分支限界法解01背包问题
回溯法和分支限界法解决0-1背包题(精)[精品文档]
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0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。
对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有0-1赋值。
例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。
问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,),xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。
二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。
0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。
在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。
当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。
否则，将右子树剪去。
设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。
当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。
计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。
例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。
这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。
以物品单位重量价值的递减序装入物品。
先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。
由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。
0-1背包问题的分支限界法源代码
int i;
n=nn;
c=cc;
p=new int[n];
w=new int[n];
M=new int[n];
for(i=0;i<n;i++)
{
p[i]=pp[i];
w[i]=ww[i];
M[i]=i; //用M数组记录大小顺序关系
}
front=new node[1];
front->next=NULL;
cin>>w[i];
cout<<endl;
cout<<"请输入这"<<n<<"个物品的价值P:"<<endl;
for(i=0;i<n;i++)
cin>>p[i];
Knap knbag(p,w,c,n);
knbag.solvebag();
getch();
return 0;
}
//#include "stdafx.h"
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<conio.h>
#include<iomanip>
using namespace std;
int *x;
struct node //结点表结点数据结构
{
node *parent;//父结点指针
{
minl=1.0*p[i]/w[i];
k=0;
for(j=1;j<=n-i;j++)
{
if(minl<1.0*p[j]/w[j])
分支限界法结局0~1背包问题
Bound( i ) cleft = c – cw; b = cp; while( i <= n && w[i] <= cleft ){ cleft -= w[i]; b += p[i]; i++; } if( i<=n) b += p[i]/w[i] * cleft; return b; }
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结 点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为 止。
与回溯法区别
求解目标不同： 一般而言，回溯法的求解目标是找出解空间树中满 足的约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标 则是尽快的找出满足约束条件的一个解。
搜索方法不同 回溯法使用深度优先方法搜索，而分支限界一般用宽 度优先或最佳优先方法来搜索；
按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点；
数据结构：队列
（2）优先队列式分支限界法
按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前 扩展节点。 数据结构：堆 最大优先队列：使用最大堆，体现最大效益优先
最小优先队列：使用最小堆，体现最小费用优先
【0-1背包问题】
物品数量n=3，重量w=(20,15,15)，价值v=(40,25,25) 背包容量c=30，试装入价值和最大的物品？ 解空间：{(0,0,0),(0,0,1),…,(1,1,1)}
分支限界法解决0/1背包问题
分支限界法思想概述 与回溯法区别 求解步骤 常见的两种分支限界法 0-1背包问题
分支限界法的基本思想
分支限界法基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜 索问题的解空间树。
队列分支限界法背包问题
队列分支限界法背包问题队列分支限界法背包问题，这名字一听就让人有点头大，对吧？别急，咱慢慢聊，保证你听得懂，想得通。
你看，生活中是不是经常遇到这么个情形：背包有点小，想装的东西很多，而且每样都很重要，选哪个好呢？这就是典型的“背包问题”。
想象一下，你去旅行，背包有限，行李太多，你得决定要带哪个，带多少。
只要选对了方法，就能装得既满又不超负荷。
是不是很像做决定？哈哈，是吧！行了，咱不绕弯子，直接进入正题。
队列分支限界法其实就是解决这个“背包问题”的一种聪明的方式。
想象一下你要去超市购物，拿着购物车，不知道要拿哪个商品好。
你站在货架前，左看看右看看，然后做个决定，把一个商品放进车里。
你又想，这个商品放进去是不是占了太多空间？不太合适啊。
于是你又把它拿出来，重新挑选。
是不是有点像这种感觉？队列分支限界法就像这种“反复尝试”和“做出决策”的过程，目标就是在众多的选择中找到那个最适合的最优解。
队列分支限界法的“分支”就好像树枝一样，咱们从根出发，一步一步地探寻可能的选择。
有点像打游戏的时候，你不断做选择，然后每次都会有新的路径、不同的结局。
你走错了路，还可以回来重新选择。
通过“限界”来控制范围，不能随便乱走。
这个“限界”是什么意思呢？就是你得给自己设个底线，不能一直试下去，得有个结束的时候。
想象一下你吃饭，不能老是吃，得停一停，不然撑死！在背包问题中，限界就是设置一个最大容量，超了就不行。
话说回来，队列分支限界法虽然听起来复杂，实际上它就像是咱们日常做选择时的那种“精打细算”。
你知道，选择背包里的物品要权衡重量和价值。
你能不能带一箱苹果，还是带个贵重的电子产品，或者你选择一个体积小但很有价值的小东西？每一种选择背后都有不同的权衡。
这个法子通过限制每一步的选择，排除掉那些明显不可能的解，剩下的就都是比较靠谱的选项了。
你说得对，这么一想，好像没那么难。
对了，还有个重要的点：队列！队列在这儿就像是一个按顺序来的排队。
背包问题的分支定界法
背包问题的分支定界法
背包问题的分支定界法是一种求解背包问题的有效方法。
分支定界法的基本思想是将问题分解为若干个子问题，通过逐个解决子问题来逼近原问题的解。
在背包问题中，分支定界法通过将问题分解为一系列背包问题，从最简单的情况开始逐步扩展问题的规模，从而逐步逼近最优解。
分支限界法求解：
1．初始化：首先确定问题的约束条件和目标函数，并初始化问题的解空间树。
解空间树是问题解的搜索空间，其中每个节点表示一个可能的解。
2．搜索：从根节点开始，按照广度优先或最小耗费优先的方式搜索解空间树。
在搜索过程中，每个节点代表一个子问题，通过对子问题进行求解，可以逐步逼近原问题的解。
3．剪枝：在搜索过程中，根据问题的约束条件和目标函数，对一些不可能成为最优解的节点进行剪枝，从而减少搜索空间的大小。
剪枝可以提高搜索效率，但需要注意避免剪枝过度导致最优解丢失。
4．求解：当搜索到叶子节点时，表示找到了一个可行的解。
此时需要对叶子节点进行评估，确定其是否为最优解。
如果叶子节点的价值大于当前最优解的价值，则更新最优解；否则将叶子节点加入到已访问节点集合中。
5．回溯：如果搜索到叶子节点时发现当前最优解的价值不小于已访问节点集合中的最大价值，则说明当前最优解已经是最优解或者已经超出了搜索空间的上限。
此时需要进行回溯操作，即从当前节点向上回溯到上一层节点，并继续搜索。
6．结束：当搜索到根节点时，表示已经搜索完了解空间树。
此时需要判断是否找到了最优解，如果没有找到则需要进一步调整搜索策略或调整问题的约束条件和目标函数。
分支界限法0-1背包问题（优先队列式分支限界法）
分⽀界限法0-1背包问题（优先队列式分⽀限界法）输⼊要求有多组数据。
每组数据包含2部分。
第⼀部分包含两个整数C （1 <= C <= 10000）和 n （1 <= n <= 10，分别表⽰背包的容量和物品的个数。
第⼆部分由n⾏数据，每⾏包括2个整数 wi（0< wi <= 100）和 vi（0 < vi <= 100），分别表⽰第i个物品的总量和价值输出要求对于每组输⼊数据，按出队次序输出每个结点的信息，包括所在层数，编号，背包中物品重量和价值。
每个结点的信息占⼀⾏，如果是叶⼦结点且其所代表的背包中物品价值⼤于当前最优值（初始为0），则输出当前最优值 bestv 和最优解bestx（另占⼀⾏）参见样例输出测试数据输⼊⽰例5 32 23 22 3输出⽰例1 1 0 02 2 2 23 5 2 24 10 4 5bestv=5, bestx=[ 1 0 1 ]4 11 2 23 4 5 42 3 0 0⼩贴⼠可采⽤如下的结构体存储结点：typedef struct{int no; // 结点在堆中的标号int sw; // 背包中物品的重量int sv; // 背包中物品的价值double prior; // 优先值 sv/sw}Node;#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>typedef struct {int no; // 结点标号int id; // 节点idint sw; // 背包中物品的重量int sv; // 背包中物品的价值double prior; // sv/sw}Node;int surplusValue(int *v,int n,int y) {int sum = 0;for(int i = y; i <= n; i++) {sum += v[i];}return sum;}void qsort(Node *que,int l,int r) {int len = r - l + 1;int flag;for(int i = 0; i < len; i ++) {flag = 0;for(int j = l; j < l + len - i; j++) {if(que[j].prior < que[j+1].prior) {Node t = que[j];que[j] = que[j+1];que[j+1] = t;flag = 1;}}//if(!flag ) return;}}void branchknap(int *w,int *v,int c,int n) {int bestv = 0;int f = 0;int r = 0;Node que[3000];memset(que,0,sizeof(que));int path[15];que[0].no = 1;que[0].id = que[0].sv = que[0].sw = que[0].prior = 0;while(f <= r) {Node node = que[f];printf("%d %d %d %d\n",node.id+1,node.no,node.sw,node.sv);if(node.no >= pow(2,n)) {if(node.sv > bestv) {bestv = node.sv;printf("bestv=%d, bestx=[",bestv);int temp = node.no;int i = 0;while(temp > 1) {if(temp % 2 == 0)path[i] = 1;elsepath[i] = 0;temp /= 2;i++ ;}i--;while(i >= 0) {while(i >= 0) {printf(" %d",path[i]);i--;}printf(" ]\n");}} else {if((node.sw + w[node.id + 1]) <= c && surplusValue(v,n,node.id+1) + node.sv > bestv) { r++;que[r].id = node.id + 1;que[r].no = node.no*2;int id = node.id + 1;que[r].sv = node.sv + v[id];que[r].sw = node.sw + w[id];que[r].prior = que[r].sv / (que[r].sw*1.0);}if(surplusValue(v,n,node.id+2) + node.sv > bestv) {r++;que[r].id = node.id + 1;que[r].no = node.no*2 + 1;que[r].sv = node.sv;que[r].sw = node.sw;que[r].prior = node.prior;}}f++;qsort(que,f,r);}}int main() {int c,n;int w[15],v[15];while(~scanf("%d %d",&c,&n)){for(int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);}branchknap(w,v,c,n);}return 0;}#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>typedef int bool;#define true 1#define false 0struct Node{int no; // ?áµ?±êo?int id; //jie dian idint sw; // ±3°ü?D·µá?int sv; // ±3°ü?D·µ?µdouble prior;};struct Node queuee[2000];int w[15],v[15];int bestv = 0,c,n;int path[15]; //lu jingint surplusValue(int y) {int sum = 0;for(int i = y; i <= n; i++)sum += v[i];return sum;}void qsort(int l,int r) {// printf("------\n");int len = r - l + 1;//printf("----%d %d %d-----\n",l,r,len);bool flag;for(int i = 0; i < len ; i++) {flag = false;for(int j = l; j <l+ len -i ;j++) {if(queuee[j].prior < queuee[j+1].prior) {struct Node temp = queuee[j];queuee[j] = queuee[j+1];queuee[j+1] = temp;flag = true;}//if(!flag) return;}}// printf("---排序嘻嘻---\n");//for(int i = l; i <= r;i++ )// printf("***%d : %.2lf\n",queuee[i].no,queuee[i].prior);// printf("\n------\n");}void branchknap() {bestv = 0;int f = 0;int r = 0;queuee[0].no = 1;queuee[0].id = 0;queuee[0].sv = 0;queuee[0].sw = 0;queuee[0].prior = 0;// printf("f: %d r: %d\n",f,r);while(f <= r) {struct Node node = queuee[f];printf("%d %d %d %d\n",node.id+1,node.no,node.sw,node.sv);if(node.no >= pow(2,n)) {if(node.sv > bestv) {bestv = node.sv;//TODOprintf("bestv=%d, bestx=[",bestv);int temp = node.no;int i = 0;while(temp > 1) {if(temp%2 == 0)path[i] = 1;elsepath[i] = 0;temp /= 2;i++;}i--;while(i >= 0) {while(i >= 0) {printf(" %d",path[i]);i--;}printf(" ]\n");}} else {if((node.sw + w[node.id+1]) <= c && surplusValue(node.id+1) + node.sv > bestv) { r++;//printf("%d\n",(node.sw + w[node.id+1]));queuee[r].id = node.id+1;queuee[r].no = node.no*2;int id = node.id+1;queuee[r].sv = node.sv + v[id];queuee[r].sw = node.sw + w[id];queuee[r].prior = queuee[r].sv/(queuee[r].sw*1.0);//printf("进队id： %d\n",queuee[r].no) ;//printf("%d %d %d\n",id,v[id], w[id]);}if(surplusValue(node.id+2) + node.sv > bestv) {r++;queuee[r].id = node.id+1;queuee[r].no = node.no*2 + 1;queuee[r].sv = node.sv ;queuee[r].sw = node.sw ;queuee[r].prior = node.prior;//printf("进队id： %d\n",queuee[r].no) ;}}f++;qsort(f,r);}}int main() {while(~scanf("%d %d",&c,&n)){memset(queuee,0,sizeof(queuee));for(int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);}branchknap();}return 0;}。
优先队列式分支限界法求解0-1背包问题
算法分析与设计实验报告第7 次实验}1、测试自己输入的小规模数据2、测试随机生成1003、随机生成1000数据4、随机生成1000数据附录：完整代码#include <iostream>#include<time.h>#include<algorithm>#include<fstream>using namespace std;ifstream in("input.txt");ofstream out("output.txt");typedef int Typew;typedef int Typep;//物品类class Object{friend Typep Knapsack(Typew *, Typep *, Typew, int, int *); public:int operator <= (Object a) const{return (d >= a.d);}private:int ID; //物品编号float d; //单位重量价值};//树结点类class bbnode{friend class Knap;friend Typep Knapsack(Typew *, Typep *, Typew, int, int *); private:bbnode *parent; //指向父节点的指针int LChild;};//堆结点类class HeapNode{friend class Knap;friend class MaxHeap;public:operator Typep()const{return uprofit;};private:Typep uprofit, //结点的价值上界profit; //结点所相应的价值Typew weight; //结点所相应的重量int level; //活结点在子集树中所处的层序号bbnode *elemPtr; //指向该活结点在子集树中相应结点的指针};//最大堆类class MaxHeap{public:MaxHeap(int maxElem){HeapElem = new HeapNode* [maxElem+1]; //下标为0的保留capacity = maxElem;size = 0;}void InsertMax(HeapNode *newNode);HeapNode DeleteMax(HeapNode* &N);private:int capacity;int size;HeapNode **HeapElem;};//0-1背包问题的主类class Knap{friend Typep Knapsack(Typew *, Typep *, Typew, int, int *); public:Typep MaxKnapsack();private:MaxHeap *H;Typep Bound(int i);void AddLiveNode(Typep up, Typep cp, Typew cw, int ch, int level);bbnode *E; //指向扩展结点的指针Typew c; //背包容量int n; //物品总数Typew *w; //物品重量数组（以单位重量价值降序）Typep *p; //物品价值数组（以单位重量价值降序）Typew cw; //当前装包重量Typep cp; //当前装包价值int *bestx; //最优解};void MaxHeap::InsertMax(HeapNode *newNode){int i = 1;for (i = ++size; i/2 > 0 && HeapElem[i/2]->uprofit < newNode->uprofit; i /= 2){HeapElem[i] = HeapElem[i/2];}HeapElem[i] = newNode;}HeapNode MaxHeap::DeleteMax(HeapNode *&N){if(size >0 ){N = HeapElem[1];int i = 1;while(i < size){if(((i*2 +1) <= size) && HeapElem[i*2]->uprofit > HeapElem[i*2 +1]->uprofit){HeapElem[i] = HeapElem[i*2];i = i*2;}else{if(i*2 <= size){HeapElem[i] = HeapElem[i*2];i = i*2;}elsebreak;}}if(i < size)HeapElem[i] = HeapElem[size];}size--;return *N;}Typep Knap::MaxKnapsack(){H = new MaxHeap(10000);bestx = new int [n+1];int i = 1;E = 0;cw = 0;cp = 0;Typep bestp = 0;Typep up = Bound(1);while (i != n+1){Typew wt = cw + w[i];if(wt <= c) {if(cp + p[i] > bestp)bestp = cp + p[i];AddLiveNode(up, cp + p[i], cw + w[i], 1, i);}up = Bound(i + 1);if(up >= bestp)AddLiveNode(up, cp, cw, 0, i);HeapNode* N;H->DeleteMax(N);E = N->elemPtr;cw = N->weight;cp = N->profit;up = N->uprofit;i = N->level + 1;}for (int i = n; i > 0; i--){bestx[i] = E->LChild;E = E->parent;}return cp;}Typep Knap::Bound(int i){Typew cleft = c - cw;Typep b = cp;while (i<=n && w[i] <= cleft){cleft -= w[i];b += p[i];i++;}if(i<=n) b += p[i]/w[i] * cleft;return b;}void Knap::AddLiveNode(Typep up, Typep cp, Typew cw, int ch, int level) {bbnode *b=new bbnode;b->parent=E;b->LChild=ch;HeapNode *N = new HeapNode;N->uprofit=up;N->profit=cp;N->weight=cw;N->level=level;N->elemPtr=b;H->InsertMax(N);}//Knapsack返回最大价值，最优值保存在bestxTypep Knapsack(Typew *w, Typep *p, Typew c, int n, int *bestx){Typew W = 0;Typep P = 0;Object *Q = new Object[n];for(int i =1; i<=n; i++){Q[i-1].ID = i;Q[i-1].d = 1.0*p[i]/w[i];P += p[i];W += w[i];}if (W <= c){for(int i =1; i<=n; i++){bestx[i] = p[i];}return P;}for(int i = 1; i<n; i++)for(int j = 1; j<= n-i; j++){if(Q[j-1].d < Q[j].d){Object temp = Q[j-1];Q[j-1] = Q[j];Q[j] = temp;}}Knap K;K.p = new Typep [n+1];K.w = new Typew [n+1];for(int i = 1; i<=n; i++){K.p[i] = p[Q[i-1].ID];K.w[i] = w[Q[i-1].ID];}K.cp = 0;K.cw = 0;K.c = c;K.n = n;Typep bestp = K.MaxKnapsack();for(int i = 1; i<=n; i++){bestx[Q[i-1].ID] = K.bestx[i];}delete [] Q;delete [] K.w;delete [] K.p;delete [] K.bestx;delete [] K.H;return bestp;}int main(){cout<<"请在input.txt文件中输入物品数量、背包容量"<<endl;int N ;in>>N;Typew c; //背包容量in>>c;int bestx[N+1]; //最优解int bestp; //最优值Typep p[N+1];//物品价值Typew w[N+1];//物品重量cout<<"在input.txt文件中读取的物品总数N = "<< N<<",背包容量C = "<< c<<endl; cout<<"请选择生成数据的规模大小：200请输入1,2000请输入2，20000请输入3"<<endl; int x;cin>>x;if(x==1){ofstream in1("input1.txt");srand(time(NULL));int n=200;int *a=new int[n];for(int i=0;i<n;i++){a[i]=rand()%91;in1<<a[i]<<" ";}cout<<"随机数已请生成到input1文件中，请将数据添加到input.txt文件中"<<endl; }else if(x==2){ofstream in1("input1.txt");srand(time(NULL));int n=2000;int *a=new int[n];for(int i=0;i<n;i++){a[i]=rand()%91;in1<<a[i]<<" ";}cout<<"随机数已请生成到input1文件中，请将数据添加到input.txt文件中"<<endl; }else if(x==3){ofstream in1("input1.txt");srand(time(NULL));int n=20000;int *a=new int[n];for(int i=0;i<n;i++){a[i]=rand()%91;in1<<a[i]<<" ";}cout<<"随机数已请生成到input1文件中，请将数据添加到input.txt文件中"<<endl;}cout<<"添加完毕后请输入1"<<endl;int m;cin>>m;clock_t start,finish;start=clock();for (int i = 1; i <= N; i++){in>>w[i];}for (int i = 1; i <= N; i++){in>>p[i];}cout<<"已在input文件中读取物品重量和价值。
分支限界法解决01背包问题
分⽀限界法解决01背包问题1. 问题描述设有n个物体和⼀个背包,物体i的重量为wi价值为pi ,背包的载荷为M, 若将物体i（1<= i <=n）装⼊背包,则有价值为pi . ⽬标是找到⼀个⽅案, 使得能放⼊背包的物体总价值最⾼.设N=3, W=(16,15,15), P=(45,25,25), C=30（背包容量）2. 队列式分⽀限界法可以通过画分⽀限界法状态空间树的搜索图来理解具体思想和流程每⼀层按顺序对应⼀个物品放⼊背包（1）还是不放⼊背包（0）步骤：①⽤⼀个队列存储活结点表，初始为空② A为当前扩展结点，其⼉⼦结点B和C均为可⾏结点，将其按从左到右顺序加⼊活结点队列，并舍弃A。
③按FIFO原则，下⼀扩展结点为B，其⼉⼦结点D不可⾏，舍弃；E可⾏，加⼊。
舍弃B④ C为当前扩展结点，⼉⼦结点F、G均为可⾏结点，加⼊活结点表，舍弃C⑤扩展结点E的⼉⼦结点J不可⾏⽽舍弃；K为可⾏的叶结点，是问题的⼀个可⾏解，价值为45⑥当前活结点队列的队⾸为F, ⼉⼦结点L、M为可⾏叶结点，价值为50、25⑦ G为最后⼀个扩展结点，⼉⼦结点N、O均为可⾏叶结点，其价值为25和0⑧活结点队列为空，算法结束，其最优值为50注：活结点就是不可再进⾏扩展的节点，也就是两个⼉⼦还没有全部⽣成的节点3. 优先队列式分⽀限界法3.1 以活结点价值为优先级准则步骤：①⽤⼀个极⼤堆表⽰活结点表的优先队列，其优先级定义为活结点所获得的价值。
初始为空。
②由A开始搜索解空间树，其⼉⼦结点B、C为可⾏结点，加⼊堆中，舍弃A。
③B获得价值45，C为0. B为堆中价值最⼤元素，并成为下⼀扩展结点。
④ B的⼉⼦结点D是不可⾏结点，舍弃。
E是可⾏结点，加⼊到堆中。
舍弃B。
⑤ E的价值为45，是堆中最⼤元素，为当前扩展结点。
⑥ E的⼉⼦J是不可⾏叶结点，舍弃。
K是可⾏叶结点，为问题的⼀个可⾏解价值为45。
⑦继续扩展堆中唯⼀活结点C，直⾄存储活结点的堆为空，算法结束。
蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题【精选】
一、实验内容：分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。
注：0/1背包问题：给定种物品和一个容量为的背包，物品的重n C i 量是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装i w i v 入背包中的物品的总价值最大。
其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。
二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.蛮力法求解0/1背包问题：1）基本思想：对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。
在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。
2）代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100//最多可能物体数struct goods //物品结构体{int sign;//物品序号int w;//物品重量int p;//物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);}int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];/*蛮力法求解0/1背包问题*/int Force(int i){if(i>n-1){if(bestP<cp&&cw+a[i].w<=C){for (int k=0;k<n;k++)X[k]=cx[k];//存储最优路径bestP=cp;}return bestP;}cw=cw+a[i].w;cp=cp+a[i].p;cx[i]=1;//装入背包Force(i+1);cw=cw-a[i].w;cp=cp-a[i].p;cx[i]=0;//不装入背包Force(i+1);return bestP;}int KnapSack1(int n,goods a[],int C,int x[]){Force(0);return bestP;}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n);//输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C);//输入背包容量for (int i=0;i<n;i++)//输入物品i 的重量w 及其价值v {printf("物品%d 的重量w[%d]及其价值v[%d]:",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);//调用蛮力法求0/1背包问题printf("蛮力法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("]装入总价值%d\n",sum1);bestP=0,cp=0,cw=0;//恢复初始化}3）复杂度分析：蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为：。
回溯法、分支限界法解0-1背包问题(计算机算法设计与分析实验报告)
inti = 1;
doublebestp = 0.0;
doubleup = bound(1);
while(i !=n+ 1) {
doublewt =cw+w[i];
//检查当前扩展节点的左儿子节点
if(wt <=c) {
if(cp+p[i] > bestp) {
}
do{
System.out.println("请输入背包的容量：");
input = in.readLine().trim();
input = in.readLine().replaceAll(" ","");
}while(input.equals(""));
if(input.equals("2")){
w=newdouble[n+ 1];
for(inti = 1; i <=n; i++) {
p[i] = pp[q[i - 1].id- 1];
w[i] = ww[q[i - 1].id- 1];
}
backtrack(1);
returnbestp;
}
//回溯过程
privatevoidbacktrack(inti) {
c= cc;
n= pp.length;
Element[] q =newElement[n];
doublews = 0.0;
doubleps = 0.0;
for(inti = 0; i <n; i++) {
q[i] =newElement(i + 1, pp[i] / ww[i]);
01背包分支限定法
0—1背包问题一、实验目的学习掌握分支限定法思想。
二、实验内容用分支限定法求解0—1背包问题，并输出问题的最优解。
0—1背包问题描述如下：给定n种物品和一背包。
物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量是c，问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。
三、实验条件Jdk1.5以上四、需求分析对于给定n种物品和一背包。
在容量最大值固定的情况下，要求装入的物品价值最大化。
五、基本思想：对物品的选取与否构成一棵解树，左子树表示不装入，右表示装入，通过检索问题的解树得出最优解，并用结点上界杀死不符合要求的结点。
六、详细设计/** Bound_Branch.java** Created on 2007年6月2日, 下午6:07** To change this template, choose Tools | Template Manager* and open the template in the editor.*/package sunfa;public class Bound_Branch {static double c;static int n;static double[]w;static double[]p;static double cw;static double cp;static int []bestX;static MaxHeap heap;//上界函数bound计算节点所相应价值的上界private static double bound(int i){double cleft=c-cw;double b=cp;while(i<=n&&w[i]<=cleft){cleft-=w[i];b+=p[i];i++;}//装填剩余容量装满背包if(i<=n)b+=p[i]/w[i]*cleft;return b;}//addLiveNode将一个新的活节点插入到子集树和优先队列中private static void addLiveNode(double up,double pp,double ww,int lev,BBnode par,boolean ch){//将一个新的活节点插入到子集树和最大堆中BBnode b=new BBnode(par,ch);HeapNode node =new HeapNode(b,up,pp,ww,lev);heap.put(node);}private static double bbKnapsack(){// TODO 自动生成方法存根//优先队列式分支限界法，返回最大价值，bestx返回最优解//初始化BBnode enode=null;int i=1;double bestp=0;//当前最优值double up=bound(1);//当前上界while(i!=n+1){//非叶子节点//检查当前扩展节点的右儿子子节点double wt=cw+w[i];if(wt<=c){if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];addLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],i+1,enode,true);}up=bound(i+1);if(up>=bestp)addLiveNode(up,cp,cw,i+1,enode,false);HeapNode node =(HeapNode)heap.removeMax();enode=node.liveNode;cw=node.weight;cp=node.profit;up=node.upperProfit;i=node.level;}for(int j=n;j>0;j--){bestX[j]=(enode.leftChild)?1:0;enode=enode.parent;}return cp;}public static double knapsack(double []pp,double []ww,double cc,int []xx){ //返回最大值，bestx返回最优解c=cc;n=pp.length-1;//定义以单位重量价值排序的物品数组Element[]q=new Element[n];double ws=0.0;double ps=0.0;for(int i=1;i<=n;i++){q[i-1]=new Element(i,pp[i]/ww[i]);ps+=pp[i];ws+=ww[i];}if(ws<=c){for(int i=1;i<=n;i++)xx[i]=1;return ps;}//以单位重量排序MergeSort.mergeSort(q);//初始化数据成员p=new double[n+1];w=new double[n+1];for(int i=1;i<=n;i++){p[i]=pp[q[n-i].id];w[i]=ww[q[n-i].id];}cw=0.0;cp=0.0;bestX = new int[n+1];heap = new MaxHeap(n);double maxp = bbKnapsack();for(int i=1;i<=n;i++)xx[q[n-i].id]=bestX[i];return maxp;}public static void main(String [] args){double w[]={2,2,6,5,4};double v[]={6,3,4,5,6};double c=10;int []x = new int[5];double m = knapsack(v,w,c,x);for(int i=0;i<5;i++)System.out.print(x[i]);}}//子空间中节点类型class BBnode{BBnode parent;//父节点boolean leftChild;//左儿子节点标志BBnode(BBnode par,boolean ch){parent=par;leftChild=ch;}}class HeapNode implements Comparable{BBnode liveNode; // 活节点double upperProfit; //节点的价值上界double profit; //节点所相应的价值double weight; //节点所相应的重量int level; // 活节点在子集树中所处的层次号//构造方法public HeapNode(BBnode node, double up, double pp , double ww,int lev){ liveNode = node;upperProfit = up;profit = pp;weight = ww;level = lev;}public int compareTo(Object o) {double xup = ((HeapNode)o).upperProfit;if(upperProfit < xup)return -1;if(upperProfit == xup)return 0;elsereturn 1;}}class Element implements Comparable{int id;double d;public Element(int idd,double dd){id=idd;d=dd;}public int compareTo(Object x){double xd=((Element)x).d;if(d<xd)return -1;if(d==xd)return 0;return 1;}public boolean equals(Object x){return d==((Element)x).d;}}class MaxHeap{static HeapNode [] nodes;static int nextPlace;static int maxNumber;public MaxHeap(int n){maxNumber = (int)Math.pow((double)2,(double)n);nextPlace = 1;//下一个存放位置nodes = new HeapNode[maxNumber];}public static void put(HeapNode node){nodes[nextPlace] = node;nextPlace++;heapSort(nodes);}public static HeapNode removeMax(){HeapNode tempNode = nodes[1];nextPlace--;nodes[1] = nodes[nextPlace];heapSort(nodes);return tempNode;}private static void heapAdjust(HeapNode [] nodes,int s,int m){ HeapNode rc = nodes[s];for(int j=2*s;j<=m;j*=2){if(j<m&&nodes[j].upperProfit<nodes[j+1].upperProfit)++j;if(!(rc.upperProfit<nodes[j].upperProfit))break;nodes[s] = nodes[j];s = j;}nodes[s] = rc;}private static void heapSort(HeapNode [] nodes){for(int i=(nextPlace-1)/2;i>0;--i){heapAdjust(nodes,i,nextPlace-1);}}}主程序运行结果:。
分支限界法解决01背包问题
分⽀限界法解决01背包问题 分⽀限界法和之前讲的回溯法有⼀点相似，两者都是在问题的解的空间上搜索问题的解。
但是两者还是有⼀些区别的，回溯法是求解在解的空间中的满⾜的所有解，分⽀限界法则是求解⼀个最⼤解或最⼩解。
这样，两者在解这⼀⽅⾯还是有⼀些不同的。
之前回溯法讲了N后问题，这个问题也是对于这有多个解，但是今天讲的01背包问题是只有⼀个解的。
下⾯就讲讲分⽀限界法的基本思想。
分⽀限界法常以⼴度优先或以最⼩消耗（最⼤效益）优先的⽅式搜索问题的解空间树。
问题的解空间树是表⽰问题解空间的⼀颗有序树，常见的有⼦集树和排列树。
分⽀限界法和回溯法的区别还有⼀点，它们对于当前扩展结点所采⽤的扩展⽅式也是不相同的。
分⽀限界法中，对于每⼀个活结点只有⼀次机会成为扩展结点。
活结点⼀旦成为了扩展结点，就⼀次性产⽣其所有的⼦结点，⼦结点中，不符合要求的和⾮最优解的⼦结点将会被舍弃，剩下的⼦结点将加⼊到活结点表中。
再重复上⾯的过程，直到没有活结点表中没有结点，⾄此完成解决问题的⽬的。
分⽀限界法⼤致的思想就是上⾯的叙述，现在就可以发现，对于结点的扩展将会成为分⽀限界法的主要核⼼。
所以，分⽀限界法常见的有两种扩展结点的⽅式，1.队列式（FIFO）分⽀限界法，2.优先队列式分⽀限界法。
两种⽅法的区别就是对于活结点表中的取出结点的⽅式不同，第⼀种⽅法是先进先出的⽅式，第⼆种是按优先级取出结点的⽅式。
两中⽅法的区别下⾯也会提到。
在背包问题中还会提到⼀个⼦树上界的概念，其实就是回溯法中的剪枝函数，只不过，分⽀限界法⾥的剪枝函数改进了⼀些，剪枝函数同样也是分⽀限界法⾥⽐较重要的东西。
下⾯就讲⼀讲01背包问题的实现。
01背包问题和前⾯讲的背包问题的区别不⼤，就是01背包问题的物品不可以只放⼊部分，01背包问题的物品只能放⼊和不放⼊两个选择，这也是名字中01的原因。
其他的和背包问题相差不⼤，这⾥也不再累述。
算法的主体是⽐较容易想的，⾸先，将数据进⾏处理，这也是上⾯讲到的第⼆种取结点的⽅式（优先队列式）。
分支限界法0-1背包问题-队列式
分⽀限界法0-1背包问题-队列式⼀.分⽀限界法概述（1）分⽀限界法就是采⽤⼴度优先的策略，依次搜索活结点所有的分枝，也就额是所有的相邻结点。
在求最优解时采⽤⼀个限界函数，计算限界函数值，选择⼀个最有利的⼦节点作为扩展结点，使搜索树朝着解空间树上有最优解的分⽀推进，以便尽快找出⼀个最优解。
（2）常见的两种分⽀限界法 先进先出（FIFO）队列式:在先进先出的分⽀限界法中，⽤队列作为组织活结点表的数据结构，并按照队列先进先出的原则选择结点作为扩展结点。
优先队列（PQ）：⽤优先队列作为组织活结点表的数据结构。
⼆.0-1背包问题问题：给定n种物品和⼀背包。
物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。
问应如何选择装⼊背包的物品，使得装⼊背包中物品的总价值最⼤?#include<iostream>#include<queue>using namespace std;const int maxn=99;int n,c;int w[maxn];int v[maxn];int bestv=0;int bestx[maxn];int total=1; //解空间中的节点数累计，全局变量struct nodetype //队列中的结点类型{int no; //结点编号，从1开始int i; //当前结点在搜索空间中的层次int w; //当前结点的总重量int v; //当前结点的总价值int x[maxn]; //当前结点包含的解向量double ub; //上界};void input(){cout<<"请输⼊物品的个数："<<endl;cin>>n;cout<<"请输⼊每个物品的重量及价值(如5 4):"<<endl;for(int i = 1; i <= n; i++){cin>>w[i]>>v[i];}cout<<"请输⼊背包的容量："<<endl;cin>>c;}void bound(nodetype &e) //计算分⽀结点e的上界{int i=e.i+1; //考虑结点e的余下物品int sumw=e.w;double sumv=e.v;while((sumw+w[i]<=c)&&i<=n){sumw+=w[i];sumv+=v[i];i++;}if(i<=n) //余下物品只能部分装⼊e.ub=sumv+(c-sumw)*v[i]/w[i];else e.ub=sumv;}void enqueue(nodetype e,queue<nodetype> &qu)//结点e进队qu{if(e.i==n) //到达叶⼦节点，不在扩展对应⼀个解{if(e.v>bestv) //找到更⼤价值的解{bestv=e.v;for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=e.x[j];}}else qu.push(e); //⾮叶⼦结点进队}void bfs(){int j;nodetype e,e1,e2;queue<nodetype> qu;e.i=0;e.w=0;e.v=0;e.no=total++;for(j=1;j<=n;j++)e.x[j]=0;bound(e);qu.push(e);while(!qu.empty()){e=qu.front();qu.pop(); //出队结点eif(e.w+w[e.i+1]<=c) //剪枝，检查左孩⼦结点{e1.no=total++; //建⽴左孩⼦结点e1.i=e.i+1;e1.w=e.w+w[e1.i];e1.v=e.v+v[e1.i];for(j=1;j<=n;j++)e1.x[j]=e.x[j];e1.x[e1.i]=1;bound(e1); //求左孩⼦的上界enqueue(e1,qu); //左孩⼦结点进队}e2.no=total++;e2.i=e.i+1;e2.w=e.w;e2.v=e.v;for(j=1;j<=n;j++)e2.x[j]=e.x[j];e2.x[e2.i]=0;bound(e2);if(e2.ub>bestv) //若右孩⼦结点可⾏，则进队，否则被剪枝 enqueue(e2,qu);}}void output(){cout<<"最优值是:"<<bestv<<endl;cout<<"(";for(int i=1;i<=n;i++)cout<<bestx[i]<<"";cout<<")";}int main(){input();bfs();output();return0;}。
求解0—1背包问题算法研究
个父结点 ， 使这个父结点成为活结点 ， 然后再向下扩展 。
当要求解 出所有子集 时 ， 回溯 法 最 终 要 回 溯 到 根 结 点 ， 并
时分配算法［ Ｊ ］ ． 计 算 机 研 究 与 发展 ， ２ ０ ０ ８ ， ４ ５ （ １ ） ： ３ ４ — ４ ０ ．
［ ６ ］ ＮＩ Ｓ ＨＥ Ｅ ＴＨ Ｓ ＨＲＩ ＶＡ Ｓ Ｔ ＡＶＡ， ＣＨＩ Ｒ ＡＮＪ Ｅ Ｅ Ｂ Ｂ ＵＲＡＧ ＯＨＡＩ Ｎ．
一
包， 使 得 背 包 中 的物 品 总价 值 最 大 。 每个 物 品 只 有 两 种 选
择， 放 进背包或者不放进背包 ， 即， ２ ７ 一 １或 者 ｚ 一０， 也 即
在满足 ∑
最大 。
≤Ｃ ， ｘ ． ∈［ ｏ ， １ ］ 的情况下， Ｗ 一［ ２ ， ３ ， ４ ， ５ ］ ， Ｖ一 ［ ３ ， ４ ， ５ ， ６ ］ ， Ｃ－ ＿５ ， 最 优解为 Ｘ 一 ［ １ ， １ ， ０ ， Ｏ ］ ， 最优值 为 ７ 。
中图分类号 ： ＴＰ ３ １ ２
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： ｌ ６ ７ ２ — ７ ８ ０ ０ （ ２ Ｏ １ ３ ） ０ ０ ８ — ０ ０ ５ ９ － ０ ３
１ ０ — １背 包 问题 介绍
给定 ｎ 个 物品和一个背包 ， 每 个 物 品 的重 量 为 叫 ， 价
值 为 ， 背 包 的 总容 量 为 Ｃ。采 用 一 种 方 法 将 物 品 放 人 背
２ ０ ０ ０： Ｉ 一 １ ０ ．
［ ７ ］ 秦拯 ， 李娜 ， 张 大方， 等． Ｃ ｈ ｉ — ｓ ｑ ｕ ａ ｒ ｅ Ｄｉ ｓ ｔ ａ ｎ ｃ ｅ在 协 议 异 常 检 测 中 的
Ｉ ＣＨ ＥＲＳ．Ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇＤａ ｔ ａ—
基于0-1背包问题的两种算法
回溯 法有 “ 用 解 题 法 ” 称 。用 它 可 以 系统 通 之
地搜 索 问题 的所 有解 。 回溯法 是一个 既带有 系统性 又 带有跳跃 性 的搜 索算 法 。回溯法 的求解 目标 是找 出解 空 间树 上满 足 约束 条 件 的所 有解 ， 深 度优 按 先 的策略 ， 根 结点 出发 搜索 。算 法 搜 索 至 的 从 任一 结点 时 ， 先判 断 该 结 点是 否包 含 问题 的解 。如
Ｘ） ∈Ｉ，｝ ≤ｉ ， ｎ， ｏ１， １ ≤ 使得∑ｗ ； ， ｉ ≤Ｃ 而且
ｌ： 】
泛 的应 用 ， 多 实 际 问 题 都 可 转 换 为 ０—１背 包 问 很
题 ， 效解决 ０—１ 有 背包 问题 具有重 要意 义 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ；１ 三
／ ） 达到最大 。 ｉ Ｘ 因此 ， ０—１ 背包 问题是一个特殊 的 整数 规划问题 。
摘
要 ：０—１背 包问题 是组 合优化领 域 里的 一个典 型 问题 ，是属 于 易于描述 却难 于解决 的 Ｎ Ｐ难
题 ，有效 解决 ０—１背 包问题 具有 重要 意义 。首先给 出 了０—１ 包问题 的描 述 ，然后 详细介 绍 了 背
回溯法和分 支限界 法的算 法思 想和搜 索策略 ，并 对 两种算法进 行 了比较和 分析 。
（ ． ｃ ｏｌ ｆＣ ｍｐ ｔ ｃ ｎ ｅ Ｙａ ’ ｎＵ ｉｅｓｙ， ａ ’ ｎ７ ６０ ， ｈｎ ； １Ｓ ｈ ｏ ｏ ｏ ｕｅ Ｓ ｉ ｃ ， ｈ ａ ｎｖ ｒｉ Ｙ ｎ ａ １０ ０ Ｃ ｉａ ｒ ｅ ｔ
２ Ｓ ｆ ｒ ｅｅ ｒ ｈ ａ ｄ Ｄ ｖ ｌｐ ｎ ｅ ｔｒ Ｙ ’ ｉｖ ｒｉ ， ａ ’ ｎ ７ ６ ０ ， ｈｎ ） ． ｏ ｗａ ｅＲ ｓａ ｃ ｎ ｅ ｅｏ ｍｅ ｔ ｎ ｅ ， ａ ａ Ｕｎ ｅ ｓ ｔ Ｃ ｎ ｎ ｙ ｔ Ｙ ｎ ａ １ ０ ０ Ｃ ｉ ａ
背包问题
（0-1）背包问题的解法小结1．动态规划法递推关系：– 考虑一个由前i 个物品(1≤i ≤n )定义的实例，物品的重量分别为w 1,…,w i ，价值分别为v 1，…，v i ，背包的承重量为j (1≤j ≤W )。
设V [I,j]为该实例的最优解的物品总价值– 分成两类子集：• 根据定义，在不包括第i 个物品的子集中，最优子集的价值是V [i -1,j ]• 在包括第i 个物品的子集中(因此，j －w ≥0)，最优子集是由该物品和前i -1个物品中能够放进承重量为i －w j 的背包的最优子集组成。
这种最忧子集的总价值等于v i +V [i -1,j -w i ].0]0,[时，0 当0;][0,时，0初始条件：当],1[}],1[],,1[max{],[=≥=≥<≥⎩⎨⎧-+---=i V i j V j w j w j j i V v w j i V j i V j i V i i i i以记忆功能为基础的算法：用自顶向下的方式对给定的问题求解，另外维护一个类似自底向上动态规划算法使用的表格。
一开始的时候，用一种“null”符号创始化表中所有的单元，用来表明它们还没有被计算过。
然后，一旦需要计算一个新的值，该方法先检查表中相应的单元：如果该单元不是“null ”，它就简单地从表中取值；否则，就使用递归调用进行计算，然后把返回的结果记录在表中。
算法 MFKnapsack(I,j)//对背包问题实现记忆功能方法//输入：一个非负整数i 指出先考虑的物品数量，一个非负整数j 指出了背包的承重量 //输出：前i 个物品的最伏可行子集的价值//注意：我们把输入数组Weights[1..n],Values[1..n]和表格V[0..n,0..W]作为全局变量，除了行0和列0用0初始化以外，V 的所有单元都用-1做初始化。
if V[I,j]<01if j<Weights[i]value ←MFKnapsack(i-1,j)elsevalue ←max(MFKnapsack(i-1),j), Value[i]+MFKnapsack(i-1,j-eights[i]))V[I,j]←valuereturn V[I,j]2．贪心算法1) 背包问题基本步骤：首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi ，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。
分支限界法解决背包问题的判定树
分支限界法解决背包问题的判定树引言背包问题是一个经典的组合优化问题，常见于计算机科学和运筹学领域。
在给定的一组物品中，每个物品有自己的重量和价值，背包有一定的容量限制。
目标是找到一个最优的组合，使得背包中物品的总价值最大化，同时不超过背包的容量。
分支限界法是解决背包问题的一种常用算法。
它通过构建一个判定树来搜索可能的解空间，并剪枝以提高搜索效率。
本文将详细介绍分支限界法解决背包问题的判定树。
二级标题1：背包问题的定义背包问题可以用以下方式进行定义：1.给定一组物品，每个物品有自己的重量和价值。
2.给定一个背包的容量限制。
3.目标是找到一个最优的物品组合，使得背包中物品的总价值最大化，同时不超过背包的容量。
二级标题2：分支限界法的基本思想分支限界法是一种基于回溯法的搜索算法，它通过构建一个判定树来搜索可能的解空间。
其基本思想可以总结如下：1.将问题抽象成一个树结构，树的每个节点表示一个状态，树的分支表示状态的扩展。
2.使用优先队列来存储待扩展的节点，优先队列按照某个评估函数对节点进行排序。
3.从优先队列中选择评估函数最优的节点进行扩展，生成新的节点。
4.对新生成的节点进行剪枝操作，去除不可能达到最优解的节点。
5.重复步骤3和步骤4，直到找到一个最优解或者所有节点都被扩展完。
分支限界法通过构建一个判定树来搜索可能的解空间。
判定树的每个节点表示一个状态，节点的分支表示状态的扩展。
构建判定树的过程可以分为以下几个步骤：1.将初始状态作为根节点，将根节点加入优先队列。
2.从优先队列中选择评估函数最优的节点进行扩展。
3.对选中的节点进行扩展，生成新的节点。
4.对新生成的节点进行剪枝操作，去除不可能达到最优解的节点。
5.将剪枝后的节点加入优先队列。
6.重复步骤2到步骤5，直到找到一个最优解或者所有节点都被扩展完。
三级标题1：优先队列的选择分支限界法中使用优先队列来存储待扩展的节点，并按照某个评估函数对节点进行排序。
旅行售货员问题（分支限界法）
旅⾏售货员问题（分⽀限界法）⼀、实验内容运⽤分⽀限界法解决0-1背包问题（或者旅⾏售货员问题、或者装载问题、或者批处理作业调度）使⽤优先队列式分⽀限界法来求解旅⾏售货员问题⼆、所⽤算法基本思想及复杂度分析1.算法基本思想分⽀限界法常以⼴度优先或以最⼩耗费有限的⽅式搜索问题的解空间树。
问题的解空间树是表⽰问题解空间的⼀棵有序树，常见的有⼦集树和排列树。
在搜索问题的解空间树时，分⽀限界法和回溯法的主要区别在于它们对当前扩展节点所采⽤的扩展⽅式不同。
在分⽀限界法中，每⼀个活结点只有⼀次机会成为扩展节点。
活结点⼀旦成为扩展节点，就⼀次性产⽣其所有⼉⼦节点。
在这些⼉⼦节点中，导致不可⾏解或导致⾮最优解的⼉⼦节点被舍弃，其余⼉⼦节点被加⼊活结点表中。
此后，从活结点表中取下⼀节点为当前扩展节点。
并重复上述节点扩展过程。
这个过程移⾄持续到找到所需的解或活结点表为空为⽌。
从活结点表中选择下⼀扩展节点的不同⽅式导致不同的分⽀限界法。
最常见的有以下两种⽅式：（1）队列式分⽀限界法队列式分⽀限界法将活结点表组织成⼀个队列，并按队列的先进先出原则选取下⼀个节点为当前扩展节点。
（2）优先队列式分⽀限界法优先队列式的分⽀限界法将活结点表组织成⼀个优先队列，并按优先队列中规定的节点优先级选取优先级最⾼的下⼀个节点成为当前扩展节点。
2.问题分析及算法设计问题分析：（1）解旅⾏售货员问题的优先队列式分⽀限界法⽤优先队列存储活结点表。
（2）活结点m在优先队列中的优先级定义为：活结点m对应的⼦树费⽤下界lcost。
（3）lcost=cc+rcost，其中，cc为当前结点费⽤，rcost为当前顶点最⼩出边费⽤加上剩余所有顶点的最⼩出边费⽤和。
（4）优先队列中优先级最⼤的活结点成为下⼀个扩展结点。
（5）排列树中叶结点所相应的载重量与其优先级（下界值）相同，即：叶结点所相应的回路的费⽤(bestc)等于⼦树费⽤下界lcost的值。
算法设计：（1）要找最⼩费⽤旅⾏售货员回路，选⽤最⼩堆表⽰活结点优先队列。
实验 4 用分支限界法实现0-1背包问题
实验四用分支限界法实现0-1背包问题一．实验目的1.熟悉分支限界法的基本原理。
2.通过本次实验加深对分支限界法的理解。
??二．实验内容及要求};double MaxBound(int i);double Knap();void AddLiveNode(double up,double cp,double cw,bool ch,int level);//up是价值上界，cp是相应的价值，cw是该结点所相应的重量，ch是tureorfalsestack<HeapNode>High;//最大队Highdouble w[N],p[N];//把物品重量和价值定义为双精度浮点数double cw,cp,c;//cw为当前重量，cp为当前价值，定义背包容量为cint n;//货物数量为int main(){cout<<"请输入背包容量："<<endl;cin>>c;{double cleft=c-cw;//剩余容量double b=cp;//价值上界while(k<=n&&w[k]<=cleft)//以物品单位重量价值递减装填剩余容量{cleft-=w[k];b+=p[k];k++;}if(k<=n)b+=p[k]/w[k]*cleft;//装填剩余容量装满背包return b;cw=cp=0;double bestp=0;//best为当前最优值double up=MaxBound(1);//价值上界//搜索子集空间树while(1)//非叶子结点{double wt=cw+w[i];if(wt<=c)//左儿子结点为可行结点{if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];AddLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],true,i+1);。
分支限界法-01背包问题
分⽀限界法-01背包问题1、分⽀限界法介绍分⽀限界法类似于，也是在问题的解空间上搜索问题解的算法。
⼀般情况下，分⽀限界法与回溯法的求解⽬标不同。
回溯法的求解⽬标是找出解空间中满⾜约束条件的所有解；⽽分⽀限界法的求解⽬标则是找出满⾜约束条件的⼀个解，或是在满⾜约束条件的解中找出使某⼀⽬标函数值达到极⼤或极⼩的解，即在某种意义下的最优解。
由于求解⽬标不同，导致分⽀限界法与回溯法对解空间的搜索⽅式也不相同。
回溯法以深度优先的⽅式搜索解空间，⽽分⽀限界法则以⼴度优先或以最⼩耗费优先的⽅式搜索解空间。
分⽀限界法的搜索策略是，在扩展结点处，先⽣成其所有的⼉⼦结点(分⽀)，然后再从当前的活结点表中选择下⼀扩展结点。
为了有效地选择下⼀扩展结点，加速搜索的进程，在每⼀个活结点处，计算⼀个函数值(限界)，并根据函数值，从当前活结点表中选择⼀个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分⽀推进，以便尽快地找出⼀个最优解。
这种⽅式称为分⽀限界法。
⼈们已经⽤分⽀限界法解决了⼤量离散最优化的问题。
2、常见的两种分⽀限界法1. 队列式（FIFO）分⽀限界法：按照先进先出原则选取下⼀个节点为扩展节点。
活结点表是先进先出队列。
LIFO分⽀限界法：活结点表是堆栈。
2. LC（least cost）分⽀限界法（优先队列式分⽀限界法）：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最⾼的节点成为当前扩展节点。
活结点表是优先权队列，LC分⽀限界法将选取具有最⾼优先级的活结点出队列，成为新的E-结点。
FIFO分⽀限界法搜索策略：§⼀开始，根结点是唯⼀的活结点，根结点⼊队。
§从活结点队中取出根结点后，作为当前扩展结点。
§对当前扩展结点，先从左到右地产⽣它的所有⼉⼦，⽤约束条件检查，把所有满⾜约束函数的⼉⼦加⼊活结点队列中。
§再从活结点表中取出队⾸结点（队中最先进来的结点）为当前扩展结点，……，直到找到⼀个解或活结点队列为空为⽌。
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分支限界法解01背包问题学院：网研院姓名：XXX 学号：2013XXXXXX 一、分支限界法原理分支限界法类似于回溯法，也是在问题的解空间上搜索问题解的算法。
一般情况下，分支限界法与回溯法的求解目标不同。
回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的所有解；而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解。
由于求解目标不同，导致分支限界法与回溯法对解空间的搜索方式也不相同。
回溯法以深度优先的方式搜索解空间，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间。
分支限界法的搜索策略是，在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点(分支)，然后再从当前的活结点表中选择下一扩展结点。
为了有效地选择下一扩展结点，加速搜索的进程，在每一个活结点处，计算一个函数值(限界)，并根据函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。
常见的分支限界法有如下两种：队列式（FIFO）分支限界法：按照先进先出原则选取下一个节点为扩展节点。
活结点表是先进先出队列。
FIFO分支限界法搜索策略：◆一开始，根结点是唯一的活结点，根结点入队。
◆从活结点队中取出根结点后，作为当前扩展结点。
◆对当前扩展结点，先从左到右地产生它的所有儿子，用约束条件检查，把所有满足约束函数的儿子加入活结点队列中。
◆再从活结点表中取出队首结点（队中最先进来的结点）为当前扩展结点，重复上述过程，直到找到一个解或活结点队列为空为止。
LC（least cost）分支限界法（优先队列式分支限界法）：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。
活结点表是优先权队列，LC分支限界法将选取具有最高优先级的活结点出队列，成为新的扩展节点。
优先队列式分支限界法搜索策略：◆对每一活结点计算一个优先级（某些信息的函数值）；◆根据这些优先级从当前活结点表中优先选择一个优先级最高（最有利）的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间树上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。
◆再从活结点表中下一个优先级别最高的结点为当前扩展结点，重复上述过程，直到找到一个解或活结点队列为空为止。
二、01背包问题简介01背包问题假设有一个容量为c的背包，有n件物品，每件物品有重量w和价值v，求解怎样往背包里装物品能够在不超出背包容量c的情况下获得最大价值（本实验中物品的w和v都是大于0的实数，可以是整数也可以是浮点数）。
三、FIFO分支限界法解01背包问题1.算法●输入背包容量capacity、物品数量count、物品的重量数组weights和物品的价值数组values，根据物品单位价值（value/weight）从大到小构造一个新数组，数组元素(OriginNode)有weight、value和valuePerWeight属性，根据该排序数组构造问题的解空间树（完全二叉树）；●定义一个FIFO队列(队列元素是节点，见下文)，队列可以在队尾插入节点和在队头删除节点；●定义节点（ArrayNode），节点是问题的解空间树上的点，它的属性有当前价值currentValue、当前重量currentWeight、上限价值upboundValue、节点对应的选择情况nodeChoses（0表示不选，1表示选，如“1 0 1”表示该节点选择了物品1和物品3，没有选择物品2）和节点在问题解空间树上的层次nodeCount(0 ~ n)；●定义一个计算节点价值上限的函数upBound()，upBound函数的计算规章是：价值上限=节点现有价值+背包剩余容量*剩余物品的最大单位重量价值●定义一个全局的currentMaxValue记录程序目前取得的最大价值；●将一个空节点推入队列，空节点的当前价值、当前重量、节点层次均为0，全局的currentMaxValue初始化为0，使用upBound函数计算几点的价值上限并使用该属性初始化节点的upboundValue属性；●当队列不为空时，一直重复下述操作：从队首取得头节点，如果头节点的上限价值upboundValue比全局的currentMaxValue要大，则表明头节点的子节点中可能有最优节点，取头节点在问题的解空间树上的左子节点和右子节点，若左子节点和右子节点的重量没有超出背包容量且它们的upboundValue大于全局的currentMaxValue，将该子节点插入队尾，否则不插入，同时若子节点的当前价值currentValue大于全局的currentMaxValue，更新currentMaxValue。
如果头结点的上限价值upboundValue比全局的currentMaxValue要小，则表明头结点及其子节点不可能有最优节点，将其舍弃。
若头结点的当前价值currentValue正好等于全局的currentMaxValue且头结点的层次nodeCount等于物品数量n，则表明头结点是问题的解空间树上的叶子，该头结点可能就是最优节点，将其存储在全局的currentMaxNode属性中(随着队列遍历的进行当前存起来的节点仍可能被更优的节点覆盖)。
当队列为空时，表明所有的可能情况已被处理，此时全局的currentMaxNode属性指向了最优的节点，该节点的currentValue属性即为背包问题的最优解。
2.算法复杂度在最坏的情况下所有的节点都入队，最后一个节点才是最优解，这种情况下时间复杂度是指数阶。
最好的情况是只装单位价值最大的物品，其余分支都不符合条件被截去这种情况下时间复杂度是常数时间。
但分支限界法本质上还是穷举法，平均时间复杂度仍是指数阶。
空间复杂度的分析类似时间复杂度，也是指数阶。
3.可能的改进在本次实验中，即便取得了可能是最优解的问题空间树上的叶子节点的时候仍然会遍历其它节点以保证得到的是最优解，当对正确率的要求不是很高的时候，可以在取得第一个可能是最优解的节点时候便停止算法。
本次实验使用的是FIFO分支限界法，若使用优先队列式分支限界法（LC），在空间复杂度上的性能肯定会得到改善，若不要求结果十分准确，使用优先队列取得第一个可能节点时候便停止算法，则在时间复杂度上的性能应该也能优于FIFO分支限界（优先队列采取的是深度遍历，能更快到达叶子节点）。
四、算法实现框架本次实验使用的语言是java，OriginNode类用来按价值重量比构造排序数组，sort方法用于数组排序（出于便于实现的考虑使用了冒泡排序，改成快速排序可获得更好的性能）。
ArrayNode类用于构造问题的解空间树上的节点。
FIFOBBKnapsack类是程序的主类，定义了currentMaxValue等属性，起全局变量的作用供节点共同维护，upBound方法用于计算节点价值上限。
在FIFOBBKnapsack类的main方法里定义了分支限界法的逻辑，截取主要部分如下。
五、总结在本科的时候曾经做过背包问题的项目，所以本次实验我选择了01背包问题该题目。
但在做本次实验之前，我对分支限界法的原理并不是很理解，经过查看课件及网上查找资料，同时结合自己对回溯法等的理解，我对分支限界法有了一个较好的理解，知道了两种主要的分支限界法及分支限界法如何应用于解01背包问题。
在查找资料的过程中，我查看了许多网上的别人的代码实现，但大多都存在着问题或者混淆使用了两种分支限界法，最后通过参考别人的部分代码以及结合自己对FIFO分支限界法的理解，使用了java语言完成了该实验。
通过本次试验，我基本上掌握了分支限界法解0-1背包问题的原理，同时锻炼了自己动手编写及调试代码的能力，收获良多。
程序运行示例：import java.util.LinkedList;import java.util.Scanner;public class FIFOBBKnapsack {int capacity;int count;float[] weights;float[] values;OriginNode[] originNodes;float currentMaxValue;ArrayNode currentMaxNode;private float upBound(ArrayNode node) {float weightLeft = this.capacity - node.currentWeight;float bound = node.currentValue;int t = node.nodeCount;while (t < this.count && originNodes[t].weight <= weightLeft) {weightLeft -= originNodes[t].weight;bound += originNodes[t].value;t++;}if (t < this.count)bound += (originNodes[t].value / originNodes[t].weight)* weightLeft;return bound;}public static void main(String[] args) {while (true) {Scanner in = new Scanner(System.in);FIFOBBKnapsack knapsack = new FIFOBBKnapsack();System.out.println("******FIFO分支限界法解01背包问题开始******");// 输入背包容量System.out.println("---请输入背包容量（正整数）并回车---");knapsack.capacity = in.nextInt();// 输入物品数量System.out.println("---请输入物品数量（正整数）并回车---");knapsack.count = in.nextInt();knapsack.weights = new float[knapsack.count];knapsack.values = new float[knapsack.count];// 构造物品重量数组System.out.println("---请输入物品重量数组（空格隔开）并回车---");for (int i = 0; i < knapsack.count; i++) {knapsack.weights[i] = in.nextFloat();}// 构造物品价值数组System.out.println("---请输入物品价值数组（空格隔开）并回车---");for (int i = 0; i < knapsack.count; i++) {knapsack.values[i] = in.nextFloat();}// 排序knapsack.originNodes = new OriginNode[knapsack.count];for (int i = 0; i < knapsack.count; i++) {knapsack.originNodes[i] = new OriginNode(knapsack.weights[i], knapsack.values[i]);}OriginNode.sort(knapsack.originNodes);// FIFO队列LinkedList<ArrayNode> arrayNodeList = new LinkedList<ArrayNode>(); ArrayNode headNode = new ArrayNode(0, 0, "", 0);headNode.upboundValue = knapsack.upBound(headNode); knapsack.currentMaxValue = 0;knapsack.currentMaxNode = null;arrayNodeList.push(headNode);while (!arrayNodeList.isEmpty()) {ArrayNode firstNode = arrayNodeList.pop();if (firstNode.nodeCount == knapsack.count&& firstNode.currentValue == knapsack.currentMaxValue) { knapsack.currentMaxNode = firstNode;continue;}if (firstNode.upboundValue >= knapsack.currentMaxValue&& firstNode.nodeCount < knapsack.count) {ArrayNode leftNode = new ArrayNode(firstNode.currentWeight+knapsack.originNodes[firstNode.nodeCount].weight,firstNode.currentValue+knapsack.originNodes[firstNode.nodeCount].value,firstNode.nodeChoices + " 1",firstNode.nodeCount + 1);leftNode.upboundValue = knapsack.upBound(leftNode);if (leftNode.currentWeight <= knapsack.capacity&& leftNode.upboundValue > knapsack.currentMaxValue) {arrayNodeList.add(leftNode);if (leftNode.currentValue > knapsack.currentMaxValue) {knapsack.currentMaxValue = leftNode.currentValue;}}ArrayNode rightNode = new ArrayNode(firstNode.currentWeight, firstNode.currentValue,firstNode.nodeChoices + " 0",firstNode.nodeCount + 1);rightNode.upboundValue = knapsack.upBound(rightNode);if (rightNode.upboundValue >= knapsack.currentMaxValue) {arrayNodeList.add(rightNode);}}}System.out.println("背包能装下的最大价值是："+ knapsack.currentMaxNode.currentValue + " 此时背包装的重量是："+ knapsack.currentMaxNode.currentWeight);System.out.println("物品的选择情况是：");System.out.print("物品重量：");for (int i = 0; i < knapsack.count; i++) {System.out.print(knapsack.originNodes[i].weight + " ");}System.out.println("");System.out.print("物品价值：");for (int i = 0; i < knapsack.count; i++) {System.out.print(knapsack.originNodes[i].value + " ");}System.out.println("");System.out.print("选择情况（0表示不选1表示选）：");System.out.println(knapsack.currentMaxNode.nodeChoices);}}}// 物品的重量一定不为0，价值可以是0class OriginNode {float weight;float value;float valuePerWeight;public OriginNode(float weight, float value) {this.weight = weight;this.value = value;this.valuePerWeight = value / weight;}// 冒泡排序将节点按照单位价值从大到小排序public static void sort(OriginNode[] nodes) {OriginNode tmp = null;for (int i = 0; i < nodes.length; i++) {for (int j = i + 1; j < nodes.length; j++) {if (nodes[j].valuePerWeight > nodes[i].valuePerWeight) {tmp = nodes[i];nodes[i] = nodes[j];nodes[j] = tmp;}}}}}class ArrayNode {float currentWeight;float currentValue;float upboundValue;String nodeChoices;int nodeCount;public ArrayNode(float currentWeight, float currentValue, String nodeChoices, int nodeCount) {this.currentWeight = currentWeight;this.currentValue = currentValue;this.nodeChoices = nodeChoices;this.nodeCount = nodeCount;}}。