈二模)若a，b是正数，则a＋b2，ab，2aba＋b，a2＋b22这四个数的大小顺序是________．解析∵a，b是正数，∴2aba＋b≤2ab2ab≤ab，而ab≤a＋b2，又a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴a＋b2≤a2＋b22.故2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22.答案2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b226．(2013·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案 5 8 三、解答题(共25分)7．(12分)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解 ∵x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0，(1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，∴xy ≥8，∴xy ≥64. 故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8x ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋8＝18. 故x ＋y 的最小值为18.8．(13分)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立． 因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·南昌一模)当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，表达式3x ＋27y ＋1 的最小值为 ( )． A ．3 B ．5 C ．1D ．7解析 由x ＋3y －2＝0得3y ＝－x ＋2， ∴3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1＝3x ＋3－x ＋2＋1 ＝3x ＋93x ＋1≥23x ·93x ＋1＝7. 当且仅当3x＝93x ，即x ＝1时取得等号． 答案 D2．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范 围是 ( )． A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 解析 由a ，b ∈R ＋，由基本不等式得a ＋b ≥2ab ， 则ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0⇔(ab －3)(ab ＋1)≥0⇒ab ≥3， ∴ab ≥9. 答案 [9，＋∞)4．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为________．解析 z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋(x ＋y )2－2xy xy ＝2xy ＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14.由f (t )＝t ＋2t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，故当t ＝14时f (t )＝t ＋2t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时，z 有最小值254. 答案 254 三、解答题(共25分) 5．(12分)设f (x )＝16xx 2＋8(x >0)． (1)求f (x )的最大值；(2)证明：对任意实数a ，b ，恒有f (a )<b 2－3b ＋214. (1)解 f (x )＝16x x 2＋8＝16x ＋8x ≤162 x ·8x＝22，当且仅当x ＝8x 时，即x ＝22时，等号成立． 所以f (x )的最大值为2 2.(2)证明 b 2－3b ＋214＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋3，当b ＝32时，b 2－3b ＋214有最小值3， 由(1)知，f (a )有最大值22，∴对任意实数a ，b ，恒有f (a )<b 2－3b ＋214.6．(13分)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形 式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米． (1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值． 解 (1)由图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63. 则总面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x－16＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16 ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，即S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3(x ＞0)．(2)由S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，得S ≤1 832－210 800x ·16x 3＝1 832－2×240＝1 352(平方米)． 当且仅当10 800x ＝16x3，此时，x ＝45.即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米.。