高中数学《几何概型》导学案
必修三-3.3几何概型导学案
§3.3.1几何概型(1)班级______姓名得分学习目标：1.了解几何概型的概念及基本特点；2.掌握几何概型中概率的计算公式；3.会进行简单的几何概率计算自主学习1、复习与回顾：1. 基本事件的概念: 一个事件如果事件，就称作基本事件.基本事件的两个特点:10.任何两个基本事件是的；20.任何一个事件(除不可能事件)都可以.2. 古典概型的定义：古典概型有两个特征：10.试验中所有可能出现的基本事件；20.各基本事件的出现是，即它们发生的概率相同．具有这两个特征的概率称为古典概率模型. 简称古典概型.3. 古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：P(A)=_____________________问题１．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m的概率是多少?２．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色,奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm．运动员在70m外射箭,假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．射中黄心的概率是多少?2、新知生成：1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个理解为从某个特定的几何，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个则理解为恰好取到上述区域内的．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型2.几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有个；（２）每个基本事件出现的可能性．3.几何概型的概率公式：在区域D中随机地取一点, 记事件A=＂该点落在其内部一个区域d内＂，则事件A发生的概率()dP AD=的测度的测度= A构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)．说明：（１）D的测度不为0；（２）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段,平面图形,立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．（３）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．例题学习：例1判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，还是几何概型。
3.3《几何概型》导学案
3.3《几何概型》导学案【学习目标】1. 了解几何概型的概念及基本特点；2.熟练掌握几何概型的概率公式；3.正确判别古典概型与几何概型,会进行简单的几何概率计算。
【重点难点】理解几何概型的定义,会用公式计算几何概率。
【重点难点】将现实问题转化为几何概型问题，从实际背景中找几何度量。
预习案一、复习回顾1、古典概型的特征：（1）；（2）；2、古典概型的概率计算公式：练习：（1）掷一颗骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率是 .（2）在集合 A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个元素a,则a≥3的概率为 .二、导学1、下列情形可用古典概型来计算事件发生的概率？（1）向上抛掷一枚均匀的硬币，求正面朝上的概率；（2）9班有40个女生，15个男生，从中随机抽取2个同学洗厕所，则至少有1个是女生的概率；（3）从1~10中任意取出一个整数，求取到奇数的概率；1，内任意取出一个数，求取到不大于2的概率；（4）从区间[]102、在现实生活中，常常试验的所有可能结果是无穷多个的，这时就要用几何概型来计算事件发生的概率.三、基本概念1、几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型.2、几何概型的概率公式：P（A）=3、几何概型的特点：（1）．（2）．尝试练习：下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?（1）甲获胜的概率：（2）甲获胜的概率：探究案探究点一：与长度有关的几何概型例1. 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．针对练习：1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率.2．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率为 .探究点二：与面积有关的几何概型例2. 假设你家订了牛奶，送货人可能在早上6：00 ~7：00之间把牛奶送到你家，你离开家去上学的时间在早上6：30 ~7：30之间，问你在离开家前能拿到牛奶的概率？针对练习：1. 在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了一个半径为4cm的圆，某人站在3m之外向此此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：（1）投中大圆内的概率是多少？（2）投中大圆之外的概率是多少？2. 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是？探究点三：与体积有关的几何概型例3.在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？针对练习：在500ml 的水中有一只草履虫，现从中随机取出２ml 水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率为 .探究点四、与角度有关的几何概型例4. 如图，已知直角三角形ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠60A .（1）在CAB ∠内任作射线AM ，求使︒<∠30CAM 的概率？（2）在线段BC 上任取一点M ，求使︒<∠30CAM 的概率？针对练习：如图，在圆心角为︒90的扇形中，以圆心O 为起点，作射线OC ，则AOC ∠和BOC ∠都不小于︒30的概率为课堂小结：12、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（或面积、体积、角度）成比例；巩 固 提 升1．在数轴上，设点x ∈[-3,3]中按均匀分布出现，记a ∈[-1,2]为事件A ，则P （A ）=（ ）A 、1B 、0C 、1/2D 、1/32. 在区间[1，3]上任意取一数，则这个数不小于1.5的概率是 .3.取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率是 .4. 在区间[1，3]内所有实数中，随机取一个实数x ，则这个实数是不等式052>-x 的解的概率为 .5. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率．6. 一海豚在水池中自由游弋，水池长为30m,宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率．7. 在区间[0，1]中随机地取出两个数，则两数之和小于1的概率的是多少？8.甲、乙两人约定7：00 ~ 7：30之间在某处会面，并约定先到者就应等候另一个人10min ，过时即可离开，求两人会面的概率？30米 20米。
几何概型导学案
3.3.1 几何概型（1）学习要求1、了解几何概型与古典概型的区别2、理解几何概型的定义及其特点3、会用几何概型的概率公式求几何概型的概率自学评价试验 1 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？【分析】从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上（除两端点）的任意一点．因此,所有基本事件是有限个还是无限个？每个基本事件的发生是不是等可能的? 要使剪得两段的长都不小于1m应在哪个位置剪？试验2 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在70m外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？【分析】射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点．因此,所有基本事件是有限个还是无限个？每个基本事件的发生是不是等可能的? 什么情况下算是射中黄心？１．几何概型的定义：对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个区域D内随机地取一点,这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.该区域中每一个点被取到的机会都一样;而一个随机事件A的发生则理解为恰好取到D区域内的某个指定区域d中的点. 这时，事件A发生的概率与d的测度（、、等）有关，与d的形状和位置无关。
满足这样条件的概率模型称为几何概型.２．几何概型的基本特点：（１）试验中所有基本事件是（２）每个基本事件出现是３．几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D中随机地取一点，把＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件A，则事件A发生的概率P(A)=说明：（1）D的测度不为0；（2）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是 , , .课堂探究例1、在区间[-1,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率是多少？例2、取一个边长为2a 的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率？例3、在等腰直角△ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率？交流展示1、在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为多少？2、若[2,2],[2,2]x y ∈-∈-,则点(,)x y 在圆面222x y +≤内的概率是多少?3、某人午休醒来，发现表停了，他打开收音机想听整点报时，求他等待的时间短于10min 的概率？4、如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率是多少？5、在正方形ABCD 内随机取一点P ，求∠APB ＞ 90°的概率．若∠APB ＝90°呢？。
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上任取一点M，求AM
内部随机取一个点′，得到一条弦，则此弦
的事件为A，则事
内的概率为()
落在阴影部分的概率为________．
的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为．在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，则能输出数对(x，y)的概率是________．
．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设甲乙两艘轮船
小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．
五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；
②向上抛一枚质地不均的硬
恰与点C重合;
（）。
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§3.3.1 几何概型高二数学组:万志强学习目标1．了解几何概型的意义，会运用几何概型的概率计算公式，会求简单的几何概型事件的概率。
2．通过游戏、案例分析，学习运用几何概型的过程，初步体会几何概型的含义，体验几何概型与古典概型的联系与区别。
3．通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培养学生的数学素养。
学习重难点重点：几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。
难点：将现实问题转化为几何概型问题，从实际背景中找几何度量。
预习内容：一、复习回顾：古典概型（1）所有可能出现的基本事件只有 (有限性) （2）每个基本事件出现的可能性 （等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为 ，简称 . （3）那么事件A 的概率为 )(A P二、了解新知：（一）知识清单（预习教材P 135—P136 ，找出疑惑之处）1.探究:试验1正方形内有一个圆，随机向正方形内丢一粒石子，求石子落入圆内的概率.试验2有两个转盘，甲乙两人玩游戏。
规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜。
在两种情况下分别求甲获胜的概率？试验1 试验2问题1:这两个试验有两个共同特征，你能找出来吗？问题2:还能用古典概型的概率公式来求这两个试验的概率吗？问题3:这种新模型的概率与什么有关系？2.几何概型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为 ，简称为 。
3.在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P(A)=4.典型例题例1:某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.变式1：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.例2:红外保护线长3米，只有在和两端距离均不小于1米的点接触时，红外线才不会报警，则灰太狼能够安全进羊村的概率是多少？变式2: 若羊村是个面积为10000平方米的矩形，而灰太狼在羊村内炸出的圆有100平方米，假设喜羊羊在羊村的每一点都是等可能的，那么，他炸到喜羊羊的概率是多少？当堂检测一个20立方米的海洋球池里混入了一颗水晶球，现从中取出0.5立方米，含有水晶球的概率是多少？学习反思:。
几何概型导学案
几何概型学习要求1、了解几何概型的概念及基本特点；2、熟练掌握几何概型的概率公式；3、正确判别古典概型与几何概型,会进行简单的几何概率计算． 【课堂互动】自学评价试验１ 取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？试验２ 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．金色靶心叫＂黄心＂．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ．运动员在70m 外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．射中黄心的概率为多少？总结：1.几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（２）每个基本事件出现的可能性相等．2.几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D 的测度的测度．3.与几何概型有关的实际问题：长度问题、角度问题、面积问题、体积问题、等候问题、约会问题、点集问题等等。
【经典范例】例1（长度问题） 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边A B 上任取一点M ，求A M 小于A C 的概率．（＂测度＂为长度）例2（等候问题）某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．例3（面积问题）有一个半径为5的圆，现在将一枚半径为1硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，试求硬币完全落入圆内的概率．例4 （约会问题）两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率．例5（角度问题）过等边三角形ABC的顶点A在该三角形的内部做射线AD，则45∠<BAD的概率。
例6.（体积问题）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为当堂训练：1.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为 ( )A ．7.68B ．16.32C ．17.32D ．8.68 2．在区间[－π2π2]上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( ) A.13B.2πC.12D.23 3.已知k ∈[－2,2]，则k 的值使得过A (1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0相切的概率等于( )A.12B.14C.34 D ．不确定4．向面积为9的△ABC 内任投一点P ，那么△PBC 的面积小于3的概率是__________．5.已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为________6.一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,求其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率.7.已知集合A ＝{x |－3<x <1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＋2x －3<0. (1)求A ∩B ，A ∪B ；(2)在区间(－4,4)上任取一个实数x ，求“x ∈A ∩B ”的概率；(3)设(a ，b )为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，求“b －a ∈A ∪B ”的概率．8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．。
331几何概型导学案高中数学必修3.doc
《3. 3.1几何概型》导学案编写人：范志颖审核人：范志颖审批人：袁辉【学法指导】1.认真阅读教科书，努力完成“基础导学”部分的内容；2.探究部分内容可借助资料，但是必须谈岀自己的理解；不能独立解决的问题，用红笔做好标记;3.课堂上通过合作交流研讨，认真听取同学讲解及教师点拨，排除疑难；4.全力以赴，和信自己！化为儿何概型问题。
学习难点正确判断儿何概型并求出概率。
【学习过程】复习提问：1、古典概型的两个特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有___________ •(2)每个基本事件出现的_____________________________2、计算古典概型的公式：探究(一)1.一个人到单位的时间可能是8： 00至9： 00之间的任何一个时刻;2.往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点…… 这些试验可能出现的结果都是有限的还是无限的。
那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢?进行下面的探究问题1：下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？问题2:图中冇两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。
在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？(图见教材135页图3. 3-1)问题3:甲获胜概率与区域的位置有关吗？与图形的大小有关吗？甲获胜可能性是由什么决定的?几何概型：定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_________________________ 成比例，则称这样的概率模型为______________ 概率模型(geometric models of probability),简称几何概型。
儿何概型的公式:儿何概型的特点a)试验中所有可能出现的慕木事件有______________b)每个基本事件出现的__________________________古典概型与几何概型的区別相同：两者基本事件发生的可能性都是___________ 的；不同：_________ 概型要求基本事件有有限个，概型要求基本事件有无限多个。
高中数学几何概型导学案高一必修
A ．B ．C ．D ． ( 3.3.1 几何概型【学习目标】1．了解几何概型与古典概型的区别，知道均匀分布的含义． 2．理解几何概型的特点和计算公式． 3．会求几何概型的概率．【学习重点】利用几何概型计算概率 课 前 预 习 案 【知识梳理】问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？问题(2)试验 1. 取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于 1 m 的概率有多 大？试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”. 奥运会的比赛靶面直径为 122 cm, 靶心直径为 12.2 cm.运动员在 70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面 内任何 一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？问题(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点? (1)定义．如果每个事件发生的概率只与构成 该事件区域的____`(面积或体积)成______，则称这样的概率模型为几何 概率模型，简称为几何概型．问题(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式? (2)计算公式．在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式是： P(A)＝____________ . 2．均匀分布当 Χ 为区间[a ，b ]上的任意实数，并且是______的，我们称 Χ 服从[a ，b]上的均匀分布，Χ 为[a ，b]上的均 匀______． 自主小测1、 一个红绿灯路口，红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿灯亮的时间为 45 秒．当你到达路 口时，恰好看到黄灯亮的概率是( )1 3 1 5 12 816 62、 Χ 服从[3,40]上的均匀分布，则 Χ 的值不能等于( ) A ．15 B ．25 C ．35 D ．4513、在长度为 1 的线段 AB 上随机地选取一点 P ，则得到|PA|≤ 2 的概率是__________．课上导学案 教师点拨：1、几何概型的两个特点，一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性， 即每一个基本事件发生的可能性是均等的．2、几何概型的概率计算公式中的“长度”并不是实际意义上的长度，它的意义取决于试验的全部结果构成的 区域，当区域分别是线段、平面图形和几何体时，相应的“长度”分别是线段的长度、平面图形的面积和几何 体的体积．3、古典概型和几何概型有什么区别和联系?几何概型的特征：一是无限性，试验中所有出现的结果(基本事件)有无限个，即有无限个不同的基本事件； 二是等可能性，每个结果出现的可能性是均等的．而古典概型的特征：一是有限性，指在一次试验中，可 能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；二是等可能性，指每个结果出现的可能性概率) 是均等的．因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是：1P(A)＝ .P(A)＝ .P(A)＝ .【例题 4】 向面积为 S 的矩形 ABCD 内任投一点 P ，试求△PBC 的面积小于 的概率．(1)确定一次试验中每个结果(基本事件)的可能性(概率)是否均等，如果不均等，那么既不属于古典概型也不 属于几何概型；(2)如果试验中每个结果出现的可能性是均等的，再判断试验结果的有限性．当试验结果有有限个时，这个 概率模型属于古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率模型属于几何概型． 【例题讲解】【例题 1】 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待的时间不多于10 分钟的 概率为__________．反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转 化为实际意义上的线段（或者区间）长度，这种概率 称为长 度型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：事件A 构成的区域长度全部试验结果构成的区域长度【例题 2】 取一个边长为 4a 的正方形及其内切圆，如图所示，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆 内的概率 ．反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种概率称为面积型的几何概 型，可按下列公式来计算其概率：构成事件A 的区域面积全部试验结果构成的区域面积【例题 3】 有一杯 2 升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出 0.1 升水，求这一小杯水中 含有这个细菌的概率 ．反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为几何体的体积，这种概率称为体积型的几何概型， 可按下列公式来计算其概率：构成事件A 的区域体积全部试验结果构成的区域体积S4【例题 5】假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6:30-7:30 之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工 作的时间在早上 7:00-8:00 之间，问你父亲在离开家钱能得到报纸的概率是多少？2(2) 域长度是 30＋5＋45＝80，所以 P(A)＝ ＝ .【当堂检测】1．一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随意地飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6 个表面中至少有一个面的距离不大于 10，则就有可能撞到玻璃上而不安全，若始终保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10，则飞行是安全的．假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相同， 那么蜜蜂飞行是安全的概率是( )1 A ． 8 1B ． 16 1C ． 27 3D ． 82．在平面直角坐标系 xOy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域，E 是到原点的 距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则所投的点落在 E 中的概率是__________．3.一只蚂蚁在三边边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超 过 1 的概率为__________．4．如图，在直角坐标系内，射线OT 落在 60°角的终边上，任作一条射线 OA ，求射线 OA 落在∠xOT 内的 概率．【问题与收获】知识梳理答案：1．(1)长度 比例构成事件A 的区域长度 或面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 或面积或体积 2．等可能 随机数自主小测答案：1、 C 设看到黄灯亮为事件 A ，构成事件 A 的“长度”等于 5，试验的全部结果所构成的区5 180 162、 D 由于 X ∈[3,40]，则 3≤X≤40，则 X≠45.1 1 13、 2 解析：设线段 AB 的中点为 C ，如图所示，则点 P 在线段 AC 上时满足|PA|≤ 2 ，设|PA|≤ 2 成立为1AC 2 1事件 M ，则有 P(M)＝ AB ＝ 1 ＝ 2 .3则 P(A)＝ ＝ ＝ .故豆子落入圆内的概率为 .成的区域体积是 0.1 升，全部试验结果构成的区域体积是 2 升，所以 P(A)＝ ＝0.05.的面积等于 时，即 BC·PF ＝ BC·EF ，有 PF ＝ EF.过点 P 作 GH 平行于 BC 交 AB 于 G ，交 CD 于 H.则满足 S △PBC ＝ 的点 P 的轨迹是线段 GH.所以满足条件△“ PBC 的面积小于 ”的点 P 应落在矩形区域 GBCH 内，设“△PBC 的面积小于 ”为事件 A ， 则 A 表示的范围是⎝0，2⎭.所以由几何概型求概率的公式，得 P(A)＝ ＝ .⎧| x |≤ 2, ⎧-2 ≤ x ≤ 2, | y |≤ 2, -2 ≤ y ≤ 2, π ⨯12 S π 则 P(A)＝ D ＝ 4 ⨯ 4 ＝ 16 .3、 解析：如图所示，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，例题答案：1【例题 1】 6 ，解析见教材.【例题 2】 解：记“豆子落入圆内”为事件 A ，圆的面积 π π正方形的面积 4 4【例题 3】 解：判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设小水杯中含有这个细菌为事件 A ，则事件 A 构0.12【例题 4】 正解：如图所示，设△PBC 的边 BC 上的高为 PF ，线段 PF 所在的直线交 AD 于 E ，当△PBCS 1 1 14 2 4 2S4S S 4 4⎛ S ⎫S2 1S 2【例题 4】见教材（略）当堂检测答案：1、C 蜜蜂的飞行区域是棱长为 30 的正方体内部 V ＝303＝27 000，蜜蜂安全飞行的区域V ' 1是棱长为 30－10－10＝10 的正方体内部 V′＝103＝1 000，所以蜜蜂飞行是安全的概率是 V ＝ 27 .π ⎨ ⎨2、16设点 P(x ，y)是区域 D 内任意一点，则 ⎩ 即 ⎩则区域 D 是直线 x ＝±2 与 y ＝±2围成的正方形，如图所示．区域 E 是以原点为圆心，半径为 1 的圆面．设点 P 落在区域 E 中为事件 A ，ES1 24则 P(A)＝DE ＋FG ＋MN 3＋2＋1 1则△ABC 的周长为 3＋4＋5＝12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 为事件 A ， BC ＋CA ＋AB ＝ 12＝2. 60︒ 14、解：记事件 M 为“射线 OA 落在∠xOT 内”，因为∠xOT ＝60°，所以 P(M)＝ 360︒ ＝ 6 .1即射线 OA 落在∠xOT 内的概率为 6 .5。
高中数学《3.3 几何概型》导学案 新人教A版必修3
§3.3 几何概型授课时间第周星期第节课型新授课主备课人学习目标1初步体会模拟方法在概率方面的应用；2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题。
重点难点重点：借助模拟方法来估计某些事件发生的概率；几何概型的概念及应用，体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体难点：设计和操作一些模拟试验，对从试验中得出的数据进行统计、分析；应用随机数解决各种实际问题。
学习过程与方法自主学习1.模拟方法：通常借助____________来估计某些随机事件发生的概率。
用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验，对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值。
2.几何概型：（1）向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在的概率与G1的成正比，而与G的、无关，即P(点M落在G1) =,则称这种模型为几何概型。
（2）几何概型中G也可以是或的有限区域，相应的概率是或。
探索新知：1.几何概型中事件A的概率是否与构成事件A的区域形状有关？2．在几何概型中，如果A为随机事件，若P(A) = 0,则A一定为不可能事件吗？3.阅读p156 “问题提出”，你的结论是什么？精讲互动例1．在相距3m的两杆之间扯上一铁丝，小明洗完衣服后，将衣服挂在铁丝上晾晒，则所挂衣服与两杆的距离都不小于1m的概率有多大？例2．（选讲）在区间[-1,1]上任取两个数，则（1）求这两个数的平方和不大于1的概率；（2）求这两个数的差的绝对值不大于1的概率。
达标训练1. 课本p157 练习1 22. 教辅资料作业习题3-3 1，2布置学习小结/教学反思。
几何概型导学案
四、实际应用
1、模型应用
例1：在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出２ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.
例2：取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.
例3：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。
（2）在集合A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个元素a,则a≥3的概率为.
(3)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标，求点P落在圆x2+y2=16内的概率。
【课前预习】
1、问题情境
⑴、下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
怎样求几何概型的概率
当堂练习
1．在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分布出现，记a∈(-1,2】为事件A，则P（A）=（C）
A、1 B、0 C、1/2 D、1/3
2.一海豚在水池中自由游弋，水池长为30m,宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．
3.在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？
⑵、取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1米的概率有多大？（演示绳子）
⑶、射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm。假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？
当堂检测
1.在区间[1，3]上任意取一数，则这个数不小于1.5的概率是多少？
3.3.1几何概型 导学案
3.3.1几何概型导学案【使用说明及学法指导】1.先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2.小组合作，动手实践。
【教学目标】1．知识与技能：（1）通过本节课的学习使学生掌握几何概型的特点，明确几何概型与古典概型的区别。
（2）通过学生玩转盘游戏，分析得出几何概型概率计算公式。
（3）通过例题教学，使学生能掌握几何概型概率计算公式的应用。
2．过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3．情感、态度与价值观：通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习惯，初步形成建立数学模型的能力。
【教学重点与难点】重点：1、几何概型概率计算公式及应用。
2、如何利用几何图形，把问题转化为几何概型问题。
难点：正确判断几何概型并求出概率。
一、自主学习（一）复习回顾1.基本事件的概念:一个事件如果事件，就称作基本事件。
基本事件的两个特点:1任何两个基本事件是的；2任何一个事件(除不可能事件)都可以.2.古典概型的定义：古典概型有两个特征：1试验中所有可能出现的基本事件；2各基本事件的出现是，即它们发生的概率相同，具有这两个特征的概率称为古典概率模型. 简称古典概型.3.古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：。
()P A==（二）导学提纲1.（掷色子游戏）甲、乙两人掷色子，规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲、乙获胜的概率谁大？2.（转盘游戏）问题:如左图甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜. 求甲获胜的概率是多少?更换为右图一个转盘后，甲获胜的概率是多少？总结：①两个问题概率的求法一样吗？若不一样, 请问可能是什么原因导致的？②你是如何解决这些问题的？例1(电话线问题)：一条长50米的电话线架于两电线杆之间, 其中一个杆子上装有变压器.在暴风雨天气中, 电话线遭到雷击的点是随机的.试求雷击点距离变压器不小于20米情况发生的概率.例2（撒豆子问题）：如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，分别计算它落到阴影部分的概率。
3.3.1_-_几何概型导学案
3.3.1几何概型学习目标：1、理解几何概型的概念，掌握几何概型的概率公式2、理解几何概型的意义，加强与现实生活的联系学习重点：几何概型概念的理解和公式的应用学习难点：几何概型的应用预习案：1.几何概型：事件A是某一区域Ω的子区域，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。
满足以上条件的试验称为几何概型。
参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？（1）可能出现的结果有；（2）每个结果发生的2.几何概型的概率思考1：有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少？思考2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？思考3：在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？一般地，在几何概型中事件A 发生的概率计算公式：P (A )=探究案：1、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形。
试求这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率。
2、 在圆心角为90︒的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30︒的概率。
构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3、已知长方形S ABCD 边长为2，在正方形ABCD 内随机取一点P ， 则点P 满足︳PA ︱≤1的概率是4、水池的容积是20cm 3,水池里的水龙头A 和B 的水流速度都是1m 3/h ，它们一昼夜（0~24h ）内随即开启，则水池水不溢水的概率为5、在一边长为2的正六边形的纸片上，有一个半径为R 的半圆孔，随机向该纸片投掷一粒芝麻，若芝麻恰好从半圆孔穿过的概率为 63，则R=_________.6、如图，设一个质点等可能地落在xoy 面上的三角形区域D 内，D 是由直线x=0,y=0,x+y=2所围成的，设事件A 为“质点落在直线y=1”的下侧，求P (A )yx OB A D E F 22111D。
人教A版高中数学必修三3.3.1《几何概型》》导学案
《3.3.1 几何概型》导学案学习目标：（1）正确理解几何概型的概念及基本特点；（2）掌握几何概型的概率公式，会进行简单的几何概率计算；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；学习重点：几何概型计算公式的应用。
学习难点：几何概型中的几何度量的选取。
复习回顾：探究新知：几何概型的概念：思考1：有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少？定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型．规律总结：1.几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（２）每个基本事件出现的可能性相等．2.几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件A，则事件A发生的概率P()AA构成事件的区域 d 的长度（面积、角度或体积）试验的全部结果所构成的区域 D 的长度（面积、角度或体积）典例剖析：题型1 以线段为几何度量例1：取一根长度为60cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于20cm的概率是多少？题型2. 以面积为几何度量例2：一海豚在水池中自由游弋，水池长为30m，宽为20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率。
题型3. 以体积为几何度量例3.在2L 高产优质小麦种子中混入了一粒患白粉病的种子，从中随机取出10ml ，则含有白粉病种子的概率是多少？题型4. 以角度为几何度量例4. 如图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在XOT 内的概率练 习：1：某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.2：取一个边长为4a 的正方形及其内切圆，如图示，随机向正方形内丢一粒豆子，球豆子落入圆内的概率.3：在等腰直角三角形ABC 中，在直角ACB 内任作一条射线且交斜边AB 于点M,求AM 的长小于AC 的长的概率小 结：思考：参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？课后作业：1.在区间[1,3]上任取一数，则这个数不小于1.5的概率为___________.2. (选作)如图示，在半径为1的半圆内，放置一个边长为21的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，则该点落在正方形内的概率为（ ）A.21 B.π1 C.π21 D.21π3. 在区间[-1.1]上任取两数x ，y 组成有序数对（x ，y ），记事件A 为“122<+y x ”，则事件A 的概率为____________.4.(选作) 函数2)(2--=x x x f ，]5,5[-∈x ，那么任取一点]5,5[0-∈x ，使0)(≤x f 的概率为 （ ）A. 1B.32 C. 103 D.525. (选作)在线段[0，3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是（ ）A 、34B 、23C 、12D 、136.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆架贮藏着石油，假若在海域中任意一点钻探，那么钻到油层面的概率是（ ）A 、140B 、125C 、1250D 、15007．公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，则乘客候车不超过3分钟的概率是___ ___。
高中数学必修三3.3几何概型导学案
高中数学必修三3.3几何概型导学案3.3几何概型【学习目标】1．理解几何概型的定义，会用公式计算概率．2.掌握几何概型的概率公式：P（A）=【知识梳理】知识回顾：1.基本事件的两个特点：一是任何两个基本事件是的；二是任何事件（除不可能事件）都可以表示为.2.古典概型的两个重要特征：一是一次试验可能出现的结果只有；二是每种结果出现的可能性.3.在古典概型中，=.新知梳理：1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(）成比例，则称这样的概型为几何概型.2.几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有.（2）每个基本事件出现的可能性.3.几何概型的概率公式=.对点练习：1.在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）.（A）0.5（B）0.4（C）0.004(D)不能确定2.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在（g）范围内的概率是（）（A）0.62（B）0.38（C）0.02(D)0.683.在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为（）（A）（B）（C）(D)4.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min．则乘客到达站台立即乘上车的概率为．【合作探究】典例精析例题1.取一根长3米的绳子，拉直后再任意位置剪断，那么剪得的两段的长都不少于1米的概率有多大？变式训练1.在半径为1的圆周上任取两点，连接两点成一条弦，求弦长超过此圆内接正三角形边长的概率.例题2.在圆内随机投点，求点与圆心间的距离变式训练2.在以为中心，边长为1的正方形内投点，求点与正方形的中心的距离小于的概率.例题3.在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离均大于棱长的的概率.变式训练3.在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离小于棱长的的概率.【课堂小结】【当堂达标】1.一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间是5秒，绿灯亮的时间是45秒.当你走到路口时，恰好看到黄灯亮的概率是（）A.B.C.D.2.面积为的中，是的中点，向内部投一点，那么点落在内的概率是（）A.B.C.D.3.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为（）A.0.002B.0.004C.0.005D.0.008【课时作业】1．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy＝4的概率为（）．（A）（B）（C）(D)2．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（）．（A）（B）（C）(D)3．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则求两人会面的概率为（A）（B）（C）(D)4．如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（）．（A）（B）（C）(D)5．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（）．（A）（B）（C）(D)6．现有的蒸馏水，假定有一个细菌，现从中抽取，则抽到细菌的概率为（）．（A）（B）（C）(D)7．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨至和下午至，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（）．（A）（B）（C）(D)8．在区间中任意取一个数，则它与之和大于的概率是（）．（A）（B）（C）(D)9．若过正三角形的顶点任作一条直线，则与线段相交的概率为（）．（A）（B）（C）(D)10．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r（A）（B）（C）(D)11．向面积为9的内任投一点,那么的面积小于3的概率为.12.在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是．13.在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？14.飞镖随机地掷在下面的靶子上．（1）在靶子1中，飞镖投到区域A、B、C的概率是多少？（2）在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少？15．一只海豚在水池中游弋，水池为长，宽的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过的概率．。
几何概型
几何概型导学案教学目标：掌握几何概型的定义及几何概型的概率公式 一、知识点回顾1、几何概型定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 成比例,则称这样的概率模型为 ,简称为 .2、几何概型的概率计算公式：()P A = .3、几何概型的特征：(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限个； (2)每个基本事件出现的可能性相等.二、基本题型 A 组(长度问题)1．质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间［0，1］上的概率为( ) A.41B.31C.21D.以上都不对2．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是( ) A.35B.45C.25D.153．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( ) A.259B.2516 C.103D.514．在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ) A.31B.π2C.21D.325．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率是( )A.41B.21C.43D.32B 组(体积与角度问题)1．有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，则小杯水中含有这个细菌的概率为 。
2．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O,则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是3．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为4．如图，在圆心角为90 的扇形中以圆心Ｏ为起点作射线OC ,则使得A O C ∠与A.34B OC ∠都不大于60 的概率是( )B.23C.12D.13C 组(面积问题)1．如图某人随机地向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为( )A.π2B.π1C.32D.312．在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为( ) A ．125B ．35C ．65D ．1853．在面积为S 的三角形ABC 内随机取一点M ，则三角形MBC 的面积12M B C S S ∆≤的概率为( )A .31B.21 C.32 D.434．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，E ＝{(x ，y )|x －2y ≥0，x ≤4，y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落入区域E 的概率为________．5．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为 ．D 组(综合练习)1．在区间[0，6]上随机取一个数x ，2log x 的值介于0到2之间的概率为( ). A.31B.43 C.21 D.322．已知[22]k ∈-，，则k 的值使得过A (1,1)可以做两条直线与圆225204x y kx y k ++--=相切的概率等于（ ） A ．12B ．14C ．34D ．不确定3．向面积为9的∆ABC 内任投一点P,那么∆PBC 的面积小于3的概率是4．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率5．已知函数2()2f x x ax b =++，其中[3,0]a ∈-，[0,1]b ∈ (1)若,a Z b Z ∈∈，求函数()f x 有零点的概率；(2)若,a R b R ∈∈，求函数()f x 有两个零点，且一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内的概率.6．已知[0,1],[0,1]x y ∈∈，点A 、B 、C 构成三角形，点P 满足A P x A B y A C =+，求点P 在A B C∆内部的概率 三、课后作业1.已知等腰直角△ABC 中，∠C=90°.(1)在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM ＜30°的概率； (2)在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM ＜30°的概率.2.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的，如果甲船停泊的时间是1h ，乙船停泊时间为2h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率. 四、课堂小结本节课我们复习了几何概型，主要可以转化为长度、面积、体积、角度等几何量的比值。
高中数学必修三导学案-几何概型
3.3 几何概型3.3.1 几何概型1．理解几何概型的定义及特点．(重点)2．掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(难点)3．与长度、角度有关的几何概型问题．(易混点)[基础·初探] 教材整理1 几何概型阅读教材P 135～P 136例1以上的部分，完成下列问题． 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等．3．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．( ) (2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内．( ) (3)几何概型的基本事件有无数多个．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√2．如图所示，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )【解析】 A 中奖概率为38，B 中奖概率为14，C 中奖概率为13，D 中奖概率为13，故选A.【答案】 A3．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________． 【解析】 ∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.【答案】 23教材整理2 均匀分布阅读教材P 136例1及以下的部分，完成下列问题．当X 为区间[a ，b ]上的任意实数，并且是等可能的，我们称X 服从[a ，b ]上的均匀分布，X 为[a ，b ]上的均匀随机数．X 服从[3,40]上的均匀分布，则X 的值不能等于( ) A ．15 B ．25 C ．35D ．45【解析】 由于X ∈[3,40]，则3≤X ≤40，则X ≠45.故选D. 【答案】 D[小组合作型]与长度有关的几何概型某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率.【精彩点拨】 乘客在上一辆车发车后的5 min 之内到达车站，等车时间会超过10 min.【尝试解答】设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．∴P(A)＝T1T的长度T1T2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10 min的概率是1 3 .在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.[再练一题]1．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．【解】在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．(1)P＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.(3)P＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35，或P＝1－P(红灯亮)＝1－25＝35.与面积有关的几何概型设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4 3cm ，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．【精彩点拨】 当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径1，硬币落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题．【尝试解答】 设A ＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为43－23＝23，由几何概率公式得：P (A )＝34323432＝14.几何概型的特点是基本事件有无限多个，但应用数形结合的方法即可巧妙解决，即要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何量度来求随机事件的概率.[再练一题]2．如图331，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P ，则点P落在区域M 内的概率为________．图331【解析】 由题意知题图中的阴影部分的面积相当于半径为1的半圆面积，即阴影部分面积为π2，又易知直角三角形的面积为2，所以区域M 的面积为2－π2.故所求概率为2－π22＝1－π4.【答案】 1－π4与体积有关的几何概型一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．【精彩点拨】 利用体积之比求概率．【尝试解答】 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P ＝1333＝127.与体积有关的几何概型问题的解决：如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，则其概率的计算公式为：PA ＝构成事件A 的体积试验的全部结果构成的体积解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.[再练一题]3．本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A 的距离小于13的概率．【解】 到A 点的距离小于13的点，在以A 为球心，半径为13的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的A 点的区域体积为43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×18.所以P ＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×1833＝π2×37.[探究共研型]几何概型与古典概型的异同探究1 古典概型和几何概型有何异同点？【提示】 相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关．探究2 P (A )＝0⇔A 是不可能事件，P (A )＝1⇔A 是必然事件是否成立？ 【提示】 (1)无论是古典概型还是几何概型，若A 是不可能事件，则P (A )＝0肯定成立；若A 是必然事件，则P (A )＝1肯定成立．(2)在古典概型中，若事件A 的概率P (A )＝0，则A 为不可能事件；若事件A 的概率P (A )＝1，则A 为必然事件．(3)在几何概型中，若事件A 的概率P (A )＝0，则A 不一定是不可能事件，如：事件A 对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A 并不是不可能事件；同样地，若事件A 的概率P (A )＝1，则A 也不一定是必然事件．(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x ，y 组成有序数对(x ，y )，求满足x 2＋y 2≤4的概率；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x ，y 组成有序数对(x ，y )，求满足x 2＋y 2≤4的概率．【精彩点拨】 (1)在区间[－2,2]上任取两个整数x ，y ，组成有序数对(x ，y )是有限的，应用古典概型求解；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x ，y ，组成有序数对(x ，y )是无限的，应用几何概型求解．【尝试解答】 (1)在区间[－2,2]上任取两个整数x ，y 组成有序数对(x ，y )，共计25个，其中满足x 2＋y 2≤4的在圆上或圆内共计13个(如图所示)，∴P ＝1325.(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x ，y 组成有序数对(x ，y )，充满的区域是边长为4的正方形区域，其中满足x 2＋y 2≤4的是图中阴影区域(如图所示)，S阴＝π×22＝4π，∴P ＝4π16＝π4.古典概型与几何概型的不同之处是古典概型的基本事件总数是有限的，而几何概型的基本事件总数是无限的，解题时要仔细审题，注意区分.[再练一题]4．下列概率模型中，几何概型的个数为( )①从区间[－10,10]上任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10,10]上任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率； ④向一个边长为4 cm 的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm 的概率． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①中的概率模型不是几何概型，虽然区间[－10,10]上有无数个数，但取到“1”只是一个数字，不能构成区间长度；②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]和区间[－1,1]上都有无数个数，且在这两个区间上的每个数被取到的可能性相等；③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个，是有限的；④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的可能性相同．【答案】 B1．转动图中各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是( )【解析】 D 中红色区域面积是圆面积的一半，其面积比A 、B 、C 中要大，故指针指到的概率最大．【答案】 D2．一只蚂蚁在如图332所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上的概率是( )图332 A.13 B.23 C.14 D.18【解】 从题图中可以得到地板砖总数为12，其中黑色地板砖有4个，由此可知最后停留在黑色地板砖上的概率是412＝13.【答案】 A3．在半径为1的圆中随机地投一个点，则点落在圆内接正方形中的概率是( )A.1π B.2π C.2π D.3π【解析】 点落在圆内的任意位置是等可能的，而落在圆内接正方形中只与面积有关，与位置无关，符合几何概型特征，圆内接正方形的对角线长等于2，则正方形的边长为 2.∵圆面积为π，正方形面积为2，∴P ＝2π. 【答案】 B4．函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[－1,3]，则任取一点x 0∈[－1,3]，使得f (x 0)≥0的概率为________．【解析】 依题意得，⎩⎨⎧－x 20＋2x 0≥0，－1≤x 0≤3，解得0≤x 0≤2，所以任取一点x 0∈[－1,3]，使得f (x 0)≥0的概率P ＝23－－＝12.【答案】 125．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率．【解】 如图所示，点M 落在线段AB 上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个．设事件A 为“所作正方形面积介于36 cm 2与81 cm 2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6 cm 与9 cm 之间”．取AC ＝6 cm ，CD ＝3 cm ，则当M 点落在线段CD 上时，事件A 发生．所以P (A )＝|CD ||AB |＝312＝14.学业分层测评(二十) 几何概型(建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( ) A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性 B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性【解析】 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A. 【答案】 A2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为( )A.13B.23C.14D.34【解析】 记M ＝“射线OC 使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”．如图所示，作射线OD ，OE 使∠AOD ＝30°，∠AOE ＝60°.当OC 在∠DOE 内时，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P (M )＝3090＝13. 【答案】 A3．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )A ．0.008B ．0.004C ．0.002D ．0.005【解析】 设问题转化为与体积有关的几何概型求解，概率为2400＝0.005. 【答案】 D4．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23【解析】 如右图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP ||AB |＞14”． 即P ⎝⎛⎭⎪⎫△PBC 的面积大于S 4＝|PA ||BA |＝34.【答案】 C5．如图333，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )图333A ．1－2π B.12－1πC.2πD.1π【解析】 设OA ＝OB ＝r ，则两个以r2为半径的半圆的公共部分面积为2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝π－r 28，两个半圆外部的阴影部分面积为14πr 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22×2－π－r 28＝π－r 28，所以所求概率为2×π－r 2814πr 2＝1－2π. 【答案】 A二、填空题6．如图334，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________.图334【解析】 记“射线OA 落在∠xOT 内”为事件A .构成事件A 的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P (A )＝60°360°＝16.【答案】 167．如图335，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A A 1BD 内的概率为________．图335【解析】 设长、宽、高分别为a ，b ，c ，则此点在三棱锥A A 1BD 内运动的概率P ＝16abc abc ＝16.【答案】 168．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．【解析】 记事件A ＝“打篮球”，则P (A )＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π×12＝116.记事件B ＝“在家看书”，则P (B )＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12－P (A )＝14－116＝316. 故P (B )＝1－P (B )＝1－316＝1316.【答案】 1316三、解答题9．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．【解】 如图，四边形ABCD 是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中的阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”．问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率． ∵S 长方形ABCD ＝30×20＝600(m 2)，S 长方形A ′B ′C ′D ′＝(30－4)×(20－4)＝416(m 2)，∴S 阴影部分＝S 长方形ABCD －S 长方形A ′B ′C ′D ′＝600－416＝184(m 2)，根据几何概型的概率公式，得P (A )＝184600＝2375≈0.31.[能力提升]1．面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为( )A.13B.12C.14D.16【解析】 向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD 内为事件M ，则P (M )＝△ABD 的面积△ABC 的面积＝12.【答案】 B2．假设你在如图336所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是________．图336【解析】 设A ＝{黄豆落在阴影内}，因为黄豆落在图中每一个位置是等可能的，因此P (A )＝S △ABCS 圆，又△ABC 为等腰直角三角形，设⊙O 的半径为r ，则AC ＝BC ＝2r ，所以S △ABC ＝12AC ·BC ＝r 2，S ⊙O ＝πr 2，所以P (A )＝r 2πr 2＝1π.【答案】 1π3．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图337所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．图337乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？【解】 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR 2(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR26.∴在甲商场中奖的概率为P 1＝πR 26πR 2＝16.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种．摸到的2球都是红球的情况有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共3种．∴在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝15.∵P 1<P 2，∴顾客在乙商场中奖的可能性大．。
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几何概型
学习目标
1、能举例说明什么是几何概型
2、会求简单的几何概型的概率
学习重点
几何概型的定义及求解
学习探究
一、问题设计
1、一只口袋内装有大小相同的10只球，其中7只白球，3只红球，从中摸出一只球,摸出的球是红球算中奖，问中奖的的概率是多少？这一问题是什么概型？它是怎么定义的？
2、取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率有多大？这一问题是什么概型？它是怎么定义的？
3、如图，有一个由红绿蓝三色构成的彩色圆盘，向圆盘内随机抛掷一粒小纽
扣（落在圆盘外的不算）.你猜想小纽扣落在红色区域内的概率是多少？这一
问题是什么概型？它是怎么定义的？
想一想：上述三个问题有何异同？
二、学习探究
1、几何概型的定义
想一想：试类比古典概型的特征归纳总结几何概型的特征，并比较它们的异同.
猜一猜：问题2、3的概率各是多少？
2、几何概型概率
三、典例解析
例1：（1）x的取值是区间[1,4]中的整数，任取一个x的值，求“取得值大于2”的概率。
（2）x的取值是区间[1,4]中的实数，任取一个x的值，求“取得值大于2”的概率。
例2、取一个长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆
子，求豆子落入圆内的概率。
变式1已知在一个边长为2的正方形中有一个椭圆（如图），随机向
正方形内丢一粒豆子，若落入椭圆的概率为0.3,求椭圆的面积．
变式2有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它停在任意一
点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，蚂蚁停在圆形内的概率
为0.1，求图中五角星的面积.(结果保留π）
变式3一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m ，宽为20m 的长方形,求此海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率.
四、巩固练习
1、在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数a >7的概率为 ;
2、在一个5000km 2的海域里有面积达40 km 2的大陆架蕴藏着石油，在这个海域里随意选定一点钻探，钻出石油的概率为
3、有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,则取出水中含有这个细菌的概率为___＿.
五、学习小结
1.几何概型的特征
2.几何概型的定义
3.几何概型的概率计算公式
4.几何概型与古典概型的异同
六、课后作业
2 A。