专题提升5与垂径定理有关的辅助线

专题提升5与垂径定理有关的辅助

线

i如图所示为一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面水管底部到

水面的距离为 2 cm则该输水管的半径为（C）

【解】连结OA过点O作OC L AB交AB于点D

设该输水管的半径为r(cm).

■/ AB宽为 8 cm ,••• AD= 4 cm.

•/ DC= 2 cm,「. OD= (r — 2) cm , r2= (r — 2)2+ 42,

• r = 5(cm).

T CD= 8, OC= 5,「. 0D= 3.

2 2 2

由已知，得CDL AB贝U AD= 5 — 3 , 解得AD= 4. • AB= 8.

3.已知O O的直径CD= 10 cm , AB是O O的弦，ABL CD垂足为M且AB= 8 cm，贝U AC的长为(C)

A. 2 i15 cm B . 4 .'5 cm

C. 2 '5 cm 或 4 ''5 cm D . 2 ：3 cm 或 4 '3 cm

【解】连结AO当点C的位置如解图①所示时，易得AC= 'AM+ ClM= ,'42 + 82 = 4 ■'5(cm); 当点C的位置如解图②所示时，易得AC= ,；22+ 42= 2 ： 5(cm).

（第3题解）

4.如图，O O的直径为10 cm ,弦AB为8 cm, P是弦AB上一点.若OP的长是整数，则满足条件的点P 有（D）

A. 3 cm

B. 4 cm

（第1题）

C. 5 cm

D. 6 cm

AB宽为8 cm,输2.如图，石拱桥的桥顶到水面的距离

A. 4 m

B. 5 m

【解】连结0A

C. 6 m

D. 8 m

OC为5 m,则水面宽AB为（D）

【解】 连结OC OA

1 ••• AB= 2CD OP= 2CD

r 2 = OP + CP = 2OP,

• R = .'5OP r = ：'2OP • R =-50.

6.如图，O O 的半径OP= 10 cm,弦AB 过OP 的中点 Q 且/ OQ B= 45°,则弦 AB 的弦心距 为©fcm,弦AB 的长为5 14cm.

（第6题）

【解】 过点O 作OCL AB 于点C,连结OA

•••O O 的半径OP= 10 cm ,弦AB 过OP 的中点 Q

• OQ= 5 cm.

•••/ OCQ ： 90°, / OQ & 45° ,

A. 2 个

B. 3 个

C. 【解】 过点O 作OCL AB 于点C,连结 1

•/ OA= 5, AC= 2AB= 4,「. OC= 3.

• 3w OPc 5,「. OP 的长为 3 或 4 或 5.

当O 片3时，点P 只能与点C 重合；当O 圧4时, 2个点P;当OP= 5时，点P 与点A 或点B 重合. 综上所

述，满足条件的点 P 有5个.

5.如图，在以点 O 为圆心的同心圆中，大圆的弦 弦心距OP = 2CD 4个

OA

D. 5个

点P 可以在 AC 上，也可以在 BC 上，•••有 AB 交小圆于点 C, D, AB= 2CD 弦AB 的 OPL AB

•••OP = CP =2AF ? •/ R 2=

O P + A P = 50P ,

（第4题）

•••△ OCC为等腰直角三角形，

••• 0C= cm.

在Rt △ AOC 中，根据勾股定理，得 AO ,：0A — 00 弓4

cm , •- AB= 2AG= 5 14 cm.

7.已知O 0的半径为2,弦BC = 2 :'3 , A 是O O 上一点，且AB= AC 直线A0与 BC 交于点D, 则AD 的长为1或

3.

【解】 VO 0的半径为2，弦BC = 2 （3, A 是O 0上一点，且AB= AC • ADL BC

1

• BD= 2BC = ;3

分两种情况讨论：

①如解图①所示，连结 0B

在 Rt △ OBD 中, B D + O D= O B, 即（⑶2+ 0D = 22,解得 0D= 1.

• AD= 0A- 0D= 2 — 1= 1.

②如解图②所示，连结 0B 同理于①，得

AD= OAF 0D= 2+ 1 = 3.

&如图，在 Rt △ AOB^,Z 0= 90°, 0A= 6,

0B= 8.以点0为圆心，0A 长为半径作圆交 AB 于点C,求BC 的长.

【解】 过点0作AB 的垂线，垂足为

AB = \；oA+ O B = 6 + 8 = 10,

• AE = AC )- OE = ：62— 4.8 2= 3.6 ,

• AC= 2AE= 7.2 ,

• BC= AB- AC = 10 — 7.2 = 2.8.

9 .如图，AB 为O O 的直径，弦 CD/ AB 弦DEL AB 求证：AC= BE

【解】 过圆心0作OGL CD 交O O 于点G,交CD 于点H

0E= 0A- 0B_ 6 x 8

AB = 7Q ~ =4.8

（第7题解）

E ,连结OC

（第8题）

（第9题）

•/ OGL CD 二C G= D G

又••• CD/ AB ••• OGLAB

AG= BG • AC= BD

•••DE!AB且AB是O O的直径，

• B D= B E • AC= B E

k

10.如图，半径为 5的O P与y轴交于点M O, — 4), NO, — 10),函数y=x(x<0)的图象

X

过点P,求k的值.

【解】过点P作PAL MN于点A,连结PM, PN

•点M(0 , — 4) , N(0, — 10) , • MN= 6.

•/ PA L MN

1

•MA= 2MN= 3.

•- OA= | — 4| + 3= 7.

在 Rt△ MPA中 ,

PA= PM— MA= & — 32 = 4 ,

•••点 R — 4, — 7).

一k

将点F( — 4, — 7)的坐标代入y= X,得k= 28.

z\.

11.已知△ ABC内接于O O且AB= AC O O的半径等于 6 cm ,点O到BC的距离为2 cm, 求AB的长. 【解】①当△ ABC是锐角三角形时，如解图①所示，连结OB OA延长AO交BC于点D, 易知AD L BC 在 Rt △ OBE中,

•OB= 6 cm , OD= 2 cm ,

•BD^ *J O B— OD= — 2 = 4 #2(cm).

在 Rt △ ABD中 , •/ AD- OAF OD- 6 + 2 = 8(cm) , BD- 4 ,2 cm , • AB= ,AD+ BD = .82+( 4 ,'2) 2 = 4 . 6(cm).

(第11题解)