上海市复兴高级中学2018学年度第一学期高一(分班考)数学试题
上海市上海中学2018年10月2018～2019学年度高一第一学期期中考试数学试题及参考答案教师专用
上海市2018年10月2018～2019学年度上海中学高一上期中考试数学试卷一、选择题(本大题共4小题)1.已知集合,则中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 4【试题参考答案】A分析:根据枚举法,确定圆及其内部整点个数.详解: ,当时,;当时,;当时,;所以共有9个,选A.本题考查集合与元素关系,点与圆位置关系,考查学生对概念理解与识别.2.已知实数x,y,则“”是“”的( )A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【试题参考答案】B【试题分析】找出与所表示的区域,再根据小范围推大范围可得结果.【试题解答】表示的区域是以为顶点的正方形及内部,表示的区域是以为圆心,1为半径的圆及内部,正方形是圆的内接正方形,,推不出,“”是“”的充分而不必要条件.故选:B.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,考查了不等式组表示的区域,考查了推理能力,属于中档题.3.设,,且,则( )A. B.C. D. 以上都不能恒成立【试题参考答案】A【试题分析】利用反证法可证得,进而由可得解.【试题解答】利用反证法:只需证明,假设,则:所以:,但是,故:,,.所以:与矛盾.所以:假设错误,故:,所以:,故选:A.本题考查的知识要点:反证法的应用,关系式的恒等变换,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于中档题型.4.对二次函数(为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A. 是的零点B. 1是的极值点C. 3是的极值D. 点在曲线上【试题参考答案】A若选项A错误时,选项B、C、D正确,,因为是的极值点,是的极值,所以,即,解得:,因为点在曲线上,所以,即,解得:,所以,,所以,因为,所以不是的零点,所以选项A错误,选项B、C、D正确,故选A.【考点定位】1、函数的零点;2、利用导数研究函数的极值.二、填空题(本大题共12小题)5.已知集合,用列举法表示集合______.【试题参考答案】0,1,【试题分析】先由x的范围推出y的范围,然后从中取整数即可.【试题解答】因为,,即,又,,,,,,,故答案为:0,1,本题考查了集合的表示法属基础题.6.设集合,集合,则______.【试题参考答案】【试题分析】根据交集定义求出即可.【试题解答】,,故答案为:.此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.7.能说明“若a﹥b,则”为假命题的一组a,b的值依次为_________.【试题参考答案】(答案不唯一)分析:举出一个反例即可.详解:当时,不成立,即可填.本题考查不等式的性质等知识,意在考查学生的数学思维能力.8.集合,,若,则a的取值范围是______.【试题参考答案】【试题分析】先求出集合A,根据,即可求出a的取值范围.【试题解答】,,若,则,故答案为:.本题主要考查集合子集关系的应用,利用不等式的解法以及数轴是解决此类问题的关键.9.命题“若,则且”的逆否命题是______.【试题参考答案】若或,则试题分析:原命题:若则。
2018-2019学年上海市上师大附中高一上学期期中数学试题(平行班)(解析版)
【详解】因为集合中的元素是互异的，所以，，互不相等，即不可能是等腰三角形．l m n ABC △D ．【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及元素的基本特征，其中解答中熟记集合中元素的互异性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）a b R ∈0a b <<B ．C ．D ．11a b <b a a b <22a b <2ab b <【答案】B 【解析】结合,对 赋值，逐个分析选项即可得解.0a b <<,a b 【详解】【解析】通过举满足题意的反例，可得解1,1x -<⎩【详解】取函数，1,1()1,1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩对任意都有恒成立，但是不具有奇偶性.x ∈R ()()f x f x =-故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,通过举反例可说明函数不具有奇偶性.．在整数集中，规定被5除所得余数为的所有整数组成“一类”，记为，即Z k []k ，，给出如下四个结论：{}|5,x x n n Z k ==+∈0,1,2,3,4k =；②；③；④“整数，属于同‘一类’”的充[]20183∈[]20183-∈[][][][][]01234Z = a b []0a b -∈二、填空题．已知全集，集合，则_______U =R {}|1,A x x x R =≤∈U C A =【答案】()1,+∞【解析】根据补集的概念直接求解即可.【详解】，集合，则U =R {}|1,A x x x R =≤∈UC A =(){|1}1,x x >=+∞故答案为：()1,+∞【点睛】本题考查补集的运算，是简单题.．不等式的解集是________21x <【详解】有意义，则262x x y x +-=-解得且，2020x x -≥≠23x -≤≤2x ≠函数的定义域为.262x x y x +-=-[)(]2,22,3- 故答案为：[)(]2,22,3- 【点睛】本题考查函数的定义域，列出使函数有意义的不等式组求解即可.是基础题.．命题“若，则”的否命题是_______3x >2560x x -+>本题考查写出命题的否命题，对条件和结论同时否定是解题的关键.9．若，，则命题甲“”是命题乙“”的_______条件（填“充分非必要”、“必要x y R ∈44x y xy +>⎧⎨>⎩22x y >⎧⎨>⎩非充分”、“充要”或“既非充分又非必要”）【答案】必要不充分【解析】根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】由甲推不出乙，比如x=1，y=7，故不是充分条件，由乙可推出甲，是必要条件，则命题甲“”是命题乙“”的必要不充分条件，44x y xy +>⎧⎨>⎩22x y >⎧⎨>⎩故答案为：必要不充分【点睛】本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是一道基础题10．已知某班有50个学生，每个学生的家中至少订阅、两种报纸中的一种，已知订阅报的有a b a 34户，订阅报的有28户，则订阅报且不订阅报的有______户b a b 【答案】22【解析】先求得既订阅报又订阅报的户数，进而可求得订阅报且不订阅报的户数.a b a b 【详解】设A 为订报家的集合，B 为订报家的集合，由题意a b ,()34,()28,()50n A n B n A B === ,()()()()34285012n A B n A n B n A B ∴=+-=+-= 所以订阅报且不订阅报的户数是.a b ()()34-12=22n A n A B -= 故答案为：22【点睛】本题考查了容斥原理公式：A 类B 类元素个数总和=属于A 类元素个数+属于B 类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数()()222=-(2+2)=-6f -=-故答案为：6-【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，利用奇偶性求函数值，难度不大，属于基础题．．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是__________x 2320kx kx k ++-≤R k 【答案】8,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】讨论和两种情况，求出关于x 的不等式的解集为时，对应0k =0k ≠2320kx kx k ++-≤R 的取值范围即可．【详解】时，不等式化为恒成立，所以，0=20-≤0k =【详解】441111x x x x +=-++--）当x ＞1时， x-1＞0，444112(1)15111x x x x x x +=-++≥-⋅+=---当且仅当，当x-1=2，即x=3时，取等号，411x x -=-故函数的值域为[5，+∞）．）当 时， ，1x < 10x -<444112(1)13111x x x x x x +=-++≤--⋅+=----41x -=时，由单调性可得：，即，不等式无解；11,2t -≥≥211t t ->+220t t -+<时，不等式即：，11,2t -<<()()211f t f t ->-由单调性可得：，即，解得：，211t t -<-220t t +-<21t -<<综上可得：实数的取值范围是.t ()2,1-点睛：本题考查二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．．设是集合的非空子集，称中的元素之和为的“容量”，则的所有非A {}123456S =,,,,,A A S 空子集的“容量”之和是_______【答案】672【解析】在所有的子集中，每个元素出现的次数都是个，由此能求出结果．S 52在上恒成立,2x ≤--[]1,2min (2)4x ≤--=-故答案为：4m ≤-【点睛】本题主要考查学生的对新定义的分析和解决的能力，主要考查了转化与划归的思想.三、解答题．已知集合，.{}|14A x x =+<1|02x B x x a -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭）求和；A B ）若，求实数的取值范围.A B B = a [ 2.5- 1.5]②当时，．满足题意；0.5a =B =∅③当时，．0.5a <{|21}B x a x =<<此时，则．2125a a <⎧⎨-⎩… 2.50.5a -<…综上所述，实数的取值范围是，．a [ 2.5- 1.5]【点睛】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，绝对值不等式，一元二次不等式的解法，求出和，是解题的关键．A B ．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的出售，当顾客在商场内消费一定金额后，80%按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的[)200,400[)400,500[)500,700[)700,900…消费金额（元的范围进行讨论，然后解不等式组即可获得问题的解答．)【详解】（1）由题意可知：．10000.213033%1000⨯+=故购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是．33%（2）设商品的标价为元．x 则，消费额：．500800x ……4000.8640x ……由已知得（Ⅰ）或 （Ⅱ）0.260134000.8500x x x +⎧⎪⎨⎪⎩………0.2100135000.8640x x x +⎧⎪⎨⎪⎩………不等式组（Ⅰ）无解，不等式组（Ⅱ）的解为．625750x ……因此，当顾客购买标价在，元内的商品时，[625750],，288214()(())()9999f f f ===328814145()(())()199999f f f f ===-=，观察是以4为周期，由4388558()(())()2(1)99999f f f ===-=488()()(,)99k r r f f k r N +=∈解即可．【详解】（1）①当时，由得，．01x ……2(1)x x -…23x …．∴213x ……②当时，因恒成立．12x <…1x x -…．12∴<x …2{|2}x x ……）若不等式的解集是，求的值；()0f x ≤[]0,6b a ）若，对任意，都有成立，且存在，使得成立，求实3b a =x ∈R ()0f x ≥x ∈R ()223f x a ≤-的取值范围；）若方程有一个根是1，且，，求的最小值，并求此时，()0f x =a 0b >11212a b +++a b 【答案】（1）；（2）；（3）最小值，.1b a =[]{}9,60-- 231a b ==【解析】（1）利用不等式的解集，转化为方程的根，求解即可．（2）利用二次函数的性质，列出不等式组求解即可．（3）利用基本不等式转化求解函数的最值的即可．【详解】本题考查函数的零点个数，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．．已知有限集，如果中元素满足{}123,,,n A a a a a = ()*2,n n N ≥∈A ()11,2,3,a i n = ，就称为“复活集”.1n n a a a a =+++ A ）判断集合是否为“复活集”，并说明理由；1515,22⎧⎫-+--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭）若，，且是“复活集”，求的取值范围；1a 2a R ∈{}12,a a 12a a ）若，求证：“复活集”有且只有一个，且.*1a N ∈A 3n =【答案】（1）是；理由见解析；（2）；（3）见解析；()(),04,-∞+∞ 【解析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，进而可得答案．【详解】1515⎧⎫-+--即有，12a <，于是，无解，即不存在满足条件的“复活集” ，11a ∴=221a a +=2a A 当时，，故只能，，求得，于是“复活集” 只有一个，为，3n =123a a <11a =22a =33a =A {12，．3}当时，由，即有，4n …121123(1)n a a a n -⋯⨯⨯⨯⋯⨯-…(1)!n n >-也就是说“复活集” 存在的必要条件是，事实上，A (1)!n n >-，矛盾，22(1)!(1)(2)32(2)22n n n n n n n ---=-+=--+>…当时不存在复活集，∴4n …A 所以，“复活集”有且只有一个，且.A 3n =【点睛】本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键，难度较大。
上海市虹口区复兴高中学2018-2019学年高一第一学期10月月考数学试题
上海市虹口区复兴高级中学2018-2019年第一学期10月监测练习高一数学试题一、填空题（12题，54分）1.若集合},1{a A =与},1{2a B =相等，则=a2.命题“若1=x 且1=y ，则2=+y x ”的否命题是3.已知集合}3,1,0{=M ，集合},3{M a a x x N ∈==，则=⋃N M4.下列命题：①b c a c b a -<-⇒>；②bc a c c b a <⇒>>0,；③22bc ac b a >⇒>；④b a b a >⇒>33，其中正确的命题个数是5.已知集合}01{2=-=x x A ，}0143{234=-++-=y y y y y B ，则=⋂B A6.若对任意R x ∈，不等式01)1()1(22<----x a x a 恒成立，则实数a 的取值范围是7.已知关于x 的不等式0<-b ax 的解集为),1(+∞-，则关于x 的不等式02<+bx ax 的解集是 8.与不等式组⎩⎨⎧≥->--12022x x x 同解的一个分式不等式可以是9.已知21>x ，则1298-+x x 的最小值为 10.定义集合运算”“⨯：},),{(B y A x y x B A ∈∈=⨯，称为B A ，两个集合的“卡氏积”，若},02{2N x x x x A ∈≤-=，}3,2,1{=B ，则=⨯⋂⨯)()(A B B A11.设函数b ax x x f ++=2)(),(R b a ∈，若关于x 的不等式x x f -≤≤6)(0的解集为}6{]3,2[⋃，则=+b a12.对任意两正实数b a 、，定义ba b a ⨯=λ*。
其中常数)1,22(∈λ，”“⨯是通常的实数乘法运算，若0>≥b a ，b a *与a b *都是集合},2{Z n n x x ∈=中的元素，则b a *=二、选择题（4题，20分）13.不等式2-≤+ab b a 成立的条件是（ ）R b a A ∈,. 0.≠ab B 0.>ab C 0.<ab D14.对于全集U 的子集B A ,，若A 是B 的真子集，则下列集合中必为空集的是（ ）B AC A U ⋂).( )(.B C A B U ⋂ )().(B C A C C U U ⋂ B AD ⋂.15.设集合}2{>=x x M ，}3{<=x x P ，那么”且“P x M x ∉∉是”“P M x ⋂∉的（ ）条件. .A 充分不必要 .B 必要不充分 .C 充要 .D 既不充分也不必要16.设集合}032{2>-+=x x x A ，集合}0,012{2>≤--=a ax x x B ，若B A ⋂中恰有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ） )43,0.(A )34,43.[B )2,43.[C ),1.(+∞D三、解答题17.已知集合A={}{}2560,,mx 2m,,B x x x x R B x x R --≤∈=-=∈满足A ≠⊂（1）化简集合B; (2)求实数m 的取值范围18. 已知命题①函数y=a 2x -2ax+a+1的图像总在x 轴上方；命题②关于x 的方程（a-1）2x +(2a-4)x+a=0有两个不相等的实数根。
上海市徐汇区上海中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案解析 (1)
上海市徐汇区上海中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共4小题）1.已知集合，则中元素的个数为（）A. 9B. 8C. 5D. 4【答案】A【解析】，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.2.已知实数x，y，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】表示的区域是以为顶点的正方形及内部，表示的区域是以为圆心，1为半径的圆及内部，正方形是圆的内接正方形，，推不出，“”是“”的充分而不必要条件．故选：B．3.设，，且，则（）A. B.C. D. 以上都不能恒成立【答案】A【解析】利用反证法：只需证明，假设，则：，所以：，但是，故：，，．所以：与矛盾．所以：假设错误，故：，所以：，故选：A．4.对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A. 是的零点B. 1是的极值点C. 3是的极值D. 点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．二、填空题（本大题共12小题）5.已知集合，用列举法表示集合______．【答案】0，1，【解析】因为，，即，又，，，，，，，，故答案为：0，1，.6.设集合，集合，则______．【答案】【解析】，，故答案为：．7.能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】当时，不成立，即可填．8.集合，，若，则a的取值范围是______．【答案】【解析】，，若，则，故答案为：．9.命题“若，则且”的逆否命题是______．【答案】若或,则【解析】原命题：若则. 逆否命题为：若则. 注意“且”否之后变“或”.10.设，是方程的两个实根，则“且”是“，均大于1”的___条件．【答案】必要但不充分【解析】根据韦达定理得：，，判定条件是p：，结论是q：；还要注意条件p中，a，b需满足的大前提由，得，；为了证明，可以举出反例：取，，它满足，，但q不成立，上述讨论可知：，是，的必要但不充分条件，故答案为：必要但不充分．11.某班有50名学生报名参加A、B两项比赛，参加A项的有30人，参加B项的有33人，且A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项，没有参加B项的学生有__人【答案】9【解析】设A、B都参加的同学为x人，则只参加A，不参加B的为，只参加B，不参加A的为，则AB都不参加的人数为．因为A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，所以，解得．所以只参加A项，没有参加B项的学生有．故答案为：9.12.已知不等式的解集为，则不等式的解集为______．【答案】{x|x>或x<}.【解析】依题意，令，代入方程，解得，故，即，解得.13.已知正数x、y、z满足，则的最小值为______．【答案】36【解析】正数x、y、z满足，，当且仅当，，，取等号．故答案为36．14.如关于x的不等式对任意恒成立，则a的取值范围为___．【答案】【解析】因为，所以原不等式可化为：，，对任意恒成立，，，故答案为：．15.已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．【答案】．【解析】（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．（方法二）显然，∴．令，则．∵，∴．结合图象可得或．16.定义表示，，，中的最小值，表示，，，中的最大值则对任意的，，的值为______．【答案】【解析】设，、，，，，即，，可得，，，即有m的最小值为，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题）17.已知集合，7，，，且，求集合B．解：集合，7，，，且，或舍，解得，当时，5，，不成立；当时，5，，7，1，，成立．集合1，4，．18.解下列不等式：；解：，或，解得：或，原不等式的解集为.由，得，解得，原不等式的解集为．19.设函数，，记的解集为M，的解集为N．求集合M和N；当时，求的取值范围．解：由，得或，解得：或，故；由得，故.时，，原式，，20.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为轮船的最大速度为15海里小时当船速为10海里小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．求k的值；求该轮船航行100海里的总费用燃料费航行运作费用的最小值．解：由题意，设燃料费为，当船速为10海里小时，它的燃料费是每小时96元，当时，，可得，解之得．其余航行运作费用不论速度如何总计是每小时150元．航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为元，因此，航行100海里的总费用为，，当且仅当时，即时，航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．答：值为，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为元．21.已知二次项系数是1的二次函数．当，时，求方程的实根；设b和c都是整数，若有四个不同的实数根，并且在数轴上四个根等距排列，试求二次函数的解析式，使得其所有项的系数和最小．解：当，时，，设，则，，解得或，当时，，解得或；当时，，解得：或，综上所述：的实根有：，，，；，即为，即有，，可得，或，不妨设四个根分别为，，，，可得四个根的和为，即；又设，，消去d，可得，可得，由b，c为整数，可得也为正整数的平方，设，k为正整数，即有，即为，由为正整数的平方，且，由取得最小值，可得b的最小值为22，，，则，其所有项的系数和最小．。
2018-2019学年上海市复兴高级中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市复兴高级中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．若{}n a 是等比数列，下列结论中不正确的是（ ）A.一定是等比数列；B.21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列；C.{}1n n a a ++一定是等比数列；D.{}3n n a a +一定是等比数列【答案】C【解析】判断等比数列,可根据1n na a +为常数来判断. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则对A==,故一定是等比数列；对B ：22+121211=()1n n n na a a q a +=为常数,故21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列； 对C ：当1q =-时,10n n n n a a a a ++=-=,此时{}1n n a a ++为每项均为0的常数列；对D ：2+143n n n n a a q a a ++=为常数,故{}3n n a a +一定是等比数列. 故选：C. 【点睛】本题主要考查等比数列的判定,若数列的后项除以前一项为常数,则该数列为等比数列.本题选项C 容易忽略1q =-时这种情况.2．正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b 满足11a b =，77a b =，17a a ≠，则44ab ，的大小关系为（ ） A.44a b = B.44<a bC.44a b >D.不确定【答案】B【解析】利用17442b b a b +==分析44a b ，的关系即可. 【详解】因为正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b ,故4a =又17442b b b a +=≥=,当且仅当17b b =时“=”成立,又17a a ≠即17b b ≠,故44<a b , 故选：B 【点睛】本题主要考查等差等比数列的性质与基本不等式的“一正二定三相等”. 若{}n a 是等比数列，且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a = 若{}n a 是等差数列，且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+ 3．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A 【解析】【详解】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值.详解：因为π()cos sin )4f x x x x =-=+，所以由π02ππ2π,(k Z)4k x k +≤+≤+∈得π3π2π2π,(k Z)44k x k -+≤≤+∈ 因此π3ππ3ππ[,][,],,044444a a a a a a a -⊂-∴-<-≥-≤∴<≤，从而a 的最大值为π4，选A. 点睛：函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω= (3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴， (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间； 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间. 4．己知函数()2*21,12x x n n f x n N x x x -+-⎛⎫=∈≠ ⎪++⎝⎭的最小值为n a ，最大值为n b ，若()()11n n n c a b =--，则数列{}n c 是（ ）A.公差不为0的等差数列B.公比不为1的等比数列C.常数数列D.以上都不对【答案】C【解析】先根据判别式法求出()f x 的取值范围,进而求得n a 和n b 的关系,再展开算出n c 分析即可. 【详解】设221x x ny x x -+=++,则222(1)(1)(1)0x x y x x n y x y x y n ++=-+⇒-+++-=, 因为12n x -≠,故1y ≠,故二次函数2(1)4(1)()0y y y n ∆=+---≥,整理得 23(46)410y n y n -++-≤,故n a 与n b 为方程23(46)410y n y n -++-=的两根,所以()()46414111()1333n n n n n n n n n c a b a b a b +-=--=-++=-+=-为常数. 故选：C. 【点睛】本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可.二、填空题5．22321lim 2n n n n n →∞+-=-+_________________．【答案】3【解析】分式上下为n 的二次多项式,故上下同除以2n 进行分析. 【详解】由题,2222213321lim lim 1221n n n n n n n n n n →∞→∞+-+-=-+-+,又222112lim ,lim ,lim ,lim 0n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞=, 故2222213321300lim lim =31221001n n n n n n n n n n→∞→∞+-+-+-==-+-+-+. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了分式型多项式的极限问题，注意：当,0,,k j a b k j N+≠∈时,1111011110,() (i)=,()...0,()k k k k kj j n j j jk j a n a n a n a a k j b n b n b n b b k j ---→∞-⎧∞>⎪++++⎪=⎨++++⎪⎪<⎩6．角α的终边经过点()()340P a a a ->，，则sin α=___________________． 【答案】45-【解析】先求出P 到原点的距离r ,再利用正弦函数定义sin yrα=求解. 【详解】因为0a >,所以P到原点距离5r a ==,故44sin 55a a α-==-. 故答案为：45-. 【点睛】设α始边为x 的非负半轴,终边经过任意一点(,),P x y OP r =,则：sin ,cos ,tan y x y r r xααα=== 7．67是等差数列-5，1，7，13，……中第n 项，则n =___________________． 【答案】13【解析】根据数列写出等差数列通项公式n a ,再令67n a =算出n 即可. 【详解】由题意,首项为-5,公差为1(5)6--=,则等差数列通项公式5(1)6611n a n n =-+-⨯=-,令67n a =,则61167,13n n -==故答案为：13. 【点睛】等差数列首项为1a 公差为d ,则通项公式1(1)n a a n d =+- 8．若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为__________________． 【答案】235【解析】由题又1n n n a a +-=,故考虑用累加法求n a 通项公式,再分析na n的最小值. 【详解】112211...(1)(2)...+1+13n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+2(11)(1)1313222n n n n-+-=+=-+ ,故131112222n a n n n =+-≥=,当且仅当13=,2n n n=.又n 为正整数,且56<,故考查当5,6n =时. 当5n =时554+13232==555a ⋅,当6n =时665+13142==663a ⋅,因为231453<, 故当5n =时, n a n取最小值为235.故答案为：235. 【点睛】本题主要考查累加法,求最小值时先用基本不等式,发现不满足“三相等”,故考虑与相等时n 的取值最近的两个正整数.9．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝(－1)n a n －12n，n ∈N ，则a 3＝________． 【答案】－116【解析】当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18，则a 1＋a 2＋2a 3＝－18，当n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，两式相减得a 3＝－116. 10．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1345a a a a =+++…，则q =__________________．【解析】由1345a a a a =+++…可知1q <,算出345a a a +++…用1a 表示的极限,再利用性质计算得出q 即可. 【详解】显然公比不为1,所以公比为q 的等比数列{}n a 求和公式1(1)1-=-n n a q S q , 且1345a a a a =+++…,故01q <<.此时1(1)1-=-n n a q S q 当n →∞时,求和极限为11a q -,所以3345...1a a a a q +++=-,故2311345...=11a a q a a a a q q=+++=--,所以2211101a q a q q q =⇒+-=-,故12q -±=,又01q <<,故12q =.. 【点睛】本题主要考查等比数列求和公式1(1)1-=-n n a q S q,当01q <<时1lim 1n n a S q →∞=-.11．在ABC △，若cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =__________________．【答案】【解析】由cos 25C =,故用二倍角公式算出cos C ,再用余弦定理算得即可. 【详解】23cos 2cos 125C C =-=-,又1BC =，5AC =,又2222cos AB BC AC BC AC C =+-⋅⋅,代入得222315215()325AB =+-⋅⋅⋅-=,所以AB =故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式与余弦定理,属于基础题型.12．如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= . 【答案】－2【解析】试题分析：∵()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++，∴()0sin 2cos f ϕϕ=0=+，∴sin 2cos ϕϕ=-，∴tan ϕ=-2 【考点】本题考查了三角函数的性质点评：对于定义域为R 的奇函数恒有f(0)=0.利用此结论可解决此类问题13．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照这样的排列规律，第n 行()3n ≥从右至左的第3个数为___________．【答案】(1)22n n +- 【解析】由题可以先算出第n 行的最后一个数,再从右至左算出第3个数即可. 【详解】由图得, 第n 行有n 个数,故前n 行一共有(1)12...2n n n ++++=个数,即第n 行最后一个数为(1)2n n +,故第n 行()3n ≥从右至左的第3个数为(1)22n n +-. 【点睛】本题主要考查等差数列求和问题,注意从右至左的第3个数为最后一个数减2.14．对于数列{}n a ，若存在(),1i j i j ≤<，使得i j a a =，则删去j a ，依此操作，直到所得到的数列没有相同项，将最后得到的数列称为原数列的“基数列”.若2cos 19n n a π=，则数列{}n a 的“基数列”的项数为__________________． 【答案】10【解析】由题意可得,只需计算2cos 19n n a π=所有可能取值的个数即可. 【详解】 因为求2cos19n n a π=的可能取值个数,由周期性,故只需考虑20219n ππ<≤的情况即可. 此时019n <≤.一共19个取值,故只需分析12318192463638cos,cos ,cos ...cos ,cos1919191919a a a a a πππππ=====, 又由cos(2)cos πθθ-=,故181362coscos 1919a a ππ===,172344cos cos ...1919a a ππ=== 1092018cos cos 1919a a ππ===,即不同的取值个数一共为19910-=个.即“基数列”分别为129,...a a a 和19a 共10项. 故答案为：10 【点睛】本题主要考查余弦函数的周期性.注意到2cos 19n n a π=随着n 的增大n a 的值周期变化,故只需考虑一个周期内的情况.15．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______【答案】34，- 【解析】根据题意，化简得22111n n n a a a ++-=-，利用式相加，得到2213113112S a a a --=-，进而得到211120a a --=，即可求解结果.【详解】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-， 所以2222222213321313121,1,,1a a a a a a a a a -=--=--=-， 将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-，又21313S a =，所以211120a a --=，解得13a =-或14a =.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 16．已知无穷等比数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈，sin 1n a =，则数列{}n a 公比q 的取值集合为__________． 【答案】{}41,q q k k Z =+∈【解析】根据条件先得到：n a 的表示，然后再根据{}n a 是等比数列讨论公比q 的情况. 【详解】因为sin 1n a =，所以2,2n a k k Z ππ=+∈，即(41),2n k a k Z π+=∈；取{}n a 连续的有限项构成数列{}n b ，不妨令1(41),2k b k Z π+=∈，则2(41),2q k b k Z π+=∈，且2{}n b a ∈，则此时q 必为整数；当4,q k k Z =∈时，224(4)2(41){}2n k k b k k a π+=+=∉，不符合；当41,q k k Z =+∈时，222(41)4(42)1{}22n k k k b a π+++==∈，符合，此时公比41,q k k Z =+∈ ；当42,q k k Z =+∈时， 224(43)2(21)(41){}2n k k b k k a π++=++=∉，不符合；当43,q k k Z =+∈时，22(43)(41)4(44)3{}22n k k k k b a π++++==∉，不符合；故：公比41,q k k Z =+∈. 【点睛】本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析.三、解答题17．已知()()2cos sin cos f x x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期及值域； （2）求方程()0f x =的解.【答案】(1) 最小正周期为π,值域为1⎡⎤⎣⎦；(2) 2x k ππ=+,或34x k ππ=+,()k ∈Z 【解析】先用降幂公式,再用辅助角公式将()f x 化简成()sin()f x A ωx φB =++的形式,再求最小正周期,值域与()0f x =的解. 【详解】(1)()()22cos sin cos 2sin cos 2cos sin 2cos21f x x x x x x x x x =+=+=++)14x π=++故最小正周期为22T ππ==,又1sin(2)14x π-≤+≤,故1)114x π≤++≤,所以()f x 值域为1⎡⎤⎣⎦.故最小正周期为π,值域为1⎡⎤⎣⎦.(2)由(1)())14f x x π=++,故()0f x =)10,4x π++=化简得sin(2)42x π+=-,所以52244x k πππ+=+或72244x k πππ+=+,()k ∈Z . 即2x k ππ=+,或34x k ππ=+,()k ∈Z . 故方程()0f x =的解为：2x k ππ=+,或34x k ππ=+,()k ∈Z 【点睛】本题主要考查三角函数公式,一般方法是先将三角函数化简为()sin()f x A ωx φB =++的形式,再根据题意求解相关内容.18．在数列{}n a 中，113a =，()()*1221nn a a a n a n N n++=-∈…. （1）分别计算2a ，3a ，4a 的值；（2）由（1）猜想出数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 【答案】(1) 2115a =3135a =,4163a =； (2) 1=(21)(21)n a n n -+,证明见解析【解析】(1)分别令2,3,4n =即可运算得出2a ，3a ，4a 的值； (2)由(1)可猜想出1=(21)(21)n a n n -+,当1n =时成立,再假设当n k =时,1=(21)(21)k a k k -+成立,再利用()()*1221nn a a a n a n N n++=-∈…推导出 11(21)(23)k a k k +=++即可.【详解】(1)令2n =有122211132515a a a a a +=⇒==； 令3n =有1233312115()31435a a a a a a a ++=⇒=+=； 令4n =有123444123117()42763a a a a a a a a a +++=⇒=++= 所以2115a =，3135a =，4163a =(2)由(1)可得111313a ==⨯,2135a =⨯,3157a =⨯,4179a =⨯,故可猜想1=(21)(21)n a n n -+.证明：当1n =时, 111=(21)(21)3a =-+成立；假设当n k =时, 1=(21)(21)k a k k -+成立,且()1221kk a a a k a k++=-…即()1221k k a a a k k a ++=-…当1n k =+时, ()1211(1)21k k k a a a a k k a +++++=++…,即()()1121(1)21k k k k k a a k k a ++-+=++,化简得()2121(23)k k k k a k k a +-=+,()12212111(23)23(21)(21)(21)(23)k kk k k a a k k k k k k k +--==⋅=++-+++, 即11(21)(23)k a k k +=++也满足1=(21)(21)na n n -+,当1n k =+时成立, 故对于任意的n N +∈,有1=(21)(21)n a n n -+,证毕.所以1=(21)(21)n a n n -+.【点睛】本题主要考查了数学归纳法的运用，其中步骤为：(1)证明当n 取第一个值0n 时命题成立.0n 对于一般数列取值为0或1；(2)假设当n k =(0k n ≥)且k 为自然数）时命题成立,证明当1n k =+时命题也成立. 综合(1)(2),对一切自然数n ,命题()P n 都成立.19．已知数列{}n a 满足：11a =，()*133n n n a a n N +-=∈，数列{}n b 满足13nn n a b -=. （1）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求12111nS S S ++⋯+的值； （2）求()12222212341n nb b b b b --+-++-…的值. 【答案】(1)21n n +；(2)1(1)(1)2n n n -+-. 【解析】(1)构造数列等差数列13n n n ab -=求得n b 的通项公式,再进行求和n S ,再利用裂项相消求得12111nS S S ++⋯+； (2)由题出现 ()121n nb --,故考虑用分n 为偶数和奇数两种情况进行计算. 【详解】(1)由133nn n a a +-=得1113113333n n n nn n n n a a a a ++--=⇒-=,即+11n n b b -=,所以n b 是以11013a b ==为首项,1为公差的等差数列,故1(1)n b n n =+-=,故1()(1)22n n n b b n S n ++==. 所以12112()(1)1n S n n n n ==-++,故12111nS S S ++⋯+= 11111122(1)2()...2()2(1)223111nn n n n -+-++-=-=+++. (2)当n 为偶数时,()1222222222221234123411()()()n n n n b b b b b b b b b b b ---+-++-=-+-++-= (222222)(321)(1)2(12)(34)(1)37...(21)22nn n n n n n --++⎡⎤-+-++--=-----==-⎣⎦…，当n 为奇数时,1n -为偶数,()122222222222212341234211()()()n n n n n b b b b b b b b b b b b ----+-++-=-+-++-+=…… 2(1)(11)(1)22n n n n n --++-+=综上所述,当n 为偶数时,()1222221234(1)12n n n n b b b b b -+-+-++-=-…, 当n 为奇数时,()1222221234(1)12n n n n b b b b b -+-+-++-=… 即()12222211234(1)1(1)2n n n n n b b b b b --+-+-++-=-…. 【点睛】本题主要考查了等差数列定义的应用，考查构造法求数列的通项公式与裂项求和及奇偶并项求和的方法，考查了分析问题的能力及逻辑推理能力，属于中档题. 20．已知公差0d >的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足34117a a =，2522a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：()*41k S k N+∈是数列{}na 中的项；（3）若正整数m 满足如下条件：存在正整数k ，使得数列2a ，m a ，k a 为递增的等比数列，求m 的值所构成的集合.【答案】(1) 43n a n =-；(2)证明见解析；(3) 见解析【解析】(1)根据等差数列性质2534a a a a +=+,结合34117a a =求得34,a a 等再求n a 的通项公式.(2)先求出()*41k S k N+∈,再证明41k S+满足n a 的通项公式.(3)由数列2a ,m a ,k a 为递增的等比数列可得22m k a a a =⋅,从而根据n a 的通项公式求m的值所构成的集合. 【详解】(1)因为{}n a 为等差数列,故342522a a a a +=+=,故343233333441179(22)1172211702213a a a a a a a a a a ==⎧⎧⇒-=⇒-+=⇒⎨⎨+==⎩⎩或34139a a =⎧⎨=⎩,又公差0d >,所以34913a a =⎧⎨=⎩,故1112913134a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩,故14(1)43n a n n =+-=-. (2)由43n a n =-可得(143)(21)2n n n n n S +-==-,故41(41)(821)(41)(81)k S k k k k +=++-=++,若41k S +是数列{}n a 中的项,则(41)(81)43n a k n k +==+- 即24(41)(81)332124n k k k k =+++=++, 即2831n k k N +=++∈,故()*41k S k N+∈是数列{}na 中的项；(3)由数列2a ，m a ，k a 为递增的等比数列,则22,(2)mk a a a m k =⋅<<即2(43)5(43)m k -=-.由题意存在正整数k 使得等式2(43)5(43)m k -=-成立, 因为2,(,)m k m k N +<<∈,故43m -能被5整除,设435,()m n n N +-=∈,则53344n n m n ++==+,又m 为整数,故34n +为整数设34n t +=,即43,()n t t N +=-∈，故4352015m n t -==-,解得53m t =-,又2m >,故532,1t t ->>,不妨设1()p t p N +=-∈,则535(1)352()m t p p p N +=-=+-=+∈. 即52()m p p N +=+∈又当52()m p p N +=+∈时,由2(43)5(43)m k -=-得[]224(52)35(43)20102p k k p p +-=-⇒=++满足条件.综上所述,52()m p p N +=+∈.【点睛】(1)本题考查等差数列性质：若{}n a 是等差数列，且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+(2)证明数列中是否满足某项或者存在正整数使得某三项为等比数列时,均先根据条件列出对应的表达式,再利用正整数的性质进行判断,有一定的难度.21．本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 等比数列，12n n S a a a =+++，113,*,3n n n S S S n N +≤≤∈求q 的取值范围； （3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.【答案】（1）[3,6]；（2）1[,2]3；（3）k 的最大值为1999，此时公差为11999d =-. 【解析】（1）依题意：232133a a a ≤≤，又343133a a a ≤≤将已知代入求出x 的范围； （2）先求出通项：1n n a q -=，由121133a a a ≤≤求出133q ≤≤，对q 分类讨论求出S n分别代入不等式13S n ≤S n +1≤3S n ，得到关于q 的不等式组，解不等式组求出q 的范围．（3）依题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时a 1，a 2，…a k 的公差． 【详解】（1）依题意：232133a a a ≤≤， ∴263x ≤≤；又343133a a a ≤≤ ∴3≤x ≤27， 综上可得：3≤x ≤6（2）由已知得，1n n a q -=，121133a a a ≤≤，∴133q ≤≤， 当q ＝1时，S n ＝n ，13S n ≤S n +1≤3S n ，即133nn n ≤+≤，成立． 当1＜q ≤3时，11n n q S q -=-，13S n ≤S n +1≤3S n ，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---，∴111331n nq q +-≤≤- 不等式11320320n n n nq q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩ ∵q ＞1，故3q n +1﹣q n ﹣2＝q n （3q ﹣1）﹣2＞2q n ﹣2＞0恒成立， 而对于不等式qn +1﹣3q n+2≤0，令n ＝1，得q 2﹣3q +2≤0，解得1≤q ≤2，又当1≤q ≤2，q ﹣3＜0，∴q n +1﹣3q n +2＝q n （q ﹣3）+2≤q （q ﹣3）+2＝（q ﹣1）（q ﹣2）≤0成立， ∴1＜q ≤2， 当113q ≤＜时， 11n n q S q -=-，13S n ≤S n +1≤3S n ，即1111133111n n nq q q q q q+---≤≤---，∴此不等式即11320320n n n nq q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩， 3q ﹣1＞0，q ﹣3＜0，3q n +1﹣q n ﹣2＝q n （3q ﹣1）﹣2＜2q n ﹣2＜0，q n +1﹣3q n +2＝q n （q ﹣3）+2≥q （q ﹣3）+2＝（q ﹣1）（q ﹣2）＞0∴113q ≤＜时，不等式恒成立， ∴q 的取值范围为：123q ≤≤．（3）设a 1，a 2，…a k 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且a 1＝1， 得()()11113111213n d nd n d n k ⎡⎤⎡⎤+-≤+≤+-=-⎣⎦⎣⎦，，，， 即()()212121232n d n k n d ⎧+≥-⎪=-⎨-≥-⎪⎩，，， 当n ＝1时，23-≤d ≤2； 当n ＝2，3，…，k ﹣1时，由222123n n --+-＞，得d 221n -≥+， 所以d 22213k -≥≥--， 所以1000＝k ()()11122221k k k k a d k k ---+≥+⋅-，即k 2﹣2000k +1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k＝1999时，a1，a2，…a k的公差为1 1999 ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．。
上海市复兴高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
上海市复兴高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、证明题17．等差数列{}na 不是常数列，510a =,且5710,,a a a 是某一等比数列{}nb 的第1，2，3项.(1)求数列｛a n ｝的第20项.(2)求数列{b n }的通项公式．四、解答题18．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：(1)该几何体的体积；(2)若要将几何体下部分表面刷上涂料（除底面），求需要刷涂料的表面积.五、问答题19．如图，已知点P 在圆柱1O O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，圆柱的表面积为20π，2OA =，120AO P Ð=°．(1)求直线1A P 与平面ABP 所成角的正切值；(2)求点A 到平面1A BP 的距离．则()12451232b b b b b b +++=++，同理：744b b -=，855b b -=，1077b b -=，1188b b -=，1299b b +=，得：715b b =+，827b b =+，10112b b =+，11215b b =+，则()78101112392b b b b b b +++=++，3691212b b b b +++=，则()1212121254486S b b b b b =+++=++=L ，则128b b +=故答案为：8.【点睛】关键点点睛：本题考查根据递推关系求数列的项，解题的关键是理解斐波那契数列，写出对应的项，再利用数列{}nb 的递推关系求出数列{}nb 的项的关系，即可求解，考查学生的理解能力与运算求解能力，属于难题.13．B【分析】利用直线与平面的位置关系判断即可.【详解】因为平面//a 平面b ，直线a a Ì，直线b b Ì，所以a 与b 没有交点，即a 与b 可能平行，也可能异面．故选：B.14．C【分析】根据122n n n a a a ++++=使用分组求和即可.【详解】∵1=2a ，122n n n a a a ++++=，∴()()()20231234567202120222023Sa a a a a a a a a a =+++++++×××+++167421350a =+´=，故选:C.。
2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三(上)期中数学试卷
2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x ＜2}， B ={x|x−3x−1≤0} ，则集合A∪B=___ ． 2.（填空题，4分）在 (x2+1x )6的二项展开式中，x 2项的系数等于 ___ ．3.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（sinθ，1）， b ⃗⃗=(1，cosθ) ，其中0＜θ＜2π，若 a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ ，则θ=___ ．4.（填空题，4分）若z 1=1+i ，z 2=a-2i ，其中i 为虚数单位，且 z 1•z 2∈R ，则实数a=___ ．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a ，b ，则a ，b 所成角的最大值为 ___ ．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ．8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ．9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ．11.（填空题，5分）已知数列{a n }满足a 1=1，若数列{b n }满足b n =max{a k+1-a k |1≤k≤n}（n∈N*），且a n +b n =2n （n∈N*），则数列{a n }的通项公式a n =___ ．12.（填空题，5分）设函数f （x ）的定义域是（0，1），满足： （1）对任意的x∈（0，1），f （x ）＞0；（2）对任意的x 1，x 2∈（0，1），都有 f (x 1)f (x 2)+f (1−x 1)f (1−x 2)≤2 ；)=2．（3）f(12的最小值为 ___ ．则函数g(x)=xf(x)+1x13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个15.（单选题，5分）已知a⃗，b⃗⃗，c⃗和d⃗为空间中的4个单位向量，且a⃗+b⃗⃗+c⃗ = 0⃗⃗，则| a⃗−d⃗ |+| b⃗⃗−d⃗ |+| c⃗−d⃗ |不可能等于（）A.3B.2 √3C.4D.3 √216.（单选题，5分）函数f（x）的定义域为D，若f（x）存在反函数，且f（x）的反函数就是它本身，则称f（x）为自反函数．有下列四个命题：是自反函数；① 函数f(x)=−xx+1② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD ； （2）求PC 与平面ABCD 所成角．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2-mx+4，m∈R ． （1）当m=4时，解不等式g （x ）＞|f （x ）-2|．（2）若对任意的x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，2]，使得g （x 1）=f （x 2），求实数m 的取值范围．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B 处被台风折断且形成120°角，树尖C 着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A ，B ，C 三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）； （2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在第一象限，PN⊥x轴于点N，直线QN交椭圆于点M（不同于Q点），试求∠MPQ的值；是否为定值？若（3）已知点R在椭圆上，直线PR与圆x2+y2=2相切，连接QR，问：|PR||QR|为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．(n∈N∗)．21.（问答题，18分）已知数列{a n}满足a1=0，|a n+1-a n|=n，且a n≤ n−12（1）求a4的所有可能取值；（2）若数列{a2n}单调递增，求数列{a2n}的通项公式；（3）对于给定的正整数k，求S k=a1+a2+⋯+a k的最大值．2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x−3x−1≤0}，则集合A∪B=___ ．【正确答案】：[1]{x|0＜x≤3}【解析】：先解分式不等式求出B，再利用并集运算求解．【解答】：解：∵ B={x|x−3x−1≤0} ={x|1＜x≤3}，A={x|0＜x＜2}，∴A∪B={x|0＜x≤3}，故答案为：{x|0＜x≤3}．【点评】：此题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，属于基础题．2.（填空题，4分）在(x2+1x)6的二项展开式中，x2项的系数等于 ___ ．【正确答案】：[1] 1516【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式的x2项的系数．【解答】：解：二项式(x2+1x)6展开式的通项公式为T r+1= C6r(x2)6−r(1x)r= C6r(12)6−rx6-2r，令6-2r=2，解得r=2，故(x2+1x)6二项展开式中，含x2项的系数等于C62(12)4= 1516，故答案为：1516．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．3.（填空题，4分）已知向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，其中0＜θ＜2π，若a⃗⊥ b⃗⃗，则θ=___ ．【正确答案】：[1] 3π4或7π4【解析】：根据题意，由数量积的计算公式可得a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，结合θ的取值范围，即可确定θ的值．【解答】：解：根据题意，向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，若a⃗⊥ b⃗⃗，则有a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，又0＜θ＜2π，所以θ= 3π4或7π4；故答案为：3π4或7π4．【点评】：本题考查向量垂直的判断方法，涉及向量数量积的计算公式，属于基础题．4.（填空题，4分）若z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，则实数a=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：求出z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，由z1•z2∈R，能求出实数a．【解答】：解：z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，∴a+2=0，解得实数a=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a，b，则a，b所成角的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]60°【解析】：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，求出r与l的关系，确定两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，即可得到答案．【解答】：解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，因为一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则2πr=πl，解得l=2r，当两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，最大值为60°．故答案为：60°．【点评】：本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ． 【正确答案】：[1] 32【解析】：先求出等比数列{a n }的公比，然后利用无穷等比数列的和可计算出结果．【解答】：解：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 2020+2S 2021=3S 2022， 所以S 2022-S 2020=2（S 2021-S 2022）， 即a 2021+a 2022=-2a 2022， 所以3a 2022=-a 2021， 所以q=- 13 ，所以无穷等比数列{a n }的各项和为S n = a 1(1−q n )1−q = 2×[1−(−13)n]1+13 = 32[1−(−13)n] ，当n→+∞时，S n → 32 ，故无穷等比数列{a n }的各项和为 32 ， 故答案为： 32．【点评】：本题考查了等比数列求和公式，极限思想，属于中档题．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] π3【解析】：根据题意，设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所以f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，求出，|α-β|的最小值．【解答】：解：若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，f （x 1）+f （x 2）=0，得-f （x 1）=f （x 2），设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所有f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，对于任意的x∈[ −π4，π4 ]，2x+ π3 ∈[−π6，5π6] ，-f （x ）∈[-1， 12]=A ， 因为-f （x ）单调递减，根据题意，要使|α-β|=β-α最小，只需A=B 即可， 所以-1 ≤sin (2x +π3)≤12 ，得2x+ π3 ∈ [−π2+kπ，π6+kπ]，(k ∈z ) ， 故，|α-β|的最小值为 12 （ [π6−(−π2)] = π3 ． 故答案为： π3．【点评】：考查三角函数图象和性质，三角函数恒成立和能成立问题，综合性高，难度较大． 8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ． 【正确答案】：[1] 49【解析】：小明购买了4个盲盒，基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，由此能求出他能集齐3个不同动漫角色的概率．【解答】：解：某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个． 小明购买了4个盲盒， 基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，∴他能集齐3个不同动漫角色的概率P= m n = 3681 = 49． 故答案为： 49．【点评】：本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据中位线定理及椭圆的定义，表示出|OQ|，利用极化恒等式即可求得 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【解答】：解：连接PF 2，由题意可知|PF 2|=2|ON|，|NQ|= 12 |PF 1|， 所以|OQ|=|ON|+|NQ|= 12（|PF 2|+|PF 1|）= 12×4=2，由极化恒等式可知 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|QO|²- 14|F 1F 2|²=4-1=3， 所以 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3， （极化恒等式： a ⃗ •b ⃗⃗ = (a⃗⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗⃗−b ⃗⃗)24）．故答案为：3．【点评】：本题考查椭圆的定义与性质，中位线定理及向量的数量积运算，考查向量的极化恒等式的应用，针对于极化恒等式，需要学生会推导及会使用，在做题中能起到事半功倍的效果，属于中档题．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ． 【正确答案】：[1]（-∞，0）【解析】：先判断出函数f （x ）为偶函数，结合题意得到f （0）=0，得到a 的值，从而求出f （x ），再判断函数f （x ）的单调性，确定f （x ）的取值范围，即可得到k 的范围．【解答】：解：函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 的定义域为R ， 又f （-x ）=x 2-a|x|+1x 2+1+a=f （x ）， 所以f （x ）为偶函数， 又函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1+a 有且只有一个零点，所以f （0）=0， 解得a=-1，故f （x ）=x 2+|x|+ 1x 2+1 -1， 所以f （x ）=x 2+1+ 1x 2+1 +|x|-2，因为y=x 2+1+ 1x 2+1 在[0，+∞）上为单调递增函数，且y=|x|-2在[0，+∞）上为单调递增函数，所以函数f （x ）在[0，+∞）上为单调递增函数， 又f （x ）为偶函数，所以f（x）≥f（0）=0，因为方程f（x）=k无解，所以k＜0，故实数k的取值范围为（-∞，0）．故答案为：（-∞，0）．【点评】：本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的综合应用，考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，函数零点定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=1，若数列{b n}满足b n=max{a k+1-a k|1≤k≤n}（n∈N*），且a n+b n=2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=___ ．【正确答案】：[1]2n-1【解析】：根据已知条件分别求a1，a2，a3，…，由归纳即可得{a n}的通项公式．【解答】：解：因为a n+b n=2n（n∈N*），由a1=1，可得b1=a2-a1=21-1=1，所以a2=a1+1=1+1=2，因为a2+b2=22=4，可得b2=2=a3-a2，所以a3=4，因为b3=23-a3=8-4=4=a4-a3，可得a4=8，…，所以a n=b n=2n-1，故答案为：2n-1．【点评】：本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.（填空题，5分）设函数f（x）的定义域是（0，1），满足：（1）对任意的x∈（0，1），f（x）＞0；（2）对任意的x1，x2∈（0，1），都有f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2；（3）f(12)=2．则函数g(x)=xf(x)+1x的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：由条件（1）（2）进行推导可得f（x）关于直线x= 12对称，借由对称轴推出f（x）为常数函数，代入g（x）基本不等式求最值运算．【解答】：解：由题意，令x1=1-x2，则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≤2，由（1）对任意x∈（0，1），f（x）＞0，则f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≥2√f(1−x2)f(x2)⋅f(x2)f(1−x2)=2，所以f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)=2，当且仅当f(1−x2)f(x2)=f(x2)f(1−x2)，即f（x2）=f（1-x2）时等号成立，所以f（x）关于直线x= 12对称，所以f（x1）=f（1-x1），f（x2）=f（1-x2），则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(x1)f(x2)+f(x1)f(x2)≤2，所以f(x1)f(x2)≤1，因为对任意x∈（0，1），f（x）＞0，所以f（x1）≤f（x2），所以f（x1）=f（x2）恒成立，故f（x）为常数函数，因为f（12）=2，所以f（x）=2，所以g（x）=xf（x）+ 1x =2x+ 1x，因为x∈（0，1），所以2x+ 1x ≥2√2x•1x=2 √2（当且仅当x= √22时等号成立），所以g（x）的最小值为2 √2．故答案为：2 √2．【点评】：本题考查了抽象函数的性质，基本不等式求最值，属于难题．13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：由等比数列的通项公式和数列的单调性的定义，结合充分必要条件的定义可得结论．【解答】：解：由a1＞a3，S2＞S4，可得a1＞a1q2，a1+a1q＞a1+a1q+a1q2+a1q3，即为a1（1-q2）＞0，a1（1+q）＜0，若a1＞0，则-1＜q＜1，且q≠0，又q＜-1，可得q∈∅；若a1＜0，则q＞1或q＜-1，又q＞-1，可得q＞1，综上可得，数列{a n}单调递减；但“数列{a n}单调递减“推不到“a1＞a3，S2＞S4”，所以“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题考查等比数列的通项公式的运用，以及数列的单调性的判断和充分必要条件的定义，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个【正确答案】：C【解析】：A，同垂直于一直线的两条直线的位置关系不定；B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形；C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；D，过球面上任意两点的大圆有无数个；【解答】：解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D ，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错； 故选：C ．【点评】：本题考查了命题真假的判定，属于基础题．15.（单选题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 和 d ⃗ 为空间中的4个单位向量，且 a ⃗ +b ⃗⃗ +c ⃗ = 0⃗⃗ ，则| a ⃗ −d ⃗ |+| b ⃗⃗ −d ⃗ |+| c ⃗ −d ⃗ |不可能等于（ ） A.3 B.2 √3 C.4 D.3 √2【正确答案】：A【解析】：首先由三个向量和为0向量得到三向量共面且两两成120度，再分情况考虑 d ⃗ ，不难得解．【解答】：解：设向量 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗，d ⃗ 分别对应向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由 a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗ 可知三个向量两两夹角为120°， 如图，当D 与A 重合时，所求值为2 √3 ； 当D 与M 重合时，所求值为4； 当OD⊥平面ABC 时，所求值为3 √2 ． 故选：A ．【点评】：此题考查了向量的几何意义，分类讨论，数形结合等，难度适中．16.（单选题，5分）函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）存在反函数，且f （x ）的反函数就是它本身，则称f （x ）为自反函数．有下列四个命题： ① 函数 f (x )=−xx+1 是自反函数；② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④【正确答案】：D【解析】：由反函数跟自反函数定义逐一进行判断．，【解答】：解：① ，因为f（x）=- xx+1定义域为{x|x≠-1}，，设y=- xx+1所以y（x+1）=-x，，解得x=- yy+1（x≠-1），所以f（x）的反函数为y=- xx+1即f（x）反函数为它本身，满足自反函数定义，故① 正确，排除C；对于③ ，要使f（x）= √1−x2有意义，则1-x2≥0，即-1≤x≤1，因为f（x）为[a，b]上的自反函数，所以[a，b]⊆[-1，0]或[a，b]⊆[0，1]，所以则b-a的最大值为1，③ 正确，排除B；对于④ ，因为互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，而f（x）为定义在R上的自反函数，故f（x）图象关于y=x对称且与y=x有交点，所以方程f（x）=x有解，故④ 正确；故选：D．【点评】：本题考查了反函数的求法，属于基础题．17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）求PC与平面ABCD所成角．【正确答案】：【解析】：（1）证明CD⊥DP．AB⊥DP，然后证明AB⊥平面PAD．（2）作AD的中点E，连结PE，CE，说明PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．通过四棱锥P-ABCD的体积，求解得CD=4．在Rt△PEC中，求解PC与平面ABCD所成角．【解答】：（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥AP，CD⊥DP．又AB || CD，∴AB⊥DP．∵AP∩DP=P，AP，DP⊂面PAD，∴AB⊥平面PAD．（2）解：作AD的中点E，连结PE，CE，∵PA=PD，PA⊥PD，∴PE⊥AD，AD=2√2，PE=12AD=√2．由（1）AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，又AB∩AD=A，AB，AD⊂面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，即PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．四棱锥P-ABCD的体积为4=13S梯形ABCD•PE=13•AB+CD2•AD•PE=13•2+CD2•2√2•√2，得CD=4．在Rt△PDC中，PC=√PD2+DC2=√22+42=2√5．在Rt△PEC中，sin∠PCE=PEPC =√22√5=√1010，∠PCE=arcsin√1010．所以PC与平面ABCD所成角为arcsin√1010．【点评】：本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用．考查空间想象能力以及计算能力．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x，g（x）=x2-mx+4，m∈R．（1）当m=4时，解不等式g（x）＞|f（x）-2|．（2）若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2），求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为|x-2|＞1，解之即可；（2）可求得当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]，依题意，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x ) max≤m≤ (x+3x )min，利用对勾函数的性质分别求得(x+2x)max与(x+3x)min，即可求得实数m的取值范围．【解答】：解：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为：|x-2|2＞|x-2|，即|x-2|＞1，解得x＞3或x＜1，故不等式g（x）＞|f（x）-2|的解集为{x|x＞3或x＜1}．（2）∵f（x）=x，∴当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]；又g（x）=x2-mx+4，x∈[1，2]，对于任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2）成立，∴g（x）的值域是f（x）的值域的子集，即当x∈[1，2]时，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x )max≤m≤ (x+3x)min，又当x∈[1，2]时，由对勾函数的性质可得y=x+ 2x ∈[2 √2，3]，y=x+ 3x∈[2 √3，4]，∴3≤m≤2 √3，即m的取值范围为[3，2 √3 ]．【点评】：本题考查函数恒成立问题与绝对值不等式的解法，考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）；（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意结合正弦定理可得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，代入计算即可；（2）设△4BC的内接矩形DEFG的边DE在AC上且DE=2，设DG=EF=h，由∠CAB=θ，构建函数h= 8sinθsin(60°−θ)sin60°，再结合θ范围求得h范围，然后与救援车高比较即可得到答案．【解答】：解：（1）在△ABC中，∠CBA=120°，∠CAB=45°，所以∠BCA-15°，由正弦定理，得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，所以AB+BC= 10sin120°（sin15°+sin45°）= 15√2+5√63≈11.2，答：折断前树的高度11.2米；（2）如图，设△4BC 的内接矩形DEFG 的边DE 在AC 上且DE=2，设DG=EF=h ， 因为∠CAB=θ，∠CBA=120°，所以∠BCA=60°-θ， 所以AD+CE+DE= ℎtanθ + ℎtan (60°−θ) +2=10， 所以h[ cosθsinθ + cos (60°−θ)sin (60°−θ)]=8， h=8sinθsin (60°−θ)sin60° = √3√34 sin2θ- 1−cos2θ4 ）= 8√33sin (2θ+π6)−4√33， 因为θ∈（0， π3 ），所以 2θ+π6∈(π6，5π6) ， 所以sin （2θ+ π6 ）∈（ 12 ，1]，所以h∈（0， 4√33]， 由于4√33＜2.5， 所以高2.5米的救援车不能从此处通过．【点评】：本题考查了解三角形的应用，正弦定理，三角函数值域的求法，属于中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在第一象限，PN⊥x 轴于点N ，直线QN 交椭圆于点M （不同于Q 点），试求∠MPQ 的值；（3）已知点R 在椭圆上，直线PR 与圆x 2+y 2=2相切，连接QR ，问： |PR||QR| 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【正确答案】：【解析】：第一问要弄清楚A 点就是椭圆的右顶点，第二问要设而不解，计算较繁琐，通过计算找出两直线PM 和PQ 是垂直关系，第三问要分直线PR 的斜率是否存在两种情况进行讨论．【解答】：解：（1）．∵点 A(√6，0) 在椭圆上． ∴a= √6 ．又∵ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−c −√6，0) ， AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(c −√6，0) ．∴ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6-c 2=3．∴c 2=3，b 2=3． ∴椭圆C的标准方程：x 26+y 23=1 ．（2）．设P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0），M （x 1，y 1）则Q （-x 0，-y 0），N （x 0，0）． 因为M 、N 、Q 三点共线，所以 y 1x1−x 0=y02x 0，所以 y 1=y 0(x 1−x 0)2x 0① ． 联立 {x 026+y 023=1x 126+y 123=1，两式相减得 y 1−y 0x 1−x 0=−x 1+x2(y 1+y 0)． ② 将 ① 代入 ② 中的右边的分母中，化简可得： y 1−y 0x 1−x 0=−x 0y 0，所以K PM = −x0y 0，又因为K PQ = y 0x 0， 所以K PM •K PQ =-1，所以PM⊥PQ ， 所以∠MPQ= π2 ．（3）． ① 当直线PR 的斜率不存在时，依题意可得直线PR 的方程为x= √2 或x=- √2 ． 若直线PR ：x= √2 ，则直线PQ ：y=x ，可得P （ √2 ， −√2 ），Q （- √2 ，- √2 ），R （ √2 ，- √2 ）．则|PR|= 2√2 ，|QR|= 2√2 ，所以 |PR||RQ|=1 ． 其他情况由对称性同理可得 |PR||RQ|=1 ．② 当直线PR 的斜率存在时，设直线PR 的方程为y=kx+m ， 因为直线与圆O 相切，所以圆心O 到直线PR √k 2+1=√2 ，即|m|= √2(1+k 2) ．设P （x 1，y 1），R （x 2，y 2），则Q （-x 1，-y 1）．联立 {y =kx +m x 26+y 23=1 ，消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2-6=0，Δ＞0．则x 1+x 2= −4km 1+2k 2 ，x 1x 2= 2m 2−61+2k 2．所以|PR|= √1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =2√2√1+k 2•√6k 2−m 2+31+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2． 因为|QR|= √(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2 ．又因为y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m= k (−4km1+2k 2)+2m =2m1+2k 2 ． 所以|QR|= √(−4km 1+2k 2)2+(2m1+2k 2)2= 2|m|√1+4k 21+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2=|PR | ．即 |PR||QR|=1 ． 综上所述， |PR||QR|=1 ．【点评】：本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，18分）已知数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12(n ∈N ∗) ．（1）求a 4的所有可能取值；（2）若数列{a 2n }单调递增，求数列{a 2n }的通项公式； （3）对于给定的正整数k ，求S k =a 1+a 2+⋯+a k 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据数列的递推公式，即可求出a 4的所有可能取值；（2）根据数列{a 2n }单调递增，且a 2=-1，a 4=0，判断数列{a n }中相邻两项不可能同时为非负数，结合题意判断数列{a 2n }是等差数列，从而求出数列{a 2n }的通项公式；（3）根据（2）知a n ，a n+1不能都为非负数，讨论n 为奇数和n 为偶数时，a n+1+a n 的取值情况，从而求出k 为奇数时和k 为偶数时，S k 的最大值．【解答】：解：（1）数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12（n∈N *）， 所以|a 2-0|=1，a 2=1（不合题意，舍去），或a 2=-1； 当a 2=-1时，|a 3+1|=2，解得a 3=1，或a 3=-3；当a 3=1时，|a 4-1|=3，解得a 4=4（不合题意，舍去），或a 4=-2， 当a 3=-3时，|a 4+3|=3，解得a 4=0，或a=-6， 所以a 4的所有可能取值是-2，0，-6；（2）因为数列{a2n}单调递增，且a2=-1，a4=0，所以a2n≥0对n≥2成立；下面证明数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数；假设数列{a n}中存在a i，a i+1同时为非负数，因为|a i+1-a i|=i，若a i+1-a i=i，则a i+1=a i+i≥i＞(i+1)−12，与已知条件矛盾；若a i+1-a i=-i，则a i+1=a i+i≥i＞i−12，与已知条件矛盾；所以假设错误，即数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数，即a2n≥0对n≥2成立；所以当n≥2时，a2n-1≤0，a2n+1≤0，即a2n-1≤a2n，a2n+1≤a2n，所以a2n-a2n-1=2n-1，a2n-1-a2n-2=-（2n-2），（a2n-a2n-1）+（a2n-1-a2n-2）=（2n-1）-（2n-2）=1，即a2n-a2n-2=1，其中n≥2，即数列{a2n}是首项为-1，公差为1的等差数列，所以数列{a2n}的通项公式为a2n=-1+（n-1）×1=n-2；（3）对于给定的正整数k，S k=a1+a2+⋯+a k，由（2）的证明知，a n，a n+1不能都为非负数，当a n≥0时，a n+1＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当a n+1≥0时，a n＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n=a n+1-n，所以a n+a n+1=2a n+1-n≤2× n+1−12-n≤0，所以总有a n+a n+1≤0成立，当n为奇数时，|a n+1-a n|=n，所以a n+1，a n的奇偶性不同，则a n+a n+1≤-1，当n为偶数时，a n+1+a n≤0，所以k为奇数时，S k=a1+（a2+a3）+...+（a k-1+a k）≤0，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=0，所以S k的最大值为0．得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当k为偶数时，S k=（a1+a2）+...+（a k-1+a k）≤- k2，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，- k2，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=- k2，所以S k的最大值为- k2．综上知，k为奇数时，S k的最大值为0，k为偶数时，S k的最大值为- k2．【点评】：本题考查了递推数列的应用问题，也考查了推理与运算能力，以及分类讨论思想，是难题．。
【数学】2017-2018年上海市复兴高中高一上期中数学
2017学年复兴高中高一上期中2017.11一.填空题1.如图，U 是全集，A 、B 是U 的子集，用交、并、补关系将右图中的阴影部分表示出来2.已知集合2{9,2,1}A x x =-+，集合2{1,2}B x =，若{2}A B = ，则x =3.函数()f x =M ，则R C M =4.已知2{(,)|1}A x y y x ==+，{(,)|}B x y x a ==，则A B 的元素个数是5.已知,x y ∈R ，命题“若5x y +≥，则3x ≥或2y ≥”是命题（填“真”或“假”）6.若{}222A y y x x ==-+，且a A ∈，则11+a 的取值范围是7.设:40,.:x m m αβ+<∈R 022>--x x .若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是8.已知不等式04)2()2(2≥--+-x a x a 解集是∅，则实数a 的取值范围是9.已知正数x 、y 满足xy y x =+，则y x +的最小值是10.定义实数运算,213,213x x y x y y x y -≥⎧*=⎨-<⎩，若|1||1|m m m -*=-，则实数m 的取值范围是11.对于x ∈R ，不等式2212x x a a -++≥-恒成立，则实数a 的取值范围是12.设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下四个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m -≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =；其中正确命题的序号为二.选择题13.下列各组函数中表示同一函数的是（）A.1y =与0y x = B.y x =与2y =C.2y x =与2x y x= D.y x =与t =14.若011<<ba ，有下面四个不等式：①||||b a >；②b a <；③ab b a <+，④33b a >，不正确的不等式的个数是（）个A.0B.1C.2D.315.对任意实数,,a b c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“ab >”是“22a b >”的充分条件；④“4a <”是“3a <”的必要条件.其中真命题的个数是（）个A.1 B.2C.3D.416.已知()21f n n =+*()n ∈N ，集合{1,2,3,4,5}A =，{3,4,5,6,7}B =，记()f A ={|()}n f n A ∈，(){|()}f B m f m B =∈，则()()f A f B = （）A.{1,2} B.{1,2,3} C.{3,5} D.{3,5,7}三.解答题17.集合{||1|4}A x x =+<，1{|0}2x B x x a-=<-.（1）求A 、B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围；18.某农户计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m 宽的通道，沿前侧保留3m 宽的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最小？并求出最小值.19.已知()2f x kx =+，不等式|()|3f x <的解集为(1,5)-，不等式1()x f x ≥的解集为A .（1）求实数k 的值；（2）设集合2{|20}B x x ax =-+<，若A B ⊆，求实数a 的取值范围.20.已知函数2()32f x x ax b =--，其中,a b ∈R .（1）若不等式()0f x ≤的解集是[0,6]，求b a 的值；（2）若3b a =，对任意x ∈R ，都有()0f x ≥，且存在实数x ，使得2()23f x a ≤-，求实数a 的取值范围；（3）若方程有一个根是1，且,0a b >，求11212a b +++的最小值，求此时,a b 的值.21.已知数集{}1212,,,(0,2)n n A a a a a a a n =⋅⋅⋅≤<<⋅⋅⋅<≥具有性质P ：对任意的i 、j (1)i j n ≤≤≤，i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .（1）分别判断数集{}0,1,3,4与{}0,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：10a =，且122()n n na a a a =++⋅⋅⋅+；（3）当5n =时，若22a =，求集合A .参考答案一.填空题1.U B A ð2.1-3.1(0,)24.15.真6.1(0,27.[4,)+∞8.(14,2]-9.410.11( ]{}52-∞ ，11.[1,3]-12.①②③④二.选择题13.D 14.C 15.B 16.A三.解答题17.解（1）(5,3)A =-………2分当12a =时，B φ=；当12a >时，1,2B a =（），当12a <时，21B a =（，）…3分（2）A B B = ，即B A ⊆………2分当12a =时，B φ=符合………2分当12a >时，1,2B a =（），则1323(,]22a a ≤∈得………2分当12a <时，21B a =（，），则5125[,)22a a ≥-∈-得………2分综上53[,22a ∈-………1分18.解：设温室的长和宽分别为x 米，y 米，占地总面积为s则800xy =，(4)(2)80824808968s x y x y =++=++≥+当且仅当40,20x y ==时取等号19.解（1）|()|3f x <即23,kx +<即-5<kx<1………2分当0k =时，解集为R 不符………2分当0k >时，解为51x k k -<<，令5115k k -⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解………2分当0k <时，解为15x k k <<-，令551-1k k-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1k =-………2分（2）[1,2)A =，令2()2g x x ax =-+，则由A B ⊆得(1)0(2)0g g <⎧⎨≤⎩，得3a >…8分20.解：（1）依题意，206 0633a b +=⨯=-，，解得9 0a b ==，，∴091b a ==…………4分（2）若3b a =，则2()323f x x ax a=--依题意，22436036422123a a a a a ⎧+≤⎪--⎨≤-⎪⎩①②，由①得，90a -≤≤，由②得，1a ≥-或6a ≤-，所以96a -≤≤-或10a -≤≤为所求.…………10分（3）∵方程有一个根是1，且 0a b >、，∴320a b --=，即23a b +=，∵23(21)(2)6a b a b +=⇒+++=设212 06u a v b u v u v =+=+⇒>+=，，，，111112(2)21263v u a b u v u v +=+=++≥++，当且仅当3u v ==，即1a b ==时取等号.…………16分21.解：（1）由于01,02,03,04,13,41,43+++++--都属于数集{}0,1,3,4，∴该数集具有性质P .由于23+与32-均不属于数集{}0,2,3,6，∴该数集不具有性质P.…………6分（2）∵{}12,,n A a a a = 具有性质P ，∴n n a a +与n n a a -中至少有一个属于A ，由于12...0n a a a ≤<<<，∴n n n a a a +>，故2n a A ∉..从而0n n a a A =-∈，∴10a =.∵12...0n a a a ≤<<<，∴k n n a a a +>，故,2,3,...,k n a a A k n+∉=由A 具有性质P 可知,1,2,3,...,n k a a A k n -∈=.又∵121...n n n n n n a a a a a a a a --<-<<-<-，∴112211,0,,...n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ---==-=-=-=，从而()()()11121......n n n n n n na a a a a a a a a a ---+-++-=++++()1212...n n n na a a a a -∴=++++…………12分(3)由（2）知，当5n =时，有542533,a a a a a a -=-=，即52432a a a a =+=∵125...0a a a =<<<，∴3424352a a a a a a +>+==∴34a a A +∉由A 具有性质P 可知43a a A -∈.2432a a a +=，得3243a a a a A -=-∈，且3220a a a <-=，∴43322a a a a a -=-={}544332212,0,2,4,6,8a a a a a a a a a A ∴-=-=-=-=∴=…………18分。
上海市复兴高级中学2022-2023学年高一上数学期末学业水平测试试题含解析
依题意，若存在 ，使 ，则 时有 ，即 ， ， ．由于 ，所以 ．又因为区间 内有且仅有一个 ，使 成立，所以 具有性质 5分
（Ⅱ）依题意，若函数 具有性质 ，即方程 在 上有且只有一个实根
设 ，即 在 上有且只有一个零点
解法一：
（1）当 时，即 时，可得 在 上为增函数，
【详解】 ， ，
，
，故 ，
故选：C
【点睛】本题考查了平均数与方差，需熟记公式，属于基础题.
5、C
【解析】由直观图，确定原图形中线段长度和边 关系后可求得面积
【详解】由直观图，知 ， ， ，
所以三角形面积为
故选：C
6、B
【解析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】若 ，则 成立，即必要性成立，反之若 ，则 不成立，
18．已知二次函数 .
（1）若函数满足 ，且 .求 的解析式；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的最大值.
19．已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
20．已知A(2,0)，B(0,2)， ，O为坐标原点
（1） ，求sin 2θ的值；
（2）若 ，且θ∈(－π,0)，求 与 的夹角
21．已知向量 ， ，若存在非零实数 ， 使得 ， ，且 ，试求： 的最小值
【详解】解： ， ，
， ，且
， ，且 ，
，即 ，即 ，即 ，将 、 和 代入上式，可得
，整理得 ，因为 ， 为非零实数，所以 且 ，
由此可得，当 时， 的最小值等于
22、（Ⅰ） 具有性质 ;（Ⅱ） 或 或
【解析】（Ⅰ） 具有性质 ．若存在 ，使得 ，解方程求出方程的根，即可证得；（Ⅱ）依题意，若函数 具有性质 ，即方程 在 上有且只有一个实根．设 ，即 在 上有且只有一个零点．讨论 的取值范围，结合零点存在定理，即可得到 的范围
2018-2019学年上海市复兴高级中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市复兴高级中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．若{}n a 是等比数列，下列结论中不正确的是（ ）A.一定是等比数列；B.21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列；C.{}1n n a a ++一定是等比数列；D.{}3n n a a +一定是等比数列【答案】C【解析】判断等比数列,可根据1n na a +为常数来判断. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则对A==,故一定是等比数列；对B ：22+121211=()1n n n na a a q a +=为常数,故21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列； 对C ：当1q =-时,10n n n n a a a a ++=-=,此时{}1n n a a ++为每项均为0的常数列；对D ：2+143n n n n a a q a a ++=为常数,故{}3n n a a +一定是等比数列. 故选：C. 【点睛】本题主要考查等比数列的判定,若数列的后项除以前一项为常数,则该数列为等比数列.本题选项C 容易忽略1q =-时这种情况.2．正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b 满足11a b =，77a b =，17a a ≠，则44ab ，的大小关系为（ ） A.44a b = B.44<a bC.44a b >D.不确定【答案】B【解析】利用17442b b a b +==分析44a b ，的关系即可. 【详解】因为正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b ,故4a =又17442b b b a +=≥=,当且仅当17b b =时“=”成立,又17a a ≠即17b b ≠,故44<a b , 故选：B 【点睛】本题主要考查等差等比数列的性质与基本不等式的“一正二定三相等”. 若{}n a 是等比数列，且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a = 若{}n a 是等差数列，且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+ 3．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A 【解析】【详解】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值.详解：因为π()cos sin )4f x x x x =-=+，所以由π02ππ2π,(k Z)4k x k +≤+≤+∈得π3π2π2π,(k Z)44k x k -+≤≤+∈ 因此π3ππ3ππ[,][,],,044444a a a a a a a -⊂-∴-<-≥-≤∴<≤，从而a 的最大值为π4，选A. 点睛：函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω= (3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴， (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间； 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间. 4．己知函数()2*21,12x x n n f x n N x x x -+-⎛⎫=∈≠ ⎪++⎝⎭的最小值为n a ，最大值为n b ，若()()11n n n c a b =--，则数列{}n c 是（ ）A.公差不为0的等差数列B.公比不为1的等比数列C.常数数列D.以上都不对【答案】C【解析】先根据判别式法求出()f x 的取值范围,进而求得n a 和n b 的关系,再展开算出n c 分析即可. 【详解】设221x x ny x x -+=++,则222(1)(1)(1)0x x y x x n y x y x y n ++=-+⇒-+++-=, 因为12n x -≠,故1y ≠,故二次函数2(1)4(1)()0y y y n ∆=+---≥,整理得 23(46)410y n y n -++-≤,故n a 与n b 为方程23(46)410y n y n -++-=的两根,所以()()46414111()1333n n n n n n n n n c a b a b a b +-=--=-++=-+=-为常数. 故选：C. 【点睛】本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可.二、填空题5．22321lim 2n n n n n →∞+-=-+_________________．【答案】3【解析】分式上下为n 的二次多项式,故上下同除以2n 进行分析. 【详解】由题,2222213321lim lim 1221n n n n n n n n n n →∞→∞+-+-=-+-+,又222112lim ,lim ,lim ,lim 0n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞=, 故2222213321300lim lim =31221001n n n n n n n n n n→∞→∞+-+-+-==-+-+-+. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了分式型多项式的极限问题，注意：当,0,,k j a b k j N+≠∈时,1111011110,() (i)=,()...0,()k k k k kj j n j j jk j a n a n a n a a k j b n b n b n b b k j ---→∞-⎧∞>⎪++++⎪=⎨++++⎪⎪<⎩6．角α的终边经过点()()340P a a a ->，，则sin α=___________________． 【答案】45-【解析】先求出P 到原点的距离r ,再利用正弦函数定义sin yrα=求解. 【详解】因为0a >,所以P到原点距离5r a ==,故44sin 55a a α-==-. 故答案为：45-. 【点睛】设α始边为x 的非负半轴,终边经过任意一点(,),P x y OP r =,则：sin ,cos ,tan y x y r r xααα=== 7．67是等差数列-5，1，7，13，……中第n 项，则n =___________________． 【答案】13【解析】根据数列写出等差数列通项公式n a ,再令67n a =算出n 即可. 【详解】由题意,首项为-5,公差为1(5)6--=,则等差数列通项公式5(1)6611n a n n =-+-⨯=-,令67n a =,则61167,13n n -==故答案为：13. 【点睛】等差数列首项为1a 公差为d ,则通项公式1(1)n a a n d =+- 8．若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为__________________． 【答案】235【解析】由题又1n n n a a +-=,故考虑用累加法求n a 通项公式,再分析na n的最小值. 【详解】112211...(1)(2)...+1+13n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+2(11)(1)1313222n n n n-+-=+=-+ ,故131112222n a n n n =+-≥=,当且仅当13=,2n n n=.又n 为正整数,且56<,故考查当5,6n =时. 当5n =时554+13232==555a ⋅,当6n =时665+13142==663a ⋅,因为231453<, 故当5n =时, n a n取最小值为235.故答案为：235. 【点睛】本题主要考查累加法,求最小值时先用基本不等式,发现不满足“三相等”,故考虑与相等时n 的取值最近的两个正整数.9．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝(－1)n a n －12n，n ∈N ，则a 3＝________． 【答案】－116【解析】当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18，则a 1＋a 2＋2a 3＝－18，当n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，两式相减得a 3＝－116. 10．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1345a a a a =+++…，则q =__________________．【解析】由1345a a a a =+++…可知1q <,算出345a a a +++…用1a 表示的极限,再利用性质计算得出q 即可. 【详解】显然公比不为1,所以公比为q 的等比数列{}n a 求和公式1(1)1-=-n n a q S q , 且1345a a a a =+++…,故01q <<.此时1(1)1-=-n n a q S q 当n →∞时,求和极限为11a q -,所以3345...1a a a a q +++=-,故2311345...=11a a q a a a a q q=+++=--,所以2211101a q a q q q =⇒+-=-,故12q -±=,又01q <<,故12q =.. 【点睛】本题主要考查等比数列求和公式1(1)1-=-n n a q S q,当01q <<时1lim 1n n a S q →∞=-.11．在ABC △，若cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =__________________．【答案】【解析】由cos 25C =,故用二倍角公式算出cos C ,再用余弦定理算得即可. 【详解】23cos 2cos 125C C =-=-,又1BC =，5AC =,又2222cos AB BC AC BC AC C =+-⋅⋅,代入得222315215()325AB =+-⋅⋅⋅-=,所以AB =故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式与余弦定理,属于基础题型.12．如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= . 【答案】－2【解析】试题分析：∵()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++，∴()0sin 2cos f ϕϕ=0=+，∴sin 2cos ϕϕ=-，∴tan ϕ=-2 【考点】本题考查了三角函数的性质点评：对于定义域为R 的奇函数恒有f(0)=0.利用此结论可解决此类问题13．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照这样的排列规律，第n 行()3n ≥从右至左的第3个数为___________．【答案】(1)22n n +- 【解析】由题可以先算出第n 行的最后一个数,再从右至左算出第3个数即可. 【详解】由图得, 第n 行有n 个数,故前n 行一共有(1)12...2n n n ++++=个数,即第n 行最后一个数为(1)2n n +,故第n 行()3n ≥从右至左的第3个数为(1)22n n +-. 【点睛】本题主要考查等差数列求和问题,注意从右至左的第3个数为最后一个数减2.14．对于数列{}n a ，若存在(),1i j i j ≤<，使得i j a a =，则删去j a ，依此操作，直到所得到的数列没有相同项，将最后得到的数列称为原数列的“基数列”.若2cos 19n n a π=，则数列{}n a 的“基数列”的项数为__________________． 【答案】10【解析】由题意可得,只需计算2cos 19n n a π=所有可能取值的个数即可. 【详解】 因为求2cos19n n a π=的可能取值个数,由周期性,故只需考虑20219n ππ<≤的情况即可. 此时019n <≤.一共19个取值,故只需分析12318192463638cos,cos ,cos ...cos ,cos 1919191919a a a a a πππππ=====, 又由cos(2)cos πθθ-=,故181362coscos 1919a a ππ===,172344cos cos ...1919a a ππ=== 1092018cos cos 1919a a ππ===,即不同的取值个数一共为19910-=个.即“基数列”分别为129,...a a a 和19a 共10项. 故答案为：10 【点睛】本题主要考查余弦函数的周期性.注意到2cos 19n n a π=随着n 的增大n a 的值周期变化,故只需考虑一个周期内的情况.15．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______【答案】34，- 【解析】根据题意，化简得22111n n n a a a ++-=-，利用式相加，得到2213113112S a a a --=-，进而得到211120a a --=，即可求解结果.【详解】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-， 所以2222222213321313121,1,,1a a a a a a a a a -=--=--=-， 将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-，又21313S a =，所以211120a a --=，解得13a =-或14a =.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 16．已知无穷等比数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈，sin 1n a =，则数列{}n a 公比q 的取值集合为__________． 【答案】{}41,q q k k Z =+∈【解析】根据条件先得到：n a 的表示，然后再根据{}n a 是等比数列讨论公比q 的情况. 【详解】因为sin 1n a =，所以2,2n a k k Z ππ=+∈，即(41),2n k a k Z π+=∈；取{}n a 连续的有限项构成数列{}n b ，不妨令1(41),2k b k Z π+=∈，则2(41),2q k b k Z π+=∈，且2{}n b a ∈，则此时q 必为整数；当4,q k k Z =∈时，224(4)2(41){}2n k k b k k a π+=+=∉，不符合；当41,q k k Z =+∈时，222(41)4(42)1{}22n k k k b a π+++==∈，符合，此时公比41,q k k Z =+∈ ；当42,q k k Z =+∈时， 224(43)2(21)(41){}2n k k b k k a π++=++=∉，不符合；当43,q k k Z =+∈时，22(43)(41)4(44)3{}22n k k k k b a π++++==∉，不符合；故：公比41,q k k Z =+∈. 【点睛】本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析.三、解答题17．已知()()2cos sin cos f x x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期及值域； （2）求方程()0f x =的解.【答案】(1) 最小正周期为π,值域为1⎡⎤⎣⎦；(2) 2x k ππ=+,或34x k ππ=+,()k ∈Z 【解析】先用降幂公式,再用辅助角公式将()f x 化简成()sin()f x A ωx φB =++的形式,再求最小正周期,值域与()0f x =的解. 【详解】(1)()()22cos sin cos 2sin cos 2cos sin 2cos21f x x x x x x x x x =+=+=++)14x π=++故最小正周期为22T ππ==,又1sin(2)14x π-≤+≤,故1)114x π≤++≤,所以()f x 值域为1⎡⎤⎣⎦.故最小正周期为π,值域为1⎡⎤⎣⎦.(2)由(1)())14f x x π=++,故()0f x =)10,4x π++=化简得sin(2)42x π+=-,所以52244x k πππ+=+或72244x k πππ+=+,()k ∈Z . 即2x k ππ=+,或34x k ππ=+,()k ∈Z . 故方程()0f x =的解为：2x k ππ=+,或34x k ππ=+,()k ∈Z 【点睛】本题主要考查三角函数公式,一般方法是先将三角函数化简为()sin()f x A ωx φB =++的形式,再根据题意求解相关内容.18．在数列{}n a 中，113a =，()()*1221nn a a a n a n N n++=-∈…. （1）分别计算2a ，3a ，4a 的值；（2）由（1）猜想出数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 【答案】(1) 2115a =3135a =,4163a =； (2) 1=(21)(21)n a n n -+,证明见解析【解析】(1)分别令2,3,4n =即可运算得出2a ，3a ，4a 的值； (2)由(1)可猜想出1=(21)(21)n a n n -+,当1n =时成立,再假设当n k =时,1=(21)(21)k a k k -+成立,再利用()()*1221nn a a a n a n N n++=-∈…推导出 11(21)(23)k a k k +=++即可.【详解】(1)令2n =有122211132515a a a a a +=⇒==； 令3n =有1233312115()31435a a a a a a a ++=⇒=+=； 令4n =有123444123117()42763a a a a a a a a a +++=⇒=++= 所以2115a =，3135a =，4163a =(2)由(1)可得111313a ==⨯,2135a =⨯,3157a =⨯,4179a =⨯,故可猜想1=(21)(21)n a n n -+.证明：当1n =时, 111=(21)(21)3a =-+成立；假设当n k =时, 1=(21)(21)k a k k -+成立,且()1221kk a a a k a k++=-…即()1221k k a a a k k a ++=-…当1n k =+时, ()1211(1)21k k k a a a a k k a +++++=++…,即()()1121(1)21k k k k k a a k k a ++-+=++,化简得()2121(23)k k k k a k k a +-=+,()12212111(23)23(21)(21)(21)(23)k kk k k a a k k k k k k k +--==⋅=++-+++, 即11(21)(23)k a k k +=++也满足1=(21)(21)na n n -+,当1n k =+时成立, 故对于任意的n N +∈,有1=(21)(21)n a n n -+,证毕.所以1=(21)(21)n a n n -+.【点睛】本题主要考查了数学归纳法的运用，其中步骤为：(1)证明当n 取第一个值0n 时命题成立.0n 对于一般数列取值为0或1；(2)假设当n k =(0k n ≥)且k 为自然数）时命题成立,证明当1n k =+时命题也成立. 综合(1)(2),对一切自然数n ,命题()P n 都成立.19．已知数列{}n a 满足：11a =，()*133n n n a a n N +-=∈，数列{}n b 满足13nn n a b -=. （1）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求12111nS S S ++⋯+的值； （2）求()12222212341n nb b b b b --+-++-…的值. 【答案】(1)21n n +；(2)1(1)(1)2n n n -+-. 【解析】(1)构造数列等差数列13n n n ab -=求得n b 的通项公式,再进行求和n S ,再利用裂项相消求得12111nS S S ++⋯+； (2)由题出现 ()121n nb --,故考虑用分n 为偶数和奇数两种情况进行计算. 【详解】(1)由133nn n a a +-=得1113113333n n n nn n n n a a a a ++--=⇒-=,即+11n n b b -=,所以n b 是以11013a b ==为首项,1为公差的等差数列,故1(1)n b n n =+-=,故1()(1)22n n n b b n S n ++==. 所以12112()(1)1n S n n n n ==-++,故12111nS S S ++⋯+= 11111122(1)2()...2()2(1)223111nn n n n -+-++-=-=+++. (2)当n 为偶数时,()1222222222221234123411()()()n n n n b b b b b b b b b b b ---+-++-=-+-++-= (222222)(321)(1)2(12)(34)(1)37...(21)22nn n n n n n --++⎡⎤-+-++--=-----==-⎣⎦…，当n 为奇数时,1n -为偶数,()122222222222212341234211()()()n n n n n b b b b b b b b b b b b ----+-++-=-+-++-+=…… 2(1)(11)(1)22n n n n n --++-+=综上所述,当n 为偶数时,()1222221234(1)12n n n n b b b b b -+-+-++-=-…, 当n 为奇数时,()1222221234(1)12n n n n b b b b b -+-+-++-=… 即()12222211234(1)1(1)2n n n n n b b b b b --+-+-++-=-…. 【点睛】本题主要考查了等差数列定义的应用，考查构造法求数列的通项公式与裂项求和及奇偶并项求和的方法，考查了分析问题的能力及逻辑推理能力，属于中档题. 20．已知公差0d >的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足34117a a =，2522a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：()*41k S k N+∈是数列{}na 中的项；（3）若正整数m 满足如下条件：存在正整数k ，使得数列2a ，m a ，k a 为递增的等比数列，求m 的值所构成的集合.【答案】(1) 43n a n =-；(2)证明见解析；(3) 见解析【解析】(1)根据等差数列性质2534a a a a +=+,结合34117a a =求得34,a a 等再求n a 的通项公式.(2)先求出()*41k S k N+∈,再证明41k S+满足n a 的通项公式.(3)由数列2a ,m a ,k a 为递增的等比数列可得22m k a a a =⋅,从而根据n a 的通项公式求m的值所构成的集合. 【详解】(1)因为{}n a 为等差数列,故342522a a a a +=+=,故343233333441179(22)1172211702213a a a a a a a a a a ==⎧⎧⇒-=⇒-+=⇒⎨⎨+==⎩⎩或34139a a =⎧⎨=⎩,又公差0d >,所以34913a a =⎧⎨=⎩,故1112913134a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩,故14(1)43n a n n =+-=-. (2)由43n a n =-可得(143)(21)2n n n n n S +-==-,故41(41)(821)(41)(81)k S k k k k +=++-=++,若41k S +是数列{}n a 中的项,则(41)(81)43n a k n k +==+- 即24(41)(81)332124n k k k k =+++=++, 即2831n k k N +=++∈,故()*41k S k N+∈是数列{}na 中的项；(3)由数列2a ，m a ，k a 为递增的等比数列,则22,(2)mk a a a m k =⋅<<即2(43)5(43)m k -=-.由题意存在正整数k 使得等式2(43)5(43)m k -=-成立, 因为2,(,)m k m k N +<<∈,故43m -能被5整除,设435,()m n n N +-=∈,则53344n n m n ++==+,又m 为整数,故34n +为整数设34n t +=,即43,()n t t N +=-∈，故4352015m n t -==-,解得53m t =-,又2m >,故532,1t t ->>,不妨设1()p t p N +=-∈,则535(1)352()m t p p p N +=-=+-=+∈. 即52()m p p N +=+∈又当52()m p p N +=+∈时,由2(43)5(43)m k -=-得[]224(52)35(43)20102p k k p p +-=-⇒=++满足条件.综上所述,52()m p p N +=+∈.【点睛】(1)本题考查等差数列性质：若{}n a 是等差数列，且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+(2)证明数列中是否满足某项或者存在正整数使得某三项为等比数列时,均先根据条件列出对应的表达式,再利用正整数的性质进行判断,有一定的难度.21．本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 等比数列，12n n S a a a =+++，113,*,3n n n S S S n N +≤≤∈求q 的取值范围； （3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.【答案】（1）[3,6]；（2）1[,2]3；（3）k 的最大值为1999，此时公差为11999d =-. 【解析】（1）依题意：232133a a a ≤≤，又343133a a a ≤≤将已知代入求出x 的范围；（2）先求出通项：1n n a q -=，由121133a a a ≤≤求出133q ≤≤，对q 分类讨论求出S n 分别代入不等式13S n ≤S n +1≤3S n ，得到关于q 的不等式组，解不等式组求出q 的范围． （3）依题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时a 1，a 2，…a k 的公差． 【详解】（1）依题意：232133a a a ≤≤， ∴263x ≤≤；又343133a a a ≤≤ ∴3≤x ≤27， 综上可得：3≤x ≤6（2）由已知得，1n n a q -=，121133a a a ≤≤，∴133q ≤≤， 当q ＝1时，S n ＝n ，13S n ≤S n +1≤3S n ，即133nn n ≤+≤，成立． 当1＜q ≤3时，11n n q S q -=-，13S n ≤S n +1≤3S n ，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---，∴111331n nq q +-≤≤- 不等式11320320n n n nq q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩ ∵q ＞1，故3q n +1﹣q n ﹣2＝q n （3q ﹣1）﹣2＞2q n ﹣2＞0恒成立， 而对于不等式qn +1﹣3q n+2≤0，令n ＝1，得q 2﹣3q +2≤0，解得1≤q ≤2，又当1≤q ≤2，q ﹣3＜0，∴q n +1﹣3q n +2＝q n （q ﹣3）+2≤q （q ﹣3）+2＝（q ﹣1）（q ﹣2）≤0成立， ∴1＜q ≤2， 当113q ≤＜时， 11n n q S q -=-，13S n ≤S n +1≤3S n ，即1111133111n n nq q q q q q+---≤≤---，∴此不等式即11320320n n n nq q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩， 3q ﹣1＞0，q ﹣3＜0，3q n +1﹣q n ﹣2＝q n （3q ﹣1）﹣2＜2q n ﹣2＜0，q n +1﹣3q n +2＝q n （q ﹣3）+2≥q （q ﹣3）+2＝（q ﹣1）（q ﹣2）＞0∴113q ≤＜时，不等式恒成立， ∴q 的取值范围为：123q ≤≤．（3）设a 1，a 2，…a k 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且a 1＝1， 得()()11113111213n d nd n d n k ⎡⎤⎡⎤+-≤+≤+-=-⎣⎦⎣⎦，，，， 即()()212121232n d n k n d ⎧+≥-⎪=-⎨-≥-⎪⎩，，， 当n ＝1时，23-≤d ≤2； 当n ＝2，3，…，k ﹣1时，由222123n n --+-＞，得d 221n -≥+， 所以d 22213k -≥≥--， 所以1000＝k ()()11122221k k k k a d k k ---+≥+⋅-，即k 2﹣2000k +1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k＝1999时，a1，a2，…a k的公差为1 1999 ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．。
2018年上海市华东师范大学附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析-2018.8
上海市华东师范大学附中2018学年高一上学期入学数学试卷姓名学校成绩一．选择题以下每小题为10分，满分150分1．（10分）有一种测验可以随时在网上报名．若某人用过这种测验的概率是0.5，且他连续两次参加测验，则其中有一次通过的概率是（）A．B．C．D．2．（10分）已知a为正整数，且关于x的方程lg（4﹣2x2）=lg（a﹣x）+1有实根，则a等于（）A．1B．1或2C．2D．2或33．（10分）已知等比数列，a 1=2，公比q=2，其前n项和为S n，前n项积为T n，那么，等于（）A．0B．1C．D．24．（10分）设F1，F2是双曲线﹣=1的焦点，P是双曲线上一点．若P到F1的距离为9，则P到F2的距离等于（）A．0B．17C．D．25．（10分）下列函数中，既是奇函数又在上是单调递减的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=﹣|x﹣1|C．f（x）=（a x+a﹣x）（a＞0，a≠1）D．f（x）=ln6．（10分）已知c是实数，二次方程x2+x+c=0有两个复数根a，b．若|a﹣b|=3，则c=（）A．B．C．﹣2D．27．（10分）函数f（x）=a x+log a（x+1）在上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（）A．B．C．2D．48．（10分）由动点P向圆x2﹣y2=2引两条切线PA，PB，切点分别是A，B．若∠APB=60°，则动点P 的轨迹是（）A．椭圆B．圆C．双曲线D．抛物线9．（10分）如果（1﹣2x）9的展开式中第三项等于288，则（++…+）等于（）A．B．C．1D．210．（10分）过三角形OAB的重心G的直线L分别与边OA，OB交于点P，Q，已知=m倍的，=n倍的，则（）A．m+n=B．m+n=C．+=D．+=311．（10分）已知{a n}为等差数列，a2+a3+a4=30，a5+a6=40，则公差d等于（）A．2B．2C．4D．512．（10分）已知集合M={x|sinx＞cosx，0＜x＜π}和N={x|sin2x＞cos2x，0＜x＜π}，则M与N的交集为（）A．（，π）B．（，）C．（，）D．（，π）13．（10分）已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=对称，则f （1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=（）A．0B．1C．3D．514．（10分）一个酒杯的截面是抛物线的一部分，其方程x2=2y（0≤y≤20），杯内放入一个球，要使球触及杯底部，则球的半径的取值范围为（）A．（0，1]B．（0，]C．（0，]D．（0，]15．（10分）棱长为1的正方体各顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积等于（）A．2πB．C．3πD．4π上海市华东师范大学2018学年高一上学期入学数学试卷参考答案与试题解析一．选择题以下每小题为10分，满分150分1．（10分）有一种测验可以随时在网上报名．若某人用过这种测验的概率是0.5，且他连续两次参加测验，则其中有一次通过的概率是（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式求解．解答：解：他连续两次参加测验，其中有一次通过的概率：p==．故选：C．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．2．（10分）已知a为正整数，且关于x的方程lg（4﹣2x2）=lg（a﹣x）+1有实根，则a等于（）A．1B．1或2C．2D．2或3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，可得x2﹣5x+（5a﹣2）=0，由△≥0即可求得a的值．解答：解：∵lg（4﹣2x2）=lg（a﹣x）+1，∴lg（4﹣2x2）=lg10（a﹣x），∴，由4﹣2x2=10（a﹣x），得x2﹣5x+（5a﹣2）=0，依题意，△=25﹣4（5a﹣2）=32﹣20a≥0，∴a≤，又a为正整数，∴a=1．故选：A．点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，着重考查等价转化思想与解方程的能力，属于中档题．3．（10分）已知等比数列，a 1=2，公比q=2，其前n项和为S n，前n项积为T n，那么，等于（）A．0B．1C．D．2考点：极限及其运算．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知求出S n，T n，代入得答案．解答：解：由已知得，，，∴===．故选：A．点评：本题考查了等比数列的前n项和，考查了数列的极限，是基础题．4．（10分）设F1，F2是双曲线﹣=1的焦点，P是双曲线上一点．若P到F1的距离为9，则P到F2的距离等于（）A．0B．17C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||=2a=12，已知|PF1|=9，进而可求|PF2|．解答：解：∵双曲线﹣=1得：a=4，由双曲线的定义知||PF1|﹣|PF2||=2a=8，|PF1|=9，∴|PF2|=1（不合，舍去）或|PF2|=17，故|PF2|=17．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的性质，运用双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||=2a，是解题的关键，属基础题．5．（10分）下列函数中，既是奇函数又在上是单调递减的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=﹣|x﹣1|C．f（x）=（a x+a﹣x）（a＞0，a≠1）D．f（x）=ln考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确．解答：解：f（x）=sinx是奇函数，但其在区间上单调递增，故A错；∵f（x）=﹣|x﹣1|，∴f（﹣x）=﹣|﹣x﹣1|≠﹣f（x），∴f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，∴故B错；∵a＞1时，y=a x在上单调递增，y=a﹣x上单调递减，∴f（x）=（a x+a﹣x）（a＞0，a≠1）在上单调递增，故C错；故选：D．点评：题综合考查了函数的奇偶性与单调性，本选择题要直接利用函数奇偶性的性质对选项逐一检验的方法，本类题是函数这一部分的常见好题．6．（10分）已知c是实数，二次方程x2+x+c=0有两个复数根a，b．若|a﹣b|=3，则c=（）A．B．C．﹣2D．2专题：数系的扩充和复数．分析：利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出．解答：解：∵二次方程x2+x+c=0有两个复数根a，b．∴a+b=﹣1，ab=c．∵|a﹣b|=3，∴3=，∴3=，解得c=﹣2．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．7．（10分）函数f（x）=a x+log a（x+1）在上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（）A．B．C．2D．4考点：函数单调性的性质．专题：计算题．分析：f（x）在上，当a＞1时是增函数；当0＜a＜1时是减函数；由单调性分析可得f（0）+f（1）=a，即可解得a=．解答：解：f（x）是上的增函数或减函数，故f（0）+f（1）=a，即1+a+log a2=a⇔log a2=﹣1，∴2=a﹣1⇔a=．故选B点评：可分类讨论做．因为单调性不变，也可合二为一做．8．（10分）由动点P向圆x2﹣y2=2引两条切线PA，PB，切点分别是A，B．若∠APB=60°，则动点P 的轨迹是（）A．椭圆B．圆C．双曲线D．抛物线专题：计算题；直线与圆．分析：由已知不难发现，动点P到原点的距离等于已知圆的半径的2倍，可求结果．解答：解：由题设，在直角△OPA中，OP为圆半径OA的2倍，即OP=2，∴点P的轨迹方程为x2+y2=4．故选：B．点评：本题考查圆的切线方程，圆的定义，考查转化思想，是基础题．9．（10分）如果（1﹣2x ）9的展开式中第三项等于288，则（++…+）等于（）A．B．C．1D．2考点：数列的极限．专题：计算题；二项式定理．分析：由（1﹣2x）9的展开式中第三项等于288求出x，然后利用等比数列的求和公式求和，则（++…+）可求．解答：解：（1﹣2x）9的展开式中第三项为，解得．∴++…+=．∴（++…+）=．故选：D．点评：本题考查了二项式定理，考查了等比数列的前n项和，考查了数列极限的求法，是中档题．10．（10分）过三角形OAB的重心G的直线L分别与边OA，OB交于点P，Q，已知=m倍的，=n倍的，则（）A．m+n=B．m+n=C．+=D．+=3考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：根据三角形重心的性质，得=+，进而得到关于向量、的表达式，再根据已知条件得关于向量、的表达式，利用向量共线的条件列式，化简整理可得本题的答案．解答：解：∵G是△OAB的重心，∴点G在△OAB的中线OC上，且=，∵=（+），∴=×（+）=+，∵=m，=n，∴=﹣=n﹣m，又∵=﹣=（m﹣）﹣，、是共线向量∴（m﹣）×n=（﹣m）×（﹣），整理得+=3，故选：D点评：本题以三角形的重心为载体，求满足条件的一个等式，着重考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理等知识，属于基础题．11．（10分）已知{a n}为等差数列，a2+a3+a4=30，a5+a6=40，则公差d等于（）A．2B．2C．4D．5考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质结合a2+a3+a4=30求得a3，代入a5+a6=40求得d的值．解答：解：在等差数列{a n}中，∵a2+a3+a4=30，∴3a3=30，a3=10，又a5+a6=40，∴2a3+5d=40，即5d=20，d=4．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．12．（10分）已知集合M={x|sinx＞cosx，0＜x＜π}和N={x|sin2x＞cos2x，0＜x＜π}，则M与N的交集为（）A．（，π）B．（，）C．（，）D．（，π）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可．解答：解：由M中sinx＞cosx，0＜x＜π，得到＜x＜π，即M=（，π），由N中sin2x＞cos2x，0＜2x＜2π，得到＜2x＜，解得：＜x＜，即N=（，），则M∩N=（，）．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．13．（10分）已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=对称，则f （1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=（）A．0B．1C．3D．5考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（x）=f（1﹣x），从而f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），进而f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，由此能求出结果．解答：解：f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=对称，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（+x）=f（﹣x），∴f（x）=f（1﹣x），∴f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x），f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），∴f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0，故答案为：0．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14．（10分）一个酒杯的截面是抛物线的一部分，其方程x2=2y（0≤y≤20），杯内放入一个球，要使球触及杯底部，则球的半径的取值范围为（）A．（0，1]B．（0，]C．（0，]D．（0，]考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设小球圆心（0，y0）抛物线上点（x，y），求得点到圆心距离平方的表达式，进而根据若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底需1﹣y0≥0 进而求得r的范围．解答：解：设小球圆心（0，y0）抛物线上点（x，y）点到圆心距离平方r2=x2+（y﹣y0）2=2y+（y﹣y0）2=y2+2（1﹣y0）y+y02，若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底，所以1﹣y0≥0，所以0＜y0≤1，所以0＜r≤1．故选：A．点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力．15．（10分）棱长为1的正方体各顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积等于（）A．2πB．C．3πD．4π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，知道棱长为1的正方体的对角线是，做出半径，利用圆的表面积公式得到结果．解答：解：∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，∴球的直径是正方体的对角线，∴球的半径是r=，∴球的表面积是4×π×=3π故选：C．点评：本题考查球内接多面体，注意在立体几何中，球与正方体的关系有三种，这是其中一种，还有球和正方体的面相切，球和正方体的棱相切，注意把三个题目进行比较．11。
上海市2018-2019复旦附中高一数学上册期末试卷(含答案)
复旦大学附属中学2018学年第一学期高一年级数学期末考试试卷一、填空题1.函数()3x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过的一个定点，这个定点的坐标是____________．2.函数y =的定义域为____________．3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x x y x -=⋅+≥．经过____________分钟，该物质温度为5摄氏度．4.函数()()34,1log ,1aa x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是____________．5.函数()()1224174f x x x -=-+的单调递增区间是____________．6.函数()0.52log 1x f x x =-的零点个数为____________个7.若函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦的定义域为R ，则a 的取值范围是____________．8.已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭____________．9.当lg lg a b =，a b <时，则2a b +的取值范围是____________．10.函数()142xf x =-的图像关于点____________成中心对称．11.设{}()()()21,1112,121M y y xN y y x m x x m -⎧⎫⎛⎫====+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭．若N M ⊆，则实数m 的取值范围是____________．12.已知函数()241f x ax x =++，若对任意x ∈R ，()()0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是____________．二、选择题13.下列四组函数中，不是互为反函数的是（）A.3y x ==和13y x-= B.23y x =和()320y xx =≥C.()20x y x =>和()2log 1y x x => D.()()lg 11y x x =->和101xy =+14.“1a >”是“函数()()1x f x a a =-⋅是单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.下列四个函数中，图像如图所示的只能是（）A.lg y x x =+B.lg y x x =-+C.lg y x x =-D.lg y x x=--16.已知n m <，函数()()1221log 1123x x x n f x n x m -+--≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m ∈②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，(],2m n ∈其中正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.③④三、解答题17.已知幂函数()()223m m f x xm -++=∈Z 是奇函数，且()()12f f <．（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()22121log log 2,,22y f x f x x ⎡⎤=+∈⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦的值域．18.已知函数()()2log ,f x x a a =+为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数．（1）当2a =时，满足()1f x >的x 的取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1g x -．19.如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率=输入该对的钢带厚度—输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在钢带上压出一个疵点，在冷轧机输出的钢带上，疵点的间距为k L ，易知41600L =mm ，为了便于检修，请计算123,,L L L ．20.已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）．（1）判断函数()2xy f =的奇偶性；（2）若不等式()12242xxxf <++在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围；（3）设()11x g x x -=+，是否存在正数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()(),,f g m f g n f g p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21.函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数,x y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=．（1）证明：()01f =；（2）比较()11,,122f f f ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小，并说明理由；（3）对任意的,,x y Q x y +∈<，判断()(),f x f y 的大小关系，并说明理由．参考答案一、填空题1.()1,1- 2.(],6-∞ 3.14.()1,3 5.[)4,+∞ 6.27.53a >或1a ≤-8.1-9.()3,+∞10.()2,011.()1,0-12.[)3,+∞二、选择题13.B 14.A 15.C 16.C三、解答题17.（1）0m =，()3f x x =；（2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.（1）()32,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭ ；（2）()[][)1210,1121,0x xx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩19.（1）11；（2）1233125,2500,2000L L L ===20.（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数；（2）()3,3-（3）515155,,315153⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.（1）略；（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()f x f y <。
上海新高一分班数学试卷及答案(含9份)
2. 一 元二次方程2x2-7x+k=O的 一 个根是X1=2则 ， 另一 个根和k的值是
（
）
A. X2=l , k=4
B. X2= - 1k= -4
C . X2= -3 k=6 2
D. X2＝ 一－k=-6
2
3.如果关于x的 一 元二次方程x2 -k:x+ 2 = 0中，k是投掷假子所得的数字（1, 2, 3, 4, 5, 6），则该二次方程
的表面积是
cm 2 。
门 I I ［丑
门 ｜｜｜｜
正视图
左视图
A. 11 B. 15
c. 18
俯视图 D. 22
第H卷〈答卷〉 二． 填空题〈本大题共5小题， 每小题4分， 共20分〉
11.
函数
’y
＝
丘三中，自变量x的取值范围是
x-2
12.在Rt卒ABC中，正ACB=90 。 ， CD1-AB于D, AC=lO, CD=6，则sinB的值为
有两个不等实数根的概率 P= (
)
A.
-2 3
B.
-1 2
c.
3
4. 二次函数y=-x2-4x+2的顶点坐标、 对称轴分别是（
A. (-2, 6) , x=-2 B. (2, 6) , x=2
C. (2, 6) , x=-2
2020-2021学年上海市虹口区复兴高级中学高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年上海市虹口区复兴高级中学高一（下）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，5分）函数 y =sin (2x −π3) 的最小正周期为___ ．2.（填空题，5分）若1+i 是关于x 的实系数方程x 2+bx+c=0的一个复数根，则c=___ ．3.（填空题，5分）在复平面内，复数6-5i 、-2+3i 对应的点分别为A 、B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ___ ．4.（填空题，5分）砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分．已知OA=0.5m ，AD=0.9m ，∠AOB=100°，则该扇环形砖雕的面积为 ___ m 2．5.（填空题，5分）已知复数z 满足 z +4z=0 ，则z=___ ．6.（填空题，5分）已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足 S n =2n −1 ，则其通项公式为 ___ ．7.（填空题，5分）已知等差数列a 1、a 2、…、a 100的前10项之和为10，最后10项之和为100，则a 1=___ ．8.（填空题，5分）设z 1、z 2∈C ，若|z 1|=|z 2|=1，则 |z 12−z 22| 的最大值为 ___ ．9.（填空题，5分）已知 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 为单位向量， |a ⃗+b ⃗⃗|=√2|a ⃗−b ⃗⃗| ，则 a ⃗ 在 a ⃗+b ⃗⃗ 方向上的投影为 ___ ．10.（填空题，5分）向量数列 {a n ⃗⃗⃗⃗⃗} 满足 a n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a n ⃗⃗⃗⃗⃗+d ⃗ ，且满足 |a 1⃗⃗⃗⃗⃗|=3 ， a 1⃗⃗⃗⃗⃗•d ⃗=−32 ，若S n =a 1⃗⃗⃗⃗⃗•(a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+a n ⃗⃗⃗⃗⃗) ．则当S n 取最大值时，n 的值为 ___ ．11.（填空题，5分）设φ∈[0，2π），若关于x 的方程cos （2x+φ）=a 在区间[0，2π]上有5个解，且它们的和为16π3，则φ=___ ．12.（填空题，5分）若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且 GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，则cosC 的最小值为___ ．13.（单选题，5分）在△ABC 中，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =0，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形14.（单选题，5分）设n 为正整数，则“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n }满足a n •a n+3=a n+1•a n+2”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.（单选题，5分）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且 |PT⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5−12．若 ES ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R ) ，则λ=（ ）A. √5+12B.√5−12 C. −√5+12D.1−√5216.（单选题，5分）记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6，O 是该正六边形中心，设点集S={A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，O}，向量集T={ MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |M ，N∈S 且M ，N 不重合}．则这个集合T 中元素的个数为（ ） A.18 B.24 C.36 D.4217.（问答题，12分）已知平面向量 a ⃗=(1，2) ， b ⃗⃗=(−3，−2) ． （1）当k 为何值时， ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−3b⃗⃗ 垂直； （2）若 a ⃗ 与 a ⃗+λb⃗⃗ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．18.（问答题，13分）已知复数z n 满足：（1+2i ） z 1 =4+3i ，z n+1-z n =2+2i （n∈N *）． （1）求复数z 1，并指出z 1的实部和虚部； （2）求满足|z n |≤13的最大正整数n 的值．19.（问答题，15分）进博会期间，有一个边长80m 的正方形展厅OABC ，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O 为圆心，60m 为半径的扇形ODE 作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF ，矩形有两条边分别落在边AB 和BC 上，设 ∠POA =α(π12≤α≤5π12) ． （1）当 α=π4 时，求出矩形PGBF 的面积（精确到1m 2）；（2）用α表示矩形PGBF 的面积，并求出矩形PGBF 的面积S PGBF 的最大值（精确到1m 2）．20.（问答题，15分）如图，在四边形ABCD 中，G 为对角线AC 与BD 中点连线MN 的中点，P 为平面上任意给定的一点．（1）求证： 4PG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ， |BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ， |CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2 ，点E 在直线AD 上运动，当E 在什么位置时， |EG⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 取到最小值？（3）在（2）的条件下，过G 的直线分别交线段AB 、CD 于点H 、K （不含端点），若 BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mBA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， CK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=nCD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求 1m +1n的最小值．21.（问答题，15分）已知各项均为正数的等差数列{a n }与等比数列{b n }满足a 2=b 2=4，又a 1、a 3、a 7+30成等比数列且b 5=b 1b 4． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式：（2）将数列{a n }、{b n }的所有公共项从小到大排序构成数列{B n }，试求数列{B n }前2021项之和；（3）若c n =a n b n -na n -kb n （k∈R ），数列{c n }是严格递增数列，求k 的取值范围．2020-2021学年上海市虹口区复兴高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：150)的最小正周期为___ ．1.（填空题，5分）函数y=sin(2x−π3【正确答案】：[1]π即可求出函数的最小正周期．【解析】：由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T= 2π|ω|)，【解答】：解：函数y=sin(2x−π3∵ω=2，=π．∴T= 2π2故答案为：π【点评】：此题考查了三角函数的周期性及其求法，准确找出ω的值，熟练掌握周期公式是解本题的关键．2.（填空题，5分）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则c=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：利用实系数方程虚根成对，求解即可．【解答】：解：1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则1-i也是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，可得-b=1+i+1-i，b=-2，c=（1+i）（1-i）=2．故答案为：2．【点评】：本题考查复数的简单性质的应用，考查计算能力．3.（填空题，5分）在复平面内，复数6-5i、-2+3i对应的点分别为A、B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 ___ ．【正确答案】：[1]2-i【解析】：求出复数6-5i、-2+3i对应点A、B的坐标，利用中点坐标公式得线段AB的中点C的坐标即可．【解答】：解：∵复数6-5i、-2+3i对应的点分别为A、B，∴A（6，-5），B（-2，3），∵C为线段AB的中点，∴C（2，-1），∴点C对应的复数是2-i．故答案为：2-i．【点评】：本题考查了复数的几何意义、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.（填空题，5分）砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知OA=0.5m，AD=0.9m，∠AOB=100°，则该扇环形砖雕的面积为 ___ m2．【正确答案】：[1] 19π40【解析】：根据扇形的面积公式计算即可．【解答】：解：环形面积=S扇形COD-S扇形AOB= 100π×(0.5+0.9)2360 - 100π×0．52360= 19π40，故答案为：19π40．【点评】：本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键．5.（填空题，5分）已知复数z满足z+4z=0，则z=___ ．【正确答案】：[1]±2i【解析】：设z=a+bi，a，b∈R，代入z+4z=0，化简整理利用复数相等即可得出．【解答】：解：设z=a+bi，a，b∈R，∵ z+4z=0，∴a+bi+ 4a+bi =0，∴a+bi+ 4(a−bi)(a+bi)(a−bi)=0，化为：a+bi+ 4a−4bia2+b2=0，∴a+ 4aa2+b2 +（b- 4ba2+b2）i=0，∴a+ 4aa2+b2 =0，b- 4ba2+b2=0，解得：a=0，b=±2．则z=±2i，故答案为：±2i．【点评】：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.（填空题，5分）已知数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2n−1，则其通项公式为 ___ ．【正确答案】：[1]a n=2n-1【解析】：求出数列的首项，利用a n=S n-S n-1，求解数列的通项公式即可．【解答】：解：数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2n−1，S1=1，a n=S n-S n-1=2n-1-2n-1+1=2n-1，（n≥2），又a1=1，所以数列的通项公式为：a n=2n-1，故答案为：a n=2n-1．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，是基础题．7.（填空题，5分）已知等差数列a1、a2、…、a100的前10项之和为10，最后10项之和为100，则a1=___ ．【正确答案】：[1] 1120【解析】：设等差数列{a n}的公差为d，根据a91+a92+…+a100=a1+90d+a2+90d+…+a10+90d=a1+a2+…+a10+900d，即可算出d值；再根据a1+a2+…+a10=10a1+ 10×92d=10即可计算出a1．【解答】：解：设等差数列{a n}的公差为d，由a91+a92+…+a100=a1+90d+a2+90d+…+a10+90d=a1+a2+…+a10+900d，得100=10+900d，解得d= 110，又a1+a2+…+a10=10a1+ 10×92d=10，得a1= 110（10- 92）= 1120．故答案为：1120．【点评】：本题主要考查等差数列的性质，考查推理与运算求解能力，属于基础题．8.（填空题，5分）设z 1、z 2∈C ，若|z 1|=|z 2|=1，则 |z 12−z 22| 的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据已知条件，结合不等式的公式，即可求解．【解答】：解：∵|z 1|=|z 2|=1，∴ |z 12−z 22| ≤|z 12|+|z 12| =1+1=2．故答案为：2．【点评】：本题考查了复数与不等式的综合应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 9.（填空题，5分）已知 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 为单位向量， |a ⃗+b ⃗⃗|=√2|a ⃗−b ⃗⃗| ，则 a ⃗ 在 a ⃗+b ⃗⃗ 方向上的投影为 ___ ．【正确答案】：[1] √63【解析】：利用 |a ⃗+b ⃗⃗|=√2|a ⃗−b ⃗⃗| ，求出 a ⃗•b ⃗⃗ ，然后求解 a ⃗ 在 a ⃗ + b ⃗⃗ 方向上的投影即可．【解答】：解：由题意可得2+2 a ⃗•b ⃗⃗ =2-4 a ⃗•b ⃗⃗ +2， 所以 a ⃗•b ⃗⃗ = 13，所以 a ⃗•(a ⃗+b⃗⃗) =1+ 13= 43， 设 a ⃗ 与 a ⃗+b ⃗⃗ 的夹角为α，则| a ⃗ |•| a ⃗+b⃗⃗ |cosα= 43， 所以| a ⃗+b⃗⃗ |= √2+2×13= 2√63， 所以| a ⃗ |cosα= 43×√32√2 = √63． 所以 a ⃗ 在 a ⃗+b ⃗⃗ 方向上的投影为 √63 ． 故答案为： √63．【点评】：本题考查了平面向量的数量积的性质及运算，平面向量的投影，考查了转化思想，是中档题．10.（填空题，5分）向量数列 {a n ⃗⃗⃗⃗⃗} 满足 a n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a n ⃗⃗⃗⃗⃗+d ⃗ ，且满足 |a 1⃗⃗⃗⃗⃗|=3 ， a 1⃗⃗⃗⃗⃗•d ⃗=−32 ，若S n =a 1⃗⃗⃗⃗⃗•(a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+a n ⃗⃗⃗⃗⃗) ．则当S n 取最大值时，n 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1]6或7【解析】：根据条件，求出数列的通项公式，利用 S n =a 1⃗⃗⃗⃗⃗•(a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+a n ⃗⃗⃗⃗⃗) ，求出S n ，再利用二次函数的性质求出结果．【解答】：解：向量数列 {a n ⃗⃗⃗⃗⃗} 满足 a n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a n ⃗⃗⃗⃗⃗+d⃗ ， 所以 a 2⃗⃗⃗⃗⃗=a 1⃗⃗⃗⃗⃗+d ⃗ ， a 3⃗⃗⃗⃗⃗=a 2⃗⃗⃗⃗⃗+d ⃗ ，… a n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a n−2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+d ⃗ ， a n ⃗⃗⃗⃗⃗=a n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+d ⃗ ， 所有的式子相加得到 a n ⃗⃗⃗⃗⃗=a 1⃗⃗⃗⃗⃗+(n −1)d ⃗ ， 所以 a i ⃗⃗⃗⃗=a 1⃗⃗⃗⃗⃗+(i −1)d ⃗ ，因为 |a 1⃗⃗⃗⃗⃗|=3 ， a 1⃗⃗⃗⃗⃗•d ⃗=−32 ，所以 S n =a 1⃗⃗⃗⃗⃗•(a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+a n ⃗⃗⃗⃗⃗) = a 1⃗⃗⃗⃗⃗•(∑a i ⃗⃗⃗⃗n i=1) = ∑a 1⃗⃗⃗⃗⃗n i=1•[a 1⃗⃗⃗⃗⃗+(i −1)d ⃗] = ∑[|a 1⃗⃗⃗⃗⃗|2+(i −1)a 1⃗⃗⃗⃗⃗•d ⃗]n i=1 = ∑[9−32(i −1)]n i=1 =9n- 32∑i n i=1 + 32n = 424n −32•n (n+1)2= −3n 2+39n4，其对称轴方程为n= −392×(−3) = 132（n 为整数），所以n=6或7时，S n 取最大值． 故答案为：6或7．【点评】：本题考查向量数列的通项公式，向量的运算，向量数列的前n 项和，考查运算能力，属于中档题．11.（填空题，5分）设φ∈[0，2π），若关于x 的方程cos （2x+φ）=a 在区间[0，2π]上有5个解，且它们的和为16π3，则φ=___ ．【正确答案】：[1] 5π6 或11π6． 【解析】：先把方程的解转化为函数的零点，记为 x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，不妨设 x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5，再结合三角函数的图形及其性质可得 x 1=0，x 3=π，x 5=2π，再建立x 2，x 4的方程，解出x 2，x 4，最后利用f （x 1）=f （x 2）解出φ．【解答】：解：令 f （x ）=cos （2x+φ），则 T =2πω=2π2=π ，因为关于 x 的方程 cos （2x+φ）=a 在区间[0，2π]上有 5 个解，则函数 f （x ） 在[0，2π]上有 5 个零点，记为 x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，不妨设 x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5， 因为2π−0T=2ππ=2 ，即[0，2π]的区间长度等于 2 个周期，所以必有 x 1=0，x 3=π，x 5=2π，如下图所示，结合三角函数的图象可知 {x 4−x 2=π∑x i 5i=1=16π3⇒ {x 2=π6x 4=7π6 ， 于是 cosφ=cos (π3+φ) ，又因为函数 y=cosx 的对称轴为 x=kπ（k∈Z ）， 所以 π3+2φ=2kπ ，即 φ=−π6+kπ （k∈Z ）， 又因为 φ∈[0，2π），所以 φ=5π6或 φ=11π6． 故答案为： 5π6或 11π6．【点评】：本题考查三角函数的图象与性质，考查函数的零点与方程的根之间的关系，考查数形结合的数学思想，属于难题．12.（填空题，5分）若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且 GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，则cosC 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] 45【解析】：将向量 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分表表示 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用垂直关系建立方程，最后借助重要不等式求解．【解答】：解：因为G 为△ABC 的重心，所以 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=13(2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ； BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=13(2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ， 因为 GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，所以 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，即 19(2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)•(2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=0 ，整理得 5AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=0 ， 所以 5|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cosC =2(|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2) ≥4|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ， 所以 cosC ≥45 ， 故答案为 45 ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积和向量的线性运算，属于中档题目，有一定难度． 13.（单选题，5分）在△ABC 中，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =0，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 【正确答案】：B【解析】：由条件求得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故∠A= π2，由此可得△ABC 的形状．【解答】：解：在△ABC 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴∠A= π2，则△ABC 为直角三角形， 故选：B ．【点评】：本题主要考查两个向量垂直的条件，三角形形状的判定，属于基础题． 14.（单选题，5分）设n 为正整数，则“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n }满足a n •a n+3=a n+1•a n+2”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件 【正确答案】：A【解析】：根据等比数列的定义得到a n •a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，可以举出反例．【解答】：解： ① 若数列{a n }为等比数列，则a n+1a n = a n+3a n+2=q ，∴a n •a n+3=a n+1•a n+2， ② 若a n =0，满足a n •a n+3=a n+1•a n+2，但数列{a n }不为等比数列， 故选：A ．【点评】：本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.（单选题，5分）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且 |PT⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5−12．若 ES ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R ) ，则λ=（ ）A. √5+12B.√5−12 C. −√5+12D.1−√52【正确答案】：D【解析】：根据五角星中长度关系，结合向量加法运算法则进行求解即可．【解答】：解：五角星中， ES ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = RC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = QC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则 ES ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = RC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - QC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - CR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = RQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = √5−12 QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- √5−12 BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1−√52BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则λ=1−√52， 故选：D ．【点评】：本题主要考查向量的基本运算，利用五角星的对应长度关系进行转化是解决本题的关键，是基础题．16.（单选题，5分）记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6，O 是该正六边形中心，设点集S={A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，O}，向量集T={ MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |M ，N∈S 且M ，N 不重合}．则这个集合T 中元素的个数为（ ） A.18 B.24 C.36 D.42【正确答案】：A【解析】：作出满足题意的正六边形，从而依次列举出所有可能的向量．【解答】：解：如图，以A 1为起点的向量共有 A 1A i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （i=2，3，4，5，6）， A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等6个向量，故以A 1为终点的向量也有6个向量，以A 2为起点的向量且与以上12个向量不相等的有 A 2A 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， A 2A 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等2个向量，故以A 2为终点的向量也有2个向量，以A 3为起点的向量且与以上16个向量不相等的有 A 3A 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1个向量，故以A 3为终点的向量也有1个向量，以A 4、A 5、A 6，O 为起点或终点的向量与以上18个向量中的某一个向量相等，综上所述，这个集合T中元素的个数为18，故选：A．【点评】：本题考查了集合的定义及平面向量的定义，属于基础题．17.（问答题，12分）已知平面向量a⃗=(1，2)，b⃗⃗=(−3，−2)．（1）当k为何值时，ka⃗+b⃗⃗与a⃗−3b⃗⃗垂直；（2）若a⃗与a⃗+λb⃗⃗的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）可求出向量ka⃗+b⃗⃗=(k−3，2k−2)，a⃗−3b⃗⃗=(10，8)，然后根据ka⃗+ b⃗⃗与a⃗−3b⃗⃗垂直即可得出(ka⃗+b⃗⃗)•(a⃗−3b⃗⃗)=0，然后进行向量数量积的坐标运算即可求出k的值；（2）根据a⃗与a⃗+λb⃗⃗的夹角为锐角即可得出{1−3λ+2(2−2λ)＞02−2λ−2(1−3λ)≠0，然后求出λ的范围即可．【解答】：解：（1）ka⃗+b⃗⃗=(k−3，2k−2)，a⃗−3b⃗⃗=(10，8)，且ka⃗+b⃗⃗与a⃗−3b⃗⃗垂直，∴ (ka⃗+b⃗⃗)•(a⃗−3b⃗⃗)=10(k−3)+8(2k−2)=0，解得k=2313；（2）a⃗+λb⃗⃗=(1−3λ，2−2λ)，且a⃗与a⃗+λb⃗⃗的夹角为锐角，∴ a⃗•(a⃗+λb⃗⃗)＞0，且a⃗与a⃗+λb⃗⃗不共线，∴ {1−3λ+2(2−2λ)＞02−2λ−2(1−3λ)≠0，解得 λ＜57 且λ≠0，∴λ的取值范围为 (−∞，0)∪(0，57) ．【点评】：本题考查了向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，共线向量的坐标关系，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.（问答题，13分）已知复数z n 满足：（1+2i ） z 1 =4+3i ，z n+1-z n =2+2i （n∈N *）． （1）求复数z 1，并指出z 1的实部和虚部； （2）求满足|z n |≤13的最大正整数n 的值．【正确答案】：【解析】：（1）设出复数，从而得到复数的共轭复数，把共轭复数代入所给的等式，得到关于a 和b 的等式，根据两个复数相等的充要条件列方程求得a 与b 的值，则答案可求； （2）根据z n+1-z n =2+2i ，利用叠加的方法求得z n ，求出复数的模，解不等式得答案．【解答】：解：（1）设z 1=a+bi （a ，b∈R ），则 z 1=a −bi ， 由（1+2i ） z 1 =4+3i ，得（1+2i ）（a-bi ）=4+3i ， 即a+2b+（2a-b ）i=4+3i ，∴ {a +2b =42a −b =3 ，解得： {a =2b =1 ，∴z 1=2+i ，z 1的实部和虚部分别为2，1； （2）由z n+1-z n =2+2i （n∈N *）得：z 2-z 1=2+2i ，z 3-z 2=2+2i ，z 4-z 3=2+2i ，…，z n -z n-1=2+2i （n∈z ，n≥2）． 累加得z n -z 1=2（n-1）+（n-1）i （n∈N *）， ∴z n =2n+（2n-1）i （n∈N *），则|z n |= √4n 2+(2n −1)2 = √8n 2−4n +1 ， 令|z n |≤13，即8n 2-4n+1≤169，∴2n 2-n-42≤0， ∴1−√3374 ≤n≤ 1+√3374＜5． ∴n 的最大整数取值是4．【点评】：本题考查复数的代数形式的运算，考查复数模的求法，考查运算求解能力，是中档题．19.（问答题，15分）进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设∠POA=α(π12≤α≤5π12)．（1）当α=π4时，求出矩形PGBF的面积（精确到1m2）；（2）用α表示矩形PGBF的面积，并求出矩形PGBF的面积S PGBF的最大值（精确到1m2）．【正确答案】：【解析】：（1）作PM⊥OA于点M，PN⊥OC于点N，在三角形中利用边角关系求出PG，PF，再求出当α=π4时，矩形PGBF的面积即可；（2）结合（1）中的结论，用α表示出矩形PGBF的面积S，然后利用换元法结合二次函数的性质求解最值即可．【解答】：解：（1）作PM⊥OA于点M，PN⊥OC于点N，所以在Rt△POM与Rt△PON中，PM=60sinα，PN=60cosα，所以PG=80-60cosα，PF=80-60sinα，当PG=PF时，sinα=cosα（π12≤α≤5π12），所以当α=π4时，矩形PGBF的面积S=PG•PF=PG2= (800−60×√22)2≈ 1412m2；（2）矩形PGBF的面积S=PG•PF=（80-60sinα）（80-60cosα）=400[9sinαcosα-12（sinα+cosα）+16]，令t=sinα+cosα= √2sin (α+π4) ， 因为 π12≤α≤5π12 ，所以 α+π4∈[π3，2π3] ， 故 √2sin (α+π4)∈[√62，√2] ，即 t ∈[√62，√2] ， 令u=9sinαcosα-12（sinα+cosα）+16= 9•t 2−12−12t −92，对称轴为 t =43∈[√62，√2] ，因为u （ √62 ）= 94−6√6≈−12.45 ，u （ √2 ）= 92−12√2 ≈12.47＜u （ √62 ）， 所以当α= π12 或 5π12 时，矩形PGBF 的面积S PGBF 的最大值为400（μmax +16）≈1421m 2．【点评】：本题考查了同角三角函数关系、辅助角公式、三角函数性质的综合应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．20.（问答题，15分）如图，在四边形ABCD 中，G 为对角线AC 与BD 中点连线MN 的中点，P 为平面上任意给定的一点．（1）求证： 4PG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ， |BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ， |CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2 ，点E 在直线AD 上运动，当E 在什么位置时， |EG⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 取到最小值？ （3）在（2）的条件下，过G 的直线分别交线段AB 、CD 于点H 、K （不含端点），若 BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mBA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， CK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=nCD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求 1m +1n的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用平面向量基本定理以及相反向量进行转化，即可证明；（2）建立平面直角坐标系，求出所需点的坐标，设点E 的坐标，表示出 |EG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ，然后由二次函数的性质求解最值即可；（3）设直线的方程，求出H 以及K 的坐标，利用向量的关系得到m 和n 的关系，由基本不等式求解最值即可．【解答】：（1）证明：因为G 为MN 的中点，则 2PG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又M 为BD 的中点，N 为AC 的中点，所以 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ， PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ， 故 4PG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则 4PG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）解：以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则A （0，1），B （0，0），C （1，0），D （1，2），M （ 12 ，1），N （ 12，12 ），G （ 12，34）， 故直线AD 的方程为 y −1=2−11−0(x −0) ，即y=x+1，设E （x ，x+1），则 |EG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(x −12)2+(x +1−34)2= √2x 2−12x +516= √2(x −18)2+932 ，所以当x= 18 ，y= 98 时， |EG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 取得最小值为 3√28， 即 E (18，98) 时， |EG |min =3√28； （3）解：设过G 的直线为 y −34=k (x −12) ， 令x=0，则y= −12k +34 ，故H （0， −12k +34 ）， 令x=1，则y= 12k +34 ，故K （1， 12k +34 ），因为 BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mBA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， CK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=nCD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则有 m =34−12k ，2n = 12k +34， 所以m+2n= 32 ，则 1m +1n = 23(m +2n )(1m +1n ) = 23(mn +2nm+3) ≥ 23(2√mn •2n m+3) = 23×(2√2+3) = 2+4√23， 当且仅当 m =√2n 时取等号， 故 1m +1n 的最小值为 2+4√23．【点评】：本题考查了平面向量的综合应用，涉及了平面向量基本定理的运用，利用坐标法求解向量问题，考查了逻辑推理能力、转化化归能力、化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，15分）已知各项均为正数的等差数列{a n }与等比数列{b n }满足a 2=b 2=4，又a 1、a 3、a 7+30成等比数列且b 5=b 1b 4． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式：（2）将数列{a n }、{b n }的所有公共项从小到大排序构成数列{B n }，试求数列{B n }前2021项之和；（3）若c n =a n b n -na n -kb n （k∈R ），数列{c n }是严格递增数列，求k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）通过a 1，d ，b 1，q 列方程组求解即可； （2）通过列举{B n }的前若干项，归纳其规律，再求和； （3）通过不等式c n+1＞c n ，n∈N*恒成立，求k 的取值范围；【解答】：解：（1）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，则由条件有{a1+d=b1q=4(a1+2d)2=a1(a1+6d+30)b1q4=b1×b1q3，又q＞0，d＞0，解得a1=1，d=3，b1=2，q=2，所以a n=3n−2，b n=2n；（2）B1=4，B2=16，B3=32，B4=64⋯，所以数列{B n}为以4为首项，4为公比的等比数列．所以前2021项和为4(1−42021)1−4=43(42021−1)；（3）c n=(3n−2)•2n−n(3n−2)−k•2n，c n+1=(3n+1)•2n+1−(n+1)(3n+1)−k•2n+1，c n+1−c n=(3n+4)•2n−(6n+1)−k•2n，因为{c n}单调递增，所以c n+1-c n＞0恒成立，即k＜(3n+4)−6n+12n恒成立，设f(n)=(3n+4)−6n+12n ，则f(n+1)−f(n)=3+6n−52n+1＞0对n∈N*成立，所以f（n）在n∈N*上单调递增，f(n)≥f(1)=72，所以k的取值范围为k＜72．【点评】：本题考查等差等比数列的基本量问题及数列的单调性，考查研究未知数列的一般思路，通过特殊项归纳一般规律，考查逻辑推理素养．。
上海市上师大附中2018-2019学年高一上学期期中数学试卷(平行班)及解析
上海市上师大附中2018-2019学年高一上学期期中数学试卷（平行班）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题l ，m ，n 分别是ABC △的三边长，则ABC △一定不是（ ）．A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.已知a ，b R ∈且0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ）A.11a b <B.b a a b <C.22a b <D.2ab b < 3.函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 都有()()f x f x =-恒成立，则()f x （ ）A.必是奇函数B.是奇函数或偶函数C.必是偶函数D.不一定是奇函数也不一定是偶函数 4.在整数Z 集中，规定被5除所得余数为k 的所有整数组成“一类”，记为[]k ，即[]{}|5,k x x n n Z k ==+∈，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①[]20183∈；②[]20183-∈；③[][][][][]01234Z =；④“整数a ，b 属于同‘一类’”的充要条件是“[]0a b -∈”；其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2C.3D.4 第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5.已知全集U =R ，集合{}|1,A x x x R =≤∈，则U C A =_______6.不等式21x<的解集是________7.函数y =的定义域是______8.命题“若3x >，则2560x x -+>”的否命题是_______9.若x ，y R ∈，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的_______条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既非充分又非必要”）10.已知某班有50个学生，每个学生的家中至少订阅a 、b 两种报纸中的一种，已知订阅a 报的有34户，订阅b 报的有28户，则订阅a 报且不订阅b 报的有______户11.设函数()()()()2200x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，且函数()f x 为奇函数，则()2g -=________ 12.关于x 的不等式2320kx kx k ++-≤的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________ 13.函数41y x x =+-的值域是________ 14.已知f(x)为二次函数，且不等式f(x)<0的解集是(−2017,2019)，若f(t −1)>f(1+t 2)，则实数t 的取值范围是__________．15.设A 是集合{}123456S =,,,,,的非空子集，称A 中的元素之和为A 的“容量”，则S 的所有非空子集的“容量”之和是_______16.已知函数()f x 的图像在[],a b 上连续不断，定义：若存在最小正整数k ，使得()()f x k x a ≤-对任意的[],x a b ∈成立，则称函数()f x 为[],a b 上的“k 函数”，若函数()3f x x m =+是[]1,2上的“2函数”，则实数m 的取值范围是______三、解答题（题型注释）17.已知集合{}|14A x x =+<，1|02x B x x a -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭. （1）求A 和B ；（2）若A B B =，求实数a 的取值范围.18.某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在商场内消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=元，设购买商品得到的优惠率＝（购买商品获得的优惠额）/（商品标价），试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在[]500,800（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于13的优惠率？ 19.设n 为正整数，规定：(){}n n f f f f f x =⎡⎤⎣⎦个，已知()()2101112x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<≤⎩. （1）解不等式：()f x x ≤；（2）求201889f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.20.已知函数()232f x x ax b =--，其中a ，b R ∈. （1）若不等式()0f x ≤的解集是[]0,6，求b a 的值；（2）若3b a =，对任意x ∈R ，都有()0f x ≥成立，且存在x ∈R ，使得()223f x a ≤-成立，求实数a 的取值范围；（3）若方程()0f x =有一个根是1，且a ，0b >，求11212a b +++的最小值，并求此时a ，b 的值.21.已知有限集{}123,,,n A a a a a =()*2,n n N ≥∈，如果A 中元素()11,2,3,a i n =满足121n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”.（1）判断集合1122⎧---⎪⎨⎪⎪⎩⎭是否为“复活集”，并说明理由； （2）若1a ，2a R ∈，且{}12,a a 是“复活集”，求12a a 的取值范围；（3）若*1a N ∈，求证：“复活集”A 有且只有一个，且3n =.参考答案1.D【解析】1.根据集合中元素的互异性，即可得到答案．因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即ABC △不可能是等腰三角形． 故选D ．2.B【解析】2.结合0a b <<,对,a b 赋值，逐个分析选项即可得解.由0a b <<，可令2,1a b =-=-对A: 11a b>不成立； 对B:122b a a b =<=成立； 对C: 22a b >不成立；对D: 222ab b =<=不成立.故选：B3.D【解析】3.通过举满足题意的反例1,1()1,1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，可得解 取函数1,1()1,1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩， 对任意x ∈R 都有()()f x f x =-恒成立，但是不具有奇偶性.故选：D4.C【解析】4.根据“一类”的定义分别进行判断即可．①201854033÷=⋯，2018[3]∴∈，故①正确；②20185(404)2-=⨯-+，2018[3]-∉，故②错误；③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃，故③正确； ④整数a ，b 属于同 “一类”， ∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而-a b 被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故④正确． 正确的结论为①③④3个．故选：C ．5.()1,+∞【解析】5.根据补集的概念直接求解即可.全集U =R ，集合{}|1,A x x x R =≤∈，则U C A =(){|1}1,x x >=+∞故答案为：()1,+∞6.(,0)(2,)-∞+∞【解析】6. 由21x <可得20x x->,结合分式不等式的求法即可求解． 解：由21,x <可得20,x x-<， 整理可得，20,x x ->， 解可得，(,0)(2,)x ∈-∞⋃+∞．故答案为：(,0)(2,)-∞+∞ 7.[)(]2,22,3-【解析】7.根据偶次根式下大于等于0，分母不为0，列不等式组，求解即可.函数2y x =-有意义，则 26020x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩解得23x -≤≤且2x ≠，∴函数y =[)(]2,22,3-.故答案为：[)(]2,22,3-8.若3x ≤，则2560x x -+≤【解析】8.根据否命题的定义写出其否命题即可.命题的条件是3x >，结论是：2560x x -+>，根据否命题的定义，否定的条件，得否定的结论，∴其否命题是：3x ≤，则2560x x -+≤；故答案为：若3x ≤，则2560x x -+≤9.必要不充分【解析】9.根据充分必要条件的定义判断即可．由甲推不出乙，比如x=1，y=7，故不是充分条件，由乙可推出甲，是必要条件，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分10.22【解析】10.先求得既订阅a 报又订阅b 报的户数，进而可求得订阅a 报且不订阅b 报的户数. 设A 为订a 报家的集合，B 为订b 报家的集合，由题意()34,()28,()50n A n B n A B ===,()()()()34285012n A B n A n B n A B ∴=+-=+-=,所以订阅a 报且不订阅b 报的户数是()()34-12=22n A n AB -=.故答案为：2211.6-【解析】11.由题可得()2(2)g f -=-，利用函数()f x 为奇函数求得()()22f f -=- ，进而得解.由题可得()2(2)g f -=-，因为函数()f x 为奇函数，()()222=-(2+2)=-6f f ∴-=-故答案为：6- 12.8,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】12.讨论0k =和0k ≠两种情况，求出关于x 的不等式2320kx kx k ++-≤的解集为R 时，对应k 的取值范围即可．当0k =时，不等式化为20-≤恒成立，所以0k =，当0k ≠时，因为关于x 的不等式0k ≠的解集为R ， 20(3)4(2)0k k k k <⎧∴⎨∆=--≤⎩得805k -≤< 综上：实数k 的取值范围是8,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：8,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 13.(][),35,-∞-+∞【解析】13.利用分式的性质，结合基本不等式的应用进行求解． 441111y x x x x =+=-++-- （1）当x ＞1时， x-1＞0，44111511y x x x x =+=-++≥=-- 当且仅当411x x -=-，当x-1=2，即x=3时，取等号， 故函数的值域为[5，+∞）．（2）当1x < 时， 10x -< ，44111311y x x x x =+=-++≤-=--- 当且仅当411x x -=-，当x-1=-2，即x=-1时，取等号， 故函数的值域为(],3-∞-．故答案为：(][),35,-∞-+∞14.(−2,1)【解析】14.分析：由题意首先确定二次函数的性质，据此分类讨论即可求得最终结果.详解：由题意可得二次函数开口向上，且对称轴为：x =−2017+20192=1， 则二次函数在区间(−∞,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增，结合对称性可得f (1+t 2)=f (1−t 2)，很明显1+t 2≥1，据此分类讨论：当t −1≥1,t ≥2时，由单调性可得：t −1>1+t 2，即t 2−t +2<0，不等式无解；当t −1<1,t <2时，不等式即：f (t −1)>f (1−t 2)，由单调性可得：t −1<1−t 2，即t 2+t −2<0，解得：−2<t <1， 综上可得：实数t 的取值范围是(−2,1).15.672【解析】15.在S 所有的子集中，每个元素出现的次数都是52个，由此能求出结果．在S 所有的子集中，每个元素出现的次数都是52个，S ∴的所有非空子集的“容量”之和为5(123456)672+++++=2故答案为：67216.4m ≤-【解析】16.根据函数()32(1)f x x m x =+≤-在[]1,2上恒成立,分离得2m x ≤--在[]1,2上恒成立,求出2x --的最值,即可得解．由题可得函数()32(1)f x x m x =+≤-在[]1,2上恒成立即2m x ≤--在[]1,2上恒成立,min (2)4m x ∴≤--=-故答案为：4m ≤-17.(1) 见解析；（2）[ 2.5-，1.5]【解析】17.（1）通过解绝对值不等式得到集合A ，对于集合B ，需要对a 的取值进行分类讨论： （2）A B B =，则B 是A 的子集，据此求实数a 的取值范围．（1）{|14}{|53}A x x x x =+<=-<<，当0.5a >时，{|12}B x x a =<<．当0.5a =时，B =∅．当0.5a <时，{|21}B x a x =<<．（2）由（1）知，{|53}A x x =-<<，A B B ⋂=，B A ∴⊆，①当0.5a >时，{|12}B x x a =<<．此时，1223a a <⎧⎨⎩，则1 1.52a <； ②当0.5a =时，B =∅．满足题意；③当0.5a <时，{|21}B x a x =<<．此时2125a a <⎧⎨-⎩，则 2.50.5a -<． 综上所述，实数a 的取值范围是[ 2.5-，1.5]．18.（1）33%；（2）[]625,750.【解析】18.本题考查的是不等式的应用问题．在解答时：（1）直接根据购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价，即可获得问题的解答；（2）由于标价在[500，800]（元)内的商品，其消费金额满足：4000.8640x ，所以要结合消费金额（元)的范围进行讨论，然后解不等式组即可获得问题的解答． （1）由题意可知：10000.213033%1000⨯+=． 故购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是33%．（2）设商品的标价为x 元．则500800x ，消费额：4000.8640x ． 由已知得（Ⅰ）0.260134000.8500x x x +⎧⎪⎨⎪⎩或 （Ⅱ）0.2100135000.8640x x x +⎧⎪⎨⎪⎩ 不等式组（Ⅰ）无解，不等式组（Ⅱ）的解为625750x ．因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于13的优惠率． 19.（1）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）149.【解析】19. （1）因为是分段函数，所以先根据定义域选择解析式来构造不等式，当01x 时，由2(1)x x -求解；当12x <时，由1x x -求解，取后两个结果取并集．（2）看问题有2018重求值，一定用到周期性，所以先求出1882()2(1)999f =-=，288214()(())()9999f f f f ===,328814145()(())()199999f f f f ===-=，4388558()(())()2(1)99999f f f f ===-=，观察是以4为周期，由488()()(,)99k r r f f k r N +=∈求解即可． （1）①当01x 时，由2(1)x x -得，23x ． ∴213x ． ②当12x <时，因1x x -恒成立．12∴<x ．由①，②得，()f x x 的解集为2{|2}3x x ． （2）1882()2(1)999f =-=， 288214()(())()9999f f f f ===，328814145()(())()199999f f f f ===-=， 4388558()(())()2(1)99999f f f f ===-=， 一般地，488()()(,)99k r r f f k r N +=∈． ∴201828814999f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 20.（1）1b a =；（2）[]{}9,60--；（3）最小值23，1a b ==.【解析】20. （1）利用不等式的解集，转化为方程的根，求解即可．（2）利用二次函数的性质，列出不等式组求解即可．（3）利用基本不等式转化求解函数的最值的即可．（1）依题意，2063a +=，063b ⨯=-，解得9a =，0b =，1b a ∴= （2）若3b a =，则2()323f x x ax a =--． 依题意，22436036422123a a a a a ⎧+⋯⎪⎨---⋯⎪⎩①②，由①得，90a -， 由②得，1a -或6a -，所以，96a --或10a -为所求．（3）方程有一个根是1，且a 、0b >，320a b ∴--=，即23a b +=， 23a b +=可得(21)(2)6a b +++=，设21u a =+，2v b =+，可得u ，0v >，6u v +=，111112(2)21263v u a b u v u v +=+=++++， 当且仅当3u v ==，即1a b ==时取等号．21.（1）是；理由见解析；（2）()(),04,-∞+∞；（3）见解析；【解析】21.根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，进而可得答案．(1)1=+=-，故集合⎪⎪⎩⎭是 “复活集”；(2)不妨设1212a a a a t +==，则由韦达定理知1a ，2a 是一元二次方程20x tx t -+=的两个根， 由△0>，可得0t <，或4t >，120a a ∴<或124a a >；(3)不妨设A 中123n a a a a <<<⋯<，由1212n n n a a a a a a na ⋯=++⋯+<，得121n a a a n -⋯<，当2n =时， 即有12a <，11a ∴=，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“复活集” A ， 当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“复活集” A 只有一个，为{1，2，3}．当4n 时，由121123(1)n a a a n -⋯⨯⨯⨯⋯⨯-，即有(1)!n n >-， 也就是说“复活集” A 存在的必要条件是(1)!n n >-，事实上，22(1)!(1)(2)32(2)22n n n n n n n ---=-+=--+>，矛盾， ∴当4n 时不存在复活集A ，所以，“复活集”A 有且只有一个，且3n =.。
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上海市复兴高级中学新生高一数学分班考
一、填空题（每题4分，共48分）
1. 分解因式：2456x x --+=__________.
2. 若点(65,21)P a a --在第一象限，则a 的取值范围是__________.
3. 如果1)1x =，那么代数式32x x -+的值是__________.
4. 某同学的身高是1.8米，某一时刻他在阳光下的影子长约1.2米，与他相临的一棵树的影子长为3.6米，则这棵树的高度是__________米
5. 已知点M 是半径为5的O 内的一点，且3OM =，在过点M 所有弦中，弦长为整数的弦的条数是
__________条
6. 如图，AB 是半圆的直径，D 是AC 的中点，40ABC ∠=︒，则DAB ∠=
__________.
7. 二次函数2
3y x ax =++，当x 取,()m n m n ≠时，函数的值相等，则当x 取m n +时，函数值是__________.
8. 方程23100x x k -+=有两个正根，则实数k 的取值范围是__________.
9. 已知菱形的边长为6，一个内角是60°，则菱形内切圆的半径是__________.
10. 从2,1,1,2--这四个数中，任何两个不同的数作为一次函数y kx b =+的系数k 、b ，则一次函数y kx b =+的图象不经过第四象限的概率为__________.
11. 集合中元素的三大性质为__________、__________、__________.
12. 设集合{}{}2,,,1,,,,A a a ab B a b a b R ==∈且A B =，则a b +=__________.
二、选择题（每题4分，共16分）
13. 下列运算正确的是（ ）
A. 122-=-
B. 2()mn mn =
C. 3=±
D. 236
()m m = 14. 顺次连接菱形的各边中点所得到的四边形是（ ）
A. 平行四边形
B. 菱形
C. 矩形
D. 正方形
15. 小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他漫步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家，下面能反映当天小华爷爷离家的距离y 与时间x 的函数关系大致是（ ）
16. 给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角。
利用尺规作图，能做出唯一的三角形的条件是（ ）
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①③④
三、解答题（6+8+10+12=36分）
17. 已知函数
321y x -=-与函数2y kx k =-的图像没有交点，求k 的值
18. {}
2310,A x ax x x R =++=∈
（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；
（2）若A 中至多有一个元素，求a 的范围
19. 已知函数2()21f x x ax a =-++-在[0,1]x ∈有最大值2，求a 的值
20. 如图，在Rt ABC 中，90,ACB D ∠=︒点是AB 上一点，
以BD 为直径的O 与边AC 相切于点E ，连接DE 并延长，与BC 的延长线交于点F 。
（1）求证：BD BF =；
（2）当3,2BC AD ==时，求O 的面积；
（3）在（2）的条件下，判断DBF 是否为正三角形？并说明你的理由。
参考答案
一、填空题
1. (2)(34)x x +-
2. 1625
a << 3. 2- 4. 5.4 5. 3 6. 70° 7. 3
8. 2503k <≤ 9. 2 10. 16 11. 无序性、确定性、互异性 12. 1-
二、选择题
13. D 14. C
15.B 16. A
三、解答题
17. 2或-3
18. （1）94a =或0a =；（2）94
a ≥或0a =； 19. 1a =-或2a =；
20.（1）证明略；（2）4π ；（3）DBF 是边长为4的正三角形。