第七章窄带随机过程
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A 则
1 2
jt X e d 0
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 9
窄带随机过程的一般概念与预备知识
s(t ) A A 2Re A Re 2 A
现在假定我们已经找到一个复信号 s (t )，它 的频谱 X () 满足
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 7
窄带随机过程的一般概念与预备知识
二、任意信号的复数表示方法
设s(t)是任意实信号，具有频谱 X ，根据前面的
讨论，任何实信号都具有双边带的频谱。为了简化分 析，我们想寻找一种复信号 s (t ) ，它同时满足
Sichuan Normal University 物理与电子工程学院 Page 18
窄带随机过程的一般概念与预备知识
X 、A( )和 X e 之间 下图画出了窄带信号条件下， X 的关系。
0
A( )
0
0
0
X e
0
Sichuan Normal University
或 上式说明，用复指数信号se (t )表示实窄带信号s(t)时，虽然 它的实部仍为原来的实信号s(t)，但是，它的频谱 X e 不 满足 2 X , 0 X ( ) 0, 0
X e 2 X A ( 0 )
即 X e 2 X U 。这是复指数信号与解析信号的差 别。
X () 2 X U
又 s (t ) X () 从而 s(t ) Re s (t )
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 10
窄带随机过程的一般概念与预备知识
解析信号
ˆ(t ) s (t ) s(t ) js
1
1.s (t ) Re s (t ) 2 X , 0 2. X ( ) 0, 0
式中， X () 是该复信号 s (t ) 的频谱。
Sichuan Normal University 物理与电子工程学院 Page 8
窄带随机过程的一般概念与预备知识
s t ae
或
s t ae
ae e
j0t
j a ae 式中 称之为复包络。
比较以上两式可得，
s t Re s t
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 6
窄带随机过程的一般概念与预备知识
将复指数函数
x(t )
1 h(t)= t H ( ) j sgn( )
ˆ (t ) x
希尔伯特变换等效为90°移相的线性滤波器
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 5
窄带随机过程的一般概念与预备知识
对于式 s(t ) a cos(0t ) a cos (t ) 的正弦信号来说， 一种最常用的复数表示形式是复指数函数。定义复指数 函数 s t 为 j t j0t j
物理与电子工程学院
Page 11
归纳以上的讨论，可以得出几点结论： （1）对应于任何实信号s(t)，都可以找到一个同时 1.s (t ) Re s (t )
窄带随机过程的一般概念与预备知识
2 X , 0 2. X ( ) 0, 0 两个条件的复信号s (t ) 。 （2）可将此复信号表示成解析表达式
0
物理与电子工程学院
Page 19
希尔伯特变换
定义：在区间 t 内给定实值函数x(t)，它的希 尔伯特变换记作 x （或者记作 H x(t ) ） ˆ(t )
x ˆ t H d x t x t 用 t '代入上式，进行变量置换，可得到上式的等效形 式为 1
Sichuan Normal University 物理与电子工程学院 Page 3
窄带随机过程的一般概念与预备知识
S X
0 c
0
0 c
0
0 c
0
0 c
若在上式中，c 0 则称X(t)为高频窄 带随机过程，简称窄带随机过程。
Sichuan Normal University
A(t )e
j t
式中 j t 通常，将A(t ) 称为的复包络；将 e 0 称为复载频。
A(t ) A(t )e j t
e j0t A(t )e j0t
A(t ) A(t ) cos t jA(t )sin t sc t jss t 可见，复包络 A(t ) 也是低频限带信号。
Sichuan Normal University 物理与电子工程学院 Page 17
A( 0 )
窄带随机过程的一般概念与预备知识
下面我们再来求复指数函数se (t )的频谱 X e 与原来实信 号s(t)的频谱 X 之间的关系:
A( 0 ) 2 X A ( 0 )
ˆ t x
1
x t
d
1
x t
Page 20
d
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
希尔伯特变换
下面给出希尔伯特变换的两个重要性质： （1）希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。
1 ˆ (t ) x(t ) x t
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 13
窄带随机过程的一般概念与预备知识
1. 窄带信号的复解析表示 若s(t)为窄带信号，其振幅频谱 X 如下图所示，定义 窄带信号的解析信号 sH t 为
ˆ(t ) sH t s(t ) js ˆ(t ) H s(t ) 。从而 sH t 的振幅频谱 X H 如下页图 式中，s
窄带随机过程的一般概念与预备知识
其中 sc t A(t ) cos t
ss t A(t ) sin t t 都是低频限带信号。可见， sc t 和 ss t 由于 A(t ) 、 也都是 低频限带信号，且sc t 与ss t 彼此正交。
物理与电子工程学院
Page 4
窄带随机过程的一般概念与预备知识
一、正弦型信号的复数表示方法
简单的正弦型信号可以表示为
s(t ) a cos(0t ) a cos (t )
其中 (t ) 0t , a、、0都是实常数。
很明显，s(t)是t的实值函数，称s(t)为实信号。
目录
窄带随机过程的一般概念与预备知识
希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
窄带随机过程的一般概念与预备知识
一个平稳随机过程，若它的功率谱密度在频率 轴的某个区域之外为零，或者说，它的功率谱带宽 为有限值，那么，便称它为限带随机过程，简称限 带过程。 在限带过程中，根据其功率谱分布区域的不同， 分为低通过程和带通过程。若平稳随机过程X(t)其功 率谱密度 S X 具有以下特点
所示。
X
1 1 0 0 0 2 2
0
1 1 0 0 0 2 2
窄带信号频谱举例
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 14
窄带随机过程的一般概念与预备知识
X H
0
0 0 0
Re se t s (t )
即，复指数函数的实部就是窄
带信号s(t)。
Sichuan Normal University 物理与电子工程学院 Page 16
窄带随机过程的一般概念与预备知识
下面再来求 se (t )的频谱 X e 。
A(t ) A
A(t ) A()
1 2
1 2
解析信号 H
s t 的振幅频谱
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 15
窄带随机过程的一般概念与预备知识
2. 窄带信号的复指数表示 定义s(t)的复指数函数为 j t t se t A(t )e 0
S X , c S X 0, c
则称X(t)为低通过程。
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 2
窄带随机过程的一般概念与预备知识
S X
c
Βιβλιοθήκη Baidu
0
c
若X(t)的功率谱密度满足 S X , 0 c 0 c S X 0, 其它 则称X(t)为带通过程。
对下式两端作傅里叶变换，
A(t ) A(t )e j0t
并利用傅里叶变换的相乘性质及 e j0t 0 可得 X A( )
e 0
A( ') ' 0 d '
可见，X e 具有单边带频谱。
ˆ(t ) H s(t ) ˆ(t )是s(t)的希尔伯特变换，即 s 其虚部 s ˆ(t ) 给出的是一种非常重要的复信 （3）式 s (t ) s(t ) js 号的表示形式。通常把它称为s(t)的解析信号或s(t)的预包 络。
ˆ(t ) s (t ) s(t ) js
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 12
三、高频窄带信号的复数表示方法 所谓高频窄带信号（或简称窄带信号）是指信号的频谱 限制在载波频率 0附近的一个频率范围内，而且此频带范 围远小于载波频率。 常将窄带信号表示为 s (t ) A(t ) cos 0t t 展开可以得到 s(t ) sc t cos 0t ss t sin 0t
进一步得出s ˆ(t )
s d t
ˆ(t )和它的实部（即原来的 上式给出了解析信号 s (t )的虚部 s 实信号）s(t)之间的关系式，把它称为希尔伯特（Hilbert） 变换，记作
ˆ(t ) H s(t ) s
Sichuan Normal University
s (t )
0 1 jt jt X e d X e d 2 0
X e jt d
利用 X X
1 jt jt s(t ) X e d X e d 2 0 0 1 jt A X e d 令 2 0
s t s t js ' t
s t ae j0t 展开，可得
s ' t 式中，s(t)是原来的实信号， 是另一个实信号。
s(t ) a cos (t ) a cos(0t ) s '(t ) a sin (t ) a sin(0t )
1 2
jt X e d 0
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 9
窄带随机过程的一般概念与预备知识
s(t ) A A 2Re A Re 2 A
现在假定我们已经找到一个复信号 s (t )，它 的频谱 X () 满足
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 7
窄带随机过程的一般概念与预备知识
二、任意信号的复数表示方法
设s(t)是任意实信号，具有频谱 X ，根据前面的
讨论，任何实信号都具有双边带的频谱。为了简化分 析，我们想寻找一种复信号 s (t ) ，它同时满足
Sichuan Normal University 物理与电子工程学院 Page 18
窄带随机过程的一般概念与预备知识
X 、A( )和 X e 之间 下图画出了窄带信号条件下， X 的关系。
0
A( )
0
0
0
X e
0
Sichuan Normal University
或 上式说明，用复指数信号se (t )表示实窄带信号s(t)时，虽然 它的实部仍为原来的实信号s(t)，但是，它的频谱 X e 不 满足 2 X , 0 X ( ) 0, 0
X e 2 X A ( 0 )
即 X e 2 X U 。这是复指数信号与解析信号的差 别。
X () 2 X U
又 s (t ) X () 从而 s(t ) Re s (t )
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 10
窄带随机过程的一般概念与预备知识
解析信号
ˆ(t ) s (t ) s(t ) js
1
1.s (t ) Re s (t ) 2 X , 0 2. X ( ) 0, 0
式中， X () 是该复信号 s (t ) 的频谱。
Sichuan Normal University 物理与电子工程学院 Page 8
窄带随机过程的一般概念与预备知识
s t ae
或
s t ae
ae e
j0t
j a ae 式中 称之为复包络。
比较以上两式可得，
s t Re s t
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 6
窄带随机过程的一般概念与预备知识
将复指数函数
x(t )
1 h(t)= t H ( ) j sgn( )
ˆ (t ) x
希尔伯特变换等效为90°移相的线性滤波器
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 5
窄带随机过程的一般概念与预备知识
对于式 s(t ) a cos(0t ) a cos (t ) 的正弦信号来说， 一种最常用的复数表示形式是复指数函数。定义复指数 函数 s t 为 j t j0t j
物理与电子工程学院
Page 11
归纳以上的讨论，可以得出几点结论： （1）对应于任何实信号s(t)，都可以找到一个同时 1.s (t ) Re s (t )
窄带随机过程的一般概念与预备知识
2 X , 0 2. X ( ) 0, 0 两个条件的复信号s (t ) 。 （2）可将此复信号表示成解析表达式
0
物理与电子工程学院
Page 19
希尔伯特变换
定义：在区间 t 内给定实值函数x(t)，它的希 尔伯特变换记作 x （或者记作 H x(t ) ） ˆ(t )
x ˆ t H d x t x t 用 t '代入上式，进行变量置换，可得到上式的等效形 式为 1
Sichuan Normal University 物理与电子工程学院 Page 3
窄带随机过程的一般概念与预备知识
S X
0 c
0
0 c
0
0 c
0
0 c
若在上式中，c 0 则称X(t)为高频窄 带随机过程，简称窄带随机过程。
Sichuan Normal University
A(t )e
j t
式中 j t 通常，将A(t ) 称为的复包络；将 e 0 称为复载频。
A(t ) A(t )e j t
e j0t A(t )e j0t
A(t ) A(t ) cos t jA(t )sin t sc t jss t 可见，复包络 A(t ) 也是低频限带信号。
Sichuan Normal University 物理与电子工程学院 Page 17
A( 0 )
窄带随机过程的一般概念与预备知识
下面我们再来求复指数函数se (t )的频谱 X e 与原来实信 号s(t)的频谱 X 之间的关系:
A( 0 ) 2 X A ( 0 )
ˆ t x
1
x t
d
1
x t
Page 20
d
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
希尔伯特变换
下面给出希尔伯特变换的两个重要性质： （1）希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。
1 ˆ (t ) x(t ) x t
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 13
窄带随机过程的一般概念与预备知识
1. 窄带信号的复解析表示 若s(t)为窄带信号，其振幅频谱 X 如下图所示，定义 窄带信号的解析信号 sH t 为
ˆ(t ) sH t s(t ) js ˆ(t ) H s(t ) 。从而 sH t 的振幅频谱 X H 如下页图 式中，s
窄带随机过程的一般概念与预备知识
其中 sc t A(t ) cos t
ss t A(t ) sin t t 都是低频限带信号。可见， sc t 和 ss t 由于 A(t ) 、 也都是 低频限带信号，且sc t 与ss t 彼此正交。
物理与电子工程学院
Page 4
窄带随机过程的一般概念与预备知识
一、正弦型信号的复数表示方法
简单的正弦型信号可以表示为
s(t ) a cos(0t ) a cos (t )
其中 (t ) 0t , a、、0都是实常数。
很明显，s(t)是t的实值函数，称s(t)为实信号。
目录
窄带随机过程的一般概念与预备知识
希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
窄带随机过程的一般概念与预备知识
一个平稳随机过程，若它的功率谱密度在频率 轴的某个区域之外为零，或者说，它的功率谱带宽 为有限值，那么，便称它为限带随机过程，简称限 带过程。 在限带过程中，根据其功率谱分布区域的不同， 分为低通过程和带通过程。若平稳随机过程X(t)其功 率谱密度 S X 具有以下特点
所示。
X
1 1 0 0 0 2 2
0
1 1 0 0 0 2 2
窄带信号频谱举例
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 14
窄带随机过程的一般概念与预备知识
X H
0
0 0 0
Re se t s (t )
即，复指数函数的实部就是窄
带信号s(t)。
Sichuan Normal University 物理与电子工程学院 Page 16
窄带随机过程的一般概念与预备知识
下面再来求 se (t )的频谱 X e 。
A(t ) A
A(t ) A()
1 2
1 2
解析信号 H
s t 的振幅频谱
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 15
窄带随机过程的一般概念与预备知识
2. 窄带信号的复指数表示 定义s(t)的复指数函数为 j t t se t A(t )e 0
S X , c S X 0, c
则称X(t)为低通过程。
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 2
窄带随机过程的一般概念与预备知识
S X
c
Βιβλιοθήκη Baidu
0
c
若X(t)的功率谱密度满足 S X , 0 c 0 c S X 0, 其它 则称X(t)为带通过程。
对下式两端作傅里叶变换，
A(t ) A(t )e j0t
并利用傅里叶变换的相乘性质及 e j0t 0 可得 X A( )
e 0
A( ') ' 0 d '
可见，X e 具有单边带频谱。
ˆ(t ) H s(t ) ˆ(t )是s(t)的希尔伯特变换，即 s 其虚部 s ˆ(t ) 给出的是一种非常重要的复信 （3）式 s (t ) s(t ) js 号的表示形式。通常把它称为s(t)的解析信号或s(t)的预包 络。
ˆ(t ) s (t ) s(t ) js
Sichuan Normal University
物理与电子工程学院
Page 12
三、高频窄带信号的复数表示方法 所谓高频窄带信号（或简称窄带信号）是指信号的频谱 限制在载波频率 0附近的一个频率范围内，而且此频带范 围远小于载波频率。 常将窄带信号表示为 s (t ) A(t ) cos 0t t 展开可以得到 s(t ) sc t cos 0t ss t sin 0t
进一步得出s ˆ(t )
s d t
ˆ(t )和它的实部（即原来的 上式给出了解析信号 s (t )的虚部 s 实信号）s(t)之间的关系式，把它称为希尔伯特（Hilbert） 变换，记作
ˆ(t ) H s(t ) s
Sichuan Normal University
s (t )
0 1 jt jt X e d X e d 2 0
X e jt d
利用 X X
1 jt jt s(t ) X e d X e d 2 0 0 1 jt A X e d 令 2 0
s t s t js ' t
s t ae j0t 展开，可得
s ' t 式中，s(t)是原来的实信号， 是另一个实信号。
s(t ) a cos (t ) a cos(0t ) s '(t ) a sin (t ) a sin(0t )