高三数学考前过关训练(三)
(高考冲刺押题)2022高考数学三轮基础技能闯关夺分必备解三角形的应用(含解析)
例1(高考冲刺押题)2022高考数学三轮基础技能闯关夺分必备解三角形的应用（含解析）【考点导读】1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何运算有关的实际问题．2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的明白得，进一步提高三角变换的能力．【基础练习】1．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________m ． 2．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离动身点恰好3km ，那么x 的值为_______________ km ．3．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B ，行驶4h 后，船到达C 处，看到那个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ．4第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离2d 之间的大小关系为_______________．5．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观看所分别设于B ，D ，已知ABD ∆为边长等于a 的正三角形，当目标显现于C 时，测得45BDC ∠=，75CBD ∠=，求炮击目标的距离AC 解：在BCD ∆中，由正弦定理得：sin 60sin 45a BC=︒︒∴63BC =在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠∴5233AC a +=答：线段AC 的长为5233a +． 【范例解析】例1.如图，测量河对岸的塔高AB 时，能够选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ． 分析：构造三角形，依照正弦定理或余弦定明白得决问题． 解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--．A BCD第5题23或3 3400302 21d d <1A2A120 105例2（1）由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠． 因此sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·． 在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．答：塔高AB 为tan sin sin()s θβαβ+·．点评：有关测量问题，构造三角形结合正弦定理或余弦定理求解． 例2.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船 位于甲船的北偏西105方向的1B 处，现在两船相距20海里， 当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，现在两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？分析：读明白题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解． 解法一：如图(2)，连结12A B ，由已知22A B =122060A A ==，1222A A AB ∴=， 又12218012060A A B =-=∠，122A AB ∴△是等边三角形，1212A B A A ∴==，由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111211122cos 45B B A B A B A B AB =+-2220220=+-⨯⨯200=． 12B B ∴=60=（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里．1A2A120 105例2（2）1A2A120 5乙例2（3）解法二：如图（3），连结21A B ， 由已知1120A B =，122060A A ==，112105B A A =∠， cos105cos(4560)=+cos 45cos 60sin 45sin 60=-=，sin105sin(4560)=+sin 45cos 60cos 45sin 60=+=在211A A B △中，由余弦定理，22221111211122cos105A B A B A A A B A A =+-2220220=+-⨯100(4=+．2110(1A B ∴=+．由正弦定理1112111221202(13)2sin sin 4210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， 12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠，2(1cos15sin1054+==在122B A B △中，由已知22A B =22212212221222cos15B B A BA B A B AB =+-22210(1210(1=+-⨯+⨯200=．12B B ∴=60=（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但运算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程．例3.在某海边都市邻近海面有一台风，据监测，当前台风 中心位于都市O （如图）的东偏南θ（cos θ=）方向 300km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北︒45东O方向移动，台风侵袭的范畴为圆形区域，当前半径为60km ， 并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该都市开始 受到台风的侵袭？分析：解决本题的关键是读明白题目，弄清题目条件， 设出时刻，找出三角形，恰当选取正弦定理或余弦定理求解． 解法一：如图(1)，设通过t 小时后台风中心为Q ，现在台风 侵袭的圆形区域半径为1060t +()km ．若在t 时刻都市O 受到台风的侵袭，则1060OQ t ≤+． 在OPQ △中，由余弦定理得：2222cos OQPQ PO PQ PO OPQ =+-⋅⋅∠．又300PO =，20PQ t =，cos cos(45)OPQ θ∠=-︒， 故22400960090000OQt t =-+．因此，22400960090000(1060)tt t -+≤+，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤．答：12小时后该都市开始受到台风的侵袭.解法二：如图（2）建立坐标系以O 为原点，正东方向为x在时刻t 时台风中心Q （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 现在台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻都市O 则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该都市开始受到台风的侵袭.点评：本题的设计抓住“台风中心的运动”以及“运动过程中台风半径的匀速扩张”两个要紧特点.解法二是建立坐标系，转化为点和圆的位置关系求解. 【反馈演练】1．江岸边有一炮台高30m 45︒和30︒，而且两条船与炮台底部连线成30︒m ．东O例3（2）2．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20︒，现要将倾斜角改为10︒，则坡底要伸长____1___km ． 3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒方向航行45海里后，看__________海里．4．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒，则第三条边____________cm ．5．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时刻t （时）的函数，其中240≤≤t.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时刻t 与水深y 的关系：经长期观看，函数)(t f y =的图象能够近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=6．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础 设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）． 假如小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于．7．发电机发出的三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时刻t 的函数，sin AI t ω=，sin(120)B I t ω=+︒，sin(240)C I t ω=+︒，则A B C I I I ++= 0 ．8．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针平均地绕点O 旋转，当时刻0t=时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = ，其中[0,60]t ∈．9．如图，某人在高出海面600m 的山上P 处，测得海面上的航标A 在正东，俯角为30︒，航标B在南偏东60︒，俯角为45︒，则这两个航标间的距离为___600___m ．PCB A45︒30︒第9题725 10sin 60tπ第6题10．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选相距3km的C、D两点，并测得75ACB∠=︒，45BCD∠=︒，30ADC∠=︒，30ADB∠=︒（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B 之间的距离．解：在ACD中，CD=，120ACD∠=︒，30ADC∠=︒得AC=3AD=．在BCD中，45BCD∠=︒，CD=，60BDC∠=︒，由正弦定理sin45BD=︒得：3BD=-在ABC中，由余弦定理229(323(3cos30AB=+-⨯⨯⨯︒，解得AB=．答：两目标A，B km．11．在海岸A处，发觉北偏东45︒方向，距离A处1)海里的B处有一走私船，在A处北偏西75︒方向，距离A处2海里C处的缉私艇奉命以海里/小时的速度追截走私船，现在，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30︒方向逃跑，问缉私艇沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私艇用t小时在D处追上走私船，则有CD=，10BD t=，在ABC中，1AB=-，2AC=，120BAC∠=︒，由余弦定理得：BC=在ABC中，由正弦定理：sin sinACABC BACBC∠=∠=45ABC∴∠=︒，即BC与正北方向垂直，在BCD中，由正弦定理：1sin sin2BDBCD CBDCD∠=∠=，30BCD∴∠=︒答：缉私艇沿东偏北30︒方向能最快追上走私船．12．某建筑的金属支架如图所示，依照要求AB至少长2.8m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，060BCD∠=，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问如何样设计,AB CD的长，可使建筑那个支架的成本最低？解：设( 1.4)BC am a=≥，CD bm=，连结BD．则在CDB∆中， ACC DBA第10题CABD第11题2221()2cos60.2b b a ab -=+-214.1a b a -∴=- 21422.1a b a a a -∴+=+- 设 2.81,10.4,2t a t =-≥-= 则21(1)3422(1)347,4t b a t t t t+-+=++=++≥ 等号成立时0.50.4, 1.5, 4.t a b =>==答：当3,4AB m CD m ==时，建筑那个支架的成本最低．B。
(高考冲刺押题)2022高考数学三轮基础技能闯关夺分必备数列的应用(含解析)
图1 图2 图3 图4(高考冲刺押题)2022高考数学三轮基础技能闯关夺分必备数列的应用（含解析）【考点导读】1．能在具体的问题情形中发觉数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
2．注意差不多数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。
【基础练习】1．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24 第4行 32 30 28 26 … … … … …则2008在第 251 行 ，第 5 列。
2．图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n 个图包含 2221n n -+ 个互不重叠的单位正方形.0>n b )1(2112>+=∴+-n b b b n n n }{n b ∴是等差数列（2）由（1）知,822121=+=a a b ,21=∴bn b n b b b b a n =∴+=∴=∴=12212,1,3,∴)1)(1(1>+==-n n n b b a n n n又21=a 也符合该式，)1(+=∴n n a n（3）n n n s 2124232232+++++=① 13221242321+++++=n n n s ② ①—②得14322121212121121++-+++++=n n n n s 1121211)211(411++----+=n n n 1121)211(211+----+=n n n n n n s 233+-=∴.点评：本题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。
例3．设数列{}{}n n b a ,满足3,4,6332211======b a b a b a ，且数列{}()++∈-N n a a n n 1是等差数列，数列{}()+∈-N n b n 2是等比数列。
高中数学第三章函数的概念与性质基本知识过关训练(带答案)
高中数学第三章函数的概念与性质基本知识过关训练单选题1、设a为实数，定义在R上的偶函数f(x)满足：①f(x)在[0,+∞)上为增函数；②f(2a)<f(a+1)，则实数a的取值范围为（）A．(−∞,1)B．(−13,1)C．(−1,13)D．(−∞,−13)∪(1,+∞)答案：B分析：利用函数的奇偶性及单调性可得|2a|<|a+1|，进而即得.因为f(x)为定义在R上的偶函数，在[0,+∞)上为增函数，由f(2a)<f(a+1)可得f(|2a|)<f(|a+1|)，∴|2a|<|a+1|，解得−13<a<1.故选：B.2、函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−∞,4]上单调递增，则m的取值范围是（）A．[−3,+∞)B．[3,+∞)C．(−∞,5]D．(−∞,−3]答案：D分析：先求出抛物线的对称轴x=−2(1−m)−2=1−m，而抛物线的开口向下，且在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m≥4，从而可求出m的取值范围解：函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3的图像的对称轴为x=−2(1−m)−2=1−m，因为函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m≥4，解得m≤−3，所以m的取值范围为(−∞,−3]，故选：D3、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x+4)，且f(x+1)是奇函数，则（）对称A．f(x)是偶函数B．f(x)的图象关于直线x=12,0)对称C．f(x)是奇函数D．f(x)的图象关于点(12答案：C分析：由周期函数的概念易知函数f(x)的周期为2，根据图象平移可得f(x)的图象关于点(1,0)对称，进而可得奇偶性.由f(x+2)=f(x+4)可得2是函数f(x)的周期，因为f(x+1)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(x)=−f(2−x)，f(x)=−f(−x)，所以f(x)是奇函数，故选：C.4、若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有（）A．最小值－8B．最大值－8C．最小值－6D．最小值－4答案：D分析：根据f(x)和g(x)都是奇函数，可得函数y=f(x)+g(x)为奇函数，再根据F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，可得函数y=f(x)+g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，从而可得函数y=f(x)+g(x)在(－∞，0)上有最小值，即可得出答案.解：因为若f(x)和g(x)都是奇函数，所以函数y=f(x)+g(x)为奇函数，又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，所以函数y=f(x)+g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，所以函数y=f(x)+g(x)在(－∞，0)上有最小值−6，所以在(－∞，0)上F(x)有最小值－4.故选：D.5、幂函数y=x a，y=x b，y=x c，y=x d在第一象限的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a>b>c>d B．d>b>c>a C．d>c>b>a D．b>c>d>a答案：D分析：根据幂函数的性质，在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；根据幂函数的性质，在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：b>c>d>a，故选：D6、定义在区间[−2,2]上的函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）A．[−2,−1]B．[−1,1]C．[−2,0]D．[−1,2]答案：B分析：根据函数图象直接确定单调递减区间即可.由题图知：在[−1,1]上f(x)的单调递减，在(−2,−1),(1,2)上f(x)的单调递增，所以f(x)的单调递减区间为[−1,1].故选：B定义域为（）7、函数f(x)=0√x−2A ．[2，+∞)B ．(2，+∞)C ．(2，3)∪(3，+∞)D ．[2，3)∪(3，+∞)答案：C分析：要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零.要使函数f(x)=0√x−2有意义，则{x −3≠0x −2>0，解得x >2且x ≠3，所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).故选：C.小提示：具体函数定义域的常见类型：（1）分式型函数，分母不为零；（2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零；（3）对数型函数，真数大于零；（4）正切型函数，角的终边不能落在y 轴上；（5）实际问题中的函数，要具有实际意义.8、已知函数f (x )=(m 2−2m −2)⋅x m−2是幂函数，且在(0,+∞)上递增，则实数m =（）A ．－1B ．－1或3C ．3D ．2答案：C分析：根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.由题意知：m 2−2m −2=1，即(m +1)(m −3)=0，解得m =−1或m =3，∴当m =−1时，m −2=−3，则f (x )=x −3在(0,+∞)上单调递减，不合题意;当m =3时，m −2=1，则f (x )=x 在(0,+∞)上单调递增，符合题意,∴m =3,故选：C多选题9、已知偶函数f (x )满足f (x )+f (2−x )=0，下列说法正确的是（ ）A．函数f(x)是以2为周期的周期函数B．函数f(x)是以4为周期的周期函数C．函数f(x+2)为偶函数D．函数f(x−3)为偶函数答案：BC分析：根据函数的奇偶性和周期性确定正确选项.依题意f(x)是偶函数，且f(x)+f(2−x)=0，f(x)=−f(2−x)=−f(x−2)，所以A错误.f(x)=−f(x−2)=−[−f(x−2−2)]=f(x−4)，所以B正确.f(x+2)=f(x−2+4)=f(x−2)=f(−(x−2))=f(−x+2)，所以函数f(x+2)为偶函数，C正确.若f(x−3)是偶函数，则f(x−3)=f(−x−3)=f(x+3)，则函数f(x)是周期为6的周期函数，这与上述分析矛盾，所以f(x−3)不是偶函数.D错误.故选：BC10、我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在(0,+∞)上单调递增且图象关于y轴对称的是（）A．f(x)=x3B．f(x)=x2C．y=x−2D．f(x)=|x|答案：BD解析：根据函数解析式，逐项判断函数的单调性与奇偶性，即可得出结果.A选项，f(x)=x3定义域为R，在(0,+∞)上显然单调递增，但f(−x)=−x3≠f(x)，即f(x)=x3不是偶函数，其图象不关于y轴对称，A排除；B选项，f(x)=x2定义域为R，在(0,+∞)上显然单调递增，且f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，所以f(x)=x2是偶函数，图象关于y轴对称，即B正确；C选项，y=x−2定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，在(0,+∞)上显然单调递减，C排除；D 选项，f (x )=|x |的定义域为R ，在(0,+∞)上显然单调递增，且f (−x )=|−x |=|x |=f (x )，所以f (x )=|x |是偶函数，图象关于y 轴对称，即D 正确.故选：BD.11、已知函数f (x )={kx +1,x ≤0log 2x,x >0，下列是关于函数y =f [f (x )]+1的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当k >0时，有3个零点B ．当k <0时，有2个零点C ．当k >0时，有4个零点D ．当k <0时，有1个零点答案：CD解析：令y ＝0得f [f (x )]=−1，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．令y =f [f (x )]+1=0，得f [f (x )]=−1，设f （x ）＝t ，则方程f [f (x )]=−1等价为f （t ）＝﹣1， ①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点．故选：CD ．小提示：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．12、已知函数f(x)={x 2−2x,x<0−2x+3,x≥0，则（）A．f[f(−1)]=−3B．若f(a)=−1，则a=2C．f(x)在R上是减函数D．若关于x的方程f(x)=a有两解，则a∈(0,3]答案：ABD解析：根据函数解析式，代入数据可判断A、B的正误，做出f(x)的图象，可判断C、D的正误，即可得答案. 对于A：由题意得：f(−1)=(−1)2−2×(−1)=3，所以f[f(−1)]=f(3)=−2×3+3=−3，故A正确；对于B：当a<0时，f(a)=a2−2a=−1，解得a=1，不符合题意，舍去当a≥0时，f(a)=−2a+3=−1，解得a=2，符合题意，故B正确；对于C：做出f(x)的图象，如下图所示：所以f(x)在R上不是减函数，故C错误；对于D：方程f(x)=a有两解，则y=f(x)图象与y=a图象有两个公共点，如下图所示所以a∈(0,3]，故D正确.故选：ABD13、定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则下列说法正确的是（）A．f(0)=0B．f(x)为奇函数C．f(x)在区间[m,n]上有最大值f(n)D．f(x−1)+f(x2−1)>0的解集为{x|−2<x<1}答案：ABD分析：令x=y=0可判断A选项；令y=−x，可得f(x)+f(−x)=f(0)=0，得到f(−x)=−f(x)可判断B 选项；任取x1，x2∈R，且x1<x2，则x1−x2<0，f(x1−x2)>0，根据单调性的定义得到函数f(x)在R上的单调性，可判断C选项；由f(x−1)+f(x2−1)>0可得f(x2−1)>−f(x−1)=f(1−x)，结合函数f(x)在R上的单调性可判断D选项.对于A选项，在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，可得f(0)=2f(0)，解得f(0)=0，A选项正确；对于B选项，由于函数f(x)的定义域为R，在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=−x，可得f(x)+f(−x)=f(0)=0，所以f(−x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，B选项正确；对于C选项，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则x1−x2<0，f(x1−x2)>0，所以f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在R上为减函数，所以f(x)在区间[m,n]上有最小值f(n)，C选项错误；对于D选项，由f(x−1)+f(x2−1)>0可得f(x2−1)>−f(x−1)=f(1−x)，又函数f(x)在R上为减函数，则x2−1<1−x，整理得x2+x−2<0，解得−2<x<1，D选项正确.故选：ABD．填空题14、函数f(x)=√x−4|x|−5的定义域是______.答案：[4,5)∪(5,+∞)解析：利用分式的分母不等于0．偶次根式的被开方数大于或等于0，列不等式组求得自变量的取值范围即可．要使函数f(x)=√x−4|x|−5有意义，则{x−4≥0|x|−5≠0，解得x≥4且，x≠±5，故函数的定义域为[4,5)∪(5,+∞)，所以答案是：[4,5)∪(5,+∞)．15、幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m2−6m+6在(0,+∞)上单调递减，则m的值为______．答案：2分析：利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答.解：因为函数f(x)=(m2−3m+3)x m2−6m+6是幂函数，则有m2−3m+3=1，解得m=1或m=2，当m=1时，函数f(x)=x在(0,+∞)上单调递增，不符合题意，当m=2时，函数f(x)=x−2在(0,+∞)上单调递减，符合题意.所以m的值为m=2所以答案是：216、若函数f(x)=(2m−1)x m是幂函数，则实数m=______.答案：1分析：根据幂函数定义列方程求解可得.因为f(x)=(2m−1)x m是幂函数，所以2m−1=1，解得m=1.所以答案是：1解答题17、已知函数f(x)=x|x−a|(1)讨论函数f(x)的奇偶性（只需写出正确结论）；(2)当a=2时，写出函数f(x)的单调递增区间：(3)当a≥2时，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值. 答案：(1)答案见解析(2)单调递增区间为(−∞,1],[2,+∞)(3)f max(x)={a24,2≤a≤4 2a−4,a>4分析：（1）利用奇偶性的定义求解即可；（2）按x的范围去绝对值，进而求单调递增区间即可；（3）由a≥2且x∈[0,2]可得f(x)=−x(x−a)=−x2+ax，讨论对称轴的位置求最大值即可. （1）当a=0时，f(x)=x|x|，f(−x)=−x|−x|=−x|x|=−f(x)，故f(x)为奇函数；当a≠0时，f(x)=x|x−a|为非奇非偶函数.（2）当a=2时，f(x)=x|x−2|，所以f(x)={x(x−2)=x2−2x,x≥2x(2−x)=−x2+2x,x<2，所以当x≥2时，x2−2x的单调递增区间为[2,+∞)；当x<2时，−x2+2x的单调递增区间为(−∞,1]，所以f(x)的单调递增区间为(−∞,1],[2,+∞).（3）因为a≥2且x∈[0,2]，所以f(x)=−x(x−a)=−x2+ax，对称轴为x=a2，当0<a2≤2，即2≤a≤4时，f max(x)=f(a2)=a24；当a2>2，即a>4时，f(x)在[0,2]上单调递增，f max(x)=f(2)=2a−4，综上f max (x)={a 24,2≤a ≤42a −4,a >4. 18、已知函数f(x)的图象如图所示，其中y 轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．（1）写出函数f(x)的定义域和值域；（2）求f[f(−1)]的值．答案：（1）定义域为[−2，3]，值域为[−2，2]；（2）-1.分析：（1）由图像直接得到定义域和值域；（2）先求出解析式，再直接代入求f[f(−1)]的值.解：（1）由图象可知，函数f(x)的定义域为[−2，3]，值域为[−2，2]；（2）当x ∈[−2，0]时，设f(x)=kx +b(k ≠0)，将(−2,0)，(0,2)代入可得{−2k +b =0b =2， 解得k =1，b =2，即f(x)=x +2，当x ∈(0，3]时，设f(x)=a(x −2)2−2，将点(3,−1)代入可得−1=a(3−2)2−2，解得a =1， ∴f(x)=(x −2)2−2=x 2−4x +2，∴f(x)={x +2,−2⩽x ⩽0x 2−4x +2,0<x ⩽3， ∴f(−1)=−1+2=1，∴f[f(−1)]=f （1）=12−4+2=−1．。
数学(新高考)2022届高考考前冲刺卷(三)教师版
（新高考）2022届高考考前冲刺卷数 学 （三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1A =，则集合{},B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】由集合{}0,1A =，{} ,B x y x A y A =-∈∈，根据,x A y A ∈∈，所以1,0,1x y -=-，所以B 中元素的个数是3，故选C ． 2．在复平面内，复数5i 2i +对应的点坐标为（ ）A ．()1,2B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2--【答案】A 【解析】5i 5i(2i)5(12i)12i 2i (2i)(2i)5-+===+++-，∴在复平面内对应的点坐标为()1,2， 故选A ．3．用斜二测画法画水平放置的ABC △的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C '''．已知点O '是斜边B C ''的中点，且2O A ''=，则ABC △的面积为（ ）A ．42B ．82C ．22D ．62【答案】B【解析】由斜二测画法可知该三角形ABC 为直角三角形，90ABC ∠=︒， 根据直观图中平行于x 轴的长度不变，平行于y 轴的长度变为原来的一半， 因为2O A ''=，所以4BC =，42AB =，所以三角形ABC 的面积为1442822ABC S =⨯⨯=△，故选B ．4．已知函数3()3x xf x x a a -⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，则“1a =”是“函数()f x 为偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数()f x 定义域为R ，函数()f x 为偶函数，则x ∀∈R ，331()()(3)(3)(33)()0x x xx x x f x f x x a x a x a a a a-----=-⋅--⋅-=-+-=， 而(33)x x x --+不恒为0，因此，10a a-=，解得1a =-或1a =， 所以“1a =”是“函数()f x 为偶函数”的充分不必要条件，故选A ．5．已知数列{}n a 满足2112333.3..3n n a a a a n -++++=（n ∈N *），则n a =（ ）A ．13nB ．-113nC ．13nD ．113n + 【答案】C【解析】由题设，2112333 (33)n n a a a a n-++++=①， 则221231133 (33)n n n a a a a ---++++=(2)n ≥②， ①-②得：1113333n n n n a --=-=(2)n ≥， 所以13n n a =(2)n ≥，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号由①知113a =也满足上式，故13n n a =（n ∈N *），故选C ．6．已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，10x 的标准差为2，将这组数据1x ，2x ，3x ，…，10x 中的每个数先同时减去2，再同时乘以3，得到一组新数据，则这组新数据的标准差为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．32【答案】C【解析】因为数据1x ，2x ，3x ，…，10x 的标准差为2，所以方差为4． 由题意知，得到的新数据为136x -，236x -，336x -，…，1036x -， 这组新数据的方差为24336⨯=，标准差为6，故选C ．7．如图，1F ､2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过1F 的直线l 与C 的左､右两支分别交于点A 、B 两点，若2ABF △为以2F 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．4B ．7C ．233D ．3【答案】D【解析】由题意，2ABF △为等腰直角三角形， 设22AF BF m ==，1AF n =，则2AB m =，由双曲线的定义，可得212AF AF a -=，122BF BF a -=，可得222m n a m n m a-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得22m a =，()221n a =-，在12AF F △中，由余弦定理可得222121212212cos F F AF AF AF AF F AF =+-∠，即()()()222224221222221222c a a a a ⎛⎫⎡⎤=-+-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭， 整理得223c a =，即2223c e a==，所以3e =， 故选D ．8．已知关于x 的方程22ln (2)x x x k x +=++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两解，则实数k 的取值范围为（ ）A ．ln 21,15⎛⎤+ ⎥⎝⎦ B ．9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．(]1,e【答案】B【解析】由已知可得22ln 2x x x k x +-=+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两解，令22ln ()2x x x f x x +-=+，1,)2[x ∈+∞， 则问题转化为函数()y f x =与y k =在1[,)2+∞上有两个交点，而2222(2ln 1)(2)(2ln )32ln 4()(2)(2)x x x x x x x x x f x x x --+-+-+--'==++， 令2()32ln 4g x x x x =+--，则22232(21)(2)()23x x x x g x x x x x+--+'=+-==， 因为1,)2[x ∈+∞，所以()0g x '≥恒成立，所以()g x 在1[,)2+∞上单调递增，又(1)0g =，所以当1)[1,2x ∈时，()0g x <，则()0f x '<；当[1,)x ∈+∞时，()0g x '≥，则()0f x '≥，所以()f x 在1[,1)2上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)1f x f ==，又1112ln 129ln 29ln 2422()()1254210522f +-==+=++， 作出函数()f x 的大致图象如图示：要使得22ln 2x x x k x +-=+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两解，实数k 的取值范围为9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A 为“第一次向下的数字为偶数”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A ．()13P A =B ．事件A 和事件B 互为对立事件C ．()12P B A =D ．事件A 和事件B 相互独立【答案】CD【解析】对于A ，()2142P A ==，可得A 错误； 对于B ，事件B 第一次向下的数字为偶数，第二次向下的数字为奇数， 就可以使得两次向下的数字之和为奇数，可知事件A 和事件B 不是对立事件， 可得B 错误；对于C ，由221()444P AB =⨯=，可得()1()14|1()22P AB P B A P A ===，可得C 正确；对于D 选项，由()2222144442P B =⨯+⨯=，可得()()()P A P B P AB =，可知事件A 和事件B 相互独立，可得D 正确， 故选CD ．10．已知函数()()2sin 23cos sin cos f x x x x x =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线712x π=对称B ．()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2 C ．若()()122f x f x ==，则122x x k π-=，k ∈ZD ．将()f x 的图象向右平移6π个单位得()2cos2g x x =-图象【答案】BD【解析】()2223sin cos sin cos 3sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，对于A ：令()721262k k ππππ⨯-=+∈Z ，可得12k =∉Z ， 所以直线712x π=不是()f x 的图象的对称轴，故选项A 不正确； 对于B ：当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()[]2sin 21,26f x x π⎛⎫∈ ⎪⎭=-⎝，故选项B 正确；对于C ：()f x 的最小正周期为22T ππ==， 所以若()()122f x f x ==，则12x x k π-=，k ∈Z ，故选项C 不正确； 对于D ：将()f x 的图象向右平移6π个单位得 ()2sin 22sin 22cos 2662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故选项D 正确，故选BD ．11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是11B CD △内部(不包括边界)的动点，若BD AP ⊥，则线段AP 长度的可能取值为（ ）A ．233B ．65C ．62D ．52【答案】ABC【解析】在正方体AC 1中，连接AC ，A 1C 1，1111AC B D O =，如图，BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，则BD ⊥平面ACC 1A 1， 因AP ⊥BD ，所以AP ⊂平面ACC 1A 1， 又点P 是△B 1CD 1内部(不包括边界)的动点，连接CO ，平面B 1CD 1平面ACC 1A 1=CO ，所以点P 在线段CO 上(不含点C ，O )， 连接AO ，在等腰△OAC 中，62,2AC AO CO ===，而底边AC 上的高为1，腰OC 上的高1233AC h OC ⋅==，从而有2323AP ≤<，66,52都符合，52不符合，故选ABC ．12．若存在正实数x ，y ，使得等式24(3e )(ln ln )0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则a 的取值可能是（ ） A ．1e - B ．31eC ．21eD ．2【答案】ACD【解析】由题意，a 不等于0，由24(3e )(ln ln )0x a y x y x +--=，得24(3e )ln 0y ya x x+-=，令(0)y t t x =>，则24ln 3e ln t t t a-=-，设2()ln 3e ln g t t t t =-，则23e ()1ln g t t t'=+-， 因为函数()g t '在(0,)+∞上单调递增，且2(e )0g '=，所以当20e t <<时，()0g t '<；当2e t >时，()0g t '>， 则()g t 在2(0,e )上单调递减，在2(e ,)+∞上单调递增， 从而22min ()(e )4e g t g ==-，即244e a -≥-，解得21ea ≥或0a <， 故21(,0),e a ⎡⎫∈-∞+∞⎪⎢⎣⎭，故选ACD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量12=+a e e ，213=-b e e ，其中1e ，2e 为单位向量，向量1e ，2e 的夹角为120°，则⋅=a b __________． 【答案】1-【解析】由21111cos1202⋅=⨯⨯︒=-e e ，有221212231131⋅=-⋅-=+-=-e e e e a b ， 故答案为1-．14．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，记ABC △外接圆半径为R ，且()222sin sin (2)sin R A B a c C -=-，则角B 的大小为________．【答案】4π（或45︒） 【解析】由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===，故2sin R A a =，2sin R B b =，即()222sin sin (2)sin sin sin (2)sin R A B a c C a A b B a c C -=-⇔-=-22222(2)2a b a c c a c b ac ⇔-=-⇔+-=，故2222cos 22a cb B ac +-==， 又(0,)B π∈，故4B π=，故答案为4π．15．将字母a ，A ，b ，B ，c ，C 排成一列，则仅有一组相同字母的大小写相邻的排法种数为__________．【答案】288【解析】首先讨论Aa 相邻，剩下的4个字母排列有如下情况： bcBC 、cbCB 、bCBc 、CbcB 、BcbC 、cBCb 、BCbc 、CBcb 共8种可能，任取8种中的一种与Aa 组合，共有125210C A =种，此时Aa 相邻共有10880⨯=种，bcCB ，bCcB ，BcCb ，BCcb ，CbBc ，CBbc ，cbBC ，cBbC ，8种情况，任取8种中的一种与Aa 组合，共有222A =种，此时Aa 相邻共有2816⨯=种，所以Aa 相邻共有96种；同理，Bb 相邻共有96种，Cc 相邻共有96种，所以共有288种， 故答案为288．16．如图，点P 是半径为2的圆O 上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD （顶点A 与P 重合）沿圆周逆时针滚动．若从点A 离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A 再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A 第一次回到点P 的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A 走过的路径的长度为__________．【答案】3，(22)π+【解析】正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为B C D A →→→， 顶点两次回到点P 时，正方形顶点将圆周正好分成六等分， 由4和6的最小公倍数：342612⨯=⨯=， 所以到点A 首次与P 重合时，正方形滚动了3轮． 这一轮中，点A 路径A A A A ''→'→→是圆心角为6π，半径分别为2，22，2的三段弧，故路径长(22)(2222)63l ππ+=⋅++=，∴点A 与P 重合时总路径长为(22)π+． 故答案为3，(22)π+．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）ABC △内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos cos )b c a B C +=+． （1）求A ；（2）若sin sin 2sin A C B +=，求sin sin B C +． 【答案】（1）2π；（2）75． 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理及(cos cos )b c a B C +=+， 得sin sin sin (cos cos )B C A B C +=+，于是得sin()sin()sin cos sin cos A C A B A B A C +++=+，化简整理得cos sin cos sin 0A C A B +=，即cos (sin sin )0A C B +=， 而sin 0,sin 0B C >>，则cos 0A =， 又0A π<<，所以2A π=．（2）因为sin sin 2sin A C B +=，由正弦定理得2a c b +=，则21c ba a+=， 由（1）知，在ABC Rt △中，2BAC π∠=，222b c a +=，即221b c a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是解得43,55b c a a ==， 显然有sin ,sin b c B C a a ==，即43sin ,sin 55B C ==，则7sin sin 5B C +=，所以7sin sin 5B C +=．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又对任意的正整数,m n ，都有2n ma a n m-=--，且530S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）122n a n =-；（2）()656426612(6)n n n n T n --⎧-≤=⎨+>⎩．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为2n m a a n m -=--，所以112(1)(1)a da n n m d md +--=--=--， 又530S =，即1545(2)302a ⨯+⨯-=，解得110a =，所以122n a n =-．（2）由（1）知122n a n =-，令602n an =-≥，得6n ≤，当6n ≤时，0n a ≥，从而122554662662121222222642222112n n a a n nn a n T ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++⋅⋅⋅==++-=++=--，当6n >时，671254222262012222222222n n a a a a a n T ---=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=++++++652(12)6361212n n ---=+=+-，综上得()656426612(6)n n n n T n --⎧-≤=⎨+>⎩． 19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，AB ＝2，BC ＝1，2PC PD ==，E 为PB 中点．（1）求证：PD //平面ACE ； （2）求二面角E AC D --的余弦值；（3）在棱PD 上是否存在点M ，使得AM ⊥BD ？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）66-；（3）存在，12．【解析】（1）设BD 交AC 于点F ，连接EF ． 因为底面ABCD 是矩形，所以F 为BD 中点． 又因为E 为PB 中点，所以EF //PD ， 因为PD ⊄平面ACE ，EF ⊂平面ACE ， 所以PD //平面ACE ．（2）取CD 的中点O ，连接PO ，FO ．因为底面ABCD 为矩形，所以BC ⊥CD ．因为PC ＝PD ，O 为CD 中点，所以PO ⊥CD ，OF ∥BC ，所以OF ⊥CD ． 又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图，建立空间直角坐标系O −xyz ，则()1,1,0A -，C （0，1，0），B （1，1，0），P （0，0，1），111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =m ，(1,2,0)AC =-，131(,,)222AE =-，20131222AC x y AE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩m m ， 令1y =，则2x =，1z =-，所以(2,1,1)=-m ， 平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =，6cos ,6||||OP OP OP ⋅<>=-⋅m m m ，如图可知二面角E −AC −D 为钝角，所以二面角E −AC −D 的余弦值为66-．（3）假设存在棱PD 上的点M ，使得AM ⊥BD ，设,01PM PD λλ=<<，又()0,1,0D -，则(1,2,0)BD =--，(1,1,1)AP =-，()0,1,1PD =--，()1220AM BD AP PM BD AP BD PD BD λλ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=-+=，解得12λ=， 故存在棱PD 上的点M ，使得AM ⊥BD ，12PM PD =．20．（12分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（1）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在(]0,1600、(]1600,3200、(]3200,4800内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和800元．方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．【答案】（1）1933；（2）方案2投资较少，理由见解析．【解析】（1）记“在抽取的2人中至少有1位消费者在去年的消费超过4000元”为事件A．由图可知，去年消费金额在(]3200,4000内的有8人，在(]4000,4800内的有4人，消费金额超过3200元的“健身达人”共有8412+=（人），从这12人中抽取2人，共有212C种不同方法，其中抽取的2人中至少含有1位消费者在去年的消费超过4000元，共有112844C C C+种不同方法，所以()112844212C C C19C33P A+==．（2）方案1按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为820257100+⨯=，25352515100+⨯=，12253100⨯=，按照方案1奖励的总金额为1750015600380014900ξ=⨯+⨯+⨯=（元）．方案2设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0，200，300．由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为1215C2C5P==，所以()302101333232810C C5555125Pη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12233236200C55125Pη⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0333328300C55125Pη⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以η的分布列为：η0 200 300P81125361258125数学期望为81368020030076.8125125125E η=⨯+⨯+⨯=（元）， 按照方案2奖励的总金额为()22860212376.814131.2ξ=+⨯+⨯⨯=（元）， 因为由12ξξ>，所以施行方案2投资较少．21．（12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为32，P 为椭圆E 上一点， Q 为圆222x y b +=上一点，PQ 的最大值为3（P ，Q 异于椭圆E 的上下顶点）．（1）求椭圆E 的方程；（2）A 为椭圆E 的下顶点，直线AP ，AQ 的斜率分别记为1k ，2k ，且214k k =，求证：直线PQ 过定点，并求出此定点的坐标．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，定点(0,1)． 【解析】（1）解：由椭圆E 的离心率为32，可得32c a =，又由PQ 的最大值为3，可得3a b +=，可得222332a b ca abc +=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2,1,3a b c ===，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）解：由（1）可得点A 的坐标为(0,1)-， 因为直线,AP AQ 的斜率分别记为1k ，2k ，且214k k =，可得直线AP 的方程为11y k x +=，直线AQ 的方程为2114y k x k x +==，联立方程组122114y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2211(41)80k x k x +-=，解得0x =或121841k x k =+， 将121841k x k =+代入11y k x =-，可得2111221184114141k k y k k k -=⋅-=++， 即2112211841(,)4141k k P k k -++；联立方程组122411y k x x y =-⎧⎨+=⎩，整理得2211(161)80k x k x +-=，解得0x =或1218161k x k =+， 将1218161k x k =+代入141y k x =-，可得2121161161k y k -=+，即21122118161(,)161161k k Q k k -++， 则()22112222221111112111122112121111614116141(161)(41)(161)(41)888(224141)16141812PQk k k k k k k k k k k k k k k k k k k ---++-+-+-==--+=-+=⨯-， 所以直线PQ 的方程为21122111418141441k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭， 即2211222111111414112111441414414k k y x x x k k k k k k -+=-++=-+=-++++，此时直线过定点(0,1)，即直线PQ 恒过定点(0,1)．22．（12分）已知()()ln 1f x x ax a =++∈R ，()f x '为()f x 的导函数． （1）若对任意0x >都有()0f x ≤，求a 的取值范围；（2）若120x x <<，证明：对任意常数a ，存在唯一的()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -'=-成立．【答案】（1）(],1-∞-；（2）证明见解析． 【解析】（1）由()0f x ≤，得ln 1ax x ≤--，即ln 1x a x+≤-， 令()ln 1x g x x +=-，则()2ln xg x x'=， ∴当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 11g x g ∴==-，1a ∴≤-，即a 的取值范围为(],1-∞-．（2）设()()()()1212f x f x h x f x x x -'=--，将问题转化为()h x 在区间()12,x x 上有唯一的零点，由()()()()1211221212ln ln 1f x f x x ax x ax h x f x a x x x x x -+--'=-=+---，知()h x 在区间()12,x x 上单调递减，故函数()h x 在区间()12,x x 上至多有1个零点，()1122122211121121211ln ln ln ln 1111ln x ax x ax x x x x h x a x x x x x x x x x x ⎛⎫+---=+-=-=-+ ⎪---⎝⎭， ()1122121222122121221ln ln ln ln 1111ln x ax x ax x x x x h x a x x x x x x x x x x ⎛⎫+---=+-=-=-+ ⎪---⎝⎭，由（1）知：当1a =-时，ln 10x x -+≤（当且仅当1x =时取等号），120x x <<，211x x ∴>，2211ln 10x xx x ∴-+<， 又120x x -<，即1210x x <-，()10h x ∴>， 120x x <<，1201x x ∴<<，1122ln 10x xx x ∴-+<，即2112ln 10x x x x +->， 又120x x -<，即1210x x <-，()20h x ∴<， 由函数零点存在定理知：()h x 在区间()12,x x 上有唯一的零点，即存在唯一的()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -'=-成立．。
广东省广州市2023届高三冲刺训练(三)数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1. 已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（ ）A ．6B ．3C．D．2.，满足，且对任意，都有.当取最小值时，函数的单调递减区间为（ ）.A．B．C．D．3. 南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）A．B．C．D．4. 双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线离心率为（ ）A．B．C ．2D ．35. 若为锐角，且，则（ ）A ．10°B ．20°C ．70°D ．80°6. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）A．B．C．D．7. 已知P 是椭圆C ：上的动点，Q 是圆D：上的动点，则（ ）A ．C的焦距为B ．C的离心率为C ．圆D 在C 的内部D ．|PQ |的最小值为8.已知为偶函数，且恒成立．当时．则下列四个命题中，正确的是（ ）A ．的周期是B ．的图象关于点对称C ．当时，D ．当时，9. “”是“”的__________条件.（填：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要）10. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是______．11.设全集，，，则________，________．12. 将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有_______种.（用数字作答）13. 如图，在四棱锥中，平面平面PAD ，，，正三角形PAD 的边长为2．广东省广州市2023届高三冲刺训练（三）数学试题(高频考点版)广东省广州市2023届高三冲刺训练（三）数学试题(高频考点版)(1)求证：平面PAD；(2)若，，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.14.如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，且，.(1)求证：平面；(2)求点A到平面的距离.15. 为了持续推进“喜迎生物多样性，相约美丽春城”计划，在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.16. 已知等比数列中，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，分别是等差数列的第8项和第20项，试求数列的通项公式及前项和.。
吉林省吉林市高三数学《数列》基础过关(3)
一 高考考点：通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题。
二 强化训练一、 选择题1．在数列{}n a 中，321,,,0a a a a n ≠成等差数列，432,,a a a 等等比数列，543,,a a a 的倒数成等差数列，则531,,a a a（A ）是等差数列 （B ）是等比数列（C ）三个数的倒数成等差数列 （D ）三个数的平方成等比数列2．若122,62,32===cb a ，那么实数a ，b ，c 构成（A ）等差但非等比数列 （B ）等比但非等差数列（C ）既等差又等比 （D ）非等差又非等比3．已知数列{}n x 满足b x a x n x x x n n n ==≥-=-+2111,),2(，记n n x x x S +++= 21，则下列结论正确的是（A ）a b S a x -=-=2,100100 （B ）a b S b x -=-=2,100100（C ）a b S b x -=-=100100, （D ）a b S a x -=-=100100,4．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 21的前n 项和为 (A) ()n n n 212212-++ (B)()1211121+-++n n n (C) ()n n n 212212-+- (D)()⎪⎭⎫ ⎝⎛-++n n n 2112121 5．设等差数列的首项为a 公差为d ,则它含负数项且只有有限个负数项的条件是(A)0,0>>d a (B)0,0<>d a (C)0,0><d a (D)0,0<<d a6．设等差数列5,724, ,743的第n 项到第6+n 项的和为T,则当T 最小时,n 等于 (A)6 (B)5 (C)4 (D)37．等差数列{}n a 的公差为d ,5104S S =,则da 1的值为 (A)21 (B)2 (C)41 (D)4 8．设x 是b a ,的等差中项,并且2x 是2a 与2b -的等差中项,则b a ,的关系是(A)b a -= (B)b a 3= (C)0==b a (D) b a -=或b a 3=9．等差数列{}n a 中,20050321=++++a a a a ,2700100535251=++++a a a a , 则1a 为(A)-1221 (B)-21.5 (C)-20.5 (D)-2010．已知数列{}n a 中，3,211+==+n n n a a a a ，则n a = (A) 12-=n n a (B) 121-=-n n a (C) 12+=n n a (D) 121+=+n n a二、填空题：11．已知数列{}n a 中，112123,2,1-+-===n n n a a a a a ，则n a ；12．在数列{}n a 中，已知)2,(,112211≥∈++++==*--n N n a a a a a a n n n ，这个数列的通项公式是 ．13．设()()*21312111N n nn n n n f ∈+++++++=，那么)()1(n f n f -+= 14．设数列1,,,,21+=n n n n n ka S a S n a a a 的关系是与项的和前 （其中k 是与n 无关的实数，且k ≠1），则通项公式n a = 15． {}()，，，已知为等比数列，设412121121==+++-+=-T T a a a n na T a n n n n（1）求数列{}n a 的首项和公比； （2）求数列{}n T 的通项公式．16．在1与9之间插入1221,,,12--n a a a n 个正数，使这12+n 个数成等比数列；又在1和9之间插入1221,,,12--n b b b n 个正数，使这12+n 个数成等差数列，记1221-⋅=n n a a a A ,1221-+++=n n b b b B ．(1)分别求{}{}n n B A 、的通项； (2)是否存在自然数m ，使得1749)(++=n n B A n f 对任意自然数n ，都能被m 整除？若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．第三节 参考答案：B A A AC B A DCA11．12-=n n a12． ()()⎩⎨⎧≥==-22112n n a n n 13．221121+-+n n 14． n n k k )1(1---15．(){}()()()()()()[]()()()()()()()()()()13222121211121112111212121212111121211212112221222222212121221122212122222122222222122211212221222122211221122141221+---++---------++-=--⋅-=-++++=-++-+-=+++=+++++++=+++-+=∴-=+++=∴=+++=++-=-+-=-⋅-+-=+++++-=⋅+⋅++⋅-+⋅-⋅+⋅++⋅-+⋅=-=⋅+⋅++⋅-+⋅=∴==∴====∴==+=+==n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n S S S a a a a a a a a a n na T S a a a a S n n n n n n n n T T T n n T q a a q a a a T T q a a a T a T q a ，，知，由解二：设；，，，，知，解一：由；，，，，，，的公比为设等比数列解：16．（1）∵数列9,,,,,11221-n a a a 为等比数列，∴3,912=⨯=n n a a ， 又9,,,,,11221-n b b b 数列为等差数列，∴5291=+=n b ， .5105)1(52)()()(3)()())((112221211221121212112221211221-=+-⨯⨯=+++++++=+++====⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=+-------+----n B n b b b b b b b b b b B a a a a a a a a a a a a a A n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 即所以 （2）34031749)(12-+=++=+n B A n f n n n ， .64)(,6436)3(,645)2(,64)1(整除能被猜想n f f f f ⨯=⨯==证明：①当整除；能被时，6464)1(1==f n②假设当k n =时，,64)(整除能被k f p k k 64340312=-++)159(64644086493740)34064(93740393)1(403)1(,1121)1(2+-=+⨯-⋅=+++-=++⋅=-++=++=+++k p k p k k p k k k f k n k k 时那么当 所以当1+=k n 时命题成立，由①②证得对任意的自然数n ，)(n f 能被64整除． 又.64(,64)1(）最大值为所以n f f = 2)1(11).2(2)1(2)1(2,2)1()1)(1(21)229)(1(212212+=∴==≥+=+⋅=⋅=∴+==+=--+=-n n a a n n n n n n b b a n b n n n b n n n n n n 也成立，时，又当故也成立。
高三数学考前冲刺训练
高 三 数 学 考 前 冲 刺 训 练 (1)1、设随机变量2(,)(0)N ξμσσ>，则随着σ的增大，概率(||)(0)P b b ξμ-<>的值 A 、单增 B 、单减 C 、保持不变 D 、增减性不定2、一枚均匀的硬币，投掷10次，正面不连着出现的情况的种数有A 、142B 、143C 、144D 、 453、已知线段AB 为圆O 的弦，且2AB =，则AO AB = 。
4、在锐角中，若tan 1A t =+，tan 1B t =-，则t 的取值范围是 。
5、已知两个正数x 、y ，满足45x y xy ++=，则xy 取最小值时， x 、y 值分别是 、 。
6、已知sin ()1()1||x f x x R x =-∈+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 。
7、已知00(,)x y 是直线21x y k +=-与圆22223x y k k +=+-的交点，则o o x y 的取值范围为 。
8、已知θ是ABC 的最大的内角，设向量(cos ,sin )a θθ=，(sin 2,1cos2)b θθ=-，(0,1)c =-。
定义()()||f a b c b θ=++，求()f θ的最大值。
9、设函数2()(1)2ln ,f x x k x k R =+-∈，（1）当2k =，时，求函数()f θ的增区间；（2）当0k <时，求函数'()()g x f x =在区间(0,2]上的最小值。
10、已知22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由O 外一点(,)P a b 向O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =（1）求实数a 、b 间满足的等量关系式；（2）求线段PQ 长的最小值；（3）若以P 为圆心所做的P 与O 有公共点，是求半径最小时P 的方程。
高 三 数 学 考 前 冲 刺 训 练 (2)1、若2ln 64a =，ln 2ln 3b =，2ln 4c π=则a 、b 、c 的大小关系是 A 、a b c >> B 、c a b >> C 、a b c << D 、a c b >>2、若三个正数a 、b 、c 满足2203b a b c a b c a ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则23b c a +的最大值为 A 、31 B 、24 C 、20 D 、193、若向量a 、b 满足(2,1)a b +=-，(1,2)a =，则a 与b 的夹角等于 。
广东省深圳市高三冲刺(三)数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}5A x x =<{}2670B x x x =--≤A B = A ． B ． {}1x x ≤-{}15x x -≤<C ． D ．{}7x x ≤-{}75x x -≤<【答案】B【分析】解一元二次不等式得集合，然后由交集定义计算．B 【详解】因为，，{}5A x x =<{}{}{}2670(1)(7)017B x x x x x x x x =--≤=+-≤=-≤≤所以. {}15A B x x ⋂=-≤<故选：B ． 2．若复数，其中是虚数单位，则复数的模为 22i +1iz =+i zA B CD ．2【答案】C【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi 的形式，然后利用复数模的公式计算即可．【详解】复数＝2i+＝2i+1﹣i ＝1+i,2z 2i 1i =++()()()21i 1i 1i -+-则|z|故选C ．【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．3．如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为P ABCD -1AB AD ==（ ）A B C D 【答案】C【分析】先证明，从而可证平面平面，则有顶点的射影在上，从而BD AC ⊥PAC ⊥ABCD P AC可得，即有是直角三角形，再求出底面积和高即可求出体积. OA OB OC ==ABC 【详解】连接，交点为，如图所示：,AC BD E，且是公共边，,AB AD CB CD == AC ，，ABC ADC ∴ ≌CAB CAD ∴∠=∠易得，， AEB AED ≌90,AEB AED BE DE ∴∠=∠=︒=即，又，，BD AC ⊥PB PD =BD PE ∴⊥，平面， AC PE E = ,AC PE ⊂PAC 平面，又平面，BD ∴⊥PAC BD ⊂ABCD 平面平面.∴PAC ⊥ABCD 过点作平面，垂足为，连接，P PO ⊥ABCD O OB ，，PA PC = OA OC ∴=平面，，，,OA OB ⊂ABCD ∴PO OA ⊥PO OB ⊥由是公共边，， ,PA PB =PO POA POB ∴ ≌即有，OA OB OC ==三点在以为直径的圆周上，∴,,A B C AC， 90ABC ∴∠=︒AC =OA =PO ∴==， 1221222ABCD ABC S S ==⨯⨯⨯=11233P ABCD ABCD V S PO -∴=⨯⨯=⨯=故选：C4．若 ） 270360α︒<<︒A ． B ．C ．D ．sin2αsin2α-cos2αcos2α-【答案】D【分析】利用三角函数的升幂公式易知，结合，可得22111cos 2coscos 22222ααα+=⨯=270360α︒<<︒，，再利用升幂公式即可求得答案．cos 0α>cos02α<【详解】解：若，所以，则，，又(270,360)α∈︒︒(135,180)2α∈︒︒cos 0α>cos02α<， 22111cos 22cos cos 222ααα+=⨯=22111cos 2cos cos 22222ααα+=⨯=．∴cos 22αα=-故选：D5．设随机变量X ～N (μ，σ2)且P (X <1)＝，P (X >2)＝p ，则P (0<X <1)的值为( ) 12A ．p B ．1－p C ．1－2p D ．－p 1212【答案】D【分析】由，得正态分布概率密度曲线关于对称，又由，根据对称1(1)2P X <=1μ=(2)P X p >=性，可得，进而可得，即可求解． (0)P X p <=1(01)2P X p <<=-【详解】由随机变量，可知随机变量服从正态分布，其中是图象的对称轴， (,)X N μσ X μ=又由，所以， 1(1)2P X <=1μ=又因为，根据正态分布概率密度曲线的对称性，可得， (2)P X p >=(0)P X p <=所以，故选D ． 1(01)2P X p <<=-【点睛】本题主要考查了正态分布曲线性质的简单应用，其中熟记正态分布概率密度曲线的对称性，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为28y x =221124x y -=A ． B CD 1【答案】A【详解】试题分析：由，焦点坐标为，又渐近线方程为：．则由点到直线的28y x =(2,0)y x =距离公式得1d 【解析】抛物线与双曲线的性质及点到直线的距离算法.7．若等边的边长为2，平面内一点满足，则（ ）ABC M 1233CM CB CA =+ MA MB =⋅A ．B ．C ．D ． 8913989-139-【答案】C【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解与合成，再利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】，1211133333MA CA CM CA CB CA CA CB BA ⎛⎫=-=-+=-= ⎪⎝⎭，1222233333MB CB CM CB CB CA CB CA AB ⎛⎫=-=-+=-= ⎪⎝⎭ .2212228233999MA MB BA AB AB ∴⋅=⋅=-=-⨯=- 故选：C.8．已知函数f （x ）＝，满足对任意的x 1≠x 2都有＜0成立，则,(0)(3)4,(0)x a x a x a x ⎧<⎨-+⎩…()()1212f x f x x x --a 的取值范围是（ ） A ．B ．（0，1）C ．D ．（0，3）10,4⎛⎤⎥⎝⎦1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由已知可得函数f （x ）在R 上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a 的取值范围，依题意对任意的，都有12x x ≠成立，所以函数在上为减函数，即可得到不等式组，解得即可；()1212()0f x f x x x -<-R 【详解】∵f （x ）对任意的x 1≠x 2都有成立，()()12120f x f x x x -<-∴f （x ）＝为R 上的减函数，,(0)(3)4,(0)x a x a x a x ⎧<⎨-+⎩…∴解得0＜a ≤.013041a a a <<⎧⎪-<⎨⎪⎩…14故选：A.【点睛】已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：（1）若函数在区间[a ,b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；（2）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.二、多选题9．在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，下列说法正确的是（ ）﹒1111ABCD A B C D -P 1BCA ．对任意点，平面P DP ∥11AB D B ．三棱锥的体积为11P A DD -16C ．线段DPD ．存在点，使得与平面所成角的大小为 P DP 11ADD A π3【答案】AB【分析】根据平面平面，可判断A;根据三棱锥体积公式，计算三棱锥的体11AB D ∥1BC D 11P A DD -积，可判断B ；求出线段长度的最小值可判断C;作出与平面所成角，计算其正切值DP DP 11ADD A 范围，结合题设可判断D. 【详解】A 选项：如图所示，连接，，，和，1AB 1AD 11B D BD 1C D ∵,∴四边形为平行四边形，∴， 1111,BB DD BB DD =∥11BB D D 11B D BD ∥平面平面,所以平面，BD ⊂111,C BD B D ⊄1C BD 11B D ∥1C BD同理可知平面，1AD ∥1C BD ∵平面，∴平面平面， 1111111,,AD B D D AD B D ⋂=⊂11AB D 11AB D ∥1BC D ∵平面，DP ⊂1BC D ∴对任意点，平面，故A 正确； P DP ∥11AB D B 选项：如图所示，连接，和， 1D P 1AD AP 由A 知，，11BC AD ∥∵平面，平面，∴平面， 1BC ⊂/1ADD 1AD ⊂1ADD 1BC ∥1ADD ∵，∴到平面的距离为定值，即，1P BC ∈P 1ADD d 1d =∴，故B 正确；11111326P ADD V d AD DD -=⋅⋅⋅⋅=C 选项： 由题意正方体可知， 1111ABCD A B C D -111BD BC C D ==∵为正三角形，1BC D ∴当为中点时，， P 1BC 1DP BC ^∴此时，故C 错误； DP =D 选项：如图所示，连接，在上取一点使，连接 , 1AD 1AD Q 11D Q C P =,PQ DQ 由可知，故四边形为平行四边形， 11D A C B ∥11D Q C P ∥11PQD C ∴，由于平面,则平面， 11PQ C D ∥11C D ⊥11AA D D PQ ⊥11AA D D ∴即为直线与平面所成角， PDQ ∠PD 11AA D D θ∴， 1tan PQ DQ DQθ==∵在线段上，，∴∴， Q 1AD 1DQ ≤≤11DQ ≤≤tan θ⎡∈⎣若，则，故D 错误． π3θ=tan θ⎡=⎣故选：AB ．10．下列说法中正确的是（ ）A ．函数 2()f x =B ．若，则 0,0a b m >>>b b m a a m+<+C ．函数的值域为 ()231x f x x -=-()(),22,-∞+∞D ．函数为同一个函数 ()f x =()g x =【答案】BC【分析】根据基本不等式、比较法，结合分式函数的性质、同一函数的定义逐一判断即可.【详解】A ：()f x ===，显然该方程无实数解，2213x =⇒=⇒=-，≠所以，()2f x =>=因此2，所以本选项不正确；()f x =B ：因为， 0,0a b m >>>所以， ()()()()()0a b m b a m m a b b m b a m a a a m a a m +-+-+-==>+++即，因此本选项正确； b m ba m a+>+C ：因为， ()()2112312111x x f x x x x ---===----所以，因此函数的值域为，所以本选项正确；()2f x ≠()231x f x x -=-()(),22,-∞+∞D ：由可知：，所以函数()f x =10110x x x -≥⎧⇒≥⎨+≥⎩()f x =，{}1x x ≥由函数可知，或， ()g x =221011x x x -≥⇒≥⇒≥1x ≤-所以函数的定义域为或，()g x ={1x x ≥}1x ≤-因为两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，因此本选项不正确， 故选：BC11．关于函数，下列说法正确的是（ ）()2sin()3f x x π=+A ．是图象的一个对称中心；B ．是函数的一个单调递增区间；2,03π⎛⎫⎪⎝⎭55,66ππ⎡⎤-⎢⎣⎦C ．是图象的一条对称轴；D ．最大值是2，最小值是．3x π=-2-【答案】AD【分析】应用整体代入法，验证对称中心、单调区间、对称轴即可判断A 、B 、C 的正误，由正弦函数的值域判断D 的正误. 【详解】A ：将代入，得，正确；23x π=2(2sin 03f ππ==B ：，则，而上单调增，上单调55[,]66x ππ∈-7236x πππ-≤+≤232x πππ-≤+≤()f x 7236x πππ≤+≤减，错误； C ：时，，显然不是的对称轴，错误；3x π=-03x π+=()2sin()3f x x π=+D ：由解析式知，正确；()2sin([2,2]3f x x π=+∈-故选：AD.12．已知，下列不等式恒成立的是（ ）1201x x <<<A ．B ．1221e e x xx x >2112ln ln x x x x <C ． D ．1122ln ln x x x x <1221ln e l e n x xx x +<+【答案】AB【分析】A 选项，构造函数，通过求导研究其单调性得到证明；B 选项，构造()(),0,1e xxf x x =∈，通过求导研究其单调性，进行求解；C 选项，构造，通()()ln ,0,1xg x x x=∈()()ln ,0,1h x x x x =∈过求导研究其单调性，进行求解；D 选项，利用中间值比大小. 【详解】令在内单调递增. ()()()()1,0,1,,e e 0x xx xf x x f x f x '-=∈=>()0,1x ∈时，，即A 选项正确； 1201x x ∴<<<1212e ex x x x <2112e e ,x x x x <令在内单调递增， ()()()()2ln 1ln ,0,1,0,x x g x x g x g x x x -=∈>'=()0,1x ∈，即，B 选项正确；121212ln ln 01,x x x x x x ∴<<<<2112ln ln x x x x <令，当时，单调递减，当()()()()ln ,0,1,ln 1,0,1h x x x x h x x x '=∈=+∈10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ()()0,h x h x '<时，单调递增，与大小不确定，C 错误； 1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,h x h x '>()1h x ()2h x 当时，，D 错误1201x x <<<2112ln ln 00e e x xx x +<+>故选：AB三、填空题13．对于任意，不等式恒成立，则实数的范围是_________ [2,3]x ∈-2||10x a x -+>a 【答案】(,2)-∞【分析】时恒成立，时，不等式变形为，只要求得的最小值即可得结0a =0a ≠21x a x +<21x x +论，这可由函数的单调性求得．【详解】时，不等式为恒成立，0a =210x +>时，不等式变形为，，设，，0a ≠21x a x+<03x <≤t x =(0,3]t ∈，由对勾函数知该函数在上递减，在上递增，22111x t y t x t t++===+(0,1][1,3]∴时，取得最小值2．1t =1y t t =+∴．2a <故答案为：．(,2)-∞【点睛】本题考查不等式恒成立问题，常用方法是用分离参数法把问题转化为求函数最值．四、双空题14．定义表示不超过的最大整数，如：，；定义．[]x x ()R x ∈[]1.32-=-[]0.80={}[]x x x =-（1） ______ ； 2349999999999991000100010001000⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎨⎨⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭（2）当为奇数时， ______ ．n 239999999999991000100010001000n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫++++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭【答案】2199921000n -+【分析】（1）利用新定义求出，利用二项展开式求、的值，然后根据规律9991000⎧⎫⎨⎬⎩⎭29991000⎧⎫⎨⎬⎩⎭39991000⎧⎫⎨⎬⎩⎭求出的值，代入所求的式子求解即可；49991000⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）由（1）归纳出规律，利用此规律求出所求的式子的值． 【详解】解：（1）由题意得，， 9999999999991000100010001000⎧⎫⎡⎤=-=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，()2221000199910002000119981000100010001000--+===+ ， 299911998998100010001000⎧⎫∴=+-=⎨⎬⎩⎭， ()333221000199910003100031000111000300031000100010001000--⨯+⨯-===-+- ， ()32299919991000300031000300031100010001000⎧⎫∴=-+---+-=⎨⎬⎩⎭由二项式定理同理可得，， 4999110001000⎧⎫=⎨⎬⎩⎭； 23499999999999999919991210001000100010001000100010001000⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫∴+++=+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭（2）由（1）可归纳出当是奇数时，， n 99999910001000n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭当是偶数时，， n 999110001000n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭当为奇数时，则有个偶数，个奇数， ∴n 12n -12n +. 239999999999991999100010001000100021000n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫-⎧⎫++++=+⎨⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭故答案为：2；. 199921000n -+ 五、填空题15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上异于左、右顶点的一点，22:195x y C +=1F 2F P C 外接圆的圆心为M ，O 为坐标原点，则的最小值为______.12PF F △PM PO ⋅ 【答案】 92【分析】根据向量的加法法则和向量垂直的表示，结合均值不等式代入即可.【详解】， ()()12121122PM PO PM PF PF PM PF PM PF ⋅=⋅+=⋅+⋅ 取线段的中点，则， 1PF G 1MG PF ⊥所以， 211111122PM PF PF PF GM PF ⎛⎫⋅=⋅+= ⎪⎝⎭ 同理， 22212PM PF PF ⋅= 所以， ()()22212121194422PF PF PM PO PF PF +⋅=+≥⋅= 当且仅当时，等号成立，123PF PF == 即的最小值为. PM PO ⋅ 92故答案为：. 9216．设数列的前n 项和为,若且则的通项公式_______．}{n a n S 13a =12n n n a S S -=⋅}{n a n a =【答案】 3,118,2(53)(83)n n n n =⎧⎪⎨≥⎪--⎩【详解】时，由 可得化为 是公差为2n ≥12n n n a S S -=⋅1122,n n n n S S S S ---=11111,2n n n S S S -⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭12- ，首项为的等差数列，，时，13()111156=1,322653n n n n S S n --=-+=-2n ≥1n n n a S S -=-=，又因为 ，()()185383n n --13a =故答案为：. ()()3,118,25383n n n n =⎧⎪⎨≥⎪--⎩六、解答题17．已知等差数列满足，．{}n a 310a =5226a a -=(1)求；n a (2)数列满足，为数列的前项和，求． {}n b 112,1,2n n n n b a n --⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数n T {}n b n 2n T 【答案】(1)42n a n =-(2) 2241223n n T n n -=-+【分析】（1）根据条件建立方程组，即可求出等差数列的首项和公差，即可求；n a （2）利用分组求和及等差数列、等比数列的求和公式即可求数列的前项和．{}n b n n T 【详解】（1）设等差数列的公差为d ，{}n a 因为，．则，解得， 310a =5226a a -=()()111210426a d a d a d +=⎧⎨+-+=⎩124a d =⎧⎨=⎩所以．()24142n a n n =+-=-（2）由（1）可得， 12,23,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数则()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++()()2221221543n n -⎡⎤=+++++++-⎣⎦ ， ()4214142n n n --=+-24123n n n -=-+所以. 2241223n n T n n -=-+18．某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成绩分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]频率分布直方图如图所示.(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);(2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.【答案】（1）中位数为，平均数为 （2）86.6787.25300【解析】(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,因为前2组的频率之和为,m n ,因为前3组的频率之和为,所以,求出即可求得答案;0.40.5<0.70.5>8590m <<,m n (2)因为样本中90分及以上的频率为,所以该校高一年级1000名学生中,根据频率()0.04+0.025=0.3⨯分布直方图,即可估计该校高一学生数学成绩达到人数.“优秀”等次的人数【详解】(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,m n 因为前2组的频率之和为,因为前3组的频率之和为,所以,0.40.5<0.70.5>8590m <<由,得.0.40.06(85)0.5m +⨯-=86.67m =所以,这50名学生数学成绩的77.550.0182.550.0787.550.0692.550.0497.550.0287.25n =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=中位数和平均数分别为,86.6787.25(2)因为样本中90分及以上的频率为,()0.04+0.025=0.3⨯ 所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到 “优秀”等次的人数为人.0.31000=300⨯【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题的关键是根据频率分布直方图提供的数据,求出频率.再求出学生数,属于基础题.19．如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东30°B 处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以小时的速度沿着正东方向//直线追去，1小时后，巡逻艇到达C 处，走私船到达D 处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以小时的速度沿着直线追击/(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船【答案】(1).(2)巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.75︒【分析】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得ABC BC =45ABC ︒∠=BCD △.CD （2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正BCD △60BCD ︒∠=90BDC ︒∠=135CDE ︒∠=CDE 弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向.30∠= DCE 【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D 处，巡逻艇在C 处，此时313,1BD AC =⨯===由题意知903060BAC ︒︒︒∠=-=在中，ABC AB AC =由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠221122=+-⋅=所以BC =在中， 由正弦定理得 ABC sin sin AC BC ABC BAC =∠∠=所以（舍去） sin 45,ABC ABC ︒∠=∴∠=135 所在180604575ACB ︒︒︒︒∠=--=又180********CBD ︒︒︒︒︒∠=---=在中， BCD △30,3,CBD BD BC ︒∠===由余弦定理得2222cos30CD BC BD BC BD ︒=+-⋅⋅(22323cos330︒=+-⋅=⨯CD ∴=.（2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，t CE E则,3,3CE DE t CD ===在中，由正弦定理得：BCD △sin sin sin CD BD BC CBD BCD BDC ==∠∠∠3sin BCD ==∠所以， sin 60BCD BCD ︒∠=∴∠=90,135BDC CDE ︒︒∠=∠=在中，由正弦定理得： CDE sin sin CE DE CDE DCE =∠∠则，故 （舍） 1sin 2DCE ∠=30∠= DCE 150ACE ACB BCD DCE ∠=∠+∠+∠7560309075︒︒︒=+++ ＝故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.75︒20．在正方体中，如图、分别是，的中点．1111ABCD A B C D -E F 1BB CD(1)求证：平面平面；1AD F ⊥ADE (2)求直线与所成角的正弦值．EF 1AD F【答案】(1)证明见解析 (2) 56【分析】（1）设棱长为，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面平面2D 1AD F ⊥．ADE （2）由，平面的法向量，利用向量法求出直线与所成()2,1,1EF =--- 1AD F ()1,2,1m = EF 1AD F 角的正弦值．【详解】（1）设棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，2D则，，，，，(0,0,0)D (2,0,0)A (2,2,1)E (0,1,0)F 1(0,0,2)D 所以，，，，()2,0,0DA = ()2,2,1DE = ()12,0,2AD =- ()2,1,0AF =- 设平面的法向量，则，取，得， ADE (,,)n x y z = 20220n DA x n DE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 1y =()0,1,2n =- 设平面的法向量，则，取，得， 1AD F (),,m a b c =122020m AD a c m AF a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1a =()1,2,1m = 所以，则平面平面．0220n m ⋅=+-= 1AD F ⊥ADE （2）设直线与平面所成角的为，而，平面的法向量EF 1AD F θ()2,1,1EF =--- 1AD F ()1,2,1m = ，所以． 5sin cos ,6EF θ= 直线与所成角的正弦值． EF 1AD F 5621．已知抛物线：的焦点为.C 22(0)y px p =>()2,0F(1)求抛物线的标准方程；(2)抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个C x A 2A C 交点分别为，，求证：直线的斜率为定值．B C BC 【答案】(1)28y x =(2)证明见解析【分析】（1）根据已知中抛物线：的焦点为，求出值，可求抛物线的C 22(0)y px p =>()2,0F p 标准方程；（2）设出直线、的方程与椭圆方程联立，求出、的坐标，利用斜率公式，即可证明直AB AC B C 线的斜率为定值．BC 【详解】（1）抛物线：的焦点为，C 22(0)y px p =>()2,0F ，解得， 22p ∴=4p =故抛物线的标准方程为：；C 28y x =（2）点的横坐标为，即，解得，A 2282y =⨯4y =±故点的坐标为，设，，A ()2,4()11,B x y ()22,C x y 由已知设：，即，AB ()42m y x -=-42x my m =-+代入抛物线的方程得，即，()2842y my m =-+2832160y my m -+-=则，故，148y m +=184y m =-所以，()211428442882x my m m m m m m =-+=--+=-+即，()2882,84B m m m -+-设：，即，AC ()42m y x --=-42x my m =-++同理可得，则，284y m =--()222428442882x my m m m m m m =-++=---++=++即()2882,84C m m m ++--直线的斜率， BC 121216116BC y y m k x x m -===---所以直线的斜率为定值．BC。
广东省深圳市2023届高三冲刺(三)数学试题 (2)
一、单选题1.若，则有（ ）A．B．C．D．2. 已知为直角三角形，且，点，分别在边，上．现在以为折痕，将翻折至的位置，设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．3. 已知抛物线，点O 为坐标原点，并且经过点，若点P 到该抛物线焦点的距离为2，则（ ）A．B．C ．4D．4. 设集合，则集合A 的真子集个数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．155. 《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的灿筑物称为“方亭”，沿“方亭”上底面的一对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为，“刍甍”的体积为，若，则“方亭”的上､下底面边长之比为（）A．B．C．D．6.如图，是边长为2的正三角形，记位于直线（）左侧的图形的面积为．则函数的大致图象是（）A． B．C． D．广东省深圳市2023届高三冲刺（三）数学试题 (2)广东省深圳市2023届高三冲刺（三）数学试题 (2)二、多选题三、填空题7. 已知，，与的夹角是，若则实数的值为（ ）A ．7B ．－7C ．6D ．－68.设函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，9. 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，下列叙述正确的有（）A．B．C ．与所成的角为D ．平面10. 已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A ．周期为B ．直线是图像的一条对称轴C ．点是图像的一个对称中心D．将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像11.已知正方体的棱长为2，点E 、F 分别是棱、的中点，点P在四边形内（包含边界）运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 是线段的中点，则平面平面B ．若P 在线段上，则异面直线与所成角的范围是C ．若平面，则点P的轨迹长度为D ．若平面，则长度的取值范围是12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的最大值为2B ．f （x ）在上单调递增C ．f （x ）在上有4个零点D ．把f （x ）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称13. 已知F 1、F 2为椭圆的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点若|F 2A |+|F 2B |=12，则|AB |=_____________．四、解答题14. A ，B ，C ，D 为球面上四点，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，以MN 为直径的球称为AB ，CD 的“伴随球”，若三棱锥A —BCD 的四个顶点在表面积为64π的球面上，它的两条边AB ，CD 的长度分别为和，则AB ，CD 的伴随球的体积的取值范围是___________15. 若是虚数单位，则复数______.16. 已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12．(1)求的解析式；(2)是否存在自然数m ，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，说明理由．17. 某学校记录了某学期40名学生期中考试的数学成绩和期末考试的数学成绩，得到的频数分布表如下：期中考试的数学成绩频数分布表数学成绩频数4141642期末考试的数学成绩频数分布表数学成绩频数6101284(1)估计这40名学生期中考试的数学成绩小于100分的概率；(2)估计这40名学生期末考试的数学成绩的平均分比期中考试数学成绩的平均分提高多少分．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）18.已知是递增的等差数列，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和，并证明.19.已知数列的前项和满足：，.（1）出求数列的前3项，，；（2）求数列的通项公式.20. 已知L为过点倾斜角为的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在的抛物线．设A 为L 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点．(1)写出直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图；(2)写出线段、圆弧和抛物线上一段的函数表达式；(3)设依次为从P 、B 到x 轴的垂足，求由圆弧和直线段所包含的面积．21. 已知函数.(1)当时，求在处的切线方程；(2)若有两个零点，求的取值范围；(3)求证：.。
高中数学人教版选修1-2：考前过关训练(三) Word版含答案.doc
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考前过关训练(三)复数与框图(30分钟50分)一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607=( )A.iB.-iC.1D.-1【解析】选B.i607=(i2)303·i=-i.2.(2015·湖南高考)已知=1+i(i为虚数单位)，则复数z=( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【解析】选D.验证各选项，只有z=-1-i时，==1+i.3.(2016·合肥高二检测)下面是关于复数z=的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z 的共轭复数为-1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为( )A.p2，p3B.p1，p2C.p2，p4D.p3，p4【解析】选C.复数z===1+i的四个命题：p1：|z|=≠2，因此是假命题；p2：z2=(1+i)2=2i，是真命题；p3：z的共轭复数为1-i，是假命题；p4：z的虚部为1，是真命题.其中真命题为p2，p4.4.(2016·南昌高二检测)若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位)，则|z|=( )A.1B.2C.D.【解题指南】运用复数除法的运算法则及模的公式进行计算.【解析】选C.z===1+i，|z|=.5.(2016·武汉高二检测)满足=i(i为虚数单位)的复数z=( )A.+iB.-iC.-+iD.--i【解题指南】先解关于z的方程，再用复数的除法法则进行运算.【解析】选B.因为=i，所以z+i=zi，z====-i.6.(2016·长沙高二检测)复数z=1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为( )A.2cosB.-2cosC.2sinD.-2sin【解析】选B.|z|===-2cos.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2016·天津高考)i是虚数单位，复数z满足(1+i)z=2，则z的实部为________. 【解题指南】把复数z整理为代数形式.【解析】已知(1+i)z=2，所以z==1-i，所以z的实部为1.答案：18.(2015·四川高考)设i是虚数单位，则复数i-=________.【解题指南】利用i2=-1，对所求式子化简，便可求解.【解析】i-=i-=i+i=2i.答案：2i9.如图为有关函数的结构图，由图我们可知基本初等函数包括____________________.【解析】基本初等函数的下位要素为指数函数、对数函数、幂函数.答案：指数函数、对数函数、幂函数三、解答题(每小题10分，共20分)10.实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i：(1)是实数.(2)是虚数.(3)是纯虚数.(4)对应点在第三象限.(5)对应点在直线x+y+4=0上.(6)共轭复数的虚部为12.【解析】z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.因为m∈R，所以z的实部为m2+5m+6，虚部为m2-2m-15.(1)要使z为实数，必有m2-2m-15=0，所以m=5或m=-3.(2)要使z为虚数，必有m2-2m-15≠0，所以m≠5且m≠-3.(3)要使z为纯虚数，必有⇒所以m=-2.(4)要使z对应的点在第三象限，必有⇒所以-3<m<-2.(5)要使z对应的点在直线x+y+4=0上，必有点(m2+5m+6，m2-2m-15)满足方程x+y+4=0，所以(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0.解得m=-或m=1.(6)要使z的共轭复数的虚部为12，则-(m2-2m-15)=12，所以m=-1或m=3.11.如图是某生态农场物质循环利用的结构图，请用语言描述此框图所包含的内容.【解析】该农场的猪场、鸡场、鸭场的猪粪、鸡粪、鸭粪以及果园中的植物残体均作为沼气池原料投入沼气池，其产生的能源可作生活能源、鸭场育雏能源和鸡场增温能源；产生的沼液进入鱼塘；沼渣作果园底肥，还用于蚯蚓养殖；沼渣沼液亦可用来种植蘑菇、饲养生猪.另外，猪场的猪粪、鸡场的鸡粪、蘑菇房的菌床废物可用来养殖蚯蚓，果园可提供蚯蚓养殖的底层空间.同时，蚯蚓养殖给果园增加了土壤肥力，给鸡场提供了饲料.鸭场的粪便被鱼塘再度利用，同时鱼塘又给鸭饲养提供空间，鱼塘又可灌溉果园.鸡场鸡粪既可作蘑菇房原料，又可被猪场再利用.关闭Word文档返回原板块。
人教A版高中数学选修1-1考前过关训练 第三课 导数及其应用 Word版含答案
当 2<x<6 时,V′<0,函数单调递减;
当 x>6 时,函数无实际意义,
所以 x=2 时体积最大,此时底面周长=6-2=4,
该圆柱底面周长与高的比:4∶2=2∶1.
二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)
7.(2016·海南高二检测)函数 f(x)=ax3+x+1 有极值的充要条件是 .
(1,2),则切线方程为 y-2=3(x-1),整理得:y=3x-1.
【补偿训练】若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程
为 ( )
A.4x-y-3=0
B.x+4y-5=0
C.4x-y+3=0
D.x+4y+3=0
【解析】选 A.与直线 x+4y-8=0 垂直的直线 l 为 4x-y+m=0,即 y=x4 在某一点的导数为 4.而
3.如图所示是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图象,则x21+x22等于 ( )
2
4
8
16
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
【解析】选 C.由图象知 f(x)=0 的根为 0,1,2,
所以 d=0.
所以 f(x)=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c).
所以 x2+bx+c=0 的两根为 1 和 2.
则 F′(x)=x+ -2x2=
.
x
x
因为当 x>1 时,F′(x)<0,
所以函数 F(x)在(1,+∞)上为减函数,
高考数学全程考评特训卷滚动过关检测三集合常用逻辑用语不等式函数与导数三角函数与解三角形含解析
滚动过关检测三 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·河北保定模拟]已知P ＝{1,2,3}，Q ＝{y |y ＝2cos θ，θ∈R }，则P ∩Q ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3}2．[2022·广东清远一中月考]“cos α＝32”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知a ＝log 35，b ＝log 23，c ＝2－0.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．c <a <bD ．a <b <c4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 5．[2022·山东淄博模拟]函数f (x )＝(e x＋e －x)tan x 的部分图象大致为( )6．[2022·河北衡水中学模拟]已知cos θ－sin θ＝43，则θ的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．[2022·湖南株洲模拟]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若23a cos C －3b cos C ＝3c cosB ，则角C 的大小为( )A.π6B.π4 C.π3 D.2π38．[2022·皖南八校联考]已知函数f (x )＝(3a )x－x 3a(a >1)，当x ≥2e 时，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围为A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 3，＋∞ C ．(1，e) D.⎝⎛⎦⎥⎤1，2e 3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列说法正确的有( )A ．终边在y 轴上的角的集合为θ⎪⎪⎪θ＝π2＋2k π，k ∈ZB ．已知3a ＝4b＝12，则1a ＋1b＝1C ．已知x ，y ∈R ＋，且1x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值为8D ．已知幂函数f (x )＝kx a的图象过点(2,4)，则k ＋a ＝3 10．[2022·辽宁丹东模拟]已知a ，b ∈R ，且3a <3b<1，则( ) A ．a 2<b 2B ．ln|a |>ln|b |C.b a ＋ab>2 D ．a ＋b ＋2ab >011．[2022·河北石家庄一中月考]对于△ABC ，有如下判断，其中正确的判断是( ) A ．若cos A ＝cos B ，则△ABC 为等腰三角形B ．若△ABC 为锐角三角形，有A ＋B >π2，则sin A ＞cos BC ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有两个D ．若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形12．[2022·辽宁沈阳模拟]函数f (x )为定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝x [f (x )－f (2)]，则( )A ．函数h (x )＝f (x )cos x 为奇函数B ．f (x )的解析式可能是f (x )＝e x＋e －x－x 2C ．函数g (x )有且只有3个零点D ．不等式g (x )≤0的解集为[－2,2]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 2x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 14．[2022·湖北石首一中月考]在△ABC 中，已知sin A sin B sin C ＝357，则此三角形最大内角度数为________．15．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝________. 16．[2022·浙江杭州模拟]函数f (x )＝2x－x 2的零点个数为________，若函数f (x )＝a x －x 2(a >1)恰有两个零点，则a ＝________.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)[2022·北京海淀模拟]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝3b cos A . (1)求角A 的大小；(2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC 的面积． 第①组条件：a ＝19，c ＝5； 第②组条件：cos C ＝13，c ＝42；第③组条件：AB 边上的高h ＝3，a ＝3.18．(12分)[2022·山东日照模拟]已知函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．19．(12分)[2021·新高考Ⅰ卷]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD sin∠ABC ＝a sin C .(1)证明：BD ＝ b ； (2)若AD ＝2DC ，求cos∠ABC .20．(12分)已知：f (x )＝3sin(π＋x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －12.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝1，a ＝2，求△ABC 面积的最大值．21.(12分)[2022·湖北九师联盟]已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－x ＋1. (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的极值；(2)证明：有且只有两条直线与函数f (x )，g (x )的图象都相切．22．(12分)[2022·广东茂名五校联考]已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－ax . (1)当a ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程；(2)若x 1，x 2(x 1<x 2)是函数f (x )的两个极值点，证明：f (x 1)－f (x 2)>ln a 28＋64－a 416a2.滚动过关检测三 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形1.答案：B解析：因为P ＝{1,2,3}，Q ＝{y |y ＝2cos θ，θ∈R }＝{y |－2≤y ≤2}，所以P ∩Q ＝{1,2}． 2．答案：A解析：由cos2α＝12可得2cos 2α－1＝12，解得：cos α＝±32，所以“cos α＝32”是“cos2α＝12”的充分不必要条件． 3．答案：C解析：因为1<log 35<log 3332＝1.5，log 23>log 2232＝1.5，所以a <b ，又因为c ＝2－0.3<20<1，故c <a <b .4．答案：B解析：∵f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2，A >0，∴A ＝2；∵f (x )最小正周期T ＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12－π3＝π，∴ω＝2πT ＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－2π3(k ∈Z )， 又|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.5．答案：D解析：因为f (x )＝(e x ＋e －x)tan x ，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，定义域关于原点对称，且f (－x )＝(e x＋e －x)tan(－x )＝－f (x )， 所以函数为奇函数，故排除C 选项， 当x ＝0时，f (0)＝0，故排除B 选项； 当x ＝1时，f (1)>0，故排除A. 6．答案：D解析：由cos θ－sin θ＝43，平方得：sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝169，则1－sin2θ＝169，即sin2θ＝－79<0，则2k π＋π<2θ<2k π＋32π或2k π＋32π<2θ<2k π＋2π，k ∈Z ，即有k π＋π2<θ<k π＋34π或k π＋34π<θ<k π＋π，k ∈Z ，当k 为偶数时，θ位于第二象限，sin θ>0，cos θ<0，cos θ－sin θ<0，不成立， 当k 为奇数时，θ位于第四象限，sin θ<0，cos θ>0，成立． ∴角θ的终边在第四象限． 7．答案：A解析：因为23a cos C －3b cos C ＝3c cos B ，所以23sin A cos C －3sin B cos C ＝3sin C cos B ，所以23sin A cos C ＝3sin(C ＋B )＝3sin A ，因为A ，C ∈(0，π)，所以sin A ≠0，cos C ＝32，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6.8．答案：D解析：f (x )≥0即(3a )x ≥x 3a ，则x ln(3a )≥3a ln x ，则ln3a 3a≥ln x x ，令g (x )＝ln x x (x ≥1)，g ′(x )＝1－ln xx2(x ≥1)，当x ∈(1，e)，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(e，＋∞)，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∵a >1，∴3a >3>e ，又g (3a )≥g (x )，∴3a ≤x (x ≥2e)恒成立，∴a ∈⎝⎛⎦⎥⎤1，2e 3.9．答案：BD解析：终边在y 轴上的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪θ＝π2＋k π，k ∈Z ，故选项A 不正确；因为3a ＝4b＝12，所以a ＝log 312，b ＝log 412，则1a ＋1b＝log 123＋log 124＝log 1212＝1，故选项B 正确；因为x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y≥5＋2y x ·4xy＝9，当且仅当y ＝2x ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为9，故选项C 不正确；因为幂函数f (x )＝kx a的图象过点(2,4)，所以k ＝1,2a＝4，即a ＝2，所以k ＋a ＝3，故选项D 正确．10．答案：BC解析：已知a ，b ∈R ，且3a<3b<1，所以a <b <0，对于A 选项，a 2>b 2，故错误；对于B 选项，|a |>|b |，y ＝ln x 为增函数，所以ln|a |>ln|b |，故正确；对于C 选项，b a ，a b 均为正数，且不相等，所以b a ＋a b>2，故正确；对于D 选项，a ＋b ＝－(－a －b )<－2－a－b，所以a ＋b ＋2ab ＜0，故错误．11．答案：ABD解析：若cos A ＝cos B ，则b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22ac，整理得：a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形，故A 正确；若△ABC为锐角三角形，有A ＋B >π2，整理得A >π2－B ，故sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，则sin A ＞cos B ，故B 正确；由于a ＝8，c ＝10，B ＝60°，利用余弦定理求出b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝221，故△ABC 唯一，故C 错误；sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，利用正弦定理：a 2＋b 2＜c 2，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故△ABC 是钝角三角形，故D 正确．12．答案：BC解析：对A ，因为y ＝cos x 是偶函数，且f (x )为定义在R 上的偶函数，所以h (x )＝f (x )cos x 为偶函数，故A 错误；对B ，f (x )＝e x＋e －x－x 2，f (－x )＝e －x＋e x －x 2＝f (x )，则此函数满足f (x )是偶函数，f ′(x )＝e x －e －x－2x ，f ″(x )＝e x ＋e －x －2≥2－2＝0，所以f ′(x )为R 上的增函数，在[0，＋∞)上，f ′(x )≥f ′(0)＝0，所以此函数也满足在[0，＋∞)上单调递增，故B 正确；对C ，设函数h (x )＝f (x )－f (2)，h (2)＝f (2)－f (2)＝0＝h (－2)，所以h (x )在R 上有且只有两个零点，当x ＝0时，g (0)＝0，所以g (x )＝x [f (x )－f (2)]在R 上有且只有三个零点，故C 正确；对D ，因为x [f (x )－f (2)]≤0，所以当x <0时，f (x )－f (2)≥0，则x ≤－2；当x ≥0时，f (x )－f (2)≤0，即f (x )≤f (2)，可得0≤x ≤2，故x [f (x )－f (2)]≤0的解集为(－∞，－2]∪[0,2]，故D 错误．13．答案：12解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 2x ，x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ()－1＝12.14．答案：120°解析：在△ABC 中，利用正弦定理可得：a b c ＝357，∴△ABC 的最大内角为∠C ，不妨设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 230k 2＝－12， ∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝120°. 15．答案：－119解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝13，∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝89，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－13.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝－13－89＝－119.16．答案：3 e 2e解析：函数f (x )＝2x －x 2的零点个数，即y ＝2x 与y ＝x 2两个函数图象的交点个数，根据指数函数与二次函数的图象，当x ≤0时，y ＝2x 单调递增，值域为(0,1]，而y ＝x 2单调递减，值域为[0，＋∞)，两个函数图象有一个交点；当x >0时，f (2)＝22－22＝0，f (4)＝24－42＝0，函数f (x )有两个零点； 综上，函数f (x )＝2x －x 2的零点个数为3个．函数f (x )＝a x －x 2(a >1)恰有两个零点，等价于y ＝a x (a >1)与y ＝x 2两个函数图象恰有两个交点． 因为指数函数y ＝a x (a >1)图象与抛物线y ＝x 2在(－∞，0]上有且只有一个交点， 即函数f (x )＝a x －x 2(a >1)在(－∞，0]上有且只有一个零点， 所以问题转化为：当x >0时，f (x )＝0，即a x＝x 2有且只有一个实根，方程两边取对数，可得x ln a ＝2ln x ，从而问题等价于该方程有且只有一个实根， 即直线y ＝x ln a 与曲线y ＝2ln x 有且只有一个公共点， 所以直线y ＝x ln a 为曲线y ＝2ln x 的切线，设切点为(m,2ln m )，由y ′＝2x ，则切线的斜率为2m＝ln a ，又切点(m,2ln m )在切线y ＝x ln a 上，则2ln m ＝m ln a ， 联立求解得a ＝e 2e.17．解析：(1)由a sin B ＝3b cos A ⇒sin A sin B ＝3sin B cos A ，因为sin B ≠0，化简得tan A ＝3，A ＝π3.(2)若选①，则a ＝19，c ＝5，A ＝π3，由余弦定理可得2bc cos A ＝b 2＋c 2－a 2，代入数据化简得b ＝2或3，根据大边对大角原则判断，b ＝2或3都成立，故选①不成立；若选②，则cos C ＝13，c ＝42，A ＝π3，求得sin C ＝223，由正弦定理可得a sin A ＝csin C ，解得a ＝33，由sin B＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝3＋226， 因为A ＝π3，cos C ＝13，C 唯一，则B 唯一，三角形存在且唯一确定，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×33×42×3＋226＝32＋43；若选③，由AB 边上的高h ＝3可得sin A ＝hb，解得b ＝2，又a ＝3，由余弦定理可得2bc cos A ＝b 2＋c 2－a 2，代值化简得c ＝1＋6或1－6(舍去)，三角形存在且唯一确定，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322.18．解析：(1)由图可知，函数f (x )图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，故cos φ＝32， 由于0＜φ＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，令πx ＋π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝k －16(k ∈Z )，令k ＝1，得x ＝56，由图可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32与⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，32关于直线x ＝56对称，所以0＋x 02＝56，解得x 0＝53. (2)g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sinπx＝cosπx cos π6－sinπx sin π6－sinπx＝－32sinπx ＋32cosπx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋5π6，由－12≤x ≤13得－π2≤πx ≤π3，π3≤πx ＋5π6≤7π6，所以g (x )的最大值为3sinπ2＝3，最小值为3sin 7π6＝－32. 19．解析：(1)由题设，BD ＝a sin C sin∠ABC ，由正弦定理知：c sin C ＝b sin∠ABC ，即sin C sin∠ABC ＝cb，∴BD ＝acb，又b 2＝ac ， ∴BD ＝b ，得证．(2)由题意知：BD ＝b ，AD ＝2b 3，DC ＝b 3， ∴cos∠ADB ＝b 2＋4b 29－c 22b ·2b 3＝13b 29－c 24b 23，同理cos∠CDB ＝b 2＋b 29－a 22b ·b 3＝10b 29－a22b 23， ∵∠ADB ＝π－∠CDB ，∴13b 29－c 24b 23＝a 2－10b 292b 23，整理得2a 2＋c 2＝11b 23，又b 2＝ac ， ∴2a 2＋b 4a 2＝11b 23，整理得6a 4－11a 2b 2＋3b 4＝0，解得a 2b 2＝13或a 2b 2＝32，由余弦定理知：cos∠ABC ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝43－a 22b2，当a 2b 2＝13时，cos∠ABC ＝76>1不合题意；当a 2b 2＝32时，cos∠ABC ＝712； 综上，cos∠ABC ＝712.20．解析：(1)因为f (x )＝3sin(π＋x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －12，所以f (x )＝3(－sin x )(－cos x )＋sin 2x －12＝32sin2x ＋1－cos2x 2－12＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )；(2)因为f (A )＝1，所以f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，在三角形ABC 中，利用余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－42bc ＝12，整理得：b 2＋c 2－4＝bc ，又因为b 2＋c 2≥2bc ，所以b 2＋c 2－4≥2bc －4，即bc ≥2bc －4， 所以bc ≤4，当且仅当b ＝c 时等号成立，S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ，所以S △ABC ≤3，当且仅当a ＝b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值 3.21．解析：(1)h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －x 2＋x －1的定义域为(0，＋∞)， 且h ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2＋x ＋1x＝－x －12x ＋1x.当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以x ＝1是h (x )的极大值点， 故h (x )的极大值为h (1)＝－1，没有极小值.(2)证明：设直线l 分别切f (x )，g (x )的图象于点(x 1，ln x 1)，(x 2，x 22－x 2＋1)， 由f ′(x )＝1x ，得l 的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，即l ：y ＝1x 1·x ＋ln x 1－1；由g ′(x )＝2x －1，得l 的方程为y －(x 22－x 2＋1)＝(2x 2－1)(x －x 2)， 即l ：y ＝(2x 2－1)x －x 22＋1. 比较l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝2x 2－1ln x 1－1＝－x 22＋1，消去x 2，得ln x 1＋1＋x 124x 21－2＝0.令F (x )＝ln x ＋1＋x24x2－2(x >0)，则F ′(x )＝1x －1＋x2x3＝2x ＋1x －12x3.当0<x <1时，F ′(x )<0；当x >1时，F ′(x )>0，所以F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以F (x )min ＝F (1)＝－1<0.因为F (e 2)>ln(e 2)－2＝0，所以F (x )在(1，＋∞)上有一个零点；由F (x )＝ln x ＋12x ＋14x 2－74，得F (e －2)＝－2＋e 22＋e 44－74＝e 2－42＋e 4－74>0，所以F (x )在(0,1)上有一个零点． 所以F (x )在(0，＋∞)上有两个零点，故有且只有两条直线与函数f (x )，g (x )的图象都相切． 22．解析：(1)a ＝3时，f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，f (1)＝－2， 所以切点坐标为P (1，－2)．f ′(x )＝1x＋2x －3，f ′(1)＝0，于是所求切线的斜率k ＝0. 又因为所求切线过点P (1，－2)，所以曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝－2. (2)f ′(x )＝2x 2－ax ＋1x，∵x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点， ∴x 1，x 2是函数f ′(x )两个大于0的零点， ∴x 1，x 2是方程2x 2－ax ＋1＝0的两个不同正解，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝a2 ①x 1x 2＝12 ②，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2>0Δ＝a 2－8>0⇒a >2 2.由①，②可得x 1－x 2＝x 1－12x 1，x 1＋x 2－a ＝x 1＋x 2－2(x 1＋x 2)＝－(x 1＋x 2)＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12x 1， 所以f (x 1)－f (x 2)＝ln x 1＋x 21－ax 1－ln x 2－x 22＋ax 2＝ln x 1x 2＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2－a )＝ln(2x 21)－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－12x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12x 1＝ln(2x 21)－⎝⎛⎭⎪⎫x 21－14x 21＝ln(2x 21)＋1－4x 414x 21. 又∵x 1<x 2且x 1＋x 2＝a 2，∴0<x 1<a4.令2x 21＝t ⎝⎛⎭⎪⎫0<t <a 28，则f (x 1)－f (x 2)＝ln t ＋1－t 22t . 构造函数h (t )＝ln t ＋1－t 22t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t <a 28，h ′(t )＝1t －1＋t 22t 2＝－t －122t2≤0，∴h (t )是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 28上的减函数．∴h (t )>h ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 28，且t →a 28时，h (t )→h ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 28，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 28＝ln a 28＋64－a 416a 2，∴f (x 1)－f (x 2)>ln a 28＋64－a 416a2.。
高三数学上学期第三次阶段性复习过关考试试题 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校HY二零二零—二零二壹高三一轮复习过关考试〔三〕数学〔理〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分．以下每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕1．设集合(){}01log2<-=xxM，集合{}2-≥=xxN，那么=⋂NM〔〕A.{}22<≤-xxB.{}2-≥x xC.{}2<x xD.{}21<<xx2．复数z满足iz-=12，那么z的一共轭复数为〔〕A.i+1 B.i-1 C.i+-1 D.i--13．函数()()13lg132++-=xxxxf的定义域为〔〕A．1,3⎛⎫-+∞⎪⎝⎭B．1,13⎛⎫-⎪⎝⎭C．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭D．1,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭4．在ABC∆中，2CM MB=，0AN CN+=，那么〔〕A.2136MN AB AC=+B.2736MN AB AC=+C.1263MN AC AB-=D.7263MN AC AB-=5．"2"=a是“函数()axxf-=在区间[)+∞,2上为增函数〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数11lg-=xy的大致图象为()7．设向量()()1,1,3,3-==ba，假设()()babaλλ-⊥+，那么实数=λ〔〕A．3B．1 C．1±D．3±8．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+,0,1,33y y x y x 那么y x z +=的最大值为(〕A ．0B ．1C ．2D ．39．等比数列{}n a 中，9102=a a ，那么75a a +()A.有最小值6B.有最大值6 C10．a 与b 均为单位向量，其夹角为θ〕A.14,P P B.13,P P C.23,P P D.24,P P11．函数()()0cos sin 3>+=ωωωx x x f 的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数()x f 的图像沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()x g 的图像，关于函数()x g ，以下说法正确的选项是()A.在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上是增函数 B.其图像关于直线4π-=x 对称C.函数)(x g 是奇函数D.在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ上的值域为[]1,2- 12．⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=，，2,21log 2,2)(2x x x x x x f a 的值域为R ，那么)22(f 的取值范围是〔〕 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-45,C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,45D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--21,45 填空题〔每一小题5分，一共20分〕13．()2tan =-πθ，那么θθcos sin 的值是.14．数列{}n a 满足21=a ，n n a a 21=+，n S 为{}n a 前n 项和，假设126=nS ，那么=n .15．函数()x x x f 1+=，当()+∞∈,2x 时，()x f 的值域为.16．在实数集R上的可导函数()x f ,满足()2+x f 是奇函数,且()2'1>x f ,那么不等式()121->x x f 的解集是.解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17.〔本小题总分值是12分〕在ABC∆中,内角CB A ,,所对的边分别为cb a ,,，假设)2sin ,2cos(A A m -=，)2sin ,2(cos AA n =，且21=•n m . 〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设32=a ，三角形面积3=S ，求c b +的值18.〔本小题总分值是12分〕在公差不为0的等差数列{}n a 中，841,,a a a 成等比数列，数列{}n a 的前10项和为45.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设11+=n n n a a b ，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .19.〔本小题总分值是12分〕设函数().23cos 3sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x f π (1)求()x f 的单调增区间;(2)ABC ∆的内角分别为,,,C B A 假设,232=⎪⎭⎫⎝⎛A f 且ABC ∆可以盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅的最小值.20．〔本小题总分值是12分〕设()axx x x f 2213123++-=,(1)假设()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛∞+，32上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当20<<a 时，()x f 在[]4,1上的最小值为316-，求()x f 在该区间上的最大值.21．〔本小题总分值是12分〕设函数()(),121ln2≠--+=abxxaxaxf曲线()x fy=在点()()1,1f处的切线斜率为0.〔1〕求b;〔2〕假设存在1≥x使得()10-<aaxf，求a的取值范围.22.〔本小题总分值是10分〕在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为()0cos2sin2>+=aaθθρ；直线l的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==,222,22txty〔t为参数〕，直线l与曲线C分别交于NM,两点.〔1〕写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；〔2〕假设点P的极坐标为()π，2，25=+PMPM，求a的值.HY二零二零—二零二壹高三一轮复习过关考试〔三〕高三数学〔理〕参考答案一、选择题〔一共12小题，每一小题5分〕二、填空题〔一共4小题，每一小题5分〕13、5214、615、⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2516、()2,∞-三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17.解：〔1〕∵)2sin ,2cos(A A m -=，)2sin ,2(cos AA n =，且21=•n m ， 212sin 2cos 22=+-∴A A ，即21cos =-A ，又()π,0∈A ，∴32π=A ----------------------------------------------6分〔2〕3sin 21==∆A bc S ABC ，4=∴bc ,又由余弦定理得：bc c b A bc c b a++=⋅-+=22222cos 2,()162=+∴c b ，故4=+c b ---------------------------12分18.〔1〕解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由841,,a a a 成等比数列可得，8124a a a ⋅=，即()()d a a d a 731121+=+，d a a d d a a 1212121796+=++∴，0≠d ，d a 91=∴．-------------------------3分由数列{}na 的前10项和为45，得454510110=+=d a S，即454590=+d d ，故3,311==a d ，--------------------------------5分故数列{}na 的通项公式为38+=n a n ；----------------------------------6分()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++==+9181998911n n n n a a b n n n -------------------8分999191919+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n n ---------------------------------12分 解：〔1〕()xx x x x f 2cos 232sin 2123cos 3sin 2+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx ----------------3分 由πππππk x k 223222+≤+≤+-，得Z k k x k ∈+≤≤+-,12125ππππ()x f 的单调增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,12125ππππ，-------------------5分(2)233sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛πA A f ，()π,0∈A ，3π=∴A ---------6分ABC ∆能覆盖住的最大圆为ABC ∆的内切圆，设其半径为r ，那么有ππ=2r，1=r ，----------------------------7分由()r c b a S ABC ⋅++=∆21，及A bc S ABC sin 21=∆，得()c b a bc ++=2143，由余弦定理，A bc c b a cos 2222-+=，得bc c b a -+=22------------9分bc bc bc bc c b c b bc 322322=+≥-+++=∴〔当且仅当c b =时等号成立〕即12≥bc --------------------------------------11分[)16,,2AB AC bc ⋅=∈+∞当且仅当c b =时，AB AC ⋅的最小值为6.---------12分20.解：(1)()a x x x f 2'2++-=，-------------------1分由题意得，()0'>x f 在⎪⎭⎫⎝⎛∞+，32上能成立，只要()0'max >x f即032'>⎪⎭⎫⎝⎛f ，即＋2a ＞0，得a ＞－，-------------------------5分所以，当a ＞－时，()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛∞+，32上存在单调递增区间.---------6分(2)0＜a ＜2，()x f 在[1，4]上取到最小值－，而()a x x x f 2'2++-=的图象开口向下，且对称轴x＝，∵f′(1)＝－1＋1＋2a ＝2a ＞0，f ′(4)＝－16＋4＋2a ＝2a －12＜0，那么必有一点x0∈[1，4]，使得f′(x0)＝0，此时函数f(x)在[1，x0]上单调递增，在[x0，4]上单调递减，--------------9分 ∵f(1)＝－＋＋2a ＝＋2a ＞0，∴()=min x f f(4)＝－×64＋×16＋8a ＝－＋8a ＝－⇒a ＝1.----------10分此时，由()02'020=++-=x x x f ⇒20=x 或者－1(舍去)，所以函数f(x)max ＝f(2)＝.------------------------------------12分21.解：〔1〕()(1)af x a x bx '=+--，由题设知(1)0f '=,解得b 1------------3分(2)f(x)的定义域为(0,),由(Ⅰ)知,21()ln 2a f x a x x x -=+-，令()0'=x f ，得11=x ，a ax -=12，------------6分当11a a ≤-时，即12a ≤，故当x (1,)时,f'(x)0,f(x)在(1,)上单调递增.所以,存在x 1,使得0()1a f x a ≤-能成立，只要(1)1a f a ≤-，即1121a aa --<-所以21a21;------------8分当11a a >-时，即112a <<，故当x (1,1aa -)时,f'(x)<0,x(,1aa +∞-)时,()0f x '>, f(x)在(1,1a a -)上单调递减，f(x)在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,1a a 单调递增.所以存在0x 1,使得0()1a f x a ≤-能成立，只要()11a a f a a ≤--，而()2()ln 112111a a a a a f a a a a a a=++>-----，所以不合题意.------------10分(ⅲ)当1a >时，由11(1)1221a a af a ---=-=<-，成立.综上，a 的取值范围为()()2211,--⋃+∞-------------------12分22.解：〔1〕由()0cos 2sin 2>+=a a θθρ，得()0cos 2sin 22>+=a a θρθρρ， 所以曲线C 的直角坐标方程为ax y y x 2222+=+， 即()()11222+=-+-a y a x ，…………………………………………………………3分直线l的普通方程为2+=xy.…………………………………………………………5分将直线l的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=tytx22,222代入axyyx2222+=+并化简、整理，得()0442232=++⋅+-atat.……………………………………………………6分因为直线l与曲线C交于M，N两点。
2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(三)(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 若函数的图像经过点,则其图像必经过点A．B．C．D．2. 安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作至少由1人完成，则不同的安排方式共有多少种A ．120种B ．180种C ．240种D ．150种3. 已知是正项等比数列且，， 成等差数列，则（ ）A．B．C．D．4. 斐波那契数列（Fibonacci sequence ），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，….从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记此数列为，则（ ）A．B．C．D．5. 在中，是边上的一点，则等于（ ）A．B．C．D．6. 直线过点且与曲线相切，则直线的倾斜角为（ ）A．B．C．D．7. 下列几个说法，其中正确的有（ ）A ．若函数的定义域为，则函数的定义域为；B．已知函数在上是减函数，则实数a 的取值范围是；C．若函数有两个零点，则实数b的取值范围是；D．若是奇函数，且实数k 满足，则k的取值范围是.8. 若椭圆的焦点为，（），长轴长为，则椭圆上的点满足（ ）A．B．C．D．9. 某城市的电视发射搭建在市郊的一座小山上. 如图所示，小山高为30米，在地平面上有一点，测得两点间距离为50米，从点观测电视发射塔的视角（）为，则这座电视发射塔的高度为_________米.10. 复数的值是______．2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(三)(高频考点版)2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(三)(高频考点版)四、解答题11. 在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为_____．12. 过点且垂直于直线的直线方程为__________．13. 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O 的北偏西45°方向km 处设立观测点A ，在平台O 的正东方向12km 处设立观测点B ，规定经过O 、A 、B 三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系．(1)试写出A ，B 的坐标，并求两个观测点A ，B 之间的距离；(2)某日经观测发现，在该平台O 正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km 的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？14. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．已知平面向量，都是单位向量， ．(1)求与的夹角；(2)若，求在上的投影向量的坐标．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．15. （1）已知，求的值；（2）化简并计算.16. 已知.其中常数.（1）当时，求在上的最大值；（2）若对任意均有两个极值点，（ⅰ）求实数b 的取值范围；（ⅱ）当时，证明：.。
高中数学考前过关训练(三)
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考前过关训练(三)平面向量(30分钟50分)一、选择题(每小题3分，共18分)1.如图，在四边形ABCD中，下列各式中成立的是( )A.-=B.+=C.++=D.+=+【解析】选 C.-=+=，故A错误；+=，故B错误；++=++=+=，故C正确；+=≠+，故D 错误.【补偿训练】下列说法中正确的是( )A.-=B.+=0C.0·=0D.++=【解析】选D.A错误.-=；B错误.+=0；C错误.0·=0；D正确.由向量加法法则可知++=.2.已知a·b=-12，|a|=4，a与b的夹角为135°，则|b|=( )A.12B.3C.6D.3【解析】选C.-12=|a|·|b|·cos 135°，且|a|=4，故|b|=6.3.若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a+2b)=( )A.4B.3C.2D.0【解析】选 D.因为a⊥c，所以a·c=0，又a∥b，所以b·c=0，所以c·(a+2b)=c·a+2c·b=0.4.(2016·三亚高一检测)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)=(x a+b)·(x b-a)是( )A.一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数C.二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数【解析】选A.函数f(x)=x2a·b+(b2-a2)x-a·b，因为a⊥b，所以a·b=0，所以f(x)=(b2-a2)x.因为|a|≠|b|，所以b2-a2≠0，所以f(x)为一次函数且是奇函数.5.已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1∶|a+b|>1⇔θ∈；p2∶|a+b|>1⇔θ∈；p3∶|a-b|>1⇔θ∈；p4∶|a-b|>1⇔θ∈；其中正确的是( )A.p1，p4B.p1，p3C.p2，p3D.p2，p4【解析】选A.|a+b|>1⇔(a+b)2>1，而(a+b)2=a2+2a·b+b2=2+2cosθ>1，所以cosθ>-，解得θ∈.同理由|a-b|>1⇔(a-b)2>1，可得θ∈.【一题多解】选A.当θ=时，|a+b|=|a-b|=>1，排除p2，p3，结合四个选项，可知A正确.6.设0≤θ<2π，已知两个向量=(cosθ，sinθ)，=(2+sinθ，2-cosθ)，则向量长度的最大值是( )A. B. C.3 D.2【解题指南】首先用，表示，然后用模长公式求解.【解析】选C.因为=-=(2+sinθ-cosθ，2-cosθ-sinθ)，所以==≤3.二、填空题(每小题4分，共12分)7.已知A(1，4)，B(-3，2)，向量=(2，4)，点D为AC的中点，则=________. 【解析】先由已知，利用向量的坐标运算求出点C的坐标，然后利用中点坐标公式求出点D的坐标，进而可得所求向量的坐标.设C(x，y)，则=(x+3，y-2)=(2，4)，所以解得即C(-1，6).由点D为AC的中点，可得D，即D(0，5)，所以=(0+3，5-2)=(3，3).答案：(3，3)8.向量e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为________.【解题指南】求向量的夹角，想到运用夹角公式cosθ=求解.【解析】a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6+4e1·e2-3e1·e2+2=-6+e1·e2+2=-4+|e1||e2|cos60°=-，|a|=|2e1+e2|===，|b|=|-3e1+2e2|====.设a与b的夹角为θ，则cosθ===-.所以向量a与b的夹角为120°.答案：120°【误区警示】本题易犯的两点错误(1)求a=2e1+e2或b=-3e1+2e2的模时，错认为|a|=或|b|=，这是因为e1与e2不是互相垂直的单位向量，所以(2，1)或(-3，2)不是a或b的坐标，要将其转化成模的平方.(2)求e1·e2时极易漏乘cosθ，应为e1·e2=|e1||e2|cosθ(θ为e1与e2的夹角).9.如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则·=________.【解析】·=·(+)=(+++)=2||2+·+·=2×9+0+0=18.答案：18【补偿训练】如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D，E为BC边上的点，且·=0，=2，则·=________.【解析】因为·=0，所以⊥，即AD⊥BC，又AB=AC，所以=(+)，=-，又=2，所以=+=+，则·=(+)·(2+)=(22+3·+2)=(2×22+3×2×2×cos120°+22)=1.答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)10.设平面上向量a=(cosα，sinα)(0≤α<2π)，b=.当两个向量a+b 与a-b的模相等时，求角α.【解析】由|a|=1，|b|=1，且|a+b|=|a-b|，得(a+b)2=(a-b)2，整理得2a2-2b2+4a·b=0，即2-2+4a·b=0，也就是a·b=0，a·b=(cosα，sinα)·=-cosα+sinα=0，所以tanα=.因为0≤α<2π，所以α=或α=π.11.(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=，n=(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值.(2)若m与n的夹角为，求x的值.【解题指南】(1)将向量垂直转化为向量的数量积为0.(2)利用向量的夹角公式求解.【解析】(1)因为m=，n=(sinx，cosx)且m⊥n，所以m·n=·(sinx，cosx)=sinx-cosx=sin=0，又x∈，所以x-∈，所以x-=0即x=，所以tanx=tan=1.(2)由(1)及题意知cos===sin，所以sin=，又x-∈，所以x-=，所以x=.关闭Word文档返回原板块高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
安徽省高考冲刺数学试题(三)(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {13}A xx =+>∣{}25B x x x =<∣A B = A ． B ． C ． D ．(0,)+∞(5,)+∞(0,2)(2,5)【答案】D【分析】先求出集合然后求交集即可.,A B 【详解】因为，， {2}A xx =>∣{05}B x x =<<∣所以． {25}A B x x ⋂=<<∣故选：D. 2．若复数，则z 的共轭复数为（ ） 2i32iz -=+z A ．B ．C ．D ．63i5-43i5+47i13+85i13-【答案】C【分析】利用复数的除法运算化简复数，进而求出. z z 【详解】 ()()()()2i 32i 2i 47i 32i 32i 32i 13z ----===++- 47i13z +∴=故选：C.3．函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）()2a f x x -=()4()x g x a-=()0,∞+A ． B ． C ． D ．()0,2a ∈[)0,1a ∈[)1,2a ∈(]1,2a ∈【答案】C【分析】分别求出函数与在均单调递减时，a 的取值区间结合选项2()-=a f x x 4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a ()0,∞+可得答案.【详解】函数在均单调递减可得即；2()-=a f x x ()0,∞+20a -<2a <函数在均单调递减可得，解得，4()4xxa g x a -⎛⎫⎛⎫= ⎪= ⎪⎝⎭⎝⎭()0,∞+014a <<04a <<若函数与均单调递减，可得，2()-=a f x x4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 02a <<由题可得所求区间真包含于，()0,2结合选项，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C2()-=a f x x 4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 故选：C4．新高考数学中的不定项选择题有4个不同选项，其错误选项可能有0个、1个或2个，这种题型很好地凸显了“强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用，促进学生掌握原理、内化方法、举一反三”的教考衔接要求．若某道数学不定项选择题存在错误选项，且错误选项不能相邻，则符合要求的4个不同选项的排列方式共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．60种【答案】B【分析】当错误选项恰有1个时，直接全排列即可；当错误选项恰有2个时，利用插空法求解.最后将两种情况相加即可.【详解】当错误选项恰有1个时，4个选项进行排列有种；44A 24=当错误选项恰有2个时，先排2个正确选项，再将2个错误选项插入到3个空位中，有2223A A 12=种．故共有种． 241236+=故选：B ．5．已知向量，，，若，则（ ）()2,3a =- ()1,2b = ()9,4c = c ma nb =+m n +=A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】C【分析】由向量的坐标运算计算即可.【详解】由题意，得，()()2,329,4c m n m n =+-+=所以，解得，29324m n m n +=⎧⎨-+=⎩25m n =⎧⎨=⎩所以. 7m n +=故选：C.6．已知实数，满足，则的最小值为（ ） x y 22x y +=923x y +⨯A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】 923x y +⨯≥===当且仅当时等号成立， 99log 1log 2x y ==-所以的最小值为923x y +⨯故选：A.7．已知，且，则sin β=（ ） ()1sin cos 3ααβ=-=3π3π0,044αβ<<<<A B C D 或【答案】B【分析】利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，根据cos α()sin αβ-利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦sin ββ【详解】因为，所以， sin α=<3π04α<<π04α<<所以 cos α=又，所以，又， 3π04β<<3ππ44αβ-<-<()1cos 3αβ-=所以()sin αβ-==当时， ()sin αβ-=， ()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦13==因为，所以，所以3π04β<<sin 0β>sin β=当 ()sin αβ-=()()sin sin cos cos sin βααβααβ=---. 13⎛== ⎝综上所述：sin β=故选：B. 8．已知，，（e 为自然对数的底数），则（ ） 247a =e 7ln 7b b =173ec -=A ． B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c b a >>c a b >>【分析】对两边取对数，构造函数利用其在上的单调性可得e 7ln 7b b =()ln g x x x =+()0,∞+．法一令，求导利用在上的单调性可得可得答案；ln 7b =()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x ()0,∞+a b >法二利用不等式放缩可比较的大小，对两边取对数得出再做差可得答案.,a b 173ec -=c b c -【详解】对两边取对数，，e 7ln 7b b =()()()ln eln 7ln 7ln ln 7ln ln 7bb b b =⇒+=+而在上单调递增，∴．()ln g x x x =+()0,∞+ln 7b =令，，()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()211102f x x ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭'∴在单调递減，∴，即，∴； ()f x ()0,∞+()()710f f <=1124ln 77277⎛⎫<⨯-= ⎪⎝⎭a b >； 2242ln e ln 77a b =>=>=又， 13773log 1e ec c -=⇒=+∴，∴．33777ln 7log 1ln log 0e e e b c b c ⎛⎫-=-+=->⇒> ⎪⎝⎭a b c >>故选：A ．二、多选题9．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是（ ）A ．招商引资后，工资性收入较前一年增加B ．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C ．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的 25D ．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍【分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解.【详解】设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为，则 M 2M 对于A ，招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为60%0.6M M ⨯=，所以工资性收入增加了，故A 正确；237%0.74M M ⨯=对于B ，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，4%0.04M M ⨯=25%0.1M M ⨯=所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B 错误；2.5对于C ，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，20.10.560.6620.85M M M M M +=<⨯=所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C 错误； 25对于D ，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，30%0.3M M ⨯=230%0.6M M ⨯=所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D 正确. 故选：AD.10．已知圆，直线，下列结论正确的是（ ） 22:60C x y x ++=:510l kx y k -++=A ．直线l 恒过点 (5,1)-B ．若直线l 平分圆C ，则 12k =C ．圆心C 到直线l 的距离的取值范围为⎡⎣D ．若直线l 与圆C 交于点A ，B ，则面积的最大值为ABC 92【答案】AD【分析】根据直线过定点、直线和圆的位置关系、圆的几何性质等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，令，得，即直线l 恒过点，A 正确． 1(5)y k x -=+5x =-1y =(5,1)-圆C 化为标准方程得，所以圆心． 22(3)9x y ++=(3,0)C -因为直线l 平分圆C ，所以直线l 过圆C 的圆心，所以，解得，B 错误．3510k k -++=12k =-圆心C 到直线l ，最小值为0． =因为直线l 不能表示，所以圆心C 到直线l 的距离不能为2， 5x =-故圆心C 到直线l 的距离的取值范围为，C 错误．([0,2)⋃设圆心C 到直线l 的距离为d ，的面积为ABC 1d ⨯⨯=当时，面积的最大值为，D 正确． 292d =ABC 92故选：AD11．阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为P M M P ，其中为多面体的所有()122311112k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ π--∠+∠+⋯+∠+∠()1,2,,,3i Q i k k =⋯≥M 与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所P 12Q PQ 23Q PQ ⋯1k k Q PQ -1k Q PQ M 有以为公共点的面”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，P .1111ABCD A B C D -ABCD ，则下列说法正确的是（ ） 1AA AB =A ．四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等 1AC B ．若，则四棱柱在顶点处的离散曲率为 AC BD =1AC A 14C ．若四面体在点处的离散曲率为，则平面 1A ABD 1A 7121AC ⊥1A BD D ．若四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面的夹角为1AC A 131BC 1ACC π4【答案】BC【分析】根据题意求线线夹角，再代入离散曲率公式，对四个选项逐一分析判断，结合线面垂直的判定定理及性质即可得出答案.【详解】A ：当直四棱柱的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等， 1111ABCD A B C D -当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率1111ABCD A B C D -不相等，故A 错误；B ：若，则菱形为正方形，AC BD =ABCD 因为平面，平面，所以，， 1AA ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD 1AA AB ⊥1AA AD ⊥所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故B 正确； 1111ABCD A B C D -A 1πππ112π2224⎛⎫-++= ⎪⎝⎭C ：在四面体中，，，所以， 1A ABD 1AA AB ⊥1AA AD ⊥1AA AB AD ==11π4AA B AA D ∠=∠=所以四面体在点处的离散曲率为，解得， 1A ABD 1A 11ππ712π4412BA D ⎛⎫-++∠=⎪⎝⎭1π3BA D ∠=易知，所以，所以， 11A B A D ==BD =AB AD ⊥所以直四棱柱为正方体， 1111ABCD A B C D -因为平面，平面，11C D ⊥11ADD A 1AD ⊂11ADD A 所以，又平面， 111C D A D ⊥111111111,,,AD A D AD C D D AD C D ⊥⋂=⊂11AC D 所以平面，又平面，所以，同理， 1A D ⊥11AC D 1AC ⊂11AC D 11AC A D ⊥1BD AC ⊥又平面，所以平面，故C 正确， 11,,A D BD D A D BD =⊂ 1A BD 1AC ⊥1A BD D ：直四棱柱在顶点处的离散曲率为, 1111ABCD A B C D -A 1ππ112π223DAB ⎛⎫-++∠= ⎪⎝⎭则,即是等边三角形, π3DAB ∠=DAB 设,则即为与平面的所成角,,故D 错误; ACBD O = 1BC O ∠1BC 1ACC 1sin BC O ∠==故选：BC.【点睛】关键点点睛：关键是充分理解离散曲率的定义，从而结合立体几何的知识求解即可． 12．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ） 24y x =F A B M AB A ．以线段为直径的圆与直线相切 AB =1x -B ．以线段为直径的圆与轴相切BM y C ．当时，3AF FB =u u u r u u r 163AB =D ．的最小值为 AB 4【答案】ACD【分析】A 选项由判断即可；B 选项判断和之间的关系，C 选项，先联立12MM AB '=NN '2BM得到，再结合条件解出，即可解出；D 选项借助基本不等式进行判断.121=x x 12,x x 【详解】准线方程，，设在准线上的射影为，=1x -(1,0)F ,,A B M ,,A B M '''，可得以线段为直径的圆()()111,,222AF AA BF BB MM AA BB AF BF AB '''''===+=+=AB 与直线相切，故A 正确； =1x -设，则，，设中点为,在轴112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y 1202x x x +=()1211222BM AB x x ==++BM N N y 上的射影为，则，令，即N '122021232224x x x x x x x NN ++++'===2BM NN '=，解得，故只有时，以线段为直径的圆与轴相切，B 错()121231244x x x x +++=21x =21x =BM y 误；设直线的方程为，联立直线与抛物线方程可得，，AB 1x my =+2440y my --=12124,1y y x x =-=，由得，解得，1122(1,),(1,)AF x y FB x y =--=- 3AF FB =u u u r u u r ()12121313x x y y ⎧-=-⎨-=⎩12313x x =⎧⎪⎨=⎪⎩，故C 正确；121623AB x x =++=由得，当且仅当时取等号，故D 正121=x x 121112224AB x x x x =++=++≥=121x x ==确.故选：ACD.三、填空题13．的展开式中含项的系数为______． ()()6121x x -+2x 【答案】48-【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】的通项公式为，()621x +661666=C (2)1C 2rr r rr rr T x x ---+⨯=⨯⨯⨯所以的展开式中含项为，()()6121x x -+2x ()()()2452266-C 2C 2126048x x x x x ⋅+⋅=-=-所以展开式中含项的系数为． ()()6121x x -+2x 48-故答案为：.48-14．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最{}n a 大项和最小项之和为___________． 【答案】196【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列， 则， 815(1)157n a n n =+-=-令，解得， 157200n -≤13.8n ≤则数列的最大项为， {}n a 15137188⨯-=所以该数列最大项和最小项之和为． 1888196+=故答案为：196.15．已知F 1，F 2，分别为双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 2作C 的两条22221x y a b-=渐近线的平行线，与渐近线交于M ，N 两点．若，则C 的离心率为____．15cos 13MF N ∠=【分析】根据二倍角公式求出，再求出离心率即可. 2ba=【详解】易知MN 关于x 轴对称，令，， 12MF F α∠=5cos213α=∴，，∴，∴．2159cos 121313α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭24sin 13α=24tan 9α=2tan 3α=，，， ()22b c y x x a bc b y y x c a a ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==--⎪⎪⎩⎩,22c bc M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭22tan 332bc a cα==∴， 2ba=∴c e a ===故答案为: 16．已知函数在区间上有零点，则实数m 的取值范围是________．()sin 2f x x x m =++π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】()1π,0--【分析】先利用基本初等函数的单调性判断得在上都单调递增，再利用零点存在定理得()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭到，解之即可得解. ()00π02f f ⎧<⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩【详解】因为与在上都单调递增，sin y x =2y x m =+π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在上单调递增，()sin 2f x x x m =++π0,2⎛⎫⎪⎝⎭因为在区间上有零点，()sin 2f x x x m =++π0,2⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，即， ()00π02f f ⎧<⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩sin 0200ππsin 2022m m +⨯+<⎧⎪⎨+⨯+>⎪⎩01π0m m <⎧⎨++>⎩解得，1π0m --<<所以实数m 的取值范围为. ()1π,0--故答案为：.()1π,0--17．已知数列满足对任意m ，都有，数列是等比数列，且，{}n a *n ∈N n m n m a a a +=+{}n b 11b a =，.220b a -=331b a -=(1)求数列，的通项公式； {}n a {}n b (2)设，求数列的前n 项和. nn na cb ={}n c n T 【答案】(1)，n a n =12n n b -=(2) 1242n n n T -+=-【分析】（1）根据条件证得数列是等差数列，再由已知求得数列的公差、的公比，{}n a {}n a {}n b 写出通项公式即可； （2）使用错位相减求和.【详解】（1）因为对任意m ，，，所以， *n ∈N n m n m a a a +=+11n n a a a +=+所以数列是公差的等差数列，.{}n a 1d a =1n a na =设等比数列的公比为q ，因为，，，{}n b 11b a =220b a -=331b a -=所以. 112112031a q a a q a -=⎧⎨-=⎩又因为，解得，，110b a =≠111b a ==2q =所以，.n a n =12n n b -=（2）因为， 12-=n n nc 所以， 01231123422222n n n T -=+++++ ， 12341234222222n n T n =+++++ 两式相减，得23411111112222222n n n T n-⎛⎫=++++++- ⎪⎝⎭ ，11122212212n n n nn ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭=-=--所以. 1242n n n T -+=-18．在中，D 是边上的点， ABC BC π,4AB CAD AC ∠==(1)求；BAD ∠(2)若，求的面积． 2AB AD ==ABC 【答案】(1) π6(2) 2【分析】（1）在和中分别利用正弦定理可得和，结ACD ABD △sin sin CD CADAC ADC ∠=∠sin sin ∠=∠BD BAD AB ADB合条件化简可得，判断的取值可得答案. 1sin 2BAD ∠=BAD ∠（2）结合（1）的结论推出是等腰三角形，过C 作于E ，求出三角形的高，利ABC CE AB ⊥CE 用三角形面积公式即可求得答案.【详解】（1）在中，由正弦定理，得①， ACD sin sin CD CADAC ADC∠=∠在中，由正弦定理，得②， ABD △sin sin ∠=∠BD BADAB ADB因为，所以， πADC ADB ∠+∠=sin sin ADC ADB ∠=∠故①②相比可得，sin sin AB CD CADAC BD BAD⋅∠=⋅∠由，得． AB AC =πsin sin 4CAD ∠==1sin 2BAD ∠=因为，所以或．(0,π)BAD ∠∈π6BAD ∠=5π6BAD ∠=当时，不满足，舍； 5π6BAD ∠=πBAD CAD BAC ∠+∠=∠<当时，满足题意， π6BAD ∠=综上，． π6BAD ∠=（2）在中，，故， ABD △π,6AB AD BAD =∠=5π12ADB ABD ∠=∠=进而是等腰三角形． 5π,,12ABC BAC CA CB ABC ∠=∠=∴=△过C 作于E ，CE AB ⊥则ππtantan 5πππ46tan tan 2ππ12461tan tan 46CEAE +⎛⎫=⋅=+=== ⎪⎝⎭-所以 112(2222ABC S AB CE =⋅=⨯⨯+=△故的面积为．ABC 219．国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率n n 为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由2312小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号()1,2,3,,1i i n =- 同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号i 1i +()1,2,3,,1i i n =- 同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结枣；若该生未答对第二i 题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛i 1i +进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束．n n (1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列； n X n n X 3n =3X (2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第()1,2,3,,1i i n =- i 1i +号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束．n Y n n Y ①求随机变量的分布列；()*N ,2n Y n n ∈≥②证明：单调递增，且小于3． ()n E Y 【答案】(1)分布列见解析(2)①分布列见解析 ；②证明见解析【分析】（1）由题设有，可取值为1，2，3，应用独立事件乘法公式、互斥事件概率求法求各3X 值对应的概率，即可得分布列；（2）①应用二项分布概率公式求取值1，2，…，对应概率，即可得分布列；n Y n ②由①分布列得（，），定义法判断单调性，累()1111212333k n n n k E Y k n ---=⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑*N n ∈2n ≥()n E Y 加法、等比数列前n 项和公式求通项公式，即可证结论. ()n E Y 【详解】（1）由题设，可取值为1，2，3，3X，，，()32111323P X ==⨯=()32111215232233218P X ==⨯⨯+⨯⨯=()31573131818P X ==--=因此的分布列为3X 3X 12 3P 13518 718（2）①可取值为1，2，…，，n Y n 每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：，211323p =⨯=2121323-⨯=所以时，；当时，()*11,N n Y k k n k =≤≤-∈()12133k n P Y k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭n Y n =()123n n P Y n -⎛⎫== ⎪⎝⎭故的分布列为：n Yn Y 1 2 3…n 1-nP 13 2133⨯ 22133⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ (2)2133n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭123n -⎛⎫⎪⎝⎭②由①知：（，）．()1111212333k n n n k E Y k n ---=⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑*N n ∈2n ≥，故单调递增； ()()()111212221033333n nn nn n E Y E Y n n n --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯++-=> ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()n E Y 由上得，故， ()253E Y =()()()()()()()()232431n n n E Y E Y E Y E Y E Y E Y E Y E Y -=+-+-++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ∴，()22231122133522252323233333313n n n n E Y ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++=+=-⨯< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-故．()()()()()23453n E Y E Y E Y E Y E Y <<<<<< 20．如图，点О是正四棱锥的底面中心，四边形PQDO 矩形，．P ABCD -2AB DQ ==(1)点B 到平面APQ 的距离：(2)设E 为棱PC 上的点，且，若直线DE 与平面APQ CE CP λ=的值．λ【答案】(2)或 82323【分析】（1）以三棱锥等体积法求点到面的距离，思路简单快捷.（2）由直线DE 与平面APQ 的方程，解之即可. λ【详解】（1）点О是正四棱锥的底面中心，点О是BD 的中点，P ABCD -∴四边形PQDO 矩形，， 两点到平面APQ 的距离相等.∴//BD PQ ∴B O 、∴=B APQ O APQ A OPQ V V V ---=正四棱锥中，P ABCD -平面，平面，，BD ⊥ACP AP ⊂BDQP ∴BD AP ⊥∴AP PQ ⊥1122APQ S PQ AP =⋅==△11222OPQ S PQ OP =⋅==△设点B 到平面APQ 的距离为d ，则，即1133APQ OPQ S d S OA ⋅=⋅△△1133=解之得，即点B 到平面APQ d =（2）取PC 中点N ，连接BN 、ON 、DN ，则.//PA ON平面平面////,,PQ BD PA ON PQ PA P BD ON O ⋂=⋂=，∴//APQ BDN 正四棱锥中，P ABCD -，直线平面PO BD AC BD PO AC O ⊥⊥⋂=，，∴BD ⊥PAC 平面，平面平面，平面平面BD ⊂BDN ∴BDN ⊥PAC BDN ⋂=PAC ON 平面中，点E 到直线ON 的距离即为点E 到平面的距离.∴PAC BDN 中， Rt POC△12,2PO OC PN ON PC ====，22221cos 3PNO+-∠==-sin PNO ∠=点P 到直线ONPNO ∠==△中，，PCD 2PCPD CD ===CE CP λ==cos PCD ∠==DE ==设点E 到平面的距离为d BDN=d =整理得， 26970160λλ-+=解之得或 823λ=23λ=21．分别是椭圆的左、右焦点，，M 是E 上一点，直线MF 212,F F 2222:1(0)x y E a b a b +=>>124F F =与x 轴垂直，且.123MF MF =(1)求椭圆E 的方程；(2)设A ，B ，C ，D 是椭圆E 上的四点，AC 与BD 相交于点F 2，且AC ⊥BD ，求四边形ABCD 面积的最小值. 【答案】(1)22184x y +=(2) 649【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.,,a b c E （2）根据直线的斜率进行分类讨论，求得四边形的面积，结合基本不等式求得四边形AC ABCD 的面积的最小值.ABCD 【详解】（1）依题意， 12424,2F F c c =⇒==由于轴，且，2MF x ⊥123MF MF =则，222222223,2,,2b a MF MF a MF a a b a -====结合得222a b c =+222222,b b b a =+⇒==所以椭圆的方程为.E 22184x y +=（2）设四边形的面积为.ABCD S 当直线的斜率不存在时，AC 222bAC BD a a =====.11822S AC BD =⨯⨯=⨯=当直线的斜率为时，同理可求得. AC 08S =当直线的斜率存在且不为时， AC 0设直线的方程为，AC ()2y k x =-由消去并化简得，()222184y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y ()2222128880k x k x k +-+-=所以， 2222888,1212A C A C k k xx x x k k -+=⋅=++==直线的方程为， BD ()12y x k=--同理可求得2211112k BD k ⎤⎛⎫+-⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭所以1122S AC BD =⨯⨯=，()()()()()()2222222221611*********k k k k k k ++=≥++⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()2222161649332k k +==⎡⎤+⎢⎥⎣⎦当且仅当时等号成立，且. 22122,1k k k +=+=±6489<综上所述，四边形的面积的最小值为. ABCD 649【点睛】求解椭圆中四边形面积的最值问题，关键步骤有两个，第一个是求得面积的表达式，这一步求弦长时需要很强的运算能力.第二个是求面积的最值，可考虑利用基本不等式、二次函数的性质、三角换元法来进行求解. 22．已知函数. 21()(2)2ln ()2f x x a x a x a R =-++∈(1)若，讨论函数的单调性；2a >()f x (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a 的取值()(2)g x a x =-+0[e,4]x ∈()()00f x g x >范围.【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减(0,2)(,)a +∞(2,)a (2) 2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）求导可得，又即可根据导函数的 正负2(2)2(2)()()x a x a x x a f x x x -++--='=2a >求得单调性；（2）由存在性问题进行参变分离可得即可. 2min122()ln xa x >-【详解】（1）函数的定义域是 21()(2)2ln 2f x x a x a x =-++{}0x x >. 2(2)2(2)()()x a x a x x a f x x x -++--='=当时，由，得或，2a >()0f x '>02x <<x a >由，得，()0f x '<2x a <<∴在和上单调递增，在上单调递减.()f x (0,2)(,)a +∞(2,)a （2）至少存在一个，使得成立，即当时， 0[,4]x e ∈()()00f x g x >[,4]x e ∈有解 212ln 02x a x +>∵当时，，∴有解， [,4]x e ∈ln 1x ≥2122ln xa x>-令，则.212(),[,4]ln xh x x e x =-∈min 2()a h x >∵， 222111ln ln 22()0(ln )(ln )x x x x x x h x x x ⎛⎫--⋅⎪⎝⎭=-=-<'∴在上单调递减，∴， ()h x [,4]e min 4()(4)ln 2h x h ==-∴，即， 42ln 2a >-2ln 2a >-∴实数a 的取值范围. 2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了根的大小的讨论，同时考查了存在性思想，有一定的计算量，属于艰难题. 本题关键点有：（1）求导过后注意因式分解；（2）存在性问题，利用参变分离进行求解.。
广东省深圳市2023届高三冲刺(三)数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 幂函数的图象过点，且，，，则，，的大小关系为（ ）A．B．C．D．2. 不等式的解集为（ ）A ．或B．C．D．3. 已知为等比数列，为其前项和，若，则公比（ ）．A．B．C ．1D ．24. 已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．5. 已知，均为单位向量，若，则向量与的夹角为（ ）A．B．C．D．6. 已知点A （0，），抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ．若|FM |：|MN |＝1：2，则p 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47. 命题“事件A 与事件B 互斥”是命题“事件A 与事件B 对立”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8.根据第七次全国人口普查结果，居住在城镇的人口为万人，占，与年相比，城镇人口比重上升个百分点.随着我国新型工业化、信息化和农业现代化的深入发展和农业转移人口市民化政策落实落地，年来我国新型城镇化进程稳步推进，城镇化建设取得了历史性成就.如图是历次人口普查城乡人口比重，第个数据有污损.调查发现人口普查次数和城镇人口比重（单位：）存在着较强的线性相关关系，建立了关于的线性回归方程，那么污损的数据约为（）A．B．C．D．9.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）广东省深圳市2023届高三冲刺（三）数学试题(1)广东省深圳市2023届高三冲刺（三）数学试题(1)三、填空题四、解答题A．B ．函数的图象关于点对称C．函数的图象关于直线对称D ．函数在上单调递减10. 已知双曲线：过点，左、右焦点分别为，，且一条渐近线的方程为，点为双曲线上任意一点，则（ ）A ．双曲线的方程为B．C ．点到两渐近线的距离的乘积为D．的最小值为111. 已知函数有3个不同的零点,且，则（ ）A．B ．的解集为C ．是曲线的切线D ．点是曲线的对称中心12.如图所示，在长方体，若分别是的中点，则下列结论中成立的是（）A ．EF 与BB 1垂直B ．EF ⊥平面BDD 1B 1C ．EF 与C 1D 所成的角为45°D ．EF ∥平面A 1B 1C 1D 113.设数列的前n项和为，且，若，则k 的值为________.14.已知函数有且仅有3个不同的零点，，且，则______.15. 在空间直角坐标系O -xyz 上，有一个等边三角形ABC ，其中点A 在z 轴上.已知该等边三角形的边长为2，重心为G ，点B ，C 在平面xOy 上，若在z 轴上的投影是z ，则___________（用字母z 表示）.16.已知函数(1)求证：；(2)设函数，若在上存在最大值，求实数a 的取值范围．17. 某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．(1)请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计该班级的平均分．18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率为的直线交椭圆于两点，四边形的周长与面积分别为与.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线交椭圆于两点，且，求证：到直线的距离为定值.19. 已知直三棱柱中中，为正三角形，E为AB的中点，二面角的大小为.(1)求证：平面；(2)求直线BC与平面所成角的正弦值.20. 已知均为正数．（1）若，求证：（2）若，求最小值．21. 根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值．(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值．(3)①若为实数，且，证明：．②设，求的最小值．。
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考前过关训练(三)
柯西不等式、排序不等式与数学归纳法
(35分钟 60分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.函数y=2√1−x +√2x +1的最大值为 ( ) A.√3 B.-√3 C.-3 D.3 【解析】选D.y=√2·√2−2x +1·√2x +1
≤√[(√2)2+12]·[(√2−2x)2+(√2x +1)2]=3, 当且仅当
√2
√2−2x =
√2x+1
,即x=0时,等号成立.
2.已知实数a,b,c,d 满足a+b+c+d=3,a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,则a 的最大值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解题指南】利用柯西不等式构建关于a 的不等式求解. 【解析】选B.由柯西不等式,得 (2b 2+3c 2+6d 2)(1
2
+1
3
+1
6
)≥(b+c+d)2,
即2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2, 当且仅当
√2b √2
=
√3c √3
=
√6d
√6
时等号成立.
又b+c+d=3-a,2b 2+3c 2+6d 2=5-a 2, 故5-a 2≥(3-a)2,
解得1≤a ≤2,即a 的最大值是2.
3.一组实数为a 1,a 2,a 3,设c 1,c 2,c 3是另一组数b 1,b 2,b 3的任意一个排列,则a 1c 1+a 2c 2+a 3c 3的 ( )
A.最大值为a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3,最小值为a 1b 3+a 2b 2+a 3b 1
B.最大值为a 1b 2+a 2b 3+a 3b 1,最小值为a 1b 3+a 2b 1+a 3b 2
C.最大值与最小值相等为a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
D.以上答案都不对
【解析】选D.a 1,a 2,a 3与b 1,b 2,b 3的大小顺序不知,无法确定其最值. 4.对于正整数n,下列说法不正确的是 ( ) A.3n ≥1+2n B.0.9n ≥1-0.1n C.0.9n <1-0.1n D.0.1n ≥1-0.9n 【解析】选C.由贝努利不等式知,选项C 不正确.
5.(·菏泽高二检测)已知x+y+z=1,则2x 2+3y 2+z 2的最小值为 ( ) A.2
11
B.3
11
C.5
11
D.6
11
【解析】选D.由柯西不等式得, (2x 2+3y 2+z 2)(1
2
+1
3+1)≥(x+y+z)2=1,
所以(2x 2+3y 2+z 2)≥6
11
.
6.(·苏州高二检测)已知x,y,z ∈R +,且1x +2y +3z
=1,则x+y 2+z
3
的最小值为
( )
A.5
B. 6
C. 8
D.9 【解析】选D.由柯西不等式,知
(1x
+2y +3z )(x +y 2+z
3
)≥(1+1+1)2=9,
因为1x +2y +3
z =1,所以x+y 2+z
3
≥9. 即x+y 2+z
3的最小值为9.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.已知点P是边长为2√3,它到三边的距离分别为x,y,z,则x,y,z所满足的关系式为________,x2+y2+z2的最小值是______.
【解析】利用三角形面积相等,得
1 2×2√3(x+y+z)=√3
4
×(2√3)2,即x+y+z=3.
由(1+1+1)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=9,
得x2+y2+z2≥3,当且仅当x=y=z=1时取等号.
答案:x+y+z=3 3
8.如图所示,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和.
【解析】由题干图可知,阴影部分的面积=a1b1+a2b2,而空白部分的面积=a1b2+a2b1,根据顺序和≥逆序和可知,a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1.
答案:≥
9.(·聊城高二检测)凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线条数f(n+1)与f(n)的递推关系为________.
【解析】凸n+1边形比凸n边形对角线条数多n-1,
所以凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线条数f(n+1)与f(n)的递推关系为f(n+1)=f(n)+n-1.
答案:f(n+1)=f(n)+n-1
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.已知a,b,c ∈R +,求证:
a 12bc
+
b 12ca
+
c 12ab
≥a 10+b 10+c 10.
【解题指南】可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成为积的形式.
【证明】不妨设a ≥b ≥c>0,则1
bc ≥1
ca ≥1
ab >0且a 12≥b 12≥c 12>0,
则a 12bc +
b 12ca
+
c 12ab ≥
a 12a
b +
b 12bc
+
c 12ac
=
a 11
b
+
b 11c
+
c 11
a
≥
a 11
a
+
b 11b
+
c 11
c
=a 10+b 10+c 10.
11.a 1,a 2,…,a n 是互不相等的正数,其中a i ∈[1,+∞),且i ∈{1,2,3,…,n},n ≥2.证明:
(1)a 22a 1+a 1
2a 2
>a 1+a 2. (2)a 12a 2+a 2
2a 3+…+
a n−12a n
+a n
2a 1
>n.
【证明】(1)因为a 1>0,a 2>0,且a 1≠a 2,
所以a 22a 1+a 1
2a 2-a 1-a 2=a 12(a 1−a 2)−a 22(a 1−a 2)a 1a 2=(a 1+a 2)(a 1−a 2)2a 1a 2>0,所以a 22a 1+a 1
2a 2
>a 1+a 2.
(2)不妨设1≤a 1<a 2<…<a n ,
则a 12<a 22<…<a n 2,且
1a
1
>1a 2
>…>1
a n
.
由排序不等式知,乱序和不小于反序和,又等号均不成立,
所以a 1
2a 2+a 2
2a 3+…+a n−1
2a n +a n
2a 1>a 12·1a 1+a 22·1a 2+…+a n 2·1
a n .
即a 12a 2
+a 22a 3
+…+
a n−12a n
+a n
2a 1
>a 1+a 2+…+a n >1+1+1+⋯+1⏟ n 个
=n.
12.(·厦门高二检测)设a n =1+12+1
3
+…+1
n
(n ∈N +),是否存在n 的整式g(n),使得等式a 1+a 2+a 3+…+a n-1=g(n)(a n -1)对大于1的一切正整数n 都成立?证明你的结论. 【解析】假设g(n)存在,那么当n=2时, 由a 1=g(2)(a 2-1),即1=g(2)(1+1
2−1),
所以g(2)=2;
当n=3时,由a1+a2=g(3)(a3-1),
即1+(1+1
2)=g(3)(1+1
2
+1
3
−1),所以g(3)=3,
当n=4时,由a1+a2+a3=g(4)(a4-1),
即1+(1+1
2)+(1+1
2
+1
3
)
=g(4)(1+1
2+1
3
+1
4
−1),所以g(4)=4,
由此猜想g(n)=n(n≥2,n∈N+).
下面用数学归纳法证明:
当n≥2,n∈N+时,等式a1+a2+a3+…+a n-1=n(a n-1)成立.
(1)当n=2时,a1=1,
g(2)(a2-1)=2×(1+1
2
−1)=1,结论成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时结论成立,
即a1+a2+a3+…+a k-1=k(a k-1)成立,
那么当n=k+1时,a1+a2+…+a k-1+a k
=k(a k-1)+a k=(k+1)a k-k=(k+1)a k-(k+1)+1
=(k+1)(a k+1
k+1
−1)=(k+1)(a k+1-1),
说明当n=k+1时,结论也成立,
由(1)(2)可知,对一切大于1的正整数n,存在g(n)=n使等式a1+a2+a3+…+a n-1=g(n)(a n-1)成立.。