【教师版】小学奥数4-4-3 圆与扇形(三).专项练习及答案解析

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．

圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n

r =⨯；

圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360

n

r =⨯．

一、 跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部

分．我们经常说的12圆、14圆、1

6

圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这

个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360

n

．

比如：扇形的面积=所在圆的面积360n

⨯；

扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n

⨯

扇形的周长=所在圆的周长360

n

⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．

一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)

③”弯角”：如图：

弯角的面积=正方形-扇形

④”谷子”：如图：

“谷子”的面积=弓形面积2⨯

二、 常用的思想方法：

①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)

④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)

板块、曲线型旋转问题

【例 1】 正三角形ABC 的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A 点再次落在

这条直线上，那么A 点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形

例题精讲

圆与扇形

面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π

)

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图所示，A 点在翻滚过程中经过的路线为两段120︒的圆弧，所以路线的总长度

为：

120

2π628π360

⨯⨯⨯=厘米；

三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120︒的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积

为：2120

π621524π15360

⨯⨯⨯+=+平方厘米．

【答案】24π15+

【巩固】直角三角形ABC 放在一条直线上，斜边AC 长20厘米，直角边BC 长10厘米．如

下图所示，三角形由位置Ⅰ绕A 点转动，到达位置Ⅱ，此时B ，C 点分别到达1B ，

1C 点；再绕1B 点转动，到达位置Ⅲ，此时A ，1C 点分别到达2A ，2C 点．求C 点

经1C 到2C 走过的路径的长．

60︒30︒

B 1

C 1C 2

A 2

C

B A

Ⅲ

ⅡⅠ

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由于BC 为AC 的一半，所以30CAB ∠=︒，则弧1CC 为大圆周长的

180305

36012

︒-︒=︒，

弧12C C 为小圆周长的

1

4

，而112C C CC +即为C 点经1C 到2C 的路径，

所以C 点经1C 到2C 走过的路径的长为515065

2π202π10π5ππ12433

⨯⨯+⨯⨯=+=(厘米)．

【答案】65

π3

【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm 和3cm 的长方形Ⅰ．它的对角线长

恰好是5cm ．让这个长方形绕顶点B 顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A 到达点E 的位置．求点A 走过的路程的长．

ⅣⅢ

ⅡⅠE

D

C

B

A

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为长方形旋转了三次，所以A 点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所

示)．

这三段路程分别是：

第1段是弧1AA ，它的长度是1

2π44⨯⨯⨯(cm )；

第2段是弧12A A ，它的长度是1

2π54⨯⨯⨯(cm )；

第3段是弧2A E ，它的长度是1

2π34⨯⨯⨯(cm )；

所以A 点走过的路程长为：111

2π42π52π36π444

⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=(cm )．

【答案】6π

【例 2】 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳

子拴着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取3.14

)

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 如图所示，羊活动的范围可以分为A ，B ，C 三部分，其中A 是半径30米的

3

4

个圆，B ，C 分别是半径为20米和10米的

1

4

个圆． 所以羊活动的范围是222311

π30π20π10444

⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯

222311π302010444⎛

⎫=⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎝

⎭

2512=．

【答案】2512

【巩固】一只狗被拴在底座为边长3m 的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4m ，

求狗所能到的地方的总面积．(圆周率按3.14计算)

3

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图所示，羊活动的范围是一个半径4m ，圆心角300°的扇形与两个半径1m ，圆

心角120°的扇形之和．所以答案是243.96m ．

【答案】43.96