2019-2020学年福建省莆田一中高一下学期期中数学试题(解析版)

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福建省莆田一中2019-2020学年高一(下)期中数学试题(解析版)

福建省莆田一中2019-2020学年高一（下）期中数学试题一、单选题1. 若，则下列说法正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则2. 已知集合，，则()A. B. C. D.3. 在中，若，，则A. B. C. D.4. 在数列中，，，且，则()A.22B.−22C.16D.−165. 在中，若，则是( )A.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.直角三角形或钝角三角形6. 若x，y满足则x+2y的最大值为A.1B.3C.5D.97. 在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为()A.2B.C.3D.8. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是()A. B.C. D.9. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是()A. B.C. D.10. 已知数列的前项和为，且，，则()A. B. C. D.11. 设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为()A.1009B.1010C.1011D.101212. 在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为()A. B. C. D.二、填空题13 若正数满足，则的最小值是________.14 若不等式对一切恒成立，则的最小值是________．15 在内角的对边满足，则的最小值为________.16 设数列的前项和为，若，且，则________.三、解答题17 设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.（1）求B的大小．（2）若，，求b.18 已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列中，，，求的前项和.19 已知数列的前项和为，且，. （1）求证：为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.20如图，在四边形中，，且，，.（1）求的面积；（2）若，求的长.21 如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB=ykm，并在公路同侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH 和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60o．（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？22 已知数列的前项和为，，数列满足，点在直线上.（1）求数列，的通项和；（2）令，求数列的前项和；（3）若，求对所有的正整数都有成立的的范围.参考答案与试题解析福建省莆田一中2019-2020学年高一（下）期中数学试题一、单选题1.【答案】D【考点】基本不等式【解析】代入特殊值可探究A．B,C三个选项是否正确，通过作差法得a3−b3=(a−b)[(a+12b)2+34b2]，结合已知条件，即可判断a3,b3的大小关系．【解答】A：例如当a=0,b=−1,c=0,d=−1a>b,c>d成立，但是ac>bd不成立，故A错误B：当c=0时，显然ac2>bc2不成立，故本选项说法不正确；C：当a=−2,b=−1时，a<b<0成立，但−12=1a>1b=−1，故C错误．D:a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)(a+12b)2+34b2]，因为a>b所以(a−b)>0，又[(a+12b)2+34b2]>0，所以a3−b3>0，即a3>b3故选：D．2.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法【解析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】由B中不等式变形得：(x−3)(x+1)≤0解得：−1<x<3，即B=(−1,3)A={−2,−1,0,1,2,3}∴A∩B={0,1,2}故选：B．3.【答案】A【考点】正弦定理解三角形【解析】由sin C=2sin A利用正弦定理可得|AB=2BC，结合BC=√5可得结果．【解答】利用正弦定理化简sin C=2sin A，得：AB=2BCBC=√5AB=2√5，故选A．4.【答案】C【考点】数列递推式【解析】由数列的递推关系，带入a1,a2，即可求出a3，再将a2,a3带入，即可求出a4【解答】令n=2，则a3+2a2+a1=0，又a1=2a2=4，所以a3=−10；再令n=3，则a4+2a3+a2=0，所以a4=16，故选C5.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】由sin(A−B)cos B+cos(A−B)sin B利用两角和的正弦公式，得到sin A=1，可得A=π2，从而可得结果．详解：△ABC中，若sin(A−B)cos B+cos(A−B)sin B≥1则sin[(A−B)+B]=sin A≥1∴sin A=1A=π2，故三角形是直角三角形，故选B．【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】二元一次不等式表示的区域求线性目标函数的最值【解析】试题分析：如图，画出可行域，z =x +2y 表示斜率为−12的一组平行线，当z =x +2y 过点C (3,3)时，目标函数取得最大值z max =3+2×3=9，故选D ．【解答】此题暂无解答 7.【答案】 A【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】由等差中项的性质可得6a 5=a 5+a,，又{a n }为等比数列，所以6a 1q 4=a 1q 5+a 1a 5，化简整理可求出q 的值．【解答】由题意知，又{a n }为正项等比数列，所以6a 1q 4=a 1q 3+a 1q 5，且q >0，所以q 2+q −6=0 所以q =2或q =−3（舍），故选A 8.【答案】 A【考点】一元二次不等式与一元二次方程一元二次不等式的解法【解析】根据不等式的解集可得不等式对应的方程的解，从而可求出a,b 的值，故不等式x 2−bx −a <0即为x 2−5x +6<0，从而可求其解，从而得到正确的选项．【解答】…不等式ax 2−bx −1≥0的解集是[−12,−13]x =−12,x =−13是方程ax 2−bx −1=0的两根， ∴ {ba =−12+(−13)=−56−1a =−12×(−13)=16，解得{a =−6b =5 …不等式x 2−bx −a <0为x 2−5x +6<0解得2<x <3…不等式的解集为(2,3) 故选：A ． 9.【答案】 D【考点】基本不等式【解析】试题分析：x <0时，y =x +1x ≤−2，故A 错；0<x ≥π2，∴ 0≤cos x <1，∴ y =cos x +1cos x ≥2中等号不成立，故B 错； √x 2+2≥2∴ y =√x 2+2√x 2+2≥2中等号也取不到，故C 错；故选D ．【解答】此题暂无解答 10.【答案】 A【考点】等比数列由递推关系式求通项公式【解析】先由已知数列递推公式可得a n+1n+2=2⋅ann+1，得到是以1为首项，以2为公比的等比数列，求出该等比数列的通项公式，即能求得a n 【解答】解：a n+1=n+2n S n (n ∈N ast )nn+2a n+1=S n ，⑩当n ≥2时，n−1n+1a n =S n−1，②①-②有nn+2a n+1−n−1n+1a n=a n，化简得a n−1n+2=2⋅a nn+1(n≥2)另外，n=时a2=1+21S1=3a1=6，故a23=2⋅a12，也符合上式，故是以a12=1为首项，以2为公比的等比数列，a nn+1=2n−1，故a n=(n+1)⋅2n−1故选：A．11.【答案】C【考点】数列与函数最值问题【解析】对任意正整数口，都有|a n|≥|a k|，a，为数列{a n}中的最小的正数项或最大的负数项，根据已知结合前》项和公式，即可得出结论．【解答】a1019>0,a116−a1111>00|a n||a111，所以对任意正整数口，都有|a n|≥|a k|则k的值为1011故选：C．12.【答案】B【考点】正弦定理基本不等式在最值问题中的应用解三角形【解析】根据余弦定理得到c=4b cos A，再根据正弦定理得到sin A cos B=3sin B cos A，故tan A=3tan Btan A tan B⋅tan C −6tan A=34(3tan B−53tan B)，计算得到答案【解答】由余弦定理及a2+2ab cos C=3b2可得a2+d2−b2−c2=3b2即2a2−b2=b2+c2，得2a2−b2=a2−2bc cos A，整理得a2=b2+2bc cos A ．a2=b2+c2−2bc cos A，b22+2b cos A=b2+c2−2bc cos A，得c=4b cos A 由正弦定理得sin C=4sin B cos A，又sin C=sin(A+B)∴sin(A+B)=4sin B cos A 整理得sin A cos B=3sin B cos A易知在锐角三角形ABC中cos A≠0cos B≠0,∴tan A=3tan B，且tan B>0：tan A tan B⋅tan C −6tan A=3(3tan2B−1)4tan B+2tan B=34(3tan B−53tan B)≥34×2√5=3√52当且仅当tan B=√53时等号成立．故选：B．二、填空题13【答案】5【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】试题分析：∵x+3y=5xy,x>0,y>0,∴15y+35x=13x+4y=(3x+4y)(15y+35x)=135+3x5y+12y5x≥135+2√3x5y⋅12y5x=5当且仅当3x5y=12y5x，即x=2y=1时取等号．14【答案】−2【考点】基本不等式不等式的基本性质不等式恒成立问题【解析】分离参数，将问题转化为求函【解答】不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,12]加加,最大值的问题，则问题得解．等价于a≥−x−1x对于一切x∈(0,12]成立．设f(x)=−x−1−2，则a≥f(x)minx因为函数f(x)在区间(0,12]上是增函数，所以f(x)加=f(12)=−52，所以a≥−52，所以α的最小值为−52故答案为：−5215【答案】________、√-,3【考点】基本不等式解三角形【解析】利用余弦定理结合基本不等式求解即可．【解答】根据题意，由a2+2b2=3c2得：c2=a2+2b23由余弦定理得cos C=a 2+b2−c22ab=a2+b2−a2+2b232ab=2a2+b26ab≥2√2ab6ab=√23当且仅当2a2=b，即b=√2a时取等号故答案为√2316【答案】—2020【考点】等差数列的通项公式【解析】用a n+1=S n+1−S n，代入已知等式，得S n+1−S n=S n+1⋅S n，变形可得1S n+1−1S n=−1，说明是等差数列，求其通项公式，可得1S2018的值．【解答】∵a n+1=S n+1−S n,∴1S n (1S n−1)=1a n+1=1S n+1−S n，整理可得S n−1−S n=S n+1⋅S n则，即1S n+1−1S n=−1所以，是以−1为公差的等差数列，又1S1=1a1=−21 S n =−2+(n−1)⋅(−1)=−(n+1)，则1S2019=−2020故I加加！本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．三、解答题17【答案】（1）B一（2）b=√7【考点】正弦定理解三角形【解析】（1）由正弦定理，可得sin A=2sin B sin A，进而可求出sin B和角B；（2）利用余弦定理，可得b2=a2+c2−2ac cos B，即可求出b．【解答】（1）由a=2b sin A，得sin A=2sin B sin A因为sin A≠0，所以sin B=12又因为B为锐角，所以B=π6（2）由余弦定理，可得b2=a2+c2−2ac cos B=27+25−2×3√3×5×√32=52−45=7，解得b=√7 18【答案】（1）a n=2n−2;（2）T n=2n−1【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）求{a n}的通项公式，可先由a1=2a5=8求出公差首项，再出通项公式；（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q(q>0)，利用等比数列的通项公式可求首项b1及公比4，代入等比数列的前）项和公式可求工．【解答】（1）设等差数列{a n}的公差为d，a1=2a5=8．a1+d=2a1+4d=8解得a1=0d=2．数列{a n}的通项公式a n=a1+(n−1)d=2n−2（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q(q>0)由（1）知a n=2n−2b1=1b1+b3=a4=6⇒q+q2=6q≠1∴q=2或q=−3（舍去），．{b n}的前”项和T n=1−2n1−2=2n−119【答案】（1）证明见解析，a n=2n−1；（2）T n=n2n+1【考点】数列的求和【解析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．【解答】（1）数列{a n}的前）项和为S n，且S n=2a n−1，①当n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1，②○-○得：a n=2a n−1由于a n≠0当n=1时，a1=S1=2a1−1，即a1=1．数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，a n=2n−1）（2）b n=log2a2n=2n−1则：1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．T n=1b1b2+1b2b3+⋯+1b n b n+1=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+120【答案】(1)(4√5（2）4+√29【考点】三角形求面积向量加减混合运算及其几何意义余弦定理【解析】（1）根据cos B=230<B<πsin B，再根据∠D=2∠B，求得sin D，然后结合AD=3,CD=6，由S△ABD=12AD⋅CD⋅sin D求解．（2）由（1）求得cos D，然后利用余弦定理求得AC，设BC=x，结合AB=6，利用余弦定理，由cos B=AB2+BC2−AC22AB⋅BC求解．【解答】（1）∵cos B=230<B≤πsin B=√5 3又：∠D=2∠Bsin D=sin2B=2sin B cos B=4√5 9S△ACD=12AD⋅CD⋅sin D=12×3×6×4√59=4√5（2）由（1）得cos D=cos2B=cos2B−sin2B=−19由余弦定理可得AC=2+CD2−2AD⋅⋅D⋅cos D=√9+3662××3×6×19=7设BC=x∵AB=6整理得x2−8x−13=0解得x=4+√29或x=4−√29（舍去）．：BC的长为4+√2921【答案】（1）y=4x2−12(x−1)(x>1);（2）x=74时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算函数模型的选择与应用利用导数研究函数的最值【解析】（1）利用题意结合余弦定理可得函数的解析式(y=4x2−12x−2，其定义域是(1,+∞)（2）结合（1）的结论求得利润函数，由均值不等式的结论即可求得当x=34km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元．【解答】（1）在△BCF中，CF=x,∠FBC=30∘,CF⊥BF，所以BC=2x在△ABC中，AB=y,AC=y−1,∠ABC=60∘由余弦定理，得AC2=BA2+BC2−2B.BC cos∠ABC即(y−1)2=y2+(2x)2−2y⋅2x⋅cos60∘所以(y=4x2−12x−2由AB−AC⋅BC，得2x>1,x>12．又因为(y=4x2−12x−2>0，所以x>1所以函数(y=4x2−12x−2的定义域是(1,+∞)（2）M=30⋅(2y−1)+40x因为(y=4x2−12x−2(x>1)，所以(M=30⋅(2⋅4t2−12x−2−1)+40x即(M=10⋅(12x2−3x−1+4x−1))令(t=x−1,则t>0．于是M(t)=10(16t+9t+25),t>0由基本不等式得M(t)≥10(2√14+25)=490当且仅当(t=34，即(x=74时取等号．答：当x=34km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元．22【答案】（1）a n=2n−2b n=2n−1；（2）T n=32+(2n−3)2n−1；（3）(−∞,2√2)【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）由n =1求得a 1=12，当n ≥2时，通过S n =2a n −12与S n−1=2a n−1−12作差，进而整理可知数列{a n }是首项为a 1=12、公比为2的等比数列，通过将点代入直线x −y +2=0计算可知b n −b n+1+2=0，进而整理可求得数列{b n }的通项公式；（2）求出数列{c n }的通项公式，利用错位相减法可求得Ⅰ；（3）通过（1）及作商法计算可知数列为单调递减数列，进而问题转化为求2λ+1λ的最小值，利用基本不等式计算即得结论．【解答】（1）对任意的当1=1时，S 1=2a 1−12，即a 1=12当1n ≥2时，由S n =2a n −12可得S n−1=2a n−1−12两式相减得a n =S n −S n−1=2a n −2a n−1．a n =2a n+1，则a nan−1=2所以，数列{a n }是首项为a 1=12，公比为2的等比数列，a n =12×2n−1=2n−2又：点P (b n b n+1)在直线x −y +2=0上，b n −b n+1+2=0∴ b n+1−b n =2 又：b 1=1，所以，数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列， b n =1+2(n −1)=2n −1（2）∵ c n =a n ⋅b n =(2n −1)2(n ∈N ast )T n =12×1+1×3+2×5+⋯+2n−2(2n −1) 2I n =1×1+2×3+22×5+⋯+2n−2(2n −3)+2n−1(2n −1) ∵ T n =32+(2n −3)2n−1 ）（3）由（1）知当n ≥1,b n a 2n=2n−12，则b n+1b n a 2n=2n +122n ⋅22n−22n −1=14⋅2n +12n −1>0 令x B =2n+12n−1=(2n−1)+22n−1=1+22n−1，则数列{c }为单调递减数列，0<c n ≤c 1=3，则b n+1b n a 2n=14⋅2n+12n−1≤34<1所以，数列为单调递减数列，当n ≥1时，ba 1≤b1a 1=1，即bn a 2n最大值为1，由2λ2−kλ+2>1可得kλ<2λ2+1,k <2λ+1λ而当>0时，2λ+1λ≥2√2λ⋅1λ=2√2，当且仅当λ=√22时取等号，k <2√2因此，实数k 的取值范围是(−∞,2√2)。

福建高一高中数学期中考试带答案解析

福建高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.与角﹣终边相同的角是（）A．B．C．D．2.函数y=sin（2x-）在区间[-,π]上的简图是（）3.若，则等于（）A．B．C．D．4.设D为所在平面内一点且，则（）A．B．C．D．5.已知，则的值等于（）A．B．C．﹣D．6.已知为第三象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．7.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．8.要得到函数y=sin（4x-）的图像，只需要将函数y=sin4x的图像（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位9.若非零向量满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．10.已知正角的终边上一点的坐标为（），则角的最小值为（）A．B．C．D．11.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．12.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数。

下列判断正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．函数的图象关于直线对称D．函数在上单调递增二、填空题1.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝__________.2.方程恒有实数解，则实数的取值范围是_________3.已知在中，，则角_________4.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示．则f（x）＝__________.三、解答题1.已知.（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值．2.已知：，求（1）（2）3.在平面直角坐标系中，已知向量， x∈（0，）。

（1）若，求的值；（2）若的夹角为，求的值。

4.已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若是第二象限的角，化简三角式，并求值．5.已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期及的单调递减区间；（Ⅱ）求在区间上的最值．6.如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（是直角顶点）来处理污水，管道越长污水净化效果越好，设计要求管道的的接口是的中点，分别落在线段上。

2019-2020学年福建省莆田第一中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)

2019-2020学年福建省莆田第一中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．若圆()()221:221C x y ++-=，()()222:2516C x y -+-=，则1C 和2C 的位置关系是（） A ．外离 B ．相交C ．内切D ．外切【答案】D【解析】求出两圆的圆心距12C C ，比较12C C 与两圆半径和与差的绝对值的大小，进行可判断出两圆的位置关系. 【详解】可知，圆1C 的圆心为()12,2C -，半径为11r =，圆2C 的圆心()22,5C ，半径为24r =，12125C C r r ===+，因此，圆1C 与圆2C 外切. 故选：D. 【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.2．设,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（） A ．若,a b a α⊥⊥，则//b α B ．若//,a ααβ⊥，则a β⊥ C ．若,aβαβ，则//a αD ．若,,ab a b αβ，则αβ⊥【答案】D【解析】由空间中直线、平面的位置关系逐一判断即可得解. 【详解】由a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A 中，若a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂，故A 错误；在B 中，若//a α，βα⊥，则a 也可能在β内，故B 错误；在C 中，若a β⊥，αβ⊥，则//a α或a α⊂，故C 错误；在D 中，若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则βα⊥成立，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，属基础题．3．已知两条直线1:10l x y +-=，2:320l x ay ++=且12l l ⊥，则a =（） A ．3- B ．13-C ．13D ．3【答案】A【解析】先建立方程3110a ⨯+⨯=，再求解a 即可. 【详解】解：因为两条直线1:10l x y +-=，2:320l x ay ++=且12l l ⊥，所以3110a ⨯+⨯=，解得3a =-，故选：A. 【点睛】本题考查利用两条直线垂直求参数，是基础题.4．若函数()y f x =的图象与函数32y x =-的图象关于坐标原点对称，则()y f x =的表达式为（） A ．23y x =-- B ．23y x =+C ．23y x =-+D ．23y x =-【答案】A【解析】先假设函数()f x 上的点(,)x y ，由(,)x y 关于原点对称的点为(,)x y --在函数32y x =-上代入，即可求解.【详解】设(,)x y 为函数()f x 上的点，则(,)x y 关于原点对称的点为(,)x y --在函数32y x =-上，可得32()y x -=-⨯-，整理得23y x =--，即函数()y f x =的表达式为23y x =--. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根据函数的对称性求函数的解析式问题，其中解答中设函数()f x 上的点，根据对称性找出关系式解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，420S =，则10a =（） A ．25 B ．32C ．35D ．40【答案】C【解析】利用已知条件求得1,a d ，由此求得10a . 【详解】依题意3141727204620a a d S a d =+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，解得11,4a d =-=，所以101935a a d =+=.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.6．已知ABC ∆的三边长为,,a b c ，满足直线20ax by c ++=与圆224x y +=相离，则ABC ∆是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上情况都有可能【答案】C【解析】圆心到直线的距离2222c d a b=>+,所以222c a b >+，在ABC ∆中，222cos 02a b c C ab+-=<，所以C ∠为钝角．ABC ∆为钝角三角形．选C7．如图：正三棱锥A BCD -中，40BAD ∠=︒，侧棱2AB =，BD 平行于过点C 的截面α，则平面α与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（）A ．2B ．23C ．4D ．3【答案】B【解析】沿着侧棱AC 把正三棱锥A BCD -展开在一个平面内，则CC '即为截面α周长的最小值，利用余弦定理代入求解即可. 【详解】如图所示：沿着侧棱AC 把正三棱锥A BCD -展开在一个平面内，则CC '即为截面α周长的最小值，且340120CAC '∠=⨯︒=︒，在ACC '△中，由余弦定理得：()()222cos120CC AC AC AC AC '''=+-⋅︒，2222222cos12023CC '=+-⨯⨯︒=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用三棱锥的侧面展开图求解最值问题以及余弦定理.属于较易题. 8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．(0)2a bab a b +>> B ．222(0)a b ab a b +>>C ．2(0)ab ab a b a b>>+D ．220)22a b a b a b ++>> 【答案】D【解析】由图形可知11()22OF AB a b ==+，11()()22OC a b b a b =+-=-，在直角OCF △中，由勾股定理可求CF ，结合CF OF ≥即可得出．【详解】由图形可知：11()22OF AB a b ==+，11()()22OC a b b a b =+-=-，在直角OCF △中，由勾股定理可得：CF = CF OF ≥，∴1()2a b +，(,0)a b >．故选：D 【点睛】本题考查的是由几何图形来证明不等式，考查了数形结合的思想，属于中档题. 9．已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M 是圆C : x 2+y 2－4x =0上一个动点，则△MAB 的面积的最小值为（） A ．4 B ．5 C ．10 D ．15【答案】B 【解析】【详解】由2240x x y -+=，得22(2)4x y -+=， ∴圆的圆心(2,0)，半径为2，直线AB 的方程为4x-3y+12=0，|AB|=5， ∴圆心到直线AB 的距离为81245+=，点M 到直线AB 距离的最小值为2， ∴△MAB 的面积的最小值为12×5×2=5，故选：B ．10．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A 85B ．153C ．153D ．5【答案】B【解析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值．【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD ADCAD ACD =∠∠，所以·sin 4?sin12043sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，所以·sin 4sin4546sin sin603CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒，在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：415AB =所以A 与B 的距离4153AB =故选B 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（）A ．平面PAB ⊥平面PBCB ．异面直线AD 与PB 所成的角为60︒C ．二面角P BC A --的大小为60︒D ．在棱AD 上存在点M 使得AD ⊥平面PMB【答案】D【解析】根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可．【详解】解：对于D ，取AD 的中点M ，连PM ，BM ，侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是60DAB ∠=︒的菱形，∴三角形ABD 是等边三角形，AD BM ∴⊥， PMBM M =，PM ⊂平面PBM ，BM ⊂平面PBMAD ∴⊥平面PBM ，故D 正确，对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90︒，故B 错误，对于C ，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD ⊥平面PBM ，//AD BC ，BC PB ∴⊥，BC BM ⊥，”则PBM ∠是二面角P BC A --的平面角，设1AB =，则3BM =3PM =，在直角三角形PBM 中，tan 1PMPBM BM∠==，即45PBM ∠=︒，故二面角P BC A --的大小为45︒，故C 错误，对于A ，AD ⊥平面PBM ，//AD BC ，所以BC ⊥平面PBM ，BC ⊂平面PBC ，所以面PBC ⊥平面PBM ，显然平面PAB 与平面PBC 不垂直，故A 错误；故选：D ．【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系以及二面角的求解，根据相应的判断和证明方法是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．12．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论：①异面直线AC 与BD 所成的角为定值． ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°． ④三棱锥M ACN -2．以上所有正确结论的有( )个． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】证得AC BD ⊥，由此判断①正确；证得90ADB ∠≠︒，由此判断②错误；当平面ACD 与平面ABC 垂直时，求得直线MN 与平面ABC 所成的角、三棱锥M ACN -体积的最大值，由此判断③④的正确性.【详解】设ACBD O =，①，折叠前，根据正方形的性质可知,AC OD AC OB ⊥⊥，折叠过程中,AC OD AC OB ⊥⊥成立，而OD OB O ⋂=，所以AC ⊥平面BOD ，所以AC BD ⊥，所以异面直线AC 与BD 所成角为定值90︒，所以①正确.②，折叠前，AD CD ⊥，折叠过程中AD CD ⊥成立，假设AD BC ⊥，而CD BC C ⋂=，所以AD ⊥平面BCD ，所以AD BD ⊥.折叠过程中，在三角形ABD 中，1AB AD ==，所以90ADB ∠≠︒，这与AD BD ⊥矛盾，故假设不成立，所以②错误. ③，在折叠过程中，当平面ACD ⊥平面ABC 时，由于平面ACD平面ABC AC =，AC OD ⊥，根据面面垂直的性质定理可知OD ⊥平面ABC ，所以DBO ∠是直线BD与平面ABC 所成的角，且OD OB ⊥.在Rt BOD 中122OB OD BD ===，所以三角形BOD 是等腰直角三角形，所以45DBO ∠=︒.由于,M N 分别是,BC CD 的中点，所以MN 是三角形BCD 的中位线，所以//MN BD ，所以直线MN 与平面ABC 所成的角和直线BD 与平面ABC 所成的角相等.所以③正确.④，在折叠过程中，三棱锥M ACN -中，三角形ACN 的面积为定值，即1124ACNSCN AD =⨯⨯=.所以当M 到平面ACD 的距离最大时，三棱锥M ACN -的体积取得最大值.当平面ACD ⊥平面ABC 时，M 到平面ACD 的距离最大.此时，过M 作ME AC ⊥交AC 于E ，根据面面垂直的性质定理可知ME ⊥平面ACD .由于45ACB ∠=︒，所以CEM 是等腰直角三角形，所以21222224ME MC =⨯=⨯=. 所以三棱锥M ACN -的体积的最大值为11122334448ACNS ME ⨯⨯=⨯⨯=.所以④正确.综上所述，正确的结论有3个. 故选：C【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角、线面角、面面垂直的性质定理，几何体体积的求法，属于中档题.二、填空题13．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元，购买3支康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是______________ 【答案】A >B【解析】设每支支玫瑰x 元，每支康乃馨y 元，则2,3x A y B ==，由题意可得：284522x y x y +>⎧⎨+<⎩，代入可得：8352223B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，根据不等式性质，联立即可得解. 【详解】设每支支玫瑰x 元，每支康乃馨y 元，则2,3x A y B ==，由题意可得：284522x y x y +>⎧⎨+<⎩，代入可得：8352223B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，根据不等式性质可得：6B <，而83BA >-，可得6A >, 故A B >，故答案为：A B >. 【点睛】本题考查了利用不等式解决实际问题，考查了不等式性质，同时考查了转化思想和计算能力，属于中档题.14．已知圆的方程为()2214x y +-=，若过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的一般方程为______________. 【答案】4230--=x y【解析】根据圆的方程得到圆心()0,1C ，半径为2r ，取AB 中点为D ，连接CD ，根据圆的性质，以及题中条件，得到点D 与点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭重合时，CD 最大，此时CP AB ⊥，进而可求出所求直线的斜率，从而可得直线方程.【详解】由圆的方程()2214x y +-=可得圆心为()0,1C ，半径为2r，取AB 中点为D ，连接CD ，根据圆的性质，CD AB ⊥，且2ACB ACD ∠=∠，为使ACB ∠最小，只需ACD ∠最小，又sin 2AD AD ACD CA ∠==，222AD CD r +=，所以当AD 最小时，ACD ∠最小，此时CD 最大；因为,C P 为两定点，且sin CD CP CPD =∠，所以当点D 与点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭重合时，CD 最大，此时CP AB ⊥，因为1AB CP k k ⋅=-，即112101AB k -⋅=--，所以2AB k =，因此直线l 的方程为：()1212y x -=-，即4230--=x y .故答案为：4230--=x y . 【点睛】本题主要考查求圆的弦所在直线方程，解题的关键在于将问题转化为弦长最短，属于常考题型.15．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD 的外接球，BC=3，23AB =E 在线段BD 上，且BD=3BE ，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__.【答案】[2,4]ππ【解析】设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，可得R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．【详解】如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，则0123sin 6033O D =⨯=AO 1221 3.AD DO =-=在Rt △OO 1D 中，R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2， ∵BD ＝3BE ，∴DE ＝2在△DEO 1中，O 1E 034232cos300.=+-⨯⨯⨯= ∴22112OE O E OO =+=过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小， ()22222.-=，最小面积为2π．当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故答案为[2π，4π] 【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．16．圆C ：x 2＋y 2＝16，过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，在x 轴正半轴上存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ，求出点N 的坐标__________. 【答案】(8，0)【解析】先考虑直线AB 斜率不存在情况，然后考虑直线AB 的斜率存在时，设出直线AB 的方程，联立直线与圆的方程，结合方程的根与系数关系，由x 轴平分∠ANB ，可得AN BN k k =-，结合斜率公式代入可求. 【详解】当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，假设(,0)(0)N t t >符合题意，又设()()1122,,,A x y B x y ，由将直线代入圆得()2222144160k x k x k +-+-=，所以 212241k x x k +=+，21221164k x x k -⋅=+若x 轴平分∠ANB ，则AN BN k k =-12120y y x t x t ∴+=-- ，则()()1212220k x k x x t x t--+=--，整理得()12122(2)40x x t x x t -+++=，()2222244(2)416110k kt t k k +-+=++-，解得8t = 所以点N 的坐标为（8，0）. 【点睛】本题考查直线与圆的相交问题，属于中档题.三、解答题17．已知直线l 在y 轴上的截距为2-，且垂直于直线210x y --=．（1）求直线l 的方程；（2）设直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，OAB 内接于圆C ，求圆C 的一般方程．【答案】（1）22y x =--；（2）2220x y x y +++=【解析】（1）由垂直关系得直线斜率，从而可得直线的斜截式方程；（2）设出圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=．求出,A B 两点坐标，AB 中点是圆心，AB 是圆的直径由此可求得,,D E F ．【详解】解：（1）设直线l 的方程为2y kx =-． ∵直线210x y --=的斜率为12，所以直线l 的斜率2k =-．则直线l 的方程为22y x =--．（2）设圆C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=．由于OAB 是直角三角形，所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点，半径为12AB ；由(1,0)A -，(0,2)B -得1,12C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，AB =；故12212DE⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪=，解得1D =，2E =，0F =．则圆C 的一般方程为：2220x y x y +++=．【点睛】本题考查两直线位置关系，考查求圆的一般方程．求圆的方程可以先确定圆心坐标和半径，利用一般方程与圆心坐标、半径的关系确定方程中的系数．18．已知在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且2()n S n n N *=∈，数列{}n b 为等比数列，公比1q >，11b a =，且22b ，4b ，33b 成等差数列．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）令nn na cb =，求{}n c 的前项和n T ．【答案】（1）()*21n a n n =-∈N，()1*2n nbn -=∈N ；（2）12362n n n T -+=-. 【解析】（1）根据n S 与n a 的关系可求n a ，利用等比中项以及等比数列的通项公式即可求解.（2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）∵111a S ==，221(1)n n S S n n --=--，∴()*212,n a n n n =-≥∈N ，当1n =时，满足上式，()*21n a n n =-∈N234232b b b +=，23232q q q +=，由于1q >，∴2q，∴()1*2n n b n -=∈N（2）由（1）得1212n n n c --=，0121135212222n n n T --=++++，① ∴123111352321222222n n n n n T ---=+++++，② ①-②得1211222212313222222n n n nn n T --+=++++-=-， ∴12362n n n T -+=-. 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、错位相减法求和，考查了考生的计算能力，属于基础题.19．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且sin cos 20A a B a --=.（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若b =ABC ∆a c +的值．【答案】(1) 23B π=;(2) 3a c +=.【解析】试题分析：（1）sin sin cos 2sin 0B A A B A --=，sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以23B π=；（2）根据面积公式和余弦定理，得()27a c ac =+-，所以3a c +=. 试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin sin cos 2sin 0B A A B A --=，因为sin 0A ≠ cos 20B B --=，即sin 1,6B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又()50,,,666B B ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭，62B ππ∴-=，所以23B π=. （Ⅱ）由已知1133sin ,22222ABC S ac B ac ac ∆==⋅=∴=，由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-，即()217222a c ac ac ⎛⎫=+--⋅- ⎪⎝⎭，即()27a c ac =+-，又0,0a c >>所以3a c +=.20．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA =AB =3，AD =1，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．（1）当点E 为BC 的中点时，证明EF //平面PAC ；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）通过证明//EF PC 来证得//EF 平面PAC ；（2）通过证明,AF PB AF BC ⊥⊥来证得AF ⊥平面PBC ，由此证得PE AF ⊥，从而证得结论成立. 【详解】（1）连结AC ，EF ， ∵点E 、F 分别是边BC 、PB 的中点∴PBC 中，//EF PC 又EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， ∴当点E 是BC 的中点时，EF //平面P AC .（2）∵PA AB ⊥，P A =AB 3F 是PB 的中点 ∴等腰PAB △中，⊥AF PB ，又P A ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，AB BC ⊥且P A 和AB 是平面P AB 上两相交直线. ∴BC ⊥平面P AB . 又AF ⊂平面PAB . ∴AF BC ⊥.又PB 和BC 是平面PBC 上两相交直线.∴AF PBC ⊥面. 又PE ⊂平面PBC ， ∴PE AF ⊥，∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF 成立．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，属于中档题.21．如图，在Rt ABC 中，4AB BC ==，点E 在线段AB 上，过点E 作//EF BC 交AC 于点F ，将AEF 沿EF 折起到PEF 的位置（点A 与P 重合），使得060PEB ∠=．（1）求证：平面CBEF ⊥平面PBE ；（2）试问：当点E 在何处时，四棱锥P EFCB -的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P EFCB -的体积及直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）E 为AB 的中点，2351. 【解析】（1）在三角形ABC 中，由//EF BC 且BC AB ⊥，得EF AB ⊥，进而证明EF ⊥平面PBE ，从而证得；（2）设,BE x PE y ==，则4x y +=，则3PEB S xy =△，由基本不等式确定当PEB △为等边三角形时，侧面的面积最大，作PO BE ⊥于O ，根据已知条件确定PO ⊥平面EFCB 时，从而得到PCO ∠就是PC 与平面EFCB 所成角，通过计算可得四棱锥P EFCB -的体积及直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值. 【详解】（1）证明：∵//EF BC 且BC AB ⊥，∴EF AB ⊥，即,EF BE EF PE ⊥⊥．又BE PE E ⋂=，∴EF ⊥平面PBE ，又EF ⊂平面CBEF ，平面CBEF ⊥平面PBE ，（2）设,BE x PE y ==，则4x y +=．∴2133sin ()322PEB x y S BE PE PEB xy +=⋅⋅∠=≤=△ 当且仅当2x y ==时，PEB S △的面积最大，此时，2BE PE ==，此时E 为AB 的中点，由（1）知EF ⊥平面PBE ，平面EFCB ⊥平面PBE ．在平面PBE 中，作PO BE ⊥于O ，则PO ⊥平面EFCB ．即PO 为四棱锥P EFCB -的高．又031sin 6023,(24)262EFCB PO PE S =⋅===⨯+⨯=． ∴163233P BCFE V -=⨯= ∵01cos60212OE PE =⋅=⨯=，∴1BO =，在Rt OBC 中，2221417OC BO BC =++=PO ⊥平面EFCB ，∴PCO ∠就是PC 与平面EFCB 所成角．∴351tan 17PO PCO OC ∠===故直线PC 与平面EFCB所成角的正切值为17. 【点睛】本题考查空间中的垂直关系，直线与平面所成角的计算，棱锥的体积计算，基本不等式的应用，考查了学生的逻辑推理与直观想象能力.22．已知圆C ：22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点(1,0)A . （1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N ，判断•AM AN 是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）1x =，3430x y --=;（2）AM AN ⋅是定值，且为6．【解析】【详解】（1）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即kx y k 0--=．由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径22=，解之得34k =．所求直线方程是1x =，3430x y --=．（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为kx y k 0--=由220{0x y kx y k ++=--=得223(,)2121k k N k k --++．又直线CM 与1l 垂直，由{14(3)y kx ky x k=--=--得22224342(,)11k k k kM k k+++++AM AN ⋅=6==为定值．故AM AN ⋅是定值，且为6．。

福建省莆田市高一下学期数学期中考试试卷

福建省莆田市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一下·温江期末) 若实数满足，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一下·嘉兴期末) 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C的值为A .B .C . 或D . 或3. （2分） (2019高二上·浙江月考) 已知函数满足对任意的，，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前40项的和为（）A . 80B . 60C . 40D . 204. （2分） (2019高二上·吉林月考) 椭圆的焦点为，椭圆上的点P满足，则的面积是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·汕尾期末) 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，第四日行二十四，几朝才得到其关，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，其中第四天走了24里.”问此人（）天后到达目的地.A . 4B . 5C . 6D . 86. （2分）定义运算：，则的值是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高三上·上海月考) 已知、是关于的方程的两个不同实数根，则经过两点、的直线与双曲线的交点个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 根据的值来确定8. （2分） (2020高一下·广东月考) 已知等比数列的前n项和为，则x的值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·蓟县期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，如果a=2，b=3，c=4，那么最大内角的余弦值等于（）A .B . ﹣C . ﹣D . ﹣10. （2分） (2016高一上·杭州期末) 己知函数f（x）=（x﹣l）（log3a）2﹣6（log3a）x+x+l在x∈[0，l]内恒为正值，则a的取值范围是（）A . ﹣1＜a＜B . a＜C . a＞D . ＜a＜11. （2分） (2020高二上·林芝期末) 已知等差数列中，是它的前项和，若，则当取最大值时，的值为（）A . 8B . 9C . 10D . 1612. （2分） (2019高三上·吉林月考) 若，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·扶余期末) 已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ________.14. （1分） (2019高三上·宁波期末) 设等差数列的前14项和，已知均为正整数，则公差 ________.15. （1分） (2016高二下·揭阳期中) 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V=________．16. （1分） (2016高二上·晋江期中) 已知数列{an}中，a1=﹣1，an+1•an=an+1﹣an ，则数列的通项公式an=________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分） (2018高二上·东台月考) 关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．18. （10分） (2015高二下·乐安期中) 已知在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a，b，c．（I）若sin（A+ ）= cosA，求A的值；（Ⅱ）若cosA= ，b=3c，求sinC的值．19. （5分）有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列．首末两数和为16，中间两数和为12．求这四个数．20. （5分） (2016高二上·眉山期中) 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A（件）产品B（件）研制成本、搭载费用之和（万元）2030计划最大资金额300万元产品重量（千克）105最大搭载重量110千克预计收益（万元）8060试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？21. （10分）(2020高三上·兴宁期末) 已知曲线的极坐标方程为，直线，直线．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的周长．22. （5分） (2019高二上·延吉期中) 已知等差数列的首项，公差，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在，使得对任意的均有总成立？若存在，求出最大的整数；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

福建高一高中数学期中考试带答案解析

福建高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集，集合，，则集合（）A．B．C．D．2.下列四组函数中表示同一个函数的是A．与B．与C．与D．与3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．B．C．D．4.已知函数，则的值是（）A．B．C．D．5.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．6.设，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．7.函数的单调减区间为（）A．B．C．D．8.如果则等于（）A．B．C．D．9.函数的零点有（）个A．1B．2C．3D．410.函数的值域是（）A．B．C．D．11.已知函数，则函数的定义域为（）A．B．C．D．12.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.幂函数的图象过点，则=_____________.2.函数的定义域为________________.3.已知函数在上为单调增函数，则的取值范围是__________.4.给出下列四个命题：（1）函数的图象过定点（1,0）；（2）化简的结果为25；（3）若，则的取值范围是；（4）若（,）,则.其中所有正确命题的序号是 .三、解答题1.设集合，.（1）若，求，;（2）若，求实数的取值范围.2.有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是万元和万元，它们与投入资金万元的关系为：，今有3万元资金投入经营这两种商品.问：对乙种商品的资金为多少万元时，能获得最大利润？最大利润为多少？3.已知函数，，其中，且.（1）若，求满足不等式的的取值的集合；（2）求关于的不等式的解的集合.4.已知，.（1）求的解析式及定义域；（2）求的值域；（2）若方程有实数根，求实数的取值范围.5.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断并证明在上的单调性；（3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围.6.已知函数对一切都有成立，且.（1）求的值;（2）求的解析式;（3）已知，设P：当时，不等式恒成立,Q: 当时，是单调函数，如果记使P成立的实数的取值的集合为A，使Q成立的实数的取值的集合为B，求.福建高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知全集，集合，，则集合（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则，故选C.【考点】集合的运算.2.下列四组函数中表示同一个函数的是A．与B．与C．与D．与【答案】A【解析】当两个函数定义域相同且对应法则相同时，为同一函数，故选A.【考点】同一函数的判定.3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的定义域为，，既不是奇函数也不是偶函数，故选A.【考点】函数的奇偶性.4.已知函数，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故选B.【考点】分段函数.5.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，所以零点所在的区间为，故选C.【考点】函数的零点.6.设，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，函数在上单调递减，所以若，则，故选C.【考点】指数函数单调性.7.函数的单调减区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，即，所以或，结合图象可知，函数的单调递减区间为，故选D.【考点】函数的单调性.8.如果则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据积、商、幂的对数运算法则，，，所以，故选C.【考点】对数的运算.9.函数的零点有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】分别画出函数与函数的图象，观察可知，有3个交点，所以函数有3个零点，故选C.【考点】函数的零点.10.函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数转化为分段函数，图象如下图所示，所以函数的值域为【考点】1、函数的图象，2、函数的值域.11.已知函数，则函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，所以，，所以函数的定义域为，.【考点】函数的定义域.12.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的图象如下图所示，若有四个实根，则观察图象可知，，设直线与函数的四个交点从左向右依次为，则，且，所以，则，转化为，由于，设，则函数在上单调递减，所以值域为，故选D.【考点】1、函数的图象；2、函数的单调性.二、填空题1.幂函数的图象过点，则=_____________.【答案】【解析】设，则，所以，因此函数.【考点】幂函数.2.函数的定义域为________________.【答案】【解析】，则，所以，所以函数的定义域为.【考点】函数的定义域.3.已知函数在上为单调增函数，则的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意有，则，所以【考点】复合函数单调性.4.给出下列四个命题：（1）函数的图象过定点（1,0）；（2）化简的结果为25；（3）若，则的取值范围是；（4）若（,）,则.其中所有正确命题的序号是 .【答案】（2）（4）【解析】函数的图象贵点，所以（1）错误；当时，或，所以（3）错误；所以正确的序号为（2）（4）.【考点】1、指数函数；2、对数函数；3、函数的单调性.三、解答题1.设集合，.（1）若，求，;（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）当时，集合，集合，画数轴表示出集合，得到，，（2）集合，由有，解得，本题考查一元二次不等式的解法及集合的运算，属于对基础知识的考查，解题过程中可以画数轴表示集合，运用数形结合的思想来解题.试题解析：（1）若，则，又，所以，（2）若，则即，，所以实数的取值范围为【考点】1、一元二次不等式的解法；2、集合的运算.2.有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是万元和万元，它们与投入资金万元的关系为：，今有3万元资金投入经营这两种商品.问：对乙种商品的资金为多少万元时，能获得最大利润？最大利润为多少？【答案】对乙种商品投入资金万元时，利润最大，最大利润为万元.【解析】设对乙种商品投入的资金为万元，则甲种商品投入的资金为万元，设获得的利润为万元，则，设，则，于是函数转化为，配方得，根据二次函数图象及性质可知，当时，即时，函数取得最大值为，因此对乙种商品投入资金为万元，对甲种资金投入万元时，利润最大，最大利润为万元.试题解析：设对乙种商品投入资金为万元，则对甲种投入资金为万元，此时获得利润为万元，则由题意知：令，则，（）当时，，即，时，答：对甲资金投入万元，对乙资金投入万元时，获得最大利润万元【考点】1、函数的实际应用；2、二次函数的图象及性质.3.已知函数，，其中，且.（1）若，求满足不等式的的取值的集合；（2）求关于的不等式的解的集合.【答案】（1）；（2）若，所求解集为；若，所求解集为.【解析】（1）设，则函数转化为，其中，则不等式转化为，而当时，指数函数在上单调递减，所有若，则根据指数函数图象及单调性可知，应满足，即，解得或，因此满足不等式的集合为；（2）不等式为，即，下面分情况进行讨论，当时，根据函数单调性可知，应满足，即解得，当时，应忙着呢，即解得.试题解析：（1）由不等式得因为，所以，解得，即所求解集为（2）由不等式得（i）若，则，即解得（ii）若，则，即解得综上，若，所求解集为；若，所求解集为【考点】1、指数函数的单调性；2、一元二次不等式的解法；3、分类讨论.4.已知，.（1）求的解析式及定义域；（2）求的值域；（2）若方程有实数根，求实数的取值范围.【答案】（1），定义域为；（2）值域为；（3）.【解析】（1）本问考查换元法求函数解析式，设，则，，所以函数转化为，定义域为；（2）设，由于，所以，则函数转化为，，对所得的二次函数配方有，根据二次函数图象及性质可知，当时，函数单调递减，当时函数单调递增，所以，又当时，，当时，，所以函数的值域为，即函数的值域为；（3）若方程有实根，则由第（2）问可知，应有，解得或.试题解析：（1）设，，则，（2）设，，，即所求值域为[3,7]（3）由于方程有实数根，【考点】1、函数解析式；2、函数的值域；3、换元法.5.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断并证明在上的单调性；（3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1），；（2）证明详见解析；（2）.【解析】（1）由于是定义在上的奇函数，所以有，又根据奇函数，解方程组得，；（2）由第（1）问，，根据函数单调性定义进行证明，设是上任意两个不等的实数，且，则，，因为，所以，，，所以，因此函数在上为递减函数；（3）由（1）（2）可知函数是上的减函数，所以不等式等价于，即对任意恒成立，即，当时，显然符合题意，当时，应满足，解得，综上.试题解析：（1），经检验成立.（2）证明：设任意[，，，在上是减函数（3）对恒成立或综上：【考点】1、函数的单调性；2、不等式恒成立.6.已知函数对一切都有成立，且.（1）求的值;（2）求的解析式;（3）已知，设P：当时，不等式恒成立,Q: 当时，是单调函数，如果记使P成立的实数的取值的集合为A，使Q成立的实数的取值的集合为B，求.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由于函数对一切都有成立，且，所以令，，则有，所以；（2）令，则；（3）当时，不等式恒成立即为，即在上恒成立，只需，经计算可得；又当时，是单调函数，即在区间上单调，所以，因此.试题解析：（1），，取得（2）取，得，故（3）（i）当时，不等式恒成立，即恒成立记，对称轴，，所以（ii）,对称轴：，由于时，是单调函数，所以即，所以【考点】1、函数解析式；2、不等式恒成立；3、函数的单调性.。

2019-2020年高一下学期期中数学试卷含解析

2019-2020年高一下学期期中数学试卷含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为（）A． B． C． D．2．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品3．某公司xx～xx年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示：年份xx xx xx xx xx xx利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11根据统计资料，则（）A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系4．程序框图如图所示：如果输入x=5，则输出结果为（）A．325 B．109 C．973 D．2955．用“更相减损术”求98和63的最大公约数，要做减法的次数是（）A．3次B．4次C．5次D．6次6．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.57．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5 B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10 D．4，13，22，31，408．给出以下四个问题：①输入一个正数x，求它的常用对数值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数的函数值．其中不需要用条件语句来描述其算法的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．向顶角为120°的等腰三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（）A． B． C． D．10．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（）A．80 B．40 C．60 D．2011．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．1112．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上.）13．把xx转化为二进制数为．14．如图是某学校抽取的n个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为18，则n的值是．15．用秦九韶算法求多项式：f（x）=1+x+2x2+3x3+4x4+5x5+7x7在x=2的值时，v3的值为．16．日前，广佛肇城际轨道已开通投入运营，假设轻轨列车每15分钟一班，在车站停2分钟，则乘客到达站台能立即上车的概率是．三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．若二进制数100y011和八进制数x03相等，求x+y的值．18．（1）函数，编写出求函数的函数值的程序（使用嵌套式）；（2）“求的值．”写出用基本语句编写的程序（使用当型）．19．在某幼儿园的美术课上，老师带领小朋友用水彩笔为本子上两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色．小朋友豆豆可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色、蓝色、紫色各一支．（1）豆豆从他可用的五支水彩笔中随机取出两支按老师要求给气球涂色，求两个气球同为冷色的概率．（2）一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟，豆豆至少需要2分钟完成该项任务．老师发出开始指令1分钟后随时可能来到豆豆身边查看涂色情况．求当老师来到豆豆身边时，豆豆已经完成任务的概率．20．已知集合A=[﹣2，2]，B=[﹣1，1]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率．21．运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门组织抽取了100间学生宿舍某月用电量调查，发现每间宿舍用电量都在50度到350度之间，其频率分布直方图如图所示．（1）为降低能源损耗，节约用电，学校规定：每间宿舍每月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用；超过200度，超过部分按每度1元收取费用．以t表示某宿舍的用电量（单位：度），以y表示该宿舍的用电费用（单位：元），求y与t的函数关系式？（2）求图中月用电量在（200，250]度的宿舍有多少间？（3）在直方图中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，宿舍用电量落入该区间的频率作为宿舍用电量取该区间中点值的频率（例如：若t∈[150，200），则取t=175，且t=175发生的频率等于落入[150，200）的频率），试估计我校学生宿舍的月均用电费用．xx学年湖南省娄底市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为（）A． B． C． D．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】计算题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，根据对立事件的概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，∴至少一次正面向上的概率是1﹣=，故选A．【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是对于比较复杂的事件求概率时，可以先求对立事件的概率．2．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品【考点】随机事件．【分析】任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，根据题目条件选出正确结论，分清各种不同的事件是解决本题的关键．【解答】解：任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，故选D【点评】我们学过的事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．3．某公司xx～xx年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示：年份xx xx xx xx xx xx利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11根据统计资料，则（）A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系【考点】变量间的相关关系；众数、中位数、平均数．【专题】计算题．【分析】求出利润中位数，而且随着利润的增加，支出也在增加，故可得结论．【解答】解：由题意，利润中位数是=17，而且随着利润的增加，支出也在增加，故x与y有正线性相关关系故选C．【点评】本题考查变量间的相关关系，考查中位数，解题的关键是理解正线性相关关系，属于基础题．4．程序框图如图所示：如果输入x=5，则输出结果为（）A．325 B．109 C．973 D．295【考点】程序框图．【专题】计算题；数形结合；定义法；算法和程序框图．【分析】方法一：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x的值，并输出．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．方法二：由程序框图可知：此问题相当于先求出满足以下条件：数列{a n}的a1=5，a n+1=3a n﹣2，要求其通项公式第一次大于或等于200时即输出其值．【解答】解：方法一：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x 是否继续循环循环前5/第一圈13 是第二圈37 是第三圈109 是第四圈325 否故最后输出的x值为325，方法二：由序框图可知：此问题相当于先求出满足以下条件数列的通项公式，数列{a n}的a1=5，a n+1=3a n﹣2，当a n≥200时，即输出a n．∵a n+1=3a n﹣2，∴a n+1﹣1=3（a n﹣1），∵a1﹣1=5﹣1=4≠0，∴数列{a n}是以4为首项，3为公比的等比数列，∴an﹣1=4×3n﹣1，∴an=4×3n﹣1+1，令4×3n﹣1+1≥200，解得n≥5．故当n=5时，输出的x应是4×34+1=325．选：A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．用“更相减损术”求98和63的最大公约数，要做减法的次数是（）A．3次B．4次C．5次D．6次【考点】用辗转相除计算最大公约数．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】我们根据“以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．”的原则，易求出98和63的最大公约数．统计减法次数可得答案．【解答】解：用“更相减损术”求98和63的最大公约数，98﹣63=35，63﹣35=28，35﹣28=7，28﹣7=21，21﹣7=14，14﹣7=7，共需要6次减法运算，故选：D【点评】本题考查的知识点是最大公因数和更相减损术，更相减损术的方法和步骤是：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．6．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【考点】频率分布表．【专题】计算题．【分析】从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率．【解答】解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，样本数据落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122共有四个，∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为=0.4，故选C【点评】本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．7．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5 B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10 D．4，13，22，31，40【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】计算系统抽样的抽取间隔，由此可得答案．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，由此可得所选5名学生的学号间隔为10，由此判定B正确，故选：B．【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样方法的特征是解题的关键．8．给出以下四个问题：①输入一个正数x，求它的常用对数值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数的函数值．其中不需要用条件语句来描述其算法的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】条件语句；设计程序框图解决实际问题．【专题】阅读型．【分析】对于选项①，②值，代入相应的公式求即可，对于选项③，④值域代入相应的公式时需要分类讨论，故要用到条件语句来描述其算法．【解答】解：对于①输入一个正数x，求它的常用对数值，代入lgx求即可；对于②，求面积为6的正方形的周长，代入a2求即可；对于③，求三个数a，b，c中的最大数，必须先进行大小比较，要用条件语句；对于④，求函数的函数值，必须对所给的x进行条件判断，也要用条件语句．其中不需要用条件语句来描述其算法的有2个．故选B．【点评】本题考查算法适宜用条件结构的问题，是在解决时需要讨论的问题．属于基础题．9．向顶角为120°的等腰三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【专题】数形结合；定义法；概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式求出满足条件的区域对应的面积即可得到结论．【解答】解：若AM小于AC，则M位于阴影部分，∵∠C=120°，∴∠A=30°，则三角形ABC的面积为S△ABC==×AC2=AC2，扇形的面积S=AC2=πAC2，则对应的概率P===，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．10．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（）A．80 B．40 C．60 D．20【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽取三年级的学生人数．【解答】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，∴三年级要抽取的学生是=40，故选B．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【专题】计算题；整体思想；定义法；推理和证明．【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．12．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是，再把这2个概率相加，即得所求．【解答】解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是=，故所求事件的概率为=，故选C ．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上.） 13．把xx 转化为二进制数为 11111100000（2）．【考点】进位制．【专题】计算题；转化思想；转化法；算法和程序框图．【分析】利用“除k 取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：xx ÷2=1008 01008÷2=504 0504÷2=252 0252÷2=126 0126÷2=63 063÷2=31 (1)31÷2=15 (1)15÷2=7 (1)7÷2=3 (1)3÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故xx （10）=11111100000（2）故答案为：11111100000（2）【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k 取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．14．如图是某学校抽取的n 个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为18，则n 的值是 48 ．【考点】频率分布直方图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】根据频率和为1，求出前3个小组的频率和以及第3小组的频率，再求样本容量n的值．【解答】解：根据频率分布直方图，得从左到右的前3个小组的频率和为：1﹣（0.0375+0.0125）×5=0.75；又这三组频率之比为1：2：3，∴第3小组的频率为×0.75=0.375，且对应的频数为18，∴样本容量n==48．故答案为：48．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．15．用秦九韶算法求多项式：f（x）=1+x+2x2+3x3+4x4+5x5+7x7在x=2的值时，v3的值为70．【考点】秦九韶算法．【专题】算法和程序框图．【分析】根据秦九韶算法先别多项式进行改写，然后进行计算即可．【解答】解：根据秦九韶算法，把多项式改成如下形式解：f（x）=7x7+0x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x+1=（（（（（（7x+0）x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x+1 当x=2时，v1=7×2+0=14，v2=14×2+5=33，v3=33×2+4=70，故答案为：70【点评】本题主要考查秦九韶算法的应用，根据秦九韶算法的步骤把多项式进行改写是解决本题的关键．16．日前，广佛肇城际轨道已开通投入运营，假设轻轨列车每15分钟一班，在车站停2分钟，则乘客到达站台能立即上车的概率是．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是轻轨列车每15分钟一班，共有15分钟，满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只有2分钟，根据概率等于时间长度之比，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是轻轨列车每15分钟一班，共有15分钟满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只要2分钟，记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，∴事件A发生的概率P=，故答案为：．【点评】本题是一个等可能事件的概率，概率之比是时间长度之比，是一个不能列举出的事件数，是一个几何概型，注意解题的格式．三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．若二进制数100y011和八进制数x03相等，求x+y的值．【考点】进位制．【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；算法和程序框图．【分析】直接利用进位制运算法则化简求解即可．【解答】解：100y011=1×26+y×23+1×2+1=67+8y，x03=x×82+3=64x+3，∴67+8y=64x+3，∵y=0或1，x可以取1、2、3、4、5、6、7，y=0时，x=1；y=1时，64x=72，无解；∴x+y=1．【点评】本题考查进位制的应用，函数与方程思想的应用，考查计算能力．18．（1）函数，编写出求函数的函数值的程序（使用嵌套式）；（2）“求的值．”写出用基本语句编写的程序（使用当型）．【考点】绘制简单实际问题的流程图．【专题】算法和程序框图．【分析】（1）根据题目已知中分段函数的解析式，根据分类标准，设置两个选择语句的并设置出判断的条件，再由函数各段的解析式，确定判断条件的“是”与“否”分支对应的操作，由此即可编写满足题意的程序．（2）这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．【解答】解：（1）INPUT“x=”；xIF x＞=0 and x＜=4 THENy=2*xELSE IF x＜=8 THENy=8ELSEy=2*（12﹣x）END IFEND IFPRINT yEND …（2）．S=0K=1DOs=s+1/k（k+1）k=k+1LOOP UNTIL k＞99PRINT sEND …【点评】本题考查了设计程序框图解决实际问题，（1）主要考查编写程序解决分段函数问题．（2）主要考查利用循环结构进行累加．19．在某幼儿园的美术课上，老师带领小朋友用水彩笔为本子上两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色．小朋友豆豆可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色、蓝色、紫色各一支．（1）豆豆从他可用的五支水彩笔中随机取出两支按老师要求给气球涂色，求两个气球同为冷色的概率．（2）一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟，豆豆至少需要2分钟完成该项任务．老师发出开始指令1分钟后随时可能来到豆豆身边查看涂色情况．求当老师来到豆豆身边时，豆豆已经完成任务的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；简单线性规划．【专题】概率与统计．【分析】（1）由题意得到两个气球共20种涂色方案，其中有6种全冷色方案．由此能求出两个气球同为冷色的概率为；（2）老师发出开始指令起计时，设豆豆完成任务的时刻为x，老师来到豆豆身边检查情况的时刻为y，利用几何概率能求出老师来到豆豆身边时豆豆完成任务的概率．【解答】答案：（1）如下表格，假设非同冷色为1，同为冷色为2，红色橙色绿色蓝色紫色红色0 1 1 1 1橙色1 0 1 1 1绿色1 1 0 2 2蓝色1 1 2 0 2紫色1 1 2 2 0易知两个气球共20种涂色方案，其中有6种全冷色方案，故所求概率为：．（2）老师发出开始指令起计时，设豆豆完成任务的时刻为x，老师来到豆豆身边检查情况的时刻为y，则由题有…式①，若当老师来到豆豆身边时豆豆已经完成任务，则…式②，如图所示，所求概率为几何概型，阴影部分（式②）面积为×（10﹣2）×（10﹣2）=32，可行域（式①）面积为（10一1）×（10﹣2）=72，所求概率为．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可行域的合理运用．20．已知集合A=[﹣2，2]，B=[﹣1，1]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】（1）画出区域，其面积表示所有基本事件，此圆x2+y2=1的面积表示满足条件的基本事件，所求为面积比；（2）由以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于，求出x，y满足的关系，得到区域面积，求面积比．【解答】解：（1）由题意，画出区域，如图，所求概率满足几何概型，所以所求为圆的面积与矩形面积比，所以以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率为；（2）由以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于，所以，即|x+y|≤1，满足条件的事件是图中阴影部分，所以以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率为．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，关键是将所求的概率利用基本事件的集合度量即区域的长度或者面积或者体积表示，求比值．21．运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【考点】程序框图．【专题】综合题；算法和程序框图．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a、b；（II）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f（x）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f（﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f（3）=a3﹣1=7，∴a=2．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x＜0时，f（x）=﹣2x＞1，∴；②当x≥0时，f（x）=2x﹣1＞1，∴x＞1．综上满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为或x＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门组织抽取了100间学生宿舍某月用电量调查，发现每间宿舍用电量都在50度到350度之间，其频率分布直方图如图所示．（1）为降低能源损耗，节约用电，学校规定：每间宿舍每月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用；超过200度，超过部分按每度1元收取费用．以t表示某宿舍的用电量（单位：度），以y表示该宿舍的用电费用（单位：元），求y与t的函数关系式？（2）求图中月用电量在（200，250]度的宿舍有多少间？（3）在直方图中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，宿舍用电量落入该区间的频率作为宿舍用电量取该区间中点值的频率（例如：若t∈[150，200），则取t=175，且t=175发生的频率等于落入[150，200）的频率），试估计我校学生宿舍的月均用电费用．【考点】频率分布直方图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）按分段函数求出宿舍的用电费用函数；（2）利用频率=，计算对应的频数即可；（3）利用频率分布直方图估算我校学生宿舍的月均用电费用是多少．【解答】解：（1）根据题意，得；当0≤t≤200时，用电费用为y=0.5x；当t＞200时，用电费用为y=200×0.5+（t﹣200）×1=t﹣100；综上：宿舍的用电费用为y=；（2）∵月用电量在（200，250]度的频率为50x=1﹣（0.0060+0.0036+0.0024+0.0024+0.0012）×50=1﹣0.0156×50=0.22，∴月用电量在（200，250]度的宿舍有100×0.22=22（间）；（3）估计我校学生宿舍的月均用电费用为75×0.0024×50+125×0.0036×50+175×0.0060×50+225×0.22+275×0.0024×50+325×0.0012×50=186（度）．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了利用直方图求平均数的应用问题，是基础题目．。

2019-2020学年福建省莆田第一中学高一下学期期中考试数学试题

莆田一中2019-2020学年度下学期期中考试试卷高一数学必修5 命题人：审核人：一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 若,,,a b c d R ∈，则下列说法正确的是（）A. 若a b >，c d >，则ac bd >B. 若a b >a b >，则22ac bc >C. 若0a b <<，则11a b< D. 若a b >，则33a b >2.已知集合{}2,1,0,1,2,3A =--，{}2|230B x x x =--<，则=A B ⋂A. {}1,0-B. {}01,2，C. {}1,0,1-D.{}-21,0-，3.在ABC ∆中，若=5BC ，sin 2sin C A =，则=ABA.25B. 35C.45D.554.在数列{}n a 中，12a =，24a =，且1120(2)n n n a a a n +-++=≥，则4a =（） A. 22 B. -22 C. 16 D. -165.在ABC ∆中，若sin()cos cos()sin 1A B B A B B -+-≥，则ABC ∆是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形或钝角三角形6.若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则+2x y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．97.在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（）A. 2B. 12C. 3D. 138.已知不等式210ax bx --≥的解集是11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,则不等式20x bx a --<的解集是( )A.()2,3 B. ()(),23,-∞⋃+∞C. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11,,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 9.在下列各函数中，最小值等于2的函数是A.1y x x =+B. 1cos (0)cos 2y x x x π=+<<C.222y x =+D.42x xy e e =+-10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=（*n ∈N ），则n a =（） A. 1(1)2n n -+B. 2n n ⋅C. 31n -D. 123n n -⋅11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20200S >，20210S <，对任意正整数n ，都有k n a a ≥，则k 的值为 A. 1009B. 1010C. 1011D. 101212.在锐角三角形ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为( )A.733 B.352 C.332D.32二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若,x y R +∈，且+3=5x y xy ，则3+4x y 的最小值是 .14.若不等式2+10x ax +≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则ABC 的最小值为__________． 15.在ABC ∆内角A B C ，，的对边,,a b c 满足22223a b c +=，则cos C 的最小值为_____．16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*11111N n n n n S S a +⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，且112a =-，则20191S = .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，， 2sin a b A =．求角B 的大小．若33,5a c ==，求b ．18. 已知等差数列{}n a 满足2528a a ==，求{}n a 的通项公式；各项均为正数的等比数列{}n b 中，12341b b b a =+=，，求{}+n n a b 的前n 项和n T ．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且=21n n S a -，n N *∈．求证：{}n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式若22log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．20. 如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且=3AD ，2=6cos 3CD B =，．求ACD ∆的面积；若=6AB ，求BC 的长．21.如图,GH 是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库,设AB y =千米,并在公路同侧建造边长为x 千米的正方形无顶中转站CDEF (其中边EF 在GH 上),现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ,AC ,已知=+1AB AC ,且60ABC ∠=o. (1)求y 关于x 的函数解析式;(2)如果中转站四周围墙造价为1万元/千米,两条道路造价为3万元/千米,问:x 取何值时,该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低?22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1=2()2n n n S N a *-∈，数列{}n b 满足1b ，点1(),n n P b b + 在直线上．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a 和n b ； (2)令=n n n c a b ⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)若0λ>，求对所有的正整数n 都有2222nn b k a λλ-+>成立的k 的范围．期中考试数学答案1.D2.B3.A4.C5.B6.D7.A8.A9. D 10.A 11. C 12.B13.5 14.－52 15.2316.-2020 17. 解：由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．因为，由余弦定理得，所以．18. 【答案】解：Ⅰ ，Ⅱ，且，或又，．，．19．解：当时，，则．当时，，即，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，．．，．20. 解：，，，又，，．由可求得，由余弦定理可得，设，，整理得解得或舍去．的长为．21.22.解：，当时，，即，当时，，，，数列是首项为，公比为2的等比数列．，．点在直线上，，即，是公差为2的等差数列，又，．由知，，，错位相减，得：，；由知：当，，，数列为单调递减数列，当时，，即的最大值为1，由，可得，则，当时，当且仅当时取等号，．。

福建省莆田市2019-2020学年高一数学下册期中检测题-附答案(已审阅)

莆田第二十五中学2019-2020学年下学期期中质量检测试卷高一数学一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线30x y -+=的倾斜角是（） A 、300 B 、450 C 、600 D 、9002、从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数的和是奇数的概率是( ). A ．32B ．31C ．43D ．413.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1，则样本方差为（）A ．56B.56 C 2D24若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（） A ．1)1()2(22=++-y x B ．1)1()2(22=-+-y x C ．1)2()1(22=++-y x D ．1)2()1(22=-++y x 5输入x ＝5，运行下面的程序之后得到y 等于( ) A.13 INPUT x B.14 IF x<0 THEN C.15 y=(x+1)*(x+1) D.16 ELSEy=(x-1)*(x-1)END IFPRINT y END6某厂共有1000名员工，准备选择50人参加技术评估，现将这1000名员工编号为1到1000，准备运用系统抽样的方法抽取，已知在第一部分随机抽取到的号码是15，那么在最后一部分抽到员工的编号是（）A ．965B ．975C ．985D ．9957.5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是（）A ．至少有1件次品与至多有1件正品B ．至少有1件次品与都是正品C ．至少有1件次品与至少有1件正品D ．恰有1件次品与恰有2件正品 8.图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况画出的茎叶图．则甲、乙两名运动员成绩比较( )A 甲比乙稳定B 乙比甲稳定C 甲、乙稳定程度相同D 无法确定9右图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[14,18)内的频数是12，则样本数据落在[6,10)的频数是（）A. 12 B ．16 C. 18 D ．2010.给出的是计算10181614121++++的值的一个流程图,其中判断框内应填人的条件是( )A 10>iB 10≥iC 5>iD 5≥i11.，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为66颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积为( )A . 5.28B . 16.32C . 17.28D . 18.7212. 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（） A 2 B 21+ C 221+D 221+ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 某工厂有A,B,C 三种不同型号的产品,三种产品的数量比为3:4:7,现用分层抽方法，从中抽出一个容量为n 的样本进行检验，该样本中A 型号产品有9件，则n=14直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为．15.已知球O 是正方体1111D C B A ABCD -的内切球，则在正方体1111D C B A ABCD -内任取一点M,点M 在球O 外的概率是__________16．执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=三.解答题（本大题共5个小题，共56分.解答应写出过程或演算步骤)17．已知圆C 的圆心在直线l ：012=--y x 上，并且过原点和点A （1，2），求圆C 的标准方程.18. （10分）在长方体中，|OA |=6，|OC |=8，|D O '|=4，（1）写出D C C B A ''''、、、、四点的坐标（2）求出C A '的长.（3）求AC ’与BB ’所成角的余弦值。

福建省莆田第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

福建省莆田第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．若,,,a b c d R ∈，则下列说法正确的是（） A ．若a b >，c d >，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc > C ．若0a b <<，则11a b< D ．若a b >，则33a b >2．已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},B={x|x 2-2x-3<0},则A ∩B=( ) A ．{-1,0} B ．{0,1,2} C ．{-1,0,1}D ．{-2,-1,0}3．在△ABC 中，若BC =√5，sinC =2sinA ，则AB =( ) A ．2√5B ．3√5C ．4√5D ．5√54．在数列{}n a 中，12a =，24a =，且1120(2)n n n a a a n +-++=≥，则4a =（） A ．22B ．-22C ．16D ．-165．在 ABC ∆ 中，若sin()cos cos()sin 1A B B A B B -+-≥，则ABC ∆ 是（） A ．锐角三角形； B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．直角三角形或钝角三角形6．若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y 的最大值为A ．1B ．3C ．5D ．97．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（） A ．2B ．12C ．3D ．138．已知不等式210ax bx --≥的解集是11[,]23--,则不等式20x bx a --<的解集是（） A ．(2,3) B ．(,2)(3,)-∞⋃+∞ C ．11(,)32D ．11(,)(,)32-∞⋃+∞9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）A ．1y=x+xB ．1πy=cosx+(0<x<)cosx 2C．2 D ．xx4y=e +2e － 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，*12()n n n a S nn ++∈=N ，则n a =( ) A ．1(1)2n n -+B ．2n n ⋅C ．31n -D ．123n n -⋅11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20200S >，20210S <，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为( ) A ．1009B ．1010C ．1011D ．101212．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（）ABCD ．3213．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.14．若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是__________．15．在ABC V 内角,,A B C 的对边,,a b c 满足22223a b c +=，则cos C 的最小值为______.16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*11111N n n n n S S a +⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，且112a =-，则20191S =__________.17．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =. (1)求B 的大小．(2)若a =，5c =，求b .18．已知等差数列{}n a 满足22a =，58a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{}n b 中，11b =，234b b a +=，求{}+n n a b 的前n 项和n T .19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且=21,n n S a n N *-∈.（1）求证：{}n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若22log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且3AD =，6CD =，2cos 3B =.（1）求ACD V 的面积；（2）若6AB =，求BC 的长.21．如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？ 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*122n n N S a n =-∈，数列{}n b 满足11b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项n a 和n b ；（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）若0λ>，求对所有的正整数n 都有2222nnb k a λλ-+>成立的k 的范围．参考答案1．D 【解析】【分析】根据不等式的性质结合特殊值法对A 、B 二个选项进行判断，利用作差比较法对选项C 、D 进行判断. 【详解】A ：根据不等式的性质可知当0a b >>，0c d >>时，能得到ac bd >.例如当0,1a b ==-，0,1c d ==-，显然a b >，c d >成立，但是ac bd >不成立，故本选项说法不正确；B ：当0c =时，显然22ac bc >不成立，故本选项说法不正确；C ：111111,0,0,00b a b a a b ab b a a b ab a b ab a b---=<<∴>->∴-=>⇒>Q ，故本选项说法不正确；D ：33222213()()()[()],24a b a b a ab b a b a b b -=-++=-++223333130,()0024a b a b a b b a b a b >∴->++>⇒->⇒>Q ，故本选项说法是正确的.故选：D 【点睛】本题考查了不等式的性质应用，考查了作差比较法的应用，考查了数学运算能力. 2．B 【解析】由x 2-2x -3<0解得-1<x<3，故B={x|-1<x<3}．又A={-2，-1，0，1，2，3}， ∴A∩B={0，1，2}．选B ． 3．A 【解析】【分析】由sinC =2sinA 利用正弦定理可得AB =2BC ，结合BC =√5可得结果．【详解】利用正弦定理化简sinC =2sinA ，得：AB =2BC ， ∵BC =√5，∴AB =2√5，故选A ．【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 4．C 【解析】【分析】由数列的递推关系，带入1a ，2a ，即可求出3a ，再将23,a a 带入，即可求出4a 。

福建高一下学期期中考试数学试题(解析版)

一、单选题 1．复数（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（） 1i1i+-A ．1 B ．C ．D ．1-i i -【答案】B 【分析】先对复数化简，再求其共轭复数，从而可求得答案 1i1i+-【详解】因为， ()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2++++===--+所以其共轭复数为，则其虚部为， i -1-故选：B2．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则（）a b120︒|3|a b +=A B ． C D ．137【答案】A【分析】先由题意，求出，再由向量模的计算公式，即可求出结果.a b ⋅【详解】因为，均为单位向量，它们的夹角为，a b60︒所以，1cos1202a b a b ⋅=⨯⨯=-因此3a = 故选：A.3．已知，则的值为（）()()cos74,sin14,cos14,sin74a b == a b ⋅A ．0B ．C D ．112【答案】B【分析】利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换求解即可．【详解】解：因为，()()cos74,sin14,cos14,sin74a b ==．1cos 74cos14sin14sin 74cos(7414)cos 602a b ∴⋅=+=-==故选：B ．4．在中，，是，所对的边，已知，则的形状是（） ABC A a b A ∠B ∠a cosB bcos A =ABC A A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】B【分析】由正弦定理得，化简得,即得解. sin sin A cosB Bcos A =in 0()s A B -=【详解】由正弦定理得， sin sin A cosB Bcos A =所以， sin sin 0A cosB cos A B -=所以, in 0()s A B -=因为, ,(0,)A B π∈所以. 0,A B A B -=∴=所以三角形是等腰三角形. 故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．要得到函数的图像，只需要将函数的图像 2sin 2y x=2cos 2y x x =-A ．向右平移个单位 B ．向右平移个单位 6π12πC ．向左平移个单位D ．向左平移个单位6π12π【答案】D【详解】试题分析：根据题意，由于将函数的图像向左平移个2cos 2=2sin(2)6y x x x π=--12π单位得到，可知成立，故答案为D.=2sin(2+2126y x x ππ-（）【解析】三角函数图像的变换点评：主要是考查了三角函数的图象的平移变换的运用，属于基础题．6．设与的夹角为，则在上的投影向量为（）||5,||3,a b a == b120︒a b A ．B ．C ．D ． 56b 56b - 310b 310b -【答案】B【分析】直接根据投影向量的公式计算即可.【详解】在上的投影向量为：a b. 2215cos120cos1205236a b a a b b b b b b b b b ⎛⎫⨯- ⎪⋅︒⋅︒⋅⎝⎭⋅=⋅=⋅=⋅=- 故选：B7．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为AB，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂顶的仰角分别35m M B M D A C 是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则犇犇估算索菲亚教堂的高度约为（结果45︒60︒A C 15︒CD 保留整数）（）A ．B ．C ．D ．44m 47m 50m 53m 【答案】D【分析】在，由边角关系得出，再由正弦定理计算出中的Rt ABM A AM =ACM △，最后根据直角三角形算出即可.CM =DCM CD 【详解】解：由题意知：，，所以， 60CAM ∠=︒75AMC ∠=︒45ACM ∠=︒在中，，Rt ABM A sin sin 45AB ABAM AMB ===∠︒在中，由正弦定理得，ACM △M Msin 45sin 60A C =︒︒所以，sin 60sin 45AM CM ︒===︒在中，，Rt DCM A 3sin 60 1.53552.5532CD CM AB =⋅︒==⨯=≈故选：D.8．已知函数满足对恒成立，则函数 ()sin(2)f x x ϕ=+()()f x f a ≤x R ∈A ．一定为奇函数 B ．一定为偶函数 ()f x a -()f x a -C ．一定为奇函数 D ．一定为偶函数()f x a +()f x a +【答案】D【详解】由题意得，时，则，，所以()sin(2)1f x a ϕ=+=222a k πϕπ+=+k ∈Z ，此时函数为偶函数，故选D ．()sin(22)sin(22)cos 22f x a x a x k x πϕπ+=++=++=二、多选题9．已知向量，，则（）(2,1)a =(3,1)b =-A ．()a b a +⊥ B ．向量在向量上的投影向量是a bC ．|2|5a b +=D ．与向量共线的单位向量是a【答案】AC【分析】由向量垂直的坐标表示，数量积的定义，模的坐标表示，共线向量的坐标表示及单位向量的定义计算后判断．【详解】解：因为向量，，故，(2,1)a = (3,1)b =- 5a b ⋅=- 对于A ，，所以，所以，故A 正确； (1,2)a b +=- ()2(1)210a b a +⋅=⨯-+⨯= ()a b a +⊥对于B ，向量在向量上的投影向量是，（注a b 2251||cos ||(3)12||||||||||b a bb a b a a b b b b a b b b θ⋅⋅-⋅=⋅⋅=⋅==--+是向量的夹角），故B 错误；:θ,a b对于C ，，所以，故C 正确；2(4,3)a b +=- |2|5a b +==对于D ，共线的单位向量是，即或，故D 错误. a ||a a ± (故选：AC.10．若复数满足，则（） z ()12i 10z -=A ． 24i z =-B ．是纯虚数2z -C ．复数在复平面内对应的点在第三象限z D ．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则z αsin α【答案】AB【分析】对于A ：计算出复数的代数形式即可判断； z 对于B ：求出的代数形式即可判断；2z -对于C ：求出复数在复平面内对应的点即可判断其位置； z 对于D ：通过复数在复平面内对应的点求出即可判断. z sin α【详解】对于A ：，，A 正确； ()()()1012i 1024i 12i 12i 12i z +===+--+24i z ∴=-对于B ：，为纯虚数，B 正确；224i 24i z -=+-=对于C ：，其在复平面内对应的点为，在第一象限，C 错误； 24z i =+()2,4对于D ：复数在复平面内对应的点为，则，D 错误. z ()2,4sin α=故选：AB.11．已知函数（其中，，的部分图象，则下列结论正确()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>0πϕ<<的是（）．A ．函数的图象关于直线对称 ()f x π2x =B ．函数的图象关于点对称()f x π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．函数在区间上单调增()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．函数与的图象的所有交点的横坐标之和为1y =()π23π1212y f x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭8π3【答案】BCD【分析】现根据图像求出函数的解析式，再根据图像性质对每个选项进行判断即可. ()f x 【详解】由图可知，，即， 2A =2543124T πππ=-=T π=因，且，故，因此，2T ωπ=0ω>2ω=()2sin(2)f x x ϕ=+又因的图像过点，所以， ()y f x =2,23π⎛⎫-⎪⎝⎭222,32k k Z ππϕπ⨯+=-+∈因，故，因此.0<<πϕ6πϕ=()2sin(26f x x π=+对于选项A ，由，得的对称轴为， 262x k πππ+=+()y f x =,62k x k Z ππ=+∈故不是函数的对称轴，因此A 错；2x π=()f x 对于选项B ，由，得函数的对称中心为，， 26x k ππ+=()f x ,0122k ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭Z k ∈故函数的图像关于点对称，因此B 正确；()f x ,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对于选项C ，由，222262k x k πππππ-+≤+≤+得函数的单增区间为，，()f x ,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈故函数在区间上单调递增，因此C 正确；()f x ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于选项D ，由，做出如下图形：()2sin(2)6f x x π=+由图可知，函数与的图像在上有4个交点，1y =()y f x =23,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦则这4个交点的横坐标之和为，故D 正确.7822663πππ⨯+⨯=故选：BCD.12．在中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，则下列说法正ABC A 23cos 3cos b C c B a +=确的是（） A ． 3a =B ．若，且有两解，则b 的取值范围为 π4A =ABC A ⎡⎣C ．若，且为锐角三角形，则c 的取值范围为 2C A =ABC A (D ．若，且，O 为的内心，则 2A C =sin 2sin B C =ABC A AOB S =△【答案】ACD【分析】选项A ：根据条件求出；选项B ：由余弦定理得23cos 3cos b C c B a +=3a =，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,求得b 的取值范围；229b c =+c 选项C ：根据正弦定理得，利用为锐角三角形求角A 的范围，从而求边的范围；6cos c A =ABC A c 选项D ：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用等面积法求的内切C ABC A ABC A 圆半径，从而求的面积.AOB A 【详解】解：对于A 选项，因为，23cos 3cos b C c B a +=所以由正弦定理，得,即， 3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=()3sin sin B C a A +=因为，所以，且，所以，A 选项正确； πA B C ++=()sin sin B C A +=sin 0A ≠3a =对于B 选项，由余弦定理得， 2222cos a b c bc A =+-229b c =+将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,c 2209c b +-=故 ,解得，所以选项B 错误；()22290)490b b ⎧->⎪⎨-->⎪⎩(b ∈对于C 选项，由正弦定理，得，即， sin sin 2a cA A=2cos 6cos c a A A ==因为为锐角三角形，ABC A 所以，即，解得， π02π02π02A B C⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩ππ64A <<所以，故选项C 正确； (6cos c A =∈对于D 选项，因为，所以， sin 2sin B C =2b c =因为，所以， 2A C =()sin sin sin 3B A C C =+=所以由正弦定理，得，即， sin sin b c B C =2sin 3sin c c C C=sin 32sin C C =所以， sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=即，222sin cos 2cos sin sin 2sin CC C C CC +-=因为，所以，即， sin 0C ≠222cos 2cos 3C C +=23cos 4C =又因为， 2A C =所以，，，是直角三角形，π6C =π3A =π2B =b c ==ABCA 所以内切圆的半径满足，即r ()1122ABC S a b c r ac =++=A ac r a b c ==++所以的面积为D 正确. AOB A 1122S cr ===故选：ACD.【点睛】方法点睛:在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是，如＝，则,特别是在求值域问题时会用到. (0,π)B π32π(0,)3A ∈②在锐角三角形中，不要只考虑，还要想到另外两角之和在内,若再知其中一π,,(0,)2A B C ∈π(,π)2角,要考虑其它角的范围,如＝，则,所以; B π32ππ32A C =-<ππ63C <<若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中，综合三个角为锐角有,得2A C =π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩. ππ64A <<三、填空题13．已知非零向量与满足，则向量与夹角的余弦值为__________. a b ||4||,|2|||b a a b b =-=a b 【答案】/0.25 14【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.【详解】因为， ||4||,|2|||b a a b b =-=所以，，222a b b -= 22244a a b b b -⋅+= 所以，2a b a ⋅= 所以.221cos ,44a a b a b a b a ⋅===故答案为：1414．已知_____. sin cos 22θθ+=sin θ=【答案】13【分析】把等式. sin cos 22θθ+=【详解】由题得. 221sin cos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=故答案为：13【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，考查同角的平方关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为，则(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩＋＝______.()5f 41()6f 【答案】/0.5 12【分析】根据函数的周期性和奇偶性及分段函数的性质求函数值. 【详解】解：由题意得：函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩ ∴()415(6f f +7(41)(86f f =++-7(1)(6f f =+-7(1)(6f f =- 71(11)sin(6π=⨯-- 12=故答案为：1216．在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，z z |1||i |z z -=+i 02i z =+0Z 对应的点为点，则点与点之间距离的最小值_________________ Z 0Z Z【分析】根据已知条件，集合复数模公式，求出点Z 的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】设， i(,R)z x y x y =+∈，|1||i |z z -=+,|1i ||(1)i |x y x y ∴-+=++化简整理可得，0x y +=复数的对应点的轨迹，∴z Z 0x y +=对应的点为点，02i z =+ 0(2,1)Z点与点， ∴0Z Z=四、解答题17．平面内给定三个向量，，.(3,2)a =(1,2)b =- (4,1)c =(1)求； cos ,a b (2)求；|2|a b - (3)若，求实数k .()(2)a kc b a +⊥-【答案】(3) 1118-【分析】（1）根据平面向量夹角的坐标公式即可求解；（2）根据平面向量模长公式的坐标表示即可求解；（3）根据平面向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）解：因为，，(3,2)a =(1,2)b =-所以，，()31221a b ⋅=⨯-+⨯= a===所以 cos ,a b a b a b⋅===（2）解：因为，，所以， (3,2)a =(1,2)b =- ()()()223,21,27,2a b -=--= 所以；|2|a b -==（3）解：因为，，， (4,1)c =(43,2)a kc k k +=++ 2(5,2)b a -=- 又，()(2)a kc b a +⊥-所以，解得. ()()()435220k k +⨯-++⨯=1118k =-18．已知，计算下列各式的值． sin cos 3sin cos αααα+=-(1)；tan α(2).2sin 2sin cos 1ααα-+【答案】(1)2(2)1【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系，利用已知条件即可求出； sin tan cos ααα=tan α（2）根据同角三角函数的平方关系构造齐次式，再利用商数关系化简，代入求值即可.【详解】（1）解：已知，化简， sin cos 3sin cos αααα+=-得，所以. 4cos 2sin αα=sin tan 2cos ααα==（2） 22222222sin 2sin cos tan 2tan 222sin 2sin cos 1111sin cos tan 121ααααααααααα---⨯-+=+=+=++++.1=19．已知、，是虚数单位，若复数与互为共轭复数.a b ∈R i 1i z a =-22i z b =+(1)判断复平面内对应的点在第几象限；2z (2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.()218m z m --m 【答案】(1)第一象限(2)(2,6【分析】（1）根据共轭复数的定义可求出、的值，利用复数的几何意义可得出结论； a b （2）利用复数的四则运算化简复数，利用复数的几何意义可出关于实数的不等式()218m z m --m 组，解之即可.【详解】（1）解：因为、，是虚数单位，若复数与互为共轭复数， a b ∈R i 1i z a =-22i z b =+则，所以，，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限. 21a b =⎧⎨=⎩22i z =+2z ()2,1（2）解：由（1）可得，12i z =-， ()()()()()2222182i 828122i 12322i m z m m m m m m m m m --=-+-=---+-=-++-因为复数在复平面内对应的点在第二象限， ()218m z m --则，解得2123020m m m ⎧-+<⎨->⎩26m <<因此，实数的取值范围是. m (2,620．已知向量，，. )a = ()cos ,sinb x x = ()0,πx ∈(1)若，求的值；a b ⊥ x(2)若，且的值. ()f x a b =⋅ ()f α=πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1) 23π(2) 59-【分析】（1）根据题意得到即可得到答案. tan x =()0,πx ∈（2）首先根据题意得到，再根据πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭22ππ5cos 212sin 339αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可. π2ππsin 2sin 2632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】（1）因为所以，所以a b ⊥ sin 0a b x x ⋅=+= tan x =由于，所以. ()0,πx ∈2π3x =（2）由 ()sin 2sin 3f x a b x x x π⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎝⎭所以. ()π2sin 3f αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭而 22ππ5cos 212sin 339αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. π2ππ2π5sin 2sin 2cos 263239ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21．的内角的对边分别为，已知.ABC A ,,A B C ,,a b c 120B =(1)若的值；1,a b ==A (2)若，求周长的最大值.3b =ABC A 【答案】(1)30(2)3+【分析】（1）由正弦定理求得，进而求得的大小； 1sin 2A =A （2）由余弦定理化简得到，结合基本不等式，求得的最大值，22()b a c ac =+-22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭a c +进而求得周长的最大值.ABC A【详解】（1）解：由正弦定理知，解得， sin sin b a B A =1sin A=1sin 2A =因为为钝角，所以.B 30A = （2）解：由余弦定理得， 2222222cos ()b a c ac B a c ac a c ac =+-=++=+-又由，则， 0,0a c >>22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭所以， 222239()()()24a c a c ac a c a c +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭所以时，等号成立，即的最大值为a c +≤a c =a c +所以周长的最大值为ABC A 3+22．为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地A B C D 点送餐.已知，，，且，.300m AB =200m AD =100m CD =AB CD ∥60BAD ∠=︒(1)求的长度.AC (2)假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速AB BC CD AD 250m /min 度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.【答案】(1)(2)8min【分析】（1）根据余弦定理即可求解；（2）根据余弦定理求解，进而得，由两角和与差的余弦公式可得，cos CAD ∠sin CAD ∠cos BAC ∠进而由余弦定理求解，根据三种不同的送餐路线，计算路程的大小，即可比较求解.AB 【详解】（1）因为，，所以，AB CD ∥60BAD ∠=︒120ADC ∠=︒在中，由余弦定理，得ACD A AC. ==（2）在中，由余弦定理，得 ACD A 222cos 2AD AC CD CAD AD AC+-∠==⋅所以 sin CAD ∠==所以()11cos cos cos 22BAC BAD CAD CAD CAD ∠=∠-∠=∠∠==在中，由余弦定理，得ABC A 2222cos BC AC AB AC AB BAC =+-⋅⋅∠，解得. (22300230040000=+-⨯=200m BC =假设小夏先去地，走路线，路长，B A BCD ---600m假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长， C BC CD >A C D C B ----(400m +假设小夏先去地，走路线，路长，D A D C B ---500m由于500600400<<+所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为. A D C B ---500238min 250+⨯=。

第一中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析

根据不等式的性质结合特殊值法对A、B二个选项进行判断，利用作差比较法对选项C、D进行判断。
【详解】A：根据不等式的性质可知当，时，能得到 .例如当，，显然，成立，但是不成立，故本选项说法不正确；
B:当时,显然不成立，故本选项说法不正确;
C：，故本选项说法不正确；
D：
，故本选项说法是正确的.
则 , ，
（2）设等比数列的公比为，
，且 .
，或。
又，， ,
，
。
【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式基本量的计算以及前项和公式,熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
19。已知数列的前项和为，且。
（1)求证：为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和。
22.已知数列的前项和为， ,数列满足，点在直线上．
福建省莆田第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.若，则下列说法正确的是（）
A。若 , ,则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
21.如图,GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB=ykm，并在公路同侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC，已知AB=AC1，且∠ABC= 60o．
（1）求y关于x的函数解析式；
5。在中，若，则是（）

福建省莆田第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题及答案

则 tan C tan C
．
tan A tan B
16．菱形 ABCD 中， AB 2 ， DAB 120 ，将CBD 沿 BD 折起，C 点变为 E 点，当四面体
E ABD 的体积最大时，四面体 E ABD 的外接球的面积为
．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应写出文字说明、证
（）
A．
CE
1
AD
AC
3
C． CE
2
AB
8
AC
99
B． CE
1
AD
AC
3
D． CE
2
AB
8
AC
99
10.
在 ABC

中，内角 A, B,C
的对边分别为 a, b, c ，已知 cos B cos C
b 2a c
，S△ABC
33 4
，且 b
3，
则（
）
A． cos B 1 2
在 ABC 中，由正弦定理得 AB sin ACB
BC sin BAC
50 ，即 sin 8
BC sin 45
，
所以 BC 50 0.7 250 0.14
在 RtBDC 中， sin BCD BD ，即 sin 37 BD ，
BC
250
所以 BD 250 0.6 150 ，所以山高 BE BD DE 150 1.5 151.5 152 m．
mb nc 4n m, 2m n ，
a
mb
nc
，
a
(3,
2)
4n
m,
2m
n

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