331几何概型(两课时)很全面PPT课件
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331几何概型(共24张PPT)
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4.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min， 则乘客到达站台立即乘上车的概率为______．
解析：由于地铁列车每10min一班， 则两班列车停靠车站之间时间可用长度为 10的线段表示．
而列车在车站停1min，乘客到达站台立即 乘上车的时间可用长度为1的线段表示．
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解：
分析： 试验的基本事件是:
金币的中心投在由若干个小正
方形组成的阶砖面里. 3
S A
设事件A={金币不与小正方形 边相碰}
不妨先考虑金币与一块阶砖的关系.
3
Ａ={金币的中心要投在绿色小正方形内}
由几何概型的定义知：参加者获奖的概率为:
P( A)
n个A的面积 n个S的面积
A的面积 S的面积
则乘客到达站台立即乘上车的概率
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3.在半径为1的半圆内，放置一个边长为1/2的 正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在 正方形内的概率为___________.
解析：本题只与面积有关
由几何概型的计算公式得
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2．如图所示的矩形，长为5，宽为2.在矩形内 随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄 豆数为138颗．则我们可以估计出阴影部分的 面积约为________．
在哪个房间，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？
卧室
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卧室
书房
4
（1）甲壳虫每次飞行,
停留在任何一块方砖上
的概率是否相同?
（2）图中共有10X10=100
块方砖，其中有10X2=20
高中数学课件-3.3.1几何概型(优质课) - 副本
试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD
AD
SABCD 11 1
事件A包含的区域为阴影部分
B
C
S阴影部分=
1-
1 2
1 2
1 2
=
7 8
这是一个几何概型
则，P(A)= S阴影部分 = 7 SABCD 8
课堂小结
• 1.几何概型的特征：无限性、等可能性、可区域化
• 2.几何概型主要用于解决与测度有关的题目
P
A
m A m
• 3.注意理解几何概型与古典概型的区别。
• 4.如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几 何概型公式求解。
题组二：与角度有关的几何概型
在等腰直角△ABC中,过直角顶点C任作一条
射线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的概
问题1：如果用X表示报纸送到时间,用Y表示父亲离 家时间,请问X与Y的取值范围分别是什么？
6.5 x 7.5 7 y 8
问题2：父亲要想在离开家之前拿到报纸，请问x与y 除了要满足上述范围之外，还要满足什么关系？
x y
例2: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上
6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作 的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能 得到报纸(称为事件A)的概率是多少? 问题3：这是一个几何概型吗？那么事件A的概率与 什么有关系？长度、面积、还是体积？
6
2、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球， 假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾，试求 这个沙砾距离球心不小于1cm的概率.
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例2: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上
6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作 的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能 得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
3.3.1 几何概型公开课教学课件共20张PPT (共20张PPT)1
4 .解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形.
七、 作业
1.课本142 A组1、2、3题. 2.预习教材137-140页.
概率. 2.在区间[1，4]随机取出1个数，求这个数大于2的概率. 3.在区间[1，4]随机取出2个数，求这两个数的和小于3的概率. 4.在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL水样放到
显微镜下观察，发现草履虫的概率.
解决疑问：某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现， 红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至 多需要等待15秒才出现绿灯的概率为多少？
3.3 几何概型
3.3.1 几何概型
学习目标
1.理解几何概型的定义及特点(重点）． 2.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率（重点、难点）． 3.了解几何概型与古典概型的区别．
一、复习回顾:
1.古典概型的特征
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件为有限个. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.
A事件的区域长度15
总长度40
【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至多需要等待15秒才 出现绿灯的概率为15 /40=3/8.
问：若至少需要等待15秒呢？
四、学以致用
（一）.与长度有关的几何概型
例1、某人午觉醒来，发现表停了，他打开收 音机，想听电台报时，求他等待的时间不多 于10分钟的概率。
极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心
对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ).
A1
Bπ
C1
Dπ
4
8
2
4
3.有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆
高中数学人教B版必修3课件：3.3.1 几何概型
(1)在区间[－2,2]上任取两个整数 x，y 组成有序数对(x，y)，求满足 x2＋y2≤4 的概率；
(2)在区间[－2,2]上任取两个实数 x，y 组成有序数对(x，y)，求满足 x2＋y2≤4 的概率.
【导学号：25440054】 【精彩点拨】 (1)在区间[－2,2]上任取两个整数 x，y，组成有序数对(x，y) 是有限的，应用古典概型求解；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数 x，y，组成有序 数对(x，y)是无限的，应用几何概型求解.
古典概型与几何概型的不同之处是古典概型的基本事件总数是有限的，而几 何概型的基本事件总数是无限的，解题时要仔细审题，注意区分.
[再练一题]
4.下列概率模型中，几何概型的个数为( )
①从区间[－10,10]上任取一个数，求取到 1 的概率；
②从区间[－10,10]上任取一个数，求取到绝对值不大于 1 的数的概率；
4.函数 f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，则任取一点 x0∈[－1,3]，使得 f(x0)≥0 的 概率为________.
【解析】 依题意得，－ －x120≤＋x20x≤0≥3，0， 解得 0≤x0≤2，所以任取一点 x0∈[－
1,3]，使得 f(x0)≥0 的概率 P＝3－2－1＝12.
∴P(A)＝TT11TT2的的长长度度＝155＝13， 即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是13.
在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域 D， 这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件 A 发生对应的区 域 d，在找 d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事 件 A 的概率.
3
P(A)＝
4 2 3
人教A版高中数学必修3课件：3.3.1几何概型(共15张PPT)
3.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽车在1～3分 钟之间到达的概率.
2 5
4.假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时 间不超过 3 分钟的概率 .
0.3
当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的 挥它，就一定能渡过难关。倘若你想达成目标，便得在心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。心等待,就可以每一个人都具有特殊能力的电路， 知道，所以无法充分利用，就好像怀重宝而不知其在；只要能发掘出这项秘藏的能力，人类的能力将会完全大改观，也能展现出超乎常人的能力我这一生不曾 和伟大的著作都来自于求助潜意识心智无穷尽的宝藏。那些最能干的人，往往是那些即使在最绝望的环境里，仍不断传送成功意念的人。他们不但鼓舞自己， 成功，誓不休止。灵感并不是在逻辑思考的延长线上产生，而是在破除逻辑或常识的地方才有灵感。真正的强者，善于从顺境中找到阴影，从逆境中找到光亮 进的目标。每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。失败是坚忍的最后考验。对于不屈不 失败这回事。一次失败，只是证明我们成功的决心还够坚强。失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。我们关心的，不是你是否失败了，而是你对失败 失败？失败是到达较佳境地的第一步。没有人事先了解自己到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。对于不屈不挠的人来说，没有失败这回事。要成功不 能，只要把你能做的小事做得好就行了。成功的唯一秘诀——坚持最后一分钟。只有胜利才能生存，只有成功才有代价，只有耕耘才有收获。只有把抱怨环境 的力量，才是成功的保证。不要为已消尽之年华叹息，必须正视匆匆溜走的时光。 当许多人在一条路上徘徊不前时，他们不得不让开一条大路，让那珍惜时间 面去。 敢于浪费哪怕一个钟头时间的人，说明他还不懂得珍惜生命的全部价值。成功＝艰苦劳动＋正确的方法＋少说空话。合理安排时间，就等于节约时间。
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4.假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时 间不超过 3 分钟的概率 .
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当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的 挥它，就一定能渡过难关。倘若你想达成目标，便得在心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。心等待,就可以每一个人都具有特殊能力的电路， 知道，所以无法充分利用，就好像怀重宝而不知其在；只要能发掘出这项秘藏的能力，人类的能力将会完全大改观，也能展现出超乎常人的能力我这一生不曾 和伟大的著作都来自于求助潜意识心智无穷尽的宝藏。那些最能干的人，往往是那些即使在最绝望的环境里，仍不断传送成功意念的人。他们不但鼓舞自己， 成功，誓不休止。灵感并不是在逻辑思考的延长线上产生，而是在破除逻辑或常识的地方才有灵感。真正的强者，善于从顺境中找到阴影，从逆境中找到光亮 进的目标。每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。失败是坚忍的最后考验。对于不屈不 失败这回事。一次失败，只是证明我们成功的决心还够坚强。失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。我们关心的，不是你是否失败了，而是你对失败 失败？失败是到达较佳境地的第一步。没有人事先了解自己到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。对于不屈不挠的人来说，没有失败这回事。要成功不 能，只要把你能做的小事做得好就行了。成功的唯一秘诀——坚持最后一分钟。只有胜利才能生存，只有成功才有代价，只有耕耘才有收获。只有把抱怨环境 的力量，才是成功的保证。不要为已消尽之年华叹息，必须正视匆匆溜走的时光。 当许多人在一条路上徘徊不前时，他们不得不让开一条大路，让那珍惜时间 面去。 敢于浪费哪怕一个钟头时间的人，说明他还不懂得珍惜生命的全部价值。成功＝艰苦劳动＋正确的方法＋少说空话。合理安排时间，就等于节约时间。
3.3.1 几何概型(共36张PPT)
.
几何概型的概率计算公式中的“长度”并不是实际意义上 的长度,它的意义取决于试验的全部结果构成的区域,当区域分别是 线段、平面图形和几何体时,相应的“长度”分别是线段的长度、平 面图形的面积和几何体的体积.
【做一做 1】一个红绿灯路口,红灯亮的时间为 30 秒,黄灯亮的 时间为 5 秒,绿灯亮的时间为 45 秒.当你到达路口时,恰好看到黄灯亮 的概率是( ) A.
题型一
长度型的几何概型
【例题 1】一只蚂蚁在三边边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行, 某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率 为 .
解析:如图所示,△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5, 则△ABC 的周长为 3+4+5=12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三 个顶点的距离均超过 1 为事件 A, 则
1 答案:2 ������������ +������������+������������ P(A)= ������������ +������������+������������
=
3+2+1 12
=
1 . 2
如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义 上的线段长度,这种概率称为长度型的几何概型,可按下列公式来计 算其概率: P(A)=
几何概型 ①基本事件无限个 ②P (A)=0⇐A 为不可能事件 ③P (B)=1⇐B 为必然事件
因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是: (1)确定一次试验中每个结果(基本事件)的可能性(概率)是否均 等, 如果不均等, 那么既不属于古典概型也不属于几何概型; (2)如果试验中每个结果出现的可能性是均等的, 再判断试验结 果的有限性. 当试验结果有有限个时, 这个概率模型属于古典概型;当 试验结果有无限个时, 这个概率模型属于几何概型.
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x 30
题型二：区域是平面图形的几何概型问题
例2.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把
报纸送到你家,你父亲在早上7:00~8:00之间离家去上班,求你父亲 在离家前能得到报纸(称为事件A)的概率.
解:以x表示报纸送到时间,以y表示父亲离家时间,建立平面直角坐标系. (x,y)可以看成平面 试中 验的 的点 全， 部结 区果 域构
9
4、向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的
面积小于 S 的概率为（ 3 ）
2
4
举例
（五）与体积有关的几何概型
（五）与体积有关的几何概型
（六）几何概型的应用
理论迁移
题型一：区域是线段的几何概型问题
例1.某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过（假设每辆车带走站
上的所有乘客），乘客到达车站的任一时刻是任意的，求乘客候 车时间不超过3分钟的概率。
1.如右下图,假设你在每个图形上随机撒 一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概 率.
练习
练习：课本：P142 A组 1, 2，3
1.一张方桌的图案如图所示.将一颗豆子 随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上， 求下列事件的概率： （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域.
解: 以x及 y轴分别表示甲乙二人到达约定地点的时间（分钟）, 则
，0x30 ,如图: 0 y 30
且二人会面 xy 10
y
在平面直角坐标系下，(x,y)的所有可能 30
结果是边长为30的正方形,而事件A“两人
能够会面”的可能结果由图中的阴影部
分表示,则
10
P (A )S A 的 的 面 面 积 积 302 3 02 2029 5
O2 O1
分析：
为了确定硬币的位置，过硬币中心O作两平行线间的垂线段， 其长度2a即是几何概型定义中Ω的几何度量。
方法二：
截取长为L的一段, 转化为面积
为矩形的面积
为阴影部分的面积
A
P(A) (2a 2r)l a r
2al
a
（三）与面积有关的几何概型
（四）几何概型的应用——随机模拟
练习 练习：课本：P140 1, 2
为{(x,y)|6.5x7.5,7y8}这 , 是一个正方 面形 积区
为S1. 事件 A表示父亲在离 得开 到家 报前 纸能 ，所构
域为 A{(x,y)| yx,6.5x7.5,7y8}, y
即图中的阴影区域，
8
面
积
▪ 事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域 的圆弧的长度有关,而与字母B所在区域的位 置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一 点都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是 不相邻,甲获胜的概率是不变的.
几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率 模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
练习：求下列事件的概率
长度
1.取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长都不小于1m的概率为（ 1 ）
3
2.在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中 任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率3 （ ）
10
3.如图在圆心角为90O
角度
的扇形AOB中，以圆心O为
起点作射线OC，则∠AOC和∠BOC都不小于20O 的概率为5 （ ）面积
解：设A={等待不超过3分钟},乘客在时间段(0，5]内任意 时刻到达,事件A发生,则乘客到达的时间在[2,5]内.因此由 几何概型的求概率的公式得
P(A)523 55
3 即乘客候车时间不超过3分钟的概率为 5 .
例3.（会面问题）甲乙二人相约定6:00-6:30在约定地 点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。 求甲乙二人能会面的概率(假定他们在6:00-6:30内的任 意时刻到达约定地点的机会是等可能的)。
引例
为什么要学习几何概型?
▪ 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早 上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之 间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事 件A)的概率是多少? 能否用古典概型的公式来求解? 事件A包含的基本事件有多少?
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的.
解: 设A={等待的时间不多于10分钟}.我们 所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率
的公式得 P(A)60501, 60 6
1
即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 6
练习 （一）与长度有关的几何概型
（一）与长度有关的几何概型
练习：取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断, 那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
P (A ) 全 部 构 结 成 果 事 所 件 构 A 的 成 区 的 域 区 长 域 度 长 （ 度 面 （ 积 面 或 积 体 或 积 体 ） 积 ）
举例 （一）与长度有关的几何概型
例1: 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时,求他等待 的时间不多于10分钟的概率.
例4： 平面上画了一些彼此相距2a的 平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在 这个平面上，求这枚硬币不与任一条平 行线相碰的概率。
M
2a
O
解：记“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A。当硬 币不与平行线相碰时，硬币中心O可移动长度2a-2r即是 子区域A的几何度量。
A 2a2r
2a
M
P(A) A2a2 a2raa r. 2a
借助于古典概率的定义，设想仍用 “事件的概率”等于“部分”比“全体” 的方法，来规定事件的概率. 不过现在的 “部分”和“全体”所包含的样本点是无 限的. 用什么数学方法才能构造出这样的 数学模型？
显然用几何的方法是容易达到的.
▪ 问题: 图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘 游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否 则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的 概率是多少?