指数函数对数函数幂函数的图像与性质
高考数学指数函数对数函数与幂函数对数与对数函数对数函数的性质与图像对数函数的性质与图像
, -2<x<2
所以函2 数 fx(x)的定义域为(-2,2),关于原点对称.
解法一: f(-x)=ln
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2 =②x
2 -x
=-f(x),
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所以函数f(x)=ln 2是- x 奇函数.
2 x
解法二: f(x)+f(-x)=ln +2 l-nx =③2 x
2 x
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内容(nèiróng)总结
第四章 指数函数、对数函数与幂函数。易错辨析:忽视对数函数对系数、底数(dǐshù)、真数的要求致误.。b的取值范围是(3,+∞),故选C.。所以
y=log2(x2+4)≥log24=2.。即函数y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).。3.(1)(变条件)把本例(1)①中的函数变成“y= ”,结果如何。因为对数函数的图像过点
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探究(tànjiū)三 对数函数的定义域、值域问题
例3 (1)求下列函数的定义域:
①y= ;lg (2-x)
②y=log(2x-1)(-4x+8). (2)求下列函数的值域:
①y=log2(x2+4);
②y=lo (3+2x-x第四章 指数函数(zhǐ shù hán shù)、对数函数与 4.2 对数与幂对函数数函数
4.2.3 对数函数(duìshùhán shù)的性质与图像
第1课时 对数函数(duìshùhán shù)的性质与图像
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情境导学
问题(wèntí):已知细胞的分裂个数y与分裂次数x满足函数y=2x,那么反过来,x是不是关于
幂函数、指数函数与对数函数(解析版))
幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。
指数、对数、幂函数对比
指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的图像的特征和性质.见下表.]图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比名称指数函数对数函数一般形式y=a x(a＞0，a≠1) y=log a x(a＞0，a≠1) 定义域(-∞，+∞) (0，+∞)值域(0，+∞) (-∞，+∞)函数值变化情况当a＞1时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)0(1)0(1)0(1xxxa x当0＜a＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)0(1)0(1)0(1xxxa x当a＞1时⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)1(0)1(0)1(0logxxxxa当0＜a＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)1(0)1(0)1(0logxxxxa单调性当a＞1时，a x是增函数；当0＜a＜1时，a x是减函数.当a＞1时，log a x是增函数；当0＜a＜1时，log a x是减函数.图像y=a x的图像与y=log a x的图像关于直线y=x对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．n y x =奇函数 偶函数 非奇非偶函数 1n >01n <<0n <OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy定义域 R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶 奇在第Ⅰ象限的增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结.docx
(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念根式的It念3符号表示a备注3如果x n=a，那么x叫做a的〃次方根a n > lfin e AT P 当«为奇数时,正数的«次方根是一个正数,负数的川次方根是一个负数3零的兀次方根是零3当n为偶数时,正数的n次方根有两个，它们互为相反数"土嚅(° >0)3负数没有偶次方根卩(2).两个重要公式*a①> 0)\a\=<[-a{ci < 0)②=a (注意a必须使砺有意义)。
2.有理数指数幕(1)幕的有关概念①正数的正分数指数幕:a"= 奸(d > (),m. n w AT,且〃〉1);豐 1 1②正数的负分数指数幕：a n = —=-=(^7>0,/?K /?G N\JBL H>1)a n③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.注：分数指数幕与根式可以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算。
(2)有理数指数幕的性质①a I a'=a H'"(a>0,r、s G Q)；②(a r)s=a re(a>0,r> sEQ)；③(ab)'=a r b s(a>0,b>0,r E Q);.3.指数函数的图象与性质y=a x a>l 0<a<l图象~d 1 *定义域 R 值域 (0, +oo) 性质(1)过定点(0, 1)(2)当 x>0 时,y>l; x<0 时,0<y<l(2)当 x>0 时，0<y<l; x<0 时，y>l(3)在(-oo, +oo)上是增函数(3)在 (-00 , 4-00 )上是减函数注：如图所示，是指数函数(1) y=a x , (2) y=b x ' (3) ,y=c x (4) ,y=d x 的图象，如何确 定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图屮作直线x=l,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 ci>』>l>ai>bi,・・・c>d>l>a>b 。
指数、对数、幂函数对比
指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.]图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比名称 指数函数 对数函数 一般形式 y=a x(a ＞0，a ≠1) y=log a x(a ＞0，a ≠1)定义域 (-∞，+∞) (0，+∞) 值域 (0，+∞) (-∞，+∞)函 数 值 变 化 情 况当a ＞1时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)0(1)0(1)0(1x x x a x 当0＜a ＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)0(1)0(1)0(1x x x a x 当a ＞1时⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)1(0)1(0)1(0log x x x x a当0＜a ＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)1(0)1(0)1(0log x x x x a单调性 当a ＞1时，a x是增函数；当0＜a ＜1时，a x是减函数.当a ＞1时，log a x 是增函数； 当0＜a ＜1时，log a x 是减函数.图像y=a x的图像与y=log a x 的图像关于直线y=x 对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握ny x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．ny x=奇函数偶函数非奇非偶函数1n>01n<<n<定义域R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减O xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xy幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•指数函数的定义与性质•对数函数的定义与性质•幂函数的定义与性质•指数函数、对数函数与幂函数的比较•指数函数、对数函数与幂函数的应用案例•总结与展望01指数函数的定义与性质指数函数的定义02指数函数：y=f(x)=a^x03a>0时，函数图像过一三象限；a<0时，函数图像过二四象限。
指数函数的性质函数图像恒过(0,1)点值域：R a>1时，函数为单调递增函数；0<a<1时，函数为单调递减函数奇偶性：当a>0时，为奇函数；当a=0时，既不是奇函数也不是偶函数；当a<0时，为偶函数指数函数的图像图像恒过(0,1)点当a>1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐加快；当0<a<1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐减慢。
a>1时，函数为单调递增函数，图像位于一三象限；0<a<1时，函数为单调递减函数，图像位于二四象限。
当a>1时，函数的最大值无限趋近于正无穷大；当0<a<1时，函数的最小值无限趋近于0。
02对数函数的定义与性质1 2 3自然对数：以数学常数e为底数的对数，记作ln(x)。
常用对数：以10为底数的对数，记作lg(x)。
底数为任意正数的对数，记作log(x)。
对数的运算性质log(a*b)=log(a)+log(b)；log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数恒等式log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数的运算律如果a>0且a不等于1，M>0，N>0，那么log(a)(MN)=log(a)M +log(a)N；log(a)(M/N)=log(a)M -log(a)N；log(a)M^n=nlog(a)M。
•对数函数的图像与性质：图像与x轴交点为1，当x>1时，函数值大于0；当0<x<1时，函数值小于0。
指数、对数、幂函数对比
指数函数概念：一般地,函数y=a^x（a＞0,且a≠1）叫做指数函数,个中x是自变量,函数的界说域是R.留意：⒈指数函数对外形请求严厉,前系数要为1,不然不克不及为指数函数.⒉指数函数的界说仅是情势界说.指数函数的图像与性质：纪律：1.当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性.2.当a＞1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越接近y轴;当0＜a＜1时,底数越小,图像降低的越快,在y轴的左侧,图像越接近y轴.在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”.3.四字口诀：“大增小减”.即：当a＞1时,图像在R上是增函数;当0＜a＜1时,图像在R上是减函数.4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数.比较幂式大小的办法：1.当底数雷同时,则应用指数函数的单调性进行比较;2.当底数中含有字母时要留意分类评论辩论;3.当底数不合,指数也不合时,则须要引入中央量进行比较;4.对多个数进行比较,可用0或1作为中央量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移.在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移.对数函数因为指数函数y=a x在界说域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它消失反函数,我们把指数函数y=a x(a ＞0,a ≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=log a x(a ＞0,a ≠1).因为指数函数y=a x的界说域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=log a x 的界说域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).对数函数与指数函数互为反函数,是以它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.为了研讨对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1)的性质,我们在统一向角坐标系中作出函数y=log 2x,y=log 10x,y=log 10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图,再联合指数函数的图像和性质,可以归纳.剖析出对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1)的图像的特点和性质.见下表.]图 象a ＞1a ＜1性 质(1)x ＞0(2)当x=1时,y=0 (3)当x ＞1时,y ＞0 0＜x ＜1时,y ＜0 (3)当x ＞1时,y ＜0 0＜x ＜1时,y ＞0 (4)在(0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数 填补 性质设y 1=log a x y 2=log b x 个中a ＞1,b ＞1(或0＜a ＜1 0＜b ＜1) 当x ＞1时“底大图低”即若a ＞b 则y 1＞y 2当0＜x ＜1时“底大图高”即若a ＞b,则y 1＞y 2比较对数大小的经常应用办法有：(1)若底数为统一常数,则可由对数函数的单调性直接进行断定.(2)若底数为统一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类评论辩论. (3)若底数不合.真数雷同,则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数.真数都不雷同,则常借助1.0.-1等中央量进行比较.幂函数幂函数的图像与性质幂函数n y x =跟着n 的不合,界说域.值域都邑产生变更,可以采纳按性质和图像分类记忆的办法．闇练控制n y x =,当112,1,,,323n =±±±的图像和性质,列表如下．从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不订交,任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时,幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时,幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④任何两个幂函数最多有三个公共点．幂函数y x α=（x ∈R,α是常数）的图像在第一象限的散布纪律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R,α是常数）的图像都过点)1,1(;②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(;③当1=α时,y x α=的的图像在第一象限是第一象限的等分线（如2c ）;④当3,2=α时,y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时,y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时,y x α=的的图像不过原点)0,0(,且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ） 当0>α时,幂函数y x α=有下列性质： （1）图象都经由过程点)1,1(),0,0(; （2）在第一象限内都是增函数;（3）在第一象限内,1>α时,图象是向下凸的;10<<α时,图象是向上凸的; （4）在第一象限内,过点)1,1(后,图象向右上方无穷伸展. 当0<α时,幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都经由过程点)1,1(;（2）在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;（3）在第一象限内,图象向上与y 轴无穷地接近;向右无穷地与x 轴无穷地接近; （4）在第一象限内,过点)1,1(后,α越大,图象下落的速度越快.无论α取任何实数,幂函数y x α=的图象必定经由第一象限,并且必定不经由第四象限.对号函数函数xbax y +=（a>0,b>0）叫做对号函数,因其在（0,+∞）的图象似符号“√”而得名,应用对号函数的图象及均值不等式,当x>0时,ab xb ax 2≥+（当且仅当x b ax =即ab x =时取等号）,由此可得函数xb ax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）的性质:当ab x =时,函数xb ax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）有最小值ab 2,特殊地,当a=b=1时函数有最小值 2.函数xb ax y +=（a>0,b>0）在区间（0,ab ）上是减函数,在区间（ab ,+∞）上是增函数.因为函数xb ax y +=（a>0,b>0）是奇函数,所以可得函数xb ax y +=（a>0,b>0,x ∈R -）的性质：当ab x -=时,函数xb ax y +=（a>0,b>0,x ∈R -）有最大值-ab 2,特殊地,当a=b=1时函数有最大值-2.函数xb ax y +=（a>0,b>0）在区间（-∞,-ab ）上是增函数,在区间（-ab ,0）上是减函数.。
指数函数、对数函数、幂函数图像及性质讲义
精选文档指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的观点，理解指数函数的单一性，掌握指数函数图象经过的特别点；理解对数的观点及其运算性质，理解对数函数的观点，理解对数函数的单一性，掌握对数函数图象经过的特别点。
认识指目标数函数y=a x与对数函数ylog a x 互为反函数〔a0,且a1〕。
认识幂函数的概11念。
联合函数y=x ，y=x 2，y=x 3，y ，y x 2的图象，认识它们的变化状况。
x要点指数、对数的运算性质；指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用；幂函数图像的应用。
难点 指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用，幂函数图像的应用。
方法建议第一回首指数、对数的运算性质；指数函数、对数函数的图像与性质等根底知识。
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在例题和习题的选择上能够依据学生的实质状况进 行。
讲堂精讲例题 搭配讲堂训练题 课后作业程度及数目A 类 〔4 〕道 〔4 〕道 〔11 〕道B 类 〔3 〕道 〔3 〕道 〔10 〕道C 类 〔0〕道 〔0〕道 〔0〕道理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的观点，理解指数函数的单一性，掌握指数函数图象经过的特别点。
理解对数的观点及其运算性质。
理解对数函数的观点， 理解对数函数的单一性，掌握对数函数图象经过的特别点。
认识指数函数 y=a x 与对数函数y log a x 互为反函数〔 a 0,且a 1〕。
认识幂函数的观点。
联合函数 y=x ，y=x 2，y=x 3，1y1，yx 2的图象，认识它们的变化状况。
指数函数、对数函数在高中数学中据有十x分重要的地位，是高考要点考察的对象， 热门是指数函数、 对数函数的图象与性质的综合应用．同时考察分类议论思想和数形联合思想；多以选择、填空题的形式出现，有时会与其余知识联合在知识交汇点处命题。
第4章 幂函数、指数函数、对数函数
第四章：幂函数、指数函数和对数函数4、1 幂函数的图像与性质1、幂函数的概念一般地，函数(k y x k =为常数，k Q ∈）叫做幂函数。
思考：（1）在我们学过的函数中，有哪些是幂函数？举例说明。
2y x =、y x =、1y x=、0y x =、12y x =⋅⋅⋅(2)下列函数是否为幂函数： （1）2y x =； （2）17(2)y x -=；（3）13(2)y x =-； （4）y =。
2、幂函数的图像 画幂函数图像分两步：（1）画出幂函数在第一象限的图像（如图）（2）由定义域和奇偶性画出幂函数在其它象限的图像。
例1、分别画出下列幂函数的大致图像。
（1）43y x =； （2）12y x -=； （3）13y x =； （4）0y x =；（5）2y x-=； （6）12y x =； （7）32y x =； （8）23y x =（9）53y x =； （10）y x =； （11）13y x -=。
3、幂函数()ky x k Q =∈的性质：（1）幂函数的图像恒过点(1,1)；（2）当0k >时，幂函数在区间[0,)+∞是上增函数； 当0k <时，幂函数在区间(0,)+∞上是减函数。
例2、已知幂函数21(732)35(1)()t t y t t xt Z +-=-+∈是偶函数，且在区间[)0,+∞上是单调增函数。
求整数t 的值，并作出相应幂函数的大致图像。
解：0t =（舍去），或1t =±，图像略。
例3、分别画出下列函数的大致图像。
（1）y = （2）3(1)y x =+；（3）y = （4）()231y x -=-。
例4、设01a b c d <<<<<，正数,,,m n k r 满足：01a b c dm n k r <===<，则,,,,1mnkr之间的大小关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
解：在同一坐标系内作出函数,,,a b c dy x y x y x y x ====与直线(01)y p p =<<相交，得交点的横坐标分别为,,,n r k m 可以得出：1n r k m <<<<。
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
(一)指数与指数函数1根式(1) 根式的概念(2).两个重要公式”n 为奇数a① 勺a =〈a(a 王0) n 为偶数\a\=： 、—a(a<0)② (n .a)n =a (注意a 必须使I a 有意义) 2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念m①正数的正分数指数幂:a n =n 孑(a 0,m> n N ,且n 1);注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行 根式的运算。
(2) 有理数指数幂的性质 ① aras=ar+s(a>0,r 、s € Q);②正数的负分数指数幂1— ■ (a • 0, m 、n m 'n N ,且 n 1)③0的正分数指数幂等于 0,0的负分数指数幂没有意义② (ar)s=ars(a>O,r 、s€ Q)；③ (ab)r=arbs(a>O,b>O,r € Q);.3. 指数函数的图象与性质注：如图所示，是指数函数（1）y=ax, （2）y=bx, （3）,y=cx （4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 c1>d1>1>a1>b1,二c>d>1>a>b 。
即无论在轴 的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1） 对数的定义如果a * = N （a - 0且a "），那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作 x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2） 几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（a -0,且 a=1）：① log a^ 0，② log, =1，③ a 1* 二 N ， ④ log a^ = N 。
（2）对数的重要公式:12叫（a,b 均为大于零且不等于1,N 0）；log a（3）对数的运算法则：如果a 0,且a=1， M 0, N 0那么①换底公式: N log b② log a b1 iog b a①log a (MN ) = log a M log a N;②log a M-log a M-log a N；N③log a M n二n log a M (n・ R)；④log m b n = —log a b。
幂函数指数函数与对数函数的像与变换
幂函数指数函数与对数函数的像与变换幂函数、指数函数与对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍幂函数、指数函数与对数函数的定义、性质以及它们的像与变换。
一、幂函数的定义与性质幂函数是指形如y = x^n的函数，其中x是自变量，n是常数指数。
常见的幂函数有平方函数、立方函数等。
幂函数的图像特点：1. 当n为正数时，幂函数关于y轴对称，且有一个最小值0，图像逐渐增大；2. 当n为负数时，幂函数关于x轴对称，有一个最大值0，图像逐渐减小；3. 当n为偶数时，幂函数的图像更加接近x轴，当n为奇数时，幂函数的图像更加接近y轴。
二、指数函数的定义与性质指数函数是指形如y = a^x的函数，其中a是常数，x是自变量。
常见的指数函数有2^x、e^x等。
指数函数的图像特点：1. 当0<a<1时，指数函数递减，且无穷趋近于x轴；2. 当a>1时，指数函数递增，且无穷趋近于正无穷；3. 当a=1时，指数函数为常数函数y=1。
三、对数函数的定义与性质对数函数是指形如y = loga(x)的函数，其中a是底数，x是自变量。
常见的对数函数有以10为底的常用对数函数log(x)和以自然数e为底的自然对数函数ln(x)。
对数函数的图像特点：1. 当底数a>1时，对数函数递增，对应的反函数是指数函数；2. 当0<a<1时，对数函数递减，对应的反函数是指数函数；3. 对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
四、像与变换幂函数、指数函数与对数函数在函数图像的变换中具有一定的规律：1. 幂函数的变换：通过改变指数n值的正负、奇偶，可以实现图像关于x轴、y轴的对称以及图像的平移、伸缩；2. 指数函数的变换：通过改变底数a的大小，可以实现图像在x轴方向的压缩和拉伸，以及图像在y轴方向的上升和下降；3. 对数函数的变换：通过改变底数a和对数函数的系数，可以实现图像在x轴方向的压缩和拉伸，以及图像在y轴方向的上升和下降。
指数函数、对数函数、幂函数地图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质n 为奇数n 为偶数①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q);②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);.3．指数函数的图象与性质y=a x a>1 0<a<1 图象定义域R值域（0，+∞）性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1; x<0时,0<y<1 (2) 当x>0时，0<y<1; x<0时, y>1(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)xa N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log Na x =，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数。
指数函数、对数函数、幂函数图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且。
②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q )。
②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q )。
③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q )。
. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数y=a x a>1 0<a<1图象定义域 R值域 （0，+∞）性质（1）过定点（0，1） （2）当x>0时，y>1。
x<0时,0<y<1(2) 当x>0时，0<y<1。
x<0时, y>1(3)在（-∞，+∞）上是增函数 （3）在（-∞，+∞）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log Na x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
当xo>l时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3, y=x2, y=x ,y x2,y=x-1；
1
当0<xo<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1,y x2,y=x , y=x2, y=x3。
3、藉函数的性质
段X数
y=x
2y=x
3y=x
1
yx，
-1y=x
定义域
R
R
R
[0,)
x| x Rflx 0
值域
R
[0,)
R
[0,)
y | y Rfi y 0
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x € [0 ,)时，增；
xe(,0]时，减
增
增
x C (0,+)时，减；
x C (- ,0)时，减
定点
(1 , 1)
叫做对数的底数，N叫做真数。
(2)几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为aa 0,且a 1
logaN
常用对数
底数为10
lg N
自然对数
底数为e
ln N
2、对数的性质与运算法则
(1)
(2)对数的重要公式：
lonN
-^b(a,b均为大丁零且不等丁1,N 0)；loga
指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。
(三)籍函数
1、藉函数的定义
形如y=x " (a£ R)的函数称为藉函数，其中x是自变量，a为常数
注：藉函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，备函数的自变量在底数位置，而
《对数与对数函数》指数函数、对数函数与幂函数PPT(对数函数的性质与图像)
人教版高中数学B版必修二
指数函数、对数函数与幂函数
4.2 对数与对数函数
4.2.3 对数函数的性质与图像
-1-
课标阐释
思维脉络
1.理解对数函数的概念,体会对
B.(-1,+∞) C.(-1,4)
D.(4,+∞)
(2)函数 y=loga -1(a>0,a≠1)的定义域为
答案:(1)A
(2)(1,+∞)
+ 1 ≥ 0,
解析:(1)由题意可知
4- > 0,
解得 x∈[-1,4),故选 A.
(2)由题意可得 -1>0,又∵偶次根号下非负,
∴x-1>0,即 x>1.
A.(0,2)
B.(0,2] C.(2,+∞)
1
指数函数、对数函数与幂函数
(2)函数 f(x)=log4 的大致图像为(
)
D.[2,+∞)
)
(1)函数
(a>0,且a≠1)是对数函数.
因忽视真数的取值范围而致误
29可看作是函数y=log0.
(5)当0<a<1时,y=logax为R上的减函数;当a>1时,y=logax为R上的增函数.
同理可得函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调增区间为(-∞,1].
故函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调增区间为(-∞,1],
单调减区间为[1,+∞).
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指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念(2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 (1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且；②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a 〉0,r 、s ∈Q ); ②(a r ）s =a rs （a>0，r 、s ∈Q ）; ③（ab)r =a r b s (a>0，b>0，r ∈Q ）；。
n 为奇数 n 为偶数3．指数函数的图象与性质 y=a x a 〉10〈a 〈1图象定义域 R 值域 (0,+∞）性质（1）过定点（0，1） （2）当x 〉0时，y 〉1； x 〈0时，0〈y<1(2) 当x 〉0时，0〈y 〈1； x<0时， y>1（3）在(-∞，+∞）上是增函数(3）在（—∞，+∞)上是减函数注:如图所示,是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x ，(3),y=c x （4)，y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1〉a 1〉b 1，∴c 〉d 〉1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二)对数与对数函数 1、对数的概念 （1)对数的定义如果(01)xa N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数,记作log Na x =，其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
（2)几种常见对数对数形式 特点记法一般对数 底数为a 0,1a a >≠且 log N a常用对数 底数为10 lg N自然对数底数为eln N2、对数的性质与运算法则(1)对数的性质（0,1a a >≠且)：①1log 0a =，②log 1aa =，③log Na aN =，④log Na a N =。
（2）对数的重要公式：①换底公式：log log (,1,0)log NNa bba ab N =>均为大于零且不等于； ②1log log ba ab =. （3）对数的运算法则：如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M NMa a alog log log -=； ③)(log log R n M n M a na ∈=；④b mnb a na m log log =。
图象1a >01a <<性质（1)定义域：（0，+∞)（2）值域：R（3)当x=1时，y=0即过定点(1，0） （4）当01x <<时，(,0)y ∈-∞； 当1x >时，(0,)y ∈+∞ （4）当1x >时，(,0)y ∈-∞； 当01x <<时，(0,)y ∈+∞ (5）在（0，+∞）上为增函数(5)在（0,+∞)上为减函数注：确定图中各函数的底数a ，b,c ，d 与1的大小关系提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数.∴0〈c<d<1〈a<b 。
4、反函数指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。
（三)幂函数1、幂函数的定义形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数,其中x 是自变量，α为常数注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
2、幂函数的图象注：在上图第一象限中如何确定y=x 3，y=x 2，y=x,12y x =，y=x -1方法：可画出x=x 0；当x 0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3，y=x 2， y=x ，12y x =， y=x -1； 当0<x 0〈1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x —1，12y x = ,y=x ， y=x 2,y=x 3 。
y=x y=x 2y=x 312y x =y=x -1定义域 R RR ［0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且值域 R ［0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇单调性增x ∈[0，+∞)时,增； x ∈(,0]-∞时，减增增x ∈(0，+∞）时，减；x ∈(—∞，0)时,减定点（1，1）三:例题诠释，举一反三知识点1：指数幂的化简与求值 例1。
(2007育才A ）（1)计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；（2)化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式：（2007执信A)化简下列各式（其中各字母均为正数）：（1）;)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--(2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a（3)1200.2563433721.5()82(23)()63-⨯-+⨯+⨯- 知识点2：指数函数的图象及应用例2.(2009广附A)已知实数a 、b 满足等式b a )31()21(=,下列五个关系式：①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b;④b ＜a ＜0；⑤a=b 。
其中不可能成立的关系式有 ( ）A.1个 B 。
2个 C 。
3个 D 。
4个 变式：（2010华附A ）若直线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x且)1≠a 的图象有两个公共点,则a 的取值范围是_______. 知识点3：指数函数的性质例3。
（2010省实B ）已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数。
（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性;（Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．变式：（2010东莞B ）设a ＞0,f(x)=xx a a e e +是R 上的偶函数。
（1）求a 的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数。
知识点4：对数式的化简与求值例4。
（2010云浮A ）计算：（1）)32(log 32-+ （2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-；（3）21lg4932-34lg 8+lg 245.变式：(2010惠州A)化简求值. （1)log 2487+log 212—21log 242—1；(2）（lg2)2+lg2·lg50+lg25；(3）（log 32+log 92)·（log 43+log 83）. 知识点5：对数函数的性质例5。
（2011深圳A ）对于01a <<，给出下列四个不等式： ①1log (1)log ();a a a a a +<+ ②1log (1)log (1)a a a a+>+；③111;aaaa++< ④111;aaaa++> 其中成立的是（ ）（A ）①与③（B ）①与④(C ）②与③（D ）②与④变式:（2011韶关A ）已知0＜a ＜1，b ＞1,ab ＞1，则log a bb b b a 1log ,log ,1的大小关系是 （ )A 。
log a bb b b a 1log log 1<< B.b b b ba a 1log 1log log << C.bb b ab a 1log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log << 例6。
（2010广州B)已知函数f(x ）=log a x （a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞)都有｜f(x ）｜≥1成立，试求a 的取值范围。
变式：（2010广雅B ）已知函数f （x ）=log 2(x 2—ax-a ）在区间（—∞,1—3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围。
知识点6：幂函数的图象及应用例7.（2009佛山B ）已知点(22)，在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；(３）()()f x g x <．变式：(2009揭阳B ）已知幂函数f(x ）=x 322--m m（m ∈Z ）为偶函数,且在区间（0,+∞)上是单调减函数。
（1)求函数f(x ）;（2）讨论F （x ）=a ）（）（x xf bx f -的奇偶性.四：方向预测、胜利在望 1．(A ）函数41lg)(--=x xx f 的定义域为( )A ．(1,4）B ．[1，4）C ．（－∞，1)∪（4，＋∞）D ．（－∞,1］∪（4,＋∞) 2.（A ）以下四个数中的最大者是（ ）（A ） （ln2)2（B) ln （ln2）(C) ln 2（D ） ln23（B)设a 〉1，函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为,21则a=（ ） （A ）2 （B ）2 (C)22 (D ）44.（A ）已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则（ )（A ）a b c << （B ）b a c << (C ）c b a << （D ）c a b <<5.（B)设f (x ）= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为( ) （A ）（1，2）⋃（3，+∞） （B ）（10，+∞）(C ）（1,2)⋃ （10 ，+∞) （D ）(1,2）6．（A ）设2log 3P =，3log 2Q =,23log (log 2)R =,则（ ） Ａ．R Q P << Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q << 7．(A)已知c a b 212121log log log <<，则( )A ．cab222>>B ．c b a222>> C ．a b c 222>> D ．ba c 222>>8．（B ）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（ )（A)()sin f x x = （B) ()1f x x =-+(C ） 1()()2x x f x a a -=+ （D ） 2()2xf x lnx-=+ 9.（A)函数y =( ）A [1,)+∞B 23(,)+∞C 23[,1]D 23(,1]10。