剪力图与弯矩图的画法
剪力图和弯矩图
剪力图和弯矩图:悬臂梁的剪力图和弯矩图具体画法如下：内力图的规律：1、在无荷载作用区，当剪力图平行于x轴时，弯矩图为斜直线。
当剪力图为正时，弯矩图斜向右下；当剪力图为负时，弯矩图斜向右上。
2在均布荷载作用下的规律是：荷载朝下方，剪力往右降，弯矩凹朝上。
3、在集中力作用处，剪力图发生突变，突变的绝对值等于集中力的大小；弯矩图发生转折。
4、在集中力偶作用处弯矩图发生突变，突变的绝对值等于该集中力偶的力偶矩；剪力图无变化。
5、在剪力为零处有弯矩的极值弯矩图总结规律如下：1、在梁的某一段内，若无分布载荷作用，即q(x)=0，由d²M(x)/dx²=q(x)=0可知，M(x)是x的一次函数，弯矩图是斜直线。
2、在梁的某一段内，若作用分布载荷作用，即q(x)=常数，则d²M(x)/dx²=q(x)=常数，可以得到M(x)是x的二次函数。
弯矩图是抛物线。
3、在梁的某一截面内，若Fs(x)=dM(x)/dx=0,则在这一截面上弯矩有一极值（极大或极小）。
即弯矩的极值发生在剪力为零的截面上。
根据上述绘图规律可以准确画出悬臂梁在集中荷载下、均布荷载下的剪力图和弯矩图。
弯矩的叠加原理同一根粱AB受q、M0两种载荷作用、q单独作用及M0单独作用的三种受力情况。
在q、M0共同作用时：VA=ql/2+M0/l VS=ql/2+M0/l从计算结果中可以看到，梁的支座反力和弯矩都是荷载(q、M0)的一次函数，即反力或弯矩与荷载成线性关系。
这时，g、M0共同作用F所产生的反力或弯矩等于g与M0单独作用时所产生的反力或弯矩的代数和。
这种关系不仅在本例中存在，而且在其他力学计算中普遍存在，即只要反力、弯矩（或其他量）与载荷成线性关系，则若干个载荷共同引起的反力、弯矩（或其他量）等于各个载荷单独引起的反力、弯矩（或其他量）相叠加。
这种关系称为叠加原理。
应用叠加原理的前提是构件处在小变形情况下，这时各荷载对构件的影响各自独立。
工程力学弯曲强度1(剪力图与弯矩图
05 剪力图与弯矩图的计算与分析
CHAPTER
剪力与弯矩的计算方法
要点一
剪力计算
根据受力分析，通过力的平衡原理计算剪力。在梁的截面 上，剪力方向与梁的轴线垂直，大小等于通过截面形心的 剪切面上的剪力。
要点二
弯矩计算
弯矩是描述梁弯曲变形的量，其计算方法包括截面法、力 矩分配法等。弯矩的计算需要考虑梁的长度、截面尺寸、 材料属性以及外力分布等因素。
在工程实践中，许多结构和设备都需 要承受弯曲负荷，如桥梁、建筑、车 辆等，因此弯曲强度的研究具有重要 意义。
弯曲强度的基本原理
弯曲强度的基本原理包括剪力和弯矩 的分析。剪力是指在弯曲过程中垂直 于轴线的力，而弯矩则是指弯曲过程 中产生的力矩。
剪力和弯矩的分析是确定结构在弯曲 负荷下的应力和变形的重要手段，也 是进行结构设计和优化的基础。
谢谢
THANKS
剪力图与弯矩图的受力分析
剪力图
通过绘制剪力随梁长度变化的曲线图，可以直观地表示 出梁在不同位置受到的剪力大小和方向。根据剪力图， 可以分析梁在受力过程中的稳定性以及剪切破坏的可能 性。
弯矩图
弯矩图表示弯矩随梁长度变化的曲线图，可以用来分析 梁在不同位置的弯曲变形程度以及弯曲应力分布情况。 通过弯矩图，可以判断梁在受力过程中是否会发生弯曲 失稳或弯曲破坏。
CHAPTER
剪力图与弯矩图在结构设计中的应用
结构设计是工程中非常重要的环节，剪力图 与弯矩图是进行结构设计的关键工具。通过 分析剪力和弯矩的分布和大小，可以确定结 构的受力情况和变形趋势，从而优化结构设 计，提高结构的稳定性和安全性。
在进行结构设计时，需要综合考虑多种因素 ，如载荷、材料属性、连接方式等。剪力图 与弯矩图可以帮助工程师更好地理解和分析
剪力图与弯矩图的画法_图文_图文
dM(x) = Q(x)
dx
dQ(x) = q(x)
dx
2
d M(x)
2
= q(x)
dx
公式的几何意义
剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。
梁上最大弯矩可能发生在 Q(x) = 0 的截面上 或梁段 边界的截面上。最大剪力 发生在全梁或梁段的界面。
解： 在AC段中 q=0 ，且 QA=RA
q
A
B
CE
D
0.2
1.6
1
2
q
在AC段中 Qc = 80KN，剪力图
A
B
CE
D
为矩形，MA =0
0.2
1.6
1
2
80KN
(b)
+
80KN
q
在CE段中，剪力图为三角形
A
B
CE
D
QC=80KN，MC=16KN.m
0.2
1.6
1
2
80KN
(b)
+
80KN
81KN
CD段： 向右下方的斜直线
DB段：水平直线
最大剪力发生在 CD 和 DB 段的任一横截面上。
1
A C
0.2
1
q
E
1.6 2
2
B D
80KN
+
80KN
MB = 0
全梁的最大2
1
q
E
1.6 2
2
B D
16 16
+
单位：KN.m
例 作梁的内力图
A
剪力图和弯矩图教程
（0<x<a）
M(x)FAyxFl b (0≤x≤a)
CB段：
F Q(x)F Ay FF l bFF l a (a<x<l) M (x)F Ax yF (xa )F l (la x) (0≤x≤l)
3.作剪力图和弯矩图
剪力图和弯矩图教程
例题4 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。
3.作剪应力图和弯矩图
最大剪力发生在梁端，其值为
F 1ql
2 Qmax
最大弯矩发生在跨中，它的剪数力图值和弯为矩图M教程max
1 8
ql
2
例题3 简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力
FAyFl b,FByFl a 2.列剪力方程和弯矩方程 AC段：
FQ(x)
FA
y
Fb l
剪力图和弯矩图教程
一、根据内力方程作内力图
剪力方程——表示横截面上剪力FQ随横截面位置x而变化的函数关系； 弯矩方程——表示横截面上弯矩M随横截面位置x而变化的函数关系。
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此 梁的剪力图和弯矩图
解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ(x)F (0＜x＜l ) M(x)Fx (0≤x＜l)
d2M(x)
当q(x)朝上时， dx2 q(x)0 M图为上凸下凹。
剪力图和弯矩图教程
(3) 在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下，则M 图向下转折；反之，则向上转折。
(4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集中力偶 使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集 中力偶矩的大小。 3. 弯矩图与剪力图的关系
x
梁的剪力图与弯矩
目录 CONTENT
• 梁的剪力与弯矩的基本概念 • 梁的剪力图 • 梁的弯矩图 • 剪力与弯矩的关系 • 梁的剪力与弯矩的实例分析
01
梁的剪力与弯矩的基本概 念
剪力与弯矩的定义
剪力
剪力是作用在梁上的垂直力，它 使梁产生剪切变形。剪力通常用 Q表示，单位为牛顿或千牛顿。
弯矩
弯矩是作用在梁上的力矩，它使 梁产生弯曲变形。弯矩通常用M 表示，单位为牛顿米或千牛顿米 。
在梁的跨中位置，剪力图的峰值最大，而在梁的 支座位置，剪力图的谷值最小。
随着梁上载荷的增加，剪力图的峰值逐渐增大， 谷值逐渐减小。
03
梁的弯矩图
弯矩图的绘制方法
1 2
截面法
通过分析梁在不同截面上的弯矩值，绘制出弯矩 图。
叠加法
将多个弯矩值叠加起来，绘制出弯矩图。
3
微分法
利用弯矩函数的微分性质，绘制出弯矩图。
剪力与弯矩的符号规定
剪力的正负号规定
在截面左侧上作用的剪力为正，反之 为负。
弯矩的正负号规定
在截面左侧上作用的弯矩为正，反之 为负。
剪力与弯矩的计算公式
剪力计算公式
Q = F * sinθ（F为作用在梁上的外力，θ为外力与梁轴线的夹角）。
弯矩计算公式
M = F * d / 2（F为作用在梁上的外力，d为梁的跨度）。
考察，从而为实际工程设计提供依据。
梁的剪力与弯矩的模拟计算
01
模拟计算是利用计算机软件对梁的剪力和弯矩进行数值模拟分 析的方法。通过模拟计算，可以快速得到梁在不同载荷条件下
的剪力和弯矩分布情况。
02
模拟计算可以采用不同的计算方法，如有限元法、有限差分法 和边界元法等。其中，有限元法是最常用的一种方法，能够考
剪力图和弯矩图方法
剪力图和弯矩图方法
剪力图和弯矩图是结构力学中常用的分析工具，用于分析和设计结构的受力情况。
以下是剪力图和弯矩图的制作方法：
剪力图：
1. 绘制结构图：首先画出结构的几何形状和受力情况的示意图。
2. 确定剪力方向：根据结构受力情况，确定每个截面上的剪力方向，通常用箭头表示。
3. 确定剪力大小：根据结构受力平衡条件，确定每个截面上的剪力大小。
4. 画出剪力图：根据确定的剪力方向和大小，在结构示意图上相应位置上画出对应的剪力图。
弯矩图：
1. 绘制结构图：首先画出结构的几何形状和受力情况的示意图。
2. 确定截面位置：根据需要绘制弯矩图的位置，确定绘制弯矩图的截面位置。
3. 确定剪力大小：根据结构受力平衡条件，确定每个截面上的截面剪力大小。
4. 确定截面抵抗矩：根据截面形状，计算每个截面上的截面抵抗矩。
5. 计算弯矩：根据截面抵抗矩和截面剪力大小，计算每个截面上的弯矩大小。
6. 画出弯矩图：根据计算得到的弯矩大小，在结构示意图上相应位置上画出对应的弯矩图。
在绘制剪力图和弯矩图时，需要考虑结构的几何形状、支座条件、荷载情况等因
素，同时应满足受力平衡条件和连续性要求。
这些图形分析的结果可以帮助工程师评估结构的受力情况，进行结构设计和优化。
剪力图弯矩图快速画法口诀
剪力图弯矩图快速画法口诀剪力图快速画法口诀外伸端，自由端，没有P力作零点。
无力梁段水平线，集中力偶同样看，均布荷载对斜线，小q正负定增减，集中力处有突变，左顺右逆画竖线，增多少？降多少？集中横力作参考。
弯矩图快速画法口诀弯矩图，较复杂，对照剪图来画它，自由端，铰支端，没有力偶作零点。
剪图水平弯图斜，剪力正负定增减，天上下雨池水满，向上射出弓上箭。
剪图轴线交叉点，弯矩图上极值点。
均载边界无横力，光滑吻接无痕迹。
集中力处有转折，顺着外力折个尖。
集中力偶有突变，反着力偶符号弯，升多少？降多少？集中力偶作参考。
弯矩图形已画完，注意极大极小点，数值符号截面点，三大要素标齐全。
7.2.1 截面法求内力问题：梁在发生平面弯曲变形时，横截面上会产生何种内力素？在横截面上会有几种内力素同时存在？如何求出这些内力素？例：欲求图示简支梁任意截面1-1上的内力。
1.截开：在1-1截面处将梁截分为左、右两部分，取左半部分为研究对象。
2.代替：在左半段的1-1截面处添画内力、，(由平衡解释)代替右半部分对其作用。
3.平衡：整个梁是平衡的，截开后的每一部分也应平衡。
由得如取右半段为研究对象，同样可以求得截面1-1上的内力和，但左、右半段求得的及数值相等，方向（或转向）相反。
7.2.2 剪力和弯矩是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，因在纵向对称面内且与截面垂直，故称为截面1-1的弯矩。
由于取左半段与取右半段所得剪力和弯矩的方向（或转向）相反，为使无论取左半段或取右半段所得剪力和弯矩的正负符号相同，必须对剪力和弯矩的正负符号做适当规定。
剪力的正负：使微段梁产生左侧截面向上、右侧截面向下的剪力为正，反之为负。
弯矩的正负：使微段梁产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。
归纳剪力和弯矩的计算公式：（截面上的弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心取力矩的代数和。
）公式中外力和外力矩的正负规定：剪力公式中外力的正负规定：截面左段梁上向上作用的横向外力或右段梁上向下作用的横向外力在该截面上产生的剪力为正，反之为负。
材料力学剪力弯矩图画法规则
作剪力图的规则(载荷集度、剪力和弯矩间的关系)Rule1:剪力图中集中力作用处会引起突变（即中断，不连续）。
确定图示位置处梁的剪力F Q（单位：KN）=X=2.0, FQ=X=8.5, FQRule2:受均布载荷作用的一段梁上，其剪力大小等于这段分布载荷曲线的面积。
确定图示位置处梁的剪力F（单位：KN）=X=1.5,FQX=3.0,F=QRule3:任一点剪力图的斜率（不论大小还是方向）与那一点处分布载荷的值相同。
根据剪力图的斜率确定剪力为零时的X值。
（注意载荷的分布方向，箭头朝下，为负。
箭头朝上，为正）F=0,@X=Q确认取消Rule4:两点间力矩大小的变化等于两点间剪力图的面积。
确定下图所示位置处梁的弯矩。
（单位：KNm)X=8.0, M=X=16.0,M=确认取消Rule5:任一点处弯矩图的斜率等于该处剪力的大小。
确定最大正弯矩的大小和位置。
（单位：KNm)最大正弯矩出现在玩具图斜率为零处。
利用Rule5,剪力F为零处，弯矩图的斜率为零。
用Rule3找到剪力为零处。
计算最大值，及将X=0处到剪力为零处剪力图的面积加起来）X=M=Rule6:内部弯矩会在外部集中力偶处产生突变（即间断，不连续）。
一个顺时针方向的力矩会使弯矩图向上突变。
确定下图梁所在位置处的弯矩（单位：KNm）X=3.0;M=X=4.5;M=正确答案：1. X=2.0, F Q=-11X=8.5, F Q=-31其完整的剪力图和弯矩图如下:2. X=1.5,F Q=-7.5 X=3.0,F Q=-15其完整的剪力图和弯矩图如下：3. F Q=0, @X=3.75其完整的剪力图和弯矩图如下:4. X=8.0, M=164 X=16.0, M=208其完整的剪力图和弯矩图如下:5.X=12.5 M=196.872其完整的剪力图和弯矩图如下:6. X=3.0; M=16.5X=4.5; M=-8.25其完整的剪力图和弯矩图如下:。
梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
突变，顺下逆上，大小与M 同，FS图不发生变化。
例题
4.9
作图示梁的内力图
3kN 4.5kN m
2kN m
D
A
C
B
FA 10kN
1m 2m
2m
7
3
x 1.56 2
3
2
2.44 2
E FB 2kN 1m
kN
kNm
例题
4.10
4kN m
6kN
1m
1m
4.5
kN
FL
0 xL 0x L
kNm
例题 4.6
图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.
20kN 40kN m
X1 A 1m 35kN
15
20
kN
20
10kN m
4m
2.5
FS x1 20kN
X2
B
0 x1 1
25kN
M x1 20x1
0 x1 1
FS x2 25 10x2
2Fl
lC
l
FCs
l
C MC
2Fl
FCs
MC
C
l
F
B D
FCs F FCs F
MC Fl MC Fl
MC 2Fl Fl 0
F
B
D
FDs
MD
F
DB
FDs F MD 0
截开后取左边为示力对象：
❖向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力； ❖向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩； ❖顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。
剪力图是斜直线. 弯矩图是二次抛物线.
弯矩和剪力图
作为一名土木工程师，在实际工作中，有时候要对软件（midas、sap2000、pkpm 的计算结果有个判断）就要对结构的弯矩和剪力图有个大概的判断。
下面总结各种结构弯矩图的绘制及图例：
一、方法步骤
1、确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力；
●简支式刚架取整体为分离体求反力；
●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；
●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；
●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。
2、对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）；对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。
二、观察检验M图的正确性
1、观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符
●铰心的弯矩一定为零；
●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等；
●集中力作用点的弯矩有折角；
●均布荷载作用段的M图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向要符合“弓箭法则”；
2、结构中的链杆（二力杆）没有弯矩；
3、结构中所有结点的杆端弯矩必须符合平衡特点。
100张结构弯矩图例如下：。
工程力学之剪力图与弯矩图(PPT46页)
Fy＝0， FP－FQC＝0
M C＝0，
M
＋
C
M
－
A
FP
l＝0
FQC＝ FP
M
＝
C
FP
l
结果均为正值表明所假设 的C截面上的剪力和弯矩的 正方向是正确的。
MA＝0 MO=2FPl
F
P
DB
3、应用截面法确定D截面 上的内力分量
F左P 部A本分l例梁C中，所如选果l 择以的C、研究D剪截对力面象假和以都设弯右是截矩部C开均、分横为梁D截正截作面方面为上向以平的。
根据2-2截面右侧的外力计算Q2 、 M2 Q2 =+(q·1.5)－RB =12·1.5－29 =－11kN
M2 =－(q·1.5)·1.5/2+RB·1.5 =－(12·1.5)·1.5/2+29·1.5 = 30 kN·m
Q3 M3
Q2 RA
RA qa 2a qa
a
qa 4 3qa
2
2
A
通的过外上力述相计平算衡可，以因看而出可，以截直Q面接4上通的过q内一a 力侧 与杆RB该段截上面的3一外q4侧力a 杆直上接
RA
求得截面Q上3 的内力.
M4
5qa2 4
★ 可以直接通过截面一侧杆段上的横向力的代数和直 接求得截面上的剪力，通过一侧杆段上横向力对截面 的力矩以及力偶之代数和求得截面上的弯矩
梁横截面推上导应弯力曲非应均力匀和分变布形，公式强；度失效最先从 应力最大点处建发立生弯。曲其强强度度和计刚算度不设计仅方要法考。虑内力最 大的“危险截面”，而且要考虑应力最大的“危险 点”
绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关， 剪应力的影响是次要的。
剪力图和弯矩图教程解读
q＝5kN/m
A
19.75kN
2kN
C
8m
B
1m 2kN
（ Q）
+
x=3.95m
-
+
20.25kN 2kNm
（ M）
+
39kNm
解得
RA 1 m 4 P 2qa 10kN 3 a
1 2 P 5a RB 3a m q2a 0 2
（2）画内力图： CA段: q=0， 剪力图为水平直线； 弯矩图为斜值线。
QC QA P 3kN
DB段:q<0, 剪力图为斜直线； 弯矩图为抛物图为抛物线。
d 2 M ( x) (2)当q(x)朝下时， 2 q( x) 0 M图为上凹下凸。 dx 2 d M ( x) 当q(x)朝上时， dx2 q( x) 0 M图为上凸下凹。
(3) 在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下，则M 图向下转折；反之，则向上转折。 (4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集中力偶 使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集 中力偶矩的大小。 3. 弯矩图与剪力图的关系 (1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。当FQ 图为平行于x轴的直线时，M图为斜直线。 (3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有 极值的截面上，剪力不一定等于零。左右剪力有不同正、负 号的截面，弯矩也具有极值。
(a<x<l) (0≤x≤l)
3.作剪力图和弯矩图
例题4 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力
快速绘制梁的剪力图和弯矩图
快速绘制梁的剪力图和弯矩图哎呀，今天咱们来聊聊一个很有意思的话题：快速绘制梁的剪力图和弯矩图。
这可不是啥高深莫测的技术活儿，就是让大家了解一下梁的结构特点，然后用简单的方法画出它的受力情况。
别看这个过程好像挺复杂的，其实只要掌握了一定的技巧，就能轻松搞定！咱们得了解一下梁的基本结构。
梁是建筑物中常见的一种构件，它的主要作用是承受垂直于其长度方向的荷载，将这些荷载传递到支撑结构上。
梁通常由两个平行的钢板或混凝土板组成，这两个板之间的距离叫做梁的宽度。
梁的长度可以是任意值，但通常会根据建筑物的实际需求进行设计。
接下来，我们来说说如何绘制梁的剪力图。
剪力图是一种表示梁在不同位置受到剪力作用时的力的分布情况的图形。
要画出剪力图，我们需要知道梁的几何尺寸、材料的抗剪强度以及荷载的大小。
有了这些信息，我们就可以用一些简单的公式来计算梁在不同位置受到的剪力大小了。
我们要把梁划分成若干个小的单元，这样才能更好地观察和分析梁的受力情况。
一般来说，我们可以把梁划分成若干个矩形或梯形的小单元。
然后，我们可以用一些公式来计算每个小单元受到的剪力大小。
这些公式包括：1. 矩形单元的剪力大小 = 矩形面积× 材料抗剪强度× 剪切模量2. 梯形单元的剪力大小 = (梯形面积× 材料抗剪强度× 剪切模量) ÷ 2有了这些公式，我们就可以开始画剪力图了。
我们在纸上画出一个坐标系，然后用坐标轴表示梁的长度和位置。
接着，我们可以用不同的颜色或线条来表示不同位置的剪力大小。
例如，我们可以用红色表示剪力较大的区域，用蓝色表示剪力较小的区域。
我们可以在图上加上一些注释，说明各个区域的具体含义。
现在，我们再来说说如何绘制梁的弯矩图。
弯矩图是一种表示梁在不同位置受到弯曲作用时的力的分布情况的图形。
要画出弯矩图，我们同样需要知道梁的几何尺寸、材料的抗弯强度以及荷载的大小。
有了这些信息，我们就可以用一些简单的公式来计算梁在不同位置受到的弯矩大小了。
剪力图和弯矩图-课件(PPT-精)
02 剪力图和弯矩图的绘制
绘制步骤
确定受力点
首先确定梁的受力点，通常为 梁的两端或支撑点。
分析受力
分析梁所受的剪力和弯矩，确 定剪力和弯矩的大小和方向。
绘制剪力图和弯矩图
根据分析结果，在梁上标出剪 力和弯矩的大小和方向，并绘 制剪力图和弯矩图。
标注数据
在剪力图和弯矩图上标注相关 数据，如剪力和弯矩的大小、
3
优化施工图设计
通过分析剪力图和弯矩图，可以发现施工图设计 中的不足之处，并进行优化改进，提高施工图设 计的合理性和可行性。
在施工过程中的应用
监控施工过程
在施工过程中，通过实时监测剪 力图和弯矩图的动态变化，可以 及时发现施工中的问题，采取相
应的措施进行调整和处理。
评估施工效果
根据剪力图和弯矩图的监测结果， 可以对施工效果进行评估，判断 施工是否符合设计要求和质量标
计算公式
剪力Q=F*sin(a)，其中F为外力，a为 外力与杆件轴线的夹角；弯矩M=F*d， 其中F为外力，d为外力作用点到杆件 固定端的距离。
计算步骤
注意事项
在计算过程中应注意单位的统一，并 考虑杆件的固定端约束条件。
先确定杆件上各点的外力大小和方向， 然后根据公式计算各点的剪力和弯矩， 最后绘制剪力图和弯矩图。
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实例3
一斜梁在水平载荷作用下的剪力图 和弯矩图解读。
04 剪力图和弯矩图的应用
在结构设计中的应用
评估结构的承载能力
通过分析剪力图和弯矩图，可以确定结构在不同受力情况下的承 载能力，从而确保结构的安全性和稳定性。
优化结构设计
通过调整剪力图和弯矩图的分布和大小，可以优化结构设计，降低 材料消耗，提高结构的经济性和环保性。
剪力图和弯矩图(史上最全面)
极轴，q表示截面m–m的位置。
R
P
A
q
B
O
x
M(q) Px P(R Rcosq) PR(1 cosq) (0 q )
Q(q ) P1 Psinq (0 q )
N(q ) P2 Pcosq (0 q )
35
R
P
A
q
B
A
O
x
2PR
O
+ Q图
M图
B N图
–
+
O
P
O
P
M(q) Px P(R Rcosq) PR(1 cosq) (0 q )
起的内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M(P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作
用下，Q图对称，M图反对称。
39
五、剪力、弯矩与外力间的关系
解：
q — 均布力
10
一、弯曲内力：
§4–2
[举例]已知：如图，P，a，l。 求：距A端x处截面上内力。
解：①求外力
梁的剪力和弯矩
a A
l
X 0, XA 0
mA 0 ,
RB
Pa l
Y
0,
YA
P(l a) l
XA A YA
P B
P B
RB
11
②求内力——截面法
Y
0,
Q YA
P(l a) l
步骤： ①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； ②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。
工程力学梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图
梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图1、 剪力和弯矩剪力：沿截面切线方向的内力F S 称为剪力，剪力符号规定为：截面上的剪力如果有使考虑的脱离体有顺时针转动的趋势则为正，反之为负（图9-2）。
弯矩：作用面垂直于横截面的内力偶矩M 称为弯矩，弯矩符号规定为截面上的弯矩如果使考虑的脱离体向下凸（或者说使梁下边受拉，上边受压）为正，反之为负（图9-3）。
2、 列方程作梁的剪力图和弯矩图。
剪力方程和弯矩方程可以表示剪力和弯矩随横截面位置变化的规律。
)(S S x F F =和 )(x M M = （9-1）剪力图和弯矩图是将剪力和弯矩随横截面位置变化情况用图形表示出来。
在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化，各段的分界点为各段梁的控制截面，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程。
列方程作梁的剪力图和弯矩图的步骤为：（1）、求支座反力； （2）、确定坐标原点，分段列剪力方程和弯矩方程； （3）、计算控制点处的剪力值和弯矩值，标注在图上； （4）、根据各段的剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图，并说明剪力和弯矩的最大值。
3、利用弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作梁的剪力图和弯矩图。
弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系为)(d )(d S x q x x F =， )(d )(d S x F x x M =，)(d )(d 22x q x x M = （9−2） 剪力图和弯矩图的规律为表9−1梁上的外力情况 剪力图上的特征弯矩图上的特征弯矩极值所在截面的可能位置水平线段直线段FF FF(a)(b)图9−2MMMM(a)(b)图9−3无外力段 ()()0d d S ==x q xx F ()()常数d d S ==x F xx M q (x )=常数向下的均布荷载 向下方倾斜的直线段()()0d d S <=x q xx F 下凸的二次抛物线()()0d d 22<=x q xx M 在F S =0的截面上q (x )=常数向上的均布荷载 向上方倾斜的直线段()()0d d S >=x q xx F 上凸的二次抛物线()()0d d 22>=x q x x M 在F S =0的截面上F 作用处发生突变，突变值等于FF 作用处发生转折在左右剪力具有不同正负号的截面上集中力偶在M e 作用处无变化M e 作用处发生突变，突变值等于M e在紧靠集中力偶作用处的某一侧截面上利用弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作梁的剪力图和弯矩图的步骤为： （1）、求支座反力； （2）、计算控制点处的剪力值和弯矩值，标注在图上； （3）、根据弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作剪力图和弯矩图，并标出剪力和弯矩的最大值。
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解： 已求得支座反力为
P=50KN
mA
q 20KN m
RA=81KN RB=29KN
A EC D
mA=96.5KN.m
1 0.5 1
3
RA
将梁分为AE，EC，
CD，DK，KB五段。
M=5KN.m
K
B
1
RB
剪力图 AE段：水平直线
QA右= QE左 = RA = 81KN
P=50KN
mA
q 20KN m
4.72
RA 1 P 2
A C
23.6
+
P 3 RB
B D
1.7
27
+
例题 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100KN/m , 如图 a 所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。
解：计算梁的支反力
RA RB 0 51001 6 80KN
q
将梁分为 AC、CD、DB三段
解：求梁的支反力。由平衡
方程 mB=0 和 mA=0
得
RA 23.6KΝ
RB 27 KN
将梁分为AC，CD，DB三段。 每一段均属无外力段。
RA P
A C
P
RB
B D
200
115
1265
剪力图 每段梁的剪力图均为水平直线 AC段：Q1 = RA =23.6KN CD段：Q2= RA-P = -1.7KN DB段：Q3 =- RB = - 27KN
q
在AC段中 Qc = 80KN，剪力图
A
B
CE
D
为矩形，MA =0
0.2
1.6
1
2
M C M A acQ( x)dx M A Q AC 0 80 0.2 16KN m
80KN
(b)
+
80KN
QB QA abq( x)dx M B M A abQ( x)dx
RA
P1 2KN
m 10KN .m
q 1KN m
A
cF
D
RB
P2 2KN BE
4m
4m
4m
3m
6
-
6
+
16 20 20.5
分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系
dQ(x) q(x) dx
若在 x=a 和 x=b 处两个横截面A，B间无集中力则
abdQ( x) abq( x)dx
31KN
+
KB段：向下倾斜的直线
M B左 m 5KN m
M B右 0
M=5KN.m
K
B
1 RB
x
29KN
M A右 96.5KN m
DB：( )
7KN
4m
4m
M D右 7P2 4RB 6
3KN
M B 3P2 6
+
1KN
BE：() M E 0
F
-
X =5m
3KN
RB
P2 2KN
BE 3m
2KN
+
MA0
M c 20
M D左 16
M max M F 20.5 M D右 6 M B 6 ME 0
P=50KN
mA
q 20KN m
A EC D
M=5KN.m
K
B
1 0.5 1
3
RA
1
RB
Qx RB qx 0
x
81KN
x RB 1.45m q
31KN
+
29KN
弯矩图 AE，EC，CD梁段均 为向下倾斜的直线 M A右 mA 96.5KN m
P=50KN
MA0
M C RA 200 4 72KN m
M D RB 115 311KN m
MB 0
最大弯矩发生在 C 截面
M max 4 72KN m
4.72
+
单位：KN.m
对图形进行校核
在集中力作用的 C，D 两点 剪力图发生突变，突变值
P=25.3KN 。 而弯矩图 有尖角。在AC段剪力为正值 。 在CD和DB段，剪力为负值 。 最大弯矩发生在剪力改变处， 负号的C点截面处。说明剪 力图和弯矩图是正确的。
1
A C
0.2
1
q
E
1.6 2
2
B D
全梁的最大弯矩梁跨中E 点的横截面上。
M max 48KN m
+
单位：KN.m
例 作梁的内力图
RA
P1 2KN
m 10KN .m
q 1KN m
A
c
D
RB
P2 2KN BE
4m
4m
4m
3m
解：支座反力为
RA 7KN RB 5KN
A
B
CE
D
。AC和DB上无荷载，CD段 0.2
1.6
有向下的均布荷载。
1 2
剪力图
AC段：水平直线 Q1 = RA = 80 KN
CD段： 向右下方的斜直线
QC RA 80KN
QD RB 80KN DB段：水平直线
QB左 RB 80KN QB右 0 最大剪力发生在 CD 和 DB
式中，MA，MB分别为在 x=a , x=b 处两个横截面 A 及 B上的 弯矩。等号右边积分的几何意义是A，B两个横截面间剪力图 的面积。
例题 计算 下图中的梁 C、 E 两横截面上的
剪力和弯矩。
解： 在AC段中 q=0 ，且 QA=RA
QB QA abq( x)dx
M B M A abQ( x)dx
y
m
n
m
n
q(x)
x dx
Pm x
m
Q(x)
M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n Q(x)+dQ(x)
写出平衡方程
Y= 0 Q(x) - [Q(x)+dQ(x)] + q(x)dx = 0
得到
dQ(x) = q(x)
dx
m
Q(x)
M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n Q(x)+dQ(x)
弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用
弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系
设梁上作用有任意分布荷载
其集度 q = q(x)
y
规定：q(x)向上为正。
Pm x
将 x 轴的坐标原点取在
q(x)
梁的左端。
假想地用坐标为 x 和 x+dx的 两横截面 m-m 和 n-n 从梁 中取出 dx 一段。 m-m截面上内力为Q(x)， M(x) x+dx 截面处 则分别为 Q(x)+dQ(x), M(x)+dM(x) 。 由于dx很小，略去q(x) 沿dx的变化
A EC D
ED段：水平直线
1 0.5 1
3
R
QE右 = RA - P =31KN
A
DK段：向右下方倾斜的直线 81KN
M=5KN.m
K
B
1
RB
QK= - RB = - 29KN KB段：水平直线
31KN
+
QB左= - RB = - 29KN
(b)
29KN
设距 K 截面为 x的截面上 剪力 Q=0 。即
Q(b) Q(a) abq( x)dx
QB
QA
b
a
q(
x
)dx
式中，QA，QB分别为在 x=a , x=b 处两各横截面A及B上的剪力。 等号右边积分的几何意义是上述两横截面间分布荷载图的面积。
dM (x) Q(x) dx
若横截面 A，B 间无集中力偶作用则得
M B M A abQ( x)dx
最大剪力发生在DB段中的 任一横截面上
Qmax 27KN
RA 1 P 2
A C
P 3 RB
B D
200
115
1265
23.6
+
1.7 27
弯矩图
RA 1 P 2
P 3 RB
每段梁的弯矩图均为斜直线。且 A
C
梁上无集中力偶。故只需计算A、
B D
C、D、B各点处横截面上的弯矩。
200
115
1265
EB：水平直线 (—） QB右 P2 2KN
QA右 7KN QC左 3KN
QC右 1KN
QD 3KN Q = - 3KN
QB右 2KN
F点剪力为零,令 其距A点为x
Qx RA qx P1 0
X=5m
RA
P1 2KN
m 10KN .m
q 1KN m
A
c
D
RB
P2 2KN BE
4m
4m
7KN
3KN
+
1KN
F X =5m
4m
3m
2KN
+
-
3KN
弯矩图
AC：( )
MA0
M
c
4
RA
q 2
42
20
CD：( )
RA
P1 2KN
m 10KN .m
q 1KN m