第二章误差理论与数据处理

n2
l
i 1
n2
2i
n2
,..., xm
m
l
i 1
nm
mi
nm
x ( l1i l2i ... lmi ) / ni
i 1 i 1 i 1 i 1
nm
( n1 x1 n2 x2 ... nm xm ) /( n1 n2 ... nm )
测量结果为：
x 999.9420 0.0002( mm )
三、随机误差的几种分布
随机误差的分布中，最常见的是正态分布，还
有均匀分布、三角形分布、x 2 分布、 t 分布、F 分布 等。
1、正态分布
测量列的随机误差 i li L0 满足下列四个条
件的概率分布，称之为正态分布，也称高斯（Gauss）
m
x
i 1
i
m
而应将可靠程度大的测量结果在最后的结果中 所占的比重大一些，可靠程度小的占的比重小 一些。
权的定义
各测量结果可靠程度用一数值
表示出来，即可靠程度大一些的， 数值大一些，用P表示，这就是权的
概念。
（2）权的确定方法
★不同的测量条件：测量条件好的，权高；
测量条件差的，权低。
★不同的测量仪器：精度高的仪器，权高；
§2.1 随机误差
定义： 在同一测量条件下，多次测量同一量值时，
绝对值和符号的 不可预定方式变化的误差，该
数的出现没有确定的规律，但具有统计规律性。
其产生的原因不外乎有测量装置、环境方面、
人员方面等因素所造成。
二、随机误差的几个统计量
随机误差常见的几个统计量有均值、均方 值、方差等。 1、均值 均值即算术平均值。 （1）算术平均值的意义 在测量中，被测量的N 个测得值的代数和 除以N 得到的值称之为算术平均值。 设n次测得值为则算术平均值为：
（二）随机误差一次方与二次方的和式公式：
v n
i i
x
n x
2 2 2 2 2 v n 2 v v n i i i x x i x
（三）求平均值误差平方和的公式：
n 2 x 2 ( i )2 i 2 2 i j i 2
（2）计算校核
算术平均值及其残余误差的计算是否正确， 可用残余误差代数和性质进行校核。 n 因 li
x
i 1
于是
n
n
vi li x ,
i 1, 2,......n
v l x nx nx 0
i 1 i i 1 i i 1
n
n
残余误差代数和为零的性质可作为校核算术 平均值及其残余误差计算是否正确的依据。
实际上真值一般情况下是 未知，在有限次测量下，用残 余误差代替随机误差可得到标 准差的估计值：
ˆ
v
i 1
n
2 i
n 1
该证明如下：
（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：
i li L0
i li x x l0 vi x vi li x
比较常见的。 定义：即在相同的测量条件，同一个测量者
使用相同的测量仪器和测量方法对同一测量 量进行了多组的测量。
如何求得最后的测量结果及精度？
（1）权的概念
在等精度测量中，各个测得值认为同样可 靠，既具有相同的权。在不等精度测量中，如 不同的测量次数，各组的平均值的可靠精度不 一样，最终的结果不能简单地表示为算术平均 值的形式： x
px
i 1 m
m
i i
p
i 1
i
等精度测量是不等精度测量的特例
p1 p2 pm 1 各组的权相等时，
，可见不等精度测量是等精度测量 的特例。
x xi / m
i 1 m
（4）加权算术平均值的标准差
当单次测量的标准差 可知时 ：
x
i

ni
全部 为：
n 测得值的算术平均值 x 的标准差
i 1 1i j n n
i j 0
1i j
n
（四）展开随机误差平方和公式：
2 2 2 2 v n v i i i x 2 i
n 1 i 2 n vi 2
2 v i
n

n 1

2 i
n

但是由于存在有效数字舍入的情况，实际 得到的可能是经过凑整的非准确数，存在舍入 误差 即 舍前值
x
n
l
i 1
i
n

v
i 1
n
i
n
舍后值
规则一
当n为偶数时：
n vi A 2 i 1
n
当n为奇数时：
n vi ( 0.5) A 2 i 1
n
式中的A为实际求得的算术平均值末位数 的一个单位。
规则二
（1）当 l
i 1
n i 1 i
n
i
nx ，求得的为非凑整的准确数
时， v 为零；
li nx ，求得的为凑整的非准确数 （2）当 i 1
n
v 为正，其大小为求 x 时的余数； 时，
i 1 i
n
（3）当 l
i 1
i n i 1
n
i
nx
，求得的为凑整的非准确
（2）测量列算术平均值的标准差
算术平均值的标准差是算术平均值作为 测量结果后其不可靠性的评定标准。 也可用于表示同一被测量的多个独立测 量列算术平均值的分散性的参数。因为各个 独立测量列的算术平均值由于随机误差的存 在也不可能相等，必在真值的上下有一定的 分散。
算术平均数值标准差公式推导
l1 l2 ...... ln x n
精度低的，权低。
★不同的测量方法：测量方法完善的，权高；
测量方法低劣的，权低。 手，权低。
★不同的测量人员：经验丰富的，权高；新
这些权的确定，都基于权代表的数 值的可靠程度这一原则。
不同测量次数的不等精度测量是我
们的研究重点。因单次测量精度皆相同， 其标准差均为 表示
P i ni
i组的权用 ，第
权的计算
将各组的权予以约简，用简单的数值来
表示各组的权，如设 x
1
0.05, x2 0.2, x3 0.1，
则 p1 : p2 : p3 16 : 1 : 4 ，则
p1 16, p2 1, p3 4
（3）加权算术平均值
x1
l
i 1
n1
1i
n1
n1
, x2
x xi x
i
单位权化可得：
pi vxi pi xi pi x
已成为等精度测量列， pi vx 也成为等精度测量 列，将 pi vx 代入等精度测量列求标准查的公式中，就 有
pi xi
i
i

pv
i 1 i
m
2 xi
m 1
x

i 1
m
2 pi vx i m
( m 1 ) pi
分布。
高斯公布的四个特点
对称性：正误差与负误差出现的次数在绝对值相
等时一样。
单峰性：绝对值小的误差出现的次数比绝对值大
的误差出现的次数多。
有界性：在一定测量条件下，随机误差的绝对值
不会超过一定界限。
抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术
i 1
例子：工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较， 得到工作基准米尺的平均长度为：999.9425mm（三次 测量），999.9416mm（两次测量），999.9419mm（五 次测量），求最后测量结果及标准查。 解 ：
x1 n1 x2 n2 x3 n3 x 999.9420mm n1 n2 n3
i
x

n
x x
ni
i
i
n
i 1
m
i
为什么要权单位化？
当 不可知时，各组测量结果 的残余误差为 x xi x 。 因该残余误差是不等精度的测 量列，其权不一致，为此需使得其 权位单位化。
i
单位权化的定义 单位权化的实质就是使任何
一个量值乘以自身权数的平方根， 得到新的量值权数为1。
ˆ dn
极差法可迅速算出标准差，并且有一定 精度，一般在n<10均可采用，不象Bessel或 Peters法那样求算术平均值，残余误差那么麻 烦。
（4）最大误差法
当多个独立测量值服从正态分布时，可用 下式求得的标准差的无偏估计：
ˆ vi
max ' n
k
最大误差法简单、迅速、方便，且n<10时， 该法具有一定精度。在代价较高的破坏性实验 中一般只容许进行一次实验，且需估计精度情 形下，则该法则特别有用。
vx1 x1 x 0.5mm,vx2 0.4mm,vx3 0.1mm m 3, p1 3, p2 2, p3 5 3 ( 0.5 )2 2 ( 0.4 )2 5 ( 0.1 )2 x 0.0002mm ( 3 1 )( 3 2 5 )
权与标准差的关系
x
i

ni
n 1, 2, ,m
2 x2
n1
2 x1
n2
... nm
2 xm

2
p1 n1 , p2 n2 ,..., pm nm
p1 : p2 : ...: pm 1

2 x1
:
1

2 x2
: ...:
1
2 xm
结论
每组测量结果的权与其相应 的平均值的方差成反比。
数时， ຫໍສະໝຸດ Baiduv 为负，其大小为求 x 时的亏数；
2、方差
（1）定义：方差一般也称之为标准差，这里计 算单次测量的标准差。 在等精度测量中，单次测量的标准差按下 列公式计算： i li L0
2 2 12 2 ...... n 2 i i 1 n

n

n
标准差的计算还有别捷尔斯法，极差法， 最大误差法等。
（4）别捷尔斯（Peters）法
1.253
v
i 1 n
n
i
n n 1
x 1.253
v
i 1
i
n
n 1
（4）极差法
等精度多次测量被测值 x1 ,x2 ,x3 ,......,xn 服从正态分布，在其中选取最大值 xmax与最小 值 xmin，则两者之差称为极差：n xmax xmin 标准差的无偏估计： n
1 D( x ) 2 D( l1 ) D( l2 ) ...... D( ln ) n
D( l1 ) 2 1 D( x ) 2 nD( l1 ) n n n
D(l1 ) D(l2 ) ...... D(ln )
x

n
结论
在n次测量的等精度测量中，算术平均值 1 n ， x 。但 的标准差是单次测量标准差 n ， 也不是n越大越好，因为 n 要出较大的劳动， 而且 难保证测量条件的恒定，从而引入新 n 的误差。一般情况下去n=10为宜。
依据算术平均值的定义计算算术平均值既 烦琐又易产生错误，可用下列简便方法计算：
任选一个 接近所有测量值的数 (称为中数) 作为参考值，计算每个测得值 li 与中数 l0 的差 值 li li l0 i 1, 2,, n 因
x
l
i 1
n
i
n
x0
l
i 1
n
i
n
则 x l0 x0 x0 当 l0 取值合适时因前后相减而变得好计算。
3．不等精度测量
上述都是等精度测量问题，一般测量实 践中基本都属于这种类型。为了得到更为精 确的测量结果，我们便会遇到不等精度测量 问题： （一）不同的测量条件； （二）不同的测量仪器； （三）不同的测量方法； （四）不同的测量人员 （五）不同的测量次数。
测量次数的不等精度测量问题
不同的测量次数的不等精度测量问题是
pi xi
pz 1
证明：
D( Z ) PD( xi ) i
P i
2 z
2 xi
1 1 1 1 1 pz : pi 2 : 2 : z xi pi x2 x 2 pi i i 1 pz pi 1 pi
已知各组测量结果的残余误差为：
l1 l2 ........ ln x n
l
i 1
n
i
n
由概率论的大数定律可知，若测量次数无 限增加时，则算术平均值必然接近于真值0。 设被测量的真值为 l 0 ，一系列测得值为 l i ， 则测量列的随机误差为： i li l 0 式中 i 1, 2,3,......., n ，由于实际测量的次数 都是有限的，我们只能用算术平均值代替被测 量的真值进行计算。这时定义残差（测量之残 余误差） vi li x i 1, 2,, n