2018材料计算科学与工程_期末总结
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������+|������| |������| 2 ������������������ ������ (cos������)������ ������������������ , ������ ������ (������−|������|)! 2������+1
= 0, ±1, ±2, … , ±������
2 1
11、如何表示上自旋态和下自旋态? 上自旋态������ 态,������ = χ1 (������������ ) = (1 ) 0 下自旋态������ 态,������ = χ−1 (������������ ) = (0 ) 1
2 2
12、什么是简并度? 简并:若对应于一个本征值存在一个以上的本征函数,这种情况称为简并。 简并度:对应于同一本征值的不同本征函数的数目称为简并度。 13、什么是全同性原理? 固有性质相同的粒子称为全同粒子。 不可区分性:微观体系(粒子) ,因为运动具有波粒二象性,无确定轨道,在位置几率 重迭处就不能区分是哪个粒子。 全同性原理:由于全同粒子的不可区分性,在全同粒子所组成的系统中,任意两个全同 粒子相互交换(位置等) ,不会引起系统状态的改变。 14、全同粒子体系有哪些性质? 性质:描写全同粒子系统状态的波函数只能是对称的或反对称的, 它们的对称性不随时 间变化。 费米子(自旋为ℏ⁄2奇数倍)服从费米—狄拉克统计,其波函数是反对称的。 波色子(自旋为ℏ整数倍)服从玻色—爱因斯坦统计,其波函数是对称的。 15、微扰理论及变分原理的基本思想? (1)非简并定态微扰理论的基本思想 ̂ 不显含时间,并且可以分为两部分:������ ̂ = ������ ̂0 + ������ ̂′ 设体系哈密顿量算符������ (0) (0) ̂0 的本征值和本征函数(������������ ̂ ′ 很小,可 其中,������ , Ψ������ )都是已知的或较容易解出;另一部分������ ′ ̂0 上的微扰,采用逐渐近似的方法把������ ̂ 对能量和波函数的影响逐级考虑进去, 以看作是加在������ 得出体系尽可能接近于精确解的近似解。 微扰理论的基本思想是体系的������������������������������������������������量可以分为两个部分,一部分是主要的,并且 这主要部分的本征值和本征函数是已知的或是可以严格求解的, 另一部分可以看成是加在主 要部分上的一个微扰。 (2)变分原理的基本思想 根据具体问题的特点,选择某种形式的试探波函数(尝试变分函数) ,给出该试探波函 ̅,然后让������ ̅取极值,求出在所用试探波函数形式下最好的波函 数形式下体系能量的平均值������ 数和相应的能量平均值,用它们分别作为体系的本征函数和能量本征值的精确解的近似。 ̂ 的平均值,总是不 最低能量原理:用描写体系状态的任意波函数������ 所算出的能量算符������ ̂ 的平均值才等于基态能 小于体系的基态能量������0 ,只有当ψ恰是体系的基态本征函数ψ0 时,������ 量������0 。 (3)非简并定态微扰理论的适用条件 − 即要求微扰足够小, 能级间距足够大; 对近简并情况不适用; ������大时能量间距小, 所以 ′ 高激发态不适用。微扰理论的方法能否适用不仅决定于微扰矩阵元������������������ 的大小,同时还取决 于能级间的间距������������ − ������������
������
̅ = ∫ ψ∗ ������ ̂ ψ������������ = ∑|������������ |2 ������������ ������
������
7、角动量平方算符和角动量z分量算符的本征方程、本征值、本征函数的简化表示? (1)角动量平方算符 1 ������ ������ 1 ������ 2 ̂2 = −ℏ2 [ ������ (sin������ ) + ] sin������ ������������ ������������ sin2 ������ ������������2 1 ������ ������ 1 ������ 2 −ℏ2 [ (sin������ ) + ] ������(������, ������) = ������ℏ2 ������(������, ������) sin������ ������������ ������������ sin2 ������ ������������2 ̂2 ������������������ (������, ������) = ������(������ + 1)ℏ2 ������������������ (������, ������) ������ 其中������(������, ������)是属于本征值������ℏ2 的本征函数。 角动量平方算符的本征值:������ℏ2 = ������(������ + 1)ℏ2 , ������ = 0,1,2 … 角动量平方算符本征函数:球谐函数������������������ (������, ������),2������ + 1的简并度 ������������������ (������, ������) = (−1) 归一化函数������������������ = √(������+|������|)!
4������ |������| (cos������) 缔合勒让德多项式������ ������
(2)角动量z分量算符本征值方程 ̂ ������ ������������������ (������, ������) = ������ℏ������������������ (������, ������) ������ ̂ ������ 本征值:������ℏ 角动量z分量算符������ ̂ ������ 本征函数:������������������ (������, ������) 角动量z分量算符������ 8、主量子数、角量子数、磁量子数之间的关系? 主量子数:������ = 1,2,3, … 角量子数:������ = 0,1,2,3, … , ������ − 1 磁量子数:������������ = 0, ±1, ±2, … , ±������ 自旋磁量子数������������ = ± 2 n相同的各亚层总称为壳层,n = 1,2,3 …依次称为KLMNO层。 ������ = 0,1,2, … , n − 1对应s, p, d, f轨道。由(������, ������)决定的一组自旋轨道称为(������, ������)亚层,每个亚层 内原子轨道称为等价轨道。 9、什么是电子的自旋? 电子的自旋:电子的自旋是电子的内禀属性,或内禀运动量子数的简称。每个电子具有 ℏ ⃑, ⃗⃗⃑������ , 自旋角动量������ 它在空间任意方向的取值只能有两个: ������������ = ± 。 每个电子具有自旋磁矩������ ⃗⃗⃑������ = − ������ ������ ⃑。在任意方向上的投影,������������������ = ± ������ℏ = ±������������ 。 它与自旋角动量的关系是:������ ������ 2������ 电子自旋量子数:s = 1/2 电子的自旋轨道由主量子数������、角量子数������、磁量子数������������ 和自旋磁量子数������������ 来共同标志。 自旋轨道的能量由主量子数������和角量子数������来确定与������������ 和������������ 无关。 10、自旋算符的本征值方程? 自旋算符的本征值方程 3 ̂ 2 ������������ = ������(������ + 1)ℏ2 ������������ = ℏ2 ������������ ������ ������ ������ ������ 4 1 ̂������ ������������ = ������������ ℏ������������ = ± ℏ������������ ������ ������ ������ ������ 2
ℏ ������
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有确定的值, 这种状态称为定态。 处于定态的微观粒子在空间各处出现的几率不随时间变化, 而且具有确定的能量。 定态波函数:描述定态的波函数Ψ(������ ⃗, ������) = Φ(������)exp (− ������������)称为定态波函数。
ℏ ������
(2)定态Schrödinger方程 当粒子处在定态中时,具有确定的能量,其空间波函数Φ(������ ⃗)由定态Schrödinger方程给 出。 ℏ2 [− ∇2 + ������(������)] Φ(������ ⃗) = ������Φ(������ ⃗) 2������ 定态的概率密度与时间无关。一个直接的后果就是期望值也都与时间无关。 6、量子力学中如何描述力学量,力学量如何取值?如何求力学量的平均值? (1)量子力学中,表示力学量的算符必须是线性厄密算符。量子力学中,每个可观测的力 学量都对应着一个线性厄米算符。 ̂ 的本征态������������ 时, ̂ 表示的力学量有确定值, ̂ 在������������ 中的本征值������������ 。 (2) 当体系处于������ ������ 该值就是������ ̂ ������������ = ������������ ������������ ������ ̂ 的本征态,而是处于任一个态������时,测量力学量������ ̂ 得到的数值必定是 当体系不是处于������ 2 ̂ 的本征值{������������ }之一,测量值为其本征值������������ 的几率是|������������ | 。 算符������ ∑|������������ |2 = 1 ̅ (3)力学量的平均值������
2018 材料计算科学与工程_期末总结
1、量子力学中如何描述微观粒子的状态? 德布罗意:微观粒子的运动状态可用一个波函数Ψ(������ ⃗, ������)来描述,通常为一波函数。 ������ ⃗⃗ · ������ ⃗ ⃗ · ������ ψ(������ ⃗, ������) = ������exp [ (������ ⃗ − ������������)] = ������exp[������(������ ⃗ − ������������)] ℏ 2、描述微观粒子的状态波函数应满足什么条件? 波函数应满足:连续性、有限性、单值性。 (波函数的标准化条件) 3、波函数的统计解释? 玻恩的解释:波函数在空间中某一点的强度(波函数模的平方)与粒子在该点出现的概 率成正比。 |ψ(������ ⃗, ������)|2 = ψ∗ (������ ⃗, ������)ψ(������ ⃗, ������) ������������(������ ⃗, ������) ������(������ ⃗, ������) = = |ψ(������ ⃗, ������)|2 (几率密度/概率密度) ������������ 这表明描写粒子的波是几率波(概率波), 反映微观客体运动的一种统计规律性。波函 数Ψ(������ ⃗, ������)有时也称为几率幅。 4、什么是态迭加原理? 若ψ1 , ψ2 , ψ3 , … ψ������ 是粒子的可能状态,则粒子也可处在它们的线性迭加态。 ψ = ������1 ψ1 + ������2 ψ2 + ⋯ + ������������ ψ������ 态的迭加原理是量子力学的一个基本假设,它的正确性也依赖于实验的证实。 5、什么是定态和定态Schrödinger方程? (1)定态:当粒子处在由波函数Ψ(������ ⃗, ������) = Φ(������)exp (− ������������)所描述的状态时,粒子的能量������
= 0, ±1, ±2, … , ±������
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11、如何表示上自旋态和下自旋态? 上自旋态������ 态,������ = χ1 (������������ ) = (1 ) 0 下自旋态������ 态,������ = χ−1 (������������ ) = (0 ) 1
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12、什么是简并度? 简并:若对应于一个本征值存在一个以上的本征函数,这种情况称为简并。 简并度:对应于同一本征值的不同本征函数的数目称为简并度。 13、什么是全同性原理? 固有性质相同的粒子称为全同粒子。 不可区分性:微观体系(粒子) ,因为运动具有波粒二象性,无确定轨道,在位置几率 重迭处就不能区分是哪个粒子。 全同性原理:由于全同粒子的不可区分性,在全同粒子所组成的系统中,任意两个全同 粒子相互交换(位置等) ,不会引起系统状态的改变。 14、全同粒子体系有哪些性质? 性质:描写全同粒子系统状态的波函数只能是对称的或反对称的, 它们的对称性不随时 间变化。 费米子(自旋为ℏ⁄2奇数倍)服从费米—狄拉克统计,其波函数是反对称的。 波色子(自旋为ℏ整数倍)服从玻色—爱因斯坦统计,其波函数是对称的。 15、微扰理论及变分原理的基本思想? (1)非简并定态微扰理论的基本思想 ̂ 不显含时间,并且可以分为两部分:������ ̂ = ������ ̂0 + ������ ̂′ 设体系哈密顿量算符������ (0) (0) ̂0 的本征值和本征函数(������������ ̂ ′ 很小,可 其中,������ , Ψ������ )都是已知的或较容易解出;另一部分������ ′ ̂0 上的微扰,采用逐渐近似的方法把������ ̂ 对能量和波函数的影响逐级考虑进去, 以看作是加在������ 得出体系尽可能接近于精确解的近似解。 微扰理论的基本思想是体系的������������������������������������������������量可以分为两个部分,一部分是主要的,并且 这主要部分的本征值和本征函数是已知的或是可以严格求解的, 另一部分可以看成是加在主 要部分上的一个微扰。 (2)变分原理的基本思想 根据具体问题的特点,选择某种形式的试探波函数(尝试变分函数) ,给出该试探波函 ̅,然后让������ ̅取极值,求出在所用试探波函数形式下最好的波函 数形式下体系能量的平均值������ 数和相应的能量平均值,用它们分别作为体系的本征函数和能量本征值的精确解的近似。 ̂ 的平均值,总是不 最低能量原理:用描写体系状态的任意波函数������ 所算出的能量算符������ ̂ 的平均值才等于基态能 小于体系的基态能量������0 ,只有当ψ恰是体系的基态本征函数ψ0 时,������ 量������0 。 (3)非简并定态微扰理论的适用条件 − 即要求微扰足够小, 能级间距足够大; 对近简并情况不适用; ������大时能量间距小, 所以 ′ 高激发态不适用。微扰理论的方法能否适用不仅决定于微扰矩阵元������������������ 的大小,同时还取决 于能级间的间距������������ − ������������
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̅ = ∫ ψ∗ ������ ̂ ψ������������ = ∑|������������ |2 ������������ ������
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7、角动量平方算符和角动量z分量算符的本征方程、本征值、本征函数的简化表示? (1)角动量平方算符 1 ������ ������ 1 ������ 2 ̂2 = −ℏ2 [ ������ (sin������ ) + ] sin������ ������������ ������������ sin2 ������ ������������2 1 ������ ������ 1 ������ 2 −ℏ2 [ (sin������ ) + ] ������(������, ������) = ������ℏ2 ������(������, ������) sin������ ������������ ������������ sin2 ������ ������������2 ̂2 ������������������ (������, ������) = ������(������ + 1)ℏ2 ������������������ (������, ������) ������ 其中������(������, ������)是属于本征值������ℏ2 的本征函数。 角动量平方算符的本征值:������ℏ2 = ������(������ + 1)ℏ2 , ������ = 0,1,2 … 角动量平方算符本征函数:球谐函数������������������ (������, ������),2������ + 1的简并度 ������������������ (������, ������) = (−1) 归一化函数������������������ = √(������+|������|)!
4������ |������| (cos������) 缔合勒让德多项式������ ������
(2)角动量z分量算符本征值方程 ̂ ������ ������������������ (������, ������) = ������ℏ������������������ (������, ������) ������ ̂ ������ 本征值:������ℏ 角动量z分量算符������ ̂ ������ 本征函数:������������������ (������, ������) 角动量z分量算符������ 8、主量子数、角量子数、磁量子数之间的关系? 主量子数:������ = 1,2,3, … 角量子数:������ = 0,1,2,3, … , ������ − 1 磁量子数:������������ = 0, ±1, ±2, … , ±������ 自旋磁量子数������������ = ± 2 n相同的各亚层总称为壳层,n = 1,2,3 …依次称为KLMNO层。 ������ = 0,1,2, … , n − 1对应s, p, d, f轨道。由(������, ������)决定的一组自旋轨道称为(������, ������)亚层,每个亚层 内原子轨道称为等价轨道。 9、什么是电子的自旋? 电子的自旋:电子的自旋是电子的内禀属性,或内禀运动量子数的简称。每个电子具有 ℏ ⃑, ⃗⃗⃑������ , 自旋角动量������ 它在空间任意方向的取值只能有两个: ������������ = ± 。 每个电子具有自旋磁矩������ ⃗⃗⃑������ = − ������ ������ ⃑。在任意方向上的投影,������������������ = ± ������ℏ = ±������������ 。 它与自旋角动量的关系是:������ ������ 2������ 电子自旋量子数:s = 1/2 电子的自旋轨道由主量子数������、角量子数������、磁量子数������������ 和自旋磁量子数������������ 来共同标志。 自旋轨道的能量由主量子数������和角量子数������来确定与������������ 和������������ 无关。 10、自旋算符的本征值方程? 自旋算符的本征值方程 3 ̂ 2 ������������ = ������(������ + 1)ℏ2 ������������ = ℏ2 ������������ ������ ������ ������ ������ 4 1 ̂������ ������������ = ������������ ℏ������������ = ± ℏ������������ ������ ������ ������ ������ 2
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有确定的值, 这种状态称为定态。 处于定态的微观粒子在空间各处出现的几率不随时间变化, 而且具有确定的能量。 定态波函数:描述定态的波函数Ψ(������ ⃗, ������) = Φ(������)exp (− ������������)称为定态波函数。
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(2)定态Schrödinger方程 当粒子处在定态中时,具有确定的能量,其空间波函数Φ(������ ⃗)由定态Schrödinger方程给 出。 ℏ2 [− ∇2 + ������(������)] Φ(������ ⃗) = ������Φ(������ ⃗) 2������ 定态的概率密度与时间无关。一个直接的后果就是期望值也都与时间无关。 6、量子力学中如何描述力学量,力学量如何取值?如何求力学量的平均值? (1)量子力学中,表示力学量的算符必须是线性厄密算符。量子力学中,每个可观测的力 学量都对应着一个线性厄米算符。 ̂ 的本征态������������ 时, ̂ 表示的力学量有确定值, ̂ 在������������ 中的本征值������������ 。 (2) 当体系处于������ ������ 该值就是������ ̂ ������������ = ������������ ������������ ������ ̂ 的本征态,而是处于任一个态������时,测量力学量������ ̂ 得到的数值必定是 当体系不是处于������ 2 ̂ 的本征值{������������ }之一,测量值为其本征值������������ 的几率是|������������ | 。 算符������ ∑|������������ |2 = 1 ̅ (3)力学量的平均值������
2018 材料计算科学与工程_期末总结
1、量子力学中如何描述微观粒子的状态? 德布罗意:微观粒子的运动状态可用一个波函数Ψ(������ ⃗, ������)来描述,通常为一波函数。 ������ ⃗⃗ · ������ ⃗ ⃗ · ������ ψ(������ ⃗, ������) = ������exp [ (������ ⃗ − ������������)] = ������exp[������(������ ⃗ − ������������)] ℏ 2、描述微观粒子的状态波函数应满足什么条件? 波函数应满足:连续性、有限性、单值性。 (波函数的标准化条件) 3、波函数的统计解释? 玻恩的解释:波函数在空间中某一点的强度(波函数模的平方)与粒子在该点出现的概 率成正比。 |ψ(������ ⃗, ������)|2 = ψ∗ (������ ⃗, ������)ψ(������ ⃗, ������) ������������(������ ⃗, ������) ������(������ ⃗, ������) = = |ψ(������ ⃗, ������)|2 (几率密度/概率密度) ������������ 这表明描写粒子的波是几率波(概率波), 反映微观客体运动的一种统计规律性。波函 数Ψ(������ ⃗, ������)有时也称为几率幅。 4、什么是态迭加原理? 若ψ1 , ψ2 , ψ3 , … ψ������ 是粒子的可能状态,则粒子也可处在它们的线性迭加态。 ψ = ������1 ψ1 + ������2 ψ2 + ⋯ + ������������ ψ������ 态的迭加原理是量子力学的一个基本假设,它的正确性也依赖于实验的证实。 5、什么是定态和定态Schrödinger方程? (1)定态:当粒子处在由波函数Ψ(������ ⃗, ������) = Φ(������)exp (− ������������)所描述的状态时,粒子的能量������