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对数函数及其性质知识点总结经典讲义

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第19讲 对数函数图像及性质

第19讲 对数函数图像及性质

第19讲对数函数图像及性质【知识点梳理】1.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数，它是指数函数x y a =(0a >且1)a ≠的反函数．对数函数的图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于y x =的对称图形，即可获得．同样也分1a >与01a <<两种情况归纳：以2log y x =与12log y x =为例1a >01a <<图象性质定义域：(0)+∞，值域：R过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，0y ≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y≤(2)底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)图2-3-3【典型例题】题型一：对数函数的概念【例1】下列函数是对数函数的是（）A ．()log 2a yx =B ．lg10xy =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x=【题型专练】1.已知函数①4x y =；②log 2x y =；③3log y x =-；④0.2log y =3log 1y x =+；⑥()2log 1y x =+.其中是对数函数的是（）A ．①②③B ．③④⑤C ．③④D ．②④⑥题型二：对数函数的定义域【例1】函数()ln 1f x -的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4【例2】函数y =）A ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)1,+∞【例3】已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．2⎤⎥⎣⎦D ．⎤⎦【例4】下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（）A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y【例5】已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()()()lg 2f x g x x =-的定义域为（）A ．[]2,5B ．()(]2,33,5⋃C ．(]2,5D ．[)(]2,33,5⋃【题型专练】1.函数()()2ln 56f x x x =-+-的定义域是__________．2.已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（）A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．3.函数()()1log 121-=x x f 的定义域为（）.A ．(),2-∞B ．()2,C ．()1,2D ．(]1,24.函数()21log (3)f x x =-的定义域为题型三：对数函数的定义域为R 和值域为R 的区别【例1】已知函数()()2lg 32f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是___________.【例2】函数()()2lg 234f x mx x =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围为______．【题型专练】1．（1）若函数()()22log 1f x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是___________；（2）若函数()()22log 1f x ax ax =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是___________.2.若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。

对数函数的知识点归纳总结

对数函数的知识点归纳总结

对数函数的知识点归纳总结【对数函数的知识点归纳总结】对数函数是数学中一种常见的函数类型，它在许多领域中都有广泛的应用。

对数函数可以通过指数函数的逆运算来定义，具有独特的特性和重要的性质。

本文将对对数函数的定义、性质、常用公式以及应用进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用对数函数。

一、对数函数的定义对数函数的定义基于指数函数，对于任意正数a、b（其中 a ≠ 1），对数函数y = logₐ b表示a的y次方等于b。

其中，a为底数，b为真数，y为对数。

对数函数可以写成指数形式的等价表达式，即a^y = b。

二、对数函数的性质1. 底数为正数且不等于1的对数函数定义域为(0, +∞)，值域为(-∞,+∞)。

2. 对数函数的图像在直线y = x和底数为a的指数函数的图像y =a^x关于y = x的对称轴上对称。

3. 对数函数的图像随底数的变化而变化，对于不同的底数，对数函数的图像呈现出不同的特性和形状。

三、常用对数函数公式1. 换底公式：logₐ b = logₐ c / logc b，用于将一个底数下的对数转化为另一个底数下的对数。

2. 对数运算法则：- 乘法法则：logₐ (b·c) = logₐ b + logₐ c- 除法法则：logₐ (b/c) = logₐ b - logₐ c- 幂法法则：logₐ (b^k) = k·logₐ b，其中k为任意常数- 指数形式转换：logb a = 1 / logₐ b3. 对数函数的特殊值：- logₐ 1 = 0，对于任意正数a（a ≠ 1）- logₐ a = 1，对于任意正数a（a ≠ 1）- log₁₀ 10 = 1，logⱼ ⱼ = 1，对于任意正整数j（j ≠ 1）四、对数函数的应用1. 解决指数方程：对数函数可以将指数方程转化为对数方程，利用对数函数的性质和公式求出方程的解。

2. 简化复杂计算：对数函数可以简化复杂的数学计算，如乘法、除法和指数运算等。

对数函数及其性质知识点总结与例题讲解

对数函数及其性质知识点总结与例题讲解

对数函数及其性质知识点总结与例题讲解本节知识点（1）对数函数的概念; （2）对数函数的图象及其性质; （3）与对数函数有关的函数的定义域; （4）与对数函数有关的函数的值域;（5）与对数函数有关的函数的单调性及其应用; （6）与对数函数有关的函数的奇偶性; （7）反函数.知识点一 对数函数的概念一般地,函数x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是()+∞,0. 对数函数概念的理解 （1）形如x y a log =;（2）底数a 满足0>a 且1≠a ; （3）真数是x ,而不是含x 的表达式; （4）函数的定义域为()+∞,0. 两种特殊的对数函数特别地,以10为底的对数函数x y lg =叫做常用对数函数;以无理数e 为底的对数函数x y ln =叫做自然对数函数.例1. 给出下列函数:①232log x y =; ②()1log 3-=x y ; ③()x y x 1log +=; ④x y πlog =.其中是对数函数的有【 】（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个解:对于①②,因为对数函数的真数只能是自变量x ,不能是含自变量x 的表达式,所以它们都不是对数函数,而是对数函数型函数;对于③,因为对数函数的底数是一个大于0且不等于1的常数,包含自变量,所以它不是对数函数.对于④,符合对数函数的定义. 故对数函数只有一个,选择【 A 】.例2. 下列函数中,是对数函数的是【 】（A ）()x y -=21log （B ）()x y -=1log 24（C ）x y ln = （D ）()x y a a +=2log解:选择【 C 】.知识点二 对数函数的图象及其性质一般地,对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的图象和性质如下表所示:对数函数图象的三个关键点对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的图象经过三个关键点:()0,1,()1,a 和⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a .利用对数函数图象的三个关键点,可以快速地作出对数函数图象的简图.特别提醒指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象经过三个关键点:()1,0,()a ,1和⎪⎭⎫⎝⎛-a 1,1.根据这三个关键点,可以快速地作出指数函数图象的简图.不难得出:在同一平面直角坐标系中,对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）图象的三个关键点与指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）图象的三个关键点关于直线x y =对称. 底数对对数函数图象的影响 （1）对数函数的对称性结论 函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的图象与函数x y a1log =（0>a 且1≠a ）的图象关于x 轴对称.事实上,x x x y a a alog log log 111-===-,因为函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于x 轴对称,所以函数x y a log =与函数x y a1log =的图象关于x 轴对称.观察在同一平面直角坐标系在,分别画出函数x y 2log =,x y 3log =,x y 21log =和x y 31log =的图象,如图所示,体会对数函数图象的对称性.= log 13x12x3x2x（2）底数a 决定对数函数的单调性 当1>a 时,对数函数的图象从左到右是上升的,函数在()∞+0上为增函数;当10<<a 时,对数函数的图象从左到右是下降的,函数在()∞+0上为减函数.（3）底数a 的大小决定对数函数图象相对位置的高低不论是1>a ,还是10<<a ,在第一象限内,取相同的函数值时,图象所对应的对数函数的底数从左到右逐渐变大.（1）上下比较 在直线1=x 的右侧,a 越大,图象越靠近x 轴;当10<<a 时,a 越小,图象越靠近x 轴.（2）左右比较 比较图象与直线1=y 的交点,交点的横坐标越大,对应的函数的底数越大. 注意 若比较图象与直线1-=y 的交点,交点的横坐标越大,对应的函数的底数越小. 说明 在平面直角坐标系中,对数函数x y a log =的图象与直线1=y 的交点为()1,a ,即交点的横坐标等于对数函数的底数,故在第一象限内,交点的横坐标越大,对数函数的底数就越大;对数函数x y a log =与直线1-=y 的交点为⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a ,故在第四象限内,交点的横坐标越大（即a1越大）,对数函数的底数反而越小. 关于对数函数函数值正负的判断根据对数函数的图象,当1>a ,1>x ,或10<<a ,10<<x 时,函数值0>y ,简记为同区间为正;当1>a ,10<<x ,或10<<a ,1>x 时,函数值0<y ,简记为异区间为负.即同区间为正,异区间为负.特别地,当1=x 时,0=y ,即对数函数的图象恒过点()0,1. 例3. 函数x y 2log =的定义域是[)64,1,则函数的值域是【 】（A ）R （B ）[)+∞,0 （C ）[)6,0 （D ）[)64,0解:∵12>=a ,∴函数x y 2log =在[)64,1上为增函数∴1log 2≤64log log 22<x ,∴0≤6log 2<x ,即0≤6<y . ∴函数的值域是[)6,0.选择【 C 】.例4. 已知()()1log -=x x f a （0>a 且1≠a ）,则函数()x f 的图象必过定点______. 解:∵对数函数的图象恒过定点()0,1∴令11=-x ,即2=x ,则()01log ==a x f∴函数()x f 的图象必过定点()0,2.例5. 函数()()11log +-=x x f a （0>a 且1≠a ）的图象恒过点【 】（A ）()1,1 （B ）()2,1 （C ）()1,2 （D ）()2,2解:令11=-x ,则2=x ,111log =+=a y∴函数()x f 的图象恒过点()1,2. 选择【 C 】.例6. （1）函数()()432log --=x x f a （0>a 且1≠a ）的图象恒过定点【 】（A ）()0,1 （B ）()4,1- （C ）()0,2 （D ）()4,2- （2）已知函数()21log ++=x y a （0>a 且1≠a ）的图象恒过定点A ,若点A 也在函数()b x f x +=2的图象上,则=b 【 】（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3解:（1）令132=-x ,则2=x ,4-=y∴函数()x f 的图象恒过定点()4,2-. 选择【 D 】.（2）令11=+x ,则0=x ,2=y ,∴()2,0A .把()2,0A 代入()b x f x +=2得:220=+b ,解之得:1=b . 选择【 B 】.例7. 函数()22log 1+++=+x a ax y （0>a 且1≠a ）的图象必经过的点是【 】（A ）()3,0 （B ）()2,2 （C ）()2,1- （D ）()3,1-解:令12=+x ,则1-=x ,321021log 0=++=++=a y a .∴该函数的图象必经过点()3,1-. 选择【 D 】.例8. 已知0>a 且1≠a ,0>b 且1≠b ,如果无论b a ,在给定的范围内取任何值时,函数()2log -+=x x y a 与函数2+=-c x b y 的图象总经过同一个定点,则实数c 的值为__________.解:令12=-x ,则3=x ,31log 3=+=a y∴定点的坐标为()3,3∴函数2+=-c x b y 的图象恒过点()3,3令03=-=-c c x ,则32,30=+==b y c ,符合题意. ∴实数c 的值是3.例9. 已知函数()()xx f -+=21log 2,则函数的值域是【 】（A ）[)2,0 （B ）()+∞,0 （C ）()2,0 （D ）[)+∞,0解:设()xx g -+=21,∵02>-x,∴()1>x g ,即()()+∞∈,1x g .∴()01log 21log 22=>+-x ,即()0>x f . ∴该函数的值域是()+∞,0. 选择【 B 】.例10. 不等式()()x x ->+3log 12log 2121的解集是__________.分析:对数函数在其定义域内为单调函数,其单调性与底数a 有关.本题中121<=a ,函数在()+∞,0内为减函数,据此可列出关于两个真数的不等式. 解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧-<+>->+xx x x 31203012,解之得:3221<<-x .∴该不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-32,21.例11. 若函数()()a x ax x f +-=2lg 的定义域为R ,则实数a 的取值范围是【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21 （B ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2121,（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2121,分析:本题考查二次函数的函数值恒大于0的问题,注意分类讨论.函数()()a x ax x f +-=2lg 的定义域为R 的意思是不论x 为任何实数,总有()02>+-=a x ax x g 成立,属于R 上的恒成立问题.解:设()a x ax x g +-=2,由题意可知,()0>x g 在R 上恒成立.当0=a 时,()x x g -=,不符合题意,舍去;当0≠a 时,则有()⎩⎨⎧<--=∆>041022a a ,解之得:21>a . ∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21.选择【 C 】.例12. 若函数()1log 2+-=ax x y a （0>a 且1≠a ）有最小值,则实数a 的取值范围是__________.解:设()12+-=ax x x g ,当1>a 时,()min min log x g y a =,则()0min >x g∴042<-=∆a ,解之得:22<<-a . ∴21<<a ;当10<<a 时,()max min log x g y a =,由于()max x g 不存在,所以此种情况不符合题意. 综上所述,实数a 的取值范围是()2,1.例13. 设函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=x a x f a 1log ,其中10<<a . （1）证明:()x f 是()+∞,a 上的减函数; （2）若()1>x f ,求x 的取值范围.证明:（1）任取()+∞∈,,21a x x ,且21x x <,则有()()()()a x x a x x x a x a x a x a x f x f a a a a --=--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2112212121log 11log 1log 1log ∵()()()()()()()a x x x x a a x x a x x a x x a x x a x x --=----=---212121*********,()+∞∈,,21a x x ,且21x x <,且10<<a∴,021<-x x ()021>-a x x∴()()02121<--a x x x x a ,即()()12112<--a x x a x x ∴()()01log log 2112=>--a aa x x a x x ,∴()()()()2121,0x f x f x f x f >>-.∴()x f 是()+∞,a 上的减函数; 证法二:设()xax g -=1,任取()+∞∈,,21a x x ,且21x x <,则有 ()()()21211221211111xx x x a x x a x a x a x g x g -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-. ∵()+∞∈,,21a x x ,且21x x <,且10<<a ∴()0,02121<->x x a x x ∴()()()()2121,0x g x g x g x g >>- ∴()x g 在()+∞,a 上是增函数 ∵10<<a∴()()x g x a x f a a log 1log =⎪⎭⎫⎝⎛-=是()+∞,a 上的减函数;解:（2）∵()1>x f ,∴a x a a a log 1log >⎪⎭⎫⎝⎛-∵10<<a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-axa x a 101,解之得:a a x a -<<1.∴x 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a 1,.指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数的性质的比较如下表所示:知识点三 与对数函数有关的函数的定义域 （1）对数函数x y a log =的定义域为()+∞,0.（2）形如()()x f y x g log =的函数,其定义域由()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠>>100x g x g x f 确定.（3）形如()x f y a log =的函数的定义域,必须保证每一部分都有意义. 例14. 函数()()1lg 1++-=x x x f 的定义域是__________.解:由题意可知:⎩⎨⎧>+≥-0101x x ,解之得:x <-1≤1.∴该函数的定义域为(]1,1-.例15. 函数()1log 232+--=x xy 的定义域是【 】（A ）()3,1- （B ）(]3,1- （C ）()3,∞- （D ）()+∞-,1解:由题意可知:()⎪⎩⎪⎨⎧≠+->+≥-01log 201032x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧≠->≤313x x x ,∴31<<-x .∴该函数的定义域为()3,1-. 选择【 A 】.例15. 函数()()x x x f -+-=2lg 11的定义域是【 】（A ）()3,1 （B ）()1,0 （C ）[)2,1 （D ）()2,1解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-120201x x x ,解之得:21<<x .∴该函数的定义域为()2,1. 选择【 D 】.例16. 若函数()1log 2+-=ax x y a 的定义域为R ,则a 的取值范围是【 】（A ）10<<a （B ）20<<a 且1≠a （C ）21<<a （D ）a ≥2解:由题意可知:0>a ,且1≠a .∵函数()1log 2+-=ax x y a 的定义域为R ∴012>+-ax x 在R 上恒成立 ∴042<-=∆a ,解之得:22<<-a . ∴20<<a ,且1≠a . 选择【 B 】.例17. 函数()()1log 14212++--=x x x x f 的定义域是____________.解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>+≠-≥-0101042x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧->≠≤≤-1122x x x ,∴x <-1≤2,且1≠x .∴该函数的定义域是{}1,21≠≤<-x x x 且.例18. 求下列函数的定义域:（1）()()312lg -+-=x x x f ; （2）()()x x 416log 1-+.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧≠->-0302x x ,解之得:2>x 且3≠x .∴该函数的定义域为()()+∞,33,2 ;（2）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-11010416x x x ,解之得:41<<-x ,且0≠x .∴该函数的定义域为()()4,00,1 -.例19. 函数()()46lg -+-=x x x f 的定义域为【 】（A ）()6,∞- （B ）[)6,4 （C ）[)+∞,4 （D ）()6,4解:由题意可知:⎩⎨⎧≥->-0406x x ,解之得:4≤6<x .∴该函数的定义域为[)6,4. 选择【 B 】.例20. （1）已知函数()()1lg +=x f y 的定义域为(]99,0,则函数()()2log 2+=x f y 的定义域为__________.（2）已知函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=a x a ax x f 411log 22的定义域为R ,求a 的取值范围.解:（1）∵(]99,0∈x ,∴(]100,11∈+x ,∴(]2,0lg ∈x .∴函数()x f 的定义域为(]2,0.∴()2log 02+<x ≤2,∴21+<x ≤4,解之得:x <-1≤2. ∴函数()()2log 2+=x f y 的定义域为(]2,1-.（2）∵函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=a x a ax x f 411log 22的定义域为R .∴()04112>+-+a x a ax 在R 上恒成立. 当0=a 时,0>-x 不恒成立;当0≠a 时,则有()⎩⎨⎧<--=∆>01022a a a ,解之得:21>a . 综上所述,a 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21.例21. 已知函数()x x f 2log =的值域是[]4,0,则函数()()()22xf x f x +=ϕ的定义域为【 】（A ）[]4,1 （B ）[]8,1 （C ）[]16,1 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,21解:∵函数()x x f 2log =的值域是[]4,0∴0≤x 2log ≤4,∴1≤x ≤16. ∴函数()x f 的定义域为[]16,1. ∵函数()()()22x f x f x +=ϕ∴⎩⎨⎧≤≤≤≤16116212x x ,解之得:1≤x ≤4. ∴函数()x ϕ的定义域为[]4,1. 选择【 A 】.例22. 求函数()31lg 1-+=x y 的定义域.解:由题意可知:⎩⎨⎧≠+>+310101x x ,解之得:1->x 且999≠x . ∴该函数的定义域为()()+∞-,999999,1 .例23. 已知函数()x f 的定义域为[]1,0,求函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 3log 21的定义域.解:∵函数()x f 的定义域为[]1,0∴0≤()x -3log 21≤1,∴1log 21≤()x -3log 21≤21log 21. ∴1≥x -3≥21,解之得:2≤x ≤25. ∴函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 3log 21的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2.例24. 函数()365lg 42-+-+-=x x x x x f 的定义域为【 】（A ）()3,2 （B ）(]4,2 （C ）()(]4,33,2 （D ）()(]6,33,1 -解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≥-0365042x x x x ,即⎩⎨⎧≠>≤≤-3,244x x x 且,∴x <2≤4,且3≠x .∴该函数的定义域为()(]4,33,2 .选择【 C 】.例25. 求下列函数的定义域:（1）()1log 12-=x y ; （2）()3lg -=x y ;（3）()x y 416log 2-=; （4）()()x y x -=-3log 1.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧≠->-1101x x ,解之得:1>x 且2≠x .∴该函数的定义域为()()+∞,22,1 ;（2）由题意可知:⎩⎨⎧≥->-1303x x ,解之得:x ≥4.∴该函数的定义域为[)+∞,4;（3）由题意可知:0416>-x ,解之得:2<x . ∴该函数的定义域为()2,∞-;（4）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧≠->->-110103x x x ,解之得:31<<x ,且2≠x .∴该函数的定义域为()()3,22,1 .例26. 设函数24x y -=的定义域为A ,函数()x y -=1ln 的定义域为B ,则=B A 【 】（A ）()2,1 （B ）(]2,1 （C ）()1,2- （D ）[)1,2-解:由题意可知:{}{}22042≤≤-=≥-=x x x x A ,{}{}101<=>-=x x x x B ∴{}[)1,212-=<≤-=x x B A . 选择【 D 】.例27. 求下列函数的定义域:（1）()()x x x x x f --+=22lg ; （2）()()x x f 21ln 1-=;（3）()()x x f lg 2ln -=; （4）()()12log 121+=x x f .解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧>-+≠-0202x x x x ,即⎩⎨⎧<<-<210x x ,∴01<<-x . ∴该函数的定义域为()0,1-;（2）由题意可知:⎩⎨⎧≠->-121021x x ,解之得:21<x 且0≠x .∴该函数的定义域为()⎪⎭⎫⎝⎛∞-21,00, ;（3）由题意可知:⎩⎨⎧>->0lg 20x x ,解之得:1000<<x .∴该函数的定义域为()100,0;（4）由题意可知:⎩⎨⎧≠+>+112012x x ,解之得:21->x ,且0≠x .∴该函数的定义域为()+∞⎪⎭⎫⎝⎛-,00,21 .例28. 求下列函数的定义域:（1）()()x x x f -=2ln ; （2）()()1log 122-=x x f ;（3）()()x x x f 35lg lg -+=; （4）()()125ln 1-+-=x e x x f .解:（1）由题意可知:02>-x x ,()01>-x x ,解之得:0<x 或1>x .∴该函数的定义域为()()+∞∞-,10, ;（2）由题意可知:()()⎩⎨⎧>-+>01log 1log 022x x x ,解之得:210<<x 或2>x .∴该函数的定义域为()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,221,0 ;（3）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-≥>03510x x x ,解之得:1≤35<x .∴该函数的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,1;（4）由题意可知:⎩⎨⎧≥->-01125x e x ,解之得:0≤<x 2.∴该函数的定义域为[)2,0.例29. 函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=41log 2ax x x f a 的定义域为R ,则()xx a x g -=22的单调递增区间是【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, （B ）()1,∞-（C ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41 （D ）()+∞,1解:∵函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=41log 2ax x x f a 的定义域为R ∴0412>++ax x 在R 上恒成立,且0>a ,1≠a . ∴012<-=∆a ,解之得:11<<-a . ∴10<<a .∴()x x a x g -=22的单调递增区间即函数81412222-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x x x y 的单调递减区间,为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41,,或⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,.选择【 A 】.例30. 已知函数()()1log -=xa a x f （0>a 且1≠a ）.（1）求()x f 的定义域;（2）若10<<a ,判断()x f 的单调性,并证明你的结论.解:（1）由题意可知:1,01>>-xxa a ,∴0a a x >.当1>a 时,解之得:0>x ;当10<<a 时,解之得:0<x .∴当1>a 时,()x f 的定义域为()+∞,0,当10<<a 时,()x f 的定义域为()0,∞-; （2）()x f 在()0,∞-上为增函数,理由如下: 设()1-=x a x g ,任取()0,,21∞-∈x x ,且21x x <,则有()()()()21211121x x x x a a a a x g x g -=---=-∵10<<a ,21x x <∴021>-x x a a ,∴()()()()2121,0x g x g x g x g >>-. ∴()x g 在()0,∞-上为减函数 ∵10<<a∴()x f 在()0,∞-上为增函数.例31. 求下列函数的定义域:（1）()x y -=2lg ; （2）()x y -=2log 21; （3）()3lg 42+-=x x y .解:（1）由题意可知:()⎩⎨⎧≥-≥-02lg 02x x ,即⎩⎨⎧≥-≤122x x ,∴x ≤1.∴该函数的定义域为(]1,∞-;（2）由题意可知:⎩⎨⎧≤->-1202x x ,解之得:1≤2<x .∴该函数的定义域为[)2,1;（3）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥-1303042x x x ,解之得:23-<<-x 或x ≥2.∴该函数的定义域为()[)+∞--,22,3 .知识点四 对数型函数的值域（1）对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的值域利用函数的单调性求解;（2）求形如()x f y a log =的复合函数的值域,先求出()x f 的值域,然后结合对数函数的单调性求出函数()x f y a log =的值域;（3）求形如()x f y a log =的复合函数的值域,其中复合函数()x f y a log =一般是关于x a log 的二次函数,故可以采用换元法求解,注意新元的取值范围.例32. 求函数()1log log 2422--=x x y 的值域.分析:这里要对函数解析式进行一个小小的变形:x x x 22224log log log 2==,变形的依据是对数换底公式的性质:b b a n a n log log =.解:()()1log log 1log log 2222422--=--=x x x x y .函数的定义域为()+∞,0.设∈=x t 2log R ,则4521122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=t t t y .∴该函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,45.注意 在求函数的值域时,要先确定函数的定义域. 例33. 求下列函数的值域:（1）()12log 3-=x y ,[]2,1∈x ; （2）()43log 24.0++-=x x y .解:（1）设12-=x t ,则t y 3log =,∵[]2,1∈x ,∴[]3,1∈t .∵函数t y 3log =在[]3,1∈t 上为增函数 ∴13log ,01log 3max 3min ====y y . ∴该函数的值域为[]1,0;（2）由题意可知:0432>++-x x ,即0432<--x x ,解之得:41<<-x .∴该函数的定义域为()4,1-.设42523432+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=x x x t ,则t <0≤425（注意是在函数的定义域()4,1-内）∵函数t y 4.0log =在⎥⎦⎤⎝⎛∈425,0t 内为减函数∴2425log 4.0min -==y ,无最大值. 该函数的值域为[)+∞-,2.例34. 求下列函数的值域:（1）()4log 22+=x y ; （2）()22123log x x y -+=.解:（1）由题意可知,该函数的定义域为R .设42+=x t ,则t y 2log =,[)+∞∈,4t ∴t y 2log =≥24log 2= ∴该函数的值域为[)+∞,2;（2）设()412322+--=-+=x x x t ,则t y 21log =,∵0>t ,∴t <0≤4.∵函数t y 21log =在t <0≤4时为减函数∴t y 21log =≥24log 21-=∴该函数的值域为[)+∞-,2.例35. 求函数5log log 21221+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 在2≤x ≤4时的值域.解:设x t 21log =,则41921522+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t y . ∵2≤x ≤4,∴4log 21≤x ≤2log 21,即[]1,2--∈t∵函数419212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y 在[]1,2--∈t 上为减函数∴74192112min=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=y ,114192122max =+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=y .∴该函数的值域为[]11,7.例36. 下列函数中,其定义域和值域分别与函数xy lg 10=的定义域和值域相同的是【 】（A ）x y = （B ）x y lg = （C ）x y 2= （D ）xy 1=解:函数x y x==lg 10,其定义域为()+∞,0,值域为()+∞,0.对于（A ）,函数x y =的定义域为R ,值域为R ; 对于（B ）,函数x y lg =的定义域为()+∞,0,值域为R ; 对于（C ）,函数x y 2=的定义域为R ,值域为()+∞,0; 对于（D ）,函数211-==x xy 的定义域为()+∞,0,值域为()+∞,0.选择【 D 】.例37. 函数()⎩⎨⎧≤-+>+=1,11,ln 22x x a x x a x f 的值域为R ,则实数a 的取值范围是_________. 解:由题意可知,当1>x 时,()a x a x f 2ln 2>+=;当x ≤1时,()x f ≤1+a .∵函数()x f 的定义域为R ∴a 2≤1+a ,解之得:a ≤1. ∴实数a 的取值范围是(]1,∞-.例38. 已知函数()()()x x x f a a -++=3log 1log （0>a 且1>a ）.（1）求函数()x f 的定义域;（2）若函数()x f 的最小值为2-,求实数a 的值.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧>->+0301x x ,解之得:31<<-x .∴函数()x f 的定义域为()3,1-;（2）()()()()()()32log 31log 3log 1log 2++-=-+=-++=x x x x x x x f a a a a 设()413222+--=++-=x x x t ,则()t x f y a log ==.∵()3,1-∈x ,∴4max =t当10<<a 时,函数有最小值为4log a ,∴24log -=a ,解之得:21=a （21-=a 舍去）;当1>a 时,函数有最大值为4log a ,无最小值. 综上所述,实数a 的值21. 例39. 函数()()x x x f 2loglog 22⋅=的最小值为__________.分析:这里要用到对数换底公式的性质:b mnb a na m log log =.使用换元法求该函数的最小值,但换元后要注意新元的取值范围.解:()()()()x x x x x x x f 2222222log log log 22log 212loglog +=+⋅=⋅=,函数的定义域为()+∞,0设∈=x t 2log R ,则()412122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==t t t x f y .∴该函数的最小值为()41min min -==x f y .例40. 已知函数()x x f a log =（0>a 且1>a ）在[]4,2上的最大值与最小值的差为1,求a 的值.分析:当对数函数的底数范围不确定时,利用对数函数的单调性时要对底数进行分类讨论.解:当1>a 时,函数()x f 在[]4,2为增函数∴()()()()4log 4,2log 2max min a a f x f f x f ==== ∴12log 2log 4log ==-a a a ,解之得:2=a ; 当10<<a 时,函数()x f 在[]4,2为减函数 ∴()()()()2log 2,4log 4max min a a f x f f x f ====∴121log 4log 2log ==-aa a ,解之得:21=a . 综上所述,2=a 或21=a .例41. 已知函数()()1log ++=x a x f a x在[]1,0上的最大值与最小值之和为a ,则a的值为【 】 （A ）41 （B ）21（C ）2 （D ）4 分析:若指数函数与对数函数的底数相同,则它们在各自定义域上的单调性相同.根据函数单调性的运算性质,可以确定本题中函数()x f 在[]1,0上具有单调性,有鉴于此,在解决本题问题时不用对底数a 进行分类讨论,因为函数()x f 的最大值与最小值在给定闭区间的端点处取得.解:∵函数xa y =与()1log +=x y a 在[]1,0具有相同的单调性∴函数()()1log ++=x a x f a x 在[]1,0为增函数或减函数,具有单调性 ∴函数()x f 的最大值与最小值在[]1,0的端点处取得. ∴()()a a f f a =++=+2log 110,解之得:21=a . 选择【 B 】.例41. 已知函数()()⎩⎨⎧≥<+-=1,ln 1,321x x x a x a x f 的值域为R ,那么实数a 的取值范围是__________.解:函数()x f 的值域为函数()x x f ln =（x ≥1）和函数()()a x a x f 321+-=（1<x ）的值域的并集∵当x ≥1时,函数()x x f ln =的值域为[)+∞,0,且函数()x f 的值域为R ,设函数()()a x a x f 321+-=（1<x ）的值域为A∴(]A ⊆∞-0,∴⎩⎨⎧≥+->-0321021a a a ,解之得:1-≤21<a∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1.例42. 已知函数()x x f a log =（10<<a ）在区间[]a a 2,上的最大值是最小值的3倍,则a 的值为【 】 （A ）41 （B ）22 （C ）42 （D ）21解:∵10<<a∴函数()x x f a log =在[]a a 2,上是减函数∴()()()()12log 2log 2,1log min max +======a a a a a f x f a a f x f ∴()112log 3=+a ,解之得:42=a . 选择【 C 】.例43. 函数()()92log 3+=xx f 的值域为__________.解:该函数的值域为R .∵02>x ,∴992>+x∴()29log 92log 33=>+x ,即()2>x f . ∴函数()()92log 3+=x x f 的值域为()+∞,2.例44. 若函数()⎩⎨⎧>+≤+-=2,log 32,6x x x x x f a （0>a 且1>a ）的值域为[)+∞,4,则实数a的取值范围为__________.分析:根据分段函数值域的确定方法,函数()x f 的值域为函数()6+-=x x f （x ≤2）的值域与函数()x x f a log 3+=（2>x ）的值域的并集.因为函数()6+-=x x f （x ≤2）的值域为[)+∞,4,所以函数()x x f a log 3+=（2>x ）的值域为[)+∞,4的子集.解:由题意可知:⎩⎨⎧≥+>42log 31a a ,解之得:a <1≤2.∴实数a 的取值范围为(]2,1.例45. 已知函数()()12lg 2++=x ax x f .（1）若()x f 的定义域为R ,求a 的取值范围; （2）若()x f 的值域为R ,求a 的取值范围.分析:（1）函数()x f 的定义域为R 的意思是指0122>++x ax 在R 上恒成立,必要时要对二次项系数a 是否等于0展开讨论;（2）设122++=x ax t ,则()t x f y lg ==.因为函数()x f 的值域为R ,则函数t 必须能取遍()+∞,0内的所有值,所以()+∞,0是函数t 的值域的子集.解:（1）∵()x f 的定义域为R∴0122>++x ax 在R 上恒成立.当0=a 时,012>+x 在R 上不恒成立,舍去;当0≠a 时,则有⎩⎨⎧<-=∆>0440a a ,解之得:1>a .∴a 的取值范围是()+∞,1;（2）若()x f 的值域为R ,则122++=x ax t 的值域应包含()+∞,0（即取遍全体正数）.当0=a 时,∈+=12x t R ,满足题意;当0≠a 时,则有⎩⎨⎧≥-=∆>0440a a ,解之得:a <0≤1.综上所述,a 的取值范围为[]1,0.相关训练 若函数()12++=mx mx x f 的值域为[)+∞,0,则m 的取值范围是【 】（A ）[]4,0 （B ）(]4,0 （C ）()4,0 （D ）[)+∞,4解:当0=m 时,()1=x f ,函数的值域为{}1,不符合题意; 当0≠m 时,设()12++=mx mx x g ,并设其值域为A ,则[)A ⊆+∞,0.∴⎩⎨⎧≥-=∆>0402m m m ,解之得:m ≥4. ∴m 的取值范围是[)+∞,4. 选择【 D 】.例46. （1）若函数()()1log +=x x f a （0>a 且1>a ）的定义域和值域都是[]1,0,则=a __________;（2）已知函数()()12lg 2++=mx mx x f ,若()x f 的值域为R ,则实数m 的取值范围是__________.解:（1）设1+=x t ,则()t x f y a log ==.∵[]1,0∈x ,∴[]2,1∈t .当1>a 时,函数t y a log =在[]2,1∈t 上为增函数,∵且其值域为[]1,0 ∴12log =a ,解之得:2=a ;当10<<a 时,函数t y a log =在[]2,1∈t 上为减函数 ∴02log =a ,无解. 综上所述,2=a ;（2）设()122++=mx mx x g ,值域为A . ∵()x f 的值域为R ,∴()A ⊆+∞,0. 当0=m 时,()1=x g ,不符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧≥-=∆>04402m m m ,解之得:m ≥1. 综上所述,实数m 的取值范围是[)+∞,1.例47. 已知函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=4112log 22x k kx x f 的值域为R ,则实数k 的取值范围是__________.解:设()()41122+-+=x k kx x g ,值域为A .∵()x f 的值域为R ,∴()A ⊆+∞,0当0=k 时,()41+-=x x g ,=A R ,符合题意;当0≠k 时,则有()⎩⎨⎧≥--=∆>01202k k k ,解之得:k <0≤41或k ≥1. 综上所述,实数k 的取值范围是[)+∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡,141,0 .例48. 若函数()()⎩⎨⎧≥+<+-=1,ln 11,22x x x a x a x f 的值域为R ,则a 的取值范围是________.解:设函数()()()122<+-=x a x a x f 的值域为A .当x ≥1时,函数()x x f ln 1+=的值域为[)+∞,1.∵函数()()⎩⎨⎧≥+<+-=1,ln 11,22x x x a x a x f 的值域为R∴(]A ⊆∞-1,∴⎩⎨⎧≥+->-12202a a a ,解之得:1-≤2<a . ∴a 的取值范围是[)2,1-.例49. 若函数()⎩⎨⎧≤-+->=2,222,log 2x x x x x x f a （0>a 且1>a ）的值域是(]1,-∞-,则实数a 的取值范围是__________.解:设函数()()2log >=x x x f a 的值域为A .函数()()()2112222≤---=-+-=x x x x x f 的值域为(]1,-∞-.∵函数()⎩⎨⎧≤-+->=2,222,log 2x x x x x x f a 的值域是(]1,-∞-∴(]1,-∞-⊆A∴⎩⎨⎧-≤<<12log 10a a ,解之得:21≤1<a .∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21.例50. 求函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=121log 21x x x x f x 的值域. 分析:这是分段函数的值域问题,应该清楚,分段函数的值域为各段函数值域的并集.解:当x ≥1时,()x x f 21log =,其值域为(]0,∞-;当1<x 时,()x x f 2=,其值域为()2,0.∴函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=121log 21x x x x f x 的值域为(]()()2,2,00,∞-=∞- .例51. 已知函数()()()14log log 422++=x x x f ,则函数()x f 的最小值是【 】（A ）2 （B ）1631 （C ）815（D ）1 解:()()()()163141log 2log 21log 14log log 22222422+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++=x x x x x x f .∴当41log 2-=x ,即=x 412-时,()x f 取得最小值为1631.选择【 B 】.例52. 设函数()()()1log 2log 22+⋅+=x x x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,41.（1）若x t 2log =,求t 的取值范围;（2）求()x f y =的最大值与最小值,求求出最值时对应的x 的值.解:（1）∵x t 2log =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,41x 上单调递增∴41log 2≤t ≤4log 2,即2-≤t ≤2. ∴t 的取值范围为[]2,2-;（2）设x t 2log =,由（1）可知,[]2,2-∈t .∴()()()4123231222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++==t t t t t x f y .∵[]2,2-∈t∴当23-=t ,即42,23log 2=-=x x 时,41min -=y ;当2=t ,即4,2log 2==x x 时,12412322max=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y .例53. 设函数()m x x x f +-=2,且()()1,2,log 2≠==a a f m a f .（1）求m a ,的值;（2）求()x f 2log 的最小值及对应x 的值.解:（1）∵()m x x x f +-=2,()m a f =2log∴()m m a a =+-222log log ,∴()a a 222log log =.∵1≠a ,∴0log 2≠a ∴1log 2=a ,∴2=a . ∵()()22==f a f∴224=+-m ,解之得:2=m ; （2）由（1）可知:()22+-=x x x f .∴()()4721log 2log log log 222222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f∴当21log 2=x ,即2=x 时,()x f 2log 取得最小值,最小值为47. 例54. 已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-+=1,1lg 1,322x x x xx x f ,则()=-)3(f f _________,()x f 的最小值是_________.解:∵()()119lg 3=+=-f∴()()01)3(==-f f f .当x ≥1时,()32-+=xx x f 在[]2,1上为减函数,在[)+∞,2上为增函数∴()()3222min -==fx f ;当1<x 时,[)+∞∈+,112x ∴()01lg min ==x f .综上所述,()x f 的最小值是322-.例55. 下列判断正确的是__________（填序号）.①若()ax x x f 22-=在[)+∞,1上为增函数,则1=a ; ②函数()1ln 2+=x y 的值域是R ; ③函数x y 2=的最小值为1;④在同一平面直角坐标系中,函数xy 2=与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象关于y 轴对称.解:对于①,函数()ax x x f 22-=的开口向上,对称轴为直线a x =.∵()x f 在[)+∞,1上为增函数 ∴a ≤1.故①错误;对于②,∵12+x ≥1,∴()1ln 2+=x y ≥01ln = ∴函数()1ln 2+=x y 的值域是[)+∞,0.故②错误; 对于③,∵x ≥0,∴x y 2=≥120=. ∴函数x y 2=的最小值为1.故③正确;对于④,∵在同一平面直角坐标系中,函数()x f 与()x f -的图象关于y 轴对称x xy -=⎪⎭⎫⎝⎛=221∴函数x y 2=与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象关于y 轴对称.故④正确.∴判断正确的是③④.例56. 若函数()()12log 23-+=x ax x g 有最大值1,则实数a 的值等于【 】（A ）21-（B ）41 （C ）41- （D ）4解:∵函数()()12log 23-+=x ax x g 有最大值1,13log 3=∴()122-+=x ax x f 有最大值3.∴⎪⎩⎪⎨⎧=--<34440aa a ,解之得:41-=a .选择【 C 】.例57. 若函数()1log 2+-=ax x y a （0>a 且1≠a ）有最小值,则实数a 的取值范围是__________.解:设12+-=ax x t ,则t y a log =,()+∞∈,0t .当1>a 时,t y a log =在()+∞∈,0t 上为增函数 ∵函数()1log 2+-=ax x y a 有最小值 ∴0442min>-=a t ,解之得:22<<-a .∴21<<a 1;当10<<a 时,t y a log =在()+∞∈,0t 上为减函数,要使函数()1log 2+-=ax x y a 有最小值,则需12+-=ax x t 存在最大值,因为该最大值不存在,所以此种情况不符合题意.综上所述,实数a 的取值范围是()2,1.例58. 已知函数()x f y =,且()()()2lg 3lg ln lg -+=x x y .（1）求函数()x f 的表达式; （2）求函数()x f 的值域.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧>->0203x x ,解之得:2>x∵0ln >y ,∴1>y . ∵()()()2lg 3lg ln lg -+=x x y ∴()x x x x y 6323lg 2-=-= ∴()2632>=-x e y xx即函数()x f 的表达式为()()2632>=-x e x f xx;（2）设()3136322--=-=x x x t ∵2>x ,∴()+∞∈,0t∵函数()t e x f y ==在()+∞∈,0t 上为增函数 ∴函数()()2632>=-x e x f xx的值域为()+∞,1.例59. 已知函数()()xxb a x f -=lg （01>>>b a ）.（1）求函数()x f 的定义域;（2）当()+∞∈,1x 时,函数()x f 的值域为()+∞,0,且()2lg 2=f ,求实数b a ,的值.解:（1）由题意可知:0>-xxb a ,∴xxb a >∵0>xb ,∴1>⎪⎭⎫⎝⎛xb a∵01>>>b a ,∴1>ba,∴0>x . ∴函数()x f 的定义域为()+∞,0; （2）设()x x b a x g -=,∵01>>>b a ∴()x x b a x g -=在()+∞∈,1x 上为增函数 ∵当()+∞∈,1x 时,函数()x f 的值域为()+∞,0 ∴()()+∞∈,1x g ,∴()11=-=b a g . ∵()2lg 2=f ,∴222=-b a解方程组⎩⎨⎧=-=-2122b a b a 得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2123b a . 例60. 已知函数()()()x p x x x x f -+-+-+=222log 1log 11log （1>p ）.问:()x f 是否存在最值?若存在,请求出它的最值.分析:这是对数型函数的最值问题,应先求出对数型函数的定义域,再确定对数型函数的单调性,根据单调性研究函数的最值.解:由题意可知:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->->-+001011x p x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧<>-<>p x x x x 111或∵1>p ,∴p x <<1. ∴函数()x f 的定义域为()p ,1 ∵()()()()()[]x p x x p x x x x f -+=-+-+-+=1log log 1log 11log 2222∴()()[]p x p x x f +-+-=1log 22设()()p x p x x g +-+-=12,∈x ()p ,1,其图象的开口方向向下,对称轴为直线21-=p x . 当21-<p p 时,1-<p ,不符合题意;当1≤21-p ≤p ,即p ≥3时,()()2max 14121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p p g x g ,无最小值. ∴()()()()21log 2141log log 222max 2max -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==p p x g x f ,()x f 无最小值;当121<-p （1>p ）,即31<<p 时,函数()x g 在()p ,1上为减函数 ∴()x g 在()p ,1上既无最大值,也无最小值 ∴函数()x f 当31<<p 时,无最值.综上所述,当p ≥3时,函数()x f 存在最大值为()21log 22-+p ,无最小值;当31<<p 时,函数()x f 既不存在最大值,也不存在最小值.点评 单调函数在给定的开区间上无最大值和最小值,在给定的闭区间上既有最大值,又有最小值,且最大值（最小值）在闭区间的端点处取得. 知识点五 与对数函数有关的函数的单调性及其应用 1.对数值大小的比较（1）同底数的利用函数的单调性; （2）同真数的利用函数的图象;（3）底数与真数都不同的,利用中间数0和1（介值法）. 2.解简单的对数不等式（1）底数确定时,利用对数函数的单调性求解; （2）当底数不确定时,注意对底数进行分类讨论.注意 求解时注意“定义域优先”的原则,要保证每个真数都大于0.点评 简单的对数不等式经过适当的变形一般都可化为()()x g x f a a log log <的形式,当1>a 时,不等式可转化为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<>>x g x f x g x f 00;当10<<a 时,不等式可转化为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>>>x g x f x g x f 00. 例61. 解下列不等式:（1）()x x ->4log log 7171;（2）121log >x; （3）()()1log 52log ->-x x a a .解:（1）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x 4040,解之得:20<<x .∴该不等式的解集为()2,0;（2）x x xlog 21log > 当1>x 时,x x a log 21log <,不符合题意;当10<<x 时,则有21>x ,∴121<<x . 综上,该不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛1,21;（3）当1>a 时,则有⎪⎩⎪⎨⎧->->->-15201052x x x x ,解之得:4>x ;当10<<a 时,则有⎪⎩⎪⎨⎧-<->->-15201052x x x x ,解之得:425<<x .综上所述,当1>a 时,该不等式的解集为()+∞,4,当10<<a 时,该不等式的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛4,25. 3.对数型复合函数的单调性对数型复合函数一般分为两类:()x f y a log =型和()x f y a log =型.（1）研究()x f y a log =型复合函数的单调性,令x t a log =,则只需研究x t a log =及()t f y =的单调性即可;（2）研究()x f y a log =型复合函数的单调性,首先由()0>x f 确定函数的定义域,然后判断()x f t =在定义域上的单调性,再结合对数函数的单调性,判断函数()x f y a log =的单调性,其核心是:同增异减.例62. （1）已知121log >a,则a 的取值范围为__________. （2）已知()()1log 2log 7.07.0-<x x ,则x 的取值范围为__________. （3）已知x <0≤21,x a xlog 4<,则a 的取值范围为__________. （4）若实数a 满足a a43log 132log >>,则a 的取值范围为__________. 解:（1）a a alog 21log > 当1>a 时,a a a log 21log <,不符合题意;当10<<a 时,21>a ,∴121<<a .∴a 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛1,21;（2）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧->>->120102x x x x ,解之得:1>x .∴x 的取值范围为()+∞,1; （3）若1>a ,当x <0≤21时,x a x log 04>>,不符合题意; 若10<<a ,当21=x ,且21log 421a =时,解之得:22=a ,∴122<<a . ∴a 的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,22;（4）由132log >a 得:132<<a ;由1log 43<a 得:43>a ∴143<<a ∴a 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛1,43.例63. （1）若πa a log 3log <,则a 的取值范围为__________;（2）若a 55log log <π,则a 的取值范围为__________.解:（1）∵π<3,πa a log 3log <∴1>a ,即a 的取值范围为()+∞,1; （2）∵a 55log log <π∴π>a ,即a 的取值范围为()+∞,π.例64. 若221log <a ,求a 的取值范围. 解:2log 21log a a a<. 当1>a 时,212>a ,符合题意;当10<<a 时,则有212<a ,解之得:2222<<-a ,∴220<<a .综上所述,a 的取值范围为()+∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛,122,0 .例65. 若()()x x a a 57log 13log -<+（10<<a ）,求实数x 的取值范围.解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧->+>->+xx x x 5713057013,解之得:5743<<x .∴实数x 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛57,43.例66. 若132log <a,则a 的取值范围是【 】 （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 （D ）()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,132,0解:a a alog 32log < 当1>a 时,a a a log 32log <,符合题意;当10<<a 时,32<a ,∴320<<a .综上所述,a 的取值范围是()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,132,0 .选择【 D 】.例67. 已知021log >a ,若422-+x x a ≤a1,则实数x 的取值范围为__________. 解:∵021log >a,∴10<<a . ∵422-+x x a ≤a1,∴422-+x x a ≤1-a .∴422-+x x ≥1-,解之得:x ≤3-或x ≥1. ∴实数x 的取值范围为(][)+∞-∞-,13, .例68. 已知函数()()()310lg 2lg 2+-=x a x x f ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈10,1001x . （1）当1=a 时,求函数()x f 的值域;（2）若函数()x f y =的最小值记为()a m ,求()a m 的最大值.解:（1）当1=a 时()()()221lg 1lg 2lg -=+-=x x x x f∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈10,1001x ,∴[]1,2lg -∈x ∴()()()912,02max min =--==x f x f .∴当1=a 时,求函数()x f 的值域为[]9,0;（2）()()()()a x a x x a x x f 23lg 2lg 310lg 2lg 22-+-=+-=.设x t lg =,则()a at t x f y 2322-+-==.∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈10,1001x ,∴[]1,2-∈t . 当1>a 时,函数a at t y 2322-+-=在[]1,2-∈t 上为减函数 ∴()a a a y 4423212min -=-+--=,即()a a m 44-=;当2-≤a ≤1时,32232222min +--=-+-=a a a a a y。

数学必修一第四章知识点总结

数学必修一第四章知识点总结

高中数学人教必修第一册第四章知识点讲解对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：a x 的系数：1a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________．(1)y ＝log(a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ．解析：答案：2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较解析式y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)性质定义域R (0，＋∞)值域(0，＋∞)R过定点(0,1)(1,0)单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数a 对对数函数的图象的影响①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线y ＝1来切，自左到右a 变大．【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a，43，35，110中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C4的a 值依次为()A 43，35，110B 43，110，35C ．43，，35，110D ．43110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4，43，35，110．答案：A点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在x 轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：①由y ＝f (x )解出x ，即用y 表示出x ；②把x 替换为y ，y 替换为x ；③根据y ＝f (x )的值域，写出其反函数的定义域．【例3－1】若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝()A ．log 2xB ．12xC ．12log xD ．2x－2解析：因为函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2．故f (x )＝log 2x ．答案：A【例3－2】函数f (x )＝3x (0＜x ≤2)的反函数的定义域为()A ．(0，＋∞)B ．(1,9]C ．(0,1)D ．[9，＋∞)解析：∵0＜x ≤2，∴1＜3x ≤9，即函数f (x )的值域为(1,9]．故函数f (x )的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y ＝f (x )的反函数图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )的图象必过点()A ．(5,1)B ．(1,5)C ．(1,1)D ．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称，而点(1,5)关于直线y ＝x 的对称点为(5,1)，所以函数y ＝f (x )的图象必经过点(5,1)．答案：A 4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)中仅含有一个常数a ，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f (m )＝n 或图象过点(m ，n )等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，利用已知条件列方程求出常数a 的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m ＝n ，这时先把对数式log a m ＝n 化为指数式的形式a n ＝m ，把m 化为以n 为指数的指数幂形式m ＝k n (k ＞0，且k ≠1)，则解得a ＝k ＞0．还可以直接写出1na m =，再利用指数幂的运算性质化简1nm ．例如：解方程log a 4＝－2，则a －2＝4，由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12a =±．又a ＞0，所以12a =．当然，也可以直接写出124a -=，再利用指数幂的运算性质，得11212214(2)22a ---====．【例4－1】已知f (e x )＝x ，则f (5)＝()A ．e 5B ．5eC ．ln 5D ．log 5e解析：(方法一)令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ，即f (x )＝ln x ．所以f (5)＝ln 5．(方法二)令e x ＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5．答案：C【例4－2】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，试求f (3)的值．分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，∴11log 299a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴a 2＝19．∴a ＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴f (x )＝13log x ．∴f (3)＝111331log 3log 3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．【例4－3】已知对数函数f (x )的反函数的图象过点(2,9)，且f (b )＝12，试求b 的值．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由条件知a 2＝9＝32，从而a ＝3．于是f (x )＝log 3x ，则f (b )＝log 3b ＝12，解得b＝123=5．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．【例5】求下列函数的定义域．(1)y ＝5(2x －1)(5x －4)；(3)y =．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，所以函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1，＋∞)．(3)要使函数有意义，则0.5430,log(43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1，所以函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．6．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．(3)对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R )的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例6－1】求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝212log (32)x x ＋－．解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2．∴函数y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4．又y ＝12log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例6－2】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]．令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)【例7－1】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ．又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立，∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0．∴b ＝－2．答案：－2,2【例7－2】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)log aπ，log a3.141．分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．(3)当a＞1时，函数y＝log a x在定义域上是增函数，则有log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，函数y＝log a x在定义域上是减函数，则有log aπ＜log a3.141．综上所得，当a＞1时，log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，log aπ＜log a3.141．【例8－2】若a2＞b＞a＞1，试比较log a ab，log bba，log b a，log a b的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1，∴0＜ab＜1．∴log a ab＜0，log a b＞log a a＝1，log b1＜log b a＜log b b，即0＜log b a＜1．由于1＜b a ＜b ，∴0＜log b b a ＜1．由log b a －log b ba＝2log b a b ，∵a 2＞b ＞1，∴2ab＞1．∴2log b a b ＞0，即log b a ＞log b b a．∴log a b ＞log b a ＞log b b a ＞log a ab．9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a ＞0，且a ≠1时，有①log a f (x )＝log a g (x )⇔f (x )＝g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；②当a ＞1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＞g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；③当0＜a ＜1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＜g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助函数y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为对数的对数式的形式，再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f (log a x )＞0的不等式，可用换元法(令t ＝log a x )，先解f (t )＞0，得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．【例9－1】解下列不等式：(1)1177log log (4)x x >-；(2)log x (2x ＋1)＞log x (3－x )．解：(1)由已知，得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ＞1时，有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．【例9－2】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32．(2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ．∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．10．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．(2)关于形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反．例如：求函数y ＝log 2(3－2x )的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y ＝log 2(3－2x )是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0，解得函数y ＝log 2(3－2x )∞设u ＝3－2x ，x ∞∵u ＝3－2x ∞y ＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增，∴函数y ＝log 2(3－2x )∞∴函数y ＝log 2(3－2x )∞【例10－1】求函数y ＝log a (a －a x )解：(1)若a ＞1，则函数y ＝log a t 递增，且函数t ＝a －a x 递减．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＜1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．(2)若0＜a ＜1，则函数y ＝log a t 递减，且函数t ＝a －a x 递增．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＞1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减．析规律判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例10－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围．解：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，∴u (x )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立．∴1,2210,2a u ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a aa ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数；(3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )例如，判断函数f (x )＝log )a x (x ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的奇偶性．解：∵f (－x )＋f (x )＝＝log )a x -＋log )a x )＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．【例11】已知函数f (x )＝1log 1axx+-(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)求使f (x )＞0的x 的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由11xx+-＞0，得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)∵f (－x )＝1log 1ax x -+＝1log 1a xx+--＝－f (x )，又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称，∴函数f (x )是奇函数．(3)当a ＞1时，由1log 1a x x +-＞0＝log a 1，得11xx+-＞1，解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时，由1log 1ax x +-＞0＝log a 1，得0＜11xx+-＜1，解得－1＜x ＜0．故当a ＞1时，x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看，直接给定参数待定的函数模型时，利用待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例12】我国用长征二号F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱)．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y (单位：km/s)关于燃料重量x (单位：吨)的函数关系式为y ＝k ln(m ＋x )－k )＋4ln 2(k ≠0)，其中m 是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为－1)m 吨时，火箭的最大速度是4km/s ．(1)求y ＝f (x )；(2)已知长征二号F 型运载火箭的起飞重量是479.8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料)，火箭的最大速度为8km/s ，求装载的燃料重量(e ＝2.7，精确到0.1)．解：(1)由题意得当x ＝(－1)m 时，y ＝4，则4＝k ln[m ＋－1)m ]－k ln()＋4ln 2，解得k ＝8．所以y ＝8ln(m ＋x )－)＋4ln 2，即y ＝8ln m xm+．(2)由于m ＋x ＝479.8，则m ＝479.8－x ，令479.888ln479.8x=-，解得x ≈302.1．故火箭装载的燃料重量约为302.1吨．。

对数函数及其性质知识点总结讲义

对数函数及其性质知识点总结讲义

对数函数及其性质知识点总结讲义一、对数基本概念1.对数的定义：对数是数学中的一种运算，用一个数的指数表示另一个数。

2. 对数的表示方法：如果a^x = b，则记作x = loga(b)。

3.对数函数：对数函数是指以对数的形式来表示函数的函数。

二、对数函数的性质1.定义域和值域：-对数函数的定义域为正实数集，即x>0。

-对数函数的值域为实数集，即y∈R。

2.对称性：- 设a > 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。

- 设0 < a < 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。

3.基本性质：- loga(1) = 0，其中a ≠ 0。

- loga(a) = 1，其中a ≠ 1- loga(x · y) = loga(x) + loga(y)，其中x > 0，y > 0。

- loga(x / y) = loga(x) - loga(y)，其中x > 0，y > 0。

- loga(x^p) = p · loga(x)，其中x > 0，p ∈ R。

- loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a，b > 0，且a ≠ 1，c ≠14.基本图像：- 对数函数y = loga(x)的图像为一条曲线，也称为对数曲线。

-当0<a<1时，对数曲线在第一象限上严格递减。

-当a>1时，对数曲线在第一象限上严格递增。

5.特殊对数函数：- 以2为底的对数函数y = log2(x)常用于衡量信息的位数及计算机科学中。

- 自然对数函数y = ln(x)常用于微积分和其它分支的数学中。

三、对数函数的应用1.指数增长与对数函数：对数函数的性质使得它在描述指数增长的问题中非常有用。

-对数函数可以用来模拟人口增长、投资收益、疾病传播等指数增长的过程。

2.对数函数在数据处理中的应用：-对数函数可以用来处理大量数据、极大值、极小值等情形。

对数函数及其性质知识点总结经典讲义

对数函数及其性质知识点总结经典讲义

对数函数及其性质知识点总结经典讲义对数函数是指以一些正数b为底的函数，表示为logb(x)，其中x为自变量，b为底数。

对数函数是指数函数的逆运算，可以用于解决指数方程和指数不等式问题。

对数函数的一些重要性质如下：1.对数函数的定义域是正实数集R+。

2.对数函数的值域是实数集R。

3.对数函数的自变量必须大于0，即x>0。

4.底数b必须大于0且不等于1，即b>0，b≠15.对数函数的图像在直线y=x左侧，与x轴交于点(1,0)。

6. 对数函数是单调递增函数，即当自变量x1 > x2时，有logb(x1) > logb(x2)。

7. 对数函数的特殊值：logb(1) = 0，logb(b) = 18. 对数函数的运算规则：logb(x·y) = logb(x) + logb(y)，logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，logb(x^n) = n·logb(x)，其中x、y 为正实数，n为任意实数。

9. 对数函数的函数性质：logb(1/x) = -logb(x)，logb√x =(1/2)·logb(x)。

10. 对数函数的性质：logb(m/n) = logb(m) - logb(n)，logb(m^n) = n·logb(m)，logb(m) = (logc(m))/(logc(b))，其中b、c为正实数，m、n为正实数。

11. 对数函数的解析式：logb(x) = logc(x)/logc(b)，其中c为任意正实数，c ≠ 112. 对数函数的性质：logb(x) = 1/(logx(b))。

13. 对数函数与指数函数的关系：y = logb(x)是函数y = b^x的反函数，两者互为反函数。

对数函数在数学、科学和工程等领域中具有广泛的应用。

它可以用于求解指数方程和指数不等式，简化复杂的计算和求解过程。

在数学中，对数函数是指数函数的重要补充，它们互为反函数，可以相互转化，应用更加灵活。

对数及其知识点总结

对数及其知识点总结

对数及其知识点总结一、定义和性质1. 定义对数是一个数学函数。

正式定义为：如果a > 0且a≠1，且x>0，则以a为底x的对数记作log_a(x)=y，其中y表示底为a的x的对数。

换句话说，log_a(x)表示a的y次幂等于x，其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。

2. 性质（1）对数函数的定义域为正实数。

（2）对数函数的值域为实数。

（3）对数函数在a>1时，在a=1时，及a＜1时对数的性质是不同的。

（4）对数函数y=log_a(x)的图象是一条单调递增的曲线，穿过第一象限。

当x=a时,y=1。

（5）对数函数的性质：log_ab=log_ax/log_ab=log_a(x)×log_a(b)。

二、对数的计算1. 对数的运算法则（1）加法法则：log_a(mn)=log_am+log_an。

（2）减法法则：log_a(m/n)=log_am- log_an。

2. 对数的换底公式对数的换底公式是指，当我们计算不同底数的对数时，可以使用换底公式来进行计算。

换底公式是log_ab= log_cb/log_ca。

3. 对数的计算方法对数的计算方法可以通过以下步骤进行：（1）确定底数a和真数x；（2）使用对数的定义，代入相应的值进行计算；（3）根据需要，使用对数的运算法则和换底公式进行计算。

（4）对于特殊情况，如对数为整数或分数时，需要进行额外的计算。

4. 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在科学计算、工程技术、金融业务等领域都有着重要的作用。

对数常常用来表示某一数量级的大小，例如声音的强度、地震的强度、化学溶液的浓度等。

三、常用对数及自然对数1. 常用对数常用对数是指以10为底的对数。

在常用对数中，log_10(10)=1，log_10(100)=2，log_10(1000)=3，依此类推。

常用对数可以简化对数的计算，常用对数的应用也十分广泛。

2. 自然对数自然对数是以常数e≈2.71828为底的对数。

对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解

对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解

2.1 对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y ＝a x的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log 381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x＝N ⇔x ＝log a N ，从而得对数恒等式：a log a N ＝N .(2)“log ”同“＋”“×”“ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②log a MN＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③log a M n＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3)与log a (－4)均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3)＋log a (－4)．②防止出现以下错误：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N ，log a M N ＝log a Mlog a N，log a M n＝(log a M )n .3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c Nlog c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．证明 设log b N ＝x ，则b x＝N .两边取以c 为底的对数， 得x log c b ＝log c N .所以x ＝log c N log c b ，即log b N ＝log c Nlog c b.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式： (1)log b N ＝1log N b或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)； (2)log bn N m＝m nlog b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R ).题型一 正确理解对数运算性质对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①、②、③、④解析 在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立．在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立． 答案 C点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二 对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log 52·log 79log 513·log 734.分析 利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解 (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1. (2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg 102·lg(2×10)＋(lg2)2＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3. (3)∵log 52·log 79log 513·log 734＝12log 52·2log 73－log 53·13log 74＝－lg2lg5·lg3lg7lg3lg5·13·lg4lg7＝－32.点评 对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．题型三 对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．分析 由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值． 解 方法一 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.方法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5＝⎝⎛⎭⎪⎫13lg53lg2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg2lg5＝13.点评 方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，求实数x 的值．错解 由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3. 解得x ＝1或x ＝－3.错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解 由对数的性质知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＝x ＋3，x 2＋3x >0，x ＋3>0且x ＋3≠1.解得x ＝1，故实数x 的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(上海高考)方程9x －6·3x－7＝0的解是________． 解析 ∵9x－6·3x－7＝0，即32x－6·3x－7＝0 ∴(3x－7)(3x ＋1)＝0 ∴3x＝7或3x＝－1(舍去) ∴x ＝log 37. 答案 log 372．(辽宁高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝____.解析 g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝eln 12＝12， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12. 答案 121．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，7)B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7)D ．(3，＋∞) 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3>0，a －3≠1，7－a >0，解得3<a <7且a ≠4.2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1 答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2.3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( ) A ．1 B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg2答案 C解析 原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1lg5.4．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1，＋∞) 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2a >1，∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)<log a 2a ，∴0<a <1.∴12<a <1.5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.13答案 D6．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( ) A ．lg7·lg5 B ．lg35 C ．35 D.135答案 D解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg 135∴α·β＝135.7．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 答案2解析 令log 2x ＝12，则212＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝212＝ 2.8．log (2－1)(2＋1)＝________.答案 －1 解析 log 2－1(2＋1)＝log 2－1(2＋1)(2－1)2－1＝log (2－1)12－1＝－1.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________. 答案 0.06解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3， 即lg x ＝lg10－2＋lg6.∴lg x ＝lg(6×10－2)，即x ＝6×10－2＝0.06.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2xy的值； (2)已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 365. 解 (1)lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ，又∵⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，∴x >2y >0，∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y . 则log 2xy＝log 24y y ＝log 24＝lg4lg 2＝4. (2)∵18b＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ， ∴log 365＝log 185lg 1836＝blog 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b2－a.11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．解 令a x ＝b y ＝c z＝t (t >0且t ≠1)， 则有1x ＝log t a ，1y ＝log t b ，1z＝log t c ，又1x ＋1y ＋1z＝0，∴log t abc ＝0，∴abc ＝1.12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．解 ∵关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，∴Δ＝0，即4－4[lg(c2－b2)－2lg a＋1]＝0.即lg(c2－b2)－2lg a＝0，故c2－b2＝a2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．2．2.1 对数与对数运算(一)学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．2．了解常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引1．如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lg N，log e N简记为ln N.4．若a>0，且a≠1，则a b＝N等价于log a N＝b.5．对数恒等式：a log a N＝N(a>0且a≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x的取值范围：(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2.分析由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式(组)，解之即可．解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求． (2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2.(3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5 D ．3<a <4 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0a －2>0a －2≠1，∴2<a <5且a ≠3.二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式： (1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3. 分析 利用a x＝N ⇔x ＝log a N 进行互化． 解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4. (2)∵log 128＝－3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2.(4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000.点评 指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x＝N ⇔x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值： (1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2. (4)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2，∴x ＝－23.(5)由x ＝log 1216，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝16，即2－x ＝24，∴x ＝－4.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)； (2)412(log 29－log 25)．解 (1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N ＝c log c N ＝N .(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95. 点评 对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.解 原式＝5＋312log 315＝5＋(3log 315)12＝5＋15＝655.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0 B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝5 答案 C2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( )A ．log 6a ＝aB ．log 6b ＝aC ．log a b ＝6D ．log b a ＝6 答案 D3．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 5 答案 B4．如果f (10x)＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103D ．310答案 B解析 方法一 令10x＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg3.方法二 令10x＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3. 5．21＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52 D ．1＋52答案 B解析 21＋12log 25＝2×212log 25＝2×2log 2512＝2×512＝2 5.二、填空题6．若5lg x＝25，则x 的值为________． 答案 100解析 ∵5lg x＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100. 7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n的值为________．答案 12解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n＝3， ∴a2m ＋n＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________.答案 600 解析 102.778 2≈102×10lg6＝600.三、解答题9．求下列各式中x 的值 (1)若log 3⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1，则求x 值；(2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值． 解 (1)∵log 3⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3∴1－2x ＝27，即x ＝－13(2)∵log 2 003(x 2－1)＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝± 210．求x 的值：(1)x ＝log224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75； (4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.解 (1)由已知得：⎝⎛⎭⎪⎫22x＝4， ∴2－12x ＝22，－x 2＝2，x ＝－4.(2)由已知得：9x ＝3，即32x＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝75.(4)由已知得：x －3＝8， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12.(5)由已知得：x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116.2.2.1 对数与对数运算(二)学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． 2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )； ③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 A解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件． 变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( ) A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x答案 A二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50.分析 利用对数运算性质计算．解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1. (3)原式＝32lg3＋3lg2－32lg3＋2lg2－1＝3lg3＋6lg2－32(lg3＋2lg2－1)＝32.(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.点评 要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用． 变式迁移2 求下列各式的值： (1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64. 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7)＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2. (2)原式＝[log 262＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.三、换底公式的应用例3 (1)设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x＝36,4y＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364，∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.(2)∵log 189＝a,18b＝5，∴log 185＝b . ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.点评 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值． 解 (1)利用换底公式，得lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝2，∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9.(2)由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg3lg2＝2a3－a .∴log 616＝4lg2lg3＋lg2＝42a3－a ＋1＝4(3－a )3＋a.1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3. 2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋bb C.a a ＋bD.ba ＋b答案 B解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b.3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值等于( )A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2.4．若2.5x ＝1 000,0.25y＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13. 5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 答案 C解析 因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8， 所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 005＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005| ＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16. 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________. 答案a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg1.8＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg2＋lg9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6 ∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题9．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg4＋lg7 5＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)方法一 原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg10·lg 52＋lg4＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4＝lg10＝1. 方法二 原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1. 10．若26a ＝33b ＝62c，求证：1a ＋2b ＝3c.证明 设26a ＝33b ＝62c＝k (k >0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k ＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c，即1a＋2b＝3c.2．2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y＝log a x (a>0且a≠1)的函数叫做对数函数．对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；(2)对数函数的解析式y＝log a x中，log a x前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a必须满足a>0，且a≠1；(3)以10为底的对数函数为y＝lg x，以e为底的对数函数为y＝ln x.2．对数函数的图象及性质：3.指数函数与对数函数的关系比较m (1)当(m －1)(n －1)>0，即m 、n 范围相同(相对于“1”而言)，则log m n >0；(2)当(m －1)(n －1)<0，即m 、n 范围相反(相对于“1”而言)，则log m n <0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log 213<0，log 52>0等，一眼就看出来了！题型一 求函数定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝log 3x －12x ＋3x －1； (2)y ＝11－log a (x ＋a )(a >0，a ≠1)．分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的范围．解 (1)要使函数有意义，必须{ 2x ＋3>0，x －1>0，3x －1>0，3x －1≠1同时成立，解得⎩⎨⎧x >－32，x >1，x >13，x ≠23.∴x >1.∴定义域为(1，＋∞)．(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0， 即log a (x ＋a )<1＝log a a .当a >1时，0<x ＋a <a ，∴－a <x <0. 当0<a <1时，x ＋a >a ，∴x >0.∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a <x <0}； 当0<a <1时，原函数定义域为{x |x >0}．点评 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．题型二 对数单调性的应用(1)log 43，log 34，log 4334的大小顺序为( )A ．log 34<log 43<log 4334B ．log 34>log 43>log 4334C ．log 34>log 4334>log 43D ．log 4334>log 34>log 43(2)若a 2>b >a >1，试比较log a a b ，log b b a，log b a ，log a b 的大小． (1)解析 ∵log 34>1,0<log 43<1， log 4334＝log 43⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＝－1， ∴log 34>log 43>log 4334.答案 B(2)解 ∵b >a >1，∴0<a b<1.∴log a ab <0，log b b a∈(0,1)，log b a ∈(0,1)． 又a >b a >1，且b >1，∴log b b a<log b a ， 故有log a a b <log b b a<log b a <log a b .点评 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0<a <1为减)比较． ②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较．③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1)．当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限内)上升得慢．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2.而在第一象限内，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．当0<a 2<a 1<1时，曲线y 1比y 2的图象(在第四象限内)下降得快．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2即在第四象限内，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小．已知log a 12<1，那么a 的取值范围是________．分析 利用函数单调性或利用数形结合求解．解析 由log a 12<1＝log a a ，得当a >1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0<a <1时，a <12，∴0<a <12.故a >1或0<a <12.答案 a >1或0<a <12点评 解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：(1)当a >1时，log a x >0⇔x >1，log a x <0⇔0<x <1； (2)当0<a <1时，log a x >0⇔0<x <1，log a x <0⇔x >1.题型三 函数图象的应用若不等式2x－log a x <0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解要使不等式2x<logax 在x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时恒成立，即函数y=logax 的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0内恒在函数y=2x 图象的上方，而y=2x 图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.由图可知，loga 21>2，显然这里0<a<1，∴函数y=logax 递减．又loga21>2=log 2a a ，∴a2>21，即a>2221⎪⎭⎫ ⎝⎛.∴所求的a 的取值范围为2221⎪⎭⎫ ⎝⎛<a<1.点评 原问题等价于当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时，y1=2x 的图象在y2=logax 的图象的下方，由于a的大小不确定，当a>1时，显然y2<y1，因此a 必为小于1的正数，当y2的图象通过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21时，y2满足条件，此时a 0=2221⎪⎭⎫⎝⎛.那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．设函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)，若f (x )的值域是R ，求实数a 的取值范围．错解 ∵f (x )的值域是R ， ∴ax 2＋2x ＋1>0对x ∈R 恒成立， 即{ a >0<0⇔{ a >04－4a <0⇔a >1.错因分析 出错的原因是分不清定义域为R 与值域为R 的区别． 正解 函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)的值域是R ⇔真数t ＝ax 2＋2x ＋1能取到所有的正数．当a ＝0时，只要x >－12，即可使真数t 取到所有的正数，符合要求；当a ≠0时，必须有{ a >00⇔{ a >04－4a ≥0⇔0<a ≤1.∴f (x )的值域为R 时，实数a 的取值范围为[0,1]．本节内容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．(广东高考)已知函数f (x )＝11－x 的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析 由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}． 故M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 答案 C2．(湖南高考)下列不等式成立的是( ) A ．log 32<log 23<log 25 B ．log 32<log 25<log 23 C ．log 23<log 32<log 25 D ．log 23<log 25<log 32解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 25>log 23>log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴log 32<log 33＝1.∴log 32<log 23<log 25. 答案 A3．(全国高考)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t >0.∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a . ∴c >a >b .1．已知函数f (x )＝1＋2x 的定义域为集合M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <1 D ．∅答案 C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )等于( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2 答案 B解析 f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1－a －1 ＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－12.3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析 因为a ＝log 23>1，b ＝log 3 2<1，所以a >b ； 又因为2>3，则log 32>log 33＝12，而log 42＝log 22＝12，所以b >12，c ＝12，即b >c .从而a >b >c .4．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数解析 已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数．又当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上是增函数． 又f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上是减函数．5．函数y ＝a x与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( )答案 A解析 方法一 若0<a <1，则曲线y ＝a x下降且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 上升且过(1,0)；若a >1，则曲线y ＝a x上升且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 下降且过(1,0)．只有选项A 满足条件．方法二 注意到y ＝－log a x 的图象关于x 轴对称的图象的表达式为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接选定选项A.6．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)内的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12答案 D解析 已知－1<x <0，则0<x ＋1<1，又当－1<x <0时，都有f (x )>0，即0<x ＋1<1时都有f (x )>0，所以0<2a <1，即0<a <12.7．若指数函数f (x )＝a x(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式log a (x －1)<0答案 {x |1<x <2}解析 由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)<0， ∴log 1.2(x －1)<log 1.21，解得x <2， 又∵x －1>0，即x >1，∴1<x <2. 故原不等式的解集为{x |1<x <2}．8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2)的值域为[－1,0]，那么a 的值为________． 答案 12解析 若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]； 故0<a <1，此时当x ＝2时，y 取最小值－1， 即log a 2＝－1，得a －1＝2，所以a ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1log a x ，x ≥1是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值范围为__________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13解析 函数f (x )为实数集R 上的减函数， 一方面，0<a <1且3a －1<0，所以0<a <13，另一方面，由于f (x )在R 上为减函数， 因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥17.因此满足题意的实数a 的取值范围为17≤a <13.10．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值和最小值． 解 ∵f (x )的定义域为[1,4]， ∴g (x )的定义域为[1,2]．∵g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 2x )2＋(1＋log 2x 2) ＝(log 2x ＋2)2－2， 又1≤x ≤2，∴0≤log 2x ≤1. ∴当x ＝1时，g (x )min ＝2；当x ＝2时，g (x )max =7.学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数y ＝a x_(a >0且a ≠1)互为反函数．一、对数函数的图象例1 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A.101,53,34,3B ．53,101,34,3 C ．101,53,3,34 D ．53,101,3,34 答案 A解析 方法一 因为对数的底数越大，函数的图象越远离y 轴的正方向，所以C1，C2，C3，C4的a 值依次由大到小，即C1，C2，C3，C4的a 值依次为101,53,34,3. 方法二过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的横坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小．点评 函数y=logax (a>0，且a ≠1)的底数a 的变化对图象位置的影响如下：①上下比较：在直线x=1的右侧，底数大于1时，底数越大，图象越靠近x 轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图象越靠近x 轴．②左右比较：(比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 变式迁移1 借助图象比较m ，n 的大小关系：(1)若logm5>logn5，则m n ；(2)若logm0.5>logn0.5，则m n.答案 (1)< (2)>二、求函数的定义域例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 0.5(4x －3)；(3)y ＝log (x ＋1)(2－x )．分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的范围．解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可，∴定义域是{x |x >0}．(2)要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义，必须log 0.5(4x －3)≥0＝log 0.51，∴0<4x －3≤1.解得34<x ≤1. ∴定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34<x ≤1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x ＋1≠12－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－1x ≠0，x <2即0<x <2或－1<x <0，所求定义域为(－1,0)∪(0,2)．点评 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．变式迁移2 求y ＝log a (4x －3)(a >0，a ≠1)的定义域．解 log a (4x －3)≥0.(*)当a >1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴4x －3≥1，x ≥1.当0<a <1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴0<4x －3≤1，34<x ≤1. 综上所述，当a >1时，函数定义域为[1，＋∞)，当0<a <1时，函数定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1.三、对数函数单调性的应用例3 比较大小：(1)log 0.81.5与log 0.82；(2)log 35与log 64.分析 从比较底数、真数是否相同入手．解 (1)考查对数函数y ＝log 0.8x 在(0，＋∞)内是减函数，∵1.5<2，∴log 0.81.5>log 0.82.(2)log 35和log 64的底数和真数都不相同，找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性，即可求解．∵log 35>log 33＝1＝log 66>log 64，∴log 35>log 64.点评 比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；②底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．变式迁移3 比较下列各组中两个值的大小：(1)log 0.52.7，log 0.52.8； (2)log 34，log 65；(3)log a π，log a e (a >0且a ≠1)．解 (1)∵0<0.5<1，∴对数函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数．又∵2.7<2.8，∴log 0.52.7>log 0.52.8.(2)∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 34>log 33＝1.∵y ＝log 6x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 65<log 66＝1.∴log 34>log 65.(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数．∵π>e ，∴log a π>log a e.当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数．∵π>e ，∴log a π<log a e.综上可知，当a >1时，log a π>log a e ；当0<a <1时，log a π<log a e.例4 若－1<log a 34<1，求a 的取值范围． 分析 此不等式为对数不等式且底数为参数．解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解，同时应注意分类讨论．解 －1<log a 34<1⇔log a 1a <log a 34<log a a . 当a >1时，1a <34<a ，∴a >43. 当0<a <1时，1a >34>a ，∴0<a <34. ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性．(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．(3)若含有字母，应考虑分类讨论．变式迁移4 已知log a (2a ＋1)<log a 3a <0，求a 的取值范围．解 log a (2a ＋1)<log a 3a <0(*)当a >1时，(*)可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 0<2a ＋1<10<3a <12a ＋1<3a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －12<a <00<a <13a >1，∴此时a 无解．当0<a <1时，(*)可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1>13a >12a ＋1>3a，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0a >13a <1，∴13<a <1. 综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.1．求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量，此时底数大于0且不等于1.2．应用对数函数的图象和性质时要注意a >1还是0<a <1。

对数函数及其性质 课件

对数函数及其性质 课件

考点一 反函数的概念 基础夯实型
例 1 (1)函数 y＝1ax 与 y＝logbx 互为反函数，则 a 与 b 的关
系是( )
A．ab＝1
B．a＋b＝1
C．a＝b
D．a－b＝1
[答案] A
[解析] y＝logbx 的反函数为 y＝bx，所以函数 y＝bx 与函数 y＝1ax 是同一个函数，所以 b＝1a，即 ab＝1.故选 A.
(2)点(2，4)在函数 f(x)＝logax 的反函数的图像上，则 f12＝(
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．－2
B．2 C．－1
D．1
[答案] C [解析] 因为点(2，4)在函数 f(x)＝logax 的反函数图像上，所以 点(4，2)在函数 f(x)＝logax 的图像上，所以 2＝loga4，即 a2＝4，
得 a＝2，所以 f12＝log212＝－1.
解：①要使函数有意义，需 3－3x>0，即 3x<3，所以 x<1，即 函数 f(x)的定义域为(－∞，1)．
②f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数．证明如下： 在(－∞，1)内任取 x1，x2，且 x1<x2，
则 f(x1)－f(x2)＝lg(3－3x1)－lg(3－3x2)＝lg33－ －33xx12.
4．奇偶性：根据奇偶函数的定义判定． 5．最值：在 f(x)>0 的条件下，确定 t＝f(x)的值域，再根 据 a 确定函数 y＝logat 的单调性，最后确定最值．
[ 讨 论 ] 函 数 y ＝ log2(x2 － 1) 的 定 义 域 是 (__－__∞__－__1_)_∪__(_1_，__＋__∞__)；值域是_____R___________；奇偶性 是_____偶__函__数_______；单调递增区间是______(_1_，__＋__∞__)____．

对数函数及其性质(讲义)

对数函数及其性质(讲义)

对数函数及其性质（讲义）➢ 知识点睛一、对数函数的定义一般地，函数__________（ ）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)． 二、对数函数的图象和性质1. 对数函数log a y x =（a >0，且a ≠1）的图象和性质：①log a y x =，②log b y x =，③log c y x =，④log d y x =， 则有0<b <a <1<d <c ，即：x ∈(1，+∞)时，log log log log a b c d x x x x <<<； x ∈(0，1)时，log log log log a b c d x x x x >>>． 3. 反函数log a y x =与x y a =互为反函数，其中a >0，且a ≠1；互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称．➢ 精讲精练1. 直接写出下列函数的定义域：（1）3log (2)y x =- __________________； （2）y =__________________； （3）y __________________；（4）1ln(1)y x =+__________________．2. （1）已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12(log (3))y f x =-的定义域是_____________；（2）已知函数122()log (2log )f x x =-的值域是(-∞，0)，则它的定义域是_____________；（3）函数212()log (613)f x x x =++的值域是_____________．3. 已知a >0，且a ≠1，则函数x y a =与log ()a y x =-的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 函数f (x )=1+2log x 与g (x )=12x -在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 若点(a ，b )在函数y =lg x 的图象上，则下列点也在此图象上的是（ ）A ．1()b a ， B ．(10a ，1-b )C ．10(1)b a+， D ．(a 2，2b )6. 若log 21a <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1，2)B ．(0，1)∪(2，+∞)C ．(0，1)∪(1，2)D ．(0，12)7. 若函数log a y x =在区间[2，π]上的最大值比最小值大1，则a =__________．8. 已知函数2log 0()20x x x f x x >⎧=⎨⎩≤，，，若1()2f a =，则a =________．9. （1）已知函数x y a )1(log -=在(0，+∞)上为增函数，则a 的取值范围是_____________；（2）已知函数log (2)a y ax =-在(-1，1)上是x 的减函数，则a 的取值范围是_____________；（3）若函数22log ()y x ax a =---在区间(1-∞，上是增函数，则a 的取值范围是_____________．10. （1）函数()|log |01a f x x a a =>≠（）且的单调递增区间是_____________；（2）函数212()log (2)f x x x =+的单调递增区间是__________，单调递减区间是_____________；（3）已知2()2f x x x =+，12()log g x x =，则函数(())y f g x =的单调递增区间是___________，单调递减区间是_________．11. 比较下列各组数的大小：（1）112246log log 57，；（2）35log 2log 2，；（3）0.32log 2log 3，；（4）0.450.450.4log 5，，．12.设32log πlog log a b c ===， ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a13. 设a ，b ，c 均为正数，且112212log ()log 2a b a b ==，，21()log 2c c =，则（ ） A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【参考答案】➢ 知识点睛一、对数函数的定义log 01a y x a a =>≠（，且） ➢ 精讲精练1. （1）(2)+∞，；（2）(0)+∞，；（3）2(1]3，；（4）(10)(02]-，， 2. （1）5[2]2，；（2）(02)，；（3）(2]-∞-，3. B4. C5. D6. B7.22ππ或 8.或-19. （1）(2)+∞，；（2）(1，2)；（3）[22]- 10. （1）(1)+∞，（2）(2)(0)-∞-+∞，，， （3）(2)(02)+∞，，，13. A对数函数及其性质（随堂测试）1. 已知函数()f x =的定义域为M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M ∩N =（ ） A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅2. 若函数loga y x =（01a <<）在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ） A ．2B ．4C ．12D ．143. 若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>【参考答案】1. C2. B3. A。

对数函数知识点总结

对数函数知识点总结

对数函数知识点总结(共12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x=⇔=log ；○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○2 =N Ma log M a log －N a log ； ○3 na M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a n a mlog log =；（2）a b b a log 1log =．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：x y 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．对数函数·例题解析例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=．解：（1）由2x >0得0≠x ，∴函数2log x y a =的定义域是{}0x x ≠；（2）由04>-x 得4<x ，∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4x x <；（3）由9-02>-x 得-33<<x ，∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33x x -<<．例2．求函数251-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy 和函数22112+⎪⎭⎫⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。

对数函数知识点总结

对数函数知识点总结

对数函数知识点总结对数函数是数学中的一种特殊函数，其函数表达式为y = logb(x)，其中b是底数，x是自变量，y是函数值。

对数函数有许多特别的性质和应用，本文将对对数函数的基本性质、图像特征和应用等进行详细总结。

一、对数函数的基本概念和性质1.底数是正实数且不等于1：对数函数中的底数b必须是一个正实数，并且不能等于1，因为否则函数将不存在。

2.自变量x必须大于0：对数函数的自变量x必须大于0，否则函数值将无意义。

3.对数函数的定义域和值域：定义域：对数函数的定义域是正实数集，即{x，x>0}。

值域：对数函数的值域是实数集，即(-∞,+∞)。

4. 对数与指数的关系：对数函数和指数函数是互为反函数的关系，即y = logb(x)与y = b^x互为反函数。

5. 乘法性质：logb(xy) = logb(x) + logb(y)，即对数函数中两个实数的乘积的对数等于这两个实数的对数之和。

6. 除法性质：logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，即对数函数中两个实数的商的对数等于这两个实数的对数之差。

7. 幂性质：logb(x^p) = p · logb(x)，即对数函数中一个实数的幂的对数等于该实数的对数乘以这个幂。

二、对数函数的图像特征1.对数函数的定义域：对数函数的定义域是正实数集，即{x，x>0}。

2.x轴和y轴的渐近线：当x趋近于0时，对数函数的y值趋近于负无穷，故x轴是对数函数的水平渐近线；当y趋近于正无穷时，对数函数的x值趋近于正无穷，故y轴是对数函数的垂直渐近线。

3.对数函数的基准点(1,0)：对于任意正实数b，对数函数在点(1,0)上均有一个特殊点，即对数函数的基准点。

4.对数函数的图像特征：当底数b>1时，对数函数在(0,+∞)上是递增的，并且对数函数在基准点(1,0)附近是逐渐增加的；当0<b<1时，对数函数在(0,+∞)上是递减的，并且对数函数在基准点(1,0)附近是逐渐减少的；对数函数的图像在x轴的右侧趋近于x轴，并且通过点(1,0)。

对数与对数函数知识点及例题讲解

对数与对数函数知识点及例题讲解

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象x y> Oxy<a <y = l o g x a 111()) x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。

第09讲-对数与对数函数(讲义版)

第09讲-对数与对数函数(讲义版)

第09讲-对数与对数函数一、考情分析1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a>0，且a≠1)．二、知识梳理1.对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [微点提醒]1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log ba ；(2)log a mb n ＝n m log a b . 其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.三、 经典例题考点一 对数的运算【例1-1】 (1)计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. (2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.【解析】 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 6 63·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考点二 对数函数的图象及应用【例2-1】 (1)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2]D.⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确. (2)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2].规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用【例3－1】 已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C【例3－2】 (1)(一题多解)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)【解析】 (1)法一 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.【解析】 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立.∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. [方法技巧]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定.5.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.6.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N +，且α为偶数).7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.四、 课时作业1．（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））设82log 9log 3a=，则实数a 的值为（ ）A ．32B ．23C ．1D ．22．（2020·长春市第二十九中学高三期末（理））函数y ＝ln |x |＋1的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．3．（2020·陕西省高三开学考试（文））若24log log 1x y +=，则（ ）A ．22x y =B ．24x y =C ．22xy =D ．24xy =4．（2020·九台市第四中学高一期末）函数0.5log (43)y x =-的定义域为（ ）A ．（34，1） B ．（34，∞） C ．（1，+∞） D ．（34，1）∪（1，+∞） 5．（2020·海南省海南中学高三月考）已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c <<D ．a c b <<6．（2020·肥东县综合高中高三二模（理））已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．随a 值变化7．（2020·榆林市第二中学高三零模（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））已知0,0a b >>，且1ab =，则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）设函数()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）已知函数2()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >，则此函数的单调递增区间是（ ）A ．(1,)(,3)+∞-∞- B ．(,3)-∞-B ．C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞11．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞12．（2020·甘肃省高三一模（文））若函数()20202020log 1010f x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭为奇函数（其中a 为常数），则不等式()0f x ≥的整数解的个数是（ ） A ．1011B ．1010C ．2020D ．202113．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）计算：02lg 2lg53⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是________． 14．（2020·江苏省盐城中学高三月考）已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．15．（2020·海南枫叶国际学校高一期末）不用计算器求下列各式的值 （1）()11230988.6427-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）7log 23lg25lg472log +++16．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）设函数33()log (9)log (3)f x x x =⋅，且199x ≤≤． （1）求(3)f 的值；（2）令3log t x =，将()f x 表示成以t 为自变量的函数；并由此，求函数()f x 的最大值与最小值及与之对应的x 的值．17．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．18．（2020·天水市第一中学高一月考）已知函数()()lg 2(01)x xf x m m =-<<．（1）当12m =时，求()f x 的定义域； （2）试判断函数()f x 在区间(,0)-∞上的单调性，并给出证明； （3）若()f x 在区间(,1]-∞-上恒取正值，求实数m 的取值范围．19．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（文））已知函数()log (2)(0,1)a f x x a a =+>≠． （1）求函数()f x 定义域；（2）若(2)2f =，判断函数()f x 单调性，并用单调性定义证明； （3）解关于x 的不等式()0f x >．20．（2020·山西省大同一中高二月考（理））已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-=. (1)当[]1,4x ∈时，求函数()()()1h x f x g x ⎡⎤=+⋅⎣⎦的值域；(2)如果对任意的[]1,4x ∈，不等式()()2f x fk g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．。

对数函数及其性质知识点总结与例题讲解

对数函数及其性质知识点总结与例题讲解

底数
a 1
0 a 1
y
y
图象
1
O
1
x
O
x
定义域
0,
值域
R
定点 性
过定点 1,0 ,即当 x 1时, y 0
质 函数值 当 0 x 1 时, y 0 ;
当 0 x 1 时, y 0 ;
的正负
当 x 1时, y 0 .
当 x 1时, y 0 .
∴定点的坐标为 3,3
∴函数 y b xc 2 的图象恒过点 3,3
令 x c 3 c 0 ,则 c 3, y b0 2 3 ,符合题意.
∴实数 c 的值是 3.
例 9. 已知函数 f x log2 1 2x ,则函数的值域是【 】
注意 若比较图象与直线 y 1的交点,交点的横坐标越大,对应的函数的底数越小.
说明 在平面直角坐标系中,对数函数 y loga x 的图象与直线 y 1的交点为 a,1,即交
点的横坐标等于对数函数的底数,故在第一象限内,交点的横坐标越大,对数函数的底数就
越大;对数函数
y

log a
（A） 1,1
（B） 1,2
（C） 2,1
（D） 2,2
解:令 x 1 1,则 x 2 , y loga 1 1 1
∴函数 f x 的图象恒过点 2,1 .
选择【 C 】.
例 6. （ 1 ） 函 数 f x loga 2x 3 4 （ a 0 且 a 1） 的 图 象 恒 过 定 点
∴ log2 1≤ log2 x log2 64 ,∴ 0 ≤ log2 x 6 ,即 0 ≤ y 6 .

初中数学知识归纳对数函数的性质与像

初中数学知识归纳对数函数的性质与像

初中数学知识归纳对数函数的性质与像对数函数是数学中常见的一类函数，它在数学、物理、经济等领域中发挥着重要的作用。

对数函数的性质与像是初中数学知识中的一个重要概念，本文将对对数函数的性质与像进行归纳和总结。

一、对数函数的性质1. 对数函数的定义域与值域对数函数的定义域为正实数集，即x>0，值域为实数集。

对数函数y=logx的定义可以表示为x=10^y。

2. 对数函数的图像特点对数函数的图像在x轴的左侧逐渐上升，呈现出右凸的形状。

对于对数函数y=logx，当x>1时，y>0；当x=1时，y=0；当0<x<1时，y<0。

这一特点在函数图像中体现出来。

3. 对数函数的性质对数函数具有以下性质：（1）对数函数的反函数是指数函数，即指数函数y=a^x与对数函数y=loga(x)互为反函数。

（2）对数函数与指数函数之间存在对应关系，即y=loga(x)与y=a^x在直角坐标系中对应点关于y=x对称。

（3）对数函数的图像关于直线y=x对称，即对于点(x,y)，若y=loga(x)，则x=loga(y)。

（4）不同底数的对数函数之间可以通过换底公式进行转换，即对于任意正实数x和任意正整数a、b，在同一定义域上，loga(x)=logb(x)/logb(a)。

二、对数函数的像1. 对数函数的像的定义对于对数函数y=loga(x)，x属于定义域，所对应的y值即为像。

像是自变量x通过函数变换所得到的因变量y的数值。

2. 对数函数的像的特性（1）对数函数的像随着自变量x的增加而增大，但增速逐渐减缓。

当x趋于无穷大时，对数函数的像也会趋于无穷大。

（2）当自变量x等于1时，对数函数的像等于0。

这是因为任意底数的对数函数，底数1的对数都等于0。

（3）当自变量x在(0,1)区间内时，对数函数的像为负数。

这是因为在这个区间内的自变量通过对数函数的映射，得到的值在0附近，所以是负数。

（4）当自变量x大于1时，对数函数的像为正数。

对数函数及其性质知识点总结讲义

对数函数及其性质知识点总结讲义

对数函数及其性质相关知识点总结：1.对数的概念一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N．a叫做对数的底数，N叫做真数．2. 对数与指数间的关系3.对数的基本性质(1)负数和零没有对数． (2)log a1＝0(a＞0，a≠1)． (3)log a a＝1(a＞0，a≠1)．10.对数的基本运算性质(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N． (2)log a MN＝log a M－log a N． (3)log a M n＝n logaM(n∈R)．4.换底公式（1）log a b＝log c blog c a(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)．（2）logba=1log aa5.对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．6.对数函数的图象和性质7.反函数对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)互为反函数．基础练习：1.将下列指数式与对数式互化：(1)2－2＝14； (2)102＝100； (3)e a＝16； (4)64－13＝14；2. 若log3x＝3，则x＝_________ 3.计算：(1)log216=_________; (2)log381=_________; (3)2log62+log69=__________4.（1）log 29log 23＝________． （2）log 23?log 34?log 48=________________5. 设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝_________.6.若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为______________.7.(1)如图2－2－1是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是______________(2)函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( ) 4. 求下列各式中的x 的值：(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；8.已知函数f (x )＝1＋log 2x ，则f (12)的值为__________.9. 在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝log 13x 的图象之间的关系是_______________10. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x（x ≤0），log 2x （x >0），那么f (f (18))的值为___________.例题精析：例1.求下列各式中的x 值：（1）log 3x ＝3； (2)log x 4＝2； (3)log 28＝x ； (4)lg(ln x )＝0. 变式突破：求下列各式中的x 的值：(1)log 8x ＝－23； (2)log x 27＝34； (3)log 2(log 5x )＝0；(4)log 3(lg x )＝1.例2.计算下列各式的值：(1)2log 510＋; (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 (3)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.变式突破：计算下列各式的值：(1)312log34； (2)32＋log 35； (3)71－log 75；(4)412(log 29－log 25)．例3.求下列函数的定义域：(1)y＝lg（2－x）； (2)y＝1log3（3x－2）； (3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．变式突破：求下列函数的定义域：(1)y＝log12（2－x）; (2)y＝1log2（x+2）; （3）1−log2.例4.比较下列各组中两个值的大小：(1)ln ，ln 2； (2)，(a>0，且a≠1)；(3)，； (4)log3π，logπ3.变式突破：若a＝，b＝log26，c＝，则a，b，c的大小关系为________．例5.解对数不等式(1)解不等式log2(x＋1)＞log2(1－x)；(2)若log a23＜1，求实数a的取值范围．变式突破：解不等式：（1）log3(2x＋1)>log3(3－x)．（2）若log a2>1，求实数a的取值范围．课后作业：1. 已知log x16＝2，则x等于___________.2. 方程2log3x＝14的解是__________.3. 有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是_____________.4.函数y＝log a(x＋2)＋1的图象过定点___________.5. 设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝( )6. 若log12a＝－2，logb9＝2，c＝log327，则a＋b＋c等于___________.7.. 设3x＝4y＝36，则2x＋1y=___________.。

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对数函数及其性质
相关知识点总结：
1.对数的概念
一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N 的对数，记作x＝log a N．a叫做对数的底数，N叫做真数．
2. 对数与指数间的关系
3.对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．(2)log a1＝0(a＞0，a≠1)． (3)log a a＝1(a＞0，a≠1)．
10.对数的基本运算性质
(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N．(2)log a M
N
＝log a M－
log a N． (3)log a M n＝n log a M(n∈R)．
4.换底公式
（1）log a b＝log c b
log c a
(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞
0)．（2）
5.对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
6.对数函数的图象和性质
a＞10＜a＜1
图
象
性质
定义域(0，＋∞)
值域 R
过定点(1，0)，即当x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
7.反函数
对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)和指数函数y ＝a x (a ＞0且
a ≠1)互为反函数．
基础练习：
1.将下列指数式与对数式互化：
(1)2
－2
＝1
4
； (2)102＝100； (3)e a ＝16； (4)64－13＝1
4
；
2. 若log 3x ＝3，则x ＝_________
3.计算： (1); (2)
;
(3)2
4.（1） log 29
log 23
＝________． （2）
5. 设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝_________.
6.若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为______________.
7.(1)如图2－2－1是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，1
10，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是
______________
(2)函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )
4. 求下列各式中的x 的值：
(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝3
4
；
8.已知函数f (x )＝1＋log 2x ，则f (1
2
)的值为__________.
9. 在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝log 13x 的图象之间的
关系是_______________
10. 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧3x （x ≤0），
log 2x （x >0），那么
f (f (1
8
))的值为
___________.
例题精析：
例1.求下列各式中的x 值：
（1）log 3x ＝3； (2)log x 4＝2； (3)log 28＝x ； (4)lg(ln x )＝0.
变式突破：
求下列各式中的x 的值：
(1)log 8x ＝－
23； (2)log x 27＝34
； (3)log 2(log 5x )＝0； (4)log 3(lg x )＝1.
例2.计算下列各式的值：
(1)2log 510＋; (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 (3)lg 25＋
2
3lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
变式突破：
计算下列各式的值：
(1)31
2
log
3
4； (2)32＋log 35； (3)71－
log 75； (4)41
2
(log 29－log 25)．
例3.求下列函数的定义域：
(1)y＝lg（2－x）；(2)y＝
1
log3（3x－2）
；
(3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
变式突破：
求下列函数的定义域：
(1)y＝log1
2
（2－x）; (2)y＝ ; （3）.
例4.比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln ，ln 2； (2)，
(a>0，且a≠1)；
(3)，； (4)log3π，logπ3.
变式突破：
若a＝，b＝log26，c＝，则a，b，c的大小关系为________．例5.解对数不等式
(1)解不等式log2(x＋1)＞log2(1－x)；(2)若log a 2
3
＜1，求实
数a的取值范围．
变式突破：
解不等式：（1）log3(2x＋1)>log3(3－x)．（2）若log a2>1，求实数a的取值范围．
课后作业：
1. 已知log x16＝2，则x等于___________.
2. 方程2log3x＝1
4
的解是__________.
3. 有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是_____________.
4.函数y＝log a(x＋2)＋1的图象过定点___________.
5. 设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝( )
6. 若log1
2
a＝－2，log b9＝2，c＝log327，则a＋b＋c等于___________.
7.. 设3x＝4y＝36，则2
x
＋
1
y
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