导数中与切线有关的问题
导数的应用 图形切线问题
导数的应用图形切线问题
导数的应用：图形切线问题
导数在数学中有广泛的应用，其中之一就是解决图形切线问题。
图形切线问题是指如何找到曲线某一点的切线，导数给出了解决这
类问题的有效方法。
1. 切线的定义
切线是曲线上通过给定点的直线，它与曲线在该点相切且方向
与曲线在该点的切线方向相同。
2. 导数的定义
导数可以理解为函数在某一点上的斜率。
对于函数f(x)，它在
点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx。
3. 求切线的步骤
- 求取函数f(x)在给定点x0处的导数f'(x0)。
- 使用点斜式找到通过给定点(x0, f(x0))且斜率为f'(x0)的切线方程。
4. 举例说明
假设我们要找到函数f(x) = x^2在点x = 2处的切线。
- 首先求取f(x)在x = 2处的导数。
f'(x) = 2x，代入x = 2，得到f'(2) = 4。
- 接下来使用点斜式得到切线方程。
切线方程为y - f(2) = f'(2)(x - 2)。
代入f(2) = 4和f'(2) = 4，得到y - 4 = 4(x - 2)。
化简方程，得到y = 4x - 4。
所以，函数f(x) = x^2在点x = 2处的切线方程为y = 4x - 4。
导数的应用之图形切线问题为我们提供了一种有效的方法来求取曲线某点的切线。
通过求取导数和使用点斜式，我们可以准确地找到给定点处的切线方程。
这对于解决多种实际问题，例如物理学中的运动问题和经济学中的边际分析，都具有重要意义。
导数的应用切线与极值问题
导数的应用切线与极值问题导数的应用：切线与极值问题导数是微积分中的重要概念，它在各个科学领域中都有着广泛的应用。
其中，切线与极值问题是导数应用的两个常见问题。
本文将探讨如何使用导数解决切线和极值问题，并通过实例解释其应用。
一、切线问题切线是曲线上某一点处与该点相切的直线。
通过导数，我们可以确定曲线上某点的切线方程。
设曲线方程为y=f(x)，点P(x,y)处的切线斜率k即为函数f(x)在该点的导数，即k=f'(x)。
例子1：求曲线y=x^2+2x+1在点P(1,4)处的切线方程。
解：首先求导数：f'(x)=(x^2+2x+1)'=2x+2。
然后求点P(1,4)处的斜率：k=f'(1)=2(1)+2=4。
由切线斜率和点可确定切线方程，即y-4=4(x-1)。
将其化简，得到切线方程为y=4x。
二、极值问题在求解极值问题时，我们可以利用导数为0的点来确定函数的最大值或最小值。
设函数f(x)在[a,b]区间上连续且在区间内可导，若f'(c)=0且c∈(a,b)，则c称为f(x)在[a,b]上的临界点。
临界点和区间端点都有可能是函数的极值点。
例子2：求函数f(x)=x^3-3x^2的极小值。
解：首先求导数：f'(x)=(x^3-3x^2)'=3x^2-6x。
然后求导函数的临界点：3x^2-6x=0。
化简得到x(x-2)=0，解得x=0或x=2。
接下来，我们通过判断临界点和区间端点的函数值来确定极小值。
计算f(0)=-0、f(2)=-4，因此f(x)=x^3-3x^2的极小值为-4，在x=2处取得。
综上，我们通过求解导数和判断临界点来确定函数的极值。
三、切线和极值问题的应用切线问题和极值问题在实际应用中有着广泛的运用。
例子3：一辆汽车在某段时间内行驶的路程和时间的关系如图所示。
求该段时间内汽车的平均速度，以及汽车行驶的最快和最慢速度。
图表：时间（小时） 0 2 4 6 8 10路程（公里）***********解：我们可以通过导数来求解这个问题。
利用导数求三角函数切线方程的三种问题类型
利用导数求三角函数切线方程的三种问题类型导数是微积分中的重要概念，可以用来求解三角函数的切线方程。
在这份文档中，我们将介绍三种利用导数求三角函数切线方程的问题类型。
问题类型一：给定函数和点，求切线方程在这种类型的问题中，我们已知一个三角函数及其定义域上一点的坐标，需要求解该函数在该点处的切线方程。
解决这类问题的关键是求解该点处的导数。
对于三角函数而言，我们可以利用基本导数公式来求解。
例如，对于sin(x)函数，其导数是cos(x)；对于cos(x)函数，其导数是-sin(x)。
一旦我们求得了函数在给定点处的导数，我们可以使用切线方程的一般形式y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)来求解。
其中，f'(x0)表示函数在x0处的导数值，f(x0)表示函数在x0处的函数值。
问题类型二：给定函数和切线斜率，求切点坐标在这种类型的问题中，我们已知一个三角函数及其切线的斜率，需要求解切线与该函数的交点坐标。
解决这类问题的关键是找到切点的x坐标。
我们可以使用导数和斜率的关系来求解。
具体而言，由于导数就是切线的斜率，我们可以将斜率与导数相等来列方程。
然后，通过求解方程，我们可以得到切点的x坐标。
一旦我们获得了切点的x坐标，我们可以将该坐标代入三角函数的方程中，得到切点的y坐标。
问题类型三：给定函数和切点，求切线斜率在这种类型的问题中，我们已知一个三角函数及其切线的切点坐标，需要求解切线的斜率。
解决这类问题的关键是求解切点的导数。
我们可以使用导数的定义来求解。
具体而言，我们可以将切点的坐标代入三角函数的导数公式中，然后求导得到切点的导数。
一旦我们求得了切点的导数，即可得到切线的斜率。
通过掌握这三种问题类型的解决方法，我们可以有效地利用导数来求解三角函数的切线方程。
这有助于我们更好地理解三角函数的性质和导数的应用。
导数的应用切线和极值问题
导数的应用切线和极值问题导数的应用：切线和极值问题在微积分中，导数是一个重要的概念，它能够帮助我们解决各种实际问题。
本文将讨论导数的应用之一：切线和极值问题。
一、切线问题在几何学中，切线是一个与曲线相切于一点且与曲线在该点处具有相同的斜率的直线。
利用导数，我们可以求解切线方程。
设函数f(x)在点x=a处可导，则点P(a, f(a))处的切线斜率等于f'(a)。
因此，切线的斜率可以通过求函数的导数来获得。
进而，切线方程可以通过使用点斜式或一般式来表达。
举个例子，我们考察函数f(x) = x^2在点x=2处的切线。
首先，我们求f(x)的导数f'(x)。
通过求导法则，我们得到f'(x) = 2x。
将x=2代入到f'(x)中，我们可以计算得到切线的斜率：f'(2) = 2 * 2 = 4。
考虑到切线经过点(2, f(2)) = (2, 4)，我们可以使用点斜式来得到切线方程：y - 4 = 4(x - 2)。
简化这个方程我们可以得到y = 4x - 4，即函数f(x) = x^2在x=2处的切线方程。
二、极值问题极值是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
通过使用导数的概念，我们可以判断函数在给定区间内的极值。
设函数f(x)在区间[a, b]内可导。
为了判断f(x)在[a, b]内的极值，我们需要找到f'(x) = 0的点，以及f'(x)不存在的点。
这些点称为f(x)的临界点。
然后，我们将f(x)的临界点与区间的端点进行比较，找出极值点。
举个例子，我们考察函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在区间[-1, 3]上的极值。
首先，我们计算f(x)的导数f'(x)，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
为了找到临界点，我们需要解方程f'(x) = 0。
通过求解这个方程，我们得到x = 1或x = 2。
然后，我们将这些临界点与区间的端点进行比较。
导数中的公切线问题--2024年新高考数学一轮复习题型归纳与方法总结 解析版
导数中的公切线问题知识点梳理一、公切线问题一般思路两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.考法1：求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.具体做法为：设公切线在y =f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y =g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)=g ′(x 2)=f x 1 -g x 2x 1-x 2.考法2：由公切线求参数的值或范围问题由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．题型精讲精练1若直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则k =______．【解析】设y =kx +b 与y =e x 和y =ln x +2 ，分别切于点x 1,e x 1，x 2,ln x 2+2 ，由导数的几何意义可得：k =e x 1=1x 2+2，即x 2+2=1ex 1，①则切线方程为y -e x 1=e x 1x -x 1 ，即y =e x 1x -e x 1x 1+e x 1，或y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，即y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，②将①代入②得y =e x 1x +2e x 1-1-x 1，又直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则-e x 1x 1+e x 1=2e x 1-1-x 1，即e x 1-1 x 1+1 =0，则x 1=-1或x 1=0，即k =e 0=1或k =e -1=1e ，故答案为1或1e．2已知直线y =kx +b 与函数y =e x 的图像相切于点P x 1,y 1 ，与函数y =ln x 的图像相切于点Q x 2,y 2 ，若x 2>1，且x 2∈n ,n +1 ，n ∈Z ，则n =______．【解析】依题意，可得e x 1=k =1x 2y 1=e x 1=kx 1+by 2=ln x 2=kx 2+b，整理得x 2ln x 2-ln x 2-x 2-1=0令f x =x ln x -ln x -x -1x >1 ，则f x =ln x -1x在1,+∞ 单调递增且f 1 ⋅f 2 <0，∴存在唯一实数m ∈1,2 ，使f m =0f x min =f m <f 1 <0，f 2 =ln2-3<0，f 3 =2ln3-4<0，f 4 =3ln4-5<0，f 5 =4ln5-6>0，∴x 2∈4,5 ，故n =4．【题型训练】1.求公切线方程一、单选题1(2023·全国·高三专题练习)曲线y =1x与曲线y =-x 2的公切线方程为()A.y =-4x +4B.y =4x -4C.y =-2x +4D.y =2x -4【答案】A【分析】画出图象，从而确定正确选项.【详解】画出y =1x,y =-x 2以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A 选项符合.故选：A2(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f (x )，若曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线与曲线y =xf (x )在点(1,2)处点的切线重合，则f ′(2)=()A.-34B.-14C.-4D.14【答案】B【分析】由f(0)=0得d=0，然后求得f (x)，由f (0)=2-01-0求得c=2，设g(x)=xf(x)，由g(1)=2得f(1)=2及a+b=0，再由g (1)=2得3a+2b+2=0，解得a,b后可得f (2)．【详解】设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，∵f(0)=d=0,∴f(x)=ax3+bx2+cx,∴f′(x)=3ax2+2bx+c∴f′(0)=c=2-01-0=2，设g(x)=xf(x)，则g(1)=f(1)=a+b+2=2，即a+b=0⋯⋯①又∵g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(1)=f(1)+f′(1)=2,∴f′(1)=0，即3a+2b+2=0⋯⋯②由①②可得a=-2,b=2,c=2，∴f′(2)=-14.故选：B.3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln x，g x =ax2-x．若经过点A1,0存在一条直线l与曲线y=f x 和y=g x 都相切，则a=()A.-1B.1C.2D.3【答案】B【分析】先求得f(x)在A(1,0)处的切线方程，然后与g x =ax2-x联立，由Δ=0求解【详解】解析：∵f x =x ln x，∴f x =1+ln x，∴f 1 =1+ln1=1，∴k=1，∴曲线y=f x 在A1,0处的切线方程为y=x-1，由y=x-1y=ax2-x得ax2-2x+1=0，由Δ=4-4a=0，解得a=1．故选：B4(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x2-4x+4,g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为A.三条B.二条C.一条D.0条【答案】A【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程8n3-8n2+1=0，构造函数f x =8x3-8x2+1,f x =8x3x-2，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.【详解】设公切线与f x 和g x 分别相切于点m,f m,n,f n,f x =2x-4，g x =-x -2,gn =fm =g n -f m n -m ，解得m =-n -22+2，代入化简得8n 3-8n 2+1=0，构造函数f x =8x 3-8x 2+1,f x =8x 3x -2 ，原函数在-∞，0 ↗，0，23 ↘，23，+∞ ↗，极大值f 0 >0,极小值，f 23<0故函数和x 轴有交3个点，方程8n 3-8n 2+1=0有三解，故切线有3条.故选A .【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x 轴的交点问题.5(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x ，若y =f x 与y =g x在公共点处的切线相同，则m =()A.-3B.1C.2D.5【答案】B【分析】设曲线y =f x 与y =g x 的公共点为x 0,y 0 ，根据题意可得出关于x 0、m 的方程组，进而可求得实数m 的值.【详解】设函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x 的公共点设为x 0,y 0 ，则f x 0 =g x 0 f x 0 =g x 0 ，即x 20-2m =3ln x 0-x 02x 0=3x 0-1x 0>0，解得x 0=m =1，故选：B .【点睛】本题考查利用两函数的公切线求参数，要结合公共点以及导数值相等列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.6(2023·全国·高三专题练习)函数f (x )=ln x 在点P (x 0,f (x 0))处的切线与函数g (x )=e x 的图象也相切，则满足条件的切点的个数有A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】先求直线l 为函数的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线方程，再设直线l 与曲线y =g (x )相切于点(x 1，e x 1)，进而可得ln x 0=x 0+1x 0-1，根据函数图象的交点即可得出结论．【详解】解：∵f (x )=ln x ，∴f ′(x )=1x ，∴x =x 0，f ′(x 0)=1x 0，∴切线l的方程为y-ln x0=1x0(x-x0)，即y=1x0x+ln x0-1，①设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x1，e x1)，∵g (x)=e x，∴e x1=1x0，∴x1=-ln x0．∴直线l也为y-1x0=1x0(x+ln x0)即y=1x0x+ln x0x0+1x0，②由①②得ln x0=x0+1 x0-1，如图所示，在同一直角坐标系中画出y=ln x,y=x+1x-1的图象，即可得方程有两解，故切点有2个.故选：C二、填空题7(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)与曲线y=e x和y=-x24都相切的直线方程为.【答案】y=x+1【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线y=e x相切于点x1,e x1，因为y =e x，所以该直线的方程为y-e x1=e x1x-x 1，即y=e x1x+e x11-x1，设直线与曲线y=-x24相切于点x2,-x224，因为y =-x2，所以该直线的方程为y+x224=-x22x-x2，即y=-x22x+x224，所以e x1=-x22e x11-x1=x224，解得x1=0,x2=-2，所以该直线的方程为y=x+1，故答案为：y=x+1.8(2023·全国·高三专题练习)已知f x =e x-1(e为自然对数的底数)，g x =ln x+1，请写出f x 与g x 的一条公切线的方程．【答案】y=ex-1或y=x【分析】假设切点分别为m,e m-1，n,ln n+1，根据导数几何意义可求得公切线方程，由此可构造方程求得m，代入公切线方程即可得到结果.【详解】设公切线与f x 相切于点m,e m-1，与g x 相切于点n,ln n+1，∵f x =e x，g x =1x，∴公切线斜率k=e m=1n；∴公切线方程为：y-e m+1=e m x-m或y-ln n-1=1nx-n，整理可得：y=e m x-m-1e m-1或y=1nx+ln n，∴e m=1nm-1e m+1=-ln n，即m=-ln nm-1e m +1=-ln n，∴m-1e m+1-m=m-1e m-1=0，解得：m=1或m=0，∴公切线方程为：y=ex-1或y=x.故答案为：y=ex-1或y=x.9(2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试)已知直线l与曲线y=e x、y=2+ln x都相切，则直线l的方程为．【答案】y=x+1或y=ex【分析】分别求出两曲线的切线方程是y=e x1x+e x11-x1和y=1x2x+1+ln x2，解方程e x1=1x2，e x11-x1=1+ln x2，即得解.【详解】解：由y=e x得y =e x，设切点为x1,e x1，所以切线的斜率为e x1，则直线l的方程为：y=e x1x+e x11-x1；由y =2+ln x 得y =1x ，设切点为x 2,2+ln x 2 ，所以切线的斜率为1x 2，则直线l 的方程为：y =1x 2x +1+ln x 2．所以e x 1=1x 2，e x 11-x 1 =1+ln x 2，消去x 1得1x 2-11+ln x 2 =0，故x 2=1或x 2=1e，所以直线l 的方程为：y =x +1或y =ex ．故答案为：y =x +1或y =ex 10(2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知直线y =kx +b 是曲线y =ln 1+x 与y =2+ln x 的公切线，则k +b =.【答案】3-ln2【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算k +b .【详解】设曲线y =ln 1+x 上切点A x 1,ln 1+x 1 ，y =11+x，切线斜率k =11+x 1，切线方程y -ln 1+x 1 =11+x 1x -x 1 ，即y =11+x 1x -x 11+x 1+ln 1+x 1同理，设曲线y =2+ln x 上切点B x 2,2+ln x 2 ，y =1x，切线斜率k =1x 2，切线方程y -2+ln x 2 =1x 2x -x 2 ，即y =1x 2x +1+ln x 2，所以11+x 1=1x 2-x11+x 1+ln (1+x 1)=1+ln x 2，解得x 1=-12x 2=12，所以k =2，b =1-ln2，k +b =3-ln2.故答案为：3-ln2.2.公切线中的参数问题一、单选题1(2023·陕西渭南·统考一模)已知直线y =ax +b (a ∈R ,b >0)是曲线f x =e x 与曲线g x =ln x +2的公切线，则a +b 等于()A.e +2B.3C.e +1D.2【答案】D【分析】由f x 求得切线方程，结合该切线也是g x 的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线y =ax +b ，从而求得正确答案.【详解】设t ,e t 是f x 图象上的一点，f x =e x ，所以f x 在点t ,e t 处的切线方程为y -e t =e t x -t ，y =e t x +1-t e t ①，令g x =1x=e t ，解得x =e -t ，g e -t=ln e -t+2=2-t ，所以2-t -e te -t-t=e t ，1-t =1-t e t ，所以t =0或t =1(此时①为y =ex ，b =0，不符合题意，舍去)，所以t =0，此时①可化为y -1=1×x -0 ,y =x +1，所以a +b =1+1=2.故选：D2(2023·陕西榆林·校考模拟预测)若直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，与曲线y =x +32也相切，切点为N x 2,y 2 ，则2x 1-x 2的值为()A.-2B.-1C.0D.1【答案】B【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解.【详解】因为直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，可知直线l 的方程为y =e x 1x -x 1 +e x 1=e x 1x +1-x 1 e x 1，又直线l 与曲线y =x +3 2也相切，切点为N x 2,y 2 ，可知直线l 的方程为y =2x 2+3 x -x 2 +x 2+3 2=2x 2+3 x -x 22+9，所以e x 1=2x 2+3 1-x 1 e x 1=-x 22+9，两式相除，可得21-x 1 =3-x 2，所以2x 1-x 2=-1.故选：B3(2023春·河南·高三校联考阶段练习)已知曲线y =x 在点x 0,x 0 0<x 0<14处的切线也与曲线y =e x 相切，则x 0所在的区间是()A.0,14e 4B.14e 4,14e 2C.14e 2,14eD.14e ,14【答案】C【分析】设切线l与曲线y=e x的切点为m,e m，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果.【详解】设该切线为l，对y=x求导得y =12x，所以l的方程为y-x0=12x0x-x0，即y=12x0x+x02．设l与曲线y=e x相切的切点为m,e m，则l的方程又可以写为y-e m=e m x-m，即y=e m x+1-me m．所以e m=12x0，x02=1-me m．消去m，可得x0=1+ln2x0，0<x0<1 4，令t=2x0∈0,1，则ln t-t24+1=0．设h t =ln t-t24+1，当0<t<1时，h t =1t-t2>0，所以h t 在0,1上单调递增，又h1e=-14e2<0，h1e=12-14e>0，所以t0=2x0∈1e,1e，所以x0∈14e2,14e．故选：C.4(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =2a ln x+1与g x =x2+1的图像存在公共切线，则实数a的最大值为()A.eB.2eC.e22D.e2【答案】A【分析】分别设公切线与g x =x2+1和f(x)=2a ln x+1的切点x1,x21+1，x2,2a ln x2+1，根据导数的几何意义列式，再化简可得a=2x22-2x22ln x2，再求导分析h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x >0)的最大值即可【详解】g x =2x，f x =2a x，设公切线与g x =x2+1的图像切于点x1,x21+1，与曲线f(x)=2a ln x+1切于点x2,2a ln x2+1，所以2x1=2ax2=2a ln x2+1-x21+1x2-x1=2a ln x2-x21x2-x1，故a=x1x2，所以2x1=2x1x2ln x2-x21x2-x1，所以x1=2x2-2x2⋅ln x2，因为a=x1x2，故a=2x22-2x22ln x2，设h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x>0)，则h (x)=2x(1-2ln x)，令h (x)=0⇒x=e当h (x)>0时，x∈(0,e)，当h (x)<0时，x∈(e,+∞)，所以h x 在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减，所以h(x)max=h(e)=e，所以实数a的最大值为e，故选：A.5(2023·湖南郴州·统考模拟预测)定义：若直线l与函数y=f x ，y=g x 的图象都相切，则称直线l为函数y=f x 和y=g x 的公切线．若函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且仅有一条公切线，则实数a的值为()A.eB.eC.2eD.2e【答案】C【分析】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为y=2x1x-x21，y=ax2x+a ln x2-1.两条切线重合，即可得出a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.构造h x =4x2-4x2ln x x>0，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案.【详解】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，因为g x =2x，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为2x1，即该直线的方程为y-x21=2x1x-x1，即y=2x1x-x21.设直线与f x =a ln x的切点为(x2,a ln x2)，因为f x =ax，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为ax2，即该直线的方程为y-a ln x2=ax2x-x2，即y=ax2x+a ln x2-1.因为函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且只有一条公切线，所以有2x1=ax2a ln x2-1=-x21 ，即a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.令h x =4x2-4x2ln x x>0，则h x =8x-8x ln x-4x=4x1-2ln x.解h x =0，可得x= e.当4x1-2ln x>0时，0<x<e，所以h x 在0,e上单调递增；当4x1-2ln x<0时，x>e，所以h x 在e,+∞上单调递减.所以h x 在x=e处取得最大值h e=4e-4e×12=2e.当x→0时，h x →0，h e =4e2-4e2ln e=0，函数h x 图象如图所示，因为a>0，a=4x2-4x2ln x有唯一实根，所以只有a=2e.故选：C6(2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习)已知函数f x =2+ln x，g x = a x，若总存在两条不同的直线与函数y=f x ，y=g x 图象均相切，则实数a的取值范围为()A.0,1B.0,2C.1,2D.1,e【答案】B【分析】设函数y=f x ，y=g x 的切点坐标分别为x1,2+ln x1，x2,a x2，根据导数几何意义可得a2=4ln x1+4x1，x1>0，即该方程有两个不同的实根，则设h x =4ln x+4x,x>0，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.【详解】解：设函数f x =2+ln x上的切点坐标为x1,2+ln x1，且x1>0，函数g x =a x 上的切点坐标为x2,a x2，且x2≥0，又f x =1x,g x =a2x，则公切线的斜率k=1x1=a2x2，则a>0，所以x2=a24x21，则公切线方程为y-2+ln x1=1x1x-x1，即y=1x1x+ln x1+1，代入x 2,a x 2 得：a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1，则a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，整理得a 2=4ln x 1+4x 1，若总存在两条不同的直线与函数y =f x ，y =g x 图象均相切，则方程a 2=4ln x 1+4x 1有两个不同的实根，设h x =4ln x +4x,x >0，则h x =4x⋅x -4ln x +4x2=-4ln xx，令h x =0得x =1，当x ∈0,1 时，h x >0，h x 单调递增，x ∈1,+∞ 时，h x <0，h x 单调递减，又h x =0可得x =1e，则x →0时，h x →-∞；x →+∞时，h x →0，则函数h x 的大致图象如下：所以a >00<a 2<4，解得0<a <2，故实数a 的取值范围为0,2 .故选：B .【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为x 1,2+ln x 1 ，且x 1>0，x 2,a x 2 ，且x 2≥0，可得k =1x 1=a 2x 2，即有x 2=a 24x 21，得公切线方程为y =1x 1x +ln x 1+1，代入切点x 2,a x 2 将双变量方程a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1转化为单变量方程a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，根据含参方程进行“参变分离”得a 2=4ln x 1+4x 1，转化为一曲一直问题，即可得实数a 的取值范围.7(2023·全国·高三专题练习)若曲线y =ln x +1与曲线y =x 2+x +3a 有公切线，则实数a 的取值范围()A.2ln2-36,3-ln22B.1-4ln212,3-ln22C.2ln2-36,+∞ D.1-4ln212,+∞【答案】D【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a 关于切点x 的解析式，根据解析式的值域确定a 的范围.【详解】设x 1,y 1 是曲线y =ln x +1的切点，设x 2,y 2 是曲线y =x 2+x +3a 的切点，对于曲线y =ln x +1，其导数为y =1x ，对于曲线y =x 2+x +3a ，其导数为y =2x +1，所以切线方程分别为：y -ln x 1+1 =1x 1x -x 1 ，y -x 22+x 2+3a =2x 2+1 x -x 2 ，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：1x 1=2x 2+1ln x 1=-x 22+3a，解得3a =ln x 1+x 22=ln 12x 2+1+x 22=-ln 2x 2+1+x 22x 2>-12 ，令h x =-ln 2x +1 +x 2x >-12，hx =-22x +1+2x =4x 2+2x -22x +1=2x +1 2x -1 2x +1=0，得：x =12，当x ∈-12,12时，h x <0，h x 是减函数，当x ∈12,+∞时，h x >0，h x 是增函数，∴h min x =h 12 =14-ln2且当x 趋于-12时，，h x 趋于+∞；当x 趋于+∞时，h x 趋于+∞；∴3a ≥14-ln2，∴a ≥1-4ln212；故选：D ．8(2023·河北·统考模拟预测)若曲线f (x )=3x 2-2与曲线g (x )=-2-m ln x (m ≠0)存在公切线，则实数m 的最小值为()A.-6eB.-3eC.2eD.6e【答案】A【分析】求出函数的导函数，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，即可得到m =-6x 1x 2，则x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，从而得到m =12x 22ln x 2-12x 22，在令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，利用导数求出函数的最小值，即可得解；【详解】因为f (x )=3x 2-2，g (x )=-2-m ln x (m ≠0)，所以f (x )=6x ，g (x )=-mx，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，所以6x 1=-m x 2=-2-m ln x 2-3x 21-2 x 2-x 1=-m ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以m =-6x 1x 2，所以6x 1=6x 1x 2ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，因为m ≠0，所以x 1≠0，所以x 1=2x 2-x 2ln x 2，所以m =-62x 2-x 2ln x 2 x 2=12x 22ln x 2-12x 22，令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，则h x =12x 2ln x -1 ，所以当0<x <e 时h x <0，当x >e 时h x >0，所以h x 在0,e 上单调递减，在e ,+∞ 上单调递增，所以h x min =h e =-6e ，所以实数m 的最小值为-6e.故选：A【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值.二、多选题9(2023·湖北·统考模拟预测)若存在直线与曲线f x =x 3-x ,g x =x 2-a 2+a 都相切，则a 的值可以是()A.0B.-24C.log 27D.e π+πe【答案】ABC【分析】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，求出切线方程为y =3x 21-1 x -2x 31，设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，求出切线方程为y =2x 2x -x 22-a 2+a ，联立方程组，得到-a 2+a =94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14，讨论h x 的单调性，从而得到最值，则可得到-a 2+a ≥-1，解出a 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.【详解】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，因为f x =3x 2-1，所以f x 1 =3x 21-1，所以该切线方程为y -x 31-x 1 =3x 21-1 x -x 1 ，即y =3x 21-1 x -2x 31.设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，因为g x =2x ，所以g x 2 =2x 2，所以该切线方程为y -x 22-a 2+a =2x 2x -x 2 ，即y =2x 2x -x 22-a 2+a ，所以3x 21-1=2x 2-2x 31=-x 22-a 2+a ，所以-a 2+a =x 22-2x 31=3x 21-122-2x 31=94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14,∴h x =9x 3-6x 2-3x ，所以当x ∈-∞,-13 ∪0,1 时，hx <0；当x ∈-13,0 ∪1,+∞ 时，h x >0；∴h x 在-∞,-13和0,1 上单调递减；在-13,0 和1,+∞ 上单调递增；又h -13 =527,h 1 =-1，所以h x ∈-1,+∞ ，所以-a 2+a ≥-1，解得1-52≤a ≤1+52，所以a 的取值范围为1-52,1+52，所以A 正确；对于B ，-24-1-52=25-2+2 4>0，所以1-52<-24<0，所以B 正确；对于C ，因为0<log 27<log 222=32<1+52，所以C 正确；对于D ，因为e π+πe>2e π⋅πe=2>1+52，所以D 不正确.故选：ABC10(2023·全国·高三专题练习)函数f x =ln x +1，g x =e x -1，下列说法正确的是( )．(参考数据：e 2≈7.39，e 3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10)A.存在实数m ，使得直线y =x +m 与y =f x 相切也与y =g x 相切B.存在实数k ，使得直线y =kx -1与y =f x 相切也与y =g x 相切C.函数g x -f x 在区间23,+∞ 上不单调D.函数g x -f x 在区间23,+∞上有极大值，无极小值【答案】AB【分析】对AB ，设直线与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，利用点在线上及斜率列方程组，解得切点即可判断；对CD ，令h x =g x -f x ，由二阶导数法研究函数单调性及极值.【详解】对AB ，设直线l 与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，f x =1x，gx =ex，则有y1=f x1=ln x1+1y2=g x2=e x2-1y1-y2x1-x2=1x1=e x2⇒ln x1+1-e x2-1x1-x2=e x2⇒-x2+1-e x2-11e x2-x2=e x2⇒e x2-1x2-1=0，解得x2=0或x2=1.当x2=0，则y2=0，x1=1，y1=1，公切线为y=x，此时存在实数m=0满足题意；当x2=1，则y2=e-1，x1=1e，y1=0，公切线为y=e x-1e=ex-1，此时存在实数k=1满足题意，AB对；对CD，令h x =g x -f x =e x-ln x-2，x∈0,+∞，则m x =h x =e x-1 x，由m x =e x+1x2>0得h x 在0,+∞单调递增，由h23=e23-32=e2-278e232+32e23+94>0得，x∈23,+∞时，h x >0，h x 单调递增，CD错.故选：AB.三、填空题11(2023·全国·高三专题练习)若曲线y=ax2与y=ln x有一条斜率为2的公切线，则a= .【答案】1ln2e【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.【详解】设公切线在曲线y=ax2与y=ln x上的切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，由y=ln x可得y =1x，所以1x2=2，解得x2=12，所以y2=ln x2=-ln2,则B12,-ln2 ，所以切线方程为y+ln2=2x-1 2，又由y=ax2，可得y =2ax，所以2ax1=2，即ax1=1，所以y1=ax21=x1，又因为切点A(x1,y1)，也即A(x1,x1)在切线y+ln2=2x-1 2上，所以x1+ln2=2x1-1 2，解得x1=ln2+1，所以a =1x 1=1ln2+1=1ln2e .故答案为:1ln2e.12(2023·河北唐山·统考三模)已知曲线y =ln x 与y =ax 2a >0 有公共切线，则实数a 的取值范围为.【答案】12e,+∞【分析】设公切线与曲线的切点为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，利用导数的几何意义分别求y =ln x 和y =ax 2上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线y =ln x 和y =ax 2的切点分别为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，其中x 1>0，对于y =ln x 有y =1x ，则y =ln x 上的切线方程为y -ln x 1=1x 1x -x 1 ，即y =xx 1+ln x 1-1 ，对于y =ax 2有y =2ax ，则y =ax 2上的切线方程为y -ax 22=2ax 2x -x 2 ，即y =2ax 2x -ax 22，所以1x 1=2ax 2ln x 1-1=-ax 22，有-14ax21=ln x 1-1，即14a=x 21-x 21ln x 1x 1>0 ，令g x =x 2-x 2ln x ，g x =x -2x ln x =x 1-2ln x ，令gx =0，得x =e 12，当x ∈0,e12时，g x >0，g x 单调递增，当x ∈e 12,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减，所以g x max =g e12=12e ，故0<14a ≤12e ，即a ≥12e.∴正实数a 的取值范围是12e,+∞.故答案为：12e,+∞.13(2023·浙江金华·统考模拟预测)若存在直线l 既是曲线y =x 2的切线，也是曲线y =a ln x 的切线，则实数a 的最大值为.【答案】2e【分析】设切线与两曲线的切点分别为(n ,n 2)，(m ,a ln m )，根据导数的几何意义分别求出切线方程，可得a4m2=1-ln m，由题意可知a4=m2(1-ln m)有解，故令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，利用导数求得其最值，即可求得答案.【详解】由题意知两曲线y=x2与y=a ln x,(x>0)存在公切线，a=0时，两曲线y=x2与y=0,(x>0)，不合题意；则y=x2的导数y =2x，y=a ln x的导数为y =a x，设公切线与y=x2相切的切点为(n,n2)，与曲线y=a ln x相切的切点为(m,a ln m)，则切线方程为y-n2=2n(x-n)，即y=2nx-n2，切线方程也可写为y-a ln m=am(x-m)，即y=amx-a+a ln m，故2n=am-n2=-a+a ln m，即a24m2=a-a ln m，即a4m2=1-ln m，即a4=m2(1-ln m)有解，令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，则g (x)=2x(1-ln x)+x2-1 x=x(1-2ln x)，令g (x)=0可得x=e，当0<x<e时，g (x)>0，当x>e时，g (x)<0，故g(x)在(0,e)是增函数，在(e,+∞)是减函数，故g(x)的最大值为g(e)=e 2，故a4≤e2，所以a≤2e，即实数a的最大值为2e，故答案为：2e。
导数的运用之切线的相关问题
4x−y −2 = 0 平行, 所以 f 故切线方程为 y − 1 + ln2
=′(x40)(x=−4,12即),
由 f (x)
1 x0
+2
=
即 4x −
= lnx+2x, 可得
4,
解得
x0
=
1 2
,
y − ln2 − 1 = 0.
f ′(x)
=
1 x
从而 y0 =
+ f
2, (1
2
因为切线与
)
=
ln
1 2
+ 1.
(2) 设切点坐标为 (m, n), 由切线与 x − y − 3 = 0 垂直可得 f ′(m) = −1, 即
导数微专题系列
3
徐良宗 (13859270025)
福建南靖第一中学
高中数学
1 m
+
2
=
−1,
解得
m
=
−
1 3
.
因为
m
∈
(0,
+∞),
而
m
=
−
1 3
不在定义域中,
因此不存在一点,
解析 因为 f (1) = e, 所以切点坐标为 (1, e), 又 f ′(x) = 3ex + (3x − 2)ex = (3x + 1)ex.
从而 f ′(1) = 4e, 故所求切线方程为 y − e = 4e(x − 1), 即 4ex − y − 3e = 0.
请听徐说 当切点已知时, 求切线方程是切线问题中较简单的一类问题, 体会切点 分别代入到函数与导函数中所起到的作用, 体会切点横坐标在切线问题中的关键作用.
导数中的切线问题
切线问题一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点, 用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,内容主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线的条数、公切线问题,由确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围等. 二、解题秘籍(一) 求曲线在某点处的切线求以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0),并化简．【例1】（2022届天津市静海区高三上学期开学摸底）已知函数()ln 2f x x x =+,()2g x x mx =−.（1）在()f x 点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在[](),20t t t +>上的最小值；（3）若存在01,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()()0002mf x g x x m '+≥+成立,求实数m 的取值范围.【分析】（1）由()12f =,()ln 1f x x '=+,()11f '=,得函数在()()1,1f 处的切线方程为21y x −=−即10x y −+=.（2）()'ln 1(0)f x x x =+>令()'0f x =,解得1=x e ,则1x e >时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,10x e<<时,()'0f x <,函数()f x 单调递减1≥t e ,()()min ln 2f x f t t t ==+；10<<t e ,()min 112f x f e e ⎛⎫==−+ ⎪⎝⎭(3)先证明ln 0x x −>恒成立,故2max2ln x x m x x ⎛⎫−≤ ⎪−⎝⎭ 1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,令()22ln x xh x x x −=−,1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()()()()()()()()222122ln 21122ln ln ln x x x x x x x x x h x x x x x ⎛⎫−−−−−⎪−+−⎝⎭'==−−,因为1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以222ln x x +>≥,即22ln 0x x +−>,所以当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()0h x '<,()h x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,当(]1,x e ∈时,()0h x '>,()h x 在(]1,e 上单调递增,2212112011e e e h e e e e−−⎛⎫==< ⎪+⎝⎭+,()2201e e h e e −=>−, 所以()()()max 21e e h x h e e −==−,所以()21e e m e −≤− (二)求曲线过某点的切线求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x 0,y 0),解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0,y 0),进而确定切线方程．【例2】（2022届河北省部分学校高三上学期第一次月考）已知函数()1e ln xf x x −=−.（1）求过点()0,1与曲线()y f x =相切的切线方程.（2）若0a >,函数()()()1h x f x a x =−−有且只有一个零点0x ,证明：()01,2x ∈.【分析】（1）设切点()()00,x f x ,则()0100e ln x f x x −=−.因为()11e x f x x−'=−,所以()01001e x k f x x −'==−, 所以切线方程为()()00110001e ln e x x y x x x x −−⎛⎫−−=−− ⎪⎝⎭, 将点()0,1代入,得()01001e ln 0x x x −−+=.01x =,切点为()1,1,k =0,故所求切线方程为1y =.（2）由()1eln x h x x ax a −=−−+得()11e x h x a x−'=−−.先证明e 1x x ≥+,所以()1111e 110111ah a a a a a a a '+=−−≥+−−=−>+++. ()11e x h x a x−'=−−在()0,∞+上单调递增,且()10h a '=−<,所以存在唯一的()01,1t a ∈+,使得()00h t '=,即001e 10ta t −−−=.当()00,x t ∈时,()0h x '<,()h x 单调递减；当()0,x t ∈+∞时,()0h x '>,()h x 单调递增.所以当0x t =时,()h x 取得最小值,且()110h =>.()ln 11ln x x x x ≥+⇒−≥,x =1时取“=”,则ln x x >,所以()()1e1x h x a x a −>−++,2211212eee e 244x x x x x x x x −−−−≥⇒≥⇒≥⇒≥, 所以()()()2114144x h x a x a x x a a >−++=−++⎡⎤⎣⎦,则()410h a a +>>⎡⎤⎣⎦,于是要使()h x 有唯一的零点,则()()000h t h x ==,即01e 1x a x −=+, 所以()()000001ln 201h x x ax a x x =−−+=>. 设()1ln 2φx x ax a x=−−+,则()x ϕ在()1,+∞上单调递减. 因为()110φa =+>,()12ln 202φ=−<, 所以012x <<,即()01,2x ∈. (三)求曲线的切线条数求曲线切线的条数一般是设出切点()(),t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,把切线条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题.【例3】（2022届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数()ln af x x x=+,a ∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若经过坐标原点恰好可作两条直线与曲线()y f x =相切,求a 的取值范围. 【分析】（1）221()a x af x xx x−'=−=,0x >, 当0a ≤时,()f x 在(0,)+∞上单调递增；0a >时,()f x 在(0,)a 上单减,在(,)a +∞上单增；（2）设切点横坐标为0x ,则切线方程为0200012ln 1a ay x x x x x ⎛⎫=−++− ⎪⎝⎭,代入(0,0)得002ln 10a x x +−=,即0002ln a x x x =−,关于0x 的方程0002ln a x x x =−在(0,)+∞内恰有两个解,令()ln g x x x x =−,()g x 在(0,1)上单增,在(1,)+∞上单减,又(1)1g =,当0x →时,()0g x →,且()0g e =,故当021a <<时,方程()2g x a =有两个解,所以102a <<,故a 的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.(四)曲线的公切线研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.【例4】已知函数()()()1ln 1,x f x x g x e −=+=（1）若直线:l y kx b =+既是曲线()y f x =的切线,也是曲线()y g x =的切线,求直线l 的方程； （2）证明：2ln 1x x x e x <−−．（参考数据：0.69ln 20.7<<）【分析】（1）1()1f x x '=+,1()x g x e '−=, 函数()f x 在点11(,())x f x 处的切线方程为：1111ln(1)()1y x x x x −+=−+,即11111ln(1)11x y x x x x =++−++, 函数()g x 在点22(,())x g x 处的切线方程为：22112()x x y ee x x −−−=−,即22112(1)x x y e x e x −−=+−,因为直线:l y kx b =+既是曲线()y f x =的切线,也是曲线()y g x =的切线, 所以22111112111ln(1)(1)1x x e x x x e x x −−⎧=⎪+⎪⎨⎪+−=−⎪+⎩, 将211ln(1)x x −=−+代入得1ln(1)1111ln(1)ln(1)1x x x e x x −++−=⋅++,即111ln(1)x x x +=, 所以10x =或11x e =−,若10x =,则21x =,此时直线l 的方程为：y x =； 若11x e =−,则20x =,则此时直线l 的方程为：11y x e e =+,综上得：y x =或11y x e e=+.（2）先证明ln 1≤−x x ,所以2ln x x x x ≤−,设2()21(0)x F x e x x x =−+−>,则()41x F x e x '=−+,令()()41x G x F x e x '==−+,则()'4xG x e =−,令()'0G x =,得ln 4x =,所以存在12,x x 使得()F x 满足()F x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增,在12(,)x x 上单调递减, 所以{}{}min 22()min (0),()min 0,()F x F F x F x ==,又因为22222222()21252x F x e x x x x =−+−=−+−,且2ln 42x <<,因为2252y x x =−+−在(ln 4,2)上单调递减,所以2222520x x −+−>,所以2()0F x >,所以2()210x F x e x x =−+−>,即221ln x e x x x x x −−>−≥,即2ln 1x x x e x <−−.(五)取得满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解.【例5】（2021届北京人大附中高三考前热身）已知函数()22x f x e x =−.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）是否存在()12,0,2x x ∈,使得曲线()y f x =在点()()11,x f x 和点()()22,x f x 处的切线互相垂直？说明理由.（参考数据： 2.72e ≈,ln 20.69≈）【分析】由（1）()'01f =,()01f =,得切线方程为 1y x =+.（2）令()()'4xg x f x e x ==−,若存在()12,0,2x x ∈,使得曲线()y f x =在点()()11,x f x 和点()()22,x f x 处的切线互相垂直,则存在()12,0,2x x ∈,()()121g x g x ⋅=−.()'4x g x e =−,令()'0g x =,解得：()ln 40,2x =∈.所以()g x 在()0,ln 4上单调递减,在()ln 4,2上单调递增.()01g =,()ln 444ln 4 1.42g =−≈−,()2280.6016g e =−≈−故()[)1.42,1g x ∈−,所以存在()12,0,2x x ∈,使得()()121g x g x ⋅=−,例如()()1265,56g x g x =−=.三、典例展示【例1】函数()()ln 1,f x a x a =+∈R ．（1）当1a =时,求曲线()y f x =在3x =处的切线方程；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞,都有()212f x x x −恒成立,求实数a 的取值范围；（3）设()()1,0p x f x a =−>,若()()1122,,,A x y B x y 为曲线()y p x =的两个不同点,满足120x x <<,且()312,x x x ∃∈,使得曲线()y p x =在3x 处的切线与直线AB 平行,求证：123.2x x x +< 【解析】（1）当1a =时,()()ln 1f x x =+,得出切点()3,ln4, ()1,1f x x '=∴+Q 切线的斜率()13.4k f '== ∴曲线()y f x =在3x =处的切线方程为()1:ln434y x −=−, 化为48ln230.x y −+−=（2）对任意[)0,x ∈+∞,()212f x x x −恒成立,即()21ln 102a x x x +−+恒成立．令()()()()()2211ln 10.10211a x a h x a x x x x h x x x x x +−=+−+=−+=++'．①当1a 时,()0h x '恒成立,∴函数()h x 在[)0,x ∈+∞上单调递增,()()00,h x h ∴=1a ∴时符合条件．②当1a <时,由()0h x '=,及0x ,解得x = 当(x ∈时,()0h x '<；当)x ∞∈+时,()0.hx '>则()h x 在(单调递减,在)∞+单调递增．所以()()min 00h x hh =<=,这与()0h x 相矛盾,应舍去．综上可知1,a a 的取值范围为[1,)+∞ （3）()()2121ln ln 1ln ,AB a x a x p x f x a x k x x −=−==−．()()33,,a ap x p x x x ''=∴=QQ 曲线()y p x =在3x 处的切线与直线AB 平行,21213ln ln ,a x a x ax x x −∴=−要证123:.2x x x +<即证明212121ln ln 2a x a x a x x x x −>−+,变形可得()2211221211212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫− ⎪−⎝⎭>=++,令21x t x =,则 1.t > 要证明的不等式等价于()()()21ln 1ln 21.1t t t t t t −>⇔+>−+构造函数()()()1ln 21,(1)q t t t t t =+−−>．()11ln 2ln 1(1)t q t t t t t t+=+−=+−>' 则()()221110,t q t q t t t t−=−=>∴'''在区间()1,+∞上单调递增．()()10,q t q ∴'>='∴函数()q t 在区间()1,+∞上单调递增, ()()()10,0q t q q t ∴>=∴>在()1,+∞上恒成立． ()()1ln 21t t t ∴+>−在()1,+∞上恒成立,即1232x x x +<成立． 【例2】（2021届安徽师大附中高三5月最后一卷）已知函数()x f x e =,()ln g x x =.（1）若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为y kx b =+,且存在实数m ,n ,使得直线()y m k x n b −=++与曲线()y g x =相切,求m n +的值； （2）若函数()()(())x x af x g x x ϕ=+−有零点,求实数a 的取值范围. 【解析】（1）()x f x e '=,(0)1f '=,(0)1f =,所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+,所以1k b ==, 则()y m k x n b −=++,即1y x m n =+++. 1()g x x '=,则曲线()y g x =在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x −=−,即001ln 1y x x x =+−, 从而11x =,0ln 11x m n −=++,所以01x =,2m n +=−. （2）由题意知()(ln )x x x ae x x ϕ=+−,(0,)x ∈+∞, 函数()ϕx 有零点,即()0x ϕ=有根. 当0a =时,()0x x ϕ=>,不符合题意. 当0a ≠时,函数()ϕx 有零点等价于1ln 1x x e a x ⎫⎛=− ⎪⎝⎭有根. 设ln ()1x x h x e x ⎫⎛=− ⎪⎝⎭,则2ln 1ln ()1x x x x h x e e x x −⎫⎫⎛⎛=−+− ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭'2(1)(1ln )x e x x x x =−+−,设()1ln s x x x =+−,则1()1s x x =−', 当(0,1)x ∈时,()0s x '<,()s x 单调递减, 当(1,)x ∈+∞时,()0s x '>,()s x 单调递增,所以()(1)20s x s =>,所以()0h x '=仅有一根1x =,且当(0,1)x ∈时,()0h x '<,()h x 单调递减, 当(1,)x ∈+∞时,()0h x '>,()h x 单调递增,所以()(1)h x h e ≥=. 数形结合可知,若函数()ϕx 有零点,则1e a,从而10a e <.【例3】（2021届西南名校联盟“3 3 3”高三5月诊断）已知函数()33f x x x =−（1）求函数()f x 在[]0,2上的值域；（2）若过点()2,t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围.【解析】（1）()()()233311f x x x x '=−=+−Q ,当()0,1x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减；当()1,2x ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增,()f x ∴在1x =处取得极小值为12f ,又()()00,22f f ==,()f x ∴在[]0,2上的值域为[]22−,； （2）设切点为()30003,x x x −,则切线斜率为()20033k f x x '==−,所以切线方程为()()()320000333y x x x x x −−=−−,又切线过点()2,t ,则()()()3200003332t x x x x −−=−−,整理得3200266x x t −+=−,则曲线有三条切线方程等价于()32000266g x x x =−+与y t =−有三个交点,()()20000061262g x x x x x =−=−',令()00g x '>解得00x <或02x >,令()00g x '<解得002x <<,()0g x ∴在()(),0,2,−∞+∞单调递增,在()0,2单调递减,()0g x ∴在0x =处取得极大值()60g =,在2x =处取得极小值()22g =−,要使()0g x 与y t =−有三个交点,则需满足26t −<−<,解得62t −<<. 四、跟踪检测1.（2021届】重庆市巴蜀中学高三适应性月考）函数3221(),()ln 2f x x ax bg x a x m =−+=+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时,设()()h x f x '=,()h x 与()g x 有公共点,且在公共点处的切线方程相同,求实数m 的最大值． 【解析】（1）321(),2f x x ax b x =−+∈R ,则2334()2223f x x ax x x a '⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭,当0a =时,23()02f x x '=≥,所以()f x 在R 上单调递增； 当0a <时,令()0f x '>0x ⇒>或43x a <,4()003f x a x '<⇒<<, 所以()f x 在4,3a ⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭上单调递增,4,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,(0,)+∞上单调递增；当0a >时,令4()03f x x a '>⇒>或40,()003x f x x a <<⇒<<',所以()f x 在(,0)−∞上单调递增,40,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,4,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；综上所述：当0a =时,()f x 在R 上单调递增；当0a <时,()f x 在4,3a ⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭上单调递增,4,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,(0,)+∞上单调递增；当0a >时,()f x 在(,0)−∞上单调递增,40,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,4,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）23()()22h x f x x ax '==−,因为()h x 与()g x 有公共点,设公共点为()00,x y ,所以2()32,()a h x x a g x x''=−=,则20032a x a x −=,且00,0x a >>,解得0x a =, 又因为2200032ln 2x ax a x m −=+,则221ln ,02m a a a a =−−>,令221()ln (0),()2(1ln )2x x x x x x x x ϕϕ=−'=−−>+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0x ϕ'>；当1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x 时,()0x ϕ'<,故()ϕx 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,所以max 211()e 2ex ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故实数m 的最大值为212e ．2.已知函数2()()ln f x x a b x =++,,a b ∈R ．（1）若直线2y ax =是曲线()y f x =的切线,求2a b −的最小值； （2）设1b =,若函数()f x 有两个极值点1x 与2x ,且12x x <,证明()()12122f x f x a x x a−>−−．【解析】（1）设切点()00,x y ,由2()()ln f x x a b x =++得222()x ax bf x x++'=, 因为切线为2y ax =,故2000222x ax b a x ++=,所以202b x =−．又因为()2000ln 2x a b x ax ++=,所以222200000ln 2ln 0a x b x x x x =−−=−+≥,所以0x ≥因此2220002ln a b x x x −=+．令()2200002ln g x x x x =+,0x ≥则()000044ln 0g x x x x ='+>对)0x ∈+∞恒成立, 所以()0g x在)0x ∈+∞上单调递增,则()02e g g x ≥=,所以2a b −的最小值为2e ．（2）因为2221()x ax f x x++'=, 若函数()f x 有两个极值点1x 与2x ,则1>0x ,20x >,2121248012a x x a x x ⎧⎪∆=−>⎪+=−⎨⎪⎪⋅=⎩,所以a <因此()()()22112212121212121222ln ln ln ln x ax x ax x x f x f x x x a x x x x x x +−++−−−==+−−−112121112222111ln ln ()()1x x x x x x a a x a x x x a x x ++=+=+−−−−,令12x t x =,(01)t <<, 则()()12121111ln ln 11f x f x t t a t a t x x a t a t −++=+⋅=−⋅−−−−, 构造函数1()ln 21t g t t t −=−+,(01)t << 则221214()20(1)(1)g t t t t t −'=−=+>++在()0,1t ∈上显然恒成立, 所以()g t 在()0,1t ∈上单调递增,则()(1)0g t g <=； 所以1ln 21t t t −<+,即1ln 21t t t +>−,又a <则112ln 1t t a t a +−⋅>−−,因此112ln 1t a t a a t a+−⋅>−−, 所以()()1212112ln 1f x f x t a t a x x a t a−+=−⋅>−−−．3.（2021届四川省遂宁市高三三模）已知函数2()ln x f x e x x =−+,()2ln x g x e x =−−．（1）设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为1k ,曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线斜率为2k ,求12k k +的值；（2）若()()()h x f x g x =+,设曲线()y h x =在点(,())t h t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ,求()S t 的最小值．【解析】（1）因为2()ln x f x e x x =−+,所以1()2xf x e x x'=−+,故()111k f e '==−；又因为()2ln x g x e x =−−,所以1()xg x e x'=−−,故()211k g e '==−−, 所以122k k +=−（2）2()()()2h x f x g x x =+=−,(0)x >,()2h x x '=−,则()2h t t '=−, 又点(,())t h t 为()2,2t t −,所以()y h x =在点()2,2t t −处的切线方程为()222()y tt x t −−=−−,故当0x =时,22y t =+；当0y =时,222t x t+=, 所以()24221244()222||4||t t t S t t t t +++=+⋅=,(0)t > 则4234414()444t t S t t t t t ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,则2214()344S t t t ⎛⎫'=+− ⎪⎝⎭4223444t t t +−=()()2223224t t t −+=()2224t t+=,由()0S t '>得t >由()0S t '<得0t <,所以()S t 在⎛ ⎝⎭上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增,所以当t =,()S t 取得极小值,也是最小值S =⎝⎭． 4．已知函数()()ln e xf x x m x −=+−.（1）若()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y −=平行,求m 的值； （2）在（1）的条件下,证明：当0x >时,()0f x >； （3）当1m 时,求()f x 的零点个数.【解析】（1）因为()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y −=平行, 所以()112f '=,因为()()11e x f x x x m−+−'=+, 所以()11112f m ='=+,解得1m =. （2）由（1）得当1m =时,()()()21e 11e 11e x xxx f x x x x −+−=+−=++', 当0x >时,因为()0f x '>,所以()f x 在()0,∞+上单调递增, 因为()00f =,所以()0f x >在()0,∞+上恒成立.（3）由（2）可知当1m 且0x >时,()()ln 1e 0xf x x x −>+−>,即()f x 在()0,∞+上没有零点,当(),0x m ∈−时,()()()()2e 111e e x xxx m x m f x x x m x m −++−−=+−=++', 令()()2e 1x g x x m x m =++−−,(),0x m ∈−,则()e 21xg x x m =++−'单调递增,且()e21e 10mm g m m m m −−−=−+−=−−<',()00g m '=>,所以()g x '在(),0m −上存在唯一零点,记为0x , 且()0,x m x ∈−时,()0g x '<,()0,0x x ∈时,()0g x '>, 所以()g x 在()0,m x −上单调递减,在()0,0x 上单调递增, 因为1m , 所以()e0mg m −−=>,()010g m =−<,因为()()00g x g <,所以()00g x <,所以()g x 在()0,m x −上存在唯一零点1x ,且在()0,0x 上恒小于零, 故()1,x m x ∈−时,()0g x >；()1,0x x ∈时,()0g x <,所以()f x 在()1,m x −上单调递增,在()1,0x 上单调递减,且()0ln 0f m =>,所以()f x 在(),0m −上至多有一个零点, 取()e 2e ,0mm x m m −=−+∈−,则有()()22ln e 0mf x x m m <++=,所以由零点存在定理可知()f x 在(),0m −上只有一个零点, 又f (0)不为0,所以()f x 在(),m −+∞上只有一个零点. 5.（2021届辽宁省高三临门一卷）已知函数()2132f x x x =−,()()12ln g x a x a x =−+,a ∈R ． （1）若函数()()()h x f x g x =+在()0,1上单调递增,在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,求实数a 的取值范围；（2）设曲线()y f x =在点P 处的切线为l ,是否存在这样的点P 使得直线l 与曲线()y g x =（其中1a =）也相切？若存在,判断满足条件的点P 的个数,若不存在,请说明理由． 【解析】（1）因为()()()()2122ln 2h x f x g x x a x a x =+=−++, 则()()()()222x x a a h x x a x x−−'=−++=. ①当0a ≤时,若02x <<,则()0f x '<,此时函数()f x 单调递减, 若2x >,则()0f x '>,此时函数()f x 单调递增,不合乎题意；②当02a <<时,由()0f x '<,可得2a x <<,由()0f x '>,可得0x a <<或2x >. 此时函数()f x 的单调递增区间为()0,a 和()2,+∞,单调递减区间为(),2a , 因为函数()h x 在()0,1上单调递增,在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,则312a ≤≤；③当2a =时,对任意的0x >,()()220x h x x−'=≥,则函数()f x 在()0,∞+上单调递增,不合乎题意；④当2a >时,若02x <<,则()0f x '>,此时函数()f x 单调递增,不合乎题意.综上所述,实数a 的取值范围是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）设20001,32P x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭,因为()3f x x '=−,所以()003f x x =−'．所以直线l 的方程为()()200001332y x x x x x −+=−−,即()200132y x x x =−−．①假设直线l 与2ln y x =的图象也相切,切点为()11,2ln x x ． 因为2y x'=,所以直线l 的方程也可以写作()11122ln y x x x x −=−,即1122ln 2y x x x =+−．② 又因为0123x x −=,即0123x x =+,代入①式得直线l 的方程为21121232y x x x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭．由①②有211122ln 232x x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭,即211122ln 2302x x ⎛⎫−++= ⎪⎝⎭．令()2111122ln 232x x x ϕ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭,1>0x ,所以()()21112311112222332x x x x x x x ϕ'⎛⎫⎛⎫=++⋅−=⋅−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令()10x ϕ'>,得1x >令()10x ϕ'<,可得10x <所以()1x ϕ在⎛⎝⎭上递减,在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增, 即()1min xϕ0ϕ==>⎝⎭, 所以()10x ϕ>在()0,∞+上恒成立,即()10x ϕ=无解,故不存在这样的点P 使得直线l 与曲线()y g x =（其中1a =）的图象也相切．6.（2021届安徽省六安市高三下学期适应性考试）已知函数()()2ln f x x x ax x a =−+∈R .（1）证明：曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 恒过定点； （2）若()f x 有两个零点1x ,2x ,且212x x >,证明：1228x x e >. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞,由2()ln f x x x ax x =−+,得()ln 22f x x ax '=−+,则(1)2(1)f a '=−,又(1)1f a =−,则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线l 的方程为(1)2(1)(1)y a a x −−=−−,即12(1)2y a x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭,显然恒过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）若()f x 有两个零点1x ,2x ,则21111ln 0x x ax x −+=,22222ln 0x x ax x −+=,得121122ln ln 11x x a x x x x =+=+.因为2120x x >>,令21(2)x tx t =>,则111111ln ln()11x tx x x tx tx +=+, 得1ln ln 11tx t =−−,则211ln ln ln()ln ln 11t t x tx t x t ==+=−−, 所以()1212ln ln (+1)ln ln ln ln 112111t t t t tx x x x t t t =+=−+−=−−−−. 令(+1)ln ()2(2)1t th t t t =−>−,则212ln ()(1)t t t h t t −+−'=−,令1()2ln (2)t t t t t ϕ=−+−>,则22221(1)()10t t t t t ϕ−'=−++=>, 则()t ϕ在(2,)+∞上单调递增,所以3()(2)2ln 202t ϕϕ>=−>. 所以2()()0(1)t h t t ϕ'=>−,则()h t 在(2,)+∞上单调递增,所以28()(2)3ln 22ln h t h e >=−=,即()1228ln ln x x e >,故1228x x e >. 7.已知函数1()ln f x x a x=++. （1）函数()f x 的图象能否与x 轴相切？若能与x 轴相切,求实数a 的值；否则请说明理由； （2）若函数()f x 恰好有两个零点1x ,212(0)x x x <<,求证：121132x x +>. 【解析】（1）函数1()ln f x x a x =++的导数为211()f x x x'=−, 由'(1)0f =,得1x =,若()f x 与x 轴相切,切点为(1,f （1）),必有f （1）10a =+=,解得1a =−,当(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 递减；当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 递增, 所以函数()f x 的图象能与x 轴相切,此时1:a =−（2）证明：设21x tx =,所以1t >,由12()()0f x f x ==,可得111111ln ln()0x a tx a x tx ++=++=, 解得11ln 1t tx t =−, 所以1211111ln 1(1)ln (1)11t t t t t x x x t t t t +++=+=⋅=−−, 要证121132x x +>,即证(1)ln 312t t t +>−,即为3(1)ln 02(1)t t t −−>+,1t >, 令3(1)()ln 2(1)t h t t t −=−+,1t >,222131()0(1)(1)t t h t t t t t −+'=−=>++, 所以()h t 在(1,)+∞递增,可得()h t h >（1）0=, 则121132x x +>.8．（2022届浙江省名校协作体高三上学期开学联考）设函数2()(1)ln (0)2a f x x a x x x a =+−−>． （1）若()f x 为单调递增函数,求a 的值；（2）当02a <≤时,直线y kx =与曲线()y f x '=相切,求k 的取值范围； （3）若()f x 的值域为[)0,+∞,证明：2ln 2ln a a −=−． 【解析】（1）因为2()(1)ln (0)2a f x x a x x x a =+−−>,定义域为()0,∞+, 因为()f x 为单调递增函数,所以()ln 0f x ax a x '=−−≥在0x >上恒成立． 即()1ln a x x −≥恒成立． 当1x =时显然成立,当1x >时ln 1x a x ≥−；当01x <<时ln 1xa x ≤−．设 ln ()1xg x x =−,则211ln ()(1)x xg x x −−'=−,又1ln 1y x x =+−,则22111x y x x x −'=−=,即当1x >时0y '>,当01x <<时0y '<,所以min1ln1101y =+−=,所以11ln x x −≤,所以211ln ()0(1)x x g x x −−'=≤−, 所以1x >时1a ≥,01x <<时1a ≤,所以1a =．（2）设y kx =与()ln y f x ax a x '==−−相切于点()()000,1ln x a x x −−, ()001ln 1a x x k a x x −−==−得101a e x −=代入01k a x =−得1a k a e −=−．设1()x h x x e −=−,1()1x h x e −='−,()0,1x ∈,()0h x '>；()1,x ∈+∞,()0h x '<,即()h x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减． 又()10h e =−,()10h =,()22h e =−．而1(0)(2)2h h e e=−>=−．所以当02a <≤时,[]12,0a k a ee −=∈−−．（3）()()1ln f x a x x '=−−,0x >,当1a ≥,()1ln a x x −=,如图所示存在两根101x <<,21x =, 当()10,x x ∈时,()1ln a x x −>,()0f x '>,()f x 递增；当()1,1x x ∈时,()1ln a x x −<,()0f x '<,()f x 递减； 当()1,x ∈+∞时,()1ln a x x −>,()0f x '>,()f x 递增．又因为()f x 在0x =处无定义,所以只有min ()(1)102af x f a ==+−=, 则2a =,从而2ln 2ln a a −=−成立,当01a <<,()1ln a x x −=,如图所示存在两根11x =,21>x ． 当()0,1x ∈时,()1ln a x x −>,()0f x '>,()f x 递增； 当()21,x x ∈时,()1ln a x x −<,()0f x '<,()f x 递减； 当()2,x x ∈+∞时,()1ln a x x −>,()0f x '>,()f x 递增． 又因为()f x 在0x =处无定义, 所以只有()222222(1)ln 0(*)2a f x x a x x x =+−−=, 将()221ln a x x −=代入()*式得22202a x x −+=,所以22x a=．从而有221ln a a a ⎛⎫−= ⎪⎝⎭,从而2ln 2ln a a −=−成立．综上,对任意0a >,都有2ln 2ln a a −=−成立．。
利用导数求圆切线方程的三种问题类型
利用导数求圆切线方程的三种问题类型概述在解决数学问题时，利用导数求圆的切线方程是一种常见的方法。
本文将介绍三种常见的问题类型，并详细解释如何使用导数来求解。
问题类型一：求圆上某点处的切线方程对于给定的圆，我们需要求解圆上某点处的切线方程。
解决这类问题的关键是确定点的坐标和圆的方程。
假设圆的方程为x²+y²=r²，其中r为半径。
设切线与圆的交点为(x₁, y₁)，则切线的斜率可由导数求得。
假设切线的斜率为k，则切线方程可表示为y-y₁=k(x-x₁)。
通过将圆方程和切线方程联立，可以求解出点(x₁, y₁)，进而获得切线方程的具体表达式。
问题类型二：确定圆和直线的切点坐标在此问题类型中，已知一条直线与圆相切，需要确定切点的坐标。
首先，需要确定直线的方程和圆的方程。
假设直线的方程为y=mx+b，其中m为斜率，b为截距。
圆的方程仍为x²+y²=r²。
确定直线与圆相切的条件为直线方程和圆方程联立，得到二次方程形式的解。
求解该二次方程可得到切点的横坐标x₁，代入直线方程中即可求得切点的纵坐标y₁。
问题类型三：求圆的切线方程和切点坐标此问题类型中，需同时求解切线方程和切点坐标。
解决方法是通过已知条件，构建适当的方程组，然后求解其中的未知变量。
例如，已知圆心坐标和切点在圆上的坐标，可以利用圆方程和切线方程联立求解。
总结利用导数求圆切线方程的三种问题类型包括求圆上某点处的切线方程、确定圆和直线的切点坐标，以及求圆的切线方程和切点坐标。
对于每种问题类型，我们需要确定已知条件，建立适当的方程，然后通过导数运算和联立方程求解未知变量。
这些问题可以通过简单的策略和避免法律复杂性来解决，以确保准确性和可靠性。
备注：本文仅提供数学问题解决方法的讨论，不涉及确切的案例或法律内容。
在实际应用中，请确保依据具体情况做出独立决策并遵循法律法规。
导数求切线方程的练习题及答案
导数求切线方程的练习题及答案精品文档导数求切线方程的练习题及答案类型一:已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数f?，并代入点斜式方程即可( 例1 曲线y?x3?3x2?1在点处的切线方程为 ,(y?3x?4,(y??3x?,(y?4x?5类型四:已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解( 例求过点且与曲线y?例已知函数y?x3?3x，过点A作曲线y?f的切线，切线方程(1x相切的直线方程(,(y??4x?3类型二:已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决(例与直线2x?y?4?0的平行的抛物线y?x的切线方程是2,(2x?y?3?0 ,(2x?y?1?0,(2x?y?3?0 ,(2x?y?1?01 / 6精品文档类型三:已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法(例求过曲线y?x3?2x上的点的切线方程(高二数学第1页共2页高二数学第2页共2页学校数学学科导学案编制人: 审核人: 授课日期: 月日姓名: 班级: 编号:第周号运用导数求切线方程的专项训练11.对任意x，有f?=4x3，f=,1，则此函数为A.f=x4,2C.f=x3B.f=x4+D.f=,x42.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=s时的瞬时速度为A. B.1C.5 D.813(曲线y=x3,3x2+1在点处的切线方程为A.y=3x,4B.y=,3x+2C.y=,4x+D.y=4x,54.函数f=的导数是A.x2,x+1B.C.3xD.3x2+15.曲线y=f在点)处的切线方程为3x+y+3=0，则A. f?>0B. f? 6. 曲线y?x在点?1,1?处的切线方程为2x?12 / 6精品文档A. x?y?2?0B. x?y?2?0C.x?4y?5?0D. x?4y?5?07. 在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.8. 曲线f?lnx?x在点处的切线的倾斜角为_______.9(曲线y?xe?2x?1在点处的切线方程为。
导数法求曲线切线方程的三种题型
导数法求曲线切线方程的三种题型本文将介绍导数法求解曲线切线方程的三种常见题型。
导数法是解决曲线切线问题的一种常用方法，能够快速而准确地求得曲线上某点的切线方程。
1. 已知函数解析式的题型对于已知函数解析式的题型，我们可以通过求导来获得函数的导函数，然后根据导数的定义来求得切线的斜率。
切线的斜率可以通过导数函数在给定点处的值得到。
最后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。
以 y=f(x) 为例，求曲线在点 (a, f(a)) 处的切线方程。
具体步骤如下：1. 求函数 f(x) 的导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a)，得到切线的斜率 k；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 k 带入，得到切线方程。
2. 已知曲线上点和斜率的题型对于已知曲线上某点和斜率的题型，我们可以通过求导函数来得到切线的斜率。
切线的斜率等于导函数在给定点处的值。
然后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。
以曲线上的点 (a, f(a)) 和切线斜率 m 为例，求曲线在该点处的切线方程。
具体步骤如下：1. 求导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a) 的值，得到切线的斜率；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 m 带入，得到切线方程。
3. 已知两个切线相交的题型对于已知两个切线相交的题型，我们可以通过求解方程组来求得两切线的交点坐标。
首先，我们需要利用已知切线的斜率和点来得到切线的方程。
然后，将两个切线方程联立，解方程组可以得到切线的交点坐标。
以已知切线1方程和切线2方程的斜率和交点为例，求两切线的交点坐标。
具体步骤如下：1. 求切线1和切线2的方程；2. 联立两切线方程，形成方程组；3. 解方程组，得到切线的交点坐标。
使用导数法求解曲线切线方程的三种题型，能够帮助我们准确而高效地求得曲线上某点的切线方程。
这些方法在数学和物理等领域都有广泛的应用，是解决相关问题的重要工具。
导数专题：导数与曲线切线问题(6大题型)(解析版)
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导数与曲线切线问题
一、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()
f x '第二步（写方程）：用点斜式000()()()
y f x f x x x '-=-第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）
第一步：设切点为()()00,Q x f x ；
第二步：求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '；
第三步：利用Q 在曲线上和0()PQ f x k '=，解出0x 及0()f x '；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．
二、切线条数问题
求曲线的切线条数一般是设出切点()(),t f t ，由已知条件整理出关于t 的方程，把切线问条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。
三、公切线问题
研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：
（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；
（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。
四、已知切线求参数问题
此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。
常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的
根的情况或函数性质去求解。
导数解决切线问题的习题
导数复习专题——切线问题例一： 求曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程变式一：已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．变式二：已知函数33y x x =-，过点(2,2)A 作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．例二：已知函数f(x)=x 3+3ax 2-3b ，g(x)=-2x 2+2x+3(a≠0)(1) 若f(x)的图象与g(x)的图象在x=2处的切线互相平行，求a 的值；(2)若函数y=f(x)的两个极值点x=x 1,x=x 2恰是方程f(x)=g(x)的两个根，求a 、b 的值；并求此时函数y=f(x)的单调区间．变式二：设函数()32910y x ax x a =+--<，若曲线y =f (x )的斜率最小的切线与直线126x y +=平行，求：（Ⅰ）a 的值; （Ⅱ）函数()f x 的单调区间.例三：已知函数()3,y x ax b a b R =++∈ （Ⅰ）若()f x 的图像在22x -≤≤部分在x 轴的上方，且在点()(2,2)f 处的切线与直线950x y -+=平行，求b 的取值范围；（Ⅱ）当12,x x ⎛∈ ⎝⎭，且12x x ≠时，不等式()()1212f x f x x x -<-恒成立，求的取值范围。
变式三： 已知函数f(x)=，在x=1处取得极值为2.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在区间（m ，2m ＋1）上为增函数，求实数m 的取值范围；（3）若P （x 0，y 0）为f(x)=图象上的任意一点，直线l 与f(x)=的图象相切于点P ，求直线l 的斜率的取值范围.课后练习：一：选择题1. 曲线x x y 2212-=在点(1 ，23-)处切线的倾斜角为( ) A.1- B.︒45 C. ︒-45 D.︒1352. 过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（ ）A.220x y ++=B. 330x y -+=C.10x y ++=D. 10x y -+=3．已知函数2()()(,)f x x ax b a b R =+∈在x=2时有极值，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f(x)的单调减区间为（ ）A. (),0-∞B.（0，2）C. ()2,+∞D. (),-∞+∞4. 曲线)50)...(2)(1(---=x x x x y 在原点处的切线，方程为 （ ）A 、x y 1275=B 、x y 250= C.x y 100= D 、x y !50=5. 曲线12x y e=在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A.29e 2 B.24eC.22eD.2e 6. 设点P是曲线：3y x b =+ (b 为实常数)上任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）A. 2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.［0,］∪［,π］ D.［0,)∪［,π) 7. 函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a ＝ ( )A ． 18B ．14C ．12D ．1二：填空题1．正整数n ，(1)n y x x =-在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是 2 .曲线xx y sin =在点)0,(πM 处的切线方程为 3. 函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= .94. 点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，则P 到直线2-=x y 的距离的最小值为三：解答题1. 求曲线2235(1)()24x y -++=的切线，使该切线平行于直线28x y +=2. 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.3.已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．。
专题03 导数与切线方程问题(解析版)
整理得 徲
徲 ̐，
曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足
̐
，解得 a>0 或 a<-2,故选：D
【例 3】已知曲线 y 1 ex 在 x 1 处的切线 l 与直线 2x 3y 0 垂直，则实数 a 的值为______. xa
【答案】 2 e 5
【解析】直线 2x 3y 0 的斜率为 - 2 ,可得曲线在 x 1 处的切线为 3 ，
x
1
所以切线方程为 y+2=-1·(x-1),即： x y 1 0 故选：A
【例 3】已知函数
f (x) 的导函数为
f
'(x) ，且满足
f (x) cos x xf
'( ) ，若曲线
y
f (x) 在 x 0 处的
2
切线为 l ，则下列直线中与直线 l 垂直的是（ ）
A． 2x y 1 0
【例 2】已知函数 죠徲 ̐ 徲 .若曲线 ̐ 죠徲存在两条过죠 点的切线，则 的取值范围是（ ）
徲
A．죠 ∞ 죠 ∞
B．죠 ∞ 죠 ∞
C．죠 ∞ 죠 ∞
D．죠 ∞ 죠 ∞
【答案】D
【解析】 徲 ̐
，设切点坐标为（徲 徲
徲
徲 ），
则切线方程为 徲 徲 ̐ 죠 徲 죠徲 徲 ，
又切线过点（1,0），可得 徲 徲 ̐ 죠 徲 죠 徲 ，
x2
2y2
1，即标准方程为 x2
y2 1
1，
2
所以有 a2 1, b2 1 ，则 c2 a2 b2 3 ，
2
2
6
所以离心率
e
c
2
6 ，故答案选 B.
a1 2
用导数研究曲线的切线应注意的几个问题
用导数研究曲线的切线应注意的几个问题■江苏省泰兴市第二高级中学高峰用导数研究曲线的切线是高考一个主要考点,常与解析几何知识交汇命题,旨在考查同学们对导数的几何意义的正确理解。
主要涉及求曲线切线的斜率与方程、曲线切线的条数、曲线的公切线、满足条件的切线是否存在及满足条件的切线的参数范围等问题。
一、曲线在某点处的切线例1(2021 届四川省遂宁市高三三模)已知函数f(x)=ex-x2+lnx,g(x)=2-ex-lnx。
(1)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为k1,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线的斜率为k2,求k1+k2的值;(2)若h(x)=f(x)+g(x),设曲线y=h(x)在点(t,h(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为s(t),求s(t)的最小值。
解析:(1)因为f(x)=ex-x2+lnx,所以f＇(x)=ex-2x+,所以k1=f＇(1)=e-1。
又因为g(x)=2-ex-lnx,所以g＇(x)=-ex-,所以k2=g＇(1)=-e-1。
所以k1+k2=-2。
(2)h(x)=f(x)+g(x)=2-x2(x＞0),h＇(x)=-2x,则h＇(t)=-2t。
又因为点(t,h(t))为(t,2-t2),所以y=h(x)在点(t,2-t2)处的切线方程为y-(2-t2)=-2t(x-t),故当x=0 时,y=t2+2;当y=0时,x=。
感悟:曲线在某点(x0,f(x0))处的切线,则已知点一定是切点,求切线方程的步骤为:①求出函数f(x)的导数f＇(x);②求出切线的斜率k=f＇(x0);③写出切线方程yf(x0)=f＇(x0)(x-x0),并化简为直线方程的一般式。
二、过某点的曲线的切线例2(2022 届山东省潍坊市高三上学期期中)已知a∈r,函数f(x)=lnx+a(1-x),g(x)=ex。
(1)讨论f(x)的单调性;(2)过原点分别作曲线y=f(x)和y=g(x)的切线l1和l2,求证:存在a＞0,使得切线l1和l2的斜率互为倒数。
利用导数求抛物线切线方程的三种问题类型
利用导数求抛物线切线方程的三种问题类型问题类型一：已知抛物线上一点求切线方程已知抛物线方程为 $y=ax^2+bx+c$，且已知抛物线上一点为$(x_1, y_1)$，求该点处的切线方程。
解题步骤如下：1. 求出抛物线方程的导数 $\frac{dy}{dx}$。
2. 将已知点 $(x_1, y_1)$ 代入导数 $\frac{dy}{dx}$ 中，求出切线的斜率 $k$。
3. 使用点斜式来表示切线方程，即 $y-y_1=k(x-x_1)$。
问题类型二：已知切线斜率求切线方程已知抛物线方程为$y=ax^2+bx+c$，且已知切线的斜率为$k$，求切线方程。
解题步骤如下：1. 求出抛物线方程的导数 $\frac{dy}{dx}$。
2. 将切线的斜率 $k$ 代入导数 $\frac{dy}{dx}$ 中，得到一个方程。
3. 解方程，求出该方程对应的横坐标 $x$。
4. 将求得的横坐标 $x$ 代入抛物线方程中，求出纵坐标 $y$。
5. 使用点斜式来表示切线方程，即 $y-y=k(x-x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 为切点坐标。
问题类型三：已知抛物线与切线重合求切点坐标已知抛物线方程为$y=ax^2+bx+c$，且已知抛物线与切线重合，求切点的坐标。
解题步骤如下：1. 求出抛物线方程的导数 $\frac{dy}{dx}$。
2. 将导数$\frac{dy}{dx}$ 与抛物线方程相等，得到一个方程。
3. 解方程，求出该方程对应的横坐标 $x$。
4. 将求得的横坐标 $x$ 代入抛物线方程中，求出纵坐标 $y$。
5. 切点的坐标为 $(x, y)$。
以上是利用导数求抛物线切线方程的三种问题类型及解题步骤。
希望对你有所帮助！。
导数切线问题类型
导数切线问题类型
在求导数问题中，常见的切线问题类型包括以下几类：
1. 求一点处的切线方程：已知函数的导数和一点的坐标，求该点处的切线方程。
这类问题通常需要使用导数的定义和直线斜率的概念进行求解。
2. 求函数图像上的切线方程：已知函数的表达式，求函数图像上某一点处的切线方程。
通常需要先求函数的导数，然后根据给定点的坐标和导数计算切线方程。
3. 求函数的水平切线和垂直切线：已知函数的导数，求函数在某些点处的水平切线方程和垂直切线方程。
水平切线方程的斜率为0，垂直切线方程的斜率为无穷大或无穷小。
这类问题需要根据导数的定义和直线斜率的概念进行求解。
4. 求函数的拐点和弧度切点：已知函数的二阶导数，求函数图像上的拐点和弧度切点。
拐点是函数图像由凹变凸或凸变凹的位置，其对应的二阶导数为零；弧度切点是函数图像由凹变凸或凸变凹的位置，其对应的二阶导数不存在。
这类问题通常需要根据导数和二阶导数的定义进行求解。
5. 求两条曲线的切点：已知两条曲线的函数表达式，求两条曲线的切点。
切点即为两条曲线上相同坐标的点，且两条曲线在该点处的切线重合。
这类问题需要将两条曲线的函数表达式联立求解。
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2. 已 知 f x x2 x c 的 定 义 域 为0,1 , x1, x2 0,1 且 x1 x2 ,求证:| f x1 f x2 || x1 x2 | .
小结
1.求切线方程的步骤：
（1）设切点P（x0,y0）
（2）求k=f (x0)
◆对于导数的学习,同学们应做到
1.会求导数(数学知识); 2.会用导数(数学意识).
◆导数命题的方向,主要从以下五个方面考查学生对导数 的掌握水平:
1.与切线有关的问题; 2.函数的单调性和单调区间问题; 3.函数的极值和最值问题; 4.不等式的证明问题;
5.与函数的单调性、极值、最值有关的参数问题.
当
x 0,
3 3
时,
a
f x 1a .
要使得f x M D , 即
f x1 f x2 1
x1 x2
1aa1,1 1 a 0 即为所求.
课堂小练: 1．（05北京卷）过原点作曲线y＝ex的切线，则切 点的坐标为 (1, e) ，切线的斜率为 e ．
（3）写出切线方程 y－y0= f(x0)(x－x0)
注意“过某点”与“在某点处”的区别
2.利用导数的几何意义研究函数图象的变化 趋势.
3.利用导数研究函数图象上任意两点连线的 斜率的范围
例2 已知抛物线C1 : y x2 2x 和C2 : y x 2 a，
如果直线l 同时是 C1和C2的切线，称 l是C1和C2
（3）在切点P(x0,y0)处的切线斜率为k=f (x0).
例2. f (x)是y f (x)的导函数，f (x)的 图象如图所示，则y f (x) 的图象只可
能是____(4_)____
变式：函数y=f(x)的定义域是R，若对于 任意的正数a，函数g(x)= f(x+a) – f(x) 都 是其定义域上的增函数，则函数y=f(x) 的图象可能是___(_1_)___
化简得 x0 122x0 1 0
解得
x0
1或x0
1 2
①当x0 1时，所求的切线方程为：
y 2 2x 1即y 2x
②当x0
1时，所求的切线方程为：
2 y 2 1 x 1即x 4
y
9
0
4
3.若曲线C:y＝x3-2ax2+2ax 上任意一点处的切线的
的公切线。当 a 取什么值时，C1和 C2有且仅有
一条公切线？写出公切线的方程。
巩固练习
1.过点P（－1，2）且与y=3x2-4x+2在点M（1，1）处 的切线平行的直线方程是__y_=_2_x_+_4___． 2.在曲线y=x3+3x2+6x－10的切线斜率中斜率最小的切 线方程是 _y_=_3_x_－__1_1__ . 3.曲线y=ln(2x－1)上的点到直线2x－y+3=0的最短距离
的切线方程？
解：设切点为 P x0, x03 x0 2 ，由 k f x0 3x02 1 ∴切线方程为 y x03 x0 2 3x02 1 x x0 又∵切线过点 A1,2 2 x03 x0 2 3x02 1 1 x0
线 y 11x 1，则 P 点坐标为 _2_,_8_或____2_，__4_,
切线方程为__y___11_x___1_4或 __y___1_1_x__1_8_．
变式2：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，
1 则a＝____4_____
在利用导数求切线方程问题中，应注意: （1）切点P(x0,y0)适合y=f(x)即y0= f(x0); （2）切点坐标适合对应的切线方程；
x1, x2 Dx1 x2 有 | f x1 f x2 || x1 x2 |
(Ⅰ)当 D 0, 时, f x ln x是否属于 M D ?
若 f xMD ,请给予证明,否则说明理由;
解: (Ⅰ)Q f x 1
x
若 x 0,1时,f x 1| f x |1
2.曲线 y 1 和 y x2在它们交点处的两条切
x
3
线与 x 轴所围成的三角形面积是 4 （06湖南）
例1．求曲线 C : y x3 x 2过点 A1,2
的切线方程？
例1．求曲线 C : y x3 x 2过点 A1,2
的切线方程？
变式1：若曲线上一点 P处的切线恰好平行于直
f x1 f x2 1
故
f
x .
ln
x
M
D
x1 x2
(Ⅱ)当
D
0,
3 3
,函数
f
x x3 ax b时,求
实数 a 的取值范围，使得 f xMD 。
(Ⅱ)由 f x x3 ax b ,得 f x 3x2 a .
是____5______ ．
4.过曲线C: y=x2－1（x>0）上的点P作C的切线与坐标 轴交于M、N两点，试求P点坐标使△OMN面积最小． 思考：已知曲线C：y=x3－3x2+2x，直线l：y=kx，且 直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程 及切点坐标．
例1．求曲线 C : y x3 x 2过点 A1,2
导数中 与切线有关的问题
知识回顾
导数的几何意义：
导数x0 处的切线的斜率。
基础训练 : 1.曲线 y x3 2x2 4x 2 在点 (1， 3)处的切
线方程是＿＿5x＿ y 2 0＿．(07浙江）
引申:
函数 y f x在某开区间的图象上任意两
点 P
x1, y1
,Q
x2, y2
连线的斜率
k
y1 x1
y2 x2
x1
x2
的取值范围,就是曲线在该区间上任意一点切
线的斜率(假设存在)的范围(导数的值域问题).
例3 已知集合 M D 是满足下列性质函数 f x 的全体:若函数 f x的定义域为 D,对任意的