概率论与数理统计自测题一

四、计算题（共计 50 分） 1. （10 分）设事件 A , B 满足 P ( A) 0.6, P( B) 0.5, P( AB ) 0.2 ，求 P ( A B ), P ( B A) 。 2. （5 分）已知事件 A , B 满足 P ( AB ) P( AB ) ，且 P ( A) p ，求 P ( B ) 。 3. （5 分）10 个运动队平均分成两组预赛，计算最强的两个队被分在同一组内的概率。 4. （10 分）某医院用某种新药医治流感，对病人进行试验，其中 3 的病人服此药， 1 的病人不服此药， 4 4 五天后有 70%的病人痊愈.已知不服药的病人五天后有 10%可以自愈。 （1）求该药的治愈率； （2）若某病人五天后痊愈，求他是服此药而痊愈的概率。 5. （10 分）甲袋中有两个白球，四个黑球，乙袋中有四个白球，两个黑球.现在掷一均匀硬币，若得 正面就从甲袋中连续摸 n 次球（取后放回） ，若得反面就从乙袋中摸 n 次.若已知摸到的 n 个球全是白球.求 这些球是从甲袋中取出的概率。 6. （10 分）12 个乒乓球中 3 个旧的，9 个新的.第一次比赛时取出三个用完后放回，第二次比赛时又 取出三个.求第二次取出的三个中有两个新球的概率。 五、证明题（共 10 分） 几何概型的样本空间 S 与随机事件 A, B 如图所示，试证 A, B 相互独立。
2.设事件 A , B , C 满足关系式 ABC A ，则关系式的意义是( A )。 （A）当 A 发生时，B 或 C 至少有一个不发生； （C）当 B 和 C 都不发生时，A 必定发生； （B）当 A 发生时，B 和 C 必定都不发生； （D）当 B 或 C 至少有一个不发生时，A 必定发生.
1 1 n ( ) ( ) ( ) P A P B A 1 P( AB) 2 3 P( A B) 。 n 1 1 1 2 P( B) P( A) P( B A) P( A) P( B A) 1 2 n n ( ) ( ) 2 3 2 3
(A) A1 A2 ； （B） A1 A2 A1 A2 ； （C） A1 A2 ； （D） A1 A2 。 2.设事件 A , B , C 满足关系式 ABC A ，则关系式的意义是( （A）当 A 发生时，B 或 C 至少有一个不发生； （C）当 B 和 C 都不发生时，A 必定发生； 3.设事件 A , B 满足 P ( A B ) 1 ，则（ )。
3 C4 3! 。 3 4
5.设 A , B 为随机事件，已知 P ( A) 0.7, P( B) 0.5, P( A B) 0.3 ，则 P( AB) 0.4；
P ( B A) 0.1。
二、选择题 1.某学生参加两门外语考试，设事件 Ai ={第 i 门外语考试通过} ( i =1,2)，则事件{两门外语考试至少 有一门没通过}可以表示为( D )。 (A) A1 A2 ； （B） A1 A2 A1 A2 ； （C） A1 A2 ； （D） A1 A2
3.设事件 A , B 满足 P ( A B ) 1 ，则（ D ） 。 （A） A B ； （B） B A ； （C） P ( B A) 0 ； （D） P ( AB) P( B) 。 4.设 0 P( A) 1, 0 P ( B) 1 ，且 P ( A B ) P( A B ) 1 ，则（ B ） 。 （A）A、B 互斥； （B）A、B 独立； （C）A、B 不独立； （D）A 与 B 互逆。
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自测题
4.（ 5.（ 6.（ 7.（ 8.（ 9.（ 10． （
）在古典概型的随机试验中， P( A) 0 当且仅当 A 是不可能事件。 ）若 0 P ( B ) 1 且 P ( A) P ( A | B) ，则 P ( A) P ( A | B ) 。 ）设 A 与 B 是两个概率不为零的互不相容事件，则 P ( AB) P( A) P( B) 。 ）对于事件 A, B, C ，若 P ( ABC ) P( A) P ( B ) P (C ) ，则 P ( AB) P( A) P( B) 。 ）设随机事件 A 分别与随机事件 B, C 独立，则 A 也与事件 B C 独立。 ）设随机事件 A, B, C 相互独立，则 A 与 B C 相互独立。 ）设事件 A, B 的概率均大于 0，若 A 与 B 相互独立，则它们一定互不相容。
（B）当 A 发生时，B 和 C 必定都不发生； （D）当 B 或 C 至少有一个不发生时，A 必定发生。 ） 。
（A） A B ； （B） B A ； （C） P ( B A) 0 ； （D） P ( AB) P( B) 。 4.设 0 P( A) 1, 0 P ( B) 1 ，且 P ( A B ) P( A B ) 1 ，则（ （A）A、B 互斥； （B）A、B 独立； （C）A、B 不独立； ） 。
即 P ( B A) 0.9 。 （2）再由贝叶斯公式，
P( A B)
P( A B) P( B) P( AB ) 27 。 P( B) P( A) P( B A) P( A) P( B A) 28
5.甲袋中有两个白球，四个黑球，乙袋中有四个白球，两个黑球.现在掷一均匀硬币，若得正面就从甲 袋中连续摸 n 次球（取后放回） ，若得反面就从乙袋中摸 n 次.若已知摸到的 n 个球全是白球.求这些球是从 甲袋中取出的概率。 【解】设 A （硬币掷得正面）＝（甲袋中连续摸 ｎ 次球） ， B （摸到的 ｎ 个球全是白球） ， 由贝叶斯公式，
P ( AB ) P ( A B) 1 P( A B) 1 P ( A) P( B ) P( AB) P( AB) ，
即 P( B) 1 p 。 3. 10 个运动队平均分成两组预赛，计算最强的两个队被分在同一组内的概率。 【解】依题设， 10 个运动队平均分成两组预赛共有 C10
有 70%的病人痊愈.已知不服药的病人五天后有 10%可以自愈， （1）求该药的治愈率； （2）若某病人五天后痊愈，求他是服此药而痊愈的概率。 【解】 （1）设 A （服药） ， B （五天后病人痊愈） ，由全概率公式，
3 1 P ( B ) P( A) P( B A) P( A) P( B A) P( B A) 0.1 0.7 ， 4 4
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3.（ ）对于事件 A , B ，若 P ( AB) 0 ，则 A 与 B 互斥。 4.（ √ ）在古典概型的随机试验中， P( A) 0 当且仅当 A 是不可能事件。 5.（ √ ）若 0 P ( B ) 1 且 P ( A) P ( A | B ) ，则 P ( A) P ( A | B ) 。 6.（ ）设 A 与 B 是两个概率不为零的互不相容事件，则 P ( AB) P( A) P( B) 。 7.（ ）对于事件 A, B, C ，若 P ( ABC ) P( A) P ( B ) P (C ) ，则 P ( AB) P( A) P( B) 。 8.（ ）设随机事件 A 分别与随机事件 B, C 独立，则 A 也与事件 B C 独立。 9.（ √ ）设随机事件 A, B, C 相互独立，则 A 与 B C 相互独立。 10.（ ）设事件 A, B 的概率均大于 0，若 A 与 B 相互独立，则它们一定互不相容。 四、计算题 1.设事件 A , B 满足 P ( A) 0.6, P ( B ) 0.5, P( AB ) 0.2 ，求 P ( A B ), P ( B A) 。 【解】依概率的性质， P ( AB ) P ( B ) P( AB ) 0.3 ，于是
P ( A B ) P( A) P( B ) P( AB ) 0.6 0.5 0.3 0.8 ，
依条件概率的定义，
P ( B A)
P ( BA) P( A) P ( AB ) 0.2 0.5 。 P ( A) P ( A) 0.4
2.已知事件 A , B 满足 P ( AB ) P( AB ) ，且 P ( A) p ，求 P ( B ) 。 【解】依题设，利用德莫根律及概率的性质，
4.将红、黄、蓝 3 个球随机的放入 4 个盒子中，若每个盒子的容球数不限，则有三个盒子各放一个球 的概率是 。 ，
5.设 A , B 为随机事件，已知 P ( A) 0.7, P( B) 0.5, P( A B) 0.3 ，则 P( AB)
P ( B A)
。
二、选择题（每小题 2 分，共计 10 分） 1.某学生参加两门外语考试，设事件 Ai ={第 i 门外语考试通过} ( i =1,2)，则事件{两门外语考试至少 有一门没通过}可以表示为( )。
5
1 种分法，其中最强的两个队被分在同一组内 2
的分法共有 C8 ，利用古典概型概率的计算公式，于是所求
3
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p
C83
5 C10
1 2
。
4.某医院用某种新药医治流感，对病人进行试验，其中
3 1 的病人服此药， 的病人不服此药，五天后 4 4
（D）A 与 B 互逆。 ） 。
5.设 A , B, C 是三个相互独立的事件，且 0 P(C ) 1 ，则下列四对事件中，不独立的是（ （A） A B 与 C ； （B） AC 与 C ； （C） A B 与 C ； （D） AB 与 C 。 三、判断题（每小题 2 分，共计 20 分） 1.（ 2.（ 3.（ ）从一批产品中随机抽取 100 件，发现 5 件次品，则该批产品的次品率为 5%。 ）若事件 A , B 为对立事件，则 A 与 B 互斥，反之不真。 ）对于事件 A , B ，若 P ( AB) 0 ，则 A 与 B 互斥。
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一、填空题 1.概率 P ( A) 是刻划 一次试验随机事件 A 发生的可能性大小_的指标。 2.实际推断原理的内容是 一次试验小概率事件一般不会发生。 3.设 A, B, C 分别代表甲，乙，丙命中目标，则 ABC 表示 甲、乙、丙至少一人没命中目标 。 4.将红、黄、蓝 3 个球随机的放入 4 个盒子中，若每个盒子的容球数不限，则有三个盒子各放一个球 的概率是
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《概率论与数理统计》第一单元自测题
时间：120 分钟，卷面分值：100 分 一、填空题（每小题 2 分，共计 10 分） 1.概率 P( A) 是刻划____________________ 2.实际推断原理的内容是 3.设 A, B, C 分别代表甲，乙，丙命中目标，则 ABC 表示 ___的指标。 。 。
。 5.设 A , B, C 是三个相互独立的事件，且 0 P(C ) 1 ，则下列四对事件中，不独立的是（ B ） （A） A B 与 C ； （B） AC 与 C ； （C） A B 与 C ； （D） AB 与 C 。 三、判断题 1.（ ）从一批产品中随机抽取 100 件，发现 5 件次品，则该批产品的次品率为 5%。 2.（ √ ）若事件 A , B 为对立事件，则 A 与 B 互斥，反之不真。