高中数学三角恒等变换易错题剖析

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2020年高考数学(理科)高频易错考点大解密专题:三角恒等变换(全国版含解析)

2020年高考数学(理科)高频易错考点大解密专题:三角恒等变换(全国版含解析)

5
5
因为 3 ,所以 2 3 ,所以 cos 2 4 ,
2
4
2
5
所以
sin(2

)

4
2 (sin 2 cos 2) 2 ,
2
10
故选 C.
调研 4 已知 3π 4π ,且 1 cos 1 cos 6 ,则
2019 课标全国Ⅰ17 2017 课标全国Ⅰ17 2016 课标全国Ⅱ13 2016 课标全国Ⅰ17
★★★ ★★★★★
考点 1 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值
题组一 利用两角和与差的正、余弦公式化简求值
调研 1 若 cos(3π ) 1 ,且 π π ,则 sin2 的值为





2π 3


,这样便会得到



2π 3
是(
3tan 1)(
3tan 1) 4 充分不必要条件.
调研 6 若 2tan 1, tan 2 ,则 tan( ) ______________.
【答案】 3 4
【解析】 2tan
1,tan
【名师点睛】此题考查了三角函数的化简求值,涉及的知识有:二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正

弦函数公式,以及绝对值的代数意义,熟练掌握公式是解本题的关键;根据α的范围求出 的范围,确定出
2
cos
0 ,sin
0 ,所求式子利用二倍角的余弦函数公式及绝对值的代数意义化简,再利用两角和与差
题组二 利用两角和与差的正切公式化简求值
调研 5
若 , R 且 kπ π , kπ π (k Z) , 则 “ + = 2π ” 是

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(包含答案解析)

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(包含答案解析)

一、选择题1.已知sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,02πα<<,则tan α的值为( ) A .12-B .12C .2D .12-或2 2.已知4sin cos 3θθ+=,,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin cos θθ-的值为( )A .13-B .13C .3-D .33.已知sin cos x x +=,则1tan tan x x +=( ) A .6-B .7-C .8-D .9-4.设a =sin17°cos45°+cos17°sin45°,b =2cos 213°-1,c ( ) A .c <a <bB .b <c <aC .a <b <cD .b <a <c5.已知α为锐角,且1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin α的值为( )A .18± B .18+ C .8D .8+ 6.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知sin cos 2b A B b =-,则A =( )A .3π B .4π C .6π D .23π 7.已知25cos2cos αα+=,()4cos 25αβ+=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3,22πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos β的值为( ) A .45-B .44125C .44125-D .458.函数()log 42a y x =++(0a >,且1a ≠)的图象恒过定点A ,且点A 在角θ的终边上,则2sin 2θ=( ) A .1213-B .1213C .2413-D .24139.若α∈(2π,π),且3cos 2α=sin(4π-α),则sin 2α的值为( ) A .-118 B .118C .-1718D .171810.已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数,且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值,则ω的范围是( )A .3(0,]5B .13[,]25C .13[,]24D .15[,)2211.人体满足黄金分割比的人体是最美人体,0.618是黄金分割比12m =的近似值,黄金分割比还可以表示为2cos72︒( )A .4B 1C .2D 112.已知A 是函数()3sin(2020))263f x x x ππ=++-的最大值,若存在实数1x ,2x 使得对任意实数x ,总有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12A x x 的最小值为( )A .2020πB .1010π C .32020πD 二、填空题13.有下列5个关于三角函数的命题:①0x R ∃∈00cos 3x x +=;②函数22sin cos y x x =-的图像关于y 轴对称; ③x R ∀∈,1sin 2sin x x+≥;④[]π,2πx ∀∈cos 2x=-;⑤当()2sin cos f x x x =+取最大值时,cos x =. 其中是真命题的是______.14.给出下列命题:①()72cos 22f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是奇函数;②若α、β都是第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>;③38x π=-是函数33sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像的一条对称轴;④已知函数()23sin12xf x π=+,使()()f x c f x +=对任意x ∈R 都成立的正整数c 的最小值是2.其中正确命题的序号是______. 15.给出下列命题:①存在实数α使得sin cos 1αα=;②存在实数α使得3sin cos 2αα+=; ③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-是偶函数; ④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程; ⑤若α、β是第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>, 其中正确命题的序号是______.16.函数2cos sin y x x =+的最大值为____________.17.已知sin 3α=,()1cos 3αβ+=-,且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin β=_____.18.已知()2cos (sin cos )f x x x x =+,若对任意[0,]2x π∈不等式2()m f x m -≤≤+恒成立,则实数m 的取值范围是___________.19.已知α满足1sin 3α=,那么ππcos cos 44αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________. 20.函数()3sin cos22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为_________. 三、解答题21.已知02πα<<,4sin 5α. (1)求tan2α的值; (2)求cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (3)若02πβ<<且1cos()3αβ+=-,求sin β的值.22.函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=+⋅>且满足___________. ①函数()f x 的最小正周期为π;②已知12x x ≠,()()1212f x f x ==,且12x x -的最小值为2π,在这两个条件中任选一个,补充在上面横线处,然后解答问题. (1)确定ω的值并求函数()f x 的单调区间;(2)求函数()f x 在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域. 23.已知钝角α满足tan 2α.(1)求()cos 60α+的值;(2)求22sin sin cos 2cos αααα+-的值?24.已知函数()22cos cos f x a x x x a =-,其中x ∈R ,a 为常数. (1)当1a =时,若函数()()cos 2f x A x θ=+,求A 与tan θ的值;(2)若函数()y f x =在[,]63ππ的图象恒在函数y a =图象的上方,求a 的取值范围25.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,且sin cos 222αα-=. (1)求cos α的值; (2)若()4sin 5αβ-=,,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求cos β的值. 26.已知函数2()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x π=++.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间;(2)若函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称,求正数m 的最小值;【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】由同角间的三角函数关系先求得cos()4πα-,再得tan()4πα-,然后由两角和的正切公式可求得tan α. 【详解】 ∵02πα<<,∴444πππα-<-<,∴cos 410πα⎛⎫-=⎪⎝⎭, ∴sin 14tan 43cos 4παπαπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭, ∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tan 11432111tan 34παπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭===⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故选:C .思路点睛:本题考查三角函数的求值.考查同角间的三角函数关系,两角和的正切公式.三角函数求值时首先找到“已知角”和“未知角”之间的联系,选用恰当的公式进行化简求值.注意三角公式中“单角”与“复角”的区别与联系,它们是相对的.不同的场景充当的角色可能不一样.如题中4πα-在tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα-⎛⎫-=⎪⎝⎭+作为复角,但在tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦中充当“单角”角色.2.D解析:D 【分析】首先根据题意得到72sin cos 9θθ=,再计算()22sin cos 9θθ-=,根据,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭判断出sin cos θθ-的符号再进行开方计算即可得到答案. 【详解】 因为4sin cos 3θθ+=,所以()216sin cos 12sin cos 9θθθθ+=+=, 所以72sin cos 9θθ=, 所以()22sin cos 12sin cos 9θθθθ-=-=, 因为,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以sin cos θθ>,即sin θcos θ0,所以sin cos 3θθ-=. 故选:D . 【点睛】易错点睛:本题求sin cos θθ-的值时,采用的方法是先对其平方而后再开方,再开方时应注意根据θ的取值范围正确判断sin cos θθ-的符号,从而得到正确的答案.3.C解析:C 【分析】将等式sin cos 2x x +=两边平方可求得sin cos x x 的值,利用切化弦可求得1tan tan x x+的值.由sin cos x x +=,可得()23sin cos 12sin cos 4x x x x +=+=,得1sin cos 8x x =-,因此,221sin cos sin cos 1tan 8tan cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x++=+===-.故选:C. 【点睛】方法点睛:应用公式时注意方程思想的应用,对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子,利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二.4.A解析:A 【分析】利用两角和的正弦函数公式化简a ,利用二倍角的余弦公式及诱导公式化简b ,再利用特殊角的三角函数值化简c ,根据正弦函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数,甶角度的大小,得到正弦值的大小,进而得到,a b 及c 的大小关系. 【详解】化简得()17cos45cos1745174562a sin sin sin sin =+=+=,()22cos 131cos26cos 906464b sin =-==-=,60c sin ==,正弦函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数, 606264sin sin sin ∴<<,即c a b <<,故选A. 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式,两角和与差的正弦公式,诱导公式,以及特殊角的三角函数,正弦函数的单调性,属于中档题. 比较大小主要有四种方法:(1)作差法;(2)作商法;(3)函数单调性法;(4)基本不等式法.5.B解析:B 【分析】通过三角恒等式可求出cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值,再根据两角和的正弦即可得出结果. 【详解】 ∵02πα<<,∴336πππα-<-<,又∵1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴cos 34πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭∴111sin sin 3342428ππαα+⎛⎫=-+=⨯+= ⎪⎝⎭, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用以及通过两角和正弦公式求值,属于中档题.6.C解析:C 【分析】由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式,结合sin 0B ≠,可得2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,根据题意可求范围(0,)A π∈,根据正弦函数的图象和性质即可求解A 的值. 【详解】解:∵ bsin cos 2A B b -=,∴由正弦定理可得:sin sin cos 2sin B A A B B C =,∴sin sin cos 2sin B A A B B C =2sin cos cos sin )B A B A B =-+,∴sin sin 2sin sin B A B A B =,又∵sin 0B ≠,∴sin 2A A +=, ∴2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,可得232A k πππ+=+,Z k ∈, 又(0,)A π∈,∴6A π=.故选:C . 【点睛】本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用,考查运算求解能力,求解时注意角的范围.7.B解析:B 【分析】先根据二倍角余弦公式求cos α,解得cos2α,最后根据两角差余弦公式得结果. 【详解】2125cos2cos 10cos cos 30cos 2ααααα+=∴--=∴=-或35因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos 5α=22443247sin ,sin 22,cos 2cos sin 5552525ααααα∴==⨯⨯==-=-,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()43cos 2,2(2,3)sin 255αβαβππαβ+=+∈∴+=cos cos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++4732444525525125=-⨯+⨯=故选:B 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式,考查基本分析求解能力,属中档题.8.C解析:C 【分析】先根据对数函数性质得()3,2A -,进而根据正弦的二倍角公式和三角函数的定义求解即可得答案. 【详解】解:根据对数函数的性质得函数()log 42a y x =++(0a >,且1a ≠)的图象恒过()3,2A -,由三角函数的定义得:13r ==,sinθθ==, 所以根据二倍角公式得:242sin 24sin cos 413θθθ⎛===- ⎝. 故选:C. 【点睛】本题考查对数函数性质,三角函数定义,正弦的二倍角公式,考查运算能力,是中档题.9.C解析:C 【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin 2αα+=,对等式平方即可得结果. 【详解】由3cos 2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭,可得())223cos sin cos sin 2αααα-=-, 又由,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,可知cos sin 0αα-≠,于是()3cos sin 2αα+=,所以112sin cos 18αα=+, 故17sin 218α=-, 故选:C. 【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用,属于中档题.10.B解析:B 【分析】先化简函数,根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,则为函数含有零的增区间的子集,再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值,则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π,最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭, ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-,22sin sin sin x x x ωωω=+-,sin x ω=,令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈,则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈, 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数, 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得35ω≤,令2,2x k k Z πωπ=+∈,因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值, 所以02ππω≤≤,所以12ω≥, 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选:B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.11.C解析:C 【分析】根据2cos72m ︒=,结合三角函数的基本关系式,诱导公式和余弦的倍角公式,准确运算,即可求解. 【详解】根据题意,可得2cos72m ︒=,则2sin144cos54︒==︒()2sin 90542cos542cos54cos54︒+︒︒===︒︒. 故选:C . 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值,其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式,诱导公式和余弦的倍角公式,准确运算是解答的关键,着重考查推理与运算能力.12.C解析:C 【分析】利用三角恒等变换化()f x 为正弦型函数,由此求出A 、T 以及12x x -的最小值,可得解. 【详解】()3sin(2020))2623f x x x ππ=++-,392020cos 2020cos 2020202044x x x x =+-,320220cos 20202x x=-3sin(2020)6x π=-, ∴max ()3A f x ==,又存在实数1x ,2x ,对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立, ∴2max ()()2f x f x ==,1min ()()2f x f x ==-, 则12x x -的最小值为函数()f x 的半个最小正周期长度,12min 1122220202020x x T ππ∴-==⨯=∴()12min32020A x x π⋅-=, 故选:C. 【点睛】本题考查三角函数的最值,着重考查两角和与差的正弦与余弦,考查三角恒等变换,突出正弦函数的周期性的考查,属于中档题.二、填空题13.②④⑤【分析】本题可通过判断出①错误然后通过判断出②正确再然后通过可以为负值判断出③错误通过以及判断出④正确最后通过将函数转化为根据当时取最大值判断出⑤正确【详解】①:则①错误;②:关于轴对称②正确解析:②④⑤ 【分析】000cos 2sin 6x x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭+判断出①错误,然后通过22sin cos cos 2x x x -=-判断出②正确,再然后通过sin x 可以为负值判断出③错误,=cos02x 判断出④正确,最后通过将函数转化为()()f x x p =+,根据当()22x p k k Z ππ=-++∈时取最大值判断出⑤正确.【详解】①000001cos 2cos 2sin 262x x x x x π+⎫⎛⎫+=+=≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,00cos 3x x +≠,①错误;②:()2222sin cos cos sin cos 2y x x x x x =-=--=-,关于y 轴对称,②正确;③:因为sin x 可以为负值,所以1sin 2sin x x+≥错误,③错误; ④:因为[]π,2πx ∈,所以π,π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,cos 02x ,cos2x ===-,④正确; ⑤:()2sin cos f x x x x x ⎫=+=⎪⎪⎭()x p =+,(注:5sin 5p,25cos 5p ), 当函数()f x 取最大值时,22x p k ππ+=+,即()22x p k k Z ππ=-++∈,此时cos cos n 52si 2=p k x p ππ-++⎛⎫==⎪⎝⎭,故⑤正确, 故答案为:②④⑤. 【点睛】关键点点睛:本题考查根据三角恒等变换以及三角函数性质判断命题是否正确,考查二倍角公式以及两角和的正弦公式的灵活应用,考查计算能力,考查化归与转化思想,是中档题.14.①③④【分析】对①化简得可判断;对②取特殊值可说明;对③代入求值可判断;对④化简求出其最小正周期即可判断【详解】对①是奇函数故①正确;对②如但故②错误;对③当时取得最大值故③正确;对④则的最小正周期解析:①③④ 【分析】 对①,化简得()()2sin 2f x x =可判断;对②,取特殊值可说明;对③,代入38x π=-求值可判断;对④,化简()f x ,求出其最小正周期即可判断. 【详解】 对①,()()72cos 22sin 22f x x x π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭是奇函数,故①正确; 对②,如7,33ππαβ==,但tan tan αβ=,故②错误; 对③,当38x π=-时,333sin 2384y ππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,取得最大值,故③正确;对④,()()2353sin1cos 222xf x x ππ=+=-+,则()f x 的最小正周期为22ππ=,则c 的最小值是2,故④正确. 故答案为:①③④. 【点睛】本题考查三角函数奇偶性的判断,考查三角函数的单调性和对称性以及周期性,解题的关键是正确化简,正确理解三角函数的性质.15.③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误;利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误;化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误;利用代入检验法可判断④的正误;解析:③④ 【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误;利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误;化简函数解析式,结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误;利用代入检验法可判断④的正误;利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】对于命题①,111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦, 所以,不存在实数α使得sin cos 1αα=,①错误;对于命题②,sin cos 4πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭, 所以,不存在实数α使得3sin cos 2αα+=,②错误; 对于命题③,si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝, ()cos 2cos2x x -=,所以,函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数,③正确;对于命题④,当8x π=时,min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭, 所以,8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程,命题④正确; 对于命题⑤,取9244παππ=+=,4πβ=,αβ>,但tan 1tan αβ==,⑤错误.因此,正确命题的序号为③④. 故答案为:③④. 【点睛】本题考查有关三角函数命题真假的判断,考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较,考查计算能力与推理能力,属于中等题.16.【分析】将函数解析式变形为且有利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值【详解】且因此当时函数取得最大值故答案为:【点睛】本题考查二次型三角函数的最值利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题解析:98【分析】将函数解析式变形为22sin sin 1y x x =-++,且有1sin 1x -≤≤,利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值. 【详解】2219cos 2sin 12sin sin 2sin 48y x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,且1sin 1x -≤≤,因此,当1sin 4x =时,函数2cos sin y x x =+取得最大值98. 故答案为:98. 【点睛】本题考查二次型三角函数的最值,利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.17.【分析】由已知分别求得再由展开两角差的正弦得答案【详解】解:∵∴∴∴又∴则故答案为:【点睛】本题考查同角三角函数间的关系正弦的差角公式给值求值型的问题属于中档题解析:9【分析】由已知分别求得cos α,()sin αβ+,再由()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦,展开两角差的正弦得答案. 【详解】解:∵sin α=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴1cos 3α==, ∴,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴()0,αβπ+∈,又()1cos 3αβ+=-,∴()sin αβ+==. 则()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦1133339⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭.故答案为:9. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系,正弦的差角公式,给值求值型的问题,属于中档题.18.【分析】先将化解成正弦型然后根据取值范围求出最值根据恒成立可建立不等式解出不等式即可【详解】当时恒成立解得故答案为:【点睛】本题考查三角函数的化解以及以及已知范围求正弦型函数的最值 解析:[1,2]【分析】先将()f x 化解成正弦型,然后根据x 取值范围求出()f x 最值,根据恒成立可建立不等式,解出不等式即可. 【详解】2()=2sin cos 2cos =sin2cos 21)14f x x x x x x x π+++=++,当[0,]2x π∈时,52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,∴0)114x π≤++≤,2()m f x m -≤≤+恒成立,02212m m,解得12m ≤≤. 故答案为:[1,2] 【点睛】本题考查三角函数的化解以及以及已知x 范围求正弦型函数的最值.19.【分析】化简原式为即得解【详解】由题得故答案为:【点睛】本题主要考查和角差角的余弦考查二倍角的余弦意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析:718【分析】 化简原式为21(12sin )2α-,即得解. 【详解】 由题得22cos()cos()(cos sin )(cos +sin )4422ππαααααα+-=-⋅222111(cos sin )cos 2(12sin )222αααα=-==- 117(12)2918=-⨯=. 故答案为:718【点睛】本题主要考查和角差角的余弦,考查二倍角的余弦,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.4【分析】采用二倍角公式和诱导公式转化为关于的二次函数再结合二次函数图像求解即可【详解】令则原函数等价于对称轴为画出大致图像如图:显然在时取到最大值所以函数最大值为4故答案为:4【点睛】本题考查诱导解析:4 【分析】采用二倍角公式和诱导公式转化为关于cos x 的二次函数,再结合二次函数图像求解即可 【详解】22()3sin cos 23cos 2cos 12cos 3cos 12f x x x x x x x π⎛⎫=++=+-=+- ⎪⎝⎭,令cos t x =[]11t ,∈-,则原函数等价于()2231f t t t =+-,对称轴为34t =-,画出大致图像,如图:显然在1t =时取到最大值,()max 4f t =,所以函数()3sin cos22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭最大值为4故答案为:4 【点睛】本题考查诱导公式,二倍角公式的应用,二次函数型三角函数最值的求解,属于中档题三、解答题21.(1)247-,(2),(3【分析】(1)由02πα<<,4sin 5α,可求出35cos α=,从而可求出4tan 3α=,进而利用正切的二倍角公式可求得答案;(2)先利用两角和的余弦公式展开,再利用二倍角公式求解;(3)先由已知条件求出sin()3αβ+=,再利用sin sin[()]βαβα=+-展开代值可求得结果 【详解】解:(1)因为02πα<<,4sin 5α,所以3cos 5α===, 所以4sin 45tan 3cos 35ααα===, 所以22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭, (2)cos 2cos 2cos sin 2sin 444πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(cos 2sin 2)2αα=-22sin 2sin cos )ααα=--1643(122)2255550=-⨯-⨯⨯=-, (3)因为02πα<<,02πβ<<,所以0αβ<+<π,因为1cos()3αβ+=-,所以sin()3αβ+===, 所以sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+3144()353515=⨯--⨯=【点睛】关键点点睛:此题考查三角函数恒等变换公式的应用,考查计算能力,考查同角三角函数的关系的应用,角的变换公是解题的关键,属于中档题 22.条件选择见解析;(1)1ω=,单调增区为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦,单调减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;(2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】化简()f x 1sin 262x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. (1)若选① ,根据周期公式可得ω;若选②,由12min22T x x π-==,可得周期和ω,再根据正弦函数的单调性可得()f x 单调区间; (2)由x 的范围求出26x π-及1sin 262x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的范围可得答案. 【详解】1cos 2()cos 2xf x x x ωωω-=+112cos 2222x x ωω=-+ 1sin 262x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)若选① ,则有T π=,222πωπ∴==,即1ω=,若选②,则有12min22T x x π-==, 222πωπ∴==,即1ω=,综上1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 于是由222()262πππππ-+≤-≤+∈k x k k Z ,解得()63ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ,即()f x 单调增区为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦,由3222()262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈, 解得5()36k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 所以()f x 单调减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(2)1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则2,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 则13sin 20,622x π⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以()f x 值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了()()sin f x A x b ωϕ=++的性质,有关三角函数的解答题,考查基础知识、基本技能和基本方法,且难度不大,主要考查以下四类问题;(1)与三角函数单调性有关的问题;(2)与三角函数图象有关的问题;(3)应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题;(4)与周期、对称性有关的问题,考查了计算能力.23.(1);(2)0. 【分析】(1)利用同角公式求出sin α和cos α,再根据两角和的余弦公式计算可得结果; (2)弦化切可得结果. 【详解】(1)因为tan 2α,且α为钝角,所以sin 2cos αα=-,所以22(2cos )cos 1αα-+=,所以21cos 5α=,所以cos α=(正值已舍),∴sin α=∵()cos 60cos cos60sin sin 60ααα+=-1525210⎛⎫=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭. (2)∵tan 2α,cos 0α≠,所以222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos αααααααααα+-+-=+22tan tan 24220tan 141ααα+---===++.【点睛】关键点点睛:第(2)问弦化切求解是解题关键.24.(1)2A =,tan θ=;(2)6a ≤. 【分析】(1)利用降幂公式与辅助角公式将()y f x =()()2cos 2x A x ϕθ-=+,进而可得答案;(2)问题等价于()f x a ≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,即cos22a x x a ≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,可得sin 211cos2tan x a x x ≤-在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立,从而可得答案 【详解】 (1)当1a =时,()22cos 1cos cos 2222f x x x x x x x x ⎫=-=+=+⎪⎪⎭)()()cos cos2sin sin 22cos 2x x x A x ϕϕϕθ=+=-=+∴A =,sin tan tan tan cos 2ϕθϕϕϕ=-=-=-==-();(2)由函数()y f x =在[,]63ππ的图象恒在函数y a =图象的上方可知,()f x a ≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立故cos22a x x a +≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立即2sin 22sin cos 11cos 22sin tan x x x a x x x ≤==-在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立.∵min11tan tan 3x π⎫==⎪⎪⎝⎭∴6a ≤【点睛】方法点睛:对于求不等式恒成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式,便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.25.(1);(2. 【分析】(1)将已知条件两边平方,求得sin α的值,进而求得cos α的值.(2)先求得()cos αβ-的值,然后利用cos cos[()]βααβ=--,结合两角差的余弦公式,求得cos β的值.【详解】(1)将sin cos 22αα-=两边同时平方,得11sin 2α-=,则1sin 2α=,又2παπ∈(,),所以cos α==.(2)由(1)知,1sin ,cos 2αα==, 因为2παπ∈(,),2βπ∈π(,),所以22ππαβ-<-<.又因为4sin()5αβ-=,所以3cos()5αβ-, 所以cos cos[)]βααβ=--( cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-314525=+⨯, 【点睛】关键点点睛:对于三角函数给值求值的问题,关键在于运用已知角的和,差,二倍的运算表示待求的角,再选择相关公式得以求值.26.(1)T π=,7[,],1212++∈k k k Z ππππ;(2)3π. 【分析】(1)先利用三角恒等变换,将函数转化为()2sin(2)3f x x π=+,再利用正弦函数的性质求解.(2)根据函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称,令2()3m k k Z ππ+=∈求解.【详解】(1)2()[2sin()sin ]cos 3=++f x x x x x π2(sin sin )cos =++-x x x x x2(2sin )cos =+x x x x222sin cos sin )x x x x =+-sin 222sin(2)3x x x π==+, T π=, 由3222232k x k πππππ+≤+≤+, 解得71212k x k ππππ+≤≤+, 则()f x 的单调递减区间是7[,],1212++∈k k k Z ππππ. (2)2()3+=∈m k k Z ππ,,26∴=-∈k m k Z ππ 又0m >m ∴的最小值为3π. 【点睛】 方法点睛:1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成y =A sin(ωx +φ)(ω>0)的形式. 2.函数y =A sin(ωx +φ)和y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为2T ωπ=,y =tan(ωx +φ)的最小正周期为T πω=. 3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t =ωx +φ,将其转化为研究y =sin t 的性质.。

高考数学易错题专项突破__易错点33三角恒等变换含解析

高考数学易错题专项突破__易错点33三角恒等变换含解析

易错点33 三角恒等变换一、单选题1.在△AAA中,角A,B的对边长依次是a,b,满足A cos A=A cos A,则△AAA的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形2.1876年4月1日,加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法,即在如图的直角梯形ABCD中,利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理,人们把这一证明方法称为“总统证法”.如图,设∠AAA=15°,在梯形ABCD中随机取一点,则此点取自等腰直角△AAA中(阴影部分)的概率是A. √32B. 34C. 23D. √223.在A ABC中,A,A,A分别为内角A,A,A所对的边,A=A且满足sinBsinA =1−cosBcosA,若点O是A ABC外一点,∠AOB=A(0<A<A),OA=2,OB=1,则平面四边形OACB面积的最大值是A. 8+5√34B. 4+5√34C. 3D. 4+√524.已知角A的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点(2,−1),则AAA120°cos A−sin30°sin A=A. −√15−2√510B. −√15+2√510C. √15−2√510D. √15+2√5105.△AAA中,A2:A2=tan A:tan A,则△AAA一定是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形6.角A的顶点在坐标原点,始边在x轴正半轴上,且终边过点A(−3,4),则AAAA=A. 43B. −43C. 34D. −347.将函数A=sin(A+A2)⋅cos(A+A2)的图像沿x轴向右平移A8个单位长度后,得到一个偶函数的图像,则A的取值不可能是A.7A 4B. −A4C. A4D.3A48. 设函数A (A )=sin (AA +A )+cos (AA +A )(A >0,|A |<A2)的最小正周期为A ,且A (−A )=A (A ),则 A. A (A )在(0,A2)单调递减 B. A (A )在(A 4,3A4)单调递减 C. A (A )在(0,A2)单调递增 D. A (A )在(A 4,3A4)单调递增 二、填空题9. 已知tan A =13,则sin 2A −sin2A1+cos 2A的值为___________ .10. 若0<A <A2,cos (A3+A )=13,则AAAA =____.11. 将式子AAAA +√3AAAA 化成AAAA (A +A )(其中A >0,A ∈[−A ,A ))的形式为______.12. 已知不等式A (A )=3√2sin A 4⋅cos A 4+√6cos 2A 4−√62+A ≤0,对于任意的−5A 6≤A ≤A6恒成立,则实数m 的取值范围是______.三、解答题13. 已知函数A (A )=4AAA 2A +AAAA AAAA A (A ∈A ),且满足A (A4)=4.(1)求m 的值及A (A )的最小正周期; (2)若A ∈[0,3A4],求A (A )的单调区间.14.已知函数A(A)=(AAAA+√3AAAA)⋅sin(A2−A)+12.(1)求函数A(A)的最小正周期和单调增区间;(2)求函数A(A)在区间[712A,56A]上的最小值以及取得该最小值时x的值.15.在△AAA中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足AAAAA=AAAA(A−A6 ).(1)求角B的大小;(2)若D为AC的中点,且AA=1,求A△AAA的最大值.在AAAA中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知向量A⃗⃗⃗⃗ =(cos3A2,sin3A2),A⃗⃗⃗⃗ =(cos A2,sin A2),且满足|A⃗⃗⃗⃗ +A⃗⃗⃗⃗ |=√3.(1)求角A的大小;(2)若A+A=√3A,试判断△ABC的形状一、单选题1在△AAA中,角A,B的对边长依次是a,b,满足A cos A=A cos A,则△AAA的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】解:根据正弦定理可知∵AAAAA=AAAAA,∴AAAAAAAA=AAAAAAAA∴AAA2A=AAA2A∴A=A,或2A+2A=180°即A+A=90°,即有△AAA为等腰或直角三角形.故选D.2、1876年4月1日,加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法,即在如图的直角梯形ABCD中,利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理,人们把这一证明方法称为“总统证法”.如图,设∠AAA=15°,在梯形ABCD中随机取一点,则此点取自等腰直角△AAA中(阴影部分)的概率是A. √32B. 34C. 23D. √22【答案】C【解析】解:在直角△AAA中,A=A cos15∘,A=A sin15∘,则A=A△AAAA梯形AAAA =12A212(A+A)2=A2A2(cos15∘+sin15∘)2=11+sin30∘=23,故选C.3、在A ABC中,A,A,A分别为内角A,A,A所对的边,A=A且满足sinBsinA =1−cosBcosA,若点O是A ABC外一点,∠AOB=A(0<A<A),OA=2,OB=1,则平面四边形OACB面积的最大值是A. 8+5√34B. 4+5√34C. 3D. 4+√52【答案】A【解析】解:△AAA中,∵A=A,AAAAAAAA =1−AAAAAAAA,∴AAAAAAAA+AAAAAAAA=AAAA,即sin(A+A)=sin(A−A)=AAAA=AAAA,∴A=A,又A=A,∴△AAA为等边三角形.∴A AAAA=A△AAA+A△AAA=12⋅AA⋅AA⋅AAAA+12⋅AA2⋅sinA3=12×2×1×AAAA+√34(AA2+AA2−2AA⋅AA⋅AAAA)=AAAA−√3AAAA+5√3 4=2AAA(A−A3)+5√34.∵0<A<A,∴−A3<A−A3<2A3,故当A−A3=A2时,sin(A−A3)取得最大值为1,故A AAAA的最大值为2+5√34=8+5√34,故选A.4、已知角A的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点(2,−1),则AAA120°cos A−sin30°sin A=A. −√15−2√510B. −√15+2√510C. √15−2√510D. √15+2√510【答案】A【解析】依题意sin A=√5=−√55,cos A=√5=2√55,所以AAA120°cos A−sin300°sin A=cos(180°−60°)AAAA−sin(360°−60°)sin A =−AAA60°AAAA+AAA60°sin A=−12×2√55+√32×(−√55)=−2√5−√1510.故选A.5、△AAA中,A2:A2=tan A:tan A,则△AAA一定是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】解:∵A2:A2=tan A:tan A,由正弦定理可得,,即,故,则2A=2A或,∴A=A或,即三角形为等腰或直角三角形.故选D.6、角A的顶点在坐标原点,始边在x轴正半轴上,且终边过点A(−3,4),则AAAA=A. 43B. −43C. 34D. −34【答案】B【解析】解:由题意可得tan A =4−3=−43, 故选B .7、将函数A =sin (A +A2)⋅cos (A +A2)的图像沿x 轴向右平移A8个单位长度后,得到一个偶函数的图像,则A 的取值不可能是A.7A 4B. −A4C. A4D.3A4【答案】C【解析】解:A =sin (A +A2)⋅cos (A +A2)=12sin (2A +A ), 图像沿x 轴向右平移A8个单位长度后得到A =12sin (2A −A4+A )的图象, 令2A −A4+A =AA +A 2,A ∈A ,得函数图象的对称轴为,A ∈A ,由A =0得,可知无论k 取何值,,故选C .8、设函数A (A )=sin (AA +A )+cos (AA +A )(A >0,|A |<A2)的最小正周期为A ,且A (−A )=A (A ),则A. A (A )在(0,A2)单调递减 B. A (A )在(A 4,3A4)单调递减 C. A (A )在(0,A 2)单调递增 D. A (A )在(A 4,3A4)单调递增 【答案】A【解析】解:由于A (A )=sin (AA +A )+cos (AA +A )=√2sin (AA +A +A4), 由于该函数的最小正周期为A =2AA ,得出A =2,又根据A (−A )=A (A ),得A +A 4=A2+AA (A ∈A ),以及|A |<A2,得出A =A4.因此,A (A )=√2sin (2A +A2)=√2AAA2A ,若A ∈(0,A2),则2A ∈(0,A ),从而A (A )在(0,A2)单调递减,若A ∈(A 4,3A4),则2A ∈(A 2,3A2), 该区间不为余弦函数的单调区间,故B ,C ,D 都错,A 正确. 故选A . 二、填空题9、已知tan A =13,则sin 2A −sin 2A1+cos 2A的值为___________ .【答案】518【解析】解:∵tan A =13,.故答案为518./10若0<A <A2,cos (A3+A )=13,则AAAA =____. 【答案】2√6+16【解析】解:∵0<A <A2,,∵cos (A3+A )=13,,∴AAAA =cos [(A 3+A )−A 3], =cos (A 3+A )cos A 3+sin (A 3+A )sin A 3=13×12+2√23×√32=2√6+16, 故答案为2√6+16. 11将式子AAAA +√3AAAA 化成AAAA (A +A )(其中A >0,A ∈[−A ,A ))的形式为______.【答案】2AAA (A −A3)【解析】解:AAAA +√3AAAA =2(12AAAA +√32AAAA )=2AAA (A −13A ),故答案为:2AAA (A −13A ).12已知不等式A(A)=3√2sin A4⋅cos A4+√6cos2A4−√62+A≤0,对于任意的−5A6≤A≤A6恒成立,则实数m的取值范围是______.【答案】(−∞,−√3]【解析】解:A(A)=3√2sin A4cos A4+√6cos2A4−√62+A=3√22sin12A+√62(2AAA2A4−1)+A=3√22sin12A+√62cos12A+A=√6sin(12A+A6)+A,∵−5A6≤A≤A6,∴−A4≤12A+A6≤A4,∴−√22≤sin(12A+A6)≤√22,故由题意可得,A(A)的最大值为A+√3≤0,所以A≤−√3.故答案为:(−∞,−√3].三、解答题13已知函数A(A)=4AAA2A+AAAA AAAA A(A∈A),且满足A(A4)=4.(1)求m的值及A(A)的最小正周期;(2)若A∈[0,3A4],求A(A)的单调区间.【答案】解:(1)由A(A4)=4,得4×(√22)2+A×√22×√22=4,解得A=4.∴A(A)=4AAA2A+4AAAAAAAA=4×1+AAA2A2+2AAA2A=2+2AAA2A+2AAA2A=2√2sin(2A+A4)+2,所以函数A(A)的最小正周期A=A.(2)由−A2+2AA≤2A+A4≤A2+2AA(A∈A),得−3A8+AA≤A≤A8+AA(A∈A).又A∈[0,3A4]时,所以A∈[0,A8],或A∈[5A8,3A4],即A(A)的单调递增区间为[0,A8]和[5A8,3A4];由A2+2AA≤2A+A4≤3A2+2AA(A∈A),得A8+AA≤A≤5A8+AA(A∈A),又A∈[0,3A4],所以A(A)的单调递减区间为[A8,5A8].14已知函数A(A)=(AAAA+√3AAAA)⋅sin(A2−A)+12.(1)求函数A(A)的最小正周期和单调增区间;(2)求函数A(A)在区间[712A,56A]上的最小值以及取得该最小值时x的值.【答案】解:(1)因为函数A(A)=(AAAA+√3AAAA)⋅sin(A2−A)+12=(AAAA+√3AAAA)⋅AAAA+1 2=cos2A+√3AAAAAAAA+1 2=1+AAA2A2+√32AAA2A+12=sin(2A+A6)+1;∴函数A(A)最小正周期是A=A;当2AA−A2≤2A+A6≤2AA+A2,A∈A,即AA−A3≤A≤AA+A6,A∈A,函数A(A)单调递增区间为[AA−A3,AA+A6],A∈A;(2)A∈[712A,56A]⇒4A3≤2A+A6≤11A6;所以当2A+A6=32A时,即A=23A时,A(A)取得最小值0.15在△AAA中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足AAAAA=AAAA(A−A6 ).(1)求角B的大小;(2)若D为AC的中点,且AA=1,求A△AAA的最大值.【答案】解:(1)由正弦定理及AAAAA=AAAA(A−A6)得AAAAAAAA=AAAAAAA (A −A 6), 由A ∈(0,A ),所以AAAA ≠0,则AAAA =cos (A −A6)=√32AAAA +12AAAA , ∴AAAA =√3,又A ∈(0,A ),所以A =A3.(2)如图,由A △AAA =12AAAAAA =√34AA ,又D 为AC 的中点,则2AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以4=A 2+A 2+2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 2+A 2+AA ≥3AA ,则AA ≤43,当且仅当A =A 时取等号,所以△AAA 的面积最大值为√33. 16在AAAA 中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量A⃗⃗⃗⃗ =(cos 3A 2,sin 3A 2),A ⃗⃗⃗⃗ =(cos A 2,sin A 2),且满足|A ⃗⃗⃗⃗ +A ⃗⃗⃗⃗ |=√3.(1)求角A 的大小;(2)若A +A =√3A ,试判断△ABC的形状.【答案】解:(1)由|A ⃗⃗⃗⃗ +A ⃗⃗⃗⃗ |=√3得A ⃗⃗⃗⃗ 2+A ⃗⃗⃗⃗ 2+2A ⃗⃗⃗⃗ ⋅A ⃗⃗⃗⃗ =3即1+1+2(cos 3A 2cos A 2+sin 3A 2sin A 2)=3,即2+2AAAA =3,∴AAAA =12,∵0<A <A ,∴A =A 3.(2)∵A+A=√3A, ∴A2=(A+A)23,∴AAAA=A2+A2−A22AA =2A2−2AA+2A26AA=12,∴2A2−5AA+2A2=0,∴A=2A或A=A2.当A=2A时,A2+A2=3A2+A2=4A2=A2,△AAA是以∠A为直角的直角三角形.当A=A2时,A2+A2=A2,△AAA是以∠A为直角的直角三角形.终上所述:△AAA是直角三角形。

解三角形解答题易错点剖析

解三角形解答题易错点剖析
1
2
0
°+θ)⇒
2
1
3
2
2
c
o
s θ- s
i
nθ =
4
4
s
i
n
·
θ
3
1
2
t
a
n θ+ 3t
a
nθ-1
c
o
sθ- s
i
nθ ⇒2
2
2
=0⇒t
a
nθ=
- 3± 1
1

4
又θ 为锐角,
故t
a
nθ=
- 3+ 1
1

4
二、解三角形的最值问题易错点
例 3
已 知 锐 角 △ABC 的 内 角 A ,
B,
2
2
C 所对的边分别 为a,
1,
3,
2;
4,
2,
1,
创新定义的数列抽象 出 其 中 内 含 的 等 差 (比)
4,
3,
1;
3,
1,
2,
4;
3,
1,
4,
2;
3,
2,
1,
4;
3,
2,
4,
1;
共2
3;
4,
2,
3,
1;
4,
3,
1,
2;
4,
3,
2,
1,
4 个 数 列,
然后借助 数 列 的 性 质 或 基 本 量 运 算 求 解;将
数列,
培养同学们
运用数学 知 识 解 决 实 际 问 题 的 能 力,积 累 数
学活动经 验。 并 把 知 识 应 用 于 实 践,提 升 同

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(含答案解析)(3)

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(含答案解析)(3)

一、选择题1.已知函数44()cos sin f x x x =-在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ,最小值为()N t 则函数()()()g t M t N t =-的最小值为( ) A .21-B .1C .22D .212-2.已知函数2()2sin cos 23sin (0)f x x x x ωωωω=->图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A .13-B .13--C .0D .23-3.若sin 3cos 0θθ+=,则2cos sin 2θθ+的值( ) A .2B .2-C .12D .12-4.德国著名的天文学家开普勒说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36的等腰三角形(另一种是顶角为108的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金ABC 中,512BC AC -=.根据这些信息,可得sin126=( )A 125- B 35+ C 15+ D 45+ 5.在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为 A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰三角形或直角三角形 D .等腰直角三角形6.设等差数列{}n a 满足:()22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+,公差()1,0d ∈-.若当且仅当11n =时,数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值,则首项1a 的取值范围是( ) A .9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B .11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .11,10ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知cos 2π3)4αα=+,则1tan tan αα+等于( ) A .92B .29C .9-2D .2-98.=( )A .1B .2CD9.已知cos 5α=,,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A .13 B .3C .13D .13-10.已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α,则1sin22α= A .310 B .35 C .−310D .11011.已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数,且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值,则ω的范围是( )A .3(0,]5B .13[,]25C .13[,]24D .15[,)2212.若()tan 804sin 420α+=,则()tan 20α+的值为( )A.BCD二、填空题13.已知cos 0,42ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______ 14.已知函数1()sin 2222f x x x =-+,对于任意的a ⎡∈⎢⎣⎭,方程()2(0)f x a x m -=≤<仅有一个实数根,则m 的最大值为__________.15.设a ,b 是非零实数,且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-,则b a =_______.16.函数()3sin cos22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为_________. 17.已知cosα17=,cos (α﹣β)1314=,且0<β<α2π<,则sinβ=_____. 18.已知1cos cos 2αβ+=,1sin sin 3αβ+=,则cos()αβ-=______. 19.已知tan (3π+α)=2,则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.20.化简4cos80︒︒=________.三、解答题21.已知锐角,αβ,满足cos αβ==,求αβ+的值. 22.已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边过点(1,2).(1)求23cos 22sin()cos 2232cos sin(2)2ππαπααπααπ⎛⎫⎛⎫+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值;(2)已知,02πβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且sin β=,求cos()αβ-的值. 23.已知3sin()(,)41024x x πππ-=∈. (1)求sin x 的值; (2)求cos(2)6x π+的值.24.已知函数()22cos cos f x a x x x a =-,其中x ∈R ,a 为常数. (1)当1a =时,若函数()()cos 2f x A x θ=+,求A 与tan θ的值;(2)若函数()y f x =在[,]63ππ的图象恒在函数y a =图象的上方,求a 的取值范围25.已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭,3()224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)对任意的[]12,0,x x t ∈,当12x x <时,均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立,求正实数t 的最大值;(2)在满足(1)的条件时,若方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=在区间,4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解,求实数a 的取值范围. 26.已知sin α、cos α分别是方程2255120x x +-=的两根,且α是第二象限角. (1)求cos2α的值; (2)求2sin cos sin 3cos αααα-+的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为()cos 2f x x =,然后发现区间长度刚好是四分之一个周期,从而利用余弦函数的对称性,得到当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,关于cos 2y x =的对称轴对称时,此时最大值与最小值的差值最小,求出此时的最大值和最小值,即可得到答案. 【详解】 函数44222222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=,所以函数()f x 的周期为22T ππ==,区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦的区间长度刚好是函数()f x 的四分之一个周期, 因为()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ,最小值为()N t ,由函数cos 2y x =的对称性可知,当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,关于2y cos x =的对称轴对称时,此时最大值与最小值的差值最小,即函数()()()g t M t N t =-取最小值,区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的中点为428t tt t ππ-+==-,此时()f t 取得最值±1, 不妨()f t 取得最大值()=1M t ,则有cos 2()18t π-=,解得224t k ππ-=,所以,,8t k k Z ππ=+∈所以()cos 2cos 2cos 44N t t k πππ⎛⎫==+==⎪⎝⎭故()()()g t M t N t =-取最小值为12-. 故选:D . 【点睛】关键点睛:本题考查了三角函数的最值,涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用,解题的关键是分析出当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关于cos 2y x =的对称轴对称时,此时最大值与最小值的差值最小.2.D解析:D 【分析】先将函数化简整理,根据相邻对称轴之间距离求出周期,确定1ω=,再求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22x f x x x x x ωωωωω-=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为π22π⨯=,所以2π2πω=,即1ω=,所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π2sin 23f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质,关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式,还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题,属于中档题.3.D解析:D 【分析】先根据题意得tan 3θ=-,再根据正弦的二倍角公式化简得2212tan 1cos sin 21tan 2θθθθ++==-+.【详解】解:由sin 3cos 0θθ+=得tan 3θ=-.所以2222222cos sin 2cos 2sin cos cos sin 2cos sin cos sin θθθθθθθθθθθ+++==++ 22222222cos 2sin cos 12tan 51cos cos cos sin 1tan 102cos cos θθθθθθθθθθθ++-====-++, 故选:D. 【点睛】本题解题的关键是将等式2cos sin 2θθ+变形化简得2212tan cos sin 21tan θθθθ++=+,进而求解,考查运算求解能力,是中档题.4.C解析:C 【分析】 计算出5cos 72=,然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36=的值,即可得出合适的选项. 【详解】因为ABC 是顶角为36的等腰三角形,所以,72ACB ∠=,则112cos72cos 4BCACB AC =∠==,()sin126sin 9036cos36=+=, 而2cos722cos 361=-,所以,131cos364+====. 故选:C. 【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值,考查计算能力,属于中等题.5.A解析:A 【解析】依题意,利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=,即sin sin cos A C B =,又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,故sin cos 0B C =,三角形中sin 0B ≠,故πcos 0,2C C ==,故三角形为直角三角形,故选A.6.D解析:D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+,所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+,再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+,即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+,再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+.由于{}n a 是等差数列,因此1827a a a a +=+,即1827sin()sin()a a a a +=+,所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-,则()55,0d ∈-,所以5210d d ππ=-⇒=-,故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+,即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++,其对称轴是1202a n ππ+=,由题设可得1202123222a ππ+<<,即11110a ππ<<,应选答案D .点睛:解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简,再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-,然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++,借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<,进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<. 7.A解析:A 【分析】先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合cos 2π3)4αα=+得出cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭的值,然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即4sin 29α=,又12tan tan sin 2ααα+=,将4sin 29α=代入便可解出答案.【详解】因为sin22sin coscos2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭,则cos4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭所以24cos22cos1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又4cos2sin229παα⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭,所以4sin29α=,所以1sin cos1229tan4tan cos sin sin cos sin229ααααααααα+=+====.故选:A.【点睛】本题考查诱导公式,考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用,难度一般,解答时公式的变形运用是关键.8.C解析:C【解析】202000000000cos10sin10cos10sin1055cos35(cos10sin10)cos35cos35-+===-选C.9.D解析:D【分析】根据同角三角函数基本关系式求出tanα,再代入两角和的正切公式求tan4απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【详解】cosα=,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭,sinα∴==,sintan2cosααα==-,1tan121tan41tan123πααα+-⎛⎫+===-⎪-+⎝⎭.故选:D【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式,两角和的正切公式,重点考查计算能力,属于基础题型.10.A解析:A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值,再利用三角恒等变换,求出要求式子的值. 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α,∴tanα=3,∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++, 故选A . 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率,三角恒等变换,属于中档题.11.B解析:B 【分析】先化简函数,根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,则为函数含有零的增区间的子集,再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值,则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π,最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭, ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-,22sin sin sin x x x ωωω=+-,sin x ω=,令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈,则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈, 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数, 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得35ω≤,令2,2x k k Z πωπ=+∈,因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值, 所以02ππω≤≤,所以12ω≥, 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选:B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.12.D解析:D 【分析】 由()tan804sin 420α+=得:()tan 804sin 4204sin 6023α+===,然后将()tan 20α+化为()tan 8060α⎡⎤+-⎣⎦,用正切的差角公式求解.【详解】 因为()tan804sin 4204sin 6023α+===,则()()()()tan 80tan 6023tan 20tan 80601tan 80tan 6012αααα+-⎡⎤+=+-===⎣⎦++⋅+ 故选:D . 【点睛】本题考查诱导公式、正切的差角公式的运用,难度一般.解答时要注意整体思想的运用,即观察目标式与条件式角度之间的和差关系,然后运用公式求解.二、填空题13.【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数 【分析】先由cos 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭求得πcos 22θ⎛⎫+⎪⎝⎭的值,进而求得sin 2,cos 2θθ的值,再根据两角差的正弦公式,求得sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】 依题意πcos 22θ⎛⎫+⎪⎝⎭2π42cos 145θ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭,即4sin 25θ-=-,故4sin 25θ=,由于πππ3π0,,,2444θθ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而πcos 04θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭,所以πππ,442θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,故ππ0,,20,42θθ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此3cos 25θ===.所以ππsin 2sin 2cos cos 2sin 333πθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭410-=【点睛】本小题主要考查二倍角公式,考查同角三角函数的基本关系式,考查两角差的正弦公式,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.14.【分析】化简原题等价于函数与函数的图象的交点个数为1做出图像数形结合即可得答案【详解】利用辅助角公式化简可得方程仅有一个实数根等价于函数与函数的图象的交点个数为1结合图象可知当时m 的最大值为故答案为 解析:23π 【分析】化简()cos 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,原题等价于函数()2y f x =-与函数y a =的图象的交点个数为1,做出图像,数形结合,即可得答案. 【详解】利用辅助角公式,化简可得()cos 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 方程()2(0)f x a x m -=≤<仅有一个实数根,等价于函数()2y f x =-与函数y a =的图象的交点个数为1,结合图象可知,当a ⎡∈⎢⎣⎭时,m 的最大值为23π.故答案为:23π. 【点睛】本题考查辅助角公式的应用,三角函数的图像与性质,考查分析理解,数形结合的能力,属中档题.15.【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为(tanθ)∴∴tanθ=tan (kπ)∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式属于中档题 3【分析】先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-.利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+,即可求得结论.【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-,(tanθb a =) ∴10721k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+.tanθ=tan (k π3π+)3=∴3ba=3. 【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用,考查了两角和的正切公式,属于中档题.16.4【分析】采用二倍角公式和诱导公式转化为关于的二次函数再结合二次函数图像求解即可【详解】令则原函数等价于对称轴为画出大致图像如图:显然在时取到最大值所以函数最大值为4故答案为:4【点睛】本题考查诱导解析:4 【分析】采用二倍角公式和诱导公式转化为关于cos x 的二次函数,再结合二次函数图像求解即可 【详解】22()3sin cos 23cos 2cos 12cos 3cos 12f x x x x x x x π⎛⎫=++=+-=+- ⎪⎝⎭,令cos t x =[]11t ,∈-,则原函数等价于()2231f t t t =+-,对称轴为34t =-,画出大致图像,如图:显然在1t =时取到最大值,()max 4f t =,所以函数()3sin cos22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭最大值为4故答案为:4 【点睛】本题考查诱导公式,二倍角公式的应用,二次函数型三角函数最值的求解,属于中档题17.【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为:【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题 解析:32【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值,由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】依题意02πβα<<<,则02πβ>->-,所以02παβ<-<,所以sin 7α==,()sin 14αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---131147=-==【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查两角差的正弦公式,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.18.【分析】把两个条件平方相加再利用两角差的余弦公式求得的值【详解】将两式平方可得:①②将①和②相加可得:即解得故答案为:【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用考查逻辑思维能力 解析:5972-【分析】把两个条件平方相加,再利用两角差的余弦公式求得cos()αβ-的值. 【详解】1cos cos 2αβ+=,1sin sin 3αβ+=,将两式平方可得: 221cos 2cos cos cos 4ααββ++=①,221sin 2sin sin sin 9ααββ++=②, 将①和②相加可得:1322cos cos 2sin sin 36αβαβ++=, 即1322cos()36αβ+-=,解得59cos()72αβ-=-. 故答案为:5972-. 【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.19.2【分析】计算化简得到原式计算得到答案【详解】原式故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式化简齐次式意在考查学生的计算能力解析:2【分析】计算tan 2α=,化简得到原式tan tan 1αα=-,计算得到答案.【详解】()tan 3tan 2παα+==.原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为:2. 【点睛】本题考查了诱导公式化简,齐次式,意在考查学生的计算能力.20.1【分析】利用诱导公式得到通分整理后由利用两角差的正弦公式展开化简后得到答案【详解】故答案为:【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值利用两角差的正弦公式进行化简求值属于中档题解析:1 【分析】利用诱导公式,得到cos80sin10︒︒=,通分整理后,由()sin 20sin 3010︒︒︒=-,利用两角差的正弦公式,展开化简后,得到答案. 【详解】4cos80︒︒2sin 20cos10︒︒︒+= ()2sin 3010cos10︒︒︒︒-=2sin 30cos102sin10cos30cos10︒︒︒︒︒︒-+=1==. 故答案为:1.【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值,利用两角差的正弦公式进行化简求值,属于中档题.三、解答题21.4π【分析】首先利用同角三角函数求sin α,cos β,再求()cos αβ+的值,利用角的范围求αβ+的值. 【详解】∵,αβ为锐角且cos ,sin 510αβ==sin cos cos()cos cos sin sin 2αβαβαβαβ======∴+=-==由02πα<<,02πβ<<得 0αβ<+<π又cos()0αβ+>∴αβ+为锐角 ∴4παβ+=【点睛】关键点点睛:利用两角和的余弦公式求出角的余弦,根据角的范围写出角,属于中档题. 22.(1)3;(2)10. 【分析】(1)利用任意角三角函数的定义求得tan α,再利用诱导公式及同角三角函数基本关系式即可求得要求的式子的值;(2)利用任意角三角函数的定义求得sin ,cos αα,再利用同角三角函数基本关系式求得cos β,再利用两角差的余弦公式即可求得()cos αβ-的值.【详解】(1)依题意tan 2α=, 原式222sin 22sin (sin )sin cos sin cos sin 1tan 1232sin sin 2sin sin cos sin cos tan 121ααααααααααααααααα--++++======-----(2)因为α的终边过点,所以sin 55αα==, 因为02πβ-<<,且sin 10β=-,所以cos β==所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ⎛-=+== ⎝⎭. 【点睛】关键点点睛:该题主要考查的是三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、正余弦的诱导公式以及两角差的余弦公式的应用,正确解题的关键是熟练掌握这些公式.23.(1)45;(2. 【分析】(1))先求出cos()4x π-,再由两角和的正弦公式计算;(2)根据同角关系求得cos x ,二倍角公式得sin 2,cos 2x x ,再由两角和的余弦公式求值. 【详解】 解:(1)因为3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以442x πππ<-<,所以cos 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭10=, 所以sin sin 44x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 4444x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭102102=+ 4.5= (2)因为3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,由(1)知4sin 5x =, 所以3cos 5x =-, 所以24sin 22sin cos 25x x x ==-2167cos 212sin 122525x x =-=-⨯=-,所以cos 2cos 2cos sin 2sin 666x x x πππ⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭7241252252⎛⎫=-⨯--⨯ ⎪⎝⎭2450-=【点睛】思路点睛:本题考查三角函数的求值.解题关键是选用恰当的公式进行计算.解题时先观察“已知角”和“未知角”的关系,然后确定选用的公式及顺序进行计算求值.在应用平方关系求值时还要注意角的范围,以便确定函数值的正负. 24.(1)A,tan θ=;(2)a . 【分析】(1)利用降幂公式与辅助角公式将()y f x =()()2cos 2x A x ϕθ-=+,进而可得答案;(2)问题等价于()f x a ≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,即cos22a x x a ≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,可得sin 211cos2tan x a x x ≤-在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立,从而可得答案 【详解】 (1)当1a =时,()22cos 1cos cos 2222f x x x x x x x x ⎫=-=+=+⎪⎪⎭)()()cos cos2sin sin 22cos 2x x x A x ϕϕϕθ=+=-=+∴A =,sin tan tan tan cos 2ϕθϕϕϕ=-=-=-==-();(2)由函数()y f x =在[,]63ππ的图象恒在函数y a =图象的上方可知,()f x a ≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立故cos22a x x a +≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立即2sin 22sin cos 11cos 22sin tan x x x a x x x ≤==-在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立.∵min11tan tan 3x π⎫==⎪⎪⎝⎭∴a ≤【点睛】方法点睛:对于求不等式恒成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式,便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法. 25.(1)4π;(2)32a <.【分析】(1)构造()()()h x f x g x =-,由单调性的定义得出()h x 在区间[0,]t 上为增函数,结合正弦型函数的单调性,得出正实数t 的最大值.(2)方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=有解,可分离参数为2()112()1()1h x a h x h x +==-++,在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解,再根据()h x 的值域,求解实数a 的取值范围. 【详解】解:(1)依题可知:1()cos 2sin cos 2f x x x x =+sin 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 又∵()()()()1212f x f x g x g x -<-,∴()()()()1122f x g x f x g x -<-, 令()()()h x f x g x =-,则3()222424h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222424x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2x =.∵()()12h x h x <,∴()h x 在[]0,t 上单调递增, ∵22222k x k ππππ-≤≤+,∴()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈,∴4t π≤,即t 的最大值为4π.(2)∵[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=, ∴(2)[()()]10a f x g x a --+-=, ∴2()112()1()1h x a h x h x +==-++,即12sin 21a x =-+在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解,∵1sin 21x -<<,∴32a <. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效. 26.(1)725;(2)109-. 【分析】(1)由韦达定理及α是第二象限角可以求得sin α和cos α的值, 再由22cos 2cos sin ααα=-计算即可;(2)由(1)可知sin α和cos α的值,然后代值计算即可. 【详解】(1)因为sin α、cos α分别是方程2255120x x +-=的两根,所以有1sin cos 512sin cos 25αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,又α是第二象限角,所以sin 0α>,cos 0α<,3sin 5α∴=,4cos 5α=-,2222437cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)由(1)知,3sin 5α=,4cos 5α=-, 3422sin cos 21055934sin 3cos 93555αααα⎛⎫⨯-- ⎪-⎝⎭∴===-+⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭.【点睛】易错点睛:本题易忽略角α的范围,从而导致错解sinα和cosα的值,最后结果错误.。

高考数学 经典错题深度剖析及针对训练 专题19 三角恒等变换

高考数学 经典错题深度剖析及针对训练 专题19 三角恒等变换

专题19 三角恒等变换【标题01】没有挖掘角α的隐含条件导致扩大了角的范围【习题01】已知43sincos2525αα=-=- ,则角α是第 象限的角.【经典错解】24sin 2sin cos 0.2225αααα==>∴ 是第一、二象限的角 所以填“一、二”. 【详细正解】2247sin 2sin cos 0cos 2cos 102225225ααααα==>=-=-< 所以α是第二象限的角,故填“二”.【习题01针对训练】若θ是ABC ∆的一个内角,且1sin cos 8θθ=-,则sin cos θθ-的值为( )A .2-B .2C .2-.2【标题02】三角函数选的不够合理解题方向不当【习题02】已知,(0,)2παβ∈,sin =αβαβ==-则 ( ) A.4π-B.34π C. 4π D. 4π-或4π【经典错解】002222ππππαβαβ<<-<-<∴-<-<sin cos ,(0,)cos sin 5102510παβαβαβ==∈∴==cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ∴-=+==,4παβ∴-=± 故选D . 【详细正解】002222ππππαβαβ<<-<-<∴-<-<sin cos ,(0,)cos sin 2παβαβαβ==∈∴==sin()sin cos cos sin 2αβαβαβ∴-=-==-,4παβ∴-=- 故选A .【习题02针对训练】已知,(0,)2παβ∈,sin ,sin ,+=510αβαβ==则 .【标题03】对三角函数的隐含条件挖掘不够导致出现增解【习题03】已知10,sin cos ,2a p a a <<+=则cos 2a = . 【经典错解】把三角方程平方得1312sin cos sin 2044a a a a p +=\=-<< 022a p \<<cos 2a \=?=?,所以填±【详细正解】把三角方程平方1312sin cos 2sin cos 044a a a a a p+=\=-<<13sin 0cos 0sin cos 02224a pp a a a p a a p\>\<\<<+=>\<<322p a p \<< cos 2a \=-=-, 故填-.【深度剖析】(1)经典错解错在对三角函数的隐含条件挖掘不够导致出现增解. (2)三角函数的化简求值时,如果出现多值,就要注意挖掘已知中的隐含条件,以免增解. (3)在同一个直角坐标系中作出正弦和余弦函数的图像观察得:当02πα<<时,sin cos 0αα+>;当324ππα<<时,sin cos 0αα+>;当34παπ<<时,sin cos 0αα+<. 【习题03针对训练】若sin ,cos θθ是关于x 的方程250x x a -+=(a 是常数)的两根,(0,)θπ∈,求cos 2θ的值.【标题04】解三角方程观察三角函数的图像不到位导致漏解【习题04】方程sin x =的解集为 . 【经典错解】由正弦函数的图像可知方程的解集为{|2,}4x x k k z ππ=+∈. 【详细正解】由正弦函数的图像可知方程的解集为3{|22,}44x x k k k z ππππ=++∈或.【习题04针对训练】已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--.(1)若x 是某三角形的一个内角,且()f x =,求角x 的大小;(2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的最小值及取得最小值时x 的集合.【标题05】没有发现已知中的,αβ的隐含范围所以导致出现增解【习题05】已知,αβ均为锐角,且cos αβ==,则αβ-= .【经典错解】因为α为锐角,cos sin 5αα=∴==因为β为锐角,cos sin 10ββ=∴==所以cos()cos cos sin sin 105102αβαβαβ-=+=+=因为00022222πππππββααβ<<∴-<-<<<∴-<-<,所以αβ-=4π±.【详细正解】(前面同上)所以αβ-=4π±.因为,αβ均为锐角,且cos 10αβ==cos cos αβαβ>∴<002παβαβ∴-<∴-<-< 所以αβ-=4π-. 故填4π-.【习题05针对训练】若31sin cos ),,0(-=+∈a a a 且π,则=a 2cos ( ) A.917 B.917± C.917- D.317【标题06】在求角时忽略了隐含的角的范围 【习题06】已知,(0,)αβπ∈ ,且11tan()tan 27αββ-==- ,求2αβ- 的值.【经典错解】1242tan 2()1314αβ⨯-==- 所以tan(2)tan[2()]αβαββ-=-+ 41371411()37-==-⨯- 002200απαπβππβ<<∴<<<<∴-<-< 所以35222,.444πππαβπαβπ-<-<∴-=-或【详细正解】1242tan 2()1314αβ⨯-==- 所以tan(2)tan[2()]αβαββ-=-+ 41371411()37-==-⨯- 1330tan 1tan 744βπβππβπ<<=->-=∴<<113127tan tan[()]=10114341(27ππβπααββα-∴-<-<-=-+=<∴<<-⨯- )所以30222244ππαπαβαβπ<<∴-<-<-∴-=-【习题06针对训练】)在平面直角坐标系xoy 中,以ox 轴为始边,锐角α的终边与单位圆在第一象限交于点A ,且点A 的纵坐标为1010,锐角β的终边与射线70x y -= (0x ≥)重合. (1)求tan tan αβ和的值; (2)求2αβ+的值.【标题07】三角函数的周期公式中的w 理解错误 【习题07】已知函数()4cos sin()(0)4f x wx wx w π=⋅+>的最小正周期为π,求w 的值.【经典错解】()4cos sin()4cos cos )42f x wx wx wx wx wx π=⋅+=⋅+21cos 2cos 2wxwx wx wx wx wx +=+=+=2)4wx wx π+=++因为()f x 的最小正周期为π,且w >0w =2.【详细正解】()4cos sin()4cos cos )4f x wx wx wx wx wx π=⋅+=+21cos 2cos 2wxwx wx wx wx wx +=+=+=2)4wx wx π+=++因为()f x 的最小正周期为π,且w >0w =1.【习题07针对训练】设函数2()sin cos f x x x x ωωω=-(0)w >,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π,(1)求w 的值;(2)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值.【标题08】求单调区间时忽略了函数的定义域 【习题08】设函数(sin cos )sin 2().sin x x xf x x-=(1)求()f x 的定义域及最小正周期;(2)求()f x 的单调递增区间. 【经典错解】(1)由sin 0x ≠,得()x k k Z π≠∈,故()f x 的定义域为{}|,,.x x R x k k Z π∈≠∈∵(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=2cos (sin cos )x x x =-2sin 22cos x x =-sin 2cos 21x x =--)14x π=-- ∴函数()f x 的最小正周期2.2T ππ==(2)∵函数()sin f x x =的单调递增区间为[2,2]22k k k z p pp p -+? 由222242k x k k z p p pp p -???,得388k x k k z p pp p -#+?∴函数()f x 的单调递增区间为3[,]88k k k z p pp p -+? 【详细正解】(1)同上.(2)∵函数()sin f x x =的单调递增区间为[2,2]22k k k z p pp p -+? 由222242k x k k z p p pp p -???得388k x k k z p pp p -#+?.∴函数()f x 的单调递增区间为3[,]88k k k z p pp p -+? 因为()f x 的定义域为{}|,,.x x R x k k Z π∈≠∈∴函数()f x 的单调递增区间为3[,k ),(k ,]88k k k z p pp p p p -+?【习题08针对训练】已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-,x ∈R . (1)求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期; (2)求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间.【标题09】没有挖掘出已知的重要条件 【习题09】已知函数2()2cos cos()sin cos 6f x x x x x x π=--+.(1)求()f x 的最小正周期;(2)把()f x 的图象向右平移m 个单位后,在[0,]2π是增函数,当||m 最小时,求m 的值.【经典错解】(1)2()2cos cos()sin cos 6f x x x x x x π=-+22cos (cos cossin sin )sin cos 66x x x x x x ππ=++22sin cos sin cos x x x x x x ++22sin )2sin cos x x x x =-+2sin 22sin(2)3x x x π=+=+ ∴T =22ππ=(2)()2sin(22)3g x x m π=-+由2222232k x m k πππππ-≤-+≤-得单调递增区间为51[,]1212m k m k ππππ-++++.∵()g x 在[0,]2π是增函数,所以当0k =时,函数的增区间是5[,]1212m m pp -++ 所以555512121212122m m m m p p p p p p ì-+?ïï\#\=íï+?ïî【详细正解】(1)同上. (2)()2sin(22)3g x x m π=-+由2222232k x m k πππππ-≤-+≤-得单调递增区间为51[,]1212m k m k ππππ-++++.∵()g x 在[0,]2π是增函数,而函数的最小正周期恰好是p ,所以[0,]2p刚好是半个周期,∴5012m k ππ-++=,512m k ππ=-,∴当||m 最小时,m =512π.【习题09针对训练】已知函数2sin y wx = 在区间[,]34p p-上为增函数,则正实数w 的取值范围是 .【标题10】使用韦达定理时漏了0∆≥【习题10】已知sin α、cos α 是关于x 的方程286210x kx k +++=的两个根,求实数k 的值.【经典错解】由根与系数的关系,得23sin cos 92141221168sin cos 8k k k k αααα⎧+=-⎪+⎪∴=+⎨+⎪=⎪⎩ 1029k ∴=或- 【详细正解】由根与系数的关系,得223648(21)0392110sin cos 1224168921sin cos 8k k k k k k k αααα⎧⎪∆=-+≥⎪+⎪+=-∴=+∴=⎨⎪+⎪=⎪⎩或-把2k =代入0∆≥ 检验得不成立 ,所以109k =-.【习题10针对训练】设A 是三角形的内角,且sin A 和cos A 是关于x 方程2255x ax - 120a -=的两个根.(1)求a 的值; (2)求tan A 的值.【标题11】审题不清忽略了题目中的已知条件导致出现双解【习题11】已知324ππβα<<<,12cos()13αβ-=,3sin()5αβ+=-,求cos 2α的值.【经典错解】332442ππβππβ<<∴-<-<-3125cos()sin()24441313πππαπαβαβαβ<<∴-<-<-=∴-==±3333sin()242425ππαπβππαβπαβ<<<<∴<+<+=-4cos()5αβ∴+==- cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()ααβαβαβαβαβαβ∴=-++=-+--+1245333()()13513565=---=- 或cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()ααβαβαβαβαβαβ∴=-++=-+--+1245363()()13513565=-+-=- 3363cos 26565α∴=-或- 【详细正解】332442ππβππβ<<∴-<-<-310024444πππαππαβαβαβαβ<<∴-<-<>∴->∴<-<125cos()sin()1313αβαβ-=∴-== 3333sin()242425ππαπβππαβπαβ<<<<∴<+<+=-4cos()5αβ∴+==- cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()ααβαβαβαβαβαβ∴=-++=-+--+1245333()()13513565=---=-παβ<<<,且4c o s c o s s i n s i n5αααβ+=,4tan3β=,则t a nα= .【习题11针对训练】已知02高中数学经典错题深度剖析及针对训练 第19讲:三角恒等变换参考答案【习题01针对训练答案】Dsin sin ,(0,)cos cos 2παβαβαβ==∈∴==cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=+==,4παβ∴+= 故填4π . 【习题03针对训练答案】725-【习题03针对训练解析】由题意知,1sin cos 5θθ+=, ∴21(sin cos )25θθ+= , 即12412sin cos 2sin cos 02525θθθθ+=∴=-<, 即sin θ与cos θ异号,1sin cos 5θθ+= >0,∴332242πθππθπ<<∴<< ,则cos2θ=725==-,所以7cos 225θ=-.【习题04针对训练答案】(1)524x π=或1324x π=;(2)()f x的最小值为,此时x 的取值集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【习题04针对训练解析】(1)2222()(cos sin )(cos sin )sin 2f x x x x x x =-+-cos 2sin 2)4x x x π=-=-由)4x π-=,即1sin(2)42x π-=,所以2246x k πππ-=+,k Z ∈,或52246x k πππ-=+,k Z ∈ 解得524x k ππ=+,k Z ∈,或1324x k ππ=+,k Z ∈,因为0x π<<, 所以524x π=,或1324x π= (2)由(1)知())4f x x π=-,因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以()1f x ≤,所以当且仅当242x ππ-=,即38x π=时,()f x取得最小值()f x 的最小值为x 的取值集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 98cos sin 22sin -==a a a ,因为ππ2223<<a ,所以9172cos ,02cos =>a a ,故选A .【习题06针对训练答案】(1)11,37;(2)4π. 【习题06针对训练解析】(1)由条件得sin α=α 为锐角,故 cos 0α>且cos α=, 所以1tan 3α=.因为锐角β的终边与射线70x y -=(0x ≥)重合,所以1tan 7β= (2) 1tan 3α=,1tan 7β=()11tan tan 137tan 111tan tan 2137αβαβαβ++∴+===--⋅ ()[]11tan tan()32tan 2tan ()1111tan tan()132ααβαβααβααβ+++∴+=++===-⋅+-⋅ 02πα<<,x y tan =在)2,0(π上单调递增,且4tan1tan πα=< ,∴40πα<<,同理40πβ<<,∴4320πβα<+< 从而24παβ+= 【习题07针对训练答案】(1)1;(21-.【习题08针对训练答案】(1)()12f π=,函数()f x 的最小正周期为π;(2)函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【习题08针对训练解析】()f x =sin 2cos 2x x-)4x π=-.(1)())12242f πππ=⋅-==.显然,函数()f x 的最小正周期为π. (2)令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得37ππππ88k x k ++≤≤,k ∈Z . 又因为[]0,πx ∈,所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【习题09针对训练答案】3(0,]2【习题09针对训练解析】2222k wx k p p p p -#+2222k k x w w w w p p p p \-#+ (k ∈z ),所以函数的增区间为22[,]22k k k z w w w wp p p p-+? 由于函数的图像过原点且是奇函数 0k =时,增区间为[,]22w w p p -,所以23302420w w w w p pp p ì-?ïïïï砛<?íïï>ïïî所以正实数w 的取值范围是3(0,]2.﹣25时,不符合0∆≥,所以a =1.(2)由1sin cos (1)512sin cos (2)25A A a A A a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ,可得1sin cos (1)512sin cos (2)25A A A A ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.再根据sin A >0,cos A <0,求得43sin 4sin cos tan 55cos 3A A A A A ==-∴==- 【习题11针对训练答案】724【习题11针对训练解析】∵02παβ<<<,且4cos cos sin sin 5αααβ+=, ∴4cos()0052222ππππαβαβαβ-=<<-<-<∴-<-<300sin()25παβαβαβαβ<∴-<∴-<-<∴-=- 4tan sin()3373tan()tan 4cos )44241tan 3ααβαβααβα--∴-==-=-∴=-+ 即( 故填724。

高考三角恒等变换易错点剖析

高考三角恒等变换易错点剖析
殊角转化 ; 解法二是两个非特殊角直接转化 为两 个 特 殊角 的 和 与差 的方 向 出发 , 利 用两 角和与差的正弦公式求解 ; 解法三来 自于高
中三 年平 时上 课 、 学习 、 复 习的积 淀 .
2 已知 角与所 求 角的相 互转化
例2 ( 2 0 1 6 年・ 全 国 Ⅱ卷理科第 9 题)
患 于未然 .
解 析 三 :s i n 1 5 o +s i n 7 5 。 :_ , /  ̄-. f+
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易错 点 一
角的 合理转 化
易错 点 剖析 : 未想 到 用 转化 为 特殊 角 的 思路 来 解决 问题 是本 题 的最 大易 错点 . 另一
在三角恒等变换 中, 往往会 出现较多相 异 的角 , 首先 看 能 否 化非 特 殊 角 为特 殊 角 , 其次应分析寻求 已知角与所求角之 间的关 系, 看 它们 是 否 有 倍 角 、 半角 、 互余 、 互 补 的 关系 , 它们 角 之 间 的关 系 , 是最 重 要 的关 系 , 是我们解决三角恒等变换问题最重要 的眼 睛, 更 是解 决 它 们 的关 键 ; 再 次 联 想 所 学 的 倍角公 式 、 辅助 角公式 、 降幂公式 、 诱 导公 式、 两 角 和 与差 公 式 、 同角 三 角 函数 间 的公 式 中的 一 到 两 种 , 适 时应 用 它 们 , 消 除 已知 与所求之间的差异 , 就能 自然顺利地求解三 角恒 等变 换 问题 . 1 非特 殊 角转化 为特 殊 角 例1 ( 2 0 1 5年 ・ 四川卷 理科第 l 2 题)
s i n 1 5 。 +s i n7 5
— —
方面本题更是培养学生转化角 的能力 的典 型素材 . 解法一考虑将两个不同的角转化为

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(答案解析)(1)

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(答案解析)(1)

一、选择题1.已知23cos sin 2αβ+=,1sin sin cos 3αββ+=,则)os(c 2αβ+=( )A .49B .59C .536D .518-2.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin 2cos21αα-=,则cos α的值为( )A .15B C .3D3.若10,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A B .C . D 4.函数()2cos ||cos 2f x x x =-在[,]x ππ∈-上的单调增区间为( ) A .,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.已知2tan 23θ=,则1cos sin 1cos sin θθθθ-+++的值为( ) A .23 B .23-C .32D .32-6.已知ππ2α<<,且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos α的值为( )A .10 B .10-C .10D .10-7.已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin x 的值为( )A .10-B .10 C .10D .10-8.已知3cos 25α=,()0,2απ∈,则sin 4απ+⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A B . C D .9.求值0cos351sin 20=-( )A .1B .2C .2D .310.角α的终边与单位圆的交点坐标为31(,)2,将α的终边绕原点顺时针旋转34π,得到角β,则cos()αβ+=( ) A .624- B .624+ C .314- D .011.已知()()()ππcos sin 22cos πtan πf ααααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---,则2020π3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A .3-B .12-C .12D .3212.人体满足黄金分割比的人体是最美人体,0.618是黄金分割比512m -=的近似值,黄金分割比还可以表示为2cos72︒,则24m m -( ) A .4B .51+C .2D .51-二、填空题13.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3tan 24α=.则2sin 2cos αα+=______. 14.2cos10sin 20sin 70︒︒︒-=______.15.如图,在边长为1的正方形ABCD 中,P ,Q 分别在边BC ,CD 上,且PB QD PQ +=,则PAQ ∠的大小为__________.16.函数()3sin cos22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为_________. 17.在ABC ∆中,5AB =,BAC ∠的平分线交边BC 于D .若45ADC ∠=.5BD 则sin C =___________.18.已知锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=,则()tan cot αβα+=______.19.已知3tan 4α=-,()1tan 4αβ+=,则tan β=______. 20.已知正n 边形的边长为a ,其外接圆的半径为R ,内切圆的半径为r .给出下列四个结论:①2sina R n π=;②2π2sina R n=;③2tan2aR r nπ+=;④π2tana R r n+=. 其中正确结论的序号是______.三、解答题21.已知函数()222cos f x x x m =++在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6. (1)求常数m 的值以及函数()f x 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的最小值 (2)将函数()f x 的图象向下平移4个单位,再向右平移4π个单位,得到函数()g x 的图象 (i )求函数()g x 的解析式;(ii )若关于x 的方程2()0g x t -=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数解,求实数t 的取值范围.22.已知51,0,,sin ,cos()273παβααβ⎛⎫∈=+=- ⎪⎝⎭. (1)求tan2α的值; (2)求cos(2)αβ+的值. 23.设函数23()cos 3sin 2f x x x x =+-. (1)求函数的单调递减区间;(2)将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4π个单位,得到函数()y g x =的图象,求()g x 在3[,]44ππ-上的值域. 24.已知300cos 25παβπα<<<<=,,. (1)分别求cos 2sin 2sin 2ααα,,的值;(2)若1sin()3αβ+=,求cos β.25.已知函数()212sin 26f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的对称中心和最小正周期; (2)若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合. 26.已知函数()2sin 22cos 1f x a x x =+-,再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知,求:(Ⅰ)()f x 的最小正周期; (Ⅱ)()f x 的单调递增区间.条件①:()f x 图像的对称轴为8x π=;条件②:14f π⎛⎫=⎪⎝⎭;条件③:a =注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】将所给条件分别用二倍角公式变形可以得到2cos cos22αβ-=,22sin sin 23αβ+=,然后平方相加化简计算即可求得结果. 【详解】 由23cos sin2αβ+=知2cos cos22αβ-=①,在1sin sin cos 3αββ+=两边同时乘以2得22sin sin 23αβ+=②,将①②两个等式平方相加得()4414cos 249βα+-+=+,解得()5cos 236αβ+=.故选:C. 【点睛】思路点睛:出现两个角的三角函数的和差,求两角和的正弦或余弦时常采用平方相加或平方相减,化简计算可得到两角和或差的三角函数值.2.D解析:D 【分析】利用二倍角公式化简得到2sin cos ,αα=再利用同角的平方关系求解. 【详解】由题得24sin cos 12cos 1,ααα+-= 所以24sin cos 2cos ,ααα= 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以2sin cos ,αα=因为22221sin cos 1,cos cos 14αααα+=∴+=,所以24cos ,(0,),cos 52πααα=∈∴= 故选:D 【点睛】方法点睛:三角函数求值常用的方法有:三看(看角、看名、看式)三变(变角、变名、变式).3.A解析:A 【分析】 由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】 因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭,所以3444πππα<+<,sin +4πα⎛⎫= ⎪⎝⎭因为02πβ-<<,所以4422ππβπ<-<,又因为sin 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭,所以cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133339=⨯+=. 故选:A.【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的区别和联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;(2)而看“函数名称”看函数名称之间的差异,从而确定使用公式,常见的有“切化弦”;(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式通分”等.4.A解析:A 【分析】先把函数解析式化简,然后令cos t x =,利用复合函数单调性求解即可 【详解】 当[]0,x π∈时,22()2cos ||cos 2=2cos (2cos 1)2cos 2cos 1f x x x x x x x =---=-++,令cos [1,1]t x t =∈-,,则cos t x =在[]0,x π∈上为减函数;而2221y t t =-++ 对称轴为12t =, ∴2221y t t =-++在1[1,]2t ∈-上单增,在1[,1]2t ∈上单减, ∴()y f x =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数,在,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数. 又()2cos ||cos 2f x x x =-为偶函数,其图像关于y 轴对称, ∴()y f x =在,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上为增函数,在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数. 故()y f x =的单调增区间为,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选:A 【点睛】复合函数的单调性口诀:同增异减,其具体含义为: 内外函数的单调性相同(同),则复合函数为增函数(增); 内外函数的单调性相反(异),则复合函数为减函数(减).5.A解析:A 【分析】根据半角公式得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-,再分子分母同除以2cos 2θ得2tan 1cos sin 21cos si tan2n 31ta 2n 2θθθθθθθ-+=++=++. 【详解】解:根据半角公式得:22cos 12sin2cos 122θθθ=-=-,sin 2sincos22θθθ=所以22222sin 2sin cos sin sin cos2222222cos 2sin cos cos sin cos 21cos sin 1cos 222n 2i 2s θθθθθθθθθθθθθθθθ-+==++++++, 对上述式子分子分母同除以2cos 2θ得: 222sin sin cos tan22222cos s 42ta in cos 22n 1cos sin 1029321cos sin 1531tan 1322θθθθθθθθθθθθθ+-+==+++===++++. 故选:A. 【点睛】本题解题的关键在于利用半角公式化简得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-,进而构造齐次式求解即可,考查运算求解能力,是中档题. 6.D解析:D 【分析】根据同角三角函数基本关系得出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,再用两角差的余弦公式即可解题. 【详解】 因为ππ2α<<,所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以4cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, 所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43525210=-⨯+⨯=-. 故选:D 【点睛】方法点睛:该题考查的是有关三角函数求值问题,解题方法如下: (1)利用同角三角函数关系式,结合角的范围,求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (2)凑角,利用差角余弦公式求得结果.7.B解析:B 【分析】 先求得πsin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,然后利用ππsin sin 44x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,展开后计算得出正确选项. 【详解】 由于πππ3π0,,,2444x x ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以π4sin 45x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故ππsin sin 44x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππππsin cos cos sin4444x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43525210=⨯-⨯=,故选B. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.8.C解析:C 【分析】 根据2α是4α的二倍角求出sin α的值,再求cos 4α和sin 4απ+⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为2α是4α的二倍角,所以2311cos152sin 4225αα--===, 又()0,2απ∈,所以0,42a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 4545αα===cos ;所以sin sin sin cos cos sin 4444445252104απαπαπαπ+⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:C. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式,考查了同角公式,考查了两角和的正弦公式,属于中档题.9.C解析:C【解析】202000000000cos 10sin 10cos10sin1055cos35(cos10sin10)cos35cos35-+===-选C. 10.A解析:A 【分析】先求α的正余弦三角函数,再求β的正余弦三角函数,然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案. 【详解】由角α的终边经过点1)2,得1sin ,cos 2αα==, 因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转34π得到的,所以3331sin sin()sin cos cos sin ()444222πππβααα=-=-=⨯-=3331cos cos()cos cos sin sin (4442πππβααα=-=+=+=1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-==, 故选:A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式的应用,属于中档题.11.B解析:B 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式,化简函数式,最后代值计算即可. 【详解】()()()cos sin 22cos tan f ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--- ()()sin sin 2cos tan πααπαα⎡⎤⎛⎫-⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+⋅- ()()sin cos cos tan αααα-⋅-=-⋅- sin cos sin cos cos ααααα⋅=⋅cos α=,所以2020202020201cos cos cos 673cos 333332f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选:B . 【点睛】本题考查利用诱导公式和同角三角函数关系式化简三角函数式并求值,注意三角函数值的符号变化,属于基础题.12.C解析:C 【分析】根据2cos72m ︒=,结合三角函数的基本关系式,诱导公式和余弦的倍角公式,准确运算,即可求解. 【详解】根据题意,可得2cos72m ︒=,则2sin144cos54︒==︒()2sin 90542cos542cos54cos54︒+︒︒===︒︒. 故选:C . 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值,其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式,诱导公式和余弦的倍角公式,准确运算是解答的关键,着重考查推理与运算能力.二、填空题13.【分析】由正切的二倍角公式求得用正弦二倍角公式变形化用1的代换化求值式为关于析二次齐次分式再弦化切后求值【详解】因为所以或(舍)所以故答案为:【点睛】本题考查二倍角公式考查同角间的三角函数解题关键是解析:12- 【分析】由正切的二倍角公式求得tan α,用正弦二倍角公式变形化用“1”的代换化求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式,再弦化切后求值.【详解】 因为22tan 3tan 21tan 4ααα==-,所以tan 3α=-或13(舍), 所以222222sin cos cos 2tan 11sin 2cos sin cos tan 12ααααααααα+++===-++. 故答案为:12-.【点睛】本题考查二倍角公式,考查同角间的三角函数.解题关键是由221sin cos αα=+化待求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式,然后利用弦化切求值.14.【分析】观察角之间的特殊关系:运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解【详解】原式故填:【点睛】本题考查两角差的余弦公式和诱导公式关键在于观察出题目的角之间的特殊关系属于中档题【分析】观察角之间的特殊关系:103020=-,709020=-,运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解. 【详解】原式()2cos(3020)sin 20sin 9020︒︒︒︒--=-()2cos30cos 20sin30sin 20sin 20cos 20︒︒︒︒+-=1220sin 20sin 202cos 20︒︒︒︒⎫+-⎪⎝⎭=20sin 20sin 2020cos 20cos 20︒︒︒︒︒︒+-===. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式和诱导公式,关键在于观察出题目的角之间的特殊关系,属于中档题.15.【分析】先分别设则在中由勾股定理得再分别表示出之后利用正切的和角公式求即可解决【详解】解:设则因为是直角三角形所以由勾股定理得:化简得在中在中所以又因为所以故答案为:【点睛】本题主要考查正切的和角公解析:4π【分析】先分别设PB x =,DQ y =,则在PCQ △中,由勾股定理得1xy x y -=+,再分别表示出tan BAP ∠,tan DAQ ∠,之后利用正切的和角公式求()tan BAP DAQ ∠+∠即可解决.【详解】解:设PB x =,DQ y =,则1CP x =-,1CQ y =-, 因为PCQ △是直角三角形,PB QD PQ +=,所以由勾股定理得:()()()22211x y x y -+-=+,化简得1xy x y -=+, 在ABP △中,tan BPBAP x AB∠==, 在ADQ △中,tan DQDAQ y AD∠==, 所以()tan tan tan 11tan tan 1BAP DAQ x yBAP DAQ DAQ BAP xy∠+∠+∠+∠===-∠∠-,又因为02BAP DAQ π<∠+∠<,所以,=4PAQ π∠故答案为:4π 【点睛】本题主要考查正切的和角公式,数据处理能力与运算能力,是中档题.16.4【分析】采用二倍角公式和诱导公式转化为关于的二次函数再结合二次函数图像求解即可【详解】令则原函数等价于对称轴为画出大致图像如图:显然在时取到最大值所以函数最大值为4故答案为:4【点睛】本题考查诱导解析:4 【分析】采用二倍角公式和诱导公式转化为关于cos x 的二次函数,再结合二次函数图像求解即可 【详解】22()3sin cos 23cos 2cos 12cos 3cos 12f x x x x x x x π⎛⎫=++=+-=+- ⎪⎝⎭,令cos t x =[]11t ,∈-,则原函数等价于()2231f t t t =+-,对称轴为34t =-,画出大致图像,如图:显然在1t =时取到最大值,()max 4f t =,所以函数()3sin cos22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭最大值为4故答案为:4 【点睛】本题考查诱导公式,二倍角公式的应用,二次函数型三角函数最值的求解,属于中档题17.【分析】由已知结合正弦定理可求结合为的平分线可得再由结合和角正弦公式即可求解【详解】中由正弦定理可得所以为的平分线即故答案为:【点睛】本题考查角的正弦值的计算涉及正弦定理以及两角和的正弦公式的应用考 解析:25【分析】由已知结合正弦定理可求sin BAD ∠,结合AD 为BAC ∠的平分线可得BAD CAD ∠=∠,再由()sin sin 45C DAC =∠+,结合和角正弦公式即可求解.【详解】ABD ∆中,由正弦定理可得,55sin sin135BAD =∠,所以10sin 10BAD ∠=, AD 为BAC ∠的平分线即10sin sin 10BAD CAD ∠=∠=, ()102310225sin sin 451021025C DAC ∴=∠+∠=⨯+⨯=. 故答案为:25.【点睛】本题考查角的正弦值的计算,涉及正弦定理以及两角和的正弦公式的应用,考查计算能力,属于中等题.18.2【分析】将三角函数式配成与由正弦函数和角与差角公式展开即可求解【详解】锐角满足变形可得由正弦和角与差角公式展开可得合并化简可得等式两边同时除以可得即故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值解析:2 【分析】将三角函数式配成()αβα++与()αβα+-,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解. 【详解】锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=变形可得()()sin 3sin αβααβα++=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦由正弦和角与差角公式展开可得()()()()sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos αβαααβαβαααβ+++=+-+合并化简可得()()4sin cos 2sin cos ααβαβα+=+ 等式两边同时除以()2cos cos αβα+ 可得()2tan tan ααβ=+ 即()tan cot 2αβα+= 故答案为:2 【点睛】本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题.19.【分析】根据以及两角差正切公式求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查两角差正切公式考查基本分析求解能力属基础题 解析:1613【分析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++-故答案为:1613【点睛】本题考查两角差正切公式,考查基本分析求解能力,属基础题.20.①③【分析】首先根据正边形的某个边作出内切圆和外接圆的半径的图形分析与角的关系判断选项【详解】如图是正边形的外接圆的半径是内切圆的半径设在中综上可知正确的选项是①③故答案为:①③【点睛】关键点点睛:解析:①③ 【分析】首先根据正n 边形的某个边,作出内切圆和外接圆的半径的图形,分析,R r 与角的关系,判断选项. 【详解】如图,OA 是正n 边形的外接圆的半径,OB 是内切圆的半径, 设,OA R OB r ==,nπα=,2a AB =,在Rt OAB 中,2sin2sina a R nnππ==coscos2sina n r R nnπππ=⋅=,21cos 2cos 22sin 4sin cos22a a n n R r n n nπππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴+===cos 22sin 2tan 22a a n n n πππ=, 综上可知正确的选项是①③.故答案为:①③ 【点睛】关键点点睛:本题的关键是作图,根据正n 边形的某个边,作出示意图,同时相邻的R 与r 的夹角是nπ,下面的问题就迎刃而解. 三、解答题21.(1)3, 3(2)(i )()2sin(2)3g x x π=-(ii )234t ≤<【分析】(1)化简函数解析式,根据自变量范围求函数最值即可;(2)先由平移变换得到函数()g x 解析式,再由数形结合求t 的取值范围. 【详解】 (1)2()322cos 32cos 212sin(2)16f x x x m x x m x m π=++=+++=+++,又72666x πππ≤+≤6x π∴=时,max ()216f x m =++=,解得3m =,当x π=时,min 1()2()3132f x =⨯-++=. (2)(i )()f x 的图象向下平移4个单位,再向右平移4π个单位得函数 ()2sin[2()]442sin(2)463g x x x πππ=-++-=-,(ii )由2()0g x t -=可得()2tg x =, 在同一直角坐标系内作出(),2ty g x y ==的图象,322t≤<时,即234t ≤<时,图象有2个交点, 即2()0g x t -=有2个根. 【点睛】关键点点睛:求方程2()0g x t -=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时有2个根,可转化为(),2t y g x y ==有2个不同的交点,数形结合求解即可,属于中档题. 22.(1)6-2)26102+.【分析】先判断角的范围,利用22sin cos 1αα+=求出 cos α,再利用和差角公式求出tan2α,cos(2)αβ+的值【详解】解:(1)因为50,sin 27παα<<=,所以6sin 56cos tan 7cos 12αααα===, 2562tan 6tan 2206251tan 124ααα===---(2)因为1,0,,cos()23παβαβ⎛⎫∈+=- ⎪⎝⎭,所以sin()3αβ+=. cos(2)cos[()]cos cos()sin sin()αβααβααβααβ+=++=+-+1537⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键: (1)角的范围的判断;(2)根据条件进行合理的拆角,如(),2()βαβααβαβα=+-+=++等.23.(1)511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈;(2)3[2-. 【分析】(1)由二倍角公式,两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,然后结合正弦函数的单调区间求解.(2)由图象变换得出()g x ,由整体法可求值域. 【详解】解:(1)()23()22sin 12f x x x =+-=32cos22x x -23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭因为:3222232k x k πππππ+≤-≤+5111212k x k ππππ⇔+≤≤+.所以函数的单调递减区间是511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈(2)由题可知, ()))4312g x x x πππ=+-=-.因为1344x ππ-≤≤⇔123123x πππ-≤-≤,所以sin()1212x π-≤-≤.故()g x 在3[,]44ππ-上的值域为3[2-. 【点睛】方法点睛:本题考查两角差的正弦公式,二倍角公式,考查正弦函数的性质.此类问题的解题方法是:利用二倍角公式降幂,利用诱导公式、两角和与差的正弦(余弦)公式展开与合并,最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式,然后结合正弦函数性质求解. 如果求函数值域,则可由x 的范围求出x ωϕ+的范围,然后由正弦函数性质得值域.24.(1)724cos 2,sin 2,sin 252525ααα=-==;(2)415- . 【分析】 (1)先由30cos 25παα<<=,,求出sin α,然后分别求cos 2sin 2sin 2ααα,,的值; (2)先判断αβ+的范围,再凑角()βαβα=+-,利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】 (1)因为30,cos 25παα<<=,所以24sin 1cos 5αα.所以27cos 22cos 1,2524sin 22sin cos ,25sin 25αααααα=-=-====;(2)因为0,02παβπ<<<<,所以302παβ<+<, 因为14sin()sin 35αβα+=<=,所以αβ+不可能是锐角,所以cos()3αβ+==-, 所以4cos cos[()]cos()cos sin()sin 15βαβααβααβα-=+-=+++=. 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键: (1)角的范围的判断;(2)根据条件进行合理的拆角,如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-,等. 25.(1)最小正周期T π=;对称中心为,0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,;(2)()max 1f x =,自变量x 的集合为3π⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【分析】(1)先利用两角和与差的余弦公式及辅助角公式将函数化成标准形式11()sin 2262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,再利用周期公式计算周期,整体代入法计算对称中心即可;(2)利用整体代入法,由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得52666x πππ-≤-≤,根据正弦函数最值的特征得到何时取最值即可.【详解】解:(1)()212sin 26f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭31cos 21cos 2242xx x -=-+-11112cos 2sin 2442262x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 故最小正周期22T ππ==,令2,6x k k π-=π∈Z ,解得,122k x k Z ππ=+∈,故对称中心为,0122k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭,; (2)∵02x π≤≤,∴52666x πππ-≤-≤, 当226x ππ-=时,max sin 216πx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,故()max 111122f x =⨯+=,此时3x π=,即自变量x 的集合为3π⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】 方法点睛:求三角函数性质问题时,通常先利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及辅助角公式将函数化简成基本形式()()sin f x A x b ωϕ=++,再利用整体代入法求解单调性、对称性,最值等性质.26.(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ)答案见解析. 【分析】选① (Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降幂后,使用辅助角公式化简得())f x x ϕ=+ ,根据对称轴求得ϕ的值,进而求得a 的值,得到函数的解析式,求得最小正周期;(Ⅱ) 根据正弦函数的单调性,利用整体代换法求得()f x 的递增区间.选② (Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降幂得到()f x sin2cos2a x x =+,根据选择的条件求得a 的值,得到函数的解析式,并利用辅助角公式化简,然后求得()f x 的最小正周期; (Ⅱ)根据正弦函数的单调性,利用整体代换法求得()f x 的递增区间.选③逆用余弦的二倍角公式降幂后,使用辅助角公式化简得到()f x 2sin(2)6x π=+然后求得()f x 的最小正周期;(Ⅱ)根据正弦函数的单调性,利用整体代换法求得()f x 的递增区间. 【详解】选① (()f x 图像的一条对称轴为8x π=)解:(Ⅰ) ()2sin 22cos 1f x a x x =+-sin2cos2a x x =+22x x ⎛⎫=+⎪⎭)x ϕ=+(其中1tan aϕ=) 因为()f x 图像的一条对称轴为8x π=所以()1sin()84f ππϕ=+=即有,42k k Z ππϕπ+=+∈所以,4k k Z πϕπ=+∈所以1tan tan()tan 144k aππϕπ=+===1a故())4f x x π=+ 所以()f x 的最小正周期为:22||2T πππω=== (Ⅱ) +22+2,242k x k k Z πππππ-≤+≤∈3+22+2,44k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 3++,88k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为3[+],k 88k Z ππππ-∈+k , 选② (()1)4f π=解:(Ⅰ)()2sin 22cos 1f x a x x =+-sin2cos2a x x =+()sin cos 1422f a πππ∴=+= 1a()sin 2cos 2f x x x =+22)x x =)4x π=+ 所以()f x 的最小正周期为:22||2T πππω=== (Ⅱ) +22+2,242k x k k Z πππππ-≤+≤∈ 3+22+2,44k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 3++,88k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为3[+],k 88k Z ππππ-∈+k ,选③(a =解:(I )()222cos 1f x x x =+-2cos2x x =+312(sin 2cos 2)22x x 2sin(2)6x π=+ 所以()f x 的最小正周期为:22||2T πππω=== (Ⅱ) +22+2,262k x k k Z πππππ-≤+≤∈ 2+22+2,33k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ ++,36k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为[+],k 36k Z ππππ-∈+k ,【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质,关键是逆用余弦的二倍角公式降幂后,并使用辅助角公式化简.。

三角恒等变换易错题及拔高

三角恒等变换易错题及拔高

三角恒等变换易错题及拔高1. 变异为同,意识不强已知,则=___________.错解:,故.正解.令,则,故.2.未知化已知,衔接不当例2已知,则=_____________.错解,又,解方程组,得,.再将原式展开,把值代入.(学生往往做到这,就做不下去了)分析:上述解法是用常规思路求值,但计算过程比较麻烦,计算量大.本题只须先找准所求式子中的角与已知角的关系,即,,再利用诱导公式转化为求已知角的余弦值,采用整体代入思想即可.正解,则原式可整理如下:3.定义域优先原则,容易忽视例3分别求函数的奇偶性和周期.错解又,是奇函数.又故的周期是.分析利用公式将化简,是本题的突破口,得到的结果是.但在求奇偶性时,忽略了定义域优先的原则,要使函数有意义,,即须满足,且此定义域不关于原点对称,从而是非奇非偶函数.而的周期性需要从图象来判断.正解:要使函数有意义,则有,即的定义域是不关于原点对称,故是非奇非偶函数.又由其图象特征知,是周期函数,且.说明此题若指出函数的定义域为时,此函数即是奇函数.4.产生增根,不易排除例4 设是第四象限的角,若,则=__________.错解,,又是第四象限的角,故,,,,故可能在第三,四象限,,.分析例题利用拆项,所求问题得以求解.但是,时,,并不是有两个值. 可能在第三,四象限,求的余弦值可以避开错误,所以灵活选用公式很重要.正解由,.,.,故可能在第三,四象限.,.5.考虑不周,范围扩大例5已知,求的范围.错解.由,得,故.分析本题看似简单但很容易出错,错解选用公式正确,但考虑欠周.题目同时出现了,暗示学生用.但由于使用部分公式就可以很快得出结论,学生很容易放松警惕而考虑不全面. 正解:(前面同上)又,由,得,综上所述, .。

高中数学总结归纳点拨 三角恒等变换错例剖析

高中数学总结归纳点拨 三角恒等变换错例剖析

三角恒等变换错例剖析例1 求函数2cos sin 2y x x =-+,[]0πx ∈,的最大值.错解:222113cos sin 2sin sin 3sin 24y x x x x x ⎛⎫=-+=--+=-++ ⎪⎝⎭,所以原函数的最大值为134. 剖析:错解误认为1sin 02x +=成立,此时原函数取得最大值为134,但却忽略了x 的取值范围.因为[]0πx ∈,,所以有0sin 1x ≤≤,因此1sin 02x +=是无法成立的.所以原函数当sin 0x =时取得最大值.对策1:仔细审题,勿忽略函数自变量的变化范围.正解1:因为[0π]x ∈,,所以有0sin 1x ≤≤.原函数即22113cos sin 2sin 24y x x x ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭, 所以当sin 0x =时取得最大值3.对策2:换元,突出问题的本质.正解2:令sin t x =,则[01]t ∈,,原问题即转化为求211324y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,[01]t ∈,时的最大值,易知当0t =时函数有最大值3,即原函数的最大值为3.例2 函数12πlog sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调减区间为( ) A.πππ4k k k ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦Z ,, B.ππππ88k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦Z ,, C.3ππππ88k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦Z ,, D.π3ππ+π88k k k ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦Z ,, 错解:因为正弦函数的增区间为ππ2π2π22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,,, 所以令πππ2π22π242k x k -++≤≤,可解得3ππππ88k x k -+≤≤.所以答案为(C).剖析:错解忽略了对数对真数的范围要求而导致范围扩大.对策:准确理解题意,先确定函数的定义域,以免扩大范围.正解:由题意,知πsin 204x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭,解得函数的定义域为π3ππ-π88k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ,,;又由正弦函数的增区间为ππ2π2π22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,,,所以令πππ2π22π242k x k -++≤≤,可解得3ππππ88k x k -+≤≤,结合函数的定义域(取交集)可得原函数的减区间为ππππ88k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦Z ,,.例3 已知αβ,均为锐角,sin α=,cos β=,求αβ+. 错解:因为αβ,均为锐角,所以有(0π)αβ+∈,.由题知cos α=,sin β=故sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+==π4αβ+=或3π4αβ+=. 剖析:错解中对角的范围的把握不够准确,导致出现增根.对策1:进一步缩小角的范围,这是解决这类问题的基本方法和通用方法.正解1:因为αβ,均为锐角,sin α=, 所以π4α>.因为cos 2β=<,所以π4β>, 所以有ππ2αβ<+<.由题意得cos α,sin β=sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+=, 所以有3π4αβ+=. 对策2:根据和角的范围,换用三角函数,以免出现增根.因为0παβ<+<,若取余弦函数则不会出现增根(若ππ22αβ-<+<,则应取正弦函数).正解2:因为αβ,均为锐角,所以cos α=sin β=,所以有(0π)αβ∈,,,cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=,所以有3π4αβ+=.。

三角恒等变换中四种高频错误辨析

三角恒等变换中四种高频错误辨析

为余 弦 函数 在 ( 0 , ) 内单 调 , 满 足 条 件 的角
( 2 ) , 联立 ( 1 )( 2 ) 可得 s i n a一 , c 。 s a一 唯 一 .



则t a n a 一一 .

正 解因 为 s 一 譬 , S i n 卢 一 且

例 2
已知 C -( o, 7 c ), s i n 十 。 s 一
求t a n d的值 .
错 解 本 题可 依据条 件 s i n +c o s 一

s i n ( 十 号 ) ≠ 一 譬 z ≠ 2 k = - 号 且 . z ≠ 2 尼
数- 厂 ( ) 是非奇 非偶 函数 .
数, 如果 不 满 足 , 那 么 这 个 函数 就 是 非 奇 非
偶 函数 .
锚 解 ( z ) 2 s i n 号 c 。 s 号 + 2 s i n 2 s i n 3 2 c O s 号 + 2 C O S 2
s i n
一 — — 一t a n , 而t a n 要是奇函数, 所以
点评 研究 函数 的奇偶 性 首先 要 考虑
1 8 N e w U n i v e r s i t y E n t r a n c e E x a mi n a t i o n
利用 s i n a —c 。 s 一 ± F

一7 c ( 是 ∈z ) , 即定义 域不 关 于原 点 对称 , 故 函 得 s i n —C O S a的 值 , 再 通 过 解 方 程 组 得 s i n d , C O S 的值 , 从 而求 出 t a n 的值. 辨 析 本 题在 解 题过 程 中忽 视 了利 用

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(含答案解析)(3)

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(含答案解析)(3)

一、选择题1.已知tan α,tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根,且()tan 1αβ+=,则实数a =( )A .16B .116C .512D .7122.若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A .78-B .78C .1516-D .15163.已知函数()sin cos f x a x b x =+,其中,a b ∈R ,且0ab ≠,若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立,则( ). A .ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D .π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数4.函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是( ) A .5[,]6ππ-- B .5[,]66ππ-- C .[,0]3π-D .[,0]6π-5.若α∈(2π,π),且3cos 2α=sin(4π-α),则sin 2α的值为( ) A .-118B .118C .-1718D .17186.已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A .7B .17C .-17D .-77.已知直线524x π=是函数21()sin 8)22x f x x ωωω=+<≤图象的一条对称轴,则ω=( ) A .2B .4C .6D .88.已知3sin 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α=( )A .50 B .50C .25D .259.已知()()()ππcos sin 22cos πtan πf ααααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---,则2020π3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A. B .12-C .12D.210.已知()0,απ∈,sin cos αα+=cos2=α( ) A.BC.9-D.911.已知A 是函数()3sin(2020))263f x x x ππ=++-的最大值,若存在实数1x ,2x 使得对任意实数x ,总有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12A x x 的最小值为( ) A .2020πB .1010π C .32020πD .202012.若sin 25α=,()sin 10βα-=,且,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,则αβ+的值是( ) A .74π B .94πC .54π或74πD .54π或94π 二、填空题13.已知(0,)θπ∈,且sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2θ=__________. 14.sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°=________.15.2cos10sin 20sin 70︒︒︒-=______. 16.已知π0π2αβ<<<<,3cos 5α=,()3sin 5αβ+=-,则cos β的值为______. 17.已知1cos cos 2αβ+=,1sin sin 3αβ+=,则cos()αβ-=______. 18.下列判断正确的有___________.①如果θ是第一象限角,那么恒有sin 02θ>;②sin 200a ︒=,则tan 200︒=③若()f x 的定义域为R ,周期为4,且满足()()f x f x -=-,则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点; ④若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且cos tan x y x ⋅=,则x y <. 19.已知()()sin 2sin 223cos cos 2πθπθπθπθ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,则22sin 2sin cos cos θθθθ+-=___________.20.设函数()cos f x x x =-的图像为C ,有如下结论: ①图象C 关于直线2π3x =对称; ②()f x 的值域为[]22-,; ③函数()f x 的单调递减区间是π2π2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈; ④图象C 向右平移π3个单位所得图象表示的函数是偶函数. 其中正确的结论序号是___________________.(写出所有正确结论的序号).三、解答题21.已知函数()2cos 2f x x x =-,[,]34x ππ∈-. (1)求函数()f x 的周期和值域; (2)设()3a g x x x =+,若对任意的1(0)x ∈+∞,及任意的2[,]34x ππ∈-,都有不等式12() ()g x f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.22.已知02πα<<,4sin 5α. (1)求tan2α的值; (2)求cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (3)若02πβ<<且1cos()3αβ+=-,求sin β的值.23.(1)若3tan =4α-,求sin cos sin cos αααα+-的值;(2)已知锐角,αβ满足11cos()14αβ+=-,若43sin()7αβ-=,求cos β的值. 24.已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭,23()sin 24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)对任意的[]12,0,x x t ∈,当12x x <时,均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立,求正实数t 的最大值;(2)在满足(1)的条件时,若方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=在区间,4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解,求实数a 的取值范围. 25.已知函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (1)求()f x 的单调递增区间和最值;(2)若函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点,求实数a 的取值范围.26.如图,设单位圆与x 轴的正半轴相交于点(1,0)Q ,当2()k k απβ≠+∈Z 时,以x 轴非负半轴为始边作角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于点1(cos ,sin )P αα,1(cos ,sin )Q ββ.(1)叙述并利用上图证明两角差的余弦公式;(2)利用两角差的余弦公式与诱导公式.证明:sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-. (附:平面上任意两点()111,P x y ,()222,P x y 间的距离公式()()22122121PP x x y y =-+-【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A【分析】首先利用韦达定理求得5tan tan 6αβ+=,tan tan a αβ⋅=,再结合()tan 1αβ+=,利用两角和正切公式得到关于a 的等量关系式,求得结果. 【详解】因为tan α,tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根, 所以有5tan tan 6αβ+=,tan tan a αβ⋅=, 因为()tan 1αβ+=,所以有5611a=-,所以16a =,故选:A. 【点睛】思路点睛:该题考查的是有关两角和正切公式,解题思路如下: (1)先利用韦达定理,写出两根和与两根积;(2)利用两角和正切公式,结合题中条件,得到等量关系式,求得结果.2.B解析:B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,再利用二倍角公式化简求值. 【详解】22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选:B 【点睛】方法点睛:三角恒等变换常用的方法有:三看(看角、看名、看式)三变(变角变名变式),要根据已知条件灵活选择方法化简求值.3.B解析:B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+,又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π4f a ⎛⎫==⎪⎝⎭a b =,整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,利用正弦函数的单调性可判断A ,利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ,进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠,利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+,其中tan baϕ=, 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立,知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值,所以πππsin cos 444f b a ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭, 即22221122a b ab a b +++=,所以2211022a b ab +-=,即()2102a b -=, 所以a b =,tan 1b a ϕ==,可得4πϕ=,所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,对于选项A :9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又因为5912202πππ<<,则59sin sin 1220ππ<, 当0a >时,ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当0a <时,ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项A 不正确; 对于选项B :sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+,故选项B 正确;对于选项C :sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数,故选项C 不正确;对于选项D :si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数,故选项D 不正确, 故选:B 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立,知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值,π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,属于中档题.4.D解析:D 【解析】()sin 23f x x x sin x π⎛⎫==-⎪⎝⎭,因为[],0x π∈-4,,333x πππ⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦,由1,323x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,得,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,函数()[]()sin ,0f x x x x π=∈-的单调递增区间是,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,故选D.5.C解析:C 【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin 2αα+=,对等式平方即可得结果. 【详解】 由3cos 2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭,可得())223cos sin cos sin αααα-=-, 又由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,可知cos sin 0αα-≠,于是()3cos sin 2αα+=,所以112sin cos 18αα=+, 故17sin 218α=-, 故选:C. 【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用,属于中档题.6.B解析:B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α,再根据两角差正切公式求结果.【详解】 由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式,考查基本求解能力.7.B解析:B 【分析】首先通过三角函数关系式的变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用函数的性质的应用求出结果. 【详解】解:函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-, 令:5()2432k k Z πππωπ-=+∈,解得244()5kk Z ω=+∈, 由于08ω<, 所以4ω=. 故选:B . 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,8.A解析:A 【分析】由平方关系得cos 8πα⎛⎫+⎪⎝⎭,然后由二倍角得出sin 24απ⎛⎫+⎪⎝⎭,cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再由两角差的余弦公式求得cos2α. 【详解】 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴5,888πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,若,828πππα5⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则23sin sin 835ππα⎛⎫+>=> ⎪⎝⎭,∴,882πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴4cos 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 24sin 22sin cos 48825πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,237cos 2124525πα⎛⎫⎛⎫+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦72425225250=⨯+⨯=. 故选:A . 【点睛】本题考查两角差的余弦公式,考查平方关系同、二倍角公式,解题时需要确定角的范围,才能在由平方关系求函数值时确定是否是唯一解.9.B解析:B 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式,化简函数式,最后代值计算即可. 【详解】()()()cos sin 22cos tan f ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--- ()()sin sin 2cos tan πααπαα⎡⎤⎛⎫-⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+⋅- ()()sin cos cos tan αααα-⋅-=-⋅-sin cos sin cos cos ααααα⋅=⋅cos α=,所以2020202020201cos cos cos 673cos 333332f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选:B . 【点睛】本题考查利用诱导公式和同角三角函数关系式化简三角函数式并求值,注意三角函数值的符号变化,属于基础题.10.A解析:A 【分析】在等式sin cos 3αα+=两边同时平方可求得cos sin αα-的值,然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值. 【详解】()0,απ∈,sin cos αα+=两边平方后得:112sin cos 3αα+=,即1sin cos 3αα=-,sin 0α∴>,cos 0α<,()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭,cos sin 3αα∴-=-,则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin 333ααααααα=-=-+=-=-. 故选:A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值,同时也考查了同角三角函数平方关系的应用,考查计算能力,属于中等题.11.C解析:C 【分析】利用三角恒等变换化()f x 为正弦型函数,由此求出A 、T 以及12x x -的最小值,可得解. 【详解】()3sin(2020))263f x x x ππ=+-,392020cos 2020cos 202020204444x x x x =+-+,320220cos 20202x x =-3sin(2020)6x π=-,∴max ()3A f x ==,又存在实数1x ,2x ,对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立, ∴2max ()()2f x f x ==,1min ()()2f x f x ==-, 则12x x -的最小值为函数()f x 的半个最小正周期长度,12min 1122220202020x x T ππ∴-==⨯=∴()12min32020A x x π⋅-=, 故选:C. 【点睛】本题考查三角函数的最值,着重考查两角和与差的正弦与余弦,考查三角恒等变换,突出正弦函数的周期性的考查,属于中档题.12.A解析:A 【分析】先计算2α和βα-的取值范围,根据取值范围解出cos2α和()cos βα-的值,再利用()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦求解()cos αβ+的值.【详解】∵,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,∴2,22απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦.∵sin 25α=,∴2,2απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,∴,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,cos 25α=-. ∵3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,∴5,24βαππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,∴()cos βα-=, ∴()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦2⎛⎛=⨯= ⎝⎭⎝⎭. 又∵5,24αβπ⎡⎤+∈π⎢⎥⎣⎦, ∴74αβπ+=. 故选:A. 【点睛】本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用,难度一般.解答时,要注意三角函数值的正负问题,注意目标式与条件式角度之间的关系,然后通过和差角公式求解.二、填空题13.【分析】根据利用诱导公式和二倍角公式转化为求解【详解】因为所以故答案为:【点睛】本题主要考查二倍角公式及诱导公式的应用还考查了转化求解问题的能力属于中档题 解析:2425【分析】根据sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,利用诱导公式和二倍角公式转化为2sin 2cos 2122sin 4πθθπθ⎛⎫=-=- ⎪⎛⎫- ⎪⎝⎝⎭⎭求解.【详解】因为sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以224sin 4sin 2cos 2co 25s 21224πππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 故答案为:2425【点睛】本题主要考查二倍角公式及诱导公式的应用,还考查了转化求解问题的能力,属于中档题.14.【分析】首先根据诱导公式将然后结合两角和正弦公式的逆用化简即可求值【详解】sin347°cos148°+sin77°cos58°=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin77°co解析:2【分析】首先根据诱导公式将sin347cos77︒=-︒、cos148sin58︒=-︒,然后结合两角和正弦公式的逆用化简,即可求值 【详解】sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin 77°cos 58° =(-cos 77°)·(-sin 58°)+sin 77°cos 58° =sin 58°cos 77°+cos 58°sin 77° =sin(58°+77°) =sin 135°=2故答案为:2【点睛】本题考查了利用三角函数的诱导公式、两角和正弦公式化简求值,注意有大角要根据诱导公式将其转化为小角,进而应用三角恒等变换化简求值15.【分析】观察角之间的特殊关系:运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解【详解】原式故填:【点睛】本题考查两角差的余弦公式和诱导公式关键在于观察出题目的角之间的特殊关系属于中档题【分析】观察角之间的特殊关系:103020=-,709020=-,运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解. 【详解】原式()2cos(3020)sin 20sin 9020︒︒︒︒--=-()2cos30cos 20sin30sin 20sin 20cos 20︒︒︒︒+-=1220sin 20sin 202cos 20︒︒︒︒⎫+-⎪⎝⎭====. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式和诱导公式,关键在于观察出题目的角之间的特殊关系,属于中档题.16.【分析】根据角的范围求出和的值再将变成利用两角差的余弦公式即可求得【详解】因为且所以因为所以因为所以所以故答案为:【点睛】本题考查了同角公式以及两角差的余弦公式考查了学生的计算能力属于中档题 解析:2425-【分析】根据角的范围,求出sin α和cos()αβ+的值,再将cos β变成cos()αβα+-利用两角差的余弦公式即可求得. 【详解】 因为02πα<<,且3cos 5α=,所以4sin 5α, 因为π0π2αβ<<<<,所以322ππαβ<+<, 因为3sin()5αβ+=-,所以4cos()5αβ+=-, 所以cos cos()βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++433424555525=-⨯-⨯=-.故答案为:2425-【点睛】本题考查了同角公式以及两角差的余弦公式,考查了学生的计算能力,属于中档题.17.【分析】把两个条件平方相加再利用两角差的余弦公式求得的值【详解】将两式平方可得:①②将①和②相加可得:即解得故答案为:【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用考查逻辑思维能力 解析:5972-【分析】把两个条件平方相加,再利用两角差的余弦公式求得cos()αβ-的值. 【详解】1cos cos2αβ+=,1sin sin 3αβ+=,将两式平方可得: 221cos 2cos cos cos 4ααββ++=①, 221sin 2sin sin sin 9ααββ++=②, 将①和②相加可得:1322cos cos 2sin sin 36αβαβ++=, 即1322cos()36αβ+-=,解得59cos()72αβ-=-. 故答案为:5972-. 【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.18.③【分析】①利用来判断;②利用来判断;③通过来判断;④通过当时有恒成立来判断【详解】解:①由已知则此时在第一或第三象限有可能小于零错误;②是第三象限角所以则与矛盾错误;③由已知为奇函数故则又所以则有解析:③ 【分析】 ①利用24k k θπππ来判断;②利用sin 2000a ︒=<来判断; ③通过(0)0f =,(2)0f =来判断; ④通过当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,有tan sin ααα>>恒成立来判断. 【详解】解:①由已知22,2k k k Z ππθπ,则,24k k kZ θπππ,此时2θ在第一或第三象限,sin2θ有可能小于零,错误;②200︒是第三象限角,所以sin 2000a ︒=<, 则2tan 20001a︒=<-,与tan 2000︒>矛盾,错误;③由已知()f x 为奇函数,故(0)0f =,则(4)(4)(8)(0)0f f f f -====, 又(2)(24)(2)(2)f f f f =-=-=-,所以(2)0f =,则有(2)(2)(6)0f f f =-==, 则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点,正确;④当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,有tan sin ααα>>恒成立,证明:单位圆中当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,如图点P 为角α的终边与单位圆的交点,由图可知OPA 的面积小<扇形OPA 的面积小<OTA 的面积 则211111sin 111tan 222ααα⋅⋅⋅<⋅⋅<⋅⋅⋅,整理得tan sin ααα>>. 若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,tan cos tan tan x x x y y >=⋅>,所以x y >,故错误. 故答案为:③ 【点睛】本题考查函数周期性的应用,考查当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,有tan sin ααα>>恒成立这个性质的灵活应用,考查角所在象限和三角函数值符号的关系,是中档题.19.【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出的值然后在代数式上除以并在所得分式的分子和分母中同时除以可得出关于的分式代值计算即可【详解】解得因此故答案为:【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系 解析:75【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出tan θ的值,然后在代数式22sin 2sin cos cos θθθθ+-上除以22sin cos θθ+,并在所得分式的分子和分母中同时除以2cos θ可得出关于tan θ的分式,代值计算即可. 【详解】()()sin 2sin sin cos tan 1223sin cos tan 1cos cos 2πθπθθθθπθθθθπθ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭===--⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,解得tan 3θ=.因此,22222222sin 2sin cos cos tan 2tan 1sin 2sin cos cos sin os tan 1θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-==++2232317315+⨯-==+. 故答案为:75.【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系化简求值,解题的关键就是求出tan θ的值,考查运算求解能力,属于中等题.20.①②④【分析】化简函数代入求最值可判断①;求出的最值可判断②;求出函数的单调递减区间可判断③;求出向右平移个单位的解析式化简后可判断④【详解】当时取得最大值2故①正确;因为的最大值为2最小值为所以的解析:①②④. 【分析】化简函数()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 代入2π3x =求最值可判断①;求出()f x 的最值可判断②;求出函数()f x 的单调递减区间可判断③;求出()f x 向右平移π3个单位的解析式化简后可判断④. 【详解】()1cos 2cos 22f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin sin cos 2sin 666x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当2π3x =时,22π2sin 2336f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,取得最大值2,故①正确; 因为()π2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最大值为2,最小值为2-,所以()f x 的值域为[]22-,,故②正确;令π322262k x k ππππ+≤-≤+()k Z ∈,得252233k x k ππππ+≤≤+, 即()f x 的单调递减区间是2π5π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈,故③错误; 图象C 向右平移π3个单位得π2sin 2sin 2cos 362y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数,故④正确.故答案为:①②④. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换,以及三角函数的图象与性质的应用,其中解答中利用三角恒等变换的公式,化简()f x 的解析式,再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.三、解答题21.(1)T π=,[-;(2)14a ≥. 【分析】(1)利用辅助角公式化简可得()2sin(2)6f x x π=-,代入周期公式,可求得周期T ,根据x 的范围,求得26x π-的范围,根据正弦型函数的性质,即可求得答案.(2)根据题意可得min max ()()g x f x ≥,由(1)可得max ()f x =0a <,0a =,0a >三种,()3ag x x x=+的最小值,结合对勾函数的性质,即可求得答案.【详解】(1)1()2cos 2)2sin(2)26f x x x x π=-=-, 周期22T ππ== 由[,]34x ππ∈-,则52[,]663x πππ-∈-, 所以当262x ππ-=-,即6x π=-时,()2sin(2)6f x x π=-有最小值-1当263x ππ-=,即4x π=时,()2sin(2)6f x x π=-所以1sin(2)6x π-≤-≤,所以22sin(2)6x π-≤-≤即()f x 的值域为[-(2)对任意的1(0)x ∈+∞,及任意的2[,]34x ππ∈-,都有不等式12() ()g x f x ≥恒成立,只需当min max ()()g x f x ≥由(1)知,max ()f x =当0a <,()3ag x x x=+为(0,)+∞上增函数,值域为R ,不满足题意; 当0a =,()3g x x =为(0,)+∞上增函数,值域为(0,)+∞,不满足题意;当0a >,()3ag x x x=+为对勾函数,所以()3a g x x x =+≥=min ()g x =,当且仅当3ax x=,即x =.由题意,即可,所以14a ≥. 【点睛】解题的关键是将题干条件等价为min max ()()g x f x ≥,分别根据12,x x 的范围,求得两函数的最值,再进行求解,考查分析计算的能力,属中档题.22.(1)247-,(2)50-,(3)415【分析】(1)由02πα<<,4sin 5α,可求出35cos α=,从而可求出4tan 3α=,进而利用正切的二倍角公式可求得答案;(2)先利用两角和的余弦公式展开,再利用二倍角公式求解;(3)先由已知条件求出sin()3αβ+=,再利用sin sin[()]βαβα=+-展开代值可求得结果 【详解】解:(1)因为02πα<<,4sin 5α,所以3cos 5α===,所以4sin 45tan 3cos 35ααα===, 所以22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭, (2)cos 2cos 2cos sin 2sin 444πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(cos 2sin 2)2αα=-2(12sin 2sin cos )2ααα=--1643(122)2255550=-⨯-⨯⨯=-, (3)因为02πα<<,02πβ<<,所以0αβ<+<π,因为1cos()3αβ+=-,所以sin()3αβ+===, 所以sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+3144()353515=⨯--⨯=【点睛】关键点点睛:此题考查三角函数恒等变换公式的应用,考查计算能力,考查同角三角函数的关系的应用,角的变换公是解题的关键,属于中档题 23.(1)17-;(2【分析】(1)原式可变形,上下同时除以cos α,代入3tan =4α-后,计算结果;(2)利用角的变换,先求()()cos2cos βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦,展开后代入三角函数值,化简求值,最后求cos β的值. 【详解】(1)原式上下同时除以cos α,变形为31tan 1143tan 1714αα-++==----; (2)0,022ππαβ<<<<,0αβπ∴<+<,22αβππ∴-<-<,()11cos 14αβ+=-,()sin αβ∴+==()sin 7αβ-=,()1cos 7αβ∴-=,()()cos2cos βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦()()()()cos cos sin sin αβαβαβαβ=+-++-111147⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 12=, ()20,βπ∈,236ππββ∴=⇒=,cos β∴=【点睛】思路点睛:本题第一问是关于sin ,cos αα的齐次分式,上下都是一次形式,则上下同时除以cos α,若上下都是二次形式,则上下同时除以2cos α,第二问是角的变换,将条件中的角看成一个整体,表示结论中的角,再求三角函数值. 24.(1)4π;(2)32a <.【分析】(1)构造()()()h x f x g x =-,由单调性的定义得出()h x 在区间[0,]t 上为增函数,结合正弦型函数的单调性,得出正实数t 的最大值.(2)方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=有解,可分离参数为2()112()1()1h x a h x h x +==-++,在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解,再根据()h x 的值域,求解实数a 的取值范围. 【详解】解:(1)依题可知:1()cos 2sin cos 2f x x x x =+sin 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 又∵()()()()1212f x f x g x g x -<-,∴()()()()1122f x g x f x g x -<-, 令()()()h x f x g x =-,则3()222424h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222424x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2x =.∵()()12h x h x <,∴()h x 在[]0,t 上单调递增, ∵22222k x k ππππ-≤≤+,∴()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈,∴4t π≤,即t 的最大值为4π. (2)∵[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=, ∴(2)[()()]10a f x g x a --+-=, ∴2()112()1()1h x a h x h x +==-++,即12sin 21a x =-+在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解,∵1sin 21x -<<,∴32a <. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.25.(1)()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,()()min max 30,2f x f x ==;(2)3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭【分析】(1)利用两角差的余弦公式,二倍角公式和辅助角法,将函数转化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再利用正弦函数的性质求解.(2)将函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点,转化为函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点,利用数形结合法求解.【详解】(1)函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭,12sin sin cos 22x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭,2cos sin cos 2x x x x =++,112cos 2222x x =++, 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,解得 ,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈,因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 所以函数()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 所以()()min max 30,2f x f x ==. (2)因为()()g x f x a =-有且仅有一个零点, 所以()f x a =有且仅有一个零点,即函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点, 如图所示:由图象知:32a =或 [0,1)a ∈, 所以实数a 的取值范围是3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭.【点睛】方法点睛:1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成y =A sin(ωx +φ)(ω>0)的形式. 2.函数y =A sin(ωx +φ)和y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为2T ωπ=,y =tan(ωx +φ)的最小正周期为T πω=. 3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t =ωx +φ,将其转化为研究y =sin t 的性质.26.(1)两角差的余弦公式为:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+,证明见解析;(2)证明见解析. 【分析】(1)先构造向量()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==,再利用数量积111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠代入计算即得结果;(2)利用诱导公式知()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭,再结合两角差的余弦公式展开即得结论. 【详解】解:(1)两角差的余弦公式为:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+. 证明:依题意,()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==,则11cos cos sin sin OP OQ αβαβ⋅=+,11111,OP AQ POQ αβ==∠=-故由111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠得,()cos cos sin sin 11cos αβαβαβ+=⨯⨯-,即cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+, 当()2k k απβ=+∈Z 时,容易证明上式仍然成立. 故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立; (2)证明:由诱导公式可知,()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭. 而cos cos 22ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin αβαβ=-+,故[]sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ-=--+=-. 即证结论. 【点睛】本题解题关键在于构造向量,综合运用数量积的定义法运算和坐标运算,即突破难点.。

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(答案解析)(4)

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(答案解析)(4)

一、选择题1.已知矩形ABCD 中,AB AD >.设点B 关于AC 的对称点为B ',AB '与CD 交于点P ,若3CP PD =,则tan BCB '∠=( )A.-B.C.2-D.4-2.已知θ为锐角,且满足如tan 311tan θθ=,则tan 2θ的值为( ) A .34B .43 C .23D .323.已知函数2()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=->图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A.1B.1--C .0D.-4.已知tan α,tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根,且()tan 1αβ+=,则实数a =( )A .16B .116C .512D .7125.已知3cos 25α=,()0,2απ∈,则sin 4απ+⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) AB. CD.10-6.设等差数列{}n a 满足:()22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+,公差()1,0d ∈-.若当且仅当11n =时,数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值,则首项1a 的取值范围是( ) A .9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B .11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .11,10ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知()2020cos2020f x x x =+的最大值为A ,若存在实数1x ,2x ,使得对任意的实数x ,总有()()()12f x f x f x ≤≤成立,则12A x x -的最小值为( ) A .2020π B .1010π C .505π D .4040π 8.已知()sin 2cos x x x ϕ+=+对x ∈R 恒成立,则cos 2ϕ=( ) A .25-B .25C .35D .359.函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为( )A.2B.C.D.3+10.已知cos()63πα+=sin(2)6πα-的值为( ) A.3B .13C .13-D.3-11.在ABC 中,若sin 2sin cos B A C =,那么ABC 一定是( ) A .等腰直角三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .等边三角形12.若sin 2α=()sin βα-=,且,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,则αβ+的值是( ) A .74π B .94πC .54π或74πD .54π或94π 二、填空题13.已知函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠)过定点P ,且点P 在角6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的终边上cos α=_______.14.将22sin cos x x x +化简为sin()A x B ωϕ++(0A >,0>ω,π2ϕ<)的形式为______.15.已知4sin 3cos 0+=αα,则2sin 23cos +αα的值为____________. 16.tan 25tan 3525tan 35+︒︒︒︒的值为________. 17.已知tan 3α=-,则cos2=α_____________. 18________.19.已知()()sin 2sin 223cos cos 2πθπθπθπθ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,则22sin 2sin cos cos θθθθ+-=___________.20.设)sin17cos172a =︒+︒,22cos 131b =︒-,2c =,则a ,b ,c 的大小关系是______.三、解答题21.已知02πα<<,4sin 5α. (1)求tan2α的值; (2)求cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (3)若02πβ<<且1cos()3αβ+=-,求sin β的值.22.已知向量()21,cos 1a x =-,(sin 21,b x =+,()()f x a b x R =⋅∈.(1)求函数()f x 的对称中心及单调减区间; (2)若,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,求()f x 的值域. 23.(1)若角α的终边上有一点()1,3P ,求值:()()cos sin 32cos sin 22απαππαα-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)计算ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e-+⋅-+︒.24.已知函数2())2cos1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+=++-><<为偶函数,且()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π.(1)当5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的单调递增区间; (2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度,再把各点的横坐标缩小为原来12(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象.求函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.25.已知sin α、cos α分别是方程2255120x x +-=的两根,且α是第二象限角. (1)求cos2α的值; (2)求2sin cos sin 3cos αααα-+的值.26.已知函数2()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x π=++.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间;(2)若函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称,求正数m 的最小值;【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】根据对称性可得BAC CAP ACP ∠=∠=∠,设1PD =,可计算出AB 的长,利用勾股定理可得BC 的长,在Rt ABC 中,由ABBC可得tan BCA ∠,再利用正切函数的二倍角公式可得答案. 【详解】如图,由题意得BAC CAP ACP ∠=∠=∠. 不妨设1PD =,则3AP CP ==,4AB CD ==, 在Rt APD 中,223122AD =-=,即22BC AD ==. 在Rt ABC 中,tan 222AB BCA BC ∠===. 则22tan 22tan tan 2221tan BCA BCB BCA BCA ∠'∠=∠===--∠, 故选:A.【点睛】本题考查了利用三角函数解决几何图形问题,关键点是利用对称性找到边长之间的关系然后利用正切函数求解,考查了学生分析问题、解决问题的能力.2.B解析:B 【分析】先利用两角和的正切计算tan tan 2tan 31tan tan 2θθθθθ+=-,再利用二倍角的正切化简前者,结合tan 311tan θθ=可得1tan 2θ=,从而可求tan 2θ.【详解】32222tan tan tan tan 23tan tan 1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan θθθθθθθθθθθθθθ++--===---⨯-,故32223tan tan tan 33tan 13tan 11tan tan 13tan θθθθθθθθ---===-,故21tan 4θ=, 因为θ为锐角,故1tan 2θ=,故1242tan 21314θ⨯==-, 故选:B. 【点睛】思路点睛:已知θ的三角函数值,求()*n n N θ∈的三角函数值,应利用两角和的三角函数值逐级计算即可.3.D解析:D 【分析】先将函数化简整理,根据相邻对称轴之间距离求出周期,确定1ω=,再求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω-=-=-πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为π22π⨯=,所以2π2πω=,即1ω=, 所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π2sin 23f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质,关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式,还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题,属于中档题.4.A解析:A 【分析】首先利用韦达定理求得5tan tan 6αβ+=,tan tan a αβ⋅=,再结合()tan 1αβ+=,利用两角和正切公式得到关于a 的等量关系式,求得结果. 【详解】因为tan α,tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根, 所以有5tan tan 6αβ+=,tan tan a αβ⋅=, 因为()tan 1αβ+=,所以有5611a=-,所以16a =,故选:A. 【点睛】思路点睛:该题考查的是有关两角和正切公式,解题思路如下: (1)先利用韦达定理,写出两根和与两根积;(2)利用两角和正切公式,结合题中条件,得到等量关系式,求得结果.5.C解析:C 【分析】 根据2α是4α的二倍角求出sin α的值,再求cos 4α和sin 4απ+⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为2α是4α的二倍角,所以2311cos 152sin 4225αα--===, 又()0,2απ∈,所以0,42a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 4545αα===cos ;所以sin sin sin cos cos sin 4444444απαπαπαπ+⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:C. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式,考查了同角公式,考查了两角和的正弦公式,属于中档题.6.D解析:D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+,所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+,再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+,即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+,再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+.由于{}n a 是等差数列,因此1827a a a a +=+,即1827sin()sin()a a a a +=+,所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-,则()55,0d ∈-,所以5210d d ππ=-⇒=-,故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+,即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++,其对称轴是1202a n ππ+=,由题设可得1202123222a ππ+<<,即11110a ππ<<,应选答案D .点睛:解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简,再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-,然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++,借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<,进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<. 7.B解析:B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值,对任意的实数x ,总有()()()12f x f x f x ≤≤成立,即12x x -半周期的整数倍,代入求最小值即可.【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,则220201010T ππ==,2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选:B 【点睛】本题考查正弦函数的性质,考查三角恒等变换,考查周期与最值的求法,属于中档题.8.D解析:D 【分析】利用两角和的正弦公式进行展开,结合恒成立可得cos ϕ,最后根据二倍角公式得结果. 【详解】由题可知,cos sin sin 2cos x x x x ϕϕ+=+, 则cosϕ=,sin ϕ=, 所以283cos22cos 1155ϕϕ=-=-=,故选:D. 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦以及二倍角公式的应用,通过恒成立求出cos ϕ是解题的关键,属于中档题.9.A解析:A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ,由此求得()f x 的最大值. 【详解】依题意()1cos 233sin 2sin 2222222x f x x x x -=+=-+12cos 2226x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭,所以()f x 22=. 故选:A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式,考查三角函数的最值的求法,属于中档题.10.B解析:B 【解析】∵cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选B.11.B解析:B 【分析】利用两角和与差公式化简原式,可得答案. 【详解】因为sin 2sin cos B A C =, 所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C += 所以sin cos cos sin 0A C A C -= 所以sin()0A C -=, 所以0A C -=, 所以A C =.所以三角形是等腰三角形. 故选:B. 【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用,考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用,考查学生计算能力,属于中档题.12.A解析:A 【分析】先计算2α和βα-的取值范围,根据取值范围解出cos2α和()cos βα-的值,再利用()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦求解()cos αβ+的值.【详解】∵,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,∴2,22απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦.∵sin 25α=,∴2,2απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,∴,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,cos 25α=-. ∵3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,∴5,24βαππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,∴()cos βα-=,∴()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦5105102⎛⎛=-⨯--= ⎝⎭⎝⎭. 又∵5,24αβπ⎡⎤+∈π⎢⎥⎣⎦, ∴74αβπ+=. 故选:A. 【点睛】本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用,难度一般.解答时,要注意三角函数值的正负问题,注意目标式与条件式角度之间的关系,然后通过和差角公式求解.二、填空题13.【分析】由指数为0时可得定点进而可得和利用展开即可得解【详解】由所以函数(且)过定点所以所以故答案为:【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是利用展开求解【分析】由指数为0时可得定点P ,进而可得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,利用cos cos[()]66ππα=α+-展开即可得解.【详解】由(012f a =-=,所以函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠)过定点P ,所以1sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭,cos 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 所以cos cos[()]cos()cossin()sin 666666ππππππα=α+-=α++α+1132=⨯=. 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是利用cos cos[()]66ππα=α+-展开求解.14.【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解【详解】故答案为:【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式属于基础题解析:π2sin(2)16x -+【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解. 【详解】2π2sin cos 1cos 222sin(2)16x x x x x x +=-=-+故答案为:π2sin(2)16x -+ 【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式,属于基础题.15.【分析】由已知式求出利用同角三角函数间的平方关系和商数关系将化为代入即可求值【详解】则故答案为:【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系正余弦其次式的计算二倍角的正弦公式属于中档题 解析:2425【分析】由已知式求出3tan 4α=-,利用同角三角函数间的平方关系和商数关系,将2sin 23cos +αα化为22tan 3tan 1αα++,代入即可求值. 【详解】4sin 3cos 0αα+=,3tan 4α∴=-,则22222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααααααα++=+ 22tan 3tan 1αα+=+232()343()14⨯-+=-+ 2425=.故答案为:2425. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系,正、余弦其次式的计算,二倍角的正弦公式,属于中档题.16.【分析】根据展开化简得到答案【详解】故故答案为:【点睛】本题考查了正切和差公式的应用意在考查学生的计算能力【分析】根据()tan60tan 2535︒=︒+︒,展开化简得到答案. 【详解】()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒故tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=【点睛】本题考查了正切和差公式的应用,意在考查学生的计算能力.17.【分析】由题意根据二倍角公式同角三角函数的基本关系求得的值【详解】故答案为:【点睛】本题主要考查二倍角公式同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用属于基础题解析:45-【分析】由题意,根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得2cos α的值. 【详解】3tan α=-,222222cos sin 1tan 1942cos sin 1tan 195cos ααααααα---∴====-+++. 故答案为:45-. 【点睛】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用,属于基础题.18.【分析】利用同角三角函数的基本关系式二倍角公式结合根式运算化简求得表达式的值【详解】依题意由于所以故答案为:【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式二倍角公式考查根式运算属于基础题解析:4利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式,结合根式运算,化简求得表达式的值.【详解】=4==,由于342ππ<<=故答案为:4【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式,考查根式运算,属于基础题. 19.【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出的值然后在代数式上除以并在所得分式的分子和分母中同时除以可得出关于的分式代值计算即可【详解】解得因此故答案为:【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系解析:75【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出tanθ的值,然后在代数式22sin2sin cos cosθθθθ+-上除以22sin cosθθ+,并在所得分式的分子和分母中同时除以2cosθ可得出关于tanθ的分式,代值计算即可.【详解】()()sin2sinsin cos tan1223sin cos tan1cos cos2πθπθθθθπθθθθπθ⎛⎫---⎪++⎝⎭===--⎛⎫+++⎪⎝⎭,解得tan3θ=.因此,22222222sin2sin cos cos tan2tan1sin2sin cos cossin os tan1θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-==++ 2232317315+⨯-==+.故答案为:75.【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系化简求值,解题的关键就是求出tanθ的值,考查运算求解能力,属于中等题.20.【分析】根据两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式即可将化简再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系【详解】所以故答案为:【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式的应用以及正弦函数的单调性解析:c a b<<根据两角和的正弦公式,二倍角公式,诱导公式,即可将,a b 化简,再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系. 【详解】)sin17cos17sin17cos 45cos17sin 45sin 62a =︒+︒=︒+︒=, 22cos 131cos 26sin 64b =︒-==,sin 60c ==, 所以,c a b <<. 故答案为:c a b <<. 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式,二倍角公式,诱导公式的应用,以及正弦函数的单调性的应用,属于基础题.三、解答题21.(1)247-,(2),(3【分析】(1)由02πα<<,4sin 5α,可求出35cos α=,从而可求出4tan 3α=,进而利用正切的二倍角公式可求得答案;(2)先利用两角和的余弦公式展开,再利用二倍角公式求解;(3)先由已知条件求出sin()3αβ+=,再利用sin sin[()]βαβα=+-展开代值可求得结果 【详解】解:(1)因为02πα<<,4sin 5α,所以3cos 5α===, 所以4sin 45tan 3cos 35ααα===, 所以22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)cos 2cos 2cos sin 2sin 444πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2sin 2)αα=-2(12sin 2sin cos )2ααα=--1643(122)2255550=-⨯-⨯⨯=-, (3)因为02πα<<,02πβ<<,所以0αβ<+<π,因为1cos()3αβ+=-,所以sin()3αβ+===, 所以sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+3144()353515=⨯--⨯=【点睛】关键点点睛:此题考查三角函数恒等变换公式的应用,考查计算能力,考查同角三角函数的关系的应用,角的变换公是解题的关键,属于中档题 22.(1)对称中心为,126k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭,k Z ∈,单调递减区间是71212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦,;(2)[]0,3. 【分析】(1)由()f x a b =⋅可得()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,然后由正弦函数的对称中心和单调递减区间可得答案; (2)根据x 的范围得到23x π+的范围,可以得sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的范围,从而得到答案. 【详解】(1)∵()21,cos 1a x =-,(sin 21,b x =,∴()f x a b =⋅22sin 21sin 21x x x x =++-=+)2sin 22cos 11sin 2212sin 213x x x x x π⎛⎫=+-+=+=++ ⎪⎝⎭.∴()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,由2,3x k k Z ππ+=∈得,26k x k Z ππ=-∈, ∴对称中心为,126k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,k Z ∈, 令3222232k x k πππππ+≤+≤+,则71212k x k ππππ+≤≤+,即函数()f x 单调递减区间是71212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦, (2)∵()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,∵43x ππ-≤≤, ∴2223x ππ-≤≤,∴263x πππ-≤+≤,∴当236x ππ+=-,即4πx =-时,min 1()2102f x ⎛⎫=⋅-+= ⎪⎝⎭, ∴当232x ππ+=,即12x π=时,max ()213f x =+=,∴当43x ππ-≤≤时,()f x 的值域为[]0,3.【点睛】本题考查了三角函数的化简与性质,关键点是化简为()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,要熟练掌握三角函数的性质,考查了学生的基本运算. 23.(1)47-;(2)0. 【分析】(1)由三角函数定义求得tan α,用诱导公式化简后利用商数关系化为tan α的式子,代入tan α可得.(2)由对数的运算法则和诱导公式、特殊值的正弦函数计算. 【详解】解:(1)由已知3tan 31α,原式cos sin 1tan 42sin cos 2tan 17αααααα++==-=---+;(2)原式()242320lg log 3log 222sin 302=+⋅-+-︒ 231lg1032log 2222log ⎛⎫=+⋅-+- ⎪⎝⎭12210=+--=.【点睛】关键点点睛:本题考查三角函数的定义,考查诱导公式和同角间的三角函数关系,考查对数的运算法则.在三角函数求值中如果遇到关于sin ,cos αα的齐次式,一般利用商数关系化为tan α的代数式,代入tan α求值.当角比较复杂时利用诱导公式化简是首先需要考虑的问题.24.(1)单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2)最大值为2,最小值1-. 【分析】(1)首先利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 化简,再利用偶函数求出ϕ的值,再利用T π=求出ω的值,即可得()f x 的解析式,再利用余弦函数的单调递增区间即可求解;(2)利用三角函数图象变换的规律求出()g x 的解析式,再利用余弦函数的性质即可求值域. 【详解】(1)由题意函数2())2cos12x f x x ωϕωϕ+=++-)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭,因为函数()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π, 所以T π=,可得2ω=.又由函数()f x 为偶函数可得(0)2sin 26f πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭, 所以62k ππϕπ+=+,k ∈Z ,则3k πϕπ=+,k ∈Z .因为0ϕπ<<,所以3πϕ=,所以函数()2cos2f x x =,令222k x k πππ-≤≤,k ∈Z ,解得2k x k πππ-≤≤,k ∈Z ,当0k =时,02x ;当1k =时,2x ππ≤≤,又5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 可得函数()f x 的单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度可得2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,再把各点的横坐标缩小为原来的12,得到函数()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象, 当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当2433x ππ-=-,即12x π=-时, 函数()g x 取得最小值,最小值为1-; 当403x π-=,即12x π=时,函数()g x 取得最大值,最大值为2.所以函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2,最小值是1-.【点睛】方法点睛:已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,或()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的形式,然后将x ωϕ+看成一个整体,根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解. 25.(1)725;(2)109-. 【分析】(1)由韦达定理及α是第二象限角可以求得sin α和cos α的值, 再由22cos 2cos sin ααα=-计算即可;(2)由(1)可知sin α和cos α的值,然后代值计算即可. 【详解】(1)因为sin α、cos α分别是方程2255120x x +-=的两根,所以有1sin cos 512sin cos 25αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,又α是第二象限角,所以sin 0α>,cos 0α<,3sin 5α∴=,4cos 5α=-,2222437cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)由(1)知,3sin 5α=,4cos 5α=-, 3422sin cos 21055934sin 3cos 93555αααα⎛⎫⨯-- ⎪-⎝⎭∴===-+⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭.【点睛】易错点睛:本题易忽略角α的范围,从而导致错解sin α和cos α的值,最后结果错误.26.(1)T π=,7[,],1212++∈k k k Z ππππ;(2)3π.【分析】(1)先利用三角恒等变换,将函数转化为()2sin(2)3f x x π=+,再利用正弦函数的性质求解.(2)根据函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称,令2()3m k k Z ππ+=∈求解.【详解】(1)2()[2sin()sin ]cos 3=++f x x x x x π2(sin sin )cos =++-x x x x x2(2sin )cos =+x x x x222sin cos sin )x x x x =+-sin 222sin(2)3x x x π==+,T π=,由3222232k x k πππππ+≤+≤+, 解得71212k x k ππππ+≤≤+, 则()f x 的单调递减区间是7[,],1212++∈k k k Z ππππ. (2)2()3+=∈m k k Z ππ,,26∴=-∈k m k Z ππ又0m >m ∴的最小值为3π. 【点睛】方法点睛:1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成y =A sin(ωx +φ)(ω>0)的形式. 2.函数y =A sin(ωx +φ)和y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为2T ωπ= ,y =tan(ωx +φ)的最小正周期为T πω=. 3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t =ωx +φ,将其转化为研究y =sin t 的性质.。

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(包含答案解析)(3)

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(包含答案解析)(3)

一、选择题1.已知sin cos sin cos θθθθ-=,则角θ所在的区间可能是( ).A .0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B .,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭C .3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭D .3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭2.已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin x 的值为( )A .10-B .10 C .10D .10-3.已知3cos 25α=,()0,2απ∈,则sin 4απ+⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A B . C D . 4.已知α,β均为锐角,5cos()13αβ+=-,3sin()35πβ+=,则sin()3πα-=( )A .3365B .3365-C .6365D .56655.0=( )A .1B .2CD6.角α的终边与单位圆的交点坐标为1)2,将α的终边绕原点顺时针旋转34π,得到角β,则cos()αβ+=( )A .4B .4C .14D .07.已知角α满足1cos()63πα+=,则sin(2)6πα-=( )A .9-B .9C .79-D .798.函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为( )A B .C .D .3+9.已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A .4-B .4C .13-D .1310.已知()0,απ∈,()2sin 2cos21παα-=-,则sin α=( ) A .15B .55C .55-D .25511.若,则的值为( )A .B .C .D .12.已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A .3-B .3C .13-D .13二、填空题13.已知1sin cos 5θθ+=,(0,)θπ∈,则tan θ=________. 14.给出下列命题:①存在实数α使得sin cos 1αα=; ②存在实数α使得3sin cos 2αα+=; ③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-是偶函数; ④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程; ⑤若α、β是第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>, 其中正确命题的序号是______.15.tan 80tan 403tan 80tan 40︒+︒-︒︒=________.16.如图,在边长为1的正方形ABCD 中,P ,Q 分别在边BC ,CD 上,且PB QD PQ +=,则PAQ ∠的大小为__________.17.tan 25tan 3525tan 35+︒︒︒︒的值为________.18.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知b =22cos c a b A -=,则a c +的取值范围为______.19.若tan 30,2tan 10αβ-=-=,则()tan αβ+=________. 20.已知cosα17=,cos(α﹣β)1314=,且0<β<α2π<,则sinβ=_____. 三、解答题21.已知函数()2sin cos 144f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)求函数()f x 的最小正周期;(2)若函数()()2g x f x x =-,求函数()g x 的单调增区间.22.函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=+⋅>且满足___________. ①函数()f x 的最小正周期为π;②已知12x x ≠,()()1212f x f x ==,且12x x -的最小值为2π,在这两个条件中任选一个,补充在上面横线处,然后解答问题. (1)确定ω的值并求函数()f x 的单调区间;(2)求函数()f x 在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域. 23.已知1sin cos 5αα+=,其中0απ<<. (1)求11sin cos αα+的值; (2)求tan α的值.24.(1)若3tan =4α-,求sin cos sin cos αααα+-的值;(2)已知锐角,αβ满足11cos()14αβ+=-,若sin()7αβ-=,求cos β的值.25.已知0πx <<,sin cos x x +=. (Ⅰ)求sin cos x x -的值;(Ⅱ)求2sin 22sin 1tan x xx+-的值.26.(1)化简:(cos 20tan 20sin 40-⋅°°°;(2)证明:()()21tan 31sin 21tan 312sin πx xπx x+--=---.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】先化简已知得sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,然后根据各个选项确定等式两端的取值范围从而得到答案. 【详解】由sin cos sin cos θθθθ-=得,sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 对于A , 当0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,,044ππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,sin 04πθ⎛⎫-< ⎪⎝⎭, 而0,22θπ⎛⎫⎪⎝⎭∈,sin20θ>,两个式子不可能相等,故错误;对于B ,当,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,0,44ππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,sin 4πθ⎛⎛⎫-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭,()0,24πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ,22,ππθ∈⎛⎫⎪⎝⎭,()sin20,1θ∈,存在θ使得sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,故正确;对于C , 3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,42,4πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,sin 42πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,而3,22πθπ⎛∈⎫⎪⎝⎭,()sin21,0θ∈-,不可能相等,所以错误;对于D , 当3,4πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,3,424πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,sin 4πθ⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, (2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,而3,222ππθ⎛∈⎫⎪⎝⎭,()sin21,0θ∈-,不可能相等,所以错误 故选:B. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用,三角函数在各象限内的符号,关键点是根据各个选项确定等号两端式子的取值范围,考查了学生分析问题、解决问题的能力.2.B解析:B 【分析】 先求得πsin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,然后利用ππsin sin 44x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,展开后计算得出正确选项. 【详解】 由于πππ3π0,,,2444x x ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以π4sin 45x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故ππsin sin 44x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππππsin cos cos sin4444x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43525210=⨯-⨯=,故选B. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.3.C解析:C 【分析】根据2α是4α的二倍角求出sin α的值,再求cos 4α和sin 4απ+⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为2α是4α的二倍角,所以2311cos 152sin 4225αα--===, 又()0,2απ∈,所以0,42a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 44αα===cos所以sin sin sin cos cos sin 4444445252104απαπαπαπ+⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:C. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式,考查了同角公式,考查了两角和的正弦公式,属于中档题.4.B解析:B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭,利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α,β均为锐角,5cos()013αβ+=-<,,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,∴()12sin 13αβ+==,β均为锐角,5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,则1cos 322πβ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45(4152>,舍去),()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号,属于中档题.5.C解析:C 【解析】2020000000cos 10sin 10cos10sin10cos35(cos10sin10)cos35-+===-选C.6.A解析:A 【分析】先求α的正余弦三角函数,再求β的正余弦三角函数,然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案. 【详解】由角α的终边经过点1)22,得1sin ,cos 22αα==, 因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转34π得到的,所以3331sin sin()sin cos cos sin (4442πππβααα=-=-=⨯=3331cos cos()cos cos sin sin (4442πππβααα=-=+=+=1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-==, 故选:A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式的应用,属于中档题.7.D解析:D 【分析】由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再由二倍角公式化简,即可得结果. 【详解】162633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22171212()339sin πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭.故选D . 【点睛】本题主要考查了诱导公式,二倍角公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题.三角函数求值有三类,(1)“给角求值”;(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种系;(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.8.A解析:A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ,由此求得()f x 的最大值. 【详解】依题意()1cos 233sin 2sin 2222222x f x x x x -=+=-+12cos 2222262x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭,所以()f x =. 故选:A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式,考查三角函数的最值的求法,属于中档题.9.C解析:C 【解析】 因为cos()2cos()2παπα+=-,所以sin 2cos tan 2ααα-=-⇒=,所以1tan 1tan()41tan 3πααα--==-+,故选C. 10.D解析:D 【分析】先利用诱导公式化简,再利用正弦、余弦的二倍角公式化简可得结果 【详解】解:由()2sin 2cos21παα-=-,得2sin 2cos21αα=-, 所以24sin cos 12sin 1ααα=--,即22sin cos sin ααα=-, 因为()0,απ∈,所以sin 0α≠, 所以2cos sin αα=-, 因为22sin cos 1αα+=, 所以221sin sin 14αα+=,所以24sin 5α=,因为()0,απ∈,所以sin 0α>,所以sin 5α=, 故选:D 【点睛】此题考查诱导公式的应用,考查二倍角公式的应用,考查同角三角函数的关系,属于中档题11.C解析:C【解析】 试题分析:因,故应选C .考点:同角三角函数的关系及运用.12.A解析:A 【分析】首先根据三角函数诱导公式,可由等式()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求出tan 2α=;再由两角和的正切公式可求出tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】 解:()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴由三角函数诱导公式化简得:sin 2cos αα-=-,即得tan 2α=,tantan 124tan()34121tan tan 4παπαπα++∴+===---⋅.故选:A. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正切公式,考查运算求解能力,属于基础题型.二、填空题13.【分析】把已知等式两边平方求出的值再利用完全平方公式求出的值联立求解再结合同角三角函数间的基本关系可求得的值【详解】已知平方得得解得故答案为:【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系齐次方程的求解属解析:43-【分析】把已知等式两边平方,求出sin cos θθ的值,再利用完全平方公式求出sin cos θθ-的值,联立求解再结合同角三角函数间的基本关系可求得tan θ的值. 【详解】 已知1sin cos 5θθ+=,平方得()2221sin cos sin cos 2sin cos 25θθθθθθ+=++=,得12sin cos 25θθ=-, ∴()222sin cos sin cos 2sin cos 125252449θθθθθθ-=+-=+=,(0,)θπ∈,sin 0,cos 0θθ><,7sin cos 5θθ∴-=,7ta sin cos 1sin cos n 571t n 51a θθθθθθ=-=-+=+,解得4tan 3θ=-. 故答案为:43-【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系,齐次方程的求解,属于中档题.14.③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误;利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误;化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误;利用代入检验法可判断④的正误;解析:③④ 【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误;利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误;化简函数解析式,结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误;利用代入检验法可判断④的正误;利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】对于命题①,111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦, 所以,不存在实数α使得sin cos 1αα=,①错误; 对于命题②,sin cos 4πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭, 所以,不存在实数α使得3sin cos 2αα+=,②错误; 对于命题③,si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝, ()cos 2cos2x x -=,所以,函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数,③正确;对于命题④,当8x π=时,min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭, 所以,8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程,命题④正确;对于命题⑤,取9244παππ=+=,4πβ=,αβ>,但tan 1tan αβ==,⑤错误.因此,正确命题的序号为③④. 故答案为:③④. 【点睛】本题考查有关三角函数命题真假的判断,考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较,考查计算能力与推理能力,属于中等题.15.【分析】逆用两角和的正切公式进行化简即可得所求的值【详解】解:根据两角和的正切公式可得所以所以故答案为:【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用考查化简运算能力属于基础题解析: 【分析】逆用两角和的正切公式进行化简,即可得所求的值. 【详解】解:根据两角和的正切公式,可得tan80tan 40tan120tan(8040)1tan 40tan80︒︒︒︒︒︒︒+=+==-所以tan 40tan 80tan 40tan 80)40tan 80︒︒︒︒︒︒+=-=,所以tan 80tan 4080tan 40︒︒︒︒+=故答案为:. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用,考查化简运算能力,属于基础题.16.【分析】先分别设则在中由勾股定理得再分别表示出之后利用正切的和角公式求即可解决【详解】解:设则因为是直角三角形所以由勾股定理得:化简得在中在中所以又因为所以故答案为:【点睛】本题主要考查正切的和角公解析:4π【分析】先分别设PB x =,DQ y =,则在PCQ △中,由勾股定理得1xy x y -=+,再分别表示出tan BAP ∠,tan DAQ ∠,之后利用正切的和角公式求()tan BAP DAQ ∠+∠即可解决.【详解】解:设PB x =,DQ y =,则1CP x =-,1CQ y =-, 因为PCQ △是直角三角形,PB QD PQ +=,所以由勾股定理得:()()()22211x y x y -+-=+,化简得1xy x y -=+, 在ABP △中,tan BPBAP x AB∠==,在ADQ △中,tan DQDAQ y AD∠==, 所以()tan tan tan 11tan tan 1BAP DAQ x yBAP DAQ DAQ BAP xy∠+∠+∠+∠===-∠∠-,又因为02BAP DAQ π<∠+∠<,所以,=4PAQ π∠故答案为:4π 【点睛】本题主要考查正切的和角公式,数据处理能力与运算能力,是中档题.17.【分析】根据展开化简得到答案【详解】故故答案为:【点睛】本题考查了正切和差公式的应用意在考查学生的计算能力【分析】根据()tan60tan 2535︒=︒+︒,展开化简得到答案. 【详解】()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒故tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=【点睛】本题考查了正切和差公式的应用,意在考查学生的计算能力.18.【分析】将已知等式化边为角结合两角和的正弦公式化简可得已知由余弦定理和基本不等式求出的最大值结合即可求解【详解】由正弦定理及得因为所以化简可得因为所以因为所以由已知及余弦定理得即因为所以得所以当且仅解析:【分析】将已知等式化边为角,结合两角和的正弦公式化简可得B ,已知b ,由余弦定理和基本不等式,求出a c +的最大值,结合a c b +>,即可求解. 【详解】由正弦定理及22cos c a b A -=, 得2sin sin 2sin cos C A B A -=. 因为()C A B π=-+,所以()2sinsin 2sin cos A B A B A +-=.化简可得()sin 2cos 10A B -=.因为sin 0A ≠,所以1cos 2B =.因为0B π<<,所以3B π=.由已知及余弦定理,得2223b a c ac =+-=, 即()233a c ac +-=,因为0a >,0c >,所以()22332a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭,得()212a c +≤,所以a c +≤,当且仅当a c ==.又因三角形任意两边之和大于第三边,所以a c +>,a c <+≤故a c +的取值范围为.故答案为: 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形,利用基本不等式求最值,属于中档题.19.【分析】由题得再利用两角和公式求解即可【详解】因为所以所以故答案为:【点睛】本题考查正切函数的两角和公式属于基础题 解析:7-【分析】由题得tan 3α=,1tan 2β=,再利用两角和公式求解即可. 【详解】因为tan 30,2tan 10αβ-=-=, 所以tan 3α=,1tan 2β=, 所以()1t 32731n 2a αβ++==--, 故答案为:7-. 【点睛】本题考查正切函数的两角和公式,属于基础题.20.【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为:【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题解析:2【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值,由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<,则02πβ>->-,所以02παβ<-<,所以sin α==,()sin αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---131147=-==故答案为:2【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查两角差的正弦公式,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.三、解答题21.(1)最小正周期为π;(2)5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,. 【分析】(1)由三角函数恒等变换化简函数得()sin 2f x x =,由三角函数的周期公式可得答案;(2)由余弦的二倍角公式和辅助角公式得()g x 2sin23x π=-(),再由正弦函数的性质可求得函数的单调增区间. 【详解】 解:(1)函数()22sin cos 12cos 1cos 2sin 24444f x x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以函数()f x 的最小正周期为22ππ=.(2)()()22sin 22cos 1sin 2g x f x x x x x x =-=-=)2sin 23x π=-(),令222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈,,得51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈,,所以函数()g x 的单调增区间为51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,,. 【点睛】方法点睛:解决三角函数的周期和单调性等相关问题,先利用三角函数的恒等变换化简函数为一个角一个三角函数,再运用整体思想代入是常用的方法. 22.条件选择见解析;(1)1ω=,单调增区为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦,单调减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;(2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】化简()f x 1sin 262x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. (1)若选① ,根据周期公式可得ω;若选②,由12min22T x x π-==,可得周期和ω,再根据正弦函数的单调性可得()f x 单调区间; (2)由x 的范围求出26x π-及1sin 262x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的范围可得答案. 【详解】1cos 2()cos 2xf x x x ωωω-=+112cos 2222x x ωω=-+ 1sin 262x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)若选① ,则有T π=,222πωπ∴==,即1ω=,若选②,则有12min22T x x π-==, 222πωπ∴==,即1ω=,综上1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 于是由222()262πππππ-+≤-≤+∈k x k k Z ,解得()63ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ,即()f x 单调增区为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦,由3222()262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈, 解得5()36k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 所以()f x 单调减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(2)1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则2,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 则13sin 20,622x π⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以()f x 值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了()()sin f x A x b ωϕ=++的性质,有关三角函数的解答题,考查基础知识、基本技能和基本方法,且难度不大,主要考查以下四类问题;(1)与三角函数单调性有关的问题;(2)与三角函数图象有关的问题;(3)应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题;(4)与周期、对称性有关的问题,考查了计算能力. 23.(1)115sin cos 12αα+=-;(2)4tan 3α=-. 【分析】(1)将等式1sin cos 5αα+=两边平方,可求出sin cos αα的值,进而可求得11sin cos αα+的值; (2)法一:利用同角三角函数的基本关系可求得sin cos αα-的值,结合已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组,解出sin α、cos α的值,进而可求得tan α的值;法二:由弦化切可得出222sin cos tan 12sin cos tan 125αααααα==-++,可得出关于tan α的二次方程,由已知条件可得出tan 1α<-,由此可求得tan α的值. 【详解】(1)由1sin cos 5αα+=①,得()21sin cos 12sin cos 25αααα+=+=.12sin cos 25αα∴=-,所以,111sin cos 5512sin cos sin cos 1225αααααα++===--; (2)法一:由(1)知12sin cos 25αα=-,0απ<<,sin 0α>,cos 0α<,sin cos 0αα∴->.()249sin cos 12sin cos 25αααα∴-=-=,7sin cos 5αα∴-=②.由①②得,4sin 5α,3cos 5α=-,sin 4tan cos 3∴==-ααα; 法二:由(1)知12sin cos 25αα=-,22sin cos 1αα+=,22sin cos 12sin cos 25αααα∴=-+. 2222sin cos 12cos sin cos 25cos αααααα∴=-+,即2tan 12tan 125αα=-+,整理可得212tan 25tan 120αα++=,得4tan 3α=-或3tan 4α=-. 因为0απ<<,所以sin 0α>,cos 0α<, 又1sin cos 05αα+=>,所以sin cos αα>,tan 1α∴<-,所以4tan 3α=-. 【点睛】方法点睛:在利用同角三角函数的基本关系求值时,可利用以下方法求解:(1)应用公式时注意方程思想的应用,对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子,利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二; (2)关于sin α、cos α的齐次式,往往化为关于tan α的式子. 24.(1)17-;(2【分析】(1)原式可变形,上下同时除以cos α,代入3tan =4α-后,计算结果;(2)利用角的变换,先求()()cos2cos βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦,展开后代入三角函数值,化简求值,最后求cos β的值. 【详解】(1)原式上下同时除以cos α,变形为31tan 1143tan 1714αα-++==----; (2)0,022ππαβ<<<<,0αβπ∴<+<,22αβππ∴-<-<,()11cos 14αβ+=-,()sin αβ∴+==()sin 7αβ-=,()1cos 7αβ∴-=,()()cos2cos βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦()()()()cos cos sin sin αβαβαβαβ=+-++-111147⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 12=, ()20,βπ∈,236ππββ∴=⇒=,cos β∴=【点睛】思路点睛:本题第一问是关于sin ,cos αα的齐次分式,上下都是一次形式,则上下同时除以cos α,若上下都是二次形式,则上下同时除以2cos α,第二问是角的变换,将条件中的角看成一个整体,表示结论中的角,再求三角函数值. 25.(1 ;(2)415【分析】(1)先根据sin cos x x +的值和二者的平方关系联立求得 sin cos x x 的值,再把sin cos x x -平方即可求出;(2)结合(1)求sin x ,cos x 的值,最后利用商数关系求得tan x 的值,代入即可得解. 【详解】(1)∵sin cos 5x x +=, ∴21(sin cos )12sin cos 5x x x x +=+=, ∴2sin cos 5x x =-,∵0πx <<,∴sin 0x >,cos 0x <,sin cos 0x x -> ∴249(sin cos )12sin cos 155x x x x -=-=+=,∴sin cos x x -=. (2)sin cos 5x x +=,sin cos x x -=解得sin x =cos x = ∴sin tan 2cos xx x==- ∵4sin 25x =-,24sin 5x =,∴24sin 22sin 4551tan 81215x xx -++==-+. 【点睛】方法点睛:三角恒等常用的方法:三看(看角、看名、看式),三变(变角、变名、变式).26.(1)2-;(2)详见解析. 【分析】(1)首先变形sin 20tan 20cos 20=,再通分变形,利用辅助角公式化简求值;(2)利用诱导公式化简正切,即sin tan cos xx x=,代入后化简证明. 【详解】 (1)原式sin 20cos 203cos 20sin 40⎛⎫=-⋅⎪⎝sin 203cos 20cos 20cos 20sin 40⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()2sin 2060cos 20cos 20sin 40-=⋅2sin 40cos 20cos 20sin 40-=⋅2=- ;(2)原式sin 11tan cos sin 1tan 1cos xx x xx x--==++ ()()()2cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x xx x x x x x --==++- ()222222cos sin sin 21sin 2cos sin 1sin sin x x x x x x x x +--==---21sin 212sin xx -=-【点睛】 思路点睛:三角函数化简求值或证明,如果有正切,正弦和余弦时,第一步先正切化为正弦和余弦公式,第一题通分后利用辅助角公式化简;第二题,也可以左右都化简,证明等于同一个式子.。

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(答案解析)(1)

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(答案解析)(1)

一、选择题1.2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的,弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么sin 2θ的值为( )A .12B 3C .1225D .24252.已知函数()sin cos f x a x b x =+,其中,a b ∈R ,且0ab ≠,若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立,则( ). A .ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .()5π2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C .π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数D .π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数3.已知α,β均为锐角,5cos()13αβ+=-,3sin()35πβ+=,则sin()3πα-=( )A .3365B .3365-C .6365D .56654.角α的终边与单位圆的交点坐标为31)2,将α的终边绕原点顺时针旋转34π,得到角β,则cos()αβ+=( ) A 62-B 62+C 31- D .05.在ABC 中三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2223b c bc a +=,23bc a =,则角C 的大小是( )A .6π或23π B .3πC .23π D .6π 6.函数2()33sin cos f x x x x =+的最大值为( )A .2B .C .D .3+7.已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数,且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值,则ω的范围是( )A .3(0,]5B .13[,]25C .13[,]24D .15[,)228.已知3sin 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α=( )A B C D9.在斜三角形ABC 中,sin A cos B·cos C ,且tan B·tan C =1,则角A 的值为( ) A .4πB .3π C .2π D .34π10.已知cos()63πα+=sin(2)6πα-的值为( )A B .13C .13-D . 11.已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A .3-B .3C .13-D .1312.已知()0,απ∈,sin cos αα+=cos2=α( )A .BC .D 二、填空题13.给出下列命题:①存在实数α使得sin cos 1αα=; ②存在实数α使得3sin cos 2αα+=;③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-是偶函数; ④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程; ⑤若α、β是第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>, 其中正确命题的序号是______.14.函数2cos sin y x x =+的最大值为____________. 15.tan 80tan 4080tan 40︒+︒︒︒=________.16.在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.17.已知sin 3α=,()1cos 3αβ+=-,且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin β=_____.18.tan 25tan 3525tan 35+︒︒︒︒的值为________. 19.若tan 30,2tan 10αβ-=-=,则()tan αβ+=________.20.已知正n 边形的边长为a ,其外接圆的半径为R ,内切圆的半径为r .给出下列四个结论:①2sina R n π=;②2π2sina R n=;③2tan2aR r nπ+=;④π2tana R r n+=. 其中正确结论的序号是______.三、解答题21.(1)求值:4sin 220tan320-︒︒;(2)已知43sin ,4544x x πππ⎛⎫+=--<< ⎪⎝⎭,求22cos sin 2x x +的值. 22.已知1sin cos 5αα+=,其中0απ<<. (1)求11sin cos αα+的值; (2)求tan α的值.23.设函数()2cos 22sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 取得最大值时的自变量x 的值;(2)求函数()f x 的单调递增区间.24.已知函数2())2cos1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+=++-><<为偶函数,且()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π.(1)当5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的单调递增区间; (2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度,再把各点的横坐标缩小为原来12(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象.求函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.25.已知14cos ,sin()435πββα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭,其中π0π2αβ<<<<. (1)求tan β的值; (2)求cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.26.已知函数()sin (cos )2f x x x x =+-. (1)求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及函数()f x 的单调增区间; (2)若,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,不等式()2m f x m <<+恒成立,求实数m 的取值集合.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为1,设直角边分别为a ,根据大正方形的边长是直角三角形的斜边长列方程组求出直角边,然后得出sin θ,代入二倍角公式即可得出答案. 【详解】由题意可知小正方形的边长为1,直角边长度差为1,大正方形的面积为25, 边长为5,大正方形的边长是直角三角形的斜边长, 设直角三角形的直角边分别为a ,b 且a b <,则1b a =+,所以()2222125a b a a +=++=,得2120a a +-=,所以3a =或4a =-舍去, 所以4b =,∴3sin 5θ=,4cos 5θ=,24sin 22sin cos 25θθθ==. 故选:D . 【点睛】关键点点睛:本题考查了三角函数值、二倍角公式的计算,解答本题的关键是根据直角三角形的斜边长等于大正方形的边长求出直角三角形的一个直角边,考查了学生的运算求解能力.2.B解析:B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+,又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π4f a ⎛⎫==⎪⎝⎭a b =,整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,利用正弦函数的单调性可判断A ,利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ,进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠,利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+,其中tan baϕ=, 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立,知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值,所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭, 即22221122a b ab a b +++=,所以2211022a b ab +-=,即()2102a b -=, 所以a b =,tan 1b a ϕ==,可得4πϕ=,所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,对于选项A :9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又因为5912202πππ<<,则59sin sin 1220ππ<,当0a >时,ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当0a <时,ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项A 不正确; 对于选项B :sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+,故选项B 正确;对于选项C :sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数,故选项C 不正确;对于选项D :si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数,故选项D 不正确, 故选:B 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立,知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值,π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,属于中档题.3.B解析:B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭,3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭,利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α,β均为锐角,5cos()013αβ+=-<,,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,∴()12sin 13αβ+==,β均为锐角,5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,则1cos 32πβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45(4152>,舍去),()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号,属于中档题.4.A解析:A 【分析】先求α的正余弦三角函数,再求β的正余弦三角函数,然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案. 【详解】由角α的终边经过点1)2,得1sin ,cos 2αα==, 因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转34π得到的,所以3331sin sin()sin cos cos sin (4442πππβααα=-=-=⨯=3331cos cos()cos cos sin sin (4442πππβααα=-=+=+=1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-==, 故选:A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式的应用,属于中档题.5.A解析:A 【分析】由222b c a +=可得cosA =2bc =可得2A =C 值. 【详解】∵222b c a +=,∴cos A 222222b c a bc bc +-===, 由0<A <π,可得A 6π=,∵2bc =,∴24A =∴5sin 6C sinC π⎛⎫-=⎪⎝⎭)1sinCcosC 122cos C +-=解得50C 6π<< ∴2C=3π或43π,即C=6π或23π 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用,同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理,属于中档题.6.A解析:A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ,由此求得()f x 的最大值. 【详解】依题意()1cos 233sin 2sin 22222x f x x x x -=+=+12cos 2222262x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭,所以()f x =. 故选:A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式,考查三角函数的最值的求法,属于中档题.7.B解析:B 【分析】先化简函数,根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,则为函数含有零的增区间的子集,再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值,则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π,最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭, ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-,22sin sin sin x x x ωωω=+-,sin x ω=,令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈,则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈, 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数, 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦ 所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得35ω≤,令2,2x k k Z πωπ=+∈,因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值, 所以02ππω≤≤,所以12ω≥, 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选:B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.8.A解析:A 【分析】由平方关系得cos 8πα⎛⎫+⎪⎝⎭,然后由二倍角得出sin 24απ⎛⎫+⎪⎝⎭,cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再由两角差的余弦公式求得cos2α. 【详解】∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴5,888πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,若,828πππα5⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则23sin sin 8325ππα⎛⎫+>=> ⎪⎝⎭,∴,882πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴4cos 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,24sin 22sin cos 48825πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,237cos 2124525πα⎛⎫⎛⎫+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦72425225250=⨯+⨯=. 故选:A . 【点睛】本题考查两角差的余弦公式,考查平方关系同、二倍角公式,解题时需要确定角的范围,才能在由平方关系求函数值时确定是否是唯一解.9.A解析:A 【详解】由tan tan 1B C =可得sin sin (1cos cos B C B C =,进而得cos cos A C B =,由于sin cos A B C =, 所以sin cos A A =,可得4A π=,故选A.10.B解析:B 【解析】∵cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选B.11.A解析:A 【分析】首先根据三角函数诱导公式,可由等式()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=-⎪⎝⎭求出tan 2α=;再由两角和的正切公式可求出tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】 解:()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴由三角函数诱导公式化简得:sin 2cos αα-=-,即得tan 2α=,tantan 124tan()34121tan tan 4παπαπα++∴+===---⋅.故选:A. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正切公式,考查运算求解能力,属于基础题型.12.A解析:A 【分析】在等式sin cos 3αα+=两边同时平方可求得cos sin αα-的值,然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值.【详解】()0,απ∈,sin cos 3αα+=,两边平方后得:112sin cos 3αα+=,即1sin cos 3αα=-,sin 0α∴>,cos 0α<, ()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭,cos sin 3αα∴-=-,则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα=-=-+== 故选:A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值,同时也考查了同角三角函数平方关系的应用,考查计算能力,属于中等题.二、填空题13.③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误;利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误;化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误;利用代入检验法可判断④的正误;解析:③④ 【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误;利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误;化简函数解析式,结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误;利用代入检验法可判断④的正误;利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】对于命题①,111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦, 所以,不存在实数α使得sin cos 1αα=,①错误;对于命题②,sin cos 4πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭, 所以,不存在实数α使得3sin cos 2αα+=,②错误; 对于命题③,si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝, ()cos 2cos2x x -=,所以,函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数,③正确;对于命题④,当8x π=时,min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭, 所以,8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程,命题④正确; 对于命题⑤,取9244παππ=+=,4πβ=,αβ>,但tan 1tan αβ==,⑤错误.因此,正确命题的序号为③④. 故答案为:③④. 【点睛】本题考查有关三角函数命题真假的判断,考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较,考查计算能力与推理能力,属于中等题.14.【分析】将函数解析式变形为且有利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值【详解】且因此当时函数取得最大值故答案为:【点睛】本题考查二次型三角函数的最值利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题解析:98【分析】将函数解析式变形为22sin sin 1y x x =-++,且有1sin 1x -≤≤,利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值. 【详解】2219cos 2sin 12sin sin 2sin 48y x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,且1sin 1x -≤≤,因此,当1sin 4x =时,函数2cos sin y x x =+取得最大值98. 故答案为:98. 【点睛】本题考查二次型三角函数的最值,利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.15.【分析】逆用两角和的正切公式进行化简即可得所求的值【详解】解:根据两角和的正切公式可得所以所以故答案为:【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用考查化简运算能力属于基础题解析: 【分析】逆用两角和的正切公式进行化简,即可得所求的值. 【详解】解:根据两角和的正切公式,可得tan80tan 40tan120tan(8040)1tan 40tan80︒︒︒︒︒︒︒+=+==-所以tan 40tan 80tan 40tan 80)40tan 80︒︒︒︒︒︒+=-=,所以tan 80tan 4080tan 40︒︒︒︒+=故答案为:. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用,考查化简运算能力,属于基础题.16.1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得:∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为:1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析:1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数,即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭根的个数,∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=,解得:0x =, ∴方程只有一解,∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为:1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性,考查函数与方程思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.17.【分析】由已知分别求得再由展开两角差的正弦得答案【详解】解:∵∴∴∴又∴则故答案为:【点睛】本题考查同角三角函数间的关系正弦的差角公式给值求值型的问题属于中档题解析:9【分析】由已知分别求得cos α,()sin αβ+,再由()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦,展开两角差的正弦得答案. 【详解】解:∵sin α=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴1cos 3α==, ∴,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴()0,αβπ+∈,又()1cos 3αβ+=-,∴()sin αβ+==. 则()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦1133339⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭.故答案为:9. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系,正弦的差角公式,给值求值型的问题,属于中档题.18.【分析】根据展开化简得到答案【详解】故故答案为:【点睛】本题考查了正切和差公式的应用意在考查学生的计算能力【分析】根据()tan60tan 2535︒=︒+︒,展开化简得到答案.【详解】()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒故tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=【点睛】本题考查了正切和差公式的应用,意在考查学生的计算能力.19.【分析】由题得再利用两角和公式求解即可【详解】因为所以所以故答案为:【点睛】本题考查正切函数的两角和公式属于基础题 解析:7-【分析】由题得tan 3α=,1tan 2β=,再利用两角和公式求解即可. 【详解】因为tan 30,2tan 10αβ-=-=, 所以tan 3α=,1tan 2β=, 所以()1t 32731n 2a αβ++==--, 故答案为:7-. 【点睛】本题考查正切函数的两角和公式,属于基础题.20.①③【分析】首先根据正边形的某个边作出内切圆和外接圆的半径的图形分析与角的关系判断选项【详解】如图是正边形的外接圆的半径是内切圆的半径设在中综上可知正确的选项是①③故答案为:①③【点睛】关键点点睛:解析:①③ 【分析】首先根据正n 边形的某个边,作出内切圆和外接圆的半径的图形,分析,R r 与角的关系,判断选项. 【详解】如图,OA 是正n 边形的外接圆的半径,OB 是内切圆的半径, 设,OA R OB r ==,nπα=,2a AB =,在Rt OAB 中,2sin2sina a R nnππ==coscos2sina n r R nnπππ=⋅=,21cos 2cos 22sin 4sin cos22a a n n R r n n nπππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴+===cos 22sin 2tan 22a a n n n πππ=, 综上可知正确的选项是①③.故答案为:①③ 【点睛】关键点点睛:本题的关键是作图,根据正n 边形的某个边,作出示意图,同时相邻的R 与r 的夹角是nπ,下面的问题就迎刃而解. 三、解答题21.(1)3-2)825. 【分析】(1)利用诱导公式,同角三角函数的基本关系,二倍角公式,两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式求解即可;(2)先利用已知条件得到4x π+的范围,进而求出cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,再利用二倍角公式和诱导公式求解即可. 【详解】(1)4sin 220tan320-︒︒()()sin 18040tan 360404︒+︒-︒-=︒ sin 440tan 40︒+=-︒sin 440sin 40cos 40︒︒=-+︒sin 40cos 40sin 40cos 440︒︒+︒-=︒sin80sin 40co 402s -=︒+︒︒()0sin 3010cos 402cos1︒+︒+︒=-︒0sin 30cos10cos32cos 0sin10co 01s 4︒+︒︒+︒︒=-︒3cos1022cos 40-︒︒︒40cos 40︒==︒(2)344x ππ-<<, 422x πππ∴-<+<,则cos 04x π⎛⎫+>⎪⎝⎭, 所以3cos 45x π⎛⎫+=⎪⎝⎭, 又2cos 22cos 1x x =-,cos 2sin 2sin 22sin cos 2444x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭432425525⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭,则22412cos cos 2112525x x =+=-+=; sin 2cos 2cos 224x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2972cos 12142525x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以21782cos sin 2252525x x +=+=; 【点睛】关键点睛:本题主要考查了三角函数与三角恒等变换问题.灵活的运用诱导公式,同角三角函数的基本关系,二倍角公式,两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键.22.(1)115sin cos 12αα+=-;(2)4tan 3α=-. 【分析】(1)将等式1sin cos 5αα+=两边平方,可求出sin cos αα的值,进而可求得11sin cos αα+的值; (2)法一:利用同角三角函数的基本关系可求得sin cos αα-的值,结合已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组,解出sin α、cos α的值,进而可求得tan α的值;法二:由弦化切可得出222sin cos tan 12sin cos tan 125αααααα==-++,可得出关于tan α的二次方程,由已知条件可得出tan 1α<-,由此可求得tan α的值. 【详解】(1)由1sin cos 5αα+=①,得()21sin cos 12sin cos 25αααα+=+=. 12sin cos 25αα∴=-,所以,111sin cos 5512sin cos sin cos 1225αααααα++===--; (2)法一:由(1)知12sin cos 25αα=-,0απ<<,sin 0α>,cos 0α<,sin cos 0αα∴->.()249sin cos 12sin cos 25αααα∴-=-=,7sin cos 5αα∴-=②.由①②得,4sin 5α,3cos 5α=-,sin 4tan cos 3∴==-ααα; 法二:由(1)知12sin cos 25αα=-,22sin cos 1αα+=,22sin cos 12sin cos 25αααα∴=-+. 2222sin cos 12cos sin cos 25cos αααααα∴=-+,即2tan 12tan 125αα=-+,整理可得212tan 25tan 120αα++=,得4tan 3α=-或3tan 4α=-. 因为0απ<<,所以sin 0α>,cos 0α<, 又1sin cos 05αα+=>,所以sin cos αα>,tan 1α∴<-,所以4tan 3α=-. 【点睛】方法点睛:在利用同角三角函数的基本关系求值时,可利用以下方法求解:(1)应用公式时注意方程思想的应用,对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子,利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二; (2)关于sin α、cos α的齐次式,往往化为关于tan α的式子. 23.(1)π3x k π=-,k Z ∈时,()f x 取得最大值;(2)()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】(1)利用两角和的余弦公式、二倍角公式、辅助角公式对()f x 化简,再利用三角函数性质即可求解;(2)由(1)知()sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,解不等式3222262k x k πππππ+≤+≤+,k Z ∈即可求解.【详解】(1)()1cos 221cos 222f x x x x =-+-sin 216x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭, 所以当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,即2262x k πππ+=-,k Z ∈,即π3x k π=-,k Z ∈时,()f x 取得最大值.(2)由(1)知,()sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭, 要求其单调单增区间,只需求sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间, 令3222262k x k πππππ+≤+≤+,k Z ∈, 解得:263k x k ππππ+≤≤+,k Z ∈ 所以()f x 的单调递增区间为()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】方法点睛:已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+()0,0A ω>>的形式,然后将x ωϕ+看成一个整体,根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解.24.(1)单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2)最大值为2,最小值1-. 【分析】(1)首先利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 化简,再利用偶函数求出ϕ的值,再利用T π=求出ω的值,即可得()f x 的解析式,再利用余弦函数的单调递增区间即可求解;(2)利用三角函数图象变换的规律求出()g x 的解析式,再利用余弦函数的性质即可求值域. 【详解】(1)由题意函数2())2cos12x f x x ωϕωϕ+=++-)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭,因为函数()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π, 所以T π=,可得2ω=.又由函数()f x 为偶函数可得(0)2sin 26f πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭, 所以62k ππϕπ+=+,k ∈Z ,则3k πϕπ=+,k ∈Z .因为0ϕπ<<,所以3πϕ=,所以函数()2cos2f x x =,令222k x k πππ-≤≤,k ∈Z ,解得2k x k πππ-≤≤,k ∈Z ,当0k =时,02x ;当1k =时,2x ππ≤≤,又5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 可得函数()f x 的单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度可得2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,再把各点的横坐标缩小为原来的12,得到函数()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象, 当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. 当2433x ππ-=-,即12x π=-时, 函数()g x 取得最小值,最小值为1-; 当403x π-=,即12x π=时,函数()g x 取得最大值,最大值为2. 所以函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2,最小值是1-. 【点睛】方法点睛:已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,或()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的形式,然后将x ωϕ+看成一个整体,根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解. 25.(1)97+-2)315; 【分析】 由已知函数值以及角的范围得3444πππβ<-<,322ππαβ<+<,且()44ππββ=-+,()()44ππαβαβ+=+--,结合两角和差公式即可求值. 【详解】(1)2πβπ<<知:3444πππβ<-<, ∵1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin()43πβ-=,∴tan 4πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan tan[()]44ππββ=-+,∴tan()tan 944tan 71tan()tan 44ππββππβ-++===--- (2)由cos cos[()()]44ππαβαβ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭, ∴cos cos()cos()sin()sin()444πππαβαββαβ⎛⎫+=+-++- ⎪⎝⎭, 由π0π2αβ<<<<知:322ππαβ<+<, ∴由题意,得3cos()5βα+=-,结合(1)有sin()43πβ-=,∴3143cos 4535315πα⎛⎫+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】 关键点点睛:根据已知确定4πβ-,αβ+范围,并确定β,4πα+与已知角的关系,进而求函数值.26.(15,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈;(2)11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】(1)根据三角恒等变换化简函数()f x ,代值求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭,用整体代换法求单调递增区间; (2)求出函数在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域,原不等式等价于函数()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是(),2m m +的子集,列出不等式组化简即可.【详解】解:(1))21()sin (cos )sin 22sin 12f x x x x x x =+=+-1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以sin 2s 3in 333f ππππ⎛⎛⎫= ⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 故函数的单调增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ (2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 因为,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦不等式()2m f x m <<+恒成立 所以1112212m m m ⎧<-⎪⇒-<<-⎨⎪<+⎩ 所以实数m 的取值集合11,2⎛⎫--⎪⎝⎭. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t ),利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间;(2)图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右,图象上升趋势的区间为单调递增区间,图象下降趋势的区间为单调递减区间,画出三角函数的图象,结合图象易求它的单调区间.。

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三角恒等变换易错题剖析
三角函数是高中数学的重要内容,是高考考查的重点,热点.不论是三角函数的求值、化简、证明,还是其它与三角函数有关的考题,都涉及到利用三角恒等变换.三角变换的方法很多,如切割化弦,异角化同角,异名化同名等.在解题中,常需要对角的范围及三角函数值的符号情况进行讨论,甚至是一些变换技巧的应用,若审题不严不细,很容易出错.下面就学生在解三角恒等变换题目时常出现的几类错误进行剖析.
1. 变异为同,意识不强
已知2(tan )1sin f x x =+,则(cos 60)f =___________. 错解:1tan cos 602
x ==
,∴30x = 故25(cos60)1sin 304f =+=. 分析 本题考查函数解析式及函数值的求解,求()f x 的解析式在必修1教学时学过,是一大难点,本题需要用换元法求解析式.学生错误的原因首先是特殊角的三角函数值没有记准,其次考虑问题不到位,因为题目同时出现了tan ,sin ,1x x 等信息,肯定要用“切割化弦”,“1”的代换等将问题简化.
正解 2222
2222sin cos 2tan 1(tan )1sin sin cos tan 1x x x f x x x x x ++=+==++. 令2
tan t x =,则2221()1t f t t +=+, 故1
6(cos60)()25
f f ==. 2.未知化已知,衔接不当
例2已知1sin()64x π
+=,则25sin()sin ()63
x x ππ-+-=____________.
错解∵11sin()sin cos cos sin cos 666224
x x x x x π
π
π
+=+=+= , 又∵22sin cos 1x x +=,
解方程组,得1sin 88
x x +== 再将原式展开,把sin ,cos x x 值代入.(学生往往做到这,就做不下去了)
分析:上述解法是用常规思路求值,但计算过程比较麻烦,计算量大.本题只须先找准所求式子中的角与已知角的关系,即,,再利用诱
导公式转化为求已知角的余弦值,采用整体代入思想即可.
正解 ,则原式可整理如下:
3.定义域优先原则,容易忽视
例3分别求函数的奇偶性和周期.
错解 又
, ∴()f x 是奇函数. 又∵21
2T π
π== 故()f x 的周期是2π.
分析 利用公式将()f x 化简,是本题的突破口,得到的结果是()
tan 2x f x =.但在求奇偶性时,忽略了定义域优先的原则,要使函数有意义,,即须满足
,且此定义域不关于原点对称,从而
是非奇非偶函数.而的周期性需要从图象来判断.
正解:要使函数有意义,
则有,。

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