【经典】高三数学基本不等式题型精讲精练

基本不等式

基本不等式知识

1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

2

≥+ （2）若R b a ∈,，则2

2

2b a ab +≤（当且仅当b

a =时取“=”）

2．（1）若*,R b a ∈，则ab b

a ≥+2

（2）

若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）

（3）若*

,R b a ∈，则2

2⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x +

≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）

4．若0>ab ，则2≥+a

b

b a (当且仅当b a =时取“=”）

5．若,,,+∈R c b a a b c c b a 33

33≥++， 33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等）

应用一 直接求最值

例1 求下列函数的值域

（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1

x

（3）（理科）已知+∈R y x ,，且满足2

32x

y =，则x y +的最小值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．6

D ．4

（4）已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ，则c

b a 31

21

1

++

的最小值为 （5）若b a ,是不相等的正数，b a y b

a x +=+=

,2

，则y x ,的大小关系是 （6）若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1

已知5

4x <

，求函数14245

y x x =-+-的最大值 1．函数y ＝log 2(x ＋1

x －1

＋5)(x >1)的最小值为( )

A ．－3

B ．3

C ．4

D ．－4 技巧二 凑系数 例2

当40<

技巧三 分离

例3

求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域 例4 求函数2

y =

的值域（单调性）

相关练习

1．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

（1）231,(0)x x y x x ++=

> （2）12,33y x x x =+>- （3）)0(4

222>+-=x x x x y

2．2

03

x <<

，求函数y =

3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1

a

的最小值为( )

A ．4

B ．4 2

C ．8

D ．8 2 4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是_____

5．函数y ＝x 2＋2

x －1

(x >1)的最小值是( )

A ．23＋2

B ．23－2

C ．2 3

D ．2

6．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0

10

)的月饼最少为( )

A ．18

B ．27

C ．20

D ．16

7．已知函数f (x )＝x ＋p

x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p

的值为________

应用二 条件求最值 例1 已知0,0x y >>，且

19

1x y

+=，求x y +的最小值 例2 若实数满足2=+b a ，求b

a 33+的最小值

相关练习

1．若44log log 2x y +=，求11

x y

+的最小值.并求x ,y 的值

2．若+

∈R y x ,且12=+

y x ，求y

x

11+的最小值

3．已知+

∈R y x b a ,,,且1=+y

b x a ，求y x

+的最小值

4．已知28

,,0,

1x y x y

>+=，求xy 的最小值 5．已知01x <<，求函数411y x x

=

+-的最小值 6．已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围 7．若直角三角形周长为1，求它的面积最大值 8．设a ＞b ＞c ，不等式

1a －b ＋1b －c ＞λa －c

恒成立，则λ的取值范围是 9．已知,0,0>>b a 且

21

21=++b a ，则b a +2的最小值为 10．设x 、y 均为正实数，且

32＋x ＋32＋y

＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16 11．已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+

，1

b b

β=+，求αβ+的最小值 12．设正实数z y x ,,满足0432

2

=-+-z y xy x ,则当

z

xy

取得最小值时,2x y z +-的最大值为 （ ）

A ．0

B ．

98

C ．2

D ．

94

13．设x ＞0，y ＞0，且(x －1)(y －1)≥2，则xy 的取值范围为_________

14．（1）设0＜x ＜3

2

，求函数y ＝4x ·(3－2x )的最大值；

（2）当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，求表达式3x ＋27y ＋2的最小值； （3）已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0，求xy 的最小值．

应用三 利用基本不等式证明不等式

1．已知c b a 、、为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a

++>++222

2．正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 3．已知a 、b 、c R +

∈，且1a b c ++=。求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥

⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

4．已知c b a >>，求证：2

22222ca bc ab a c c b b a ++>++

5．求证：n

n 12131211222-<++++

（2≥n ） 应用四 基本不等式与恒成立问题