数列基本量计算

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等差数列与等比数列的基本量运算

等差数列与等比数列运算知识点：一．等差数列 1．等差数列基本概念⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA +=． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+． 1．等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-，得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．二．等比数列1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．2. 等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．3. 等比中项：如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．1．等比数列通项公式的推导：由等比数列的定义知：312412321,,,,,n n n n a a aa aq q q q q a a a a a ---===== 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=．由等比数列的通项公式易知：n m nma q a -=．一、等差数列中基本量的运算:a 1,a n ,n ,d ,S n 知三求二 ①基本量运算{}28454565651.,6,6,....n a a a A S S B S S C S S D S S =-=<=<=（一星）是等差数列且则（）解：1994500a a S S S +=⇒=⇒=.选B.{}18451845184518452.,0,....n a d A a a a a B a a a a C a a a a D a a a a ≠><+>+=（一星）如果是正项等差数列公差则（）答案：B.3,4,3,2550,,.k .a a k S a k =（一星）等差数列前三项为前项和求的值答案：2,50a k ==7.（二星）（2015年全国1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 答案：B7.（三星）（全国1理科）设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( )A.3B.4C.5D.6 解：有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.2.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为．4.（二星）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（） A.B.B.C. D.（3）（2016全国1卷理）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97解：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差1051105a a d -==- ∴100109098a a d =+=．故选C ．4.（2017全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．8解：45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 3⨯-①②得()211524-=d624d = 4d =∴.选C3．（2018广州市调研理）在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =( )BA ．2B ．3C ．2-D ．3-4．（2018广州一模文）等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若212n n n a a a ++=+，则21=n S +（A ）A ．42n +B ．4nC ．21n +D ．2n4．（2018全国1理）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a B A ．12- B ．10- C ．10 D ．129. （2019全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 解：由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．18．（2019全国1卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a 等价于211100n n -+，解得1≤n ≤10．所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N ．14．（2019全国高考3卷理）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =________.414．（2019全国3卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.15. （2018广东一模文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，则5a = ．146. （2018广东一模文）等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于（ A ）A ．3B ．4 C. 3log 18 D ．3log 24 ②创新题1.（2016全国2卷文）等差数列{}n a 中，且344a a +=，576a a +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]26.2=．解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=.（Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=；当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.17.(2016全国2卷理)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．解： ⑴设的公差为，，∴，∴，∴． ∴，，． ⑵记的前项和为，则．当时，；当时，；当时，；当时，．∴．（17）（2017届广州市调研文）等差数列}{n a 中，1243=+a a ，749S =. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅰ）记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[= . 令][lg n n a b =，求数列}{n b 的前2000项和.解：（Ⅰ）由1243=+a a ，749S =，得112512,72149.a d a d +=⎧⎨+=⎩{}n a d 74728S a ==44a =4113a a d -==1(1)n a a n d n =+-=[][]11lg lg10b a ===[][]1111lg lg111b a ===[][]101101101lg lg 2b a ==={}n b n n T 1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+0lg 1n a <≤129n =⋅⋅⋅，，，1lg 2n a <≤101199n =⋅⋅⋅，，，2lg 3n a <≤100101999n =⋅⋅⋅，，，lg 3n a =1000n =1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=解得11=a ，2=d ，所以12-=n a n .（Ⅰ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ，当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ; 当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; 当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n .所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=⨯+⨯+⨯+⨯.③与其他内容结合4546.(){},10,15,___.n n a n S S S a ≥≤四星设等差数列的前项和为若则的最大值为4141115110235:3(23)3(2) 4. 4.1523S a d a a d a d a d S a d ≥+≥⎧⎧⇒⇒=+=-+++≤⎨⎨≤+≤⎩⎩解答案为二、等比数列中基本量的运算 ①基本量运算1.1,,,,9,.3,9.3,9.3,9.3,9a b c Ab ac B b ac C b ac D b ac --===-===-=-=-（一星）若成等比数列则（）答案：B3102.,3,384,______a a ==（一星）等比数列中则通项公式为答案：332n n a -=⋅364714.,36,18,,____2n a a a a a n +=+===（一星）等比数列中答案：9n =13、（一星）（2015全国1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .答案：67.（一星）(2015全国2理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++=21，则357a a a ++=（）A ．21B ．42C ．63D ．84 答案：B12.（一星）(2015全国2文)已知等比数列满足，，则（） A. 2 B. 1 C. D. 答案：C5．（二星）（全国理）已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a +=A ．7B ．5C ．-5D ．-7 解：因为{}n a 是等比数列，所以56478a a a a ==-，所以47,a a 是方程2280x x --=的两根，解得4x =或2x =-。

数列基本量的计算

证明：【解】 (1)证明：Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，两边同除证明， 1 1 1 1 以 Sn·Sn－1，得－S ＋2＝0， S －＝，即＝2(n≥2)， ≥ ， Sn－1 Sn－1 n n 1 1 1 为首项，为公差的等差数列． ∴{S }是以＝＝2 为首项，2 为公差的等差数列．是以 S1 a1 n 1 1 (2)由(1)知S ＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，由知－＝＋－ × ＝， S1 n 1 ∴Sn＝ . 2n
第5章章
数列
2012高考高考
江苏考纲解读 1．了解数列的概念及数列通项公式的意义．．了解数列的概念及数列通项公式的意义． 2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式．理解等差数列的概念，与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．与前项和公式，并能解决简单的实际问题．项和公式 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式．理解等比数列的概念，与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．与前项和公式，并能解决简单的实际问题．项和公式
3．数列的表示方法．数列的表示方法有_________、公式法、数列的表示方法有列举法、__________、图象法．图象法． ________ 4．数列的分类．
有穷数列：项数有限有穷数列：按项分类无穷数列：无穷数列：项数无限
递减数列：对于任何 ∈N ，均有 <a 按 a 的增递减数列：对于任何n∈ 均有a 减性分类摆动数列：例如：－， 1，－， 1，… 摆动数列：例如：－：－1，，－，－1，，常数数列：例如：8，8，8，8，… 常数数列：例如：，，，，
为零的等差数列，项和，为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和，满足 a2＋a2＝a2＋a2，S7＝7. 2 3 4 5 (1)求数列 n}的通项公式及前 n 项和 Sn；求数列{a 的通项公式及前求数列 amam＋1 (2)试求所有的正整数 m，试求所有的正整数，使得为数列 am＋2 {an}中的项．中的项．中的项

等差数列基本量计算

＋45d＝20＋135＝155.故选 C.
21．(2019·课标全国Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S9＝－a5.
(1)若 a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若 a1>0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围．
解析(1)设{an}的公差为 d.由 S9＝－a5 得 a1＋4d＝0.由 a3＝4 得 a1＋2d＝4.
10
5
=
4
.
解析令公差为
10 10 1+90 1 100 1
d,则 d=a2-a1=2a1,所以 = 5 +20 = 25 =4.
5
1
1
1
2019
11.等差数列{an}中,若 S1=1,S5=15,则2019 =( D ).
A.2019
B.1
C.1009
D.1010
5×4
解析因为等差数列{an}中,S1=1,S5=15,所以 S15=5×1+
d＝40.
d＝3.
2
法二：由 S5＝5a3＝40，得 a3＝8.所以 a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝
19，得 d＝3.所以 a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29.
14.已知数列{an}是等差数列，若 a1＝2，an＝－26，Sn＝－84，求公差 d；
－26＝2＋（n－1）d，
7
7（a1＋a7）
2 2
所以 2a3＝ a3 ，又 an＞0，所以 a3＝7.因为 S7＝
＝7a4＝63，所以 a4
7
2
＝9.所以 d＝a4－a3＝2，所以 an＝a3＋(n－3)d＝2n＋1.
16.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a3＋a5＝4，S15＝60，则 a20＝(

数学人教A版高中必修5数列专题：等差、等比数列的基本量计算复习(学生版)

1
1 1 1 ；
n(n 1) n n 1
升级： 1 1 (1 1 )
n(n k) k n n k
变式：
n
1 2-
（n 1
2）=
1= n2 3n 2
1
(2n 1)(2n 1)
专题：数列
微专题 1：等差、等比数列的基本量计算
立足于两数列的概念，设出相应基本量：
an 等差： a1, d , n, an, Sn
bn 等比： b1, q, n,bn, Sn (方程思想)
1、已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S1＋1，S3，S4 成等差数列，且 a1，a2，a5 成等比数列。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 S4，S6，Sn 成等比数列，求 n 及此等比数列的公比。
an
a1
(n 1)(3 2
2n
1)
=n 2
1, Q
a1
1 an
n2
练习：已知数列an满足 a1 2 ，且 an an1 2n (n 2, n N ) ，求数列 an
的通项公式。
4、累乘法（形如
an f (n) an1
）
例：已知数列 an满足 a1
2 ，且
an an1
1
1 n
N)
，求数列 an 的通项
公式。
6、构造法
方向 1：构造成等差数列（形如
an1
pan p qan
）
解法：
（取倒法）两边取倒数 1 p qan 1 1 q ，构造成等差数列。
an1
pan
an1 an p
（同除法）分式变成整式
pan1 qanan1
pan

等比数列基本量运算

2018年7月29日高中数学作业1.已知等比数列｛%｝满足a】+ 32=3刁2 + 4 = 6,则a8=（A. 243B. 128 C81 D. 612,已知数列0」是公比为正数的等比数列，若5=1, 则数列心丿的前7项和为（A. 63 B. 64 C 127 D. 128屯53・正项等比数列b丿中，*3 = 2, a4・a6 = 64,则a^ + a?的值是（A. 4B. 8 C 16 D. 644,已知等比数列｛%｝的前n项和为Sn,若5“力6 = 3$3.则a©A. 2B. & C4 D. 15.已知等比数列b丿中，6=16,则a，A.4B. -4C. ±4D.16 6-在等比数列｛%｝中，己知*3 = 3, 33 + % +巧=21，则a5 A. 6 B. 9 C 12 D・ 18 7-数列｛和为等比数列，若S = 3, 34 =弋则％为（A. -24B. 12 C 18 D. 24&已知等比数列｛%｝中，第％ = 54,则％=（A. 54B. -81C. -729 D, 729 9.已知等比数列｛%｝的公比q = ・2,幷前n项的和为SqA. 7B.3 C・ 2 D・ 4若6$3 = 7$2,则公比为（10.已知各项均为正数的等比数列°丿的前n项和为SqA. -2B. 2 c・ 2 D・ 2 11.等比数列厲）的前n项和为Sq已知S3",$6 = 9,则Sg等于（A. 81B. 17C. 24D. 73 12-等比数列中2=3, dii=24r 则as+d；+G=(1A. 33B. 72C. 84D. 18913,数列｛%｝中，5 = 2, = (n e N *),则方円 + a?—+ ••①爪訂44%) 4宀1) -(』門A. 3 B・ 3 C. 3 4 D. 3 414.等比数列冋｝中，*2 = 9, a5 = 243,扫」的前4项和为（）A. 81B. 120C. 168D.⑼15.等比数列冋｝中，3启"1 = 4：则数列｛aj的公比为（）A. 2 或-2B.4C. 2D.卫16,已知｛时为等比数列，*5 + 38=2, 36*^7 = -^则*2 + ^广A. 5B. 7C. TD. -517.等比数列卩」中，= = 则％巧等于（A. 16B. ±4C.-4D.4Sof18-已知等比数列b丿中，5 = 2,督6=16,则弘-%的值为（）A. 2B.4 C・ 8 D. 16 19.在等比数列｛时中，4 +皆4,勺巳则公比q等于（A.・2B. 1 或-2C. 1D. 1或2 20.己知等比数列｛和满足31 + 32=2^24 = 8,则$6的值为A. 21 B. 32 C 42 D. 170已知数列｛qj满足%i=2q「a^+a,=2.则你+厲=<己知数列卯为正项等比数列，且2^2537 = 4则a2 + a6A. 8B. 16C. 32 D・ 64A. 1B.2C. 3D.423.已知等比数列｛%｝的前n项和为Sg若S2，S&S4成等差数列，贝ij %的值为24. 已知等比数列b丿的前n项和为Sg若S4=3,S I2・S8=12,则S 广25,已知正项等比数列的前n项和为沈•若2巧23 = %且S3 = 14•则驾=26. 设各项为正数的等比数列的前n项和为％已知a2 = 6, 3^-33^ = 12^则$5 =21- 22.27-己知等比数列｛%｝的前n项和S"二丈+ 1则巧+ r =28-等比数列｛%｝中，Sn为貝前C项和，若S.^f + a,则实数a的值为29.设等比数列｛%｝满足522=7, 6-6 = -3,则前4项的和$4 =30.等比数列心」的各项均为正数，且则100331 + 1003巧+・・・ + bg3ai031,1 1 1 1—+ — = 1/ — + — = 2在正项等比数列ej中，*3 a。

数列的定义与性质

第5章数列知识点一、数列的通项公式 1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)． 2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式． 4．S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意数列均成立．二、数列的性质数列的分类三、等差数列基本量的计算 1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋(1)2n n −d ＝1()2n n a a +．四、等差数列的基本性质及应用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d ．(5)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解．(6){a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12．五、等比数列基本量的计算 1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q ．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ．2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n -1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1. 六、等比数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *．特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *．对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a k a n －k ＋1＝…．(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列． (4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n ．(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，其公比为q k ． (6)若a 1a 2…a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列． (7)若数列{a n }的项数为2n ，S 偶与S 奇分别为偶数项与奇数项的和，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q ．七、数列求和1．公式法与分组转化法 (1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (2)分组转化法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减． 2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式就是用此法推导的． (2)并项求和法在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050． 3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．第5章数列（1）一、选择题1．在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的( ) A ．第16项 B ．第24项 C ．第26项 D ．第28项2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝ ( ) A ．6116 B ．259 C ．2516 D ．31153．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．1304．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．3(3n －2n )B ．3n ＋2C ．3nD ．3·2n －15．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1413－a 1314＝( )A ．－27B ．27C ．－37D ．377．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n5．则b 10等于( )A ．15B ．17C ．19D ．218．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x ＋2，x ≤2，a 2x 2－9x ＋11，x >2(a >0且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．⎣⎡⎭⎫83，3 C ．(2，3) D ．(1，3)9．对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22<x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1]10．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－32λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．λ＜45 B ．λ＜1 C ．λ＜32 D ．λ＜23二、填空题11．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．12．若a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n >0，且na 2n ＋1－(2n －1)a n ＋1a n －2a 2n ＝0．设M (x )表示整数x的个位数字，则M (a 2017)＝________．13．若数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a 2016等于________．14．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2＋14，a 1＝72，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式12k12＋n －2S n≥2n －3恒成立，则实数k 的取值范围为________．三、解答题15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝34S n ＋2成立．记b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的通项公式．16．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11000成立的n 的最小值．第5章数列（2）一、选择题1．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则a 10等于( ) A ．18 B ．20 C ．16 D ．222．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．33．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( ) A ．18 B ．20 C ．21 D ．254．已知等差数列{a n }的前10项和为30，a 6＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．958 C ．948 D ．185．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n ＝n ＋12，则下列结论中正确的是( )A ．a 2a 3＝2B ．a 2a 3＝32C ．a 2a 3＝23D ．a 2a 3＝136．已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．0 D ．－507．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2016B ．2017C ．4032D ．40338．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115．146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130．0寸，夏至晷影长为14．8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．72.4寸B ．81.4寸C ．82.0寸D ．91.6寸9．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a na n．若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )A ．10B ．9C ．5D ．4 二、填空题11．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 12．已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0，2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________．13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________． 14．已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n ≤n ＋8n 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________．三、解答题15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．(1)若a ＝1，b ＝3，求sin C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状． 16．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有B 3n －B n >m20成立，求正整数m的最大值．第5章数列（3）一、选择题1．已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．272．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1C ．12D ．23．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．336．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( )A ．1008B ．2016C ．2032D ．40327．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A ．158或4B ．4027或4C ．4027D ．1588．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值时n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．69．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．910．已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A ．32B ．53C ．256 D ．不存在二、填空题11．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．12．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝______． 13．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2×3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________．14．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项．三、解答题15．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值．16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1． (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．第5章数列（4）一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n ＋100＋a n －98＝( )A ．8n ＋6B ．4n ＋1C ．8n ＋3D ．4n ＋32．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．63．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( ) A ．23 B ．278 C ．7 D ．2144．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．1025．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2018项的和等于( ) A ．1512 B ．1513 C ．1513.5 D ．20186．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B ．12(9n －1)C ．9n －1D ．14(3n －1) 7．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2017的值为( )A ．20142015B ．20152016C ．20162017D ．201720188．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．299．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2017<0B ．若a 4>0，则a 2018<0C ．若a 3>0，则S 2017>0D ．若a 4>0，则S 2018>010．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( ) A ．1 B ．22 C ．－22D ．－3 二、填空题11．S n ＝1＋11＋111＋…＋＝________． 12．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n(n ∈N *)，则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________． 13．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．14．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋12，a n 是奇数，3a n －1，a n 是偶数且S 3＝10，则S 2016＝________．三、解答题15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4．(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n ．16．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，a 2－1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝log 2b n b n －1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n ． 17．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3．(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ．已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ．18．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5的等比中项为16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k对任意n∈N*恒成立，若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．。

02教学课件_5.3.1 等比数列基本量的计算

则应有 G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝a21q10 ＝962×1210＝9.
所以 a5，a7 的等比中项是±3. 方法总结：
只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数;异号的两数没有等比中项．
本量表示出来，通过解方程组确定基本量. 注意等比数列的各项及公比均不为零 2.等比中项：同号的两项才有等比中项，且有两个，互为相反数.
aa11＋ q－a1aq1＋q4＝a1q422＝168
∴
a1
1 + q + q2
= 168
①
a1q 1 - q3 = 42
②
因为 1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
所以由②除以①，得 q(1－q)＝14. 所以 q＝12.
典型例题
例2:等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．所以 a1＝12－42124 ＝96. 若 G 是 a5，a7 的等比中项，
等比数列基本量的计算
知识回顾
1. 什么是等比数列？等比数列的各项和公比有什么特殊要求？各项都不为零、公比也不为零
2. 等比数列的通项公式是什么？与什么有关？
an＝a1qn－1 q≠0
3. 等比数列的基本量是什么？如何求解？
典型例题
例1：在等比数列{an}中，
（1）a2＝－
1 3
，a6＝－27 ，求an ；
（2）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解 (1)基本量的计算
已知量用基本量表
设等比数列{an}的公比为 q，示出来
由已知得a1q＝－13
，解得a1＝－19 或a1＝19
a1q5＝－27
q＝3

解答数列题的当家法宝——基本量法

记住，所以部分同学对解这道题信心不足．如果你试图用基本量法，你便会觉得很简
单：设首项为
：＝＝一２，ｓ。＝
＋
－－Ｉ１０．用基本
ｎ。，则由条件可得量法过程如下，由
ｆ１２。＋
所以ｑ一，ａ一去，所以。ｅ一１・（）５
— ４．
例３设等差数列｛｝的前项和为
＋１ —１３项，问题是为什么这样做？道
Ｓ．已知Ｓ：３５４，且前１２项中偶数项和与
Ｉ新高数学
解答数列题的当家法宝
江苏省扬州市新华中学朱
对待数列问题，我们往往认为只有熟练有效，问题也看得更透．掌握各类技巧才能驾驭它，似乎用技巧才会
节省时间、简化过程，因此，在平时训练中，例２在各项均为正数的等比数列
有几项？
了．但能想到这点未必很容易，需要你对数
列有较深刻的把握，况且在高考考场上有时
候容不得我们花太多的时间去想解题的最佳方案．能捉到老鼠的就是好猫，干脆用基本量法：由题意知，ｎ１ｑ— ｌ，ｎ１ｑ一ｎ１ｑ＋
２ａｑ。，ｇ一ｑ－２４，ｑ＝２，因为各项均为正数，

等差数列基本量计算

等差数列基本量计算1．等差数列{n a }中，已知1a =31,254a a ,33n a ,则n 为2．已知等差数列}{n a 中，1,16497a a a ，则12a 的值为___________.3．已知等差数列}{n a ，199a a 与是一元二次方程021102x x 的两个实根.则397a a 的值为 .4．若}{n a 与{}n b 都是等差数列，10,15,252211b a b a ,则数列{n n a b }的前12项的和是 . 5．已知等差数列}{n a 的首项为125，从第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是6．在等差数列}{n a 中，已知32na n ，则该数列前20项之和是7．在等差数列}{n a 中，2,31d a （d 为公差），则9997531a a a a a ________. 8．在等差数列}{n a 中，35710133()2()24a a a a a ，则此数列前13项的和为9．数列{}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N ，32n a ，前n 项和152n S ，则n ＝______________10．已知等差数列{n a }中, 2a +8a =8,则该数列前9项和9S 等于11.已知数列{n a }的前n 项和32n s n ,则na _____________________ 12．设n S 是等差数列n a 的前n 项和，若5935,95S S a a 则____________________; 13．等差数列{a n }的前m 项和30，前2m 项和为100，则数列的前3m 项和为_____________ ;14．若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有_________项；。

等差数列教学设计

课题：等差数列课程要求1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法．3．掌握等差数列求和的方法．知识梳理1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是*1(1)()n a a n d n N =+-∈．3．等差中项如果A =2a b +，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：*()(,)n k a a n k d n k N =+-∈．(2)若{}n a 为等差数列，且*(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+.(3)若{}n a 是等差数列，则*2,,,(,)n n m n m a a a n m N ++∈也是等差数列． (4)数列232,,,m m m m m S S S S S --也是等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和1()2n n a a n S +=或1(1)2n n n S na d -=+． 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系2*1()()22n d d S n a n n N =+-∈ 数列{}n a 是等差数列2(,n S An Bn A B ⇔=+为常数，*)n N ∈ ． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{}n a 中，若10,0a d ><，则n S 存在最大值；若10,0a d <>，则n S 存在最小值．例题讲解例1（1）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为 ( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】方法一：基本量计算45116127242615484a a a d a S a d d +=+==-⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩ 方法二：性质的应用45536342443()482a a a a d S a a +=⎧-⇒==⎨=+=⎩例1（2）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】方法一：基本量计算111=520159525303S a d a S a d d +=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩奇偶方法二：性质的应用3015535S S d d --=⇒==奇偶例2(1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{ a n }的前n 项和，则S 11＝ ( )A ．18B ．99C ．198D ．297【解析】方法一：基本量计算11121027(5)59a d a d a d +=-+⇒+=1111115511(5)99S a d a d =+=+=方法二：性质的应用396663279a a a a a ++==⇒=1161199S a ==例2(2)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________．【解析】方法一：基本量计算112311920211789125335183572032110518a a a a a d a a a a d a a a a d d ⎧=⎪++=+=⎧⎪⇒⇒++=+=⎨⎨++=+=⎩⎪=⎪⎩方法二：性质的应用78912319202178918()()5()3620d a a a a a a a a a a a a d =++-++=++=+++=例3(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2017，S 20172017－S 20112011＝6，则S 2021＝________．【解析】方法一：基本量计算依题意有：1(1)2n S n d a n -=+ 于是：2017201111(1008)(1005)36220172011S S a d a d d d -=+-+==⇒= 于是：2021202120202021(2017)260632S ⨯=⨯-+⨯= 方法二：性质的应用依题意有：数列{}n S n为等差数列，设公差为'd 则有：201720116'6'120172011S S d d -==⇒= 于是：202112020'20172020320211S S d =+=-+= 解得：20216063S =。

等差数列的前n项和

专题等差数列的前n 项和目录⚫ 【1.等差数列前n 项和基本量计算】 .............................................. 1 ⚫ 【2.含绝对值的等差数列项和】 ...................................................... 2 ⚫ 【3.等差数列奇（偶）数项和】 ...................................................... 3 ⚫ 【4.等差数列的片段和性质】 .......................................................... 3 ⚫ 【5.两个等差数列的前n 项和之比（Sn T n ）】 (4)⚫ 【6.等差数列前n 项和的最值】 (4)⚫ 【1.等差数列前n 项和基本量计算】1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为174,1,510n S a S a =−=+，则4S =（） A ．6B ．7C ．8D ．102．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若48a =，318S =，则5S =（） A ．34B ．35C ．36D ．383．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5985a a a +=+，117a =，则16S =（） A ．64B ．80C ．96D ．1204．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若333,3a S ==，则12S =（） A ．144B ．120C ．100D ．805．等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若10111012101310148a a a a +++=，则2024S =（） A ．8096B ．4048C ．4046D ．20246．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若761311S S =，则1511S S = ．⚫ 【2.含绝对值的等差数列前n 项和】7．已知等差数列{}n a 中，19a =，43a =，设12||||||n n T a a a =++⋅⋅⋅+，则21T =（）A ．245B ．263C ．281D ．2908．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝－7，S 3＝－15.求： (1)S n 及S n 的最小值； (2)数列{|a n |}的前n 项和T n .9．已知在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，其前n 项和为n S ，216S =，且2154a a a =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和nT ．10．已知数列{}n a 的前n 项和()2*12n S n kn k =−+∈N ，且n S 的最大值为92． (1)确定常数k ，并求n a ； (2)求数列{}n a 的前15项和15T ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若n Sn ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且满足18S =，454S =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设12n nT a a a =++⋅⋅⋅+，求nT .12．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，2217n S n n =−. (1)求{}n a 的通项公式，并求n S 的最小值； (2)设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和nT .⚫ 【3.等差数列奇（偶）数项和】13．已知等差数列{}n a 的项数为()21Ν,m m *+∈其中奇数项之和为140, 偶数项之和为 120,则m =( ) A ．6B ．7C ．12D ．1314．已知等差数列{}n a 共有21n −项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则n = ．15．已知等差数列{}n a 的项数为21m +()*m ∈N ，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列{}n a 的项数是 .16．在等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且1359960+++⋅⋅⋅+=a a a a ，求12399100a a a a a +++⋅⋅⋅++的值．⚫ 【4.等差数列的片段和性质】17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42S =，812S =，则20S =（） A ．30B ．58C ．60D ．9018．在等差数列{}n a 中，若363,24S S ==，则12S =（） A ．100B ．120C ．57D ．1819．记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若36S =，621S =，则12S =（） A ．27B ．36C ．45D ．78⚫ 【5.两个等差数列的前n 项和之比（S n T n）】20．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，nT ，若对任意正整数n都有2343n nS n T n −=−，则839457a a b b b b +=++（） A ．37B ．521C ．1941D ．1940E ．均不是21．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n n S T ､，若342nnS n T n +=+，则57210a a b b +=+（）A ．3713B ．11113C ．11126D ．372622．等差数列 {}n a ，{}n b 的前 n 项和分别为 n S ，n T ，若对任意的正整数n都有5321n n S n T n −=+，则 77a b = . 23．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，n S ，nT 分别是它们的前n 项和，并且713n n S n T n +=+，则2517228101216a a a ab b b b +++=+++ ． ⚫ 【6.等差数列前n 项和的最值】24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若890,0S S <>，则（） A ．10a <B ．0d <C ．n S 的最小值为4SD ．n nS a 的最小值为55Sa25．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，若10a <，20002024S S =，则（）A ．0d >B ．20120a =C ．40240S =D ．2012n S S ≥26．设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（）A ．0d >B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >27．在数列{}n a 中，若121a =，前n 项和22n S n bn =−+，则n S 的最大值为． 28．已知在等差数列{}n a 中，19a =，470a a +=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和取得最大值，并求最大值.。

超全等差数列基础知识总结(求基本量、性质、最值)

等差数列定义：一个数列从第二项起，后一项与前一项的差等于一个常数。

a n−a n−1=d 等差中项：由三个数a A b组成的等差数列，A=a+b，A叫做ab的等差中项通项公式： a n=a1+(n−1)以n为自变量的一次函数前n项和：S n=n(a1+a n)2S n=na1+n(n−1)d2是以n为自变量的二次函数两者关系：a n=S n−S n−1类型一：等差数列基本量的计算在等差数列的五个基本量a1、d、n、a n、S n中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程（组）来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用。

关键:1.判读题目考的是求基本量：一般问a n、S n（n可为1、2、7、n等）2.列出通项公式、求和公式，把已知量代进去3.把列出的方程组解出来，再向所求靠近1.已知等差数列{}na中，a2=2,a3=4,则a10=.182.在等差数列中,,则.133.已知等差数列的前n项之和记为S n，S10=210 ，S30=820，则S15等于。

4654.等差数列{}na的前n项和为nS，公差d= - 2，若S10=S11，则a1=205.等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差d等于（）C A．1 B C.- 2 D 36、等差数列{}na中，若232nS n n=+，则公差d=. 6类型二：等差数列的性质1.=na dmnam)(-+}{na6,7253+==aaa____________6=a{}na{}na nS3S1a532. （最重要！！！！！）在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+；若2m=p+q ，则2a m =a p +a q ，3. 若{n a }是等差数列，公差为d.则),(,,,2*++∈N m k a a a m k m k k 组成公差为md 的等差数列。

等差数列基本量的运算

若844S S =，则10a =（）（A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）123．（2013·广东卷）在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________．4．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 5．（2014·北京卷）若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．11 7．（2014·安徽卷）数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.8.【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，,.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和.9.【2016高考新课标2文数】等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=.（Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.10.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知}{n a 是等差数列，}{n b 是等差数列，且32=b ，93=b ，11b a =，414b a =.（1）求}{n a 的通项公式；（2）设n n n b a c +=，求数列}{n c 的前n 项和.高频考点三充分、必要条件例3、已知x ∈R ，则“x 2－3x >0”是“x －4>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式探究】1.【2016高考四川文科】设p:实数x ，y 满足1x >且1y >，q: 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件2.【2016高考天津文数】设0>x ，R y ∈，则“y x >”是“||y x >”的（）（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件3.【2016高考上海文科】设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件4.【2015高考安徽，文3】设p ：x <3，q ：-1<x <3，则p 是q 成立的（）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件5.【2015高考浙江，文3】设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.【2015高考重庆，文2】“x 1”是“2x 210x ”的（）(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件7.【2015高考天津，文4】设x R ,则“12x ”是“|2|1x ”的（）(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件8．给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题； ④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题．其中真命题是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④。

等差数列 2025年高考数学基础专项复习

6 < 0,
4.［人A选必二P25习题4.2第10题变式］在等差数列{ }中，2 = 3,6 = 11，直线过点 , , , ( ≠ ,
,∈ ∗ )，则直线的斜率为( A )
A.2
B.−2
C.4
D.−4
【解析】
解法一由题意，{ }是等差数列，2 = 3,6 = 11，设数列{ }的公差为，则6 − 2 = 4 = 8，得 = 2，则
5 =( C )
A.25
B.22
C.20
D.15
【解析】解法一设等差数列{ }的公差为，则由2 + 6 = 10，可得1 + 3 = 5①，由4 8 = 45，可得
1 + 3 1 + 7 = 45②，由①②可得1 = 2， = 1，所以5 = 51 +
5×4
×
2
= 20，故选C.
阳之数，日月之法，十九岁为一章.四章为一蔀，七十六岁.二十蔀为一遂，遂千五百二十岁．”已知有个人，他们
的年龄之和恰好为十蔀（即760岁），其中年龄最小的25岁，年龄最大的 ≤ 120 岁，且除了年龄最大的以外，
其余 − 1人的年龄依次相差2岁，则的值可以是(
A.15
B.16
CD
)
C.17
第六章数列
第二节等差数列
2025年高考数学专项复习
目
录
壹
等差数列基本量的计算
贰
等差数列的判定与证明
叁
等差数列的性质
壹
等差数列基本量
的计算
教材知识萃取
已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则
通项公式
an=a1+(n-1)d,可推广为an=am+(n-m)d(n,m∈N*).

等比数列基本量计算

2
1
2
除，得
即 2q －5q＋2＝0，解得 q＝2 或 q＝ .所以
或 q＝1.
2＝，
q＝2
1＋q 5
2
2
q
故 a3＝4 或 a3＝－4.
10. 已知 {
} 为等比数列， 4
解析设数列 {
所以 ቐ
+
7
} 的公比为，由 ቊ
1
= −8,
3
=−
1
2
或ቊ
1
3
= 1,
所以 ቊ
= −2,
= 2,
2
4.实数数列 1,a,4,b2 为等比数列,则 a=( B ).
A.-2
B.2
C.±2
D.±2 2
2
2
解析由题意得 a =1×4=4,即 a=±2,又 a 与 b 同号,所以 a=2.
5. 在等比数列 {
解析
}中，
4
= −4,
4 与 8 的等比中项 6
=−
8
= −16，则
4
⋅
8
4与
−8
的等比中项为_______.
23 (2018 年全国Ⅲ卷)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记 Sn 为{an}的前 n 项和,若 Sm=63,求 m.
解析(1)设{an}的公比为 q,由题设得 an=qn-1.由已知得
q4=4q2,解得 q=0(舍去),q=-2 或 q=2.故 an=(-2)n-1 或 an=2n-1.
A. 12
B. 24
C. 30
解析由题意 { } 是等比数列，且
3 ) ，即 = 2 ， ∴ 6 + 7 + 8 =

高三培优讲义26---基本量的计算,片段和性质,数列性质判断

专题4-6 基本量的计算，片段和性质，数列性质必刷题2023新高考2卷T8——基本量或数列片段和的计算1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =−，6221S S =，则8S =（）．A ．120B ．85C ．85−D ．120−2023新高考1卷·T7——数列性质的判断2．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2020年全国Ⅰ卷（文）T10——片段和相关计算3．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A ．12B ．24C ．30D ．324．已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =−，则7a = .5．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =−，则4S =（）A ．158B ．658C ．15D ．402022·全国乙卷（理）——基本量计算6．已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a −=，则6a =（）A ．14B ．12C ．6D ．3年全国Ⅱ卷（理）——等差数列片段和7．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块2023新高考1卷——基本量计算：利用等差中项简化计算8．设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n n n nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．(1)若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式； (2)若{}n b 为等差数列，且999999S T −=，求d ．题型一基本量的计算运用数列性质求值1．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且12n n S a +=+，则12231011a a a a a a +++=（）A ．23283−B ．13283− C ．20213− D ．25283−湖北省腾云联盟2023-2024学年高三10月联考2．在等比数列{}n a 中，252,16a a ==，则1123(1)n n a a a a +−+−⋅⋅⋅+−= .3．（2020·江苏·统考高考真题）设{a n }是公差为d 的等差数列，{bn }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=−+−∈N ，则d +q 的值是．4．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足404340440,0S S ><，对任意正整数n ，都有n m a a ≥，则m 的值为（） A ．2020 B ．2021C ．2022D ．20235．已知等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且5633n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数为（） A ．6 B ．7C ．8D ．96．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的值为 .重点题型·归类精讲7．设n A ，n B 分别为等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和．若23n n n n A aB b+=+（a ，b 为常数），则74a b =（）A ．12881B ．12780C ．3227D ．27268．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，31a =，3227S a =，则5S = ．9．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，且133,12n n a S a λ++==，则实数λ的值为10．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列.若数列{}n n a b +的前n 项和()2*221n n S n n n N =−+−∈，则d q +的值为 .通过数列性质求最值11．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8-2S 4=5，则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为（） A ．10 B ．15 C ．20 D ．2512．（2023秋·重庆巴蜀中学校考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n ∈N ，均有5n S S ≤成立，则86a a 的值的取值范围是（） A ．()3,+∞ B ．[)3,+∞C ．()[),33,−∞−+∞D ．(][),33,∞∞−−⋃+13．已知各项为正的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S =−，则通项公式n a = ；且2163n n S a ++的最小值为 .14．正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项m a 、p a ，使得2116m p a a a ⋅=，则19m p+的最小值为（）A ．32B ．83C ．114D ．145题型二片段和相关计算15．（2023·广东深圳二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，2010S =，则30S =（） A ．0B ．10−C ．30−D ．40−2024届·江苏连云港&、南通质量调研(一)16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5k S =，2145k a +=−，12245k k k a a a ++++⋅⋅⋅+=−，其中正整数2k ≥，则该数列的首项1a 为（） A ．-5 B ．0C ．3D ．517．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若4814S S =，则124SS =（）A ．13B ．16C ．9D ．12深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题18．设数列{}n a 的前n 项和为n S .记命题p ：“数列{}n a 为等比数列”，命题q ：“n S ，2n n S S −，32n n S S −成等比数列”，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件题型三数列性质判定2024届·湖南长沙雅礼中学校考19．（多选）设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A ．若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B ．若数列{}n S 有最小项，则0d >C ．若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0n S <D ．若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列20．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件21．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202020211a a >，()()20202021110a a −−<，则下列选项错误的是（）A ．1q >B ．202020211S S +>C ．2020T 是数列{}n T 中的最大项D ．40411T >22．（多选）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法正确的是（）A ．若n n S a =，则{}n a 是等差数列B ．若12a =，123n n a a +=+，则{}3n a +是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S −，32n n S S −成等差数列D ．若{}n a 是等比数列，则n S ，2n n S S −，32n n S S −成等比数列23．设数列{}n a ，{}n b 都是等比数列，则（）A ．若n n n C a b =，则数列{}n C 也是等比数列B ．若nn na db =，则数列{}n d 也是等比数列 C ．若{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S −−也成等比数列D ．在数列{}n a 中，每隔k 项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d >，则下列数列一定递增的是（）A ．n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{}n naC ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{}3n a nd +专题4-6 基本量的计算，片段和性质，数列性质必刷题2023新高考2卷T8——基本量或数列片段和的计算1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =−，6221S S =，则8S =（）．A ．120B ．85C ．85−D ．120−【答案】C【分析】方法一：基本量计算根据等比数列的前n 项和公式求出公比，再根据48,S S 的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n 项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ，若1q =−，则405S =≠−，与题意不符，所以1q ≠−；若1q =，则611263230S a a S ==⨯=≠，与题意不符，所以1q ≠；由45S =−，6221S S =可得，()41151a q q−=−−，()()6211112111a q a q q q−−=⨯−−①，由①可得，24121q q ++=，解得：24q =，所以8S =()()()()8411411151168511a q a q q qq−−=⨯+=−⨯+=−−−．方法二：利用片段和性质计算设等比数列{}n a 的公比为q ，因为45S =−，6221S S =，所以1q ≠−，否则40S =，从而，2426486,,,S S S S S S S −−−成等比数列，所以有，()()22225215S S S −−=+，解得：21S =−或254S =，当21S =−时，2426486,,,S S S S S S S −−−，即为81,4,16,21S −−−+，易知，82164S +=−，即885S =−；当254S =时，()()()2241234122110S a a a a a a q q S =+++=++=+>，与45S =−矛盾，舍去．新高考卷·数列性质的判断2．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +−−=+=+=+−−=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++−+−−==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +−=+，则1(1)n n S na t n n +=−⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n −=−−⋅−≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=−−−，即12n n a a t +−=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d −=+，则11(1)222n S n d d a d n a n −=+=+−，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}n Sn 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+−==+−+，即1(1)n S nS n n D =+−，11(1)(1)(2)n S n S n n D −=−+−−，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D −−=+−，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+−，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +−=+−+−=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.2020年全国Ⅰ卷（文）T10——片段和相关计算3．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A ．12B ．24C ．30D ．32【答案】D【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.2023乙卷(理)T15——基本量计算：解2元方程组4．已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =−，则7a = . 【分析】根据等比数列公式对24536a a a a a =化简得11a q =，联立9108a a =−求出52q =−，最后得55712a a q q q =⋅==−.【详解】设{}n a 的公比为()0q q ≠，则3252456a q a a q a a a a ==⋅，显然0n a ≠，则24a q =，即321a q q =，则11a q =，因为9108a a =−，则89118a q a q ⋅=−，则()()3315582q q ==−=−，则52q =−，则55712a a q q q =⋅==−5．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =−，则4S =（） A ．158B ．658C ．15D ．40【分析】根据题意列出关于q 的方程,计算出q ,即可求出4S .【详解】由题知()23421514q q q q q q ++++=++−,即34244q q q q +=+,即32440q q q +−−=,即(2)(1)(2)0q q q −++=.由题知0q >,所以2q .所以4124815S =+++=.2022·全国乙卷（理）——基本量计算6．已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a −=，则6a =（）A ．14B ．12C ．6D ．3【答案】D【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a −=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧−⎪++==⎨−⎪−=−=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==.7．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+−⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S −−，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S −=−+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++−=−+ 即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===.8．设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n n n nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．(1)若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式； (2)若{}n b 为等差数列，且999999S T −=，求d ．【答案】(1)3n a n =，(2)50d =【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由{}n b 为等差数列得出1a d =或12a d =，再由等差数列的性质可得50501a b −=，分类讨论即可得解. 【详解】（1）21333a a a =+，132d a d ∴=+，解得1a d =， 32133()6d d S a a =+==∴，又31232612923T b b b d d d d=++=++=， 339621S T d d∴+=+=，即22730d d −+=，解得3d =或12d =（舍去）， 1(1)3n a a n d n ∴=+−⋅=.（2）{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，即21312212a a a =+， 2323111616()d a a a a a ∴−==，即2211320a a d d −+=，解得1a d =或12a d =，1d >，0n a ∴>，又999999S T −=，由等差数列性质知，5050999999a b −=，即50501a b −=，505025501a a ∴−=，即2505025500a a −−=，解得5051a =或5050a =−（舍去）当12a d =时，501495151a a d d =+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解；当1a d =时，501495051a a d d =+==，解得5150d =.综上，5150d =.题型一基本量的计算运用数列性质求值1．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且12n n S a +=+，则12231011a a a a a a +++=（）A ．23283−B ．13283−C ．20213−D ．25283−【答案】A【分析】由n a 与n S 的关系求出数列{}n a 的通项公式，推导出数列{}1n n a a +为等比数列，确定其首项和公比，结合等比数列求和公式可求得所求代数式的值.【详解】因为12n n S a +=+，所以114a S a ==+，()()32221224a S S a a =−=+−+=，()()43332228a S S a a =−=+−+=，又{}n a 是等比数列，所以2213a a a =，即()2484a =+，解得2a =−，所以122n n S +=−．当2n ≥时，()()1122222n n nn n n a S S +−=−=−−−=，又12a =满足2n n a =，所以，22121242n n n n n n n n a a a a a a +++++===，故数列{}1n n a a +是公比为4，首项为12248a a =⨯=的等比数列，所以()10231223101181428143a a a a a a −−+++==−．湖北省腾云联盟2023-2024学年高三10月联考2．在等比数列{}n a 中，252,16a a ==，则1123(1)n n a a a a +−+−⋅⋅⋅+−= .【答案】1(2)3n−− 【分析】利用等比数列通项公式列方程组求出首项和公比，然后根据定义可判断1(1)n n n b a +=−为等比数列，然后由等比数列求和公式可得.【详解】记等比数列{}n a 的公比为q ，则21451216a a q a a q ==⎧⎨==⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以12n n a −=，记111(1)(1)2n n n n n b a ++−=−=−，因为2111(1)22(1)2n nn n n n b b +++−−==−−，所以{}n b 是1为首项，2−为公比的等比数列，所以()()()11231212(1)123nnn n a a a a +−−−−−+−⋅⋅⋅+−==−−.故答案为：1(2)3n−−重点题型·归类精讲3．（2020·江苏·统考高考真题）设{a n }是公差为d 的等差数列，{bn }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=−+−∈N ，则d +q 的值是．【答案】4【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠.等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n −⎛⎫=+=+− ⎪⎝⎭，等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b bQ q qq q−==−+−−−，依题意n n n S P Q =+，即22111212211nn b b d d n n n a n q q q ⎛⎫−+−=+−−+ ⎪−−⎝⎭，通过对比系数可知111212211dd a q b q ⎧=⎪⎪⎪−=−⎪⎨⎪=⎪⎪=−⎪−⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=.4．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足404340440,0S S ><，对任意正整数n ，都有n m a a ≥，则m 的值为（） A ．2020 B ．2021C ．2022D ．2023【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及数列的单调性得出结果. 【详解】依题意()14043404320222022404340430,02a a S a a +==>>，又()140444044404402a a S +=<，即404410a a +<，则202220230a a +<则20230a <，且20222023a a <，所以等差数列{}n a 单调递减，1220212022202320240a a a a a a >>⋅⋅⋅>>>>>>⋅⋅⋅，所以对任意正整数n ，都有n m a a ≥，则2022m =．5．已知等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且5633n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数为（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【分析】根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得()2121n n S n a −=−，进而可求解. 【详解】由于()()()()12121212212122n n n n a a n a n S n a −−+−−===−所以()21215216352924521311n n n n n S a b n T n n n −−−++===−+=+++，要使nna b 为整数，则1n +为24的因数，由于12n +≥，故1n +可以为2,3,4,6,8,12,24，故满足条件的正整数n的个数为7个6．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的值为 . 【分析】利用等差数列前n 项和公式求得n n a b 的表达式，结合nna b 为整数求得正整数n 的值. 【详解】由题意可得()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b −−−−−+−===−+−，则()()21213213931815321311n n n n n a S n b T n n n −−−++====+−+++，由于nna b 为整数，则1n +为15的正约数，则1n +的可能取值有3、5、15，因此，正整数n 的可能取值有2、4、14.7．设n A ，n B 分别为等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和．若23n n n n A aB b+=+（a ，b 为常数），则74a b =（）A ．12881B ．12780C ．3227D ．2726【分析】设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+，项和转换776a A A =−，443b B B =−求解即可【详解】由题意，23n n n n A a B b+=+ 设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+则76776[(2)(2)]64a A A a a m m =−=+−+= ()()434433354b B B b b m m ⎡⎤=−=+−+=⎣⎦7464325427a mb m ∴==8．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，31a =，3227S a =，则5S = ．【答案】4【分析】由条件结合等比数列通项公式求首项1a 和公比q ，再利用求和公式求5S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由31a =，3227S a =，可得211a q =，11225a a q +=，解方程得，11,24a q ==或114,2a q ==，当11,24a q ==时，()()551511213114124a q S q −−==⨯=−−，当114,2a q ==时，()5515111231411412a q S q ⎡⎤⎛⎫−⎢⎥ ⎪−⎝⎭⎢⎥⎣⎦==⨯=−−，所以5314S =.9．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，且133,12n n a S a λ++==，则实数λ的值为【答案】4−【解析】首先利用1n a +与n S 的关系式，得到14n n a a +=，求得公比，首项和第二项，再通过赋值2n =求λ的值.【详解】当2n ≥时，1133n nn n a S a S λλ+−+=⎧⎨+=⎩，两式相减得()1133n n n n n a a S S a +−−=−=，即14n n a a +=，并且数列{}n a 是等比数列，所以4q =，312a =，2133,4a a ∴==，当2n =时，()321233a S a a λ+==+，解得34λ=−.10．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列.若数列{}n n a b +的前n 项和()2*221n n S n n n N =−+−∈，则d q +的值为 .【答案】6【分析】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，然后利用分求出,n n A B ，再利用n n n S A B =+列方程，由对应项的系数相等可求出结果【详解】解：设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，则()()1211111,222111n n n n b q n n db d d q A a n a n n B q q q −−⎛⎫=+=−+==−⎪−−−⎝⎭（1q ≠），若1q =，则1n B nb =，则2211221()22nn n n d d S A B n n a n n nb =+=−+−=−++，显然没有出现2n ，所以1q ≠，所以221112212211n n b b q d d a n n n n q q ⎛⎫−++−=−+− ⎪−−⎝⎭，由两边的对应项相等可得111,2,2,1221b d da q q−=−===−−，解得111,4,2,1a d q b ====，所以6d q +=通过数列性质求最值11．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8-2S 4=5，则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为（） A ．10 B ．15C ．20D ．25【答案】C【解析】变换得到S 8-S 4=S 4+5，根据等比数列性质知S 4(S 12-S 8)=(S 8-S 4)2，9101112128a a a a S S +++=−，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】由题意可得a 9+a 10+a 11+a 12=S 12-S 8，由S 8-2S 4=5，可得S 8-S 4=S 4+5. 又由等比数列的性质知S 4，S 8-S 4，S 12-S 8成等比数列，则S 4(S 12-S 8)=(S 8-S 4)2.()()228449101112128444444525251021020S S S a a a a S S S S S S S S −++++=−===++≥⨯=当且仅当S 4=5时等号成立，所以a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为20.12．（2023秋·重庆巴蜀中学校考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n ∈N ，均有5n S S ≤成立，则86a a 的值的取值范围是（） A ．()3,+∞ B ．[)3,+∞C ．()[),33,−∞−+∞D ．(][),33,∞∞−−⋃+【答案】B【分析】根据已知得出10a <，公差0d >，然后返50a =和50a ≠(即50a <)分类计算. 【详解】由题意知5S 是等差数列{}n a 的前n 项和中的最小值，必有10a <，公差0d >，若50a =，此时45S S =，4S ，5S 是等差数列{}n a 的前n 项和中的最小值，此时5140a a d =+=，即14a d =−，则81617335a a d d a a d d+===+；若50a <，60a >，此时5S 是等差数列{}n a 的前n 项和中的最小值，此时5140a a d =+<，6150a a d =+>，即154a d−<<−，则()181116177213,555a a a d d a a a a d d d++===+∈+∞+++，综上可得：86a a 的取值范围是[)3,+∞13．已知各项为正的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S =−，则通项公式n a = ；且2163n n S a ++的最小值为 .【分析】利用n a 与n S 的关系式，得到12n n a a −−=，即可判断数列{}n a 是等差数列，然后利用等差数列的通项公式、前n 项和公式结合基本不等式，即可得出答案. 【详解】由各项为正的数列{}n a ，0n a >，21n n a S =，()2114n n S a ∴=+， 2n ∴≥时，()()2211111144n n n n n a S S a a −−=−=+−+，化为：()()1120n n n n a a a a −−+−−=，10n n a a −+>，12n n a a −∴−=，又1121a a =，解得11a =.∴数列{}n a 是等差数列，首项为1，公差为2.()12121n a n n ∴=+−=−，()2212114n S n n ∴=−+=， 222162168912321311n n S n n n a n n n +++∴===++−+−+++()921241n n ≥+⋅=+，当且仅当2n =时取等号.14．正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项m a 、p a ，使得2116m p a a a ⋅=，则19m p+的最小值为（） A ．32B ．83C ．114D ．145【分析】由等比数列的性质，结合7652a a a =+求得q ，再由2116m p a a a ⋅=可得6m p +=，结合基本不等式“1”的妙用可求当32m =、92p =时，取得最小值，则需逐一验证,m p 值，进而得出最值.【详解】设数列{}n a 的公比为()0q q >，∵7652a a a =+，∴6541112a q a q a q ⋅=⋅+⋅，∴22q q =+，即()()22210q q q q −−=−+=，解得2q，∵2116m p a a a ⋅=，∴11211116m p a q a q a −−⋅⋅⋅=，∴2422m p +−=，∴6m p +=，∴()1911919198101026663p m p m m p m p m p m p m p ⎛⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当9p m m p =，即3p m =，即32m =、92p =时，取得最小值，又,m p **∈∈N N ，∴1983m p +>，只能逐一验证，当1m =、5p =时，19914155m p +=+=；当2m =、4p =时，191911244m p +=+=；当3m =、3p =时，191910333m p +=+=；当4m =、2p =时，191919424m p +=+=；当5m =、1p =时，191946515m p +=+=， ∴19m p +的最小值为114.题型二片段和相关计算15．（2023·广东深圳二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，2010S =，则30S =（） A ．0 B ．10− C ．30− D ．40−【答案】C【解析】由等差数列{}n a 的前n 项和的性质可得：10S ，1200S S −，3020S S −也成等差数列，20101030202()()S S S S S ∴−=+−，302(1020)2010S ∴⨯−=+−，解得3030S =−．2024届·江苏连云港&、南通质量调研(一)16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5k S =，2145k a +=−，12245k k k a a a ++++⋅⋅⋅+=−，其中正整数2k ≥，则该数列的首项1a 为（）A ．-5B ．0C ．3D ．5【答案】D【分析】结合等差数列的性质求解即可. 【详解】12245k k k a a a ++++⋅⋅⋅+=−，又125k k S a a a ++⋅⋅+=⋅=，两式相减得：250,kd kd kd k d ++⋅⋅⋅+==−221115045k a a k d a +=+=−=−，解得：1 5.a =17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若4814S S =，则124SS =（）A ．13B ．16C ．9D ．12【答案】A【分析】根据等比数列的性质，可得484128,,S S S S S −−仍成等比数列，得到8443S S S −=，即可求解. 【详解】设()40S x x =≠，则84S x =，因为{}n a 为等比数列，根据等比数列的性质，可得484128,,S S S S S −−仍成等比数列. 因为84443S S x xS x−−==，所以1289S S x −=，所以1213S x =，故12413S S =. 深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题18．设数列{}n a 的前n 项和为n S .记命题p ：“数列{}n a 为等比数列”，命题q ：“n S ，2n n S S −，32n n S S −成等比数列”，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义、等比数列的定义计算可得. 【详解】若数列{}n a 为等比数列，设公比为q ，则当1q =时1n S na =，所以21112n n S S na na na −=−=，3211132n n S S na na na −=−=，显然10a ≠，所以n S ，2n n S S −，32n n S S −成等比数列，当1q ≠时()111n n a q S q−=−，所以()()()21121111111n n n n n n a q a q a q q q q q S S −−−=−−−−=−，()()()13232211111111n n n n n n a q a q a q q q q qS S −−−=−−−−=−，所以()()2232n n n n n S S S S S −=⋅−，但是当1q =−且当n 为正偶数时，此时0n S =，20n n S S −=，320n n S S −= 则n S ，2n n S S −，32n n S S −不成等比数列，故充分性不成立，若n S ，2n n S S −，32n n S S −成等比数列，当1n =时11S a =，221S a S −=，323S S a −=成等比数列，当2n =时2S ，42S S −，64S S −成等比数列，不妨令()10a m m =≠，22a m =，34a m =，42a m =，55a m =，67a m =，显然满足2S ，42S S −，64S S −成等比数列，但是1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 不成等比数列，故必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件题型三数列性质判定2024届·湖南长沙雅礼中学校考19．（多选）设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A ．若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B ．若数列{}n S 有最小项，则0d >C ．若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0n S <D ．若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2−的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)()222n n n d dS na d n a n −=+=+−，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2−的等差数列，22n S n n =−+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =−+++−+−−−=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n −=−<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确20．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +−−=+=+=+−−=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++−+−−==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +−=+，则1(1)n n S na t n n +=−⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n −=−−⋅−≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=−−−，即12n n a a t +−=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d −=+，则11(1)222n S n d d a d n a n −=+=+−，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}n Sn 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+−==+−+，即1(1)n S nS n n D =+−，11(1)(1)(2)n S n S n n D −=−+−−，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D −−=+−，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+−，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +−=+−+−=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.21．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202020211a a >，()()20202021110a a −−<，则下列选项错误的是（）A ．1q >B ．202020211S S +>C ．2020T 是数列{}n T 中的最大项D ．40411T >【答案】AD【分析】由题意可推出等比数列公比01q <<，判断A ；结合题意判断202020211,01a a ><<，即可判断B ；判断等比数列的增减性，结合前n 项积为n T ，可判断C ；利用等比数列性质可判断D.【详解】由题意知202020211a a >，即()()()()22019202040391111a qa q a q =>，因为11a >，可得0q >，即等比数列{}n a 的各项都为正值，又()()20202021110a a −−<，故若1q ≥，结合11a >可知1n a >，则()()20202021110a a −−<不成立，故01q <<，即数列{}n a 为递减数列，则202020211,01a a ><<，A 错误；因为202101a <<，故20202020202120211S S a S +>+=，B 正确；由以上分析可知122020202110a a a a >>>>>>>，故2020T 是数列{}n T 中的最大项，C 正确；由等比数列性质可得21404124040202020222021a a a a a a a ====，202101a <<，故4041124042404110211T a a a a ==<，D 错误22．（多选）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法正确的是（）A ．若n n S a =，则{}n a 是等差数列B ．若12a =，123n n a a +=+，则{}3n a +是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S −，32n n S S −成等差数列D ．若{}n a 是等比数列，则n S ，2n n S S −，32n n S S −成等比数列【分析】求出通项公式判断AB ；利用数列前n 项和的意义、结合等差数列推理判断C ；举例说明判断D 作答.【详解】对于A ，n n S a =，2n ≥时，11n n n n n a S S a a −−=−=−，解得10n a −=，因此N n *∈，0n a =，{}n a 是等差数列，A 正确；对于B ，12a =，123n n a a +=+，则132(3)n n a a ++=+，而135a +=，{}3n a +是等比数列，B 正确；对于C ，设等差数列{}n a 的公差为d ，首项是112,n n a S a a a =+++，()()()2212212+n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S n d ++−=+++=+++++=+，232212231222()()()()n n n n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S S n d ++++−=+++=++++++=−+，因此2322()()n n n n n S S S S S −=+−，则 n S ，232,n n n n S S S S −−成等差数列，C 正确；对于D ，若等比数列{}n a 的公比1q =−，则 242640,0,0S S S S S =−=−=不成等比数列，D 错误.23．设数列{}n a ，{}n b 都是等比数列，则（）A ．若n n n C a b =，则数列{}n C 也是等比数列B ．若nn na db =，则数列{}n d 也是等比数列 C ．若{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S −−也成等比数列D ．在数列{}n a 中，每隔k 项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列【分析】根据给定条件，利用等比数列定义判断ABD ；举例说明判断C 作答. 【详解】数列{}n a ，{}n b 都是等比数列，设公比分别为1212,(0)q q q q ≠，对于A ，由n n n c a b =，得11112n n n n n nc a b q q c a b +++==，所以数列{}n c 为等比数列，A 正确；对于B ，由n n n ad b =，得1111111221n n n n n n nn n na db a b qq a d a b q q b +++++==⋅=⋅=，所以数列{}n d 为等比数列，B 正确；对于C ，令(1)nn a =−，则224640S S S S S =−=−=，不成等比数列，C 错误；对于D ，111k n k na q a +++=为常数，D 正确24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d >，则下列数列一定递增的是（）A ．n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{}n naC ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{}3n a nd +【分析】根据等差数列的通项公式及前n 项和公式，利用数列单调性的概念，结合作差法即可判断. 【详解】对于A ，1(1)2n n n S na d −=+，112n S n a d n −=+， 1111101222n n S S n n a d a d d n n +−⎛⎫−=+−+=> ⎪+⎝⎭，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列，A 正确；对于B ，()()()()11111121n n a na n a nd n a n d a n n d +−=++−+−=+⎡⎤⎣⎦+，∵1R a ∈，∴12a nd +不一定是正实数，即数列{}n na 不一定是递增数列，B 错误；对于C ，()()11111111n n a n d a a a nd d a n n n n n n ++−+−−=−=+++，∵1R a ∈，∴()11d a n n −+不一定是正实数，即数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不一定是递增数列，C 错误；对于D ，()()11313340n n n n n d nd a a a d a d ++++−+=−+=>，故数列{}3n a nd +是递增数列，D 正确。

等差数列基本量计算

等差数列基本量计算1．等差数列{n a }中，已知1a =31, 254a a +=, 33n a =,则n 为 2．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值为___________.3．已知等差数列}{n a ，199a a 与是一元二次方程021102=+-x x 的两个实根.则397a a +的值为 .4．若}{n a 与{}n b 都是等差数列，10,15,252211=+==b a b a ,则数列{n n a b +}的前12项的和是 .5．已知等差数列}{n a 的首项为 125，从第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是 6．在等差数列}{n a 中，已知32n a n =-，则该数列前20项之和是7．在等差数列}{n a 中，2,31-==d a （d 为公差），则=+++++9997531a a a a a ________.8．在等差数列}{n a 中，35710133()2()24a a a a a ++++=，则此数列前13项的和为9．数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则n ＝______________10．已知等差数列{n a }中, 2a +8a =8,则该数列前9项和9S 等于11.已知数列{n a }的前n 项和32+=n s n ,则=n a _____________________12．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则____________________; 13．等差数列{a n }的前m 项和30，前2m 项和为100，则数列的前3m 项和为_____________ ;14．若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有_________项；。

专题01 等差数列的基本量的计算(解析版)

第二篇数列专题01 等差数列的基本量的计算常见考点考点一等差数列的基本量的计算典例1．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且1232,,1a a a +成等比数列. 求（1） a 1和d .（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）11a =，3d =，或18a =，4d =-，（2）23122n S n n =-或2210n S n n =-+【解析】【分析】（1）由1232,,1a a a +成等比数列，可得22132(1)a a a =+，结合312S =，列出关于1,a d 的方程组，可求出a 1和d .（2）直接利用等差数列的前n 项和公式求解即可【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1232,,1a a a +成等比数列，所以22132(1)a a a =+，即2111()2(21)a d a a d +=++，因为312S =，所以1323122a d ⨯+=，即14a d +=，所以162(4)(421)d d d =--++，8(4)(5)d d =-+，解得3d =或4d =-，当3d =时，11a =，当4d =-时，18a =，所以11a =，3d =，或18a =，4d =-，（2）当11a =，3d =时，2(1)313222n n n S n n n -=+⨯=-，当18a =，4d =-时，2(1)8(4)2102n n n S n n n -=+⨯-=-+ 【点睛】此题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题变式1-1．已知{}n a 是等差数列，其中131a =，公差8d =-，（1）求{}n a 的通项公式. （2）求数列{}n a 前n 项和.【答案】（1）398n a n =-；（2）2354n S n n =-.【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式可以直接求出；（2）由等差数列的前n 项和公式可以直接求出. 【详解】（1）{}n a 是等差数列，且131a =，8d =-，3118398na n n ；（2）123139835422nn n a a n nS n n .【点睛】本题考查已知等差数列的首项和公差求数列的通项公式和前n 项和，属于基础题. 变式1-2．等差数列{}n a 中，53a =，31223a a +=. （1）求1a ；（2）求通项n a 和前n 项和n S . 【答案】（1）153=5a -；（2）17145n a n =-，2171231010n n n S =-. 【解析】【分析】（1）解方程组即得1a ；（2）利用公式求解即可. 【详解】（1）由题得111+435317,,2132355a d a d a d =⎧∴=-=⎨+=⎩.（2）由题得531717=(1)14555n a n n -+-=-.所以前n 项和2531717123(14)2551010n n n n n S =-+-=-. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列通项的求法和前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.变式1-3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且513a =，535S =. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）32n a n =-（2）23122n S n n =-【解析】【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式，列方程组，解方程组求得1,a d 的值，进而求得数列的通项公式.（2）根据（1）的结论求得数列的前n 项和公式. 【详解】设{}n a 的公差为d ，则由题意得11413545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：11,3a d ==.(1){}n a 的通项公式为()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-，即32n a n =-.（2）{}n a 的前n 项和为()()12132312222n n n a a n n S n n ++-===-. 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量1,a d 、通项公式和前n 项和.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量1,,,,n n a d a S n ，利用等差数列的通项公式或前n 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1,a d ，进而求得数列其它的一些量的值.考点二等差数列前n 项和最值问题典例2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-. （1）求公差d 及{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值.【答案】（1）2d =，29n a n =-；（2）()2416n S n =--，最小值为16-.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-，再由17a =-可得2d =，从而可求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）得()228416n S n n n =-=--，从而可求出其最小值【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-. 由17a =-得2d =.所以{}n a 的通项公式为29n a n =-. （2）由（1）得()228416n S n n n =-=--. 所以4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-变式2-1．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知71a =，432S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值.【答案】（1）213n a n =-；（2）212n n S n =-，6n =时，n S 的最小值为36-.【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式求出1a ，d ，代入通项公式即可求解. （2）利用等差数列的前n 项和公式可得n S ，配方即可求解. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由71a =，432S =-，即1161434322a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1112a d =-⎧⎨=⎩，所以()11213n a a n d n =+-=-.（2）()221111122n n n S na d n n n n n -=+=-+-=-， ()2212636n S n n n =-=--，所以当6n =时，n S 的最小值为36-.变式2-2．数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负． (1)求数列的公差；(2)求前n 项和S n 的最大值．【答案】（1）4d =-；（2）78 【解析】【分析】（1）根据670,0a a ><可得d 的范围，再根据d 为整数得到d 的值. （2）根据项的符号特征可得6S 最大．【详解】(1)由已知，得6152350a a d d =+=+>，7162360a a d d =+=+<.解得232356d -<<-. 又d Z ∈，∴4d =-.(2)∵0d <，∴数列{}n a 是递减数列．又∵60a >，70a <，∴当6n =时， n S 取得最大值，为()6656234782S ⨯=⨯+⨯-=. 【点睛】一般地，等差数列的前n 项和n S 的最值可以通过等差数列的通项的符号来确定，如果{}n a 满足0m a <，10m a +>，则n S 有最小值且最小值为m S ；如果{}n a 满足0m a >，10m a +<，则n S 有最大值且最大值为m S .变式2-3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25a =-，612S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求当n 取何值时n S 有最小值.【答案】（1）29n a n =-；（2）4. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，构建关于基本量1,a d 的方程组，求出1,a d 的值后可求{}n a 的通项公式. （2）求出n S 的表达式，从而可求当n 取何值时n S 有最小值. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得11561512a d a d +=-⎧⎨+=-⎩得17,2a d =-=，所以{}n a 的通项公式为29n a n =-. （2）由（1）得()1228(4)162n n n a a S n n n +==-=--，所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法以及前n 项和的最值，此类问题，可根据题设条件得到关于基本量1,a d 的方程组，求出基本量的值后可讨论与等差数列相关的问题，本题属于基础题.考点三含绝对值型求和问题典例3．记数列{}n a 中，17a =-，26a =-，()1+1N ,R n n a ka n k +=+∈∈. (1)证明数列{}n a 为等差数列，并求通项公式n a ； (2)记123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+，求n T . 【答案】(1)证明见解析，8,N n a n n +=-∈；(2)2215,821556,82n n n n n n n T -≤-+⎧⎪=⎨>⎪⎪⎪⎩且n +∈N .【解析】【分析】（1）由已知可得1k =，根据等差数列的定义可证等差数列，进而写出通项公式. （2）由（1）有80a =，讨论8n ≤、8n >分别求n T 即可.(1)∵()11,n n a ka n k ++=+∈∈N R ，17a =-，26a =-， ∴1k =，∴()11n n a a n ++-=∈N ，即数列{}n a 为等差数列，8n a n ∴=-.(2)由（1）知：80a =，8n ≤时，()2121215.2n n n n n T a a a a a a -=++⋯+=-++⋯+=，8n >时，212815..562n n n nT a a a a -=++⋯+⋯+=+.∴2215,821556,82n n n n n n n T -≤-+⎧⎪=⎨>⎪⎪⎪⎩且n +∈N .变式3-1．设等差数列{}n a 的前n 项和为46,16,12n S S S =-=-． (1)求{}n a 的通项公式n a ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】(1)29n a n =-；(2)2*2*8,14832,5n n n n n T n n n n ⎧-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩N N 且且. 【解析】【分析】（1）根据等差数列前n 项和求和公式求出首项和公差，进而求出通项公式；（2）结合（1）求出n S ，再令0n a ≥得出数列的正数项和负数项，进而结合等差数列求和公式求得答案. (1)设等差数列的首项和公差分别为1a 和d ，∴1111434162382254656122a d a d a d a d ⨯⎧+=-⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=-⨯⎩⎪+=-⎪⎩，解得：172a d =-⎧⎨=⎩ 所以()71229n a n n =-+-⨯=-. (2)29n a n =-，所以()()2171282n S n n n n n =-+-⨯=-.当02905n a n n ≥⇒-≥⇒≥；当02904n a n n <⇒-<⇒≤，当04n <≤，*n ∈N 时，()212128n n n T a a a a a a n n =++⋅⋅⋅+=-++⋅⋅⋅+=-，当5n ≥时，()()()21245428216n n n T a a a a a S S n n =-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-=--⨯-2832n n =-+.综上：2*2*8,14832,5n n n n n T n n n n ⎧-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩N N 且且. 变式3-2．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且28n S n n =-+.(1)求证:数列{}n a 是等差数列；(2)记n n b a =，试求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析；(2)228,4832,5n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系求通项公式，结合等差数列的定义证明结论. （2）由（1）得92,429,5n n n b n x -≤⎧=⎨-≥⎩，讨论n 的范围，应用等差数列前n 项和公式求n T .(1)当2n ≥时，()2218(1)8129n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+---+-=-+⎣⎦当1n =时，11187,a S ==-+=也适合上式，故29n a n =-+. 综上，()127292n n a a n n +-=-+--+=-，∴数列{}n a 是以7为首项，2-为公差的等差数列. (2)由（1）知：92,49229,5n n n n b a n n x -≤⎧==-=⎨-≥⎩，当4n ≤时，2128n n n T b b b S n n =++⋯+==-+；当5n ≥时，2212124564(282484)()n n n n T b b b a a a a a a S S n n =++⋯+=++⋯+-++⋯+=-+++-=-⨯2832n n =-+，∴228,4832,5n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩变式3-3．在①()1218,7,1*,n n a a a ka n N k R +=-=-=+∈∈②若{}n a 为等差数列，且376,2a a =-=-③设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2117*22n nS n n N =-∈．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答(1)求数列{}n a 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和为n S 的最小值及n 的值 (3)记123...n n T a a a a =++++，求20T 【答案】(1)9n a n =-(2)当8n =或9n =时，n S 取得最小值为36-. (3)102 【解析】【分析】（1）选①结合等差数列的定义求得n a ；选②通过求1,a d 来求得n a ；选③利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）由0n a ≤求得n S 的最小值以及对应n 的值. （3）结合等差数列前n 项和公式求得20T . (1)选①，()1218,7,1*,n n a a a ka n N k R +=-=-=+∈∈，211,781,1a ka k k =+-=-+=，111,1n n n n a a a a ++=+-=，所以数列{}n a 是以18a =-为首项，公差1d =的等差数列，所以9n a n =-. 选②，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，31171268,1962n a a d a d a n a a d =+=-⎧⇒=-=⇒=-⎨=+=-⎩. 选③，()2117*22n nS n n N =-∈，当1n =时，18a =-，当2n ≥时，()()1221711171192222n n n a S S n n n n n -=-⎡⎤----⎣-=⎥⎦=-⎢，当1n =时上式也符合，所以9n a n =-. (2)由90n a n =-≤得9n ≤，所以当8n =或9n =时，n S 最小，且最小值为()87881362⨯⨯-+⨯=-. (3)2011a =，结合（2）可知()2092092092T S S S S S =-+-=-()811202361022-+=⨯-⨯-=.巩固练习练习一等差数列的基本量的计算1．在等差数列{}n a 中，已知2a ，5a 是一元二次方程219700x x -+=的两个根． (1)求2a ，5a ； (2)求{}n a 的通项公式．【答案】(1)25a =，514a =或214a =，55a = (2)31n a n =-或320n a n =-+ 【解析】【分析】（1）求出方程的根即可.（2）由（1）可解出等差数列的公差即可.(1)因为219700x x -+=，所以5x =或14，所以25a =，514a =；或214a =，55a =．(2)设公差为d ，若25a =，514a =，得52352a a d ，所以通项公式为()2231n a a n d n =+-=-；若214a =，55a =，则52352a a d -==--，所以通项公式为()22320n a a n d n =+-=-+．故{}n a 的通项公式：31n a n =-或320n a n =-+.2．已知等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，且4152a =-，436S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n S b n =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ．【答案】（1）232n a n =-，*n N ∈；（2）2434n n n T -=，*n N ∈. 【解析】【分析】（1）由已知，结合等差数列前n 项和及通项公式求1a 、d ，写出通项公式即可；（2）由（1）可得222n n b -=，再应用等差数列前n 项和公式求n T . 【详解】（1）由题意，1444()362a a S +==-，可得1212a =-，若公差为d ， ∴411532a a d =+=-，故1d =， ∴{}n a 的通项公式123(1)2n a a n d n =+-=-.（2）由（1）得(22)2n n n S -=，则222n n S n b n -==， ∴212 (431124)n n n n T n +++-=-=. 3．已知等差数列{}n a 中，公差22,3d a ==.求：（1）35,a a 的值；（2）该数列的前5项和5S .【答案】（1）355,9a a ==；（2）525S =.【解析】【分析】（1）根据已知条件求得1a ，由此求得35,a a .（2）利用等差数列前n 项和公式求得5S .【详解】（1）依题意21131a a d a =+=⇒=，所以315125,49a a d a a d =+==+=.（2）5151052025S a d =+=+=.4．已知等差数列{}n a 中，11a =，321a a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =；（2）()12n n n S +=. 【解析】（1）根据题中条件，先得出公差，进而可求出通项公式；（2）根据（1）的结果，由等差数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）因为等差数列{}n a 中，首项为11a =，公差为321d a a =-=，所以其通项公式为()11n a n n =+-=；（2）由（1）可得，数列{}n a 的前n 项和()()1122n n n a a n n S ++==.练习二等差数列前n 项和最值问题5．已知数列{}n a 中14n n a a +=-，且113a =.(1)求n a ；(2)求数列{n a }的前n 项和n S 的最大值.【答案】(1)n a ＝﹣4n +17；(2)28.【解析】【分析】(1)根据等差数列的定义判断{}n a 为等差数列即可求其通项公式；(2)根据等比数列前n 项和的性质即可求其最值.(1)由1n n a a ＋＝﹣4，可知，1n a ＋﹣n a ＝﹣4，∴数列{n a }是以13为首项，以﹣4为公差的等差数列，∴n a ＝13﹣4(n ﹣1)＝﹣4n ＋17；(2)由(1)可知，数列{n a }单调递减，且a 4＞0，a 5＜0，∴当n ＝4时，{n a }的前n 项和n S 取得最大值4S ＝13＋9＋5＋1＝28.6．已知数列{an }是一个等差数列，且a 2=11，S 5=45.(1)求{an }的通项an ；(2)求{an }的前n 项和为Sn 的最大值.【答案】(1)an =15-2n(2)49【解析】【分析】（1）由等差数列的性质知a 3=9，d =a 3-a 2=-2，从而写出通项公式；（2）由通项公式知a 7=1>0，a 8=-1<0，从而可求得Sn 的最大值.(1)∵数列{an }等差数列，S 5=45，∴S 5=5a 3=45，∴a 3=9，故d =a 3-a 2=9-11=-2，故an =a 2+（n -2）d =15-2n .(2)∵an =15-2n ，∴a 7=1>0，a 8=-1<0，故当n =7时，Sn 有最大值S 7=7a 4=7×（15-8）=49.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，210a =，540S =.（1）求10a ；（2）求n S 的最大值，并求对应的项数n .【答案】（1）106a =-；（2）6,7n =时，最大值42.【解析】【分析】（1）根据所给条件求得等差数列的通项公式142n a n =-，代入数值即可得解；（2）由通项公式142n a n =-可知17n ≤≤时，0n a ≥，8n ≥时，0n a <，即可得解.【详解】（1）根据题意设等差数列{}n a 的公差为d ，由53540S a ==，所以38a =，由210a =所以322d a a =-=-，所以112a =，所以1(1)142n a a n d n =+-=-，所以106a =-；（2）由（1）知142n a n =-，当16n ≤≤时，0n a >，特别的70a =，当8n ≥时，0n a <，所以当6,7n =时，()61126652422n S S =⨯+⨯⨯⨯-=，取最大值，最大值42.8．已知数列{}n a 为等差数列，且37a =，53a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值.【答案】（1）132n a n =-；（2）36.【解析】【分析】（1）由已知求出公差，从而可求出数列的通项公式；（2）由（1）得212n S n n =-，然后配方利用二次函数的性质可得答案【详解】解：因为{}n a 为等差数列，令其公差为d ，则由题意得5324a a d -==-，得2d =-，故3(3)7(3)(2)n a a n d n =--⨯=--⨯-132n =-，即{}n a 的通项公式为132n a n =-.（2）由（1）知，111a =，故21(1)122n n n d S na n n -=+=- 2(6)36n =--+，所以当6n =，n S 的最大值为636S =.练习三含绝对值型求和问题9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2103n S n n =-+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项的和n T .【答案】(1)6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩(2)22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩【解析】【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）化简n a 的表达式，分25n ≤≤、6n ≥两种情况求n T 的表达式，综合即可得解.(1)解：当1n =时，116a S ==-，当2n ≥时，()()()22110311013211n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦. 16a =-不满足211n a n =-，因此，6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩. (2) 解：6,1112,25211,6n n a n n n n =⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≥⎩. 当25n ≤≤时，()()27112161032n n n T n n +--=+=-+-， 16T =满足2103n T n n =-+-；当6n ≥时，()()()2251211552210472n n n T T n n n +--=+=-+=-+.综上所述，22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩. 10．已知数列{}n a 的前n 项和213n S n n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()214n a n n *=-∈N ；（2）2213,71384,7n n n n T n n n ⎧-<=⎨-+⎩. 【解析】【分析】（1）根据题意，可求得当1n =时，1112a S ==-；当2n ≥时，利用1214n n n S S a n --==-，检验得1n =时也满足214n a n =-，从而可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知当7n <时，0n a <，当7n ≥时，0n a ≥，则需要分类讨论，当7n <时，142n n n b a a n ==-=-，从而可知{}n b 是首项为12，公差为-2的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式，即可求出n T ；当7n ≥时，化简得出()()1261622n n n T a a a a a T S =----+++=+，结合题意求出n T ；综合两种情况，从而得出{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当n ＝1时，1112a S ==-；当2n ≥时，()22113(1)13(1)214n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，显然1n =时也满足上式，所以()214n a n n *=-∈N .（2）由（1）知()214n a n n *=-∈N ，所以当7n <时，0n a <；当7n ≥时，0n a ≥，①当7n <时，142n n n b a a n ==-=-，则12n n b b +-=-，112b =，所以{}n b 是首项为12，公差为-2的等差数列，所以()12(12142)1322n n n b b n n T n n ++-===-； ②当7n ≥时，1267n n T b b b b b =++++++()()126712612n n n T a a a a a a a a a a =----+++=----+++226284131384n n T T S n n n n =+=+-=-+.综上可得：2213,71384,7n n n n T n n n ⎧-<=⎨-+≥⎩.11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且364a a +=，55S =-(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+，求10T 的值.【答案】(1)27n a n =-(2)58【解析】【分析】（1）由等差数列的性质和基本量运算求得数列的首项和公差，然后可得通项公式；（2）确定数列项的正负，然后分组求和．(1)因为{}n a 是等差数列，所以15535()552a a S a +===-，31a =-，又364a a +=，所以64(1)5a =--=，所以6335(1)6d a a =-=--=，2d =，从而1325a a d =-=-，5(1)227n a n n =-+-⨯=-，(2)由（1）3n ≤时，0n a <，4n ≥时，0n a >，所以123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+(113)7(531)(13513)9582+⨯=+++++++=+=. 12．已知数列{}n a 是等差数列，125a =，12366a a a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前17项和17S .【答案】（1）283n a n =-；（2）217.【解析】【分析】（1）由已知条件，求出公差d 即可求解；（2）因为当9n ≤时，0n a ≥，当10n ≥时，0n a <，所以()17191017191017S a a a a a a a a =+++++=++-++，由等差数列求和公式即可求解.【详解】解：（1）因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，因为12366a a a ++=，125a =，所以111266a a d a d ++++=，所以3d =-，所以()()2513283n a n n =+-⨯-=-；（2）设等差数列{}n a 的前n 项和为n T ，令2830n a n =-≥，解得283n ≤，所以当9n ≤时，0n a ≥，当10n ≥时，0n a <，故()17191017191017S a a a a a a a a =+++++=++-++ ()()91792511725232221722T T +-=-=⨯-=.。

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等差数列基本量计算

专题01 等差数列的基本量的计算(解析版)

数学人教A版高中必修5数列专题：等差、等比数列的基本量计算复习(学生版)