剪力图与弯矩图的画法

MA0
M C RA 200 4 72KN m
M D RB 115 311KN m
MB 0
最大弯矩发生在 C 截面
M max 4 72KN m
4.72
+
单位：KN.m
对图形进行校核
在集中力作用的 C，D 两点 剪力图发生突变，突变值
P=25.3KN 。 而弯矩图 有尖角。在AC段剪力为正值 。 在CD和DB段，剪力为负值 。 最大弯矩发生在剪力改变处， 负号的C点截面处。说明剪 力图和弯矩图是正确的。
P=50KN
mA
q 20KN m
A EC D
M=5KN.m
K
B
1 0.5 1
3
RA
1
RB
Qx RB qx 0
x
81KN
x RB 1.45m q
31KN
+
29KN
弯矩图 AE，EC，CD梁段均 为向下倾斜的直线 M A右 mA 96.5KN m
P=50KN
y
m
n
m
n
q(x)
x dx
Pm x
m
Q(x)
M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n Q(x)+dQ(x)
写出平衡方程
Y= 0 Q(x) - [Q(x)+dQ(x)] + q(x)dx = 0
得到
dQ(x) = q(x)
dx
m
Q(x)
M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n Q(x)+dQ(x)
向下倾斜的 直线
或

弯矩图的特征
下凸的二次 抛物线
水平直线
+
在C处有突变
在C处无变化 C
一般斜直线 在C处有尖角 在C处有突变
m
或
或
最大弯矩所在
截面的可能位 在Q=0的截面 置
在剪力突变 的截面
在紧靠C的某 一侧截面
例题 一简支梁受两个力P作用如图 a 所示。 已知 P= 25.3KN，有关尺寸如图所示。 试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图。
1

1 2
q
(102)2

48KN

m
DB段：
MB = 0

1
A C
0.2
1
80KN
+
q

2
B
E
D
1.6
2
80KN
MA0 M C RA 0.2 16KN.m
M D RB 0 2 16KN m
M
E

RA
1
1 2
q
(102)2

48KN

m
MB = 0
4.72
RA 1 P 2
A C
23.6
+
P 3 RB
B D
1.7
27
+
例题 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100KN/m , 如图 a 所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。
解：计算梁的支反力
RA RB 0 51001 6 80KN
q

将梁分为 AC、CD、DB三段
dQ(x) = q(x)
dx
dM(x) = Q(x)
dx
2
d M(x) 2 = q(x) dx
Q(x)
o
x
o
x
o
x
M(x)
M(x)
梁上最大弯矩可能发生在 Q(x) = 0 的截面上 或梁段 边界的截面上。最大剪力 发生在全梁或梁段的界面。
在集中力作用处剪力图有 突变，其突变值等于集中 力的值。弯矩图的相应处 形成尖角。
RA
P1 2KN
m 10KN .m
将梁分为AC、CD、 q 1KN m
DB、BE 四段
A
c
D
剪力图
4m
4m
4m
RB
P2 2KN BE 3m
AC：向下斜的直线（）QA右 RA 7KN QC左 RA 4q 3KN
CD：向下斜的直线 ( ) QC右 RA 4q P11KN QD P2 RB 3KN DB：水平直线 (—） Q =P2 -RB=- 3KN
Q(b) Q(a) abq( x)dx
QB

QA

b
a
q(
x
)dx
式中，QA，QB分别为在 x=a , x=b 处两各横截面A及B上的剪力。 等号右边积分的几何意义是上述两横截面间分布荷载图的面积。
dM (x) Q(x) dx
若横截面 A，B 间无集中力偶作用则得
M B M A abQ( x)dx
A EC D
ED段：水平直线
1 0.5 1
3
R
QE右 = RA - P =31KN
A
DK段：向右下方倾斜的直线 81KN
M=5KN.m
K
B
1
RB
QK= - RB = - 29KN KB段：水平直线
31KN
+
QB左= - RB = - 29KN
(b)
29KN
设距 K 截面为 x的截面上 剪力 Q=0 。即
mA
q 20KN m
A EC D
1 0.5 1
3
RA
M=5KN.m
K
B
1 RB
M E mA RA 1 15.5KN m
M C 96.5 811.5 50 0.5
0 M D 96.5 81 2.5 501.5
31KN.m
81KN
31KN

1
A C
0.2
1百度文库
q
E
1.6 2

2
B D
全梁的最大弯矩梁跨中E 点的横截面上。
M max 48KN m
+
单位：KN.m
例 作梁的内力图
RA
P1 2KN
m 10KN .m
q 1KN m
A
c
D
RB
P2 2KN BE
4m
4m
4m
3m
解：支座反力为
RA 7KN RB 5KN
q(x)、Q（x）图、 M（x）图三者间的关系
梁上有向下的均布荷载，即 q(x) < 0 Q(x)图为一向右下方倾斜的直线
dQ(x) = q(x)
dx
dM(x) = Q(x)
dx
2
d M(x) 2 = q(x) dx
Q(x)
o
x
梁段上无荷载作用，即 q(x) = 0 剪力图为一条水平直线 弯矩图为一斜直线
dQ(x) = q(x)
dx
dM(x) = Q(x)
dx
2
d M(x) 2 = q(x) dx
在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的
值，但剪力图无变化。
表 一、 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
一段梁上 的外力情 况
向下的均布 荷载
q<0
无荷载
集中力
P C
集中力偶 m C
剪力图的特征

1
A C
0.2
1
q
E
1.6 2

2
B D
80KN
+
段的任一横截面上。Qmax 80KN (, )
80KN
弯矩图 AC段：
MA0 M C RA 0.2 16KN.m
CD段：
M D RB 0 2 16KN m
其极值点在Q=0的中点E处的
横截面上。
M
E

RA
Mc = 0 [ M (x) + dM(x) ] - M(x) - Q(x) dx - q(x)dx dx = 0
2
略去二阶无穷小量即得
dM(x) = Q(x)
dx
dQ(x) = q(x)
dx
2
d M(x)
2
= q(x)
dx
公式的几何意义
剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。
RA
P1 2KN
m 10KN .m
q 1KN m
A
cF
D
RB
P2 2KN BE
4m
4m
4m
3m
6
-
6
+
16 20 20.5
分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系
dQ(x) q(x) dx
若在 x=a 和 x=b 处两个横截面A，B间无集中力则
abdQ( x) abq( x)dx
EB：水平直线 (—） QB右 P2 2KN
QA右 7KN QC左 3KN
QC右 1KN
QD 3KN Q = - 3KN
QB右 2KN
F点剪力为零,令 其距A点为x
Qx RA qx P1 0
X=5m
RA
P1 2KN
m 10KN .m
q 1KN m
解： 已求得支座反力为
P=50KN
mA
q 20KN m
RA=81KN RB=29KN
A EC D
mA=96.5KN.m
1 0.5 1
3
RA
将梁分为AE，EC，
CD，DK，KB五段。
M=5KN.m
K
B
1
RB
剪力图 AE段：水平直线
QA右= QE左 = RA = 81KN
P=50KN
mA
q 20KN m
DB：( )
7KN
4m
4m
M D右 7P2 4RB 6
3KN
M B 3P2 6
+
1KN
BE：() M E 0
F
-
X =5m
3KN
RB
P2 2KN
BE 3m
2KN
+
MA0
M c 20
M D左 16
M max M F 20.5 M D右 6 M B 6 ME 0
A
B
CE
D
。AC和DB上无荷载，CD段 0.2
1.6
有向下的均布荷载。
1 2
剪力图
AC段：水平直线 Q1 = RA = 80 KN
CD段： 向右下方的斜直线
QC RA 80KN
QD RB 80KN DB段：水平直线
QB左 RB 80KN QB右 0 最大剪力发生在 CD 和 DB
QC QA ac q( x)dx
QA 0 RA 80KN

q

QE QC ce q( x)dx
A
B
QC q CE
0.2
CE
D
1.6
80 100(1 0.2) 0
1 2
QB QA abq( x)dx M B M A abQ( x)dx
弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用
弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系
设梁上作用有任意分布荷载
其集度 q = q(x)
y
规定：q(x)向上为正。
Pm x
将 x 轴的坐标原点取在
q(x)
梁的左端。
假想地用坐标为 x 和 x+dx的 两横截面 m-m 和 n-n 从梁 中取出 dx 一段。 m-m截面上内力为Q(x)， M(x) x+dx 截面处 则分别为 Q(x)+dQ(x), M(x)+dM(x) 。 由于dx很小，略去q(x) 沿dx的变化
式中，MA，MB分别为在 x=a , x=b 处两个横截面 A 及 B上的 弯矩。等号右边积分的几何意义是A，B两个横截面间剪力图 的面积。
例题 计算 下图中的梁 C、 E 两横截面上的
剪力和弯矩。
解： 在AC段中 q=0 ，且 QA=RA
QB QA abq( x)dx
M B M A abQ( x)dx
解：求梁的支反力。由平衡
方程 mB=0 和 mA=0
得
RA 23.6KΝ
RB 27 KN
将梁分为AC，CD，DB三段。 每一段均属无外力段。
RA P
A C
P
RB
B D
200
115
1265
剪力图 每段梁的剪力图均为水平直线 AC段：Q1 = RA =23.6KN CD段：Q2= RA-P = -1.7KN DB段：Q3 =- RB = - 27KN

q

在CE段中，剪力图为三角形
A
B
CE
D
QC=80KN，MC=16KN.m
0.2
1.6
M E M C ce Q( x)dx
1 2

M
C

1 2
QC
.CE
80KN (b)
16 1 80(1 0.2 ) 48KN .m
+
2
80KN
例题 用简易法作 所示组合梁的 剪力图和弯矩图。
A
c
D
RB
P2 2KN BE
4m
4m
7KN
3KN
+
1KN
F X =5m
4m
3m
2KN
+
-
3KN
弯矩图
AC：( )
MA0
M
c

4
RA

q 2
42

20
CD：( )
RA
P1 2KN
m 10KN .m
q 1KN m
A
c
D
M D左 7 P2 3RB m 16
4m
M max M F 20.5
+
x
29KN
DK段：向上凸的二次抛
P=50KN
mA
物线
q 20KN m
M K RB 1 m
29 1 5 34KN.m
A EC D
1 0.5 1
3
RA
在 Q=0 的截面上弯矩有
极值
M max RB 2.45 m
81KN
q 1.452 55KN m 2
31KN
+
KB段：向下倾斜的直线
M B左 m 5KN m
M B右 0
M=5KN.m
K
B
1 RB
x
29KN
M A右 96.5KN m

q

在AC段中 Qc = 80KN，剪力图
A
B
CE
D
为矩形，MA =0
0.2
1.6
1
2
M C M A acQ( x)dx M A Q AC 0 80 0.2 16KN m
80KN
(b)
+
80KN
QB QA abq( x)dx M B M A abQ( x)dx
最大剪力发生在DB段中的 任一横截面上
Qmax 27KN
RA 1 P 2
A C
P 3 RB
B D
200
115
1265
23.6
+
1.7 27
弯矩图
RA 1 P 2
P 3 RB
每段梁的弯矩图均为斜直线。且 A
C
梁上无集中力偶。故只需计算A、
B D
C、D、B各点处横截面上的弯矩。
200
115
1265