广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学-试卷
广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学试题
华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学试题第一部分 选择题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}02M x x =∈≤≤R ，{}11N x x =∈-<<R ，则M N =（ ）A ．{}01x x ≤≤B ．{}01x x ≤<∣C ．{}12x x <≤∣D {}12x x -<<2．复数20213i z i=+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知直线l ，m 和平面α，且l α⊥，则l ⊥m 是//m α的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重，经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从[)55,60，[)60,65，[]65,70这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间[)55,60的概率是（ ）A ．815B ．920C ．35D ．9105．已知a ，b 是两个夹角为3π的单位向量，则kb a -的最小值为（ ）A ．14 B ．12C ．34D 6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L ==（如图），其中1h 为雷达天线架设高度，为探测目标高度，2h 为地球半径．考虑到电磁波的弯 曲、折射等因素，R 等效取8490km ，故R 远大于1h ，2h ．假设某探测目标高度为25m ，为保护航母的安全，须在直视距离390kon 外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（ ）（参考数据：4.12≈）A ．6400mB ．7200mC ．8100mD ．10000m7．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点P 是抛物线C 上位于第一象限内的一点，M 为线段PF 的中点，MQ 垂直y 轴于点Q ，若直线QF 的倾斜角为α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则直线PF 的倾斜角为（ ）A ．αB ．2αC ．πα-D ．2απ-8．已知点A ，B ，C 是函数,03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象和函数,06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象的连续三个交点，若ABC 是锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．,4π⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对得5分，对而不全得3分，只要有一项选错，即得0分．9．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 满足()()2f x f x +=，()()2f x f x -=，且[]0,1x ∈时，()21f x x =+，则下列说法中，正确的是（ ）A ．2是()f x 的周期B ．1x =-不是()f x 图象的对称轴C ．() 20212f =D ．方程1()2f x x =只有4个实根 10．已知实数0a >，0b >，1a b +=，则下列说法中，正确的是（ ） A ．114a b+≤B ．22ab+≥C ．22log log 1a b ⋅≤D ．存在a ，b ，使得直线1ax by +=与圆221x y +=相切11．点C ，D 是平面α内的两个定点，2CD =，点A ，B 在平面α的同一侧，且24AC BC ==．若AC ，BC 与平面x 所成的角分别为512π，4π，则下列关于四面体ABCD 的说法中，正确的是（ ） A ．点A 在空间中的运动轨迹是一个圆 B ．ABC 面积的最小值为2C ．四面体ABCD 体积的最大值为D ．当四面体ABCD 的体积达最大时，其外接球的表面积为20π12．已知函数sin cos ()ee xx f x =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是增函数B ．4f x π⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数C ．()f x 在(0,)π上有两个极值点D ．设()()2f xg x x =，则满足144n n g g ππ+⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的正整数n 的最小值是2 第二部分 非选择题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+，根据最小二乘法计算可得ˆ7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为_________万元．14．42212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，P 为双曲线上一点，1PF 与双曲线C 的渐近线平行，且1PO FO =，其中O 为坐标愿点，则双曲线C 的离心率e =_________16．已知数列{}n a 的前n 项和2433n n S a n =+-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________，1n n a a +的取值范围为__________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知正项数列{}n a 满足11a =，11,(2)n n n n a a a a n ---=≥，等比数列{}n b 满足：21a b =，238b b a -=． （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设1211nn n n b b b T a a a -=+++，求n T ． 18．（本小题满分12分）已知函数()sin ,(,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭只能同时满足以下三个条件中的两个． ①函数()f x 的最大值是2；②函数()f x 的图象可由函数22()cos2sin cos sin 2222x x x xf x =+-左右平移得到； ③函数()f x 的对称中心与()f x 的对称轴之间的最短距离是4π．（1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数()y f x =的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足()1f B =，点D 为BC 的中点，且AD b =，求sin sin BACC∠的值．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C 的中点，PA PC ==，11111A B B C PB ===114A C =．（1）求证：PO ⊥平面ABC ； （2）求二面角B PA C --的余弦值．20．（本小题满分12分）．某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料． 现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10 的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收．方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验．若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收．假设拟购进的这批原料，合格率为()01p p <<，并用p 作为原料中每件产品是合格品的概率．若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担．（1）若23p =，记方案二中所需的检验费用为随机变量X ，求X 的分布列； （2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率，如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？并说明理由．21．（本小题满分12分）已知离心率为12的椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>有相同的焦点F ，且抛物线经过点()1,2P ，O 是坐标原点．（1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）已知直线:l x ty m =+与抛物线交于A ，B 两点，与椭圆交于C ，D 两点，若ABP 的内切圆圆心始终在直线PF 上，求OCD 面积的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数2()(1)(1)ln ,22x f x a x a x a =--+->．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()1f m f =且1m ≠，证明：(1,)x m ∀∈，(1)ln 1a x x ->-；（3）记方程243ln 42x x x -+=-的三个实根为1x ，2x ，3x ，若123x x x <<，证明：32x x -<。
广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三数学上学期期末试卷文(含解析)
广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三数学上学期期末试卷文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则N∩（∁R M）=（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣2≤x≤3} 2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．132 C．142 D．1545．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．6．函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（）A．2x+6B．﹣2x+6C．2x﹣6D．﹣2x﹣67．已知等差数列{a n}的通项公式a n=，设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|（n∈N*），当A n取得最小值时，n的取值是（）A．16 B．14 C．12 D．108．已知△ABC中，平面内一点P满足=+，若||=t||，则t的值为（）A．3 B．C．2 D．9．已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．12 D．1310．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．8 B．3 C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．设2m＞2n＞4，则log m2与log n2大小关系是．14．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t= ．15．函数y=xe x在其极值点处的切线方程为．16．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，，，…，，…成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n= ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f （A）=，求角C．18．性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱40 60 100不喜爱20 20 40总计60 80 140（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：p（k2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879k2=．19．如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若E是PC的中点．求三棱锥A﹣PEB的体积．20．设函数f（x）=alnx﹣bx2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线相切，求函数上的最大值．（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的，x∈（1，e2]都成立，求实数m的取值范围．21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．四.选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明]22．如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F．（Ⅰ）求证：BC∥DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知直线l过点P（﹣1，2），倾斜角α=，再以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则N∩（∁R M）=（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣2≤x≤3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，然后进行集合的补集、交集运算即可．【解答】解：M={x|x＞2，或x＜﹣2}，N={x|1＜x≤3}；∴∁R M={﹣2≤x≤2}；∴N∩（∁R M）={x|1＜x≤2}．故选A．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出Z的坐标得答案．【解答】解：复数Z=，对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．3．条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【分析】根据题意，解|x+1|＞2可以求出p为真的解集，从而得到¬p，由q 可得¬q为x＜2，进而能够判断出¬p是¬q的真子集，由集合间的关系与充分条件的关系可得答案．【解答】解：根据题意，|x+1|＞2⇔x＜﹣3或x＞1，则￢p：﹣3≤x≤1，又由题意，q：x≥2，则￢q为x＜2，所以￢p是￢q的充分不必要条件；故选A．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．132 C．142 D．154【考点】程序框图．【分析】由已知中程序的框图，我们可知程序的功能是利用循环结构，累乘变量i的值，由于循环的初值为12，终值为10，步长为1，故输出结果为S=12×11的值．【解答】解：由已知中程序的功能为：利用循环结构，计算S=12×11的结果，并输出．∵S=12×11=132．故选：B．5．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，根据图中数据与勾股定理求出SB的值．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中，AC=4，AC边上的高为，所以BC=4；在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=．故选：C．6．函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（）A．2x+6B．﹣2x+6C．2x﹣6D．﹣2x﹣6【考点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数的周期性．【分析】由已知中定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（3+x）=f （3﹣x），我们可以求出函数的对称轴和对称中心，根据函数对称性与周期性之间的关系，我们易求出函数的周期，进而结合当x∈（0，3）时f（x）=2x，即可求出当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）的解析式．【解答】解：∵f（3+x）=f（3﹣x），故直线x=3是函数y=f（x）的一条对称轴又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，故原点（0，0）是函数y=f（x）的一个对称中心则T=12是函数y=f（x）的一个周期设x∈（﹣6，﹣3）则x+6∈（0，3）时f（x+6）=2x+6=f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）=﹣2x+6故选B7．已知等差数列{a n}的通项公式a n=，设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|（n∈N*），当A n取得最小值时，n的取值是（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的通项公式可得数列首项和公差，且求得数列{a n}的前15项大于0，第16项等于0，第17项及以后项小于0．由此可知只有第16项为中间项时A n=|a n+a n+1+…+a n+12|最小，此时n=10．【解答】解：由a n=，可得等差数列的首项为a1=12，公差d=，则数列{a n}为递减数列，由a n==0，解得n=16．∴数列{a n}的前15项大于0，第16项等于0，第17项及以后项小于0．而a n+a n+1+…+a n+12为数列中的13项和，∴只有第16项为中间项时A n=|a n+a n+1+…+a n+12|最小，此时n=10．故选：D．8．已知△ABC中，平面内一点P满足=+，若||=t||，则t的值为（）A．3 B．C．2 D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】在CA上取CE=2EA，过点E作EP∥BC交AB于点P，过点P作PF∥AC 交BC于点F，可得，，可得点P满足=+，利用平行四边形法则即可得出．【解答】解：如图所示，在CA上取CE=2EA，过点E作EP∥BC交AB于点P，过点P作PF∥AC交BC于点F，则，，∴点P满足=+，∴，满足||=2||，又||=t||，∴t=2．故选：C．9．已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．12 D．13【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的对称性及直角三角形，可得∠AEF=45°，从而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值．【解答】解：∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB为直角，∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠AEF=∠BEF=45°，∴|AF|=|EF|，∵F为左焦点，设其坐标为（﹣c，0），令x=﹣c，则﹣=1，则有y=±，∴|AF|=，∴|EF|=a+c，∴=a+c∴c2﹣ac﹣2a2=0∴e2﹣e﹣2=0∵e＞1，∴e=2故选B．10．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．8 B．3 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=|x﹣3y|，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣3y过可行域内的点A时，从而得到z=|x﹣3y|的最大值即可．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z=x﹣3y，当直线经过A（﹣2，2）时，z=|x﹣3y|，取到最大值，Z m a x=8．故选：A．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△A B C=，∴V三棱锥S﹣A B C==．故选：C．12．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【分析】根据条件构造函数g（x）=，利用导数求函数的单调性，即可解不等式．【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增．∵f（0）=2，∴g（0）=，则不等式等价为，即g（x）＞g（0），∵函数g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．设2m＞2n＞4，则log m2与log n2大小关系是log m2＜log n2 ．【考点】对数值大小的比较．【分析】根据指数函数和对数函数的图象和性质比较即可【解答】解：∵2m＞2n＞22，∴m＞n＞2，∴log2m＞log2n＞1即＜，∴log m2＜log n2故答案为：log m2＜log n214．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t= 1 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．【解答】解：∵=（，1），=（0，﹣1），∴﹣2=，又=（t，），且﹣2与共线，则，解得：t=1．故答案为：1．15．函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．【解答】解：依题解：依题意得y′=e x+xe x，令y′=0，可得x=﹣1，∴y=﹣．因此函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．故答案为：y=﹣．16．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，，，…，，…成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n= ．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式分别求出对应的公差和公比，即可得到结论．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，，，，…，成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，∴，即（1+d）2=1•（1+4d），解得d=2，即a n=2n﹣1，∴，又等比数列a1，a2，a5的公比为q=，∴=3n﹣1，即k n=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）把函数解析式中第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，利用两角和的正弦函数公式化简，由函数在x=π处取最小值，把x=π代入到化简后的式子中并令f（x）等于﹣1，得到sinθ的值，然后利用θ的范围及特殊角的三角函数值即可求出θ的度数；（Ⅱ）把θ的值代入到f（x）中化简可得f（x）的解析式，然后把x等于A代入解析式，利用其值等于，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，然后由a，b和sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B的范围和特殊角的三角函数值即可求出B的度数，根据三角形的内角和定理即可求出C的度数．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sinx=sinx+sinxcosθ+cosxsinθ﹣sinx=sin（x+θ）．因为f（x）在x=π时取最小值，所以sin（π+θ）=﹣1，故sinθ=1．又0＜θ＜π，所以θ=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+）=cosx．因为f（A）=cosA=，且A为△ABC的角，所以A=．由正弦定理得sinB==，又b＞a，所以B=时，，当B=时，C=π﹣A﹣B=π﹣．18．性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱40 60 100不喜爱20 20 40总计60 80 140（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：p（k2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879k2=．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）由抽样比例求样本中的数据；（Ⅱ）代入公式求出k2的值，查表得结论；（Ⅲ）列出所有的基本事件，用古典概型概率公式求值．【解答】解：（Ⅰ）抽样比为=，则样本中喜爱的观从有40×=4名；不喜爱的观众有6﹣4=2名．（Ⅱ）假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，k2==≈1.167＜5.024；∴不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（Ⅲ）记喜爱乐嘉的4名男性观众为a，b，c，d，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1，2；则基本事件分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）．其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个，故其概率为P（A）==0.4．19．如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若E是PC的中点．求三棱锥A﹣PEB的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥底面PCD，利用面面垂直的判定，可得平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）证明点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离，利用等体积转换，即可求三棱锥A﹣PEB的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．…又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC∴正方形ABCD，∴AD⊥CD，…又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，…∵AD⊂平面PAD，∴PAD⊥底面PCD …（Ⅱ）解：∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离…又∵PD=DC，E是PC的中点∴PC⊥DE由（Ⅰ）知有AD⊥底面PCD，∴有AD⊥DE．由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．又∵PC∩BC=C∴DE⊥面PBC．…∴，，又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，∵AD∥BC，∴AD⊥BC∴∴…20．设函数f（x）=alnx﹣bx2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线相切，求函数上的最大值．（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的，x∈（1，e2]都成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出a，b的值，研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值；（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，已知条件转化为即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，则m≤h （a）m i n．由单调性求得最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题知f′（x）=﹣2bx，∵函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，∴解得，∴，当≤x≤e时，令f′（x）＞0得＜x＜1；令f′（x）＜0，得1＜x＜e，∴f（x）在（，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=﹣；（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，∴m≤h（a）m i n．∵x∈（1，e2]，∴lnx＞0，∴h（a）在a∈[0，]上单调递增，∴h（a）m i n=h（0）=﹣x，∴m≤﹣x对所有的x∈（1，e2]都成立．∵1＜x＜e2，∴﹣e2≤﹣x＜﹣1，∴m≤（﹣x）m i n=﹣e2．则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣e2]．21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由a2=b2+c2可得到a，b，c的值，进而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k1（x﹣2）+1，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再由，可确定k1的值，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），∵e==，且经过点M，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．…（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意直线l存在斜率，设直线l的方程为y=k1（x﹣2）+1，由，得（3+4k12）x2﹣8k1（2k1﹣1）x+16k12﹣16k1﹣8=0．因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），所以△=[﹣8k1（2k1﹣1）]2﹣4•（3+4k12）•（16k12﹣16k1﹣8）＞0．整理得32（6k1+3）＞0．解得k1＞﹣，又，因为，即，所以=．即．所以，解得．因为A，B为不同的两点，所以．于是存在直线l1满足条件，其方程为．…四.选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明]22．如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F．（Ⅰ）求证：BC∥DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）通过证明∠EDC=∠DCB，然后推出BC∥DE．（Ⅱ）解：证明∠CFA=∠CED，然后说明∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC=∠DAC，∠DAC=∠DAB，∠DAB=∠DCB，所以∠EDC=∠DCB，所以BC∥DE．…（Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA=∠CED由（Ⅰ）知∠ACF=∠CED，所以∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，因为=，所以∠CBA=∠BAC=2x，所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，则x=，所以∠BAC=2x=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知直线l过点P（﹣1，2），倾斜角α=，再以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，利用即可得出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入x2+y2=9，得，利用直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，可得曲线C的直角坐标方程x2+y2=9．（Ⅱ）将直线的参数方程代入x2+y2=9，得，设上述方程的两根为t1，t2，则t1t2=﹣4．由直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|=4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用函数的零点分区间，讨论当x≥3时，当x≤2时，当2＜x ＜3时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣2|，当x≥3时，f（x）≤﹣，即为（x﹣3）﹣（x﹣2）≤﹣，即﹣1成立，则有x≥3；当x≤2时，f（x）≤﹣即为（3﹣x）﹣（2﹣x），即1，解得x∈∅；当2＜x＜3时，f（x）≤﹣即为3﹣x﹣（x﹣2）≤﹣，解得，x≥，则有≤x＜3．则原不等式的解集为[，3）∪[3，+∞）即为[，+∞）；（2）由绝对值不等式的性质可得||x﹣3|﹣|x﹣a||≤|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，即有f（x）的最大值为|a﹣3|．若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，则有|a﹣3|≥a，即或，即有a∈∅或a≤．则a的取值范围是（﹣∞，]．。
广东省华附+深中+省实+广雅四校联考2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题
华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学命题学校：广东实验中学 定稿人：杨晋鹏 张淑华本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ，集合A ，B 满足A ⊆(A⋂B)，则下列关系一定正确的是( )A. A =BB. B ⊆AC. (∁U A)∩B =⌀D. A⋂(∁U B)=⌀2.已知复数z 满足i z i −=+1)1(，则z 2024=( )A. iB. −1C. 1D. −i3.直线x +2y +3=0关于直线y =−x 对称的直线方程是( )A. x +2y −3=0B. 2x +y −3=0C. x −2y −3=0D. 2x +3y +3=04.已知向量a 在b 方向上的投影向量的模为2，向量b 在a 方向上的投影向量的模为1，且)32)b a b a −⊥+（（，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．43π 5.若椭圆Γ1：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线Γ2：y 2b2−x 2a 2=1的离心率为( )A.321B.27 C. √ 3 D. √ 56. 在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R ，且某个车轮上的点P 刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S ，则此时P 到铁轨上表面的距离为（ ） A ．)cos 1(RS R +B ．)cos 1(R S R −C ．R S R sin 2D ．RS R sin7.若1ln )1)1=−=−b c e c a（（则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ． c ≤a ＜bB ． c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ≤c8.数列}{n a 的前n 项和n S ，且1112881−−−++=n n n n a n a a a ，),2(+∈≥N n n ，若11=a ，则 A ．3252024<<S B ．2522024<<S C ．2232024<<S D ． 2312024<<S 二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9.下列结论正确的是( )A. 若a >b,c >d ，则ac 2>bd 2B. 若ac 2>bc 2，则a >bC. “ab >1”是“a >1,b >1”成立的充分不必要条件D. 若a >b >1，则)1(log log 1+<+b b a a10. 已知圆C 1：122=+y x ，圆C 2：222)4()3(r y x =++−）（0>r ，P 、Q 分别是圆C 1与圆C 2上的点，则（ ）A .若圆C 1与圆C 2无公共点，则0＜r ＜4B .当r ＝5时，两圆公共弦所在直线方程为0186=−−y xC .当r ＝2时，则PQ 斜率的最大值为−724D .当r ＝3时，过P 点作圆C 2两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠不可能等于 π211.已知函数f(x)=x 3−3x 2，满足f (x )=kx +b 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则( ) A. 若k =0，则实数b 的取值范围是−4<b <0B. 过y 轴正半轴上任意一点仅有一条与函数 y =f (x )−1 相切的直线C. x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=kD.若 x 1，x 2，x 3成等差数列，则k +b =−212.已知正四面体O −ABC 的棱长为3，下列说法正确的是( )A. 若点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y +z =1，则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6B. 在正四面体O −ABC 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为√ 210C. 若正四面体O −ABC 的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为3√ 1010D.点Q 在△ABC 所在平面内且|QO|=2|QA|,则Q 点轨迹的长度为2√ 303π三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线1422=−y x ，则此双曲线的渐近线方程为 ．14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，a 4=4，a 7=10，则S n 的最小值为 ． 15.已知函数)3(sin )(2πω−=x x f (ω>0)的最小正周期为2π，且f (x )在[0,m]上单调递减，在[2m,5π3]上单调递增，则实数m 的取值范围是 ．16. 在同一平面直角坐标系中，M ，N 分别是函数34)(2−+−−=x x x f 和函数x axe ax x g −=)ln()( 图象上的动点，若对任意a ＞0，有|MN |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为______________． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。
广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学试题参考答案详解
则 g(x) ln(x x2) 2 .
易知
g(
x)
在
0，1 2
上单调递减.
因为
g
(
1 e2
)
ln(e2
1)
2
0，
g
(
1 2
)
2
ln
2
2
0
，所以存在
x0
1 e2
,
1 2
，使得
g(
x0
)
0
，且
x
0,
x0
时，g(x)
0
，g(x)
单调递增，x
x0，12
时，g(x)
0
，g(
x)
单调递减.
因为
19．（1）证明：连接 OB1 .
∵ PA1 PC1, O 为 A1C1 的中点, ∴ PO A1C1.
∵ A1C1 4, PA1 2 2 , ∴ PO PA12 OA12 2 .
………2 分
∵ A1B1 B1C1 , O 为 A1C1 的中点, ∴ OB1 A1C1.
∵ A1B1 2 3, A1O 2 , ∴ OB1 A1B12 OA12 2 2 . ………4 分 PB1 2 3, 故PB12 =OB12 OP2 , P O O1B.
令
f
(x)
log2
x log2 (1
x)=
ln
x ln(1 (ln 2)2
x)
,0
x
1，
因为
f
(x)
f
(1 x) ，故
f
(x) 关于 x
1 2
对称，故只需研究
x
0,
1 2
的情况即可.
f (x)
广东省华附、省实、广雅、深中2021 届高三四校联考数学答案(定稿)
揭阳市2020—2021学年度高中三年级教学质量测试数学试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
12345678ABDCABBD1.A本题考查集合的基本运算.解一元二次不等式求出集合}032|{2<--=x x x A ，再与集合}42|{≤≤=x x B 取交集，最后得出答案.因为}31|{}032|{2<<-=<--=x x x x x A ，所以}32|{<≤=x x B A .故选A.2.B本题考查复数的基本运算和复数的基本概念.根据复数的除法运算把复数化成)i(R ,∈+=b a b a z 的形式，再根据虚部定义得出答案.因为i 25i10i 21)(i 21()i 21)(i 24(i 21i 24-=-=-+--=+-=）z ，所以z 的虚部为-2.故选B.3.D本题考查计数原理的应用，完成该事情分两步：先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式；再用分步乘法原理求得答案.因为学生只能从东门或西门进入校园，所以3名学生进入校园的方式共823=种.因为教师只可以从南门或北门进入校园，所以2名教师进入校园的方式共有422=种.所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有3248=⨯种情况.故选D.4.C本题考查等比数列通项公式的应用，根据题目提供的条件列出曲线长度组成的数列{}n a 的前4项，本题所求的结果为4a .依题意得11a =，243a =，3169a =，46427a =.所以当进行三次操作后形成图3的曲线时，曲线的长度46427a =.故选C.5.A本题考查古典概型概率、组合数的应用.根据题目条件求出从八味药中任取四味共有多少种情况，再利用古典概型概率公式求得答案.记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件M .依题意得351C 2)(48==M P .故选A.6.B本题考查对数函数的运算和应用.根据函数图象求出1.0≥t 时的函数解析式，即求出a 的值，再解不等式求得答案.把点)1,1.0(代入ta y -=10中，1.0101-=a ，解得1.0=a .所以当1.0≥t 时，2.0101.0<=-ty ，解得8.02lg 1.1≈->t .至少需要经过48608.0=⨯分钟后，学生才能回到教室.故选B.7.B本题考查平面向量的坐标运算和基本不等式的应用.如图，建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量性质得到y x +的关系式，再利用基本不等式求最小值.如图，建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,4(B ，)3,4(C ，)3,0(D ，设)0,(m M ，),0(n N ，因为12=+AN AM ，所以12=+n m ，210<<m ，10<<n .因为AN y AM x AC +=，所以m x 4=，n y 3=，所以()492425188252989832=+≥++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+nm m n n m n m n m y x .当且仅当n m m n 188=，即72=m ，73=n 时取等号.故选B.8.D本题考查函数的综合应用.根据()(2)f x f x =-得到函数()f x 关于直线1x =对称，对任意121x x ≤<均有1212()[()()]0x x f x f x --<成立得函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.再利用函数的单调性解不等式求得答案.因为函数()f x 满足()(2)f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<均有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，所以函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.由对称性可知()f x 在(,1]-∞上单调递增.因为(21(30))f x f x ---≥，即(21(3))f x f x ≥--，所以|211||31|x x ≤----，即|22||2|x x ≤--，解得403x ≤≤.故选D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东华附省实广雅深中2021届高三四校联考
华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1-5题。
材料一：清代袁枚《续诗品》中，将“著我”列为二十四品中的一品：“不学古人，法无一可。
竟似古人，何处著我！字字古有，言言古无。
吐故纳新，其庶几乎！孟学孔子，孔学周公，三人文章，颇不相同。
”它一方面强调了风格的创新，另一方面强调了风格的独特性。
所谓“作诗不可以无我，无我，则剿袭敷衍之弊大”，家书创作与诗文创作一样要强调自我，强调个性，强调艺术的独特风格。
“著我”的家书，在创作中表现强烈的自我个性，表达了对艺术个性化的愿望和追求。
（选自《家书的审美风格》）材料二：以“真善美”为思想内核的家书，不仅让收信人重新观照自己，也鼓舞其他鉴赏者以美的理想和美的规律去创造新的生活，这就是家书表现出的审美功用。
家书价值的多元性首先表现在家书的认知功能，鉴赏者能够通过某些家书作品认识社会、了解历史，家书来自于特定的历史环境中，一封家书总是会带有时代的印记，家书写作过程中，常常涉及身边的真实事件。
由于家书是家人间的温情话语，它的认知价值，又表现为一种启迪，而非枯燥的说教。
更重要的是，它温馨智慧的家常话语，可以启发鉴赏者在家庭情感辐射的小天地内，去探索人类世界大生活的奥秘，思考生命的意义甚至体悟宇宙人生。
家书鉴赏之中的“赏玩”，则是侧重于家书的娱乐价值。
中国传统家书是文化和艺术的综合载体，那些写在各式信笺上的蝇头小楷和遵从着长幼礼仪的书信格式，都能给人以视觉上的审美感受。
即使是信封的设计与信纸的折叠，也是丰富多彩的，如伊犁人民出版社的《书信折纸基础》一书中，介绍了91种信封和信纸的折法，让人享受到中国传统文化熏染下的一场视觉盛宴。
不论是对家书书法、工艺的赏玩还是对家书故事的聆听，都可以触摸不同历史时空的鲜活容颜。
“诗可以兴，可以观，可以群，可以怨。
迩之事父，远之事君，多识于鸟兽草木之名。
广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考
华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考化学命题学校：深圳中学定稿人：深圳中学本试卷分选择题和非选择题两部分，满分100分，考试用时75分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己校名、姓名、考号、座位号等信息填写在答题卡指定区域，并用2B铅笔填涂相关信息。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案；答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Cl-35.5 K-39 Mn-55 Fe-56Co-59 Cu-64 Ag-108第一部分选择题（共44分）一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．化学与生活密切相关，下列有关说法错误的是A．乙醇、过氧化氢、次氯酸钠等消毒液均可以将病毒氧化而达到消毒的目的B．实施“煤改气”、“煤改电”等清洁燃料改造工程，有利于保护环境C．高纯度的二氧化硅广泛用于制作光导纤维，光导纤维遇强碱会“断路”D．“地沟油”经过加工处理后，可以用来制肥皂和生物柴油2．常温下，下列各组离子在溶液中能大量共存的是A．H+、K+、CN-、Cl-B．Ba2+、K+、OH-、NO－3C．NH＋4、Na+、SO2－3、ClO-D．Na+、Al3+、HCO－3、SO2－43．下列有关离子方程式正确的是A．用铜作电极电解KCl溶液：2Cl-+2H2O H2↑+Cl2↑+2OH-B．用稀硝酸洗涤试管内壁的银镜：Ag +NO－3+4H+= Ag++NO↑+2H2OC．少量Mg(OH)2溶于FeCl3溶液中：3Mg(OH)2+2Fe3+=2Fe(OH)3+3Mg2+D．大理石溶于稀醋酸：CaCO3+2H+=Ca2+ +CO2↑+ H2O4．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A．常温下，pH=2的亚硫酸溶液中含有的H+数目为0.01 N AB．标准状况下，2.24 L CHCl3含有的共价键数为0.4 N AC．1 mol N2与4 mol H2反应生成的NH3分子数为2 N AD．14 g乙烯和环丙烷混合气体中的氢原子数为2 N A5．下列有关物质的工业制法中，正确的是A．制钠：以海水为原料制得精盐，再电解熔融的NaClB．炼铜：电解精炼黄铜矿得到纯度为99.9％的铜C．制硅：用一氧化碳还原二氧化硅得硅D．制铝：电解液态氯化铝得铝6．下列实验操作能达到实验目的的是A．用排水法收集铜粉与浓硝酸反应的NO2B．用NaOH溶液滴定未知浓度的CH3COOH溶液，选用酚酞作指示剂C．在空气中蒸干硫酸亚铁溶液可以得到绿矾(FeSO4·7H2O)D．在容量瓶中加一定体积的水，再加入浓硫酸配制准确浓度的稀硫酸7．下列有关实验原理或操作正确的是A．分离酒精和水 B．干燥氨气C．配制0.1000 mol/L的食盐水 D．检查装置气密性8．柠檬烯的结构可表示为，关于柠檬烯下列说法错误的是A．分子中所有碳原子可能在在同一平面上B．可使溴的四氯化碳溶液褪色C．是苯乙烯的同系物D．该物质易溶于水9．NO催化O3生成O2的过程由三步基元反应构成：第一步：NO(g)+O3(g)=O2(g)+NO2(g) △H1 ；第二步：NO2(g)=O(g)+NO(g) △H2 ；第三步：O(g)+O3(g)=2O2(g) △H3 。
高三数学下学期四校试题理含解析试题
华附、实、深中、广雅2021届高三数学下学期四校联考试题 理〔含解析〕创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日一、选择题1|,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，那么〔 〕A. MNB. M NC. N MD.M N ⋂=∅【答案】B 【解析】【分析】首先求出集合M 、N 中的元素，由集合的包含关系即可求解.【详解】121|,,244k k M x x k Z x x k Z ⎧⎫-⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 12|,,424k k N x x k Z x k Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，2k Z +∈可表示全体整数，21k -表示全体奇数，∴MN ，应选：B【点睛】此题考察了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于根底题. 2.原命题为“假设12,z z 互为一共轭复数，那么12=z z 〞，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是〔 〕A. 真，假，真B. 假，假，真C. 真，真，假D. 假，假，假 【答案】B 【解析】试题分析：设复数1z a bi =+，那么21z z a bi ==-，所以12z z ==，故原命题为真；逆命题：假设12=z z ，那么12,z z 互为一共轭复数；如134z i =+，243z i =+，且125z z ==，但此时12,z z 不互为一共轭复，故逆命题为假；否命题：假设12,z z 不互为一共轭复数，那么12z z ≠；如134z i =+，243z i =+，此时12,z z 不互为一共轭复，但125z z ==，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假一样，所以逆否命题为真；应选B.考点：命题以及命题的真假.a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),那么向量b 在向量a 方向上的投影为( )A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到a (a +2b ),=0，化简得到a b =﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ), ∴a (a +2b ),=0， 即()2·20a a b += 即a b =﹣2∴向量b 在向量a 方向上的投影为·22a b a -==﹣1，应选B ．【点睛】此题主要考察向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵敏运用．解答关键在于要求纯熟应用公式．α∥β平面的一个充分条件是〔 〕A. 存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB. 存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC. 存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD. 存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 【答案】D 【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对； 对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对； 对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确考点：空间线面平行的断定与性质2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是 〔 〕A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C 【解析】【详解】令2()log 3sin()2f x x x π=-=0，可得2log 3sin()2x x π=，在同一平面直角坐标系内，画出y=2log ,3sin()2y x y x π==的图象，由图可得交点个数为3， 所以函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是3，应选C ．()sin 2cos2f x a x b x =-〔a ，b 为常数，0a ≠，x ∈R 〕在12x π=处获得最大值，那么函数3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是〔 〕 A. 奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 偶函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 奇函数且它的图象关于x π=对称D. 偶函数且它的图象关于x π=对称【答案】A 【解析】 【分析】首先根据可得()()222f x a b x θ=+-，然后根据正弦函数的图像与性质得到23k πθπ=--，再化简函数3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而求解问题.【详解】()()sin 2cos 22f x a x b x x θ=-=-，在12x π=处获得最大值，()22122k k Z ππθπ∴⨯-=+∈，那么23k πθπ=--，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()232x x y f x ππ∴+=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称.应选：A【点睛】此题考察了辅助角公式以及三角函数的图像与性质，需熟记三角函数的性质，属于根底题.()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，假设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =，那么{}n a 的前2021项之和为〔 〕 A. 0 B. 2021C. 4038D. 4040【答案】C 【解析】 【分析】由函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，平移可得()y f x =的图像关于2x =对称，由题意可得420164a a +=，利用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求的和. 【详解】函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，且函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，可得()y f x =的图像关于2x =对称，由数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =，可得420164a a +=，又{}n a 是等差数列， 可得42016120194a a a a +=+=， 所以{}n a 的前2021项之和为()120192019201940328a a S +==应选：C【点睛】此题考察了函数的平移变换、等差数列的性质以及等差数列的前n 项和，需熟记公式与性质，属于根底题.()2sin cos2f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为〔 〕A. ,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式将函数化为()22sin 2sin 1f x x x =-++，进而可得()2132sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，根据,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】()22132sin cos 22sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，令sin t x = ，由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，那么[]0,1t ∈ 所以213222y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减又sin t x =在,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；sin t x =在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减； 应选：B【点睛】此题主要考察了三角函数的性质以及复合函数的单调性，需熟记正弦三角函数的性质以及复合函数的单调性“同增异减〞的特征，此题属于中档题.f (x )＝2112x x ---的值域为( )A. [－43,43] B. [－43,0] C. [0,1] D. [0,43]【答案】C 【解析】令cos ,[0,π]x θθ=∈，那么sin 1()()cos 2f xg θθθ-==-的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点(cos ,sin )M θθ与点(2,1)A 连线的斜率k ，由图象，得01k ≤≤，即函数()f x 的值域为[0,1]，应选C.点睛：此题考察利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决此题的关键有两个，一是利用21x -的形式和平方关系联想到三角代换，二是由sin 1cos 2θθ--的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分表达了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.221x y +=，点1,0A ，ABC ∆内接于圆，且60BAC ∠=︒，当B ，C 在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是〔 〕 A. 2212x y +=B. 2214x y += C. 221122x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭D. 221144x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得12OD =，从而得BC 中点的轨迹方程.【详解】设BC 中点为D ，圆心角等于圆周角的一半，60BAC ∠=︒，60BOD ∴∠=，在直角三角形BOD 中，由1122OD OB ==，故中点D 的轨迹方程是：2214x y +=， 如图，由BAC ∠的极限位置可得，14x <.应选：D【点睛】此题考察了动点的轨迹方程问题，考察了数形结合的思想，属于根底题.11.F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，假设2AF FB =，那么C 的离心率是〔 〕A.3B.3D. 2【答案】A 【解析】试题分析：由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=，选A. 考点：双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率〔取值范围〕的策略求双曲线离心率是一个热点问题．假设求离心率的值，需根据条件转化为关于a ，b ，c 的方程求解，假设求离心率的取值范围，需转化为关于a ，b ，c 的不等式求解，正确把握c 2＝a 2＋b 2的应用及e ＞1是求解的关键．12. 假设正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB 、平面SBC 、平面SCA 的间隔 依次成等差数列，那么点P 在平面ABC 内的轨迹是 A. 一条线段 B. 一个点C. 一段圆弧D. 抛物线的一段【答案】A 【解析】 试题分析：设点到三个面的间隔 分别是.因为正三棱锥的体积为定值，所以为定值，因为.成等差数列，所以.∴为定值，所以点的轨迹是平行的线段．考点：等差数列的性质；抛物线的定义．点评：此题以等差数列为载体，考察正三棱锥中的轨迹问题，关键是分析得出P 到侧面SBC 的间隔 为定值． 二、填空题[]0,2上分别任取两个数m ，n ，假设向量(),a m n =，()1,1b =，那么满足1a b-≤的概率是______ .【答案】4π 【解析】 【分析】由向量的坐标求出满足1a b -≤的,m n 所满足的条件，结合[],0,2m n ∈，数形结合得出答案.【详解】由(),a m n =，()1,1b =，得()1,1a b m n -=-- 由1a b -≤()()22111m n -+-≤，即()()22111m n -+-≤，,m n 满足0202m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出图像如图：圆()()22111m n -+-=的面积为π，正方形OABC 的面积为4. 那么1a b -≤的概率是4π. 故答案为：4π 【点睛】此题考察了几何概型的概率求法，解题的关键是变量满足的条件，属于根底题.{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且311nnAn B n +=+，那么25837a a ab b ++=+______. 【答案】215【解析】 【分析】由等差数列的性质，258537532a a a a b b b ++=+，结合等差数列的前n 项和公式得到9595A a B b =，在311n n A n B n +=+中取9n =即可得出答案. 【详解】数列{}n a 、{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n A 和n B ，那么258537532a a a a b b b ++=+，且()()1955919559922922a a a a A b b b b B +===+， 又311n n A n B n +=+，595939114915a A b B ⨯+∴===+， 所以25853753314212255a a a ab b b ++==⨯=+. 故答案为：215【点睛】此题考察了等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于根底题.~(2,)X B p ，2~(2,)Y N σ，假设(1)0.64P X ≥=，(02)P Y p <<=，那么(4)P Y >=__________．【答案】0.1 【解析】∵随机变量服从()~2,X B p ，∴()()202111p 0.64P X C ≥=--=，解得：0.4p =.又()2~2,Y N σ，∴()()()400.5020.1P Y P Y P Y >=<=-<<=ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22222b a c =+，当()tan B A -取最大值时，角A 的值是______. 【答案】6π【解析】 【分析】利用正弦定理以及二倍角公式将22222b a c =+化为()2cos2cos2sin0B A A B -++=，再由两角和与差的公式将式子化为sin cos 3cos sin B A B A =，由此可得tan 3tan B A =，代入()tan B A -的展开式，利用根本不等式即可求解.【详解】由22222b a c =+，2222sin 2sin sin B A C ∴=+，()21cos21cos2sin B A A B ∴-=-++， ()2cos2cos2sin 0B A A B ∴-++=，()()()()()2cos cos sin 0B A B A B A B A A B ∴++--+--++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ()()()2sin 2sin sin A B A B B A ∴+=+-， ()()sin 2sin A B B A ∴+=-，即sin cos 3cos sin B A B A =，tan 3tan B A ∴= ，由三角形ABC ∆为锐角三角形，所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan B A AB A B A AA A--===≤+++，当且仅当13tan tan A A =，即tan A =，6A π=取等号 故答案为：6π【点睛】此题考察了正弦定理边化角、两角和与差的公式、二倍角公式以及根本不等式，需熟记公式，综合性比拟强，属于中档题. 三、解答题{}n a 满足：12a =，()1422n n a a n n -+=-≥.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列{}n b 满足：()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，求数列{}n b 的通项公式.【答案】〔Ⅰ〕2n a n =；〔Ⅱ〕221n n b =- 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=，令2n n c a n =-，推出1n n c c -=-，根据n c 的特征即可求出. 〔Ⅱ〕根据题意可得()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥，与原式作差再由〔Ⅰ〕即可求解.【详解】〔Ⅰ〕由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=. 令2n n c a n =-，那么10n n c c -+=，即1n n c c -=-. 因为12a =，所以1120c a =-=， 所以0n c =，即20n a n -=，故2n a n =.〔Ⅱ〕由()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=， 可知()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥，两式作差得()()12122nn n n b a a n --=-=≥，即()2221n nb n =≥-. 又当1n =时，也112b a ==满足上式， 故221n n b =-. 【点睛】此题考察了由递推关系式求通项公式以及n S 与n a 的关系，属于中档题. 18.某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如下图．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量互相HY ．〔1〕求在将来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；〔2〕用ξ表示在将来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】〔1〕∴0.06;〔2〕见解析. 【解析】试题分析：根据频率分布直方图求频率要注意小条形的面积代表频率，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件的概率，可根据4天中有2天发生的概率公式计算，根据二项分布列出频率分布列，计算数学期望.试题解析：〔1〕设日销量为x ，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件A ．那么()1000.002500.006500.4P x ≤=⨯+⨯=，()1500.005500.25P x ≥=⨯=，∴()22240.40.250.06P A C =⨯⨯=．〔2〕日销售量不低于100枝的概率0.6P =，那么()~4,0.6B ξ，于是()()440.60.40,1,2,3,4k k k P k C k ξ-==⋅⋅=，那么分布列为ξ0 1 2 3 4P166259662521662521662581625∴16962162168101234 2.4625625625625625E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、HY 性检验是高考需要掌握的统计知识，概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差.19.如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.〔Ⅰ〕记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；〔Ⅱ〕设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕//l 平面PAC ，证明见解析；〔Ⅱ〕,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】〔Ⅰ〕证出//EF 平面ABC ，由线面平行的性质定理可证出//EF l ，再由线面平行的断定定理即可求解.〔Ⅱ〕法一：证出FBC ∠是二面角E l C --的平面角，1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠，根据ABC ∠的范围即可求解.法二：以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面DBF 的法向量与平面BCD 的法向量，利用向量的数量积即可求解. 【详解】〔Ⅰ〕证明如下：∵//EF AC ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ， ∴//EF 平面ABC .又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ， ∴//EF l .而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ， ∴//l 平面PAC .〔Ⅱ〕解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连结DE ，FB . 由〔Ⅰ〕知，//BD AC ，而AC BC ⊥，∴BD BC ⊥. ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC BD ⊥. 而PC BC C ⋂=，∴BD ⊥平面PBC ， 又∵FB ⊂平面PBC ，∴BD BF ⊥， ∴FBC ∠是二面角E l C --的平面角.1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠. 注意到02ABC π<∠<，∴0cos 1ABC <∠<，∴tan 1FBC ∠>.∵02FBC π<∠<，∴,42FBC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，即二面角E l C --的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 解法二：由题意，AC BC ⊥，以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，()02BC t t =<<，那么()0,,0B t ，()0,0,2F ，()24,,0Dt t -，()0,,2BF t =-，()24,0,0BD t =-.设平面DBF 的法向量为(),,m x y z =，那么由00m BF m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩得22040ty z t x -+=⎧-=，获得2y =()0,2,m t =. 易知平面BCD 的法向量()0,0,1n =，设二面角E l C --的大小为θ，易知θ为锐角，222cos 0,2441m n t m nttθ⋅⎛⎫===⎪ ⎪⋅+⎝⎭+， ∴42ππθ<<，即二面角E l C --的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】此题考察了线面平行的性质定理、断定定理以及求面面角、空间向量法求面面角，考察了学生的空间想象才能以及推理才能，属于中档题.C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，过左焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭.〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕设M 为C 上一个动点，过点M 与椭圆C 只有一个公一共点的直线为1l ，过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求证：1l 与2l 的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.【答案】〔Ⅰ〕2212x y +=；〔Ⅱ〕证明见解析，2x =-，【解析】 【分析】〔Ⅰ〕设()11,A x y ，()22,B x y ，根据点A ，B 都在椭圆上，代入椭圆方程两式相减，根据“设而不求〞的思想，结合离心率以及中点坐标公式、直线的斜率建立等式即可求解.〔Ⅱ〕设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半局部的方程为y =1l 的方程，再由过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求出2l ，两方程联立，消去y ，即可求解.【详解】〔Ⅰ〕由题可知(),0F c -，直线AB 的斜率存在. 设()11,A x y ，()22,B x y ，由于点A ，B 都在椭圆上， 所以2211221x y a b +=①，2222221x y a b +=②，①-②，化简得2221222212y y b a x x --=-③又因为离心率为2，所以2212b a =.又因为直线AB 过焦点F ，线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以1243x x +=-，1223y y +=，12121323y y x x c -=--+，代入③式，得1213324233c ⨯-=⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1c =.再结合222a c b -=，解得22a =，21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=.〔Ⅱ〕证明：设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半局部的方程为y =()'x y =-=，又1l 过点M且与椭圆只有一个公一共点，所以102l x k y ==-， 所以1l ：()00002x y y x x y -=--，④ 因为2l 过点F 且与MF 垂直，所以2l ：()11x y x y+=-+，⑤ 联立④⑤，消去y ，得220000122x x x y x x +=----，又220012x y +=，所以002202x x x +⋅++=，从而可得2x =-， 所以1l 与2l 的交点在定直线2x =-上.【点睛】此题考察了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考察了圆锥曲线中“设而不求〞的思想，考察了学生的计算才能，属于中档题.()ln f x x a x =+，a R ∈.〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；〔Ⅲ〕试问过点()1,3P 可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；〔Ⅲ〕见解析，理由见解析【解析】 【分析】〔Ⅰ〕首先求出函数的定义域和导函数，根据导函数分类讨论a 的取值范围；当0a ≥时，当0a <时，分析()f x '的正负即可求解.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕中的导函数讨论a -是否在区间[]1,2内，利用函数的单调性求出函数的最值，使()min 0f x >即可解不等式即可.〔Ⅲ〕法一：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，讨论a 的取值范围，分析函数()g x 的的单调性以及()0g x =在()0,∞+上的零点即可求解； 法二：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，别离参数可得12ln 1x x a +-=-，令()1ln 1x g x x =+-，讨论()g x 的单调性求出函数()g x 的值域，根据值域确定2a-的范围即可求解. 【详解】〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为{}|0x x >，()'1a x af x x x+=+=.〔1〕当0a ≥时，()'0f x >恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 〔2〕当0a <时，令()'0f x =，得x a =-.当0x a <<-时，()'0f x <，函数()f x 为减函数； 当x a >-时，()'0f x >，函数()f x 为增函数.综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为()0,a -，单调递增区间为(),a -+∞.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，〔1〕当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，()()min 11f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； 〔2〕当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1,a -上为减函数，在(],2a -上为增函数，所以()()()min ln f x f a a a a =-=-+-.依题意有()()min ln 0f x a a a =-+->，解得a e >-，所以21a -<<-. 〔3〕当2-≥a 时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以()()min 22ln 2f x f a ==+.依题意有()min 2ln 20f x a =+>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-. 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零. 另解：当1x =时，显然ln 10x a x +=>恒成立.当(]1,2x ∈时，ln 0x a x +>恒成立ln x a x ⇔>-恒成立ln x a x⇔>-的最大值. 令()ln x m x x =-，那么()21ln '0ln x m x x -=>，易知()ln xm x x=-在(]1,2上单调递增， 所以()m x 最大值为()22ln 2m =-，此时应有2ln 2a >-.综上，a 的取值范围是2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.〔Ⅲ〕设切点为()000,ln x x a x +，那么切线斜率01ak x =+， 切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 因为切线过点()1,3P ，那么()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭.即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.①令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，那么()()22111'a x a x x x g x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 〔1〕当0a <时，在区间()0,1上，()'0g x >，()g x 单调递增； 在区间()1,+∞上，()'0g x <，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为()120g =-<. 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式. 因此当0a <时，切线的条数为0.〔2〕当0a >时，在区间()0,1上，()'0g x <，()g x 单调递减，在区间()1,+∞上，()'0g x >，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为()120g =-<.取211ax e e +=>，那么()2211121120a a g x a eae a ----⎛⎫=++--=> ⎪⎝⎭. 故()g x 在()1,+∞上存在唯一零点.取2121ax ee--=<，那么()22112211224a a g x a e ae a a ++⎛⎫=--+--=-- ⎪⎝⎭21221a a e a +⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.设()211t t a=+>，()2t u t e t =-，那么()'2t u t e =-. 当1t >时，()'220tu t e e =->->恒成立.所以()u t 在()1,+∞单调递增，()()120u t u e >=->恒成立. 所以()20g x >.故()g x 在()0,1上存在唯一零点.因此当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线.〔3〕当0a =时，()f x x =，显然不存在过点()1,3P 的切线.综上所述，当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线； 当0a ≤时，不存在过点()1,3P 的切线.另解：设切点为()000,ln x x a x +，那么切线斜率01a k x =+， 切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 因为切线过点()1,3P ，那么()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭， 即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭. 当0a =时，020-=无解.当0a ≠时，12ln 1x x a+-=-， 令()1ln 1x g x x =+-，那么()21'x g x x-=， 易知当01x <<时，()21'0x g x x -=<；当1x >时，()21'0x g x x-=>，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.又()10g =，且()()0lim lim x x g x g x →→+∞==+∞， 故当20a ->时有两条切线，当20a-<时无切线， 即当0a <时有两条切线，当0a >时无切线. 综上所述，0a <时有两条切线，0a ≥时无切线.【点睛】此题考察了导数在研究函数单调性性的应用以及函数的零点，综合性较强，属于难题.l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩〔t 为参数，0απ≤<〕，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线,444πππθφφθφ⎛⎫=-<<=+ ⎪⎝⎭，4πθφ=-分别与曲线C 交于、、A B C 三点〔不包括极点O 〕.(Ⅰ)求证：2OB OC OA +=； (Ⅱ)当12πφ=时，假设B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)22,3m πα==. 【解析】 试题分析：(Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程可得点A B C 、、的极径，即得到,,OA OB OC ，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据12πφ=可求得点B,C 的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC 的直角坐标方程，结合方程可得m 与α的值． 试题解析：〔Ⅰ〕证明：依题意，，，，那么．〔Ⅱ〕当时，两点的极坐标分别为，，故两点的直角坐标为，.所以经过点的直线方程为，又直线经过点，倾斜角为，故，．()222f x x a x a =+-+-.(Ⅰ)假设()13f <，务实数a 的取值范围；(Ⅱ)假设不等式()2f x ≥恒成立，务实数a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)2433⎛⎫- ⎪⎝⎭，；(Ⅱ)26,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】 试题分析：〔Ⅰ〕由()13f <可得123a a +-<，根据分类讨论法解不等式组即可．〔Ⅱ〕根据绝对值的几何意义求得()f x 的最小值为(1)2af -，由(1)22a f -≥可得实数a 的取值范围． 试题解析： 〔Ⅰ〕由可得，， ①当时，不等式化为，解得，∴；② 当时，不等式化为，解得，∴； ③ 当时，不等式化为，解得， ∴.综上实数的取值范围是．〔Ⅱ〕由及绝对值的几何意义可得，当时，获得最小值．∵不等式()2f x ≥恒成立，∴，即，解得或者．∴实数的取值范围是.创作人：历恰面日期：2020年1月1日。
广东省2023华附省实广雅深中四校联考数学参考答案
华附、省实、广雅、深中2023届高三四校联考数学参考答案及评分标准1.【答案】B【解析】{1,2,3,4,5}U =，{1,3,4}A =，{4,5}B =，{1,2,3}U B ∴=，则(){1,3}U A B ⋂=，故选：.B2.【答案】C【解析】(1)(2)1 3.i i i −−=−故选：C . 3.【答案】B【解析】由图，因为3ACD ABD S S ∆∆=，故3CD BD =，可得3144AD AB AC =+， 则313115(+)422()444422AB AD AB AB AC ⋅=⋅=⨯+⨯⨯⨯−=,故选：.B4. 【答案】A【解析】直角梯形绕AB 旋转一周所得的圆台的体积为128(1648)33hV h ππππ=++=圆台；1(4+2)32ABCD S h h ==，故记重心G 到AB 的距离为',h 则28=(2')3,3h h h ππ⋅则14'=9h ,故选：A .5. 【答案】C【解析】如右图所示，1F 关于渐近线OM 的对称点P 在双曲线上，则12||||||OP OF OF ==. 所以21PF PF ⊥，OM 是12F F P ∆的中位线，进而1||||F M MO b a a −=−= . 所以离心率c e a =故选：C .6. 【答案】C【解析】由1212n n n a a a ++⋅⋅=−得：12312n n n a a a +++⋅⋅=−，两式相除得：31n na a +=，即3n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 由12a =−，214a =得：3121112a a a =−=； 记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则312k k T ⎛⎫=− ⎪⎝⎭614T ≤=，3114111=221222k kk T a T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−−≤=−⨯−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，231521111=2224kk kT a a T +⎛⎫⎛⎫=−−−≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()max 1n T =.故选：C . 7. 【答案】D【解析】根据“局部奇函数”定义知：()()f x f x −=−有解，即方程()933933x x x xm m −−−⋅−=−−⋅−有解，则()993360x x x x m −−+−⋅+−= 即()()2333380x x x x m −−+−+−=有解；设33x x t −=+，则2t ≥（当且仅当0x =时取等号），方程等价于280t mt −−=在2t ≥时有解，8m t t∴=−在2t ≥时有解；8y t t=−在[)2,+∞上单调递增，82t t ∴−≥−，2m ∴≥−，即实数m 的取值范围为[)2,−+∞.故选：D . 8. 【答案】C【解析】依题意得1AB =,11B C ⊥平面11AB C ，则111B C AB ⊥,在11AB C △中，11111AB M B MC AB C S S S +=△△△故1sin 1sin 122MN MNC MPA ∠∠+=⋅1sin sin MPA MN MNC ∠+∠=又1sin ,sin MPA MN MNC MN ∠∠≤1sin sin MPA MN MNC MN ∠+∠+即MN +90MPA ∠=，190MNC ∠=时取等号当90MPA ∠=时，M 为1AC 的中点，此时当190MNC ∠=时，N 为11B C 的中点MN +故选：C . 9. 【答案】BD【解析】对于A ，因为0a b >>，()()33033b a b b a a a a −+−=<++，33b b a a +∴<+，故A 错误； 对于B ，因为0a b >>，所以22a b >，所以()()()()()2223223320232323b a a b b a a b a b a a b b a b b a b b−+−++−==<+++，3223a b aa b b +∴<+，故B 正确； 对于C ，因为0a b >>，>>所以故C 错误； 对于D ，因为0a b >>，所以lg lg lg 22a b a b++>=，故D 正确． 故选：BD ．10.【答案】BCD【解析】()cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+，因为()()2f x f x π+=−，所以()()f x f x π+=，故π是()y f x =的一个周期，故2||()k k Z ππω⨯=∈，即||2k ω=，又03ω<<，故2ω=，A 错误； 因为()2sin(2)6f x x π=+，当512x π=时，26x ππ+=，由于(,0)π是2sin y x =的一个对称中心，B 正确;由题有()2sin(22)6g x x s π=+−在[,]66ππ−上单调递减， 故有2262()32222s k k Z s k ππππππ⎧−−≥+⎪⎪∈⎨⎪−≤+⎪⎩，化简得()23k s k k Z ππππ−−≤≤−−∈， 当2k =−时，3523s ππ≤≤，因为*s N ∈，故s 可以取5，C 正确； 因为*s N ∈，故1k ≤−，当1k =−时，223s ππ≤≤，可知min 2s =，D 正确；故选：BCD.11.【答案】ACD【解析】不妨把两点设为1122(,),(,)A x y B x y ，焦点为(1,0)F ， 对于选项A ，1||11FA x =+≥，显然成立，选项A 正确；对于选项B ，联立直线1x my =+与抛物线24y x =，得2440y my −−=，所以124y y =−，进而221212144y y x x =⋅=，得121230x x y y +=−<，所以cos 0AOB ∠<. 所以90AOB ∠>，选项B 错误；对于选项C ，依题意，122y y =−，结合124y y =−，得2212y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2212y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，进而m =，选项C 正确；对于选项D ，依题意0PA PB k k +=，整理得12122(43)()240my y m y y −+++=，代入解得2m =−或34m =（舍去）. 选项D 正确. 故选:ACD .12. 【答案】ABD【解析】对于A ，在()()121f x f x +=−中令0x =，则()()10210f f +=−，所以()10f =，故A 正确；对于B ，当0x >时，()()121f x f x +=−，对()()121f x f x +=−两边求导，则()()()()111122f x f x f x '''=−+=−−−，所以0x >时，()()()()()1111102f x f x f x f x f x '++'−'−'=−+'−−=−<， 所以()10f x '−>，令1x μ−=，1μ∴<，()0f μ'>， 所以()f x 在(],1−∞上单调递增，所以B 对；对于C ，由B 知，()f x 在(],1−∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，由()()1212,x x f x f x <<知12,x x 不可能均大于等于1，否则211x x >≥，则()()12f x f x >，这与条件矛盾，舍去.①若121x x <≤，则()()12f x f x <，满足条件，此时，122x x +<；’ ②若121x x <<，则221x −<，而()()2222f x f x =−，则()()()222022f x f x f x −=−−<，所以()()()()221222f x f x f x f x <−⇒<−，而12,21x x −<，所以121222x x x x <−⇒+<，C 错；对于D ，由()f x 在(],1−∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，知()()10f x f ≤=，注意到11022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110g f =+>，33022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1213,1,1,22x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()()12f x f x <，则122x x +<，则()()()111222cos cos cos *cos f x x x x f x x ππππ⎧=⎪⇒<⎨=⎪⎩， 所以()()121212222cos cos 2cos x x x x x x x πππππ<−=>−<⇒⇒−(()12,2,2x x ππππ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭)，这与()*矛盾，舍去.所以()()()()21211f x f x f x f x >⇒>，在0x ≥时，()()121f x f x +=−中，令()()111122x x f x f x =−⇒−=，而由122122x x x x +⇒<−<，所以()()()()212122f x f x f x f x >−⇒>，所以()()212f x f x <，故D 正确. 故选：ABD . 13. 【答案】1（写出一个即可）【解析】依题意，该直线过圆心或垂直于PC ，圆心到直线距离为0d =或d PC =，221r d =+，所以1r =或r .14. 【答案】92π【解析】VA VB VC V ==在平面ABC 的射影为三角形ABC 的外心。
2023-2024学年广东省广州市华附、省实、广雅、深中四校联考高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市华附、省实、广雅、深中四校联考高三（上）期末数学试卷一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆（A∩B）（）A．A＝B B．B⊆A C．A∩（∁U B）＝∅D．（∁U A）∩B＝∅2．已知复数z满足，则z2024＝（）A．i B．﹣1C．1D．﹣i3．直线x+2y+3＝0关于直线y＝﹣x对称的直线方程是（）A．x+2y﹣3＝0B．2x+y﹣3＝0C．x﹣2y﹣3＝0D．2x+3y+3＝04．已知向量在方向上的投影向量的模为，向量在，且，则向量与向量（）A．B．C．D．5．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线（）A．2B．C．D．36．我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表面接触，则此时P到铁轨上表面的距离为（）A．B．C．D．7．若（1﹣c）e a＝（1﹣c）lnb＝1，则a，b（）A．c≤a＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a≤c8．数列{a n}的前n项和S n，且，若a1＝1，则（）A．B．C．D．二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．下列结论正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac2＞bd2B．若ac2＞bc2，则a＞bC．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”成立的充分不必要条件D．若a＞b＞1，则log a b＜log a+1（b+1）10．已知圆C1：x2+y2＝1，圆C2：（x﹣3）2+（y+4）2＝r2（r＞0），P、Q分别是圆C1与圆C2上的点，则（）A．若圆C1与圆C2无公共点，则0＜r＜4B．当r＝5时，两圆公共弦所在直线方程为6x﹣8y﹣1＝0C．当r＝2时，则PQ斜率的最大值为D．当r＝3时，过P点作圆C2两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可能等于11．已知函数f（x）＝x3﹣3x2，满足f（x）＝kx+b有三个不同的实数根x1，x2，x3，则（）A．若k＝0，则实数b的取值范围是﹣4＜b＜0B．过y轴正半轴上任意一点仅有一条与函数y＝f（x）﹣1相切的直线C．x1x2+x2x3+x1x3＝kD．若x1，x2，x3成等差数列，则k+b＝﹣212．已知正四面体O﹣ABC的棱长为3，下列说法正确的是（）A．若点P满足，且x+y+z＝1，则的最小值为B．在正四面体O﹣ABC的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为C．若正四面体O﹣ABC的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为D．点Q在△ABC所在平面内且|QO|＝2|QA|，则Q点轨迹的长度为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知双曲线方程为＝1，则该双曲线的渐近线方程为．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），a4＝4，a7＝10，则S n的最小值为．15．已知函数的最小正周期为2π，且f（x），m]上单调递减，在上单调递增．16．在同一平面直角坐标系中，M，N分别是函数和函数g（x）（ax）﹣axe x图象上的动点，若对任意a＞0，有|MN|≥m恒成立．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18．（12分）在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．（1）求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率；（2）若抽4次，抽到X道代数题，求随机变量X的分布列和期望．19．（12分）已知函数f（x）＝axe x（a≠0），g（x）＝﹣x2．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，f（x）与g（x）有公切线20．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣EFGH中，点M是正方体的中心（0＜α＜π）后，得到四棱锥M'﹣B'CGF'．（1）若，求证：平面MBF⊥平面M'B'F'；（2）是否存在α，使得直线M'F'⊥平面MBC，若存在；若不存在，请说明理由．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b＝c+h．（1）若c＝3h，求tan C的值；（2）求cos C的取值范围．22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，C的离心率为，椭圆上有三点Q、R、S，直线QR、QS分别过F1，F2，△QRF2的周长为8．（1）求C的方程；（2）设点Q（x0，y0），求△QRS面积S△QRS的表达式（用y0表示）．2023-2024学年广东省广州市华附、省实、广雅、深中四校联考高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆（A∩B）（）A．A＝B B．B⊆A C．A∩（∁U B）＝∅D．（∁U A）∩B＝∅解：因为集合A，B满足A⊆（A∩B），对A：当A为B的真子集时，不成立；对B：当A为B的真子集时，也不成立；对C：A∩（∁U B）＝∅，恒成立；对D：当A为B的真子集时，不成立；故选：C．2．已知复数z满足，则z2024＝（）A．i B．﹣1C．1D．﹣i解：，则，故z＝i，z2024＝i2024＝i8＝1．故选：C．3．直线x+2y+3＝0关于直线y＝﹣x对称的直线方程是（）A．x+2y﹣3＝0B．2x+y﹣3＝0C．x﹣2y﹣3＝0D．2x+3y+3＝0解：直线x+2y﹣3＝8上任意一点（x，y）关于y＝﹣x的对称点（﹣y，代入得：（﹣y）﹣2x+3＝3，整理得：2x+y﹣3＝3，故选：B．4．已知向量在方向上的投影向量的模为，向量在，且，则向量与向量（）A．B．C．D．解：由题意，有，即，由，可得，即，由题知，，∴，∵，∴＝．故选：B．5．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线（）A．2B．C．D．3解：椭圆（a＞b＞2）的离心率为，可得，即：，可得，在则双曲线中，由，即，可得，∴e＝．故选：C．6．我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表面接触，则此时P到铁轨上表面的距离为（）A．B．C．D．解：当列车行驶的距离为s时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为s，∴车轮转过的角度为，P点的初始位置为P0，设车轮的中心为O，当时，作PQ⊥OP0，垂足为Q，如下图所示，则OQ＝OP＝R cos，∴P到铁轨表面的距离为；当时，PM⊥MP0，作ON⊥PM，垂足为N，则PN＝OP•sin（）＝﹣R cos，∴P到铁轨表面的距离为；当时，PM⊥MP0，作ON⊥MP，垂足为N，则，∴P到铁轨表面的距离为；当时，作PQ⊥OP0，垂足为Q，如下图所示，则OQ＝OP＝R cos，∴P到铁轨表面的距离为；当或或π或时；当时，点P到铁轨表面的距离为，综上所述：点P到铁轨表面的距离为．故选：C．7．若（1﹣c）e a＝（1﹣c）lnb＝1，则a，b（）A．c≤a＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a≤c解：画出函数图象如下．根据函数图象可知．故选：A．8．数列{a n}的前n项和S n，且，若a1＝1，则（）A．B．C．D．解：由已知得：n≥2时，，，故＝+（﹣）≥4+2+...+2＝4n﹣1，即≥4n﹣1≤，即n≥2时，a n≤＜＝（﹣），则1＝a8＜S n＝a1+a2+...+a n＜2+（4﹣+﹣﹣）＝﹣＜，即有1＜S2024＜．故选：D．二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．下列结论正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac2＞bd2B．若ac2＞bc2，则a＞bC．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”成立的充分不必要条件D．若a＞b＞1，则log a b＜log a+1（b+1）解：A：当a＝2，b＝1，d＝﹣4时；B：两边同时除以c2即可，B正确；C：ab＞1不一定a＞2，b＞1，所以为必要不充分条件；D：，D正确．故选：BD．10．已知圆C1：x2+y2＝1，圆C2：（x﹣3）2+（y+4）2＝r2（r＞0），P、Q分别是圆C1与圆C2上的点，则（）A．若圆C1与圆C2无公共点，则0＜r＜4B．当r＝5时，两圆公共弦所在直线方程为6x﹣8y﹣1＝0C．当r＝2时，则PQ斜率的最大值为D．当r＝3时，过P点作圆C2两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可能等于解：根据题意，依次分析选项：对于A，当圆C1在圆C2的内部时，r没有最大值；对于B，当r＝7时2：（x﹣3）3+（y+4）2＝25，其圆心为（6，﹣4），圆C1：x2+y2＝1，圆心为（7，半径为1，圆心距d＝5，有8﹣1＜5＜6+1，将两圆的方程作差可以公共弦的直线方程为6x﹣3y﹣1＝0，B正确；对于C，当r＝6时如图一，有半径比可知，可得，故C正确；对于D选项，点P在P2位置时，点P在P1位置时所以中间必然有位置使得．故选：BC．11．已知函数f（x）＝x3﹣3x2，满足f（x）＝kx+b有三个不同的实数根x1，x2，x3，则（）A．若k＝0，则实数b的取值范围是﹣4＜b＜0B．过y轴正半轴上任意一点仅有一条与函数y＝f（x）﹣1相切的直线C．x1x2+x2x3+x1x3＝kD．若x1，x2，x3成等差数列，则k+b＝﹣2解：对于A，因为f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），所以f（x）在（﹣∞，6）和（2，在（0，且f（0）＝3，所以，当f（x）＝b有三个不同的实数根x1，x2，x2时，﹣4＜b＜0；对于B，设（4，（m＞0）0，y6），y0＝f（x0）﹣7＝﹣6，f'（x6）＝3﹣6x0，所以函数y＝f（x）﹣7在点（x0，y0）处的切线方程为：y﹣（﹣3﹣6x0）（x﹣x7），又因为切线过点（0，m）﹣3﹣3x0）（﹣x0），即m＝﹣7+4，令g（x）＝﹣7x3+3x2﹣1，g'（x）＝﹣6x8+6x＝﹣6x（x﹣7），所以g（x）在（﹣∞，0）和（1，在（4，且g（0）＝﹣1，g（1）＝0，所以直线y＝m与函数g（x）的图象只有一个交点，即过y轴正半轴上任意一点仅有一条与函数y＝f（x）﹣2相切的直线，故B正确；对于C，由于方程f（x）＝kx+b有三个根x1，x2，x7，所以x3﹣3x4﹣kx﹣b＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x2）＝x3﹣（x1+x8+x3）x2+（x5x2+x2x8+x1x3）x﹣x6x2x3，展开可知x4x2+x2x2+x1x3＝﹣k，故C不正确；x6+x2+x3＝7，当x1，x2，x6成等差数列时，x1+x2+x8＝3x2，所以x7＝1，f（1）＝1﹣3﹣k﹣b＝0，故D正确．故选：ABD．12．已知正四面体O﹣ABC的棱长为3，下列说法正确的是（）A．若点P满足，且x+y+z＝1，则的最小值为B．在正四面体O﹣ABC的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为C．若正四面体O﹣ABC的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为D．点Q在△ABC所在平面内且|QO|＝2|QA|，则Q点轨迹的长度为解：已知正四面体O﹣ABC的棱长为3，对于A，因为点P满足，可知点P是平面ABC上的一点．又因为正四面体O﹣ABC是棱长为3，所在立方体的棱长，的最小值为点O到平面ABC的距离，即为立方体体对角线的，又立方体体对角线的长为，则的最小值为，故A正确；对于B，因为正四面体O﹣ABC的体积为立方体的体积减去四个小三棱锥的体积：，而正四面体O﹣ABC四个面的面积都是，设正四面体O﹣ABC的内切球半径为r，又，解得，因为正四面体Q﹣DEF在正四面体O﹣ABC的内部，且可以任意转动，所以最大正四面体Q﹣DEF外接球直径为，因此最大正四面体Q﹣DEF外接球也是棱长为的正方体的外接球，所以正四面体Q﹣DEF的体积最大值为，故B不正确．对于C，在正方体AC1BO1﹣A7CB1O内，过O作平面OO1A5，分别交AB、AC1于点G、A2，过C作平面CC5B2，分别交AB、BO1于点H、B4，且平面OO1A2∥平面CC3B2，由正四面体O﹣ABC的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，其中平面OO1A6和平面CC1B2为中间的两个平面，易知A6为AC1的中点，B2为O8B的中点，因为正方体AC1BO1﹣A6CB1O是棱长为，所以，所以点A到O1A2的距离为，所以每相邻平行平面间的距离为，故C正确；对于D选项：由|QO|＝3|QA|可知点Q的轨迹是平面ABC与以M点为球心，2为半径的球的截面圆，其中M点在OA的延长线上且MA＝1，M点到平面ABC的距离为，所以截面圆周长为，故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知双曲线方程为＝1，则该双曲线的渐近线方程为．解：双曲线方程为＝1．故答案为：．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），a4＝4，a7＝10，则S n的最小值为﹣2．解：设等差数列{a n}的公差为d，则，解得，∴S n＝﹣2n+＝n2﹣3n＝（n﹣）2﹣，∴当n＝1或7时，S n取得最小值，最小值为﹣2．故答案为：﹣2．15．已知函数的最小正周期为2π，且f（x），m]上单调递减，在上单调递增．解：由的最小正周期为2π，得．则＝＝＝，根据图像可知，函数f（x）在，在上单调递增，若f（x）在[0，m]上单调递减，在，则，解得．故答案为：．16．在同一平面直角坐标系中，M，N分别是函数和函数g（x）（ax）﹣axe x图象上的动点，若对任意a＞0，有|MN|≥m恒成立．解：g（x）＝ln（ax）﹣axe x＝ln（ax）﹣e x+ln（ax）≤ln（ax）﹣[x+ln（ax）+1]＝﹣x﹣1，由，得（x﹣4）2+y2＝6（y≤0），数形结合可知，MN最小值为圆心到直线y＝﹣x﹣1的距离减去半径．当且仅当，即时取到最值．所以实数m的最大值为．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．解：（1）由，当n≥2时，，两式相减可得：，又n＝7时，S1＝a1＝4满足上式，所以S n＝n（n+1）•2n﹣5，n∈N*，S n﹣1＝n（n﹣1）•3n﹣2，n≥2，则，又n＝1时，a4＝2满足上式，则；（2）由（1）可得，＝（n+3）•3n﹣2，则，即，两式相减得：＝8+2n﹣1﹣（n+4）•2n﹣1，即T n＝（n+4）•2n﹣1﹣8．18．（12分）在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．（1）求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率；（2）若抽4次，抽到X道代数题，求随机变量X的分布列和期望．解：记A i表示事件“第i次抽到代数题”，i＝1，2，⋯，3，（1）由条件概率公式可得＝，所以第一次抽到几何题的条件下，第二次抽到代数题的概率为；（2）由题意，随机变量X的可能取值为：3，1，2，6，4，，，，，，所以X的分布列为：所以：．19．（12分）已知函数f（x）＝axe x（a≠0），g（x）＝﹣x2．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，f（x）与g（x）有公切线解：已知f（x）＝axe x（a≠0），函数定义域为R，可得f′（x）＝a（x+1）e x，当a＞2时，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）单调递减；当x∈（﹣1，+∞）时，f（x）单调递增；当a＜6时，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）单调递增；当x∈（﹣1，+∞）时，f（x）单调递减，综上，当a＞4时，﹣1）上单调递减，+∞）上单调递增；当a＜0时，函数f（x）在（﹣∞；在（﹣5；（2）不妨设公切线与y＝f（x）和y＝g（x）的切点分别为，此时，所以切线方程为，即，可得，因为g（x）＝﹣x2，可得g′（x）＝﹣6x，此时k＝2b，所以切线方程为y＝﹣2bx+b6，所以，可得，不妨设，可得，当0＜x＜3时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜4，所以当x＝1时，函数h（x）取得极大值，当x→6时，h（x）→0，h（x）→0，所以，可得时，故实数a的取值范围为．20．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣EFGH中，点M是正方体的中心（0＜α＜π）后，得到四棱锥M'﹣B'CGF'．（1）若，求证：平面MBF⊥平面M'B'F'；（2）是否存在α，使得直线M'F'⊥平面MBC，若存在；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：在棱长为2的正方体ABCD﹣EFGH中，点M是正方体的中心，将四棱锥M﹣BCGF绕直线CG逆时针旋转α（0＜α＜π）后，得到四棱锥M'﹣B'CGF'，若，则平面DCGH．连接BH，BF'，M'是BF'中点，∴平面MBF与平面BFHD重合，平面M'B'F'与平面BFF'B'重合，由正方体性质得：BF⊥平面EFF'H，∴∠HFF'为二面角H﹣BF﹣F'的平面角，∵，∴，∴由面面垂直的判定定理得平面MBF⊥平面M'B'F'，故将四棱锥M﹣BCGF绕直线CG逆时针旋转时，平面MBF⊥平面M'B'F'；（2）解：假设存在α，使得直线M'F'⊥平面MBC，以C为原点，分别以，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，6），0，0），﹣2，∴，设是平面MBC的法向量，则，取y＝1，得，取CG中点P，BF中点Q，PM，PQ⊥CG，∴∠MPM'是二面角M﹣CG﹣M'的平面角，∠MPQ是二面角M﹣CG﹣Q的平面角，∠QPM'是二面角Q﹣CG﹣M'的平面角，∴，∴，且CG⊥平面，∴，同理可得F'（2cosα，2sinα，∴，∵，，∴，∵直线M'F'⊥平面是平面MBC的一个法向量，∴∥，∴存在λ∈R，使得，则由题意得，∵此方程组无解，∴假设不成立，使得直线M'F'⊥平面MBC，综上所述，不存在α∈（0，使得直线M'F'⊥平面MBC．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b＝c+h．（1）若c＝3h，求tan C的值；（2）求cos C的取值范围．解：（1）在△ABC中，由余弦定理和a+b＝c+h可得，，又由三角形的面积公式可知，，所以，所以，由c＝4h，得，又，所以，所以；（2）由（1）知．如图，在△ABC中，且使EB＝3h，则CE＝CB＝a，因为a+b＝c+h≥|AE|，即（c+h）2≥c2+6h2，得，所以，所以，所以，所以，由，得，所以，所以cos C的取值范围为．22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，C的离心率为，椭圆上有三点Q、R、S，直线QR、QS分别过F1，F2，△QRF2的周长为8．（1）求C的方程；（2）设点Q（x0，y0），求△QRS面积S△QRS的表达式（用y0表示）．解：（1）易知△QRF 2的周长，解得a＝7，因为椭圆C的离心率为，所以，解得，则b4＝a2﹣c2＝7，故C的方程为；（2）易知直线QR和直线QS的斜率不为零，不妨设直线QR和直线QS的方程为，，Q（x0，y0），R（x3，y1），S（x2，y6），联立，消去x并整理得，由韦达定理得，，同理得，，因为点Q在直线QR和QS上，所以，，此时，整理得，即，同理得，整理得，即，不妨设y0＞8，因为＝，因为，所以＝＝＝，因为点Q在椭圆C上，所以，则S△QRS＝＝．。
2020-2021学年广东省广州市、深圳市四校(广雅、华附、省实、深中)联考高二(下)期末数学试卷
2020-2021学年广东省广州市、深圳市四校（广雅、华附、省实、深中）联考高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．分钟1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩B＝（）A．{2，3，4}B．{2，3}C．{2，4}D．{3，4}2．（5分）已知z∈C，则“z2＝﹣|z|2”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件3．（5分）多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）若（x﹣a）（1+2x）5的展开式中x3的系数为20，则a＝（）A．﹣B．C．D．5．（5分）已知四边形ABCD满足，点M满足，若，则x+y ＝（）A．3B．C．2D．6．（5分）已知α为第四象限角，且，则cosα＝（）A．B．C．D．7．（5分）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A、B、C、D，满足AB＝CD＝5，BD＝AC＝6，AD＝BC＝7，则该鞠的表面积为（）A．68πB．63πC．60πD．55π8．（5分）已知函数，且a＝f（log3e），b＝f（log30.5），c＝f（ln3），则a，b，c的大小为（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.9．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间上单调递增D．为偶函数10．（5分）已知由样本数据点集合{（x i，y i）|i＝1，2，…，20}（其中＝＝3）求得的回归直线方程l1：＝1.5x+0.5，记此模型对应的相关指数为R12．观察残差图发现：除了数据点（1.2，2.2）和（4.8，7.8）明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程l2：，记此模型对应的相关指数为R22，则下列结论中正确的是（）A．变量x与y正相关B．记＝y i，则＝5C．R12＞R22D．11．（5分）设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：x＝ty+1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A．|AB|≥4B．可能大于0C．若P（2，2），则|P A|+|AF|≥3D．若在抛物线上存在唯一一点Q（异于A，B），使得QA⊥QB，则t＝±12．（5分）已知函数f（x）＝axlnx+（lnx）2，下列关于f（x）的说法中正确的是（）A．当且仅当a＝0时，f（x）有唯一的零点B．f（x）最多有两个极值点C．若a≥0，则f（x）仅有一个极值点D．若f（x）无极值点，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）m⊥n；（2）α⊥β（3）n⊥β（4）m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：．14．（5分）若直线l：ax+by﹣5＝0（ab＞0）始终平分圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25的周长，则的最小值为．15．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a52+a62＝a72+a82，则S12＝．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，侧面P AB，侧面P AC，侧面PBC与底面所成的角均为，若AB＝2，CA+CB＝4，且△ABC是锐角三角形，则三棱锥P﹣ABC体积的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①S n+1＝2S n+2；②；③S n＝a n+1﹣2这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且满足_____．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和为T n．18．（12分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表．用频率估计概率，解答下列问题：序号12345678910智能体温计36.636.636.536.536.536.436.236.336.536.3测温36.636.536.736.536.436.436.236.436.536.4水银体温计测温序号1112131415161718192036.336.736.235.435.235.637.236.836.636.7智能体温计测温36.236.736.235.435.335.63736.836.636.7水银体温计测温（1）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；（2）医学上通常认为，人的体温不低于37.3℃且不高于38℃时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若a2+c2+ac＝b2.D 为BC的中点，AD ＝，记∠BAD＝θ．（1）若θ＝，求AB的值；（2）求a+2c的取值范围．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，P A＝AD ＝CD＝2，BC＝3，E为PD中点，点F在线段PC上，且DF∥平面P AB．（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）求二面角F﹣AE﹣P的正弦值．21．（12分）（1）（ⅰ）证明：∀x∈R，e x≥x+1；（ⅱ）证明：x＜0时，x2+e x﹣＞0；（2）若关于x的不等式alnx+x≤e x﹣1恒成立，求实数a的值．22．（12分）已知双曲线C：的左、右顶点分别是A1、A2，且经过点，双曲线的右焦点F2到渐近线的距离是．不与坐标轴平行的直线l 与双曲线交于P、Q两点（异于A1、A2），P关于原点O的对称点为S．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线A1S与直线A2Q相交于点T，直线OT与直线PO相交于点R，证明：在双曲线上存在定点E，使得△RME的面积为定值，并求出该定值．2020-2021学年广东省广州市、深圳市四校（广雅、华附、省实、深中）联考高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．分钟1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩B＝（）A．{2，3，4}B．{2，3}C．{2，4}D．{3，4}【解答】解：∵A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞2}，∴A∩B＝{3，4}．故选：D．2．（5分）已知z∈C，则“z2＝﹣|z|2”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：①对于复数z，若z2＝﹣|z|2，z不一定为纯虚数，可以为0，∴充分性不成立，②若z为纯虚数，设z＝bi（b∈R，且b≠0），∵z2＝﹣b2，﹣|z|2＝﹣b2，∴z2＝﹣|z|2，∴必要性成立，∴z2＝﹣|z|2是z为纯虚数的必要非充分条件．故选：B．3．（5分）多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分．某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，基本事件总数n＝＝6，其中其能得分包含的基本事件个数m＝＝3，∴其能得分的概率为P＝＝＝．故选：C．4．（5分）若（x﹣a）（1+2x）5的展开式中x3的系数为20，则a＝（）A．﹣B．C．D．【解答】解：由于（x﹣a）（1+2x）5的展开式中x3的系数为•22﹣a•23＝20，则a ＝，故选：B．5．（5分）已知四边形ABCD满足，点M满足，若，则x+y ＝（）A．3B．C．2D．【解答】解：∵四边形ABCD满足，点M满足，∴＝4，故点M为线段DC的中点，∴＝＝＝﹣+．又∵，∴x＝﹣，y＝，故x+y＝2，故选：C．6．（5分）已知α为第四象限角，且，则cosα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵α为第四象限角，且，∴＝，∴＝＝．故选：A．7．（5分）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A、B、C、D，满足AB＝CD＝5，BD＝AC＝6，AD＝BC＝7，则该鞠的表面积为（）A．68πB．63πC．60πD．55π【解答】解：因为AB＝CD，BD＝AC，AD＝BC，所以可以把A，B，C，D四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径．设该长方体的长、宽、高分别为x，y，z，“鞠”的半径为R，则（2R）2＝x2+y2+z2．因为x2+y2＝25，x2+z2＝36，y2+z2＝49，所以＝，所以S＝4πR2＝55π．故选：D．8．（5分）已知函数，且a＝f（log3e），b＝f（log30.5），c＝f（ln3），则a，b，c的大小为（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：，定义域是R，而f（﹣x）＝﹣xe﹣x+xe x＝f（x），故f（x）是偶函数，图像关于y轴对称，x≥0时，f′（x）＝，令g（x）＝（x+1）e x+（x﹣1），（x≥0），则g′（x）＝（x+2）e x+1＞0，g（x）在[0，+∞）递增，而g（0）＝3＞0，故g（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故f′（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故f（x）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0）递减，而ln3＞log3e＞log32＝|log30.5|，故f（ln3）＞f（log3e）＞f（log32）＝f（log30.5），故c＞a＞b，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.9．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间上单调递增D．为偶函数【解答】解：由图象可知，函数f（x）的周期为，故选项A错误；所以,由“五点法”可得，，解得φ＝，又0＜φ＜π，所以φ＝，所以f（x）＝A sin（2x+），又f（x）的图象经过点（0,1），则有f（0）＝A sin＝1，解得A＝2,所以f（x）＝2sin（2x+），所以f（x）的最大值为2，故选项B正确；令，解得，故函数f（x）的单调递增区间为，当k＝0时，f（x）的单调递增区间为，故选项C错误；因为f（x+）＝，所以f（x+）为偶函数，故选项D正确．故选：BD．10．（5分）已知由样本数据点集合{（x i，y i）|i＝1，2，…，20}（其中＝＝3）求得的回归直线方程l1：＝1.5x+0.5，记此模型对应的相关指数为R12．观察残差图发现：除了数据点（1.2，2.2）和（4.8，7.8）明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程l2：，记此模型对应的相关指数为R22，则下列结论中正确的是（）A．变量x与y正相关B．记＝y i，则＝5C．R12＞R22D．【解答】解：由回归直线方程l1：＝1.5x+0.5，且1.5＞0可得变量x与y正相关，故A 正确；∵，且样本点的中心在回归直线上，∴，故B正确；当剔除两个数据点后其余各点均密集均匀分布，说明用回归直线方程拟合效果更好，则残差平方和变小，相关指数变大，有R12＜R22，故C错误；∵剔除两个数据点后的样本点的中心坐标没变，∴，故D正确．故选：ABD．11．（5分）设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：x＝ty+1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A．|AB|≥4B．可能大于0C．若P（2，2），则|P A|+|AF|≥3D．若在抛物线上存在唯一一点Q（异于A，B），使得QA⊥QB，则t＝±【解答】解：A选项，F（1，0），所以直线l过焦点F，所以|AB|≥2p＝4，A选项说法正确．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣4ty﹣4＝0，所以y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，所以，B选项，＝1+（﹣4）＝﹣3＜0，B选项说法错误．C选项，抛物线的准线方程为x＝﹣1，则P点到准线的距离为d＝2+1＝3，从而|P A|+|AF|≥d＝3，C选项说法正确．D选项，设Q，由QA⊥QB，有，即，代入韦达定理，整理得（m2+4tm+12）（m2﹣4tm﹣4）＝0，因为Q点唯一，且异于A、B两点，所以关于m的方程m2+4tm+12＝0有两个相同的实数根．由△＝0，解得，故D选项说法正确．故选：ACD．12．（5分）已知函数f（x）＝axlnx+（lnx）2，下列关于f（x）的说法中正确的是（）A．当且仅当a＝0时，f（x）有唯一的零点B．f（x）最多有两个极值点C．若a≥0，则f（x）仅有一个极值点D．若f（x）无极值点，则【解答】解：f（x）＝axlnx+（lnx）2＝lnx（ax+lnx），对于A，当a＝0时，f（x）＝（lnx）2，令f（x）＝0，得x＝1，所以当a＝0时，f（x）有唯一零点，若f（x）有唯一零点，则ax+lnx≠0或ax+lnx＝0的根为1，所以a≠或a＝0，令g（x）＝（x＞0），g′（x）＝＝，所以在（e，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，在（0，e）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）min＝g（e）＝﹣，所以a＜﹣，所以若f（x）有唯一零点，则a＜﹣或a＝0，故A错误；对于B，（x＞0），f（）≠0，令f′（x）＝0，可得a＝g（x）＝（x＞0且x），g′（x）＝2，令g′（x）＝0，可得lnx1＝，lnx2＝，所以g（x）在（0，x1）递增，在（x1，）递减，在（，x2）递减，在（x2，+∞）递增，又g（1）＝0，g（x1）＜0，所以g（x）＝a最多有2个解，即f（x）最多有两个极值点，故B正确；对于C，当a≥0时，g（x）＝a只有一个解，即f（x）仅有一个极值点，故C正确；对于D，当a→﹣∞时，g（x）＝a有2个解，此时f（x）有2个极值点，故D错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）m⊥n；（2）α⊥β（3）n⊥β（4）m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n或m ⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β．【解答】解：m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n，由面面垂直的性质定理得m⊥n正确；m⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β，由面面垂直的判定定理得α⊥β正确；α⊥β，n⊥β，m⊥n⇒m⊥α，这里m与α相交、平行或m⊂α，故m⊥α不正确；m⊥n，α⊥β，m⊥α⇒n⊥β，这里n与β相交、平行或n⊂β，故n⊥β不正确．故答案为：m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β．14．（5分）若直线l：ax+by﹣5＝0（ab＞0）始终平分圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25的周长，则的最小值为5．【解答】解：∵直线l：ax+by﹣5＝0（ab＞0）始终平分圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25的周长，∴圆C的圆心在直线l上，可得3a+2b＝5，又ab＞0，∴a＞0，b＞0，则＝＝，当且仅当a＝b＝1时等号成立．∴的最小值为5．故答案为：5．15．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a52+a62＝a72+a82，则S12＝0．【解答】解：根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，又由a52+a62＝a72+a82，则有a82﹣a52+a72﹣a62＝0，变形可得（a8﹣a5）（a8+a5）+（a7﹣a6）（a7+a6）＝0，即3d（a8+a5）+d（a7+a6）＝4d（a7+a6）＝0，因为d≠0，则a7+a6＝0，由等差数列的性质得4（a1+a12）＝0，即a1+a12＝0，所以S12＝0；故答案为：0．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，侧面P AB，侧面P AC，侧面PBC与底面所成的角均为，若AB＝2，CA+CB＝4，且△ABC是锐角三角形，则三棱锥P﹣ABC体积的取值范围为（，]．【解答】解：作PO⊥平面ABC于O，则PO⊥BC，作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，连接PD，PE，PF，∵OD∩PO＝O，OD、PO⊂平面POD，∴BC⊥平面POD，∴BC⊥PD，∴∠PDO为二面角P﹣BC﹣A的平面角，同理可得，∠PEO，∠PFO分别为二面角P﹣AC﹣B和二面角P﹣AB﹣C的平面角，∴∠PDO＝∠PEO＝∠PFO＝，∴OE＝OD＝OF＝PO，∴O为△ABC的内心，连接AO，BO，CO，设S△ABC＝t，则t＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝OF•AB+OE•AC+OD •BC＝OD•（AB+AC+BC）＝3OD，∴OD＝，PO＝OD＝t，∴V P﹣ABC＝PO•S△ABC＝•t•t＝，∵AC+BC＝4＞AB＝2，∴点C在以A，B为焦点的椭圆上，以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A （﹣1，0），B（1，0），∴椭圆中的c＝1，a＝2，b＝，∴椭圆的标准方程为＝1，设C（x，y），要使∠CAB，∠CBA均为锐角，则﹣1＜x＜1，∴|y|＞，∵∠ACB＜90°，∴•＝（x+1，y）•（x﹣1，y）＝x2+y2﹣1＞0，即4（1﹣）+y2﹣1＞0，解得|y|＜3，∵点C在椭圆上，∴|y|≤，∴|y|∈（，]，∴S△ABC＝|AB|•|y|＝|y|∈（，]，即t∈（，]，∴V P﹣ABC＝∈（，]．故答案为：（，]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在①S n+1＝2S n+2；②；③S n＝a n+1﹣2这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且满足_____．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：若选择条件①：由S n+1＝2S n+2，得S n＝2S n﹣1+2（n≥2），两式相减得a n+1＝2a n，又当n＝1时，有S2＝a1+a2＝2a1+2，a1＝2，得a2＝4，满足a2＝2a1，所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n＝2×2n﹣1＝2n；若选择条件②：由，得a n﹣a n﹣1＝2n﹣1，所以a n＝a n﹣a n﹣1+a n﹣1+a n﹣2+…+a2﹣a1+a1＝2+21+22+23+…+2n﹣1＝2+＝2n；若选择条件③：由S n＝a n+1﹣2，得S n﹣1＝a n﹣2（n≥2），两式相减得a n＝a n+1﹣a n，即a n+1＝2a n，所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n＝2×2n﹣1＝2n．（2）根据题意，T n＝b1+b2+…+b n ＝++…+；则T n ＝++…+，两式相减得T n＝1+++…+﹣，所以T n＝2++++…+﹣＝2+﹣＝3﹣．18．（12分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表．用频率估计概率，解答下列问题：序号1234567891036.636.636.536.536.536.436.236.336.536.3智能体温计测温36.636.536.736.536.436.436.236.436.536.4水银体温计测温序号1112131415161718192036.336.736.235.435.235.637.236.836.636.7智能体温计测温水银体温计36.236.736.235.435.335.63736.836.636.7测温（1）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；（2）医学上通常认为，人的体温不低于37.3℃且不高于38℃时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．【解答】解：（1）表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是，01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20共有12种情况，∴估计所求的概率为，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为，∴，P（X＝1）＝，，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0124PE（X）＝．（2）设这三人中至少有1人处于“低热”状态为事件N，表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共计4种情况，由此估计从社区任意抽取1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为，由此估计，这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为P（N）＝1﹣（）＝，结论1：，接近于1，由此认定这三人中至少有人处于“低热”状态，结论2：P（N）＝，由可能这三人都不处于“低热”状态．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若a2+c2+ac＝b2.D 为BC的中点，AD＝，记∠BAD＝θ．（1）若θ＝，求AB的值；（2）求a+2c的取值范围．【解答】解：（1）∵，而0＜B＜π，∴．∵，∴．在△ABD中，，即，故AB＝1．（2）△ABD中，由可知，由正弦定理及AD＝，可得，所以，∴＝，由，可知，∴，∴．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，P A＝AD ＝CD＝2，BC＝3，E为PD中点，点F在线段PC上，且DF∥平面P AB．（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）求二面角F﹣AE﹣P的正弦值．【解答】解：（1）证明：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD，∵AD⊥CD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，∵AE⊂平面P AD，∴CD⊥AE，∵P A＝AD＝2，E为PD中点，∴AE⊥PD，∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD．（2）过点D作DG∥AB交BC于点G，连接FG，易证DG∥平面P AB，∵DF∥平面P AB，DF∩DG＝D，∴平面DFG∥平面P AB，∵平面DFC∩平面PBC＝FG，平面P AB∩平面PBC＝PB，∴FG∥AB，∴，如下图，以D为原点分别以，，平行于P A向上为x轴，y轴，z轴为正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，1），∵，可得F（），∴，，设＝（x，y，z），为平面AEF的一个法向量，则，可得，设二面角F﹣AE﹣P的大小为θ，则，∴sinθ＝，则二面角F﹣AE﹣P的正弦值为．21．（12分）（1）（ⅰ）证明：∀x∈R，e x≥x+1；（ⅱ）证明：x＜0时，x2+e x﹣＞0；（2）若关于x的不等式alnx+x≤e x﹣1恒成立，求实数a的值．【解答】解：（1）（i）令f（x）＝e x﹣x﹣1，则f'（x）＝e x﹣1，令f'（x）＞0可得x＞0，令f'（x）＜0可得x＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）＝0，即e x≥x+1；（ii）令，x＜0，则，由（i）可知，故g'（x）≤2x﹣e x﹣（e x+x）＝x＜0，所以g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，故g（x）＞g（0）＝0，即当x＜0时，；（2）令h（x）＝alnx+x﹣e x﹣1，当a＝0时，h（x）＝x﹣e x﹣1，由（1）知e x﹣1≥（x﹣1）+1＝x，则h（x）≤0恒成立，符合题意；当a＜0时，由（1）可知，与题意不符；当a＞0时，，，∴h'（x）在（0，+∞）单调递减，∵，∴∃x0∈（1，+∞），使得h'（x0）＝0，且x∈（1，x0）时，h'（x）＞0，故h（x）在（1，x0）单调递增，此时h（x）＞h（1）＝0，与题意不符．综上，a＝0．22．（12分）已知双曲线C：的左、右顶点分别是A1、A2，且经过点，双曲线的右焦点F2到渐近线的距离是．不与坐标轴平行的直线l 与双曲线交于P、Q两点（异于A1、A2），P关于原点O的对称点为S．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线A1S与直线A2Q相交于点T，直线OT与直线PO相交于点R，证明：在双曲线上存在定点E，使得△RME的面积为定值，并求出该定值．【解答】解：（1）设双曲线的右焦点F（c，0），一条渐近线为ay+bx＝0，联立，解得a＝2，b＝，所以双曲线C的标准方程为﹣＝1．（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），S（﹣x1，﹣y1），T（x0，y0），设直线l的方程为y＝kx+m（k≠0），联立，得（1﹣2k2）x2﹣4kmx﹣（2m2+4）＝0，k≠±，因为△＞0，所以m2＞4k2﹣2，所以m≠0，所以x1+x2＝，x1x2＝，y1+y2＝，y1y2＝，所以x1y2+x2y1＝，由题知A1（﹣2，0），A2（2，0），由T，S，A1三点共线可得＝，即＝，由T，Q，A2三点共线可得＝，即＝，相交可得＝+＝，所以＝＝，所以直线OT的方程为y＝x＝x，联立，解得x＝﹣2，所以点T在定直线x＝﹣2上，则使得△RME的面积为定值的点E一定为过点M且与直线x＝﹣2平行的直线与双曲线的交点，此时E（4，﹣），且S△RME＝×2×6＝6．。
【全国百强校】广东省华南师范大学从属中学尝试中学广雅中学深圳高级中学四校期末联考数学（文）试题
绝密★启用前试卷类型：A广东省2021 届高三年级四校联考文科数学本试卷共6页，22 小题，满分150 分. 考试历时120 分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上.3．非选择题必需用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准利用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必需维持答题卡的整洁.第Ⅰ卷(选择题共60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．i 为虚数单位，则复数z =2 - i在复平面上对应的点位于iA．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．若全集U ={1, 2,3,4,5,6}，M =⎧x6∈N*, x ∈U⎫，则M =⎨x⎬ U⎩ ⎭A．{1,2,3,4,5,6} B．{1, 2, 3, 6} C．{4, 5} D．∅⎨⎩3. 下列函数中，既是 R 上的偶函数，又在区间 (0, 3) 内单调递减的是A. y = x 3B. y = ln xC. y = 2x + 2- xD. y = cos x 4. 给定空间中的点 P ，直线 l ，平面α 与平面 β ，若 P ∈ l ， P ∈α ，α ⊥ β ， 则“ l ⊂ α ”是“ l ⊥ β ”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件⎧ x + y < 6, 5．若实数 x , y 知足条件 ⎪x - 3 y < -2, ，设 z =2x + 3y 的取值集合为 M ，则 ⎪ x > 1.A.17 ∈ M B. 14 ∈ M C. 5 ∈ M D. 3∈ M6. 已知曲线 y = sin(ω x + π) （ω > 0 ）关于直线 x = π 对称，则ω 的最小值为 32 1 A ．B ．321 1 C ．D ．367.在平面直角坐标系中，随机从O (0，0)，A (2，0)，B (1，1)，C (0，2)，D (2，2) 这五个点中选取三个，则以这三点为极点能组成三角形的概率是4 7 3 1 A.B.C.D.510528.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为 2 ，四条 用虚线表示的线段的长度均相等，则该几何体的表面积为2π正视图侧视图A. 8 -B. 24 - π 3C. 24 + 1)πD. 24 +1)π4 9 2 35 78 1 6⎧ a < -1或a =1 或a > 9 ⎫ ⎧ a < -1或 1 ≤ a ≤ 1 ⎫⎬⎩ e 28 ⎬ ⎩ ⎭ ⎧ a > -1或 1 < a < 9 ⎫ ⎧ a > -1或> 9 ⎫ ⎩ 8 ⎬ ⎩ 8 ⎬+ ⎨ 29.设 a 是列位数字不全相同的三位数，调整 a 各数位上数字 开始 输入 a的顺序，取得的最大数为 M , 最小数为 m , 例如若 a = 693 ，n=1则 M = 963, m = 369 .如图，若输入的 a = 693 ，则输出的 n 为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5a=M-m a=495? 是 输出 nn=n +1否10.设 a > 1 ，则曲线xa 2 y 2结束- = 1的离心率的取值范围是 (a + 1)2A ． ( 2，2) B ． ( 2，5)C ． (2，5)D ． (2，5)11.幻方，是中国古代一种填数游戏. n (n ∈ N *,n ≥ 3) 阶幻方是指将持续 n 2个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的 n 个数的和都相等.中国古籍《周易本义》中的《洛书》记载了一个三阶幻方（如图 1），即此刻的图1 图2图 2. 若某3 阶幻方正中间的数是 2021 ，则该幻方中的最小数为 A. 2021 B. 2021 C. 2021 D. 202112. ⎧ x e = 2.718⋅⋅⋅ 为自然对数的底数，已知函数 f ( x ) = ⎪ 81, x < 1, ，若关于 x 的方程⎪⎩ln x -1, x ≥ 1.f (x ) = ax 有唯一实数根，则实数 a 的取值范围是A ． ⎨a C ． ⎨a B ． ⎨a ⎭ D ． ⎨a⎭ ⎭* 2 第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.y4.43.2 1.90.9O 13 4 x14. 已知两个单位向量 a , b 的夹角为120︒ ，则 2a - b 的值为.15．已知动圆 M 与圆 C : ( x +1)2 + y 2= 1，圆 C ：(x -1)2 + y 2 = 25 均内切，则动圆圆心 1 2M 的轨迹方程是 .16. 已知数列{a n } 知足：a 1 = 2 ，a n +1 + a n = log 2 (n+ 3n + 2)(n ∈ N ) .若 a m > 7 ，则 m 的最小值为 .三、解答题：共 70 分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.第 17~21 题为必考题， 每一个试题考生都必需作答.第 22、23 题为选考题，考生按照要求作答. （一）必考题：60 分. 17．（本小题满分 12 分）已知 ∆ABC 中，角 A , B , C 所对的边别离为 a , b , c ，且cos(B - C ) - 2 s in B sin C = 1.2（1）求 A ； （2）若 a =3, c = 2 c os C ，求∆ABC 面积．18．（本小题满分 12 分）如图，DC ⊥ 平面 ABC ，EB DC ，AAC = CB = BE = 2DC = 2 ，P 为 AE 的中点， BP ⊥ AD ．（1）证明： PD 平面ACB ； （2）证明： ∆ABC 为等边三角形； C (3) 求四棱锥 A - BCDE 的体积．DPBE219．（本小题满分 12 分）依据某地某条河流 8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的 频率散布直方图如图（甲）所示；依据本地的地质构造，取得水位与灾害品级的频率分布 条形图如图（乙）所示.频率1级级40 米的情况下发生 1 级灾害的频率为 g ，则该河流 1 级灾害 的频率为 f ⨯ g ，其它情况类似. 据此，试别离估量该河流在 8 月份发生 一、2 级灾害及 不发生灾害的概率 p 1 , p 2 , p 3 ；（3）该河流域某企业，在 8 月份，若没受 一、2 级灾害影响，利润为 500 万元；若受 1级灾害影响，则亏损 100 万元；若受 2 级灾害影响则亏损 1000 万元.现此企业有如试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪一种方案？说明理由.20. （本小题满分 12 分）已知圆 M : x 2 + ( y + 1)2= 4 p 9通过抛物线C : x 2 = 2 py 的核心.（1）求 p 的值；（2）当 p > 0 时，直线 l 与抛物线 C 、圆 M 均只有一个公共点，求直线l 的方程.21．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ( x -1 - a)e x + 1 ，其中 e = 2.718⋅⋅⋅ 为自然对e数的底数，常数 a > 0 ．（1）求函数 f (x ) 在区间[0, +∞) 的零点个数； （2）设函数 g ( x ) 的导数 g '(x ) = (e x - a ) f (x ) ， a ∈ (1, e) ，判断 ln a 是函数g ( x ) 的极 大值点仍是极小值点并说明理由．（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题计分.22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） ⎧ x = 2 + 2 cos ϕ,在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 1 : x + y = 1与曲线 C 2 : ⎨ ⎩ y = 2 s in ϕ.( ϕ 为参数，ϕ ∈[0, 2π) )．以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系． （1）写出曲线 C 1 , C 2 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，已知点 A 是射线 l :θ = α ( ρ ≥ 0) 与 C 1 的公共点， 点 B 是l 与C 2 的 公共点，当α 在区间[0, π] 上转变时，求 OB 的最大值．2OA23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）已知函数 f ( x ) =x -1 + x + a 2 ，其中 a ∈ R ．（1）当 a =f ( x ) ≥ 6 的解集；（2）若存在 x 0 ∈ R ，使得 f ( x 0 ) < 4a ，求实数 a 的取值范围．。
2025届广东省华附、省实、深中、广雅四校高三下学期联合考试数学试题含解析
2025届广东省华附、省实、深中、广雅四校高三下学期联合考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且2．函数ln ||()xx x f x e=的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．3．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）． A ．50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．10,3AB ⎛⎤= ⎥⎝⎦C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞4．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=5．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 6．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．1207．复数5i12i+的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-8．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．39．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =C ．12y x =±D ．2y x =±10．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（ ）A ．8B ．7C ．4D ．311．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【校级联考】广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三上学期期末联考数学(文)试题
【校级联考】广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合M ={x ∈N|x ≤2}，N ={x|x 2−x ≤0}，则M ∩N =( ) A ．[0,2]B ．[0,1]C ．{0,1}D ．{1}2．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．2D3．设a ，b 是非零向量，记a 与b 所成的角为θ，下列四个条件中，使a ba b=成立的充要条件是（ ）． A ．//a bB ．0θ=C ．2πθ=D ．θπ=4．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）．①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个 ②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了 ③8月是空气质量最好的一个月 ④6月的空气质量最差 A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④5．若函数()()231sin 1f x m x m x =+++是偶函数，则()y f x =的单调递增区间是()A ．(),1∞-B ．()1,∞+C ．(),0∞-D ．()0,∞+6．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．167()y f x =的解析式可能是（ ）A ．2sin(2)6y x π=+B ．2sin(2)6y x π=-+C ．2sin(2)6y x π=--D ．2sin(2)6y x π=-8．若x ，y 满足约束条件20205100x y x y x y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）．A ．0B ．2C ．4D ．139．在等比数列{}n a 中，48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两个实根，则2610a a a =（ ） A ．8B ．8-C ．4D ．88-或10．若函数222,0(),0x x x x f x e a x +⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．2{1}[,)e +∞B ．2{1}(,)e +∞ C ．2[1,e ] D ．2(1,]e11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）．A ．32+B ．32+C ．22+D ．22+12．设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在直线2a x c=（其中222c b a +=）上存在点P ，使线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎪⎣⎭二、填空题13．函数()ln f x x x =在x e =处的切线方程是____.(其中e 为自然对数的底数)14．已知双曲线2222:1x y C a b -=的离心率为2，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为C 的标准方程是____15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2448a a +=，528a =，30n S n λ+>对一切*n N ∈恒成立，则λ的取值范围为____.16．体积为163的正四棱锥S ABCD -的底面中心为O ，SO 与侧面所成角的正切值为2，那么过S ABCD -的各顶点的球的表面积为____.三、解答题17．已知,,a b c 分别是锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边，sin cos (sin )0C A B B -+=.(1)求A ；(2)若4b =，且AC边上的高为ABC ∆的周长.18．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=2AB =2，∠BAA 1=π3，D 为AA 1的中点，点C 在平面ABB 1A 1内的射影在线段BD 上.(1)求证：B 1D ⊥平面CBD ；(2)若ΔCBD 是正三角形，求三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积.19．为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程.非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度.“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费4100.65266.5⨯=元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费()()2000.614002000.664104000.91263.1⨯+-⨯+-⨯=元．为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(单位：度)为：88、268、370、140、440、420、520、320、230、380．（1）在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；()2根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；()3设某用户11月用电量为x 度()x N ∈，按照合表电价收费标准应交1y 元，按照阶梯电价收费标准应交2y 元，请用x 表示1y 和1y ，并求当21y y ≤时，x 的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？ 20．已知动圆P 与直线1:2l x =-相切且与圆221:(1)4F x y -+=外切。