2、向量空间及线性空间24
线性代数第3章向量空间
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
空间向量及其线性运算
空间向量及其线性运算1.空间向量及其线性运算【知识点的认识】1 .空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示.f f2.向量的模：向量的大小叫向量的长度或模.记为I, II特别地：f①规定长度为0的向量为零向量，记作0;②模为1的向量叫做单位向量；3.相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量.ff4.负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量.如的相反向量记为. _5.平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量.6.注意：f①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量;④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小.1.加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则.BA = OA - OB = a - b2 .加法运算律: 空间向量的加法满足交换律及结合律.(1)交换律：+3.推广: (1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量:1 2 + 2 3 + 3 4 +^+ _1(求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量)(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量1 .空间向量的数乘运算④|入|=|入|・加法的三甬形法则 加法的平行四边形法贝ij 减法的三眉形法则 一 的长度是 的长度的|入|倍.(2)结合律：(+ ) ++( + )•1 2 +2 3 + 3 4 +一 + 一1=0.实数入与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算. ①当入 >0时 一与的方向相同;②当入<0时 一与的方向相反; ③当入=0时 一 0.空间向量的数乘满足分配律及结合律.一②(入+P )=+一一 (2)结合律：()=( )A<0(1)分配律:一 一 ①（+ ）= + 注意：实数和空间向量可 行数乘运算，但不能进行加减运算，如 等无法计算.。
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
空间向量及其线性运算(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步精品
自主学习
三．空间向量的线性运算
空 加法 间
三角形法则:a＋b＝O→A ＋A→B ＝ O→B 平行四边形法则:a＋b＝O→A ＋O→C ＝ O→B
向 量
减法
a－b＝O→A －O→C ＝C→A
的 线
当 λ>0 时，λa（λa 的长度为 a 的|λ|a 倍）＝λO→A
性 运 算
数乘 运算
＝P→Q （与 a 同向）
当堂达标
2.向量 a，b 互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( ) A．a＝b B．a＋b 为实数 0 C．a 与 b 方向相同 D．|a|＝3
D 解析：向量 a，b 互为相反向量，则 a，b 模相等、方向相反，故选 D.
当堂达标
3.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A→1E＝14A→1C1，若A→E＝xA→A1＋y(A→B＋A→D)，则(
自主学习
六.共面向量 定义：平行于___同__一__个__平__面_____的向量叫做共面向量.
1.证明空间三个向量共面，常用如下方法： (1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合， 即若 a＝xb＋yc，则向量 a，b，c 共面； (2)寻找平面 α，证明这些向量与平面 α 平行.
)
A．x＝1，y＝12
B．x＝12，y＝1
C．x＝1，y＝13
D．x＝1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy＝14
D 解析：A→E＝A→A1＋A→1E＝A→A1＋14A→1C1＝A→A1＋14(A→B＋A→D)．所以 x＝1，y＝14．
当堂达标
4.如图，在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1， 则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： ①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量． ③试写出与向量A→B相等的所有向量． ④试写出向量-A-→A′的所有相反向量．
线性代数中的向量空间
线性代数中的向量空间线性代数是数学中的一个重要分支，研究的是向量和线性方程组的性质。
在线性代数中，向量空间是一个基本的概念，它在许多数学和科学领域中都有重要的应用。
本文将介绍关于向量空间的定义、性质以及应用。
一、向量空间的定义在线性代数中，向量空间是指由一组向量构成的集合，其中包含了向量加法和标量乘法两种运算，并满足以下八个性质：1. 零向量存在性：向量空间中存在一个特殊的向量，被称为零向量，记为0，它满足对于任意向量v，有v + 0 = v。
2. 向量加法封闭性：对于任意向量v和w，它们的和v + w也属于向量空间。
3. 向量加法结合律：对于任意向量u、v和w，有(u + v) + w = u + (v + w)。
4. 向量加法交换律：对于任意向量u和v，有u + v = v + u。
5. 标量乘法封闭性：对于任意标量k和向量v，k * v也属于向量空间。
6. 标量乘法结合律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k * l) * v = k * (l * v)。
7. 向量与标量加法的分配律：对于任意标量k和向量v、w，有k * (v + w) = k * v + k * w。
8. 向量与标量乘法的分配律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k + l) * v = k * v + l * v。
满足以上八个性质的集合即可称为向量空间。
二、向量空间的性质在向量空间中，还有一些重要的性质：1. 零向量的唯一性：向量空间中的零向量是唯一的，即任意向量空间中的零向量都相等。
2. 负向量的存在性：对于任意向量v，在向量空间中存在一个向量-u，使得v + (-u) = 0。
这里的-u被称为v的负向量。
3. 数乘的零乘性：对于任意标量k和向量v，在向量空间中，有0 * v = 0，其中0表示标量的零。
4. 数乘的单位元性：对于任意向量v，在向量空间中，有1 * v = v，其中1表示标量的单位元。
三、向量空间的应用向量空间的概念和性质在数学和科学中有广泛的应用。
高二数学选择性必修 第1章 空间向量及其线性运算 课件(共71张PPT)
b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_p_＝__x_a_＋__y_b_.
(3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x，
y), 使A→P＝_xA_→_B_＋__yA_→C__或对空间任意一点 O，有O→P＝O_→_A_＋__xA_→_B_＋__yA_→_C.
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21
4．在三棱锥 A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则A→B＋12B→C －32D→E－A→D化简的结果为________．
0 [延长DE交边BC于
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D [共四条 AB，A1B1，CD，C1D1.]
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20
3．点 C 在线段 AB 上，且|AB|＝5，|BC|＝3，A→B＝λB→C，则 λ＝ ________.
－53 [因为 C 在线段 AB 上，所以A→B与B→C方向相反，又因|AB| ＝5，|BC|＝3，故 λ＝－53.]
充要条件是存在实数 λ 使_a_＝__λ_b_.
(4)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于 直线 l 上任意一点 P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知， 存在实数 λ，使得O→P＝λa.
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14
5．共面向量
(1)定义：平行于_同__一__个_平__面__的向量叫做共面向量．
定理及推论的应用．(重点、难 观想象和逻辑推理的核心素养.
点)
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3
情景 导学 探新 知
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4
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观 赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什 么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
线性代数 向量空间
r 基， 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r维向量 维数， 空间． 空间． 的维数为r 记做dimV=r 若V的维数为r，记做dimV=r
称为0维向量 ）只含有零向量的向量空间V称为 说明 （1）只含有零向量的向量空间 称为 维向量 空间， 它没有基． 空间，即dimV=0,它没有基． 它没有基 看作向量组， （2）若把向量空间 V看作向量组，那么 V 的基 ） 就是向量组的极大无关组 极大无关组, 维数就是向量组的 就是向量组的极大无关组 V 的维数就是向量组的 秩. 例6 任何 n 个线性无关的 n 维向量都是向量空间 R n 的一个基,
所以向量组 a1 ，a2 ， ，am 的极大无关组就是 L 的一个基 ， L 向量组 a1 ，a2 ， ，am 的秩就是 L 的维数 . L
三定 3 若 量 a ， 2 ，， r 是 量 间 的 个 ， . 义： 向 组 1 a L a 向 空 V 一 基
那么 V 中任一向量 x 可唯一表示为 x = x1a1 + x2 a2 + L + xr ar，
3.5向 3.5向 量 空 间
又称线性空间） （Vector Space, 又称线性空间）
一、向量空间简介
定义1 维向量的集合，如果集合V非空， 定义1 设V为 n 维向量的集合，如果集合V非空， 且集合V对于加法 加法及 两种运算封闭 封闭， 且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合V 向量空间． 集合V为向量空间． 说明 所谓封闭 ，是指在集合 V 中进行加法
Q
a = (0 , a2 , L , a n ) T ∈ V , b = (0 , b2 , L , bn ) T ∈ V , a + b = (0, a2 + b2 ,L , an + bn )T ∈ V ,
向量空间及线性空间
a11 a12 L a1n
T=[T (1)] ,[T (2 )]
L
[T (n )]
=
a21 O
a22 O
L O
a2n
O
an1
an 2
向量空间
一个数域上的所有n维向量，在向量的加法和数乘之下构成一个向量空间。实数域上
的称为欧式空间，复数域上的称为酉空间。在向量空间中我们可以用新的视野来看
待线性方程组。
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
M
xn
=
M
am1 am2
amn bm
即是否存在非零系数使得向量b可以用向量a1,a2,L an线性表示
线性方程组解的研究可以转换为向量的线性关系研究
向量空间（线性空间）的抽象定义
1、线性空间的公理化定义应注意以下要素：非空集合、加法和数乘运 算、运算规则、特殊元
2、生成子空间、矩阵的列空间、行空间、零空间
零空间 列空间
左零空间
一个m×n矩阵A的左零空间是矩阵AT的零空间，是Rm的子空间
Nul (AT )={y:AT y=0 yT A=0}
行空间
一个m×n矩阵A的行空间是矩阵AT的列空间，是Rn的子空间
Row (A)=Col(AT )
基本子空间的维数和基
线性变换
线性变换反映线性空间中向量之间的线性映射关系（保持线性关系的映 射），由于线性空间中的向量都可以表示为基的线性组合，因此，线 性变化与指定基下的矩阵一一对应，线性变换可以用矩阵来表示。
设 =(1,2 L n )为n维向量空间中的一个基，T是空间上的一个线性变换， T (1),T (2 )L T (n )L T (n )在给定基下的坐标为列所构成的矩阵称为T的矩阵，
线性代数总结知识点
线性代数总结知识点线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。
它是现代数学的基础工具之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学和社会科学等领域。
以下是线性代数的一些核心知识点总结：1. 向量与向量运算- 向量的定义：向量可以是有序的数字列表，用于表示空间中的点或方向。
- 向量加法：两个向量对应分量相加得到新的向量。
- 标量乘法：一个向量与一个标量相乘，每个分量都乘以该标量。
- 向量的数量积（点积）：两个向量的对应分量乘积之和，用于计算向量的长度或投影。
- 向量的向量积（叉积）：仅适用于三维空间，结果是一个向量，表示两个向量平面的法向。
2. 矩阵- 矩阵的定义：一个由数字排列成的矩形阵列。
- 矩阵加法和减法：对应元素相加或相减。
- 矩阵乘法：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的每个元素是两个矩阵对应行列的乘积之和。
- 矩阵的转置：将矩阵的行变成列，列变成行。
- 单位矩阵：对角线上全是1，其余位置全是0的方阵。
- 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。
3. 线性相关与线性无关- 线性相关：如果一组向量中的任何一个可以通过其他向量的线性组合来表示，则这组向量是线性相关的。
- 线性无关：如果只有所有向量的零组合才能表示为零向量，则这组向量是线性无关的。
4. 向量空间（线性空间）- 定义：一组向量，它们在向量加法和标量乘法下是封闭的。
- 子空间：向量空间的子集，它自身也是一个向量空间。
- 维数：向量空间的基（一组线性无关向量）的大小。
- 基和坐标：向量空间的一组基可以用来表示空间中任何向量的坐标。
5. 线性变换- 定义：保持向量加法和标量乘法的函数。
- 线性变换可以用矩阵表示，矩阵的乘法对应线性变换的复合。
6. 特征值和特征向量- 特征值：对应于线性变换的标量，使得变换后的向量与原向量成比例。
- 特征向量：与特征值对应的非零向量，变换后的向量与原向量方向相同。
线性代数-向量空间
二、子空间
定义2 设有向量空间 V1及V2，若向量空间V1 ⊂ V2， 就说 V1 是 V2 的子空间． 实例
设V 是由 n维向量所组成的向量空间， 显然V ⊂ Rn 所以V总是 Rn的子空间.
三、向量空间的基与维数
定义3 设 V是向量空间，如果 r 个向量 α1,α2, ,αr ∈V，且满足
一般地，由向量组a1, a2 ,, am所生成的向量空 间为
V = {x = λ1a1 + λ2a2 + + λmam λ1 ,λ2 ,,λm ∈ R}
例5 设向量组a1 ,,am与向量组b1 ,,bs等价， 记
V1 = {x = λ1a1 + λ2a2 + + λmam λ1 ,λ2 ,,λm ∈ R} V2 = {x = µ1b1 + µ2b2 + + µ sbs µ1 , µ2 ,µ s ∈ R}
（2）若把向量空间 V看作向量组，那末V的基 就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的 秩.
（3）若向量组 α1 ,α 2 , ,α r是向量空间V的一
个基，则 V 可表示为
V = {x = λ1α1 + λ2α 2 + + λrα r λ1 , ,λr ∈ R}
例6 设矩阵 2 2 − 1
0
1
0
−2 3
1
0
1
1
−5 3
5 3
1 0 0 2 4
0
1
0
3 −2
3
3
1
0
0
1
−1
2 3
1 0 0 2 4
空间向量及其线性运算高二(人教A版2019选修一)
探究
如图1.1 6, 在平行六面体ABCD ABCD中,分别标出AB AD AA,
AB AA AD表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结 合律吗 ? 一般地, 三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系?
可以发现, AB AD AA AB AA AD AC,
一般地, 对于三个不共面的向量a, b, c,以任意点O
为起点, a, b, c为邻边作平行六面体, 则a, b, c的和
等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向
量. 另外, 利用向量加法的交换律和结合律,还可
以得到 : 有限个向量求和, 交换相加向量的顺序,
与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空 间向量(space vector)，空间向量的大小叫做空间向量的长度或 模(modulus)．
空间向量用字母a, b, c, 表示. 空间中点的位移、物体运动的速度、 物体受到的力等都可以用空间向量表示.
与平面向量一样, 空间向量也用有向线段表示, 有向线段的长度表示 空间向量的模. 如图1.1 1, 向量a的起点是A, 终点是B, 则向量a也可以 记作 AB, 其模记为 a 或 AB .
模为1的向量叫做单位向量 (unit vector). 与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量, 记作 a.
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么 这些向量叫做共线向量(colliner vectors)或平行向量( parallel vectors).
我们规定：零向量与任意向量平行,即对于任意向量a, 都有0 // a.
第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算
24考研数学二大纲范围
24考研数学二大纲范围考研数学是研究生入学考试中的一门重要科目，对于很多考生来说是一大难点。
其中，数学二大纲涵盖了很多内容，需要考生有扎实的数学基础和解题能力。
本文将对24考研数学二大纲范围进行详细介绍，并提供学习建议，帮助考生更好地备考。
一、高等代数与数学分析高等代数与数学分析是数学的基础，也是考研数学的重要组成部分。
此部分主要包括以下几个方面的内容：1. 矩阵与行列式：矩阵的定义与运算、行列式的定义与性质、特征值与特征向量等。
2. 线性空间：线性空间的定义、子空间与基底、坐标与坐标变换等。
3. 线性变换与矩阵：线性变换的定义与性质、线性变换的矩阵表示、线性变换的相似与合同等。
4. 二次型与正定性：二次型的定义与矩阵表示、正定性的判定与应用等。
以上内容重点是对基本概念的理解和掌握，需要多做习题加深印象。
同时，还要注意理解概念之间的联系，掌握它们之间的转化关系。
二、概率论与数理统计概率论与数理统计是考研数学中的另一大板块，也是应用广泛且实用的数学分支。
下面是该部分的详细内容：1. 随机变量与概率分布：随机变量的定义与分类、离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布、期望与方差等。
2. 多维随机变量：多维随机变量的联合概率分布、边缘概率分布、条件概率分布等。
3. 随机变量的数字特征：随机变量的矩、数学期望与方差、协方差与相关系数等。
4. 大数定律与中心极限定理：大数定律与中心极限定理的基本概念及应用。
在学习概率论与数理统计时，需要结合具体的例题进行训练，熟悉概率与统计的计算方法和应用场景。
三、常微分方程常微分方程是数学与工程中一个重要的研究领域，对于涉及到变化规律的问题具有很大的应用价值。
下面是常微分方程的考研大纲范围：1. 基础理论与技巧：常微分方程的基本概念与理论、一阶常微分方程的解法、可降解方程、可分离变量方程等。
2. 高阶线性常微分方程：高阶常微分方程的解法、常系数线性齐次方程与非齐次方程等。
线性空间的原理
线性空间的原理线性空间是数学中非常重要的概念，它是一种允许进行向量加法和标量乘法的集合。
线性空间广泛应用于数学、物理、工程等领域，是研究向量和线性运算的理论基础。
本文将围绕线性空间的定义、性质和应用展开详细的阐述。
线性空间的定义：线性空间，也称为向量空间，是一种满足特定条件的集合。
对于一个非空集合V，若其中定义了两种运算：向量的加法和标量的乘法，且满足以下八条性质，那么V就是一个线性空间。
1.加法封闭性：对于V中的任意两个向量u和v，它们的和u+v也属于V。
2.加法交换律：对于V中的任意两个向量u和v，满足u+v=v+u。
3.加法结合律：对于V中的任意三个向量u、v和w，满足(u+v)+w = u+(v+w)。
4.零向量存在性：存在一个元素0∈V，使得对于V中的任意向量u，满足u+0=u。
5.加法逆元存在性：对于V中的任意向量u，存在一个元素-u∈V，使得u+(-u)=0。
6.标量乘法封闭性：对于V中的任意标量α和任意向量u，它们的乘积αu属于V。
7.分配律1：对于V中的任意标量α和β以及任意向量u，满足(α+β)u=αu+βu。
8.分配律2：对于V中的任意标量α和β以及任意向量u，满足α(u+v)=αu+αv。
线性空间的性质：线性空间具有一系列重要的性质，这些性质是对其定义中所列条件的进一步推演和说明。
1.线性空间的零向量唯一：对于一个线性空间V，其零向量是唯一的，即不存在不同的零向量。
2.零向量的加法逆元唯一：对于一个线性空间V以及其中的一个向量u，其加法逆元-u是唯一的，即不存在不同的加法逆元。
3.标量乘法的单位元：对于一个线性空间V，乘以标量1的结果是原向量本身，即1u=u。
4.标量乘法的分配律：对于一个线性空间V以及其中的两个标量α和β，乘法分配律表示为(α+β)u=αu+βu和α(u+v)=αu+αv。
5.标量乘法的结合律：对于一个线性空间V以及其中的两个标量α和β，乘法结合律表示为(αβ)u=α(βu)。
线性代数-第二章-向量和向量空间
n维单 位坐标 向量组
所以，称 是 1, 2 , 3 ,4 的线性组合， 或 可以由 1, 2 , 3 ,4线性表示。
命题2 设向量可由向量组(I) :1,2,,m
线性表出，而(I)中每个向量都可以由向量组
(II) : 1, 2,, s线性表出, 那么也可由向量组
(II)线性表出 给出证明
二 线性相关
当 r( A) r n 时，求得基础解系是1 ,2 , ,nr , 则 x k11 k22 knr nr 是AX 0 的解，
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
例3 : 求下列齐次方程组的通解。
(1)
x1 2 x1
2 x2 4 x2
分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
有时也写成一列：
a1
xr1 1 0
,nr
是令
xr2
为
0
,
1
,
xn
0
0
0
,
0
所得。
1
Ax 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
注：
(1) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。
(2) 基（基础解系）不是唯一的。
(3) 当 r( A) n 时，解空间是{0}.
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
向量空间线性空间和内积空间
向量空间线性空间和内积空间向量空间,线性空间和内积空间000向量空间又称线性空间。
在解析几何学里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。
向量空间是线性代数的中心内容和基本概念之一。
它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。
，是现代数学中的一个基本概念，是研究的基本对象。
向量空间是线性代数的主体，它是数学中基本又重要的概念，其概念是：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。
其理论和方法已应用到自然科学、工程技术及社会科学的诸多领域。
向量空间的一个直观模型是向量几何，几何上的向量及相关的运算即向量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。
在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。
譬如，实系数的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。
单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为给定域 F，一个向量空间是个集合 V 并规定两个运算：向量加法：V × V → V 记作 v + w, ∃ v, w ∈ V，标量乘法：F × V → V 记作 a v,∃a ∈ F 及 v ∈ V。
符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w. 向量加法交换律: v + w = w + v. 向量加法的单位元: V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v. 向量加法的逆元素: ∀v∈V, ∃w∈V, 导致 v + w = 0. 标量乘法分配于向量加法上: a(v + w) = a v + a w. 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v. 标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v。
一般向量空间与线性变换知识点总结
下的坐标。 例2、求 P[ x ]3 的元 f ( x ) 1 x x 在基 1, x 1, ( x 1)( x 2) 下的坐标。
2
（2）利用坐标变换公式
, 2 , ( 1
) ( 1 , 2 , , n
, n ) A, V ( F )
(1) F [ x ] a0 a1 x
an x n ai F , n N
(2) Fn [ x ] a0 a1 x
a n 1 x n 1 a i F
f ( x ) P[ x ] f ( x ) 0 or f ( x ) n
其系数行列式
1 1 1 1
②
2 ( 1)( 2 1)( 2 ) 0 1 2
∴方程组②只有零解： k1 k2 k3 0
故 E , A, A 线性无关. 又由①知，任意均可表成 E , A, A 的线性组合， 所以V为三维线性空间， E , A, A 就是V的一组基.
到基
G1 0 1 , G2 1 0 , G3 1 1 , G4 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0
的过渡矩阵。
练习：已知 P 22 的两组基：
E11 1 0 , E12 0 1 , E21 0 0 , E22 0 0 ; 0 0 0 0 1 0 0 1 F11
2、向量空间的简单性质
1)、零元素是唯一的.
2)、 V ，的负元素是唯一的，记为- ．
0 0, k 0 0, ( 1) , 3)、 k ( ) k k
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
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时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
向量空间与线性相关性的判断
向量空间与线性相关性的判断向量空间是线性代数中一个重要的概念，它用于描述一组向量的性质与关系。
而线性相关性的判断则是对这组向量是否能由其他向量线性表示的能力进行评估。
本文将介绍向量空间及线性相关性的基本理论，并详细讨论线性相关性的判断方法。
一、向量空间的定义与性质在线性代数中，向量空间指的是一组向量构成的集合，满足以下三个条件：1. 零向量的存在性：对于任意向量空间V，必有一个零向量0，满足0 + v = v + 0 = v，其中v是V中的向量。
2. 向量加法封闭性：对于V中的任意两个向量v1和v2，它们的和v1 + v2也属于V。
3. 标量乘法封闭性：对于V中的任意向量v和标量c，标量乘法cv也属于V。
此外，在向量空间中还满足向量加法和标量乘法的结合律、交换律等性质。
二、线性相关性的定义与判断在线性代数中，若存在不全为零的系数c1、c2、...、cn，使得向量v1、v2、...、vn的线性组合为零向量0，即c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量v1、v2、...、vn为线性相关向量，否则称它们为线性无关向量。
为了判断一组向量的线性相关性，我们可以使用以下方法：1. 行列式判断法：将向量组中的向量按列排成矩阵A，计算A的行列式det(A)。
如果det(A) ≠ 0，则向量组线性无关；否则，向量组线性相关。
2. 线性组合判断法：设有向量组V = {v1, v2, ..., vn}，如果存在不全为零的系数c1、c2、...、cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则向量组V线性相关；否则，向量组V线性无关。
3. 齐次线性方程组判断法：将向量组中的向量按列排成矩阵A，解齐次线性方程组Ax = 0。
如果该方程组的零解x = 0是唯一解，则向量组线性无关；否则，向量组线性相关。
三、例子与应用场景线性相关性的判断在许多数学和科学领域中都具有重要意义。
以下是一些具体的例子和应用场景：1. 坐标系转换：在三维空间中，通过线性相关性的判断可以确定坐标系是否重合或平行。
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3、基变换、过渡矩阵
研究线性空间中向量在不同基下的坐标之间的关系，在图像图形处理中经常用的
基本前提
基1
向量x
基2
1 2 L n
x1
坐标
x2
M
xn
y1
1 2 L
n
坐标
y2
M
yn
如果
i c1i1 c2i2 L cnin
x x11 x22 L xnn x y11 y22 L ynn
n C
过渡矩阵、矩阵的相似关系
T 1 L n B 1 L n CB T 1 L n C T1 L Tn C 1 L n AC
由此得：AC=CB
一个向量在同一个线性变换之下，不同基下的坐标之间
有什么关系？
X= 1 L
x1
n
M
1
L
xn
x1 y1
M
C
M
xn yn
线性方程组解的研究可以转换为向量的线性关系研究
向量空间（线性空间）的抽象定义
1、线性空间的公理化定义应注意以下要素：非空集合、加法和数乘运 算、运算规则、特殊元
另一个定义
常见的线性空间举例
1、常见的Rn，能够直接感受到的R2，R3空间
2、R3空间中所有有向线段的集合，在平行四边形加法和数乘运算下 3、数的双向无穷序列，在无穷序列的加法和数乘运算下
内积和正交
内积的定义：从线性空间到正实数集上的特殊函数，
与矩阵有关的几个子空间
对于任意的 m n矩阵A Col( A) Nul( AT ) Col( A) Nul( AT ) Rm Row( A) Nul( A) Row( A) Nul( A) Rn
以上的结论可以由齐次线性方程组AX=0得到解释
O
an1
an 2
L
ann
a1i
T (i )=(1,2 L
n
)
a2i
M
ani
线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
关于线性变换矩阵的基本前提
1 L n 1 L n 1 L n 1 L T T 1 L n T1 L Tn 1 L n A T T 1 L n T 1 L T n 1 L n B
向量空间
向量空间。实数域上
的称为欧式空间，复数域上的称为酉空间。在向量空间中我们可以用新的视野来看
待线性方程组。
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
y1
n
M
yn
T(X)在基α下的坐标为AX,在基β下的坐标为BY
线性变换及矩阵的值域和核
定义
正交变换与正交矩阵
欧氏空间V上的线性变换T，如果对于V中任意向量x满足 <x,x>=<T(x),T(x)>,即保持向量的长度不变,称为正交变换.
正交矩阵的性质
amnxn bm
可以理解为方程的常数向量
b1
b
b2
M
bm
是否可以表示为系数矩阵列向量的线性组合
a11 a12
a1n b1
M
x1
+
M
x2
+L
+
M
xn
=
M
am1 am2
amn bm
即是否存在非零系数使得向量b可以用向量a1,a2,L an线性表示
2、向量空间的基、坐标
基：以上所有的讨论都基于有限维线性空间。极大线性无关组称为基 （不止一个，所含向量个数相等） 一组向量作为基具有的条件：相互线性无关；空间中的任何向量都可 以由其线性表示。 坐标：一个向量u用一个基线性表示时所用的系数与基中向量次序对应 所构成的标量组，坐标与基和讨论的元素有关。
线性变换
几个相关的基本概念
函数、映射、变换是同一个对象在不同领域的名称，函数定义在传统数集之上、 映射定义在离散对象之上、变换常出现在线性空间的讨论中。
用变换的概念理解线性方程组
矩阵变换
p64
下例给出了如何例如矩阵变换描述并解决实际的人口 迁移变化问题
线性变换
线性变换反映线性空间中向量之间的线性映射关系（保持线性关系的映 射），由于线性空间中的向量都可以表示为基的线性组合，因此，线 性变化与指定基下的矩阵一一对应，线性变换可以用矩阵来表示。
左零空间
一个m×n矩阵A的左零空间是矩阵AT的零空间，是Rm的子空间
Nul (AT )={y:AT y=0 yT A=0}
行空间
一个m×n矩阵A的行空间是矩阵AT的列空间，是Rn的子空间
Row (A)=Col(AT )
基本子空间的维数和基
基本子空间的基和维数都与矩阵的等价阶梯型有关，阶梯型矩阵中的主 元个数等于Col (A)和Raw（A）的维数，也等于矩阵A的秩，記作r；
4、所有次数不超过指定数字n的实数多项式 5、所有指定阶数的实数矩阵
6、[0,1]上所有的实数函数
7、二阶齐次线性微分方程 y''3y'2 y 0 的所有解
线性空间中的特殊元 线性空间的元素0和-u是唯一的
向量空间的结构
主要讨论向量空间中向量之间的关系和表示
1、向量的线性相关和线性无关
非零向量、两个向量之间的倍数关系、线性表示、线性相关、线性无 关、极大线性无关组、维数和有限维向量空间
Rul (A)的维数等于n-r;Rul (AT)的维数等于m-r。
Col (A)的基是阶梯型矩阵中主元列在A中对应列； Raw（A）的基是阶梯型中主元所在行；
Rul (A)的基是阶梯型中非主元列依据自由变量的改进，即非主元列本身 加上ei i位自由变量的序号；
Rul (AT)的基是EA=R中，E的对应R中0行向量的行；
设 =(1,2 L n )为n维向量空间中的一个基，T是空间上的一个线性变换， T (1),T (2 )L T (n )L T (n )在给定基下的坐标为列所构成的矩阵称为T的矩阵，
a11 a12 L a1n
T=[T (1)] ,[T (2 )]
L
[T (n )]
=
a21 O
a22 O
L O
a2n
L
L M M L L L
cnn
yn
yn
cn1
cn2
L
c1n
1
x1
c2
n
x2
L M
cnn
xn
子空间的定义四个基本子空间
1、子空间的定义，一个线性空间的非空子集如果对加法和数乘运算是封闭的。 注意R2不是R3的子空间。
2、生成子空间、矩阵的列空间、行空间、零空间
零空间 列空间
c11 c12 L c1n
1 2 L
n 1 2 L
n
c21 L
c22 L
L L
c2n
L
cn1 cn2 L
cnn
可得
x1 c11 c12 L
x2
c21
c22
L
M L L L
xn
cn1
cn2
L
c1n y1 y1 c11 c12 L
c2
n
y2
y2
c21
c22