角动量耦合 一般形式

归一化并与
正交而确定.
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作业
• 考虑一由两个自旋 ½ 的粒子组成的系统，试计
算算符(1)(2)的本征值和本征矢.
使用m1m2作为基矢量, 这里m1, m2分别为
z(1), z(2)的本征矢.
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j1 = ½ , j2 = ½ . 当J, M 取它们最大可能值J = M = 1, 此时(66)式中 的求和仅包含1项，即
(67)
上式左、右均为模为1的矢量，故而
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• 现将算符 •有
作用于(67)并考虑到
(68)
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• 进而将算符 J- 作用于(68)式，得
(69)
• 因而对于这一特殊情况，我们有下表所示结果
(71)
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对于上升算符
有相似的结果如下：
(72)
(71)、(72)为计算CG系数的递推关系式, 它允许我 们对相同的总角动量 J ，导出具有相同的 j1 和 j2, 但不同的 M 的CG系数； 它有着许多实际的应用，其中之一是将其应用于
的情况,如自旋-轨道耦合.
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• 在(71)中，若令m2 = ½ 则其右端的第二项将为0， 从而
(64)
• 的值正好出现一次，称之为三角规则.
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• 上述三角规则告诉我们两个角动量j1, j2仅能组 合形成这样一个合成的总角动量J,这与矢量加 法一致(如图所示).
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• 进而，可以计算耦合态的数目
• 如预期的等于 数目.
(65)
态的
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Clebsch-Gordan 系数的计算
如上(56)所述，
§3.6 角动量耦合(相加)
• 现在考虑2-分量系统，两个角动量J(1)和J(2)合成 一总角动量J的情况：
J = J(1) + J(2)
(53)
• 这里J(1)和J(2)既可是分属于两个粒子的角动量， 也可是同一粒子的轨道和自旋角动量.
• 当然，(53)式更严格的写法为
J = J(1) 1+ 1 J(2)
(66)
的展开系数
称为CG系数.
由于各|j1, j2, J, M的相对相因子未确定，所以CG 系数的相还未被定义; 通常这样选择|j1, j2, J, M 的相因子以使得CG系数为实数.
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• 另外，考虑到(66)是由一组正交基到另外一组 正交基的变换，故而
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虽然十分复杂，但对CG系数导出明晰的关系式 仍然是可能的. 下面我们先来看一个最简单的特殊情况：即
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• 首先，复合系统的基矢为
(54)
• 它们是4个对易算符 算符J2和Jz的共 同本征矢|J, M, 对应本征值分别为:
显然，-J M J . 若分系统之间无耦合，则复合系统的态矢即为子 系统态矢乘积组成的纯态，而如存在耦合，则复 合系统的态矢将由(54)的线性组合构成.
(58)
角动量守恒由关系式
表达.
M = m1 + m2
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• 另外还需计算由
• 定义的量子数 J 的可能取值. • 根据 M = m1 + m2 ，M 的最大值是
(59)
• 此值(58)中出现一次，即仅当 这表明称之为 Jmax 的本征值 J 必等于
(60)
时.
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• 次大的M 值是
，它出现两次，即
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在(55)中，
(56)
称为Clebsch-Gordan (CG)系数. 在我们明确计算CG系数之前，先考虑量子数 J, M 与 j1, j2, m1 和 m2 之间的关系:
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• 首先由(为了方便暂时假定
)
• 其中 •和
•知
(57)
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从而当
时，CG系数等于0. 这意味
着(55)中的双重求和化为一单重和
(61)
• 由于M 按整数步长取 值，(61)两个态
的所有
(62)
• 的两个可能的、线性无关的组合中的一个必须
属于
；至于另一个，由于不存在
J > Jmax= j1 + j2 的态，故而它必定属于态
(63)
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• 易知, 具有M = j1 + j2 - 1 的相应于(63)形式的态只 能有一个.
• 继续这样的讨论，我们将看到对于J，所有对 应于
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在表中前3列即为(67)、(68)和(69)的结果；第4列 (单重态|0,0)是这样得到的，即要求|0,0与三重态 均正交并满足前述相的约定(CG系数为实数). 以上考虑的是特殊情况，下面我们研究普遍情况.
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递推关系
• 类似于上例，若将J- 作用于(66)式，可得
(70)
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• 将(70)与下式比较： • 得到
•以
置换，得
(73)
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• 对于
的情况，重复应用(73)直至 M
达到其最大值：
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上式中最后一CG系数 所以所有其他CG系数皆可得到了, 如下表左上 一项所示：
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• 相似的，左下一项可由递推关系(72) 由
导出. 但是更方便的是由
的归一化，
因此表中左一列两项的平方和必定等于1 而得到.
• 表中右一列中各项可经由要求矢量
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• 容易证明 J(1) ·J(1), J(2) ·J(2), J2 和 Jz 相互对易，因此， 他们拥有共同的完备本征矢集合, 我们将这些本 征矢表示为|j1, j2, J, M ，且有
(55)
• 下面我们将把注意力限制于j1和j2为常数的维数为 (2j1+1)(2j2+1)的矢量空间，这是因为(54)形式的积 矢量的集合{|j1,j2,m1,m2}和总角动量的本征矢集 合{|J, M}都是J(1) ·J(1), J(2) ·J(2)的本征矢, 因而，在 这两个集合中 j1和j2皆为常数.