高一学科竞赛(数学)模拟附答案
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)模拟卷(全国高中数学联赛一试)(解析版)
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题1参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不得增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.已知函数()sin()f x x 是定义在R 上的偶函数,则cos(2) 的值为 . 答案:0.解:由于()sin()f x x 是偶函数,故()2k kZ ,所以 cos(2)cos cos sin 02k k. 2.若关于z 的复系数一元二次方程2i 0()z z R 的一个根为11z =,则另一个根2z .答案:i 12. 解:由题意得201i 1 ,解得i 12.因此12i 12i z z ,所以2i 12z . 3.设数列{}n a 的通项公式为2[log ]n a n n ,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,则{}n a 的前32项和为 .答案:631.解:事实上,22[log ][log ]n a n n n n .而当1n 时,2[log ]0n ;当2,3n 时,2[log ]1n ;当4,5,6,7n 时,2[log ]2n ;当8,9,,15n 时,2[log ]3n ;当16,17,,31n 时,2[log ]4n ;当32n 时,2[log ]5n ,因此{}n a 的前32项和为321232102142831645631S .4.已知向量,a b的最小值为 .答案:2.解:设向量,a b的夹角为 ,其中(0,) ,则. 令254()((1,1))1x f x x x ,则222(2)(21)()(1)x x f x x .因此()f x 在11,2 单调递减,1,12单调递增,所以()f x 的最小值为142f .2,此时1cos 2 . 5.在梯形ABCD 中,,2260A D C A B B ,M 为CD 边点Q (异于的中点,动点P 在BC 边上,ABP 与CMP 的外接圆交于点P ),则BQ 的最小值为 .1.解:由熟知的结论,,,ABP CMP AME 的外接圆有唯一公共点,该公共点即为题中的点Q ,故点Q 在AME 的外接圆上,如图所示.而AME 是直角三角形,故其外接圆半径1R AD .在ABD中,由余弦定理,BD ,所以BQ1,此时P 在线段BC 上,且CP .6.已知双曲线 的两条渐近线互相垂直,过 的右焦点F 且斜率为3的直线与 交于,A B 两点,与 的渐近线交于,C D 两点.若||5AB ,则||CD .答案:.7.已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90 的扇形所截得的扇环,且圆台的侧面积为2 ,则该圆台体积的取值范围是 .答案:.解:设圆台上底面为圆1O ,半径为1R ,下底面为圆2O ,半径为2R ,圆台母线为l .由圆台的侧面积为2 可得21(222)π2lR R ,故212l R R ①.由侧面展开是圆心角为90 的扇形所截得的扇环,可得 11122222l R l l R,故2144l R R ②.因此圆台的高21)h R R ,圆台的体积2222121212211(()3)V R R h R R R R R R .结合①②可得222112R R.由于210R R,故21R R.令21x R R ,则12124124x R x x R x,进而可得3134V x x .令31()34f x x x x ,则43()304f x x .因此()f x在 上单调递增,故()f x f .所以V ,即圆台体积的取值范围是 . 8.用 表示11元集合{1,2,3,,10,2024}A 的三元子集的全体.对 中任意一个三元子集{,,}()T x y z x y z ,定义()m T y ,则()T m T的值为 .答案:990.解:不妨将集合A 视为{}1,2,3,,10,11 (这是因为,将“2024”改成“11”不影响每个()()m T T 的值).对每个T ,定义*{12|}T t t T ,则*T ,且*)12()(T m T m . 由于当T 遍历 的所有三元子集时,*T 也遍历 的所有三元子集,所以**311()666C 990()()(2)T T T T m T m T m T m T .二、解答题:本大题共3小题,满分56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本题满分16分)已知,,0a b c ,二次函数2()f x ax bx c 存在零点,求a b cb c a的最小值.解:令,b c m n a a ,则,0m n 且1a b c mn b c a m n.由题意得240b ac ,即24m n,故m .考虑11()f m m m n,则()f m在) 上单调递增.所以()a b c f m n f n n b c a,当n m 时等号成立.因此a b c b c a. 10.(本题满分20分)在ABC 中,,30AB AC BAC .在AB 边上取五等分点12345,,,,T T T T T (12345,,,,,,A T T T T T B 顺次排列).记(1,2,3,4)k k BT C k ,求31141tan tan tan tan tan tan k k k A B 的值.解:在AB 延长线上任取一点D ,记05,A DBC B ,则所求式子即为410tan tan kk k.为方便,记05,T A T B .作CH AB 于点H ,则tan (04)k k CH k T H(这里及以下,有向线段的方向约定为AB方向).注意到,30AB AC BAC ,有111112tan tan 555k k k k k k AC T H T H T T ABCH CHCH CH , 故115tan tan (tan tan (04))2k k k k k .进而4411500055tan tan (ta )n tan (tan tan 22)k k k kk k575tan tan (252126211.(本题满分20分)已知A 是抛物线22(0)y px p 上一点(异于原点),斜率为1k 的直线1l 与抛物线恰有一个公共点A (1l 与x 轴不平行),斜率为2k 的直线2l 与抛物线交于,B C两点.若ABC 是正三角形,求12k k 的取值范围.解:设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y .设直线):(A A AB y y t x x −=−,代入抛物线22y px 得2220A A y p y y p x t t ,故2B A p y y t. 设直线):(A A AC y y s x x ,同理可得2C A py y s. 由AB AC 知2222111)(1()B A C A y y y y t s. 不妨设,,A B C 是绕着ABC 的重心逆时针排列的,则由3BAC知s t ,代入化简得)2A A p t y t p y t.结合t 0t 时B A y y 与C A y y 同号可知A py , 又22B C B C B C y y p k x x y y,进而121112B C AA y y k p k y t s y ,代入化简得1211k k0,t . 因此121111,,00,227k k.当t时,易知AC x 轴,B 位于坐标原点,此时12122B C A y y k k y.而0,t 均不符合题意.k k 的取值范围是1(1,0)0,7.因此,12。
高一数学竞赛试题参考答案
高一数学竞赛试题参考答案一、选择题:(本题共10小题,每题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的。
)1.[答案] B[解析] 当a ≤0时,B =∅,满足B ⊆A ;当a >0时,欲使B ⊆A ,则⎩⎪⎨⎪⎧3-a ≥-43+a ≤4⇒a ≤1.故选B.2.[答案] C[解析] 由已知ax 2+ax -3≠0恒成立, 当a =0时,-3≠0成立; 当a ≠0时,Δ<0,∴a 2+12a <0, ∴-12<a <0,综上所述,a ∈(-12,0].3.C 【解析】 依题意,函数y =x 2-ax +12存在大于0的最小值,则a >1且a 2-2<0,解得a∈(1,2),选择C.4.B 【解析】 ∵2=log 24>log 23>log 22=1,故f (log 23)=f (1+log 23)=f (2+log 23)=f (3+log 23)=⎝ ⎛⎭⎪⎫123+log 23=124 5.C 【解析】 由f (x -1)=f (x +1)知f (x )是周期为2的偶函数,因为x ∈[0,1]时,f (x )=x 2,故当x ∈[-1,0],-x ∈[0,1]时,f (x )=f (-x )=(-x )2=x 2,由周期为2可以画出图象,结合y =⎝⎛⎭⎫110x的图象可知,方程f (x )=⎝⎛⎭⎫110x在x ∈⎣⎡⎦⎤0,103上有三个根,要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3,103内无解. 6.[答案] D[解析] 由题意,DE ⊥平面AGA ′, ∴A ,B ,C 正确,故选D. 7.[答案] B[解析] 设f (x )=2x -3-x ,因为2x ,-3-x 均为R 上的增函数,所以f (x )=2x -3-x 是R 上的增函数.又由2x -3-x >2-y -3y =2-y -3-(-y ),即f (x )>f (-y ),∴x >-y ,即x +y >0.8.[答案] A[解析] m =x -1-x ,令t =1-x ≥0,则x =1-t 2,∴m =1-t 2-t =-(t +12)2+54≤1,故选A.9.[答案] B[解析] 将f (x )=x 2+(a -4)x +4-2a 看作是a 的一次函数,记为g (a )=(x -2)a +x 2-4x +4. 当a ∈[-1,1]时恒有g (a )>0,只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0,g (-1)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 2-3x +2>0,x 2-5x +6>0,解之得x <1或x >3. 10.[答案] B[解析] 由已知得f (x )=⎩⎨⎧x 2-2(-1≤x ≤32),x -x 2(x <-1或x >32),如图,要使y =f (x )-c 与x 轴恰有两个公共点,则-1<c <-34或c ≤-2,应选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分。
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)高中数学竞赛试题(模拟)一、选择题:共10个小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
1.已知函数f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若f(x)-g(x)=x+9x+12,则f(x)+g(x)=(。
)。
A。
-x+9x-12B。
x+9x-12C。
-x-9x+12D。
x-9x+122.有四个函数:①y=sinx+cosx②y=sinx-cosx③y=sinxcosx④y=(空缺)其中在(x,y)上为单调增函数的是(。
)。
A。
①B。
②C。
①和③D。
②和④3.方程x+x-1=xπ2的解集为A(其中π为无理数,π=3.141…,x为实数),则A中所有元素的平方和等于(。
)。
A。
B。
C。
1D。
44.已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)+(y-4sinθ)=4(θ∈R),则点P(x,y)所在区域的面积为(。
)。
A。
36πB。
32πC。
20πD。
16π5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数,这样的装法种数为(。
)。
A。
9B。
12C。
15D。
186.已知数列{an}为等差数列,且S5=28,S10=36,则S15等于(。
)。
A。
807.已知曲线C:y=-x2-2x与直线l:x+y-m=0有两个交点,则m的取值范围是(。
)。
A。
(-2-1,2)B。
(-2,2-1)C。
[,2-1)D。
(,2-1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S,Smax和Smin分别为S的最大值和最小值,则Smax/Smin的值为(。
)。
A。
B。
C。
D。
9.设x=.82,y=sin1,z=log2237,则x、y、z的大小关系为(。
)。
A。
x<y<zB。
y<z<xC。
z<x<yD。
z<y<x10.如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中,a、b分别是投掷骰子所得的数字,则该二次方程有两个正根的概率P=(。
高一数学竞赛试题及答案201314
高一数学竞赛试题本卷满分为120分,考试时间为100分钟一、选择题:本大题共8小题,每小题6分,共48分。
1.已知集合{,,()},,,M a b a b a R b R =-+∈∈,集合{1,0,1}P =-,映射:f x x →表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ,则以,a b 为坐标的点组成的集合S 有元素( )个A .2B .4C .6D .82 D 为△A B C 的边A B 的中点,P 为△A B C 内一点,且满足,25A P A D B C =+,则A P D AB CS S =△△( ) A.35B.25C.15D.3103. 设a ,b 是夹角为30°的异面直线,则满足条件“α⊆a ,β⊆b ,且βα⊥”的平面α,β ( ) A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对4.已知α是函数 ()log 2008,(1)a f x x x a =->的一个零点,β是函数()2008xg x xa =-的一个零点,则αβ的值为( )A .1B .2008C .22008 D .40165.函数()f x 的定义域为D ,若满足①()f x 在D 内是单调函数,②存在[,],m n D ⊆使()f x 在[,]m n 上的值域为11[,]22m n ,那么就称()y f x =为“好函数”。
现有()log (),xa f x a k =+(0,1)a a >≠是“好函数”,则k 的取值范围是( )A .(0,)+∞B .1(,)4-∞ C .1(0,)4D .1(0,]46.若⎪⎭⎫⎝⎛∈3,0πα,则αs i n l o g 33等于( )A .αsin B .αsin 1 C .αsin -D .αcos 1-7.如图,一个棱长为a 的立方体内有1个大球和8个小球,大球与立方体的六个面都相切,每个小球与大球外切 且与共顶点的三个面也相切,现在把立方体的每个角 都截去一个三棱锥,截面都为正三角形并与小球相切,变成一个新的立体图形,则原立方体的每条棱还剩余( )。
2024年全国高中数学联赛一试模拟试卷试题含答案
2024年全国高中数学联赛一试模拟试卷试题含答案一、选择题(本题共15小题,每小题5分,满分75分)1. 设集合A={x|3x-7<2x+5},B={x|x²-5x+6<0},则A∩B的取值范围是()A. (-∞, 2)B. (-∞, 3)C. (2, 3)D. (3, +∞)答案:B2. 若a、b为实数,且a≠b,则方程ax²-(a+b)x+b=0有实根的充要条件是()A. a+b=0B. a-b=0C. a²+b²=0D. ab=1答案:A3. 已知函数f(x)=x²-2x+3的最小值为m,则实数m的取值范围是()A. m>0B. m≥3C. m<3D. m≤0答案:B4. 若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=10,S10=30,则S15的值为()A. 50B. 60C. 70D. 80答案:C5. 设函数f(x)=x²+2x+1,若f(x+1)=16,则x的值为()A. 2B. 3C. 4D. 5答案:D6. 若函数g(x)=x²+2x+k在x=1处取得最小值,则实数k的取值范围是()A. k≥-3B. k≤-3C. k≥3D. k≤3答案:A7. 已知函数f(x)=2x³-3x²+x+1,求f(-1)的值。
A. 0B. 1C. -1D. -3答案:D8. 若a、b、c成等比数列,且a+b+c=12,abc=27,则a、b、c的值分别为()A. 1, 3, 9B. 3, 3, 3C. 1, 9, 3D. 9, 3, 1答案:A9. 设等差数列{an}的公差为d,若a3+a5+a7=12,则a1+a6+a9的值为()A. 9B. 12C. 15D. 18答案:B10. 若a、b、c为等差数列,且a+b+c=12,abc=27,则a²+b²+c²的最小值为()A. 18B. 24C. 30D. 36答案:C二、填空题(本题共5小题,每小题15分,满分75分)11. 已知函数f(x)=x²+2x+1,求f(x+2)的值。
高一数学学科素养能力竞赛模拟训练02(解析版)
高一数学学科素养能力竞赛模拟训练02第I 卷(选择题)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知x ∈R ,则“()()230x x --≤成立”是“3|21|x x +-=-成立”的()条件.A .充分不必要B .必要不充分C .充分必要D .既不充分也不必要2.函数()ln 11f x x x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭的图像大致为()A .B .C .D .【答案】A、3.已知0a >,0b >,21a b +=,则2b a ab++的最小值为()A .132B .252C .6D .3+4.已知()4y f x =+是定义域为R 的奇函数,()2y g x =-是定义域为R 的偶函数,且()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称,则()A .()y f x =是奇函数B .()y g x =是偶函数C .()y f x =关于点()2,0对称D .()y g x =关于直线4x =对称【答案】A【分析】根据函数()4y f x =+,()2y g x =-的奇偶性可推出()y f x =以及()y g x =的对称性,结合()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称,推出()y f x =的奇偶性以及对称性,判断A,C;同理推得()y g x =的奇偶性以及对称性,判断B,D.【详解】由于()4y f x =+是定义域为R 的奇函数,则()y f x =的图象关于(4,0)成中心对称,()2y g x =-是定义域为R 的偶函数,则()y g x =的图象关于2x =-对称,因为()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称,则()y f x =的图象关于2x =对称,又()y f x =的图象关于(4,0)成中心对称,则()y f x =的图象关于(0,0)成中心对称,故()y f x =为奇函数,A 正确;因为()y f x =为奇函数,故()()f x f x -=-,由()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称,可得()(),()()f x g x g x f x =-=-,故()()()()g x f x f x g x -==--=-,故()y g x =为奇函数,B 错误;由A 的分析可知()y f x =的图象关于2x =对称,故C 错误;由A 的分析可知()y f x =的图象关于(4,0)成中心对称,()y f x =为奇函数,则()y f x =的图象也关于(4,0)-成中心对称,而()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称,则()y g x =的图象关于(4,0)成中心对称,故D 错误,故选:A【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性以及对称性的应用,对抽象函数的性质的考查能较好地反映学生的思维能力和数学素养,解答时要注意综合应用函数性质的相关知识解答.5.若不等式192832430xx +-⨯+≤的解集为M ,则当x M ∈时,函数240.5()log log 28x x f x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是()A .32-B .32C .2516-D .25166.已知定义在R 上的函数()f x 满足:①()()20f x f x +-=;②()()20f x f x ---=;③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩,则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩ 的图象在区间[]3,3-上的交点个数为()A .3B .4C .5D .6【答案】Dg 7.已知函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数,函数()()22222f x x xg x m -=++⋅的最小值为3-,则实数m 的值为()A .3B .52-C .2-D .43,故函数8.已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根,则m 的取值范围是()A .13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢B .13,43⎡⎫--⎪⎢C .134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ D .134,3⎛⎤ ⎥上为减函数可得3⎣⎭故选:A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题,需要换元先分析二次函数的零点情况,数形结合判断零点所在的区间,进而得出题.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.对任意集合,A B ⊆R ,记{}=A B x x A B x A B ⊕∈⋃∉⋂且,则称A B ⊕为集合,A B 的对称差,例如,若=A {0,1,2},=B {1,2,3},则A B ⊕={0,3},下列命题中为真命题的是()A .若,AB ⊆R 且A ⊕B =∅,则A =B B .若,A B ⊆R 且A ⊕B =B ,则A =∅C .存在,A B ⊆R ,使得A ⊕B =U ()A ð⊕U ()B ðD .若,A B ⊆R 且A ⊕B ⊆A ,则A B ⊆,故本选项不符合题意.10.已知1,0,0x y y x +=>≠,则121x x y ++的值可能是A .12B .14C .34D .5411.定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=,且当[]2,4x ∈时,()22,34f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩,()1g x ax =+,若任给[]12,0x =-,存在[]22,1x ∈-,使得()()21g x f x =,则实数a 的取值可以为()A .12-B .14-C .18-D .1812.已知函数()()lg 1,22xf x xg x +=-+=+,则下列说法正确的是()A .()f x 是奇函数B .()g x 的图象关于点()1,2对称C .若函数()()()F x f x g x =+在[]1,1x m m ∈-+上的最大值、最小值分别为M N 、,则2M N +=D .令()()()F x f x g x =+,若()()214F a F a +-+>,则实数a 的取值范围是()1,-+∞【答案】BD正确,利用平移和奇偶性可得则212,1,a a a -+<-∴>-∴D 正确.故选:BD .第II 卷(非选择题)三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知函数()22x xf x -=-,若不等式()()230-++>f x ax a f 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是_________.【答案】26a -<<【详解】试题分析:()22x xf x -=-为奇函数且为R 上增函数,所以()()()()()()222230333f x ax a f f x ax a f f x ax a f x ax a -++>⇒-+>-⇒-+>-⇒-+>-对任意实数x恒成立,即24(3)026a a a ∆=-+<⇒-<<考点:利用函数性质解不等式恒成立【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时,先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时,要注意用好其与条件的相互关系,结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化,周期可实现自变量大小转化,单调性可实现去f “”,即将函数值的大小转化自变量大小关系14.已知函数213,1(){log , 1x x x f x x x -+≤=>,()1g x x k x =-+-,若对任意的12,R x x ∈,都有12()()f x g x ≤成立,则实数k 的取值范围为.考点:分段函数,对数函数、二次函数的性质.15.设a b c x y ===+,若对任意的正实数,x y ,都存在以,,a b c为三边长的三角形,则实数p 的取值范围是______.16.已知()()32,,,f x ax bx cx d b c d Z b c=+++∈≠,若3b a =,3c a=,则d =____________.【答案】16【分析】由题意得()()33,f b ab f c ac ==,设()()32g x f x ax bx cx d =-=++,则()()0g b g c ==,又由,根据多项式对应相等列式,求解四、解答题:本大题共5小题,17题共10分,其余各题每题12分,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知二次函数2()1()f x x mx m m R =-+-∈.(1)若()f x 是偶函数,求m 的值;(2)函数在区间[]1,1-上的最小值记为()g m ,求()g m 的最大值;(3)若函数|()|y f x =在[]2,4上是单调增函数,求实数m 的取值范围.【答案】(1)0m =;(2)最大值为0;(3)3m ≤或8m ≥.【分析】(1)利用偶函数的定义直接求解;(2)根据对称轴与定义区间位置关系,分类求解最小值,按分段函数形式写()g m 的解析式,作出分段函数的解析式,数形结合求最值即可;(3)先转化:()f x 在[]2,4上单调递增且恒非负,或单调递减且恒非正,再根据对称轴以及单调性列方程组,解得实数m 的取值范围.【详解】(1)()f x 是偶函数,()()f x f x ∴=-,(1)(1)f f ∴=-即1111m m m m -+-=++-,解得:0m =由图可知,()g m 的最大值为0.(3)要使函数|()|y f x =在[]2,4上是单调增函数,则正,18.函数()f x 的定义域为R ,并满足以下条件:①对任意x ∈R ,有()0f x >;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③113f ⎛⎫> ⎪⎝⎭.(1)求(0)f 的值;(2)求证:()f x 在R 上是单调增函数;(3)若0a b c >>>,且2b ac =,求证:()()2()f a f c f b +>.(0)19.已知()f x 定义域为R ,对任意,x y R ∈都有()()()1f x y f x f y +=+-,当0x >时,()1f x <,()10f =.(1)求()1f -;(2)试判断()f x 在R 上的单调性,并证明;(3)若()()()22222224x x x xf f m --+++<对[]1,2x ∈恒成立,求实数m 的取值范围.【分析】(1)利用赋值法求得()1f -.(2)利用函数单调性的定义,证得()f x 在R 上递减.(3)结合函数的单调性化简不等式()()()22222224x x x x f f m --+++<,利用分离常数法来求得m 的取值范围.(1)()()()1f x y f x f y +=+-,()10f =令0x y ==,()()()()00001,01f f f f +=+-=,令1,1x y ==-,()()()()11111,12f f f f -=+---=.(2)()f x 在R 上递减,证明如下:任取12x x <,()()()()()()()12121112111f x f x f x f x x x f x f x x f x -=--+=--+-⎡⎤⎣⎦()211f x x =--.由于()()2121210,1,10x x f x x f x x ->-<-->,所以()()()()12120,f x f x f x f x ->>,所以()f x 在R 上递减.(3)令y x =,得()()()()()1,221f x x f x f x f x f x +=+-=-,()()221f x f x =+,依题意()()()22222224x xx x f f m --+++<对[]1,2x ∈恒成立,即()()()222222214x xx x f f m --++++<,即()()222222224x x x xf m --++++<,即()()()222222221x x x xf m f --++<=-+,20.若实数x ,y ,m 满足x m y m -<-,则称x 比y 接近m ,(1)请判断命题:的真假,并说明理由;(2)已知x >0,y >0,若222224xy xyp x y x y =+++,证明:1比p (3)判断:“x 比y 接近m ”是“232x y my x+->-”的什么条件(充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不充分又不必要条件),并加以证明.21.已知函数()()2log 21(x f x k g x k =++⋅为常数,)k R ∈.请在下面四个函数:①()21g x x =,②()22log g x x =,③()3g x x =,④()42xg x =中选择一个函数作为()g x ,使得()f x 是偶函数.(1)求()f x 的表达式;(2)设函数()()211log 222xh x a a x a R ⎛⎫=⋅-+∈ ⎪,若方程()()f x h x =只有一个解,求a 的取值范围.22.定义:如果点000(,)P x y 在函数()y f x =的图像上,那么点000(,)P x y 关于直线y x =的对称点100(,)P y x 在函数()y g x =的图像,则我们称函数()y f x =与函数()y g x =的图像关于直线y x =对称.例如,如果点000(,)P x y 在函数()2x f x =的图像上,那么点000(,)P x y 关于直线y x =的对称点100(,)P y x 在函数2()log g x x =的图像,则我们称函数()2x f x =与函数2()log g x x =的图像关于直线y x =对称.已知函数()y f x =与函数()y g x =的图像关于直线y x =对称,且4()log (41)x g x =-,(1)求函数()y f x =的解析式;(2)设函数4()log (2)2x x h x k k =-⋅+,若函数()y f x =的图像在函数()y h x =图像的上方,试求实数k 的取值范围.。
高一数学学科素养能力竞赛集合部分综合测试题(解析版)
高一数学学科素养能力竞赛集合部分综合测试题第I 卷(选择题)一、单选题: 本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1A =-,{}1B x ax ==,若A B B =,则a 的取值集合为( ) A .{}1B .{}1-C .{}1,1-D .{}1,0,1-【答案】D【分析】由题意知B A ⊆,分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况,即可得出结果.【详解】由A B B =,知B A ⊆,因为{}1,1A =-,{|1}B x ax ==,若B =∅,则方程1ax =无解,所以0a =满足题意; 若B ≠∅,则1{|1}B x ax x x a ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭, 因为B A ⊆,所以11a=±,则满足题意1a =±; 故实数a 取值的集合为{}1,0,1-.故选:D.2.设a ,b 是实数,集合{}1,A x x a x R =-<∈,{}|||3,B x x b x R =->∈,且A B ⊆,则a b -的取值范围为( )A . []0,2B .[]0,4C .[)2,+∞D .[)4,+∞ 【答案】D【分析】解绝对值不等式得到集合,A B ,再利用集合的包含关系得到不等式,解不等式即可得解. 【详解】集合{}{}1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+,{}{3,|3B x x b x R x x b =-∈=<-或}3x b >+ 又A B ⊆,所以13a b +≤-或13a b -≥+即4a b -≤-或4a b -≥,即4a b -≥ 所以a b -的取值范围为[)4,+∞故选:D3.若1|12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭,1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭,定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂,则A B ⨯=( )A .13,01,22⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B .13,01,22⎛⎤⎛⎫-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C .13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .(0,1]【答案】B【分析】本题抓住新定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂中x 满足的条件,解不等式得到集合,A B ,进而求得A B ,A B ,最后求出()()A B A B ⋃即为所求. 【详解】1113|111|2222A x x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=-<=-<-<=-<<⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭ {}11|1|0|01x B x x x x x x -⎧⎫⎧⎫=≥=≥=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭{}|01A B x x ∴⋂=<≤,13|22A B x x ⎧⎫⋃=-<<⎨⎬⎩⎭ 1|02A B x x ⎧∴⨯=-<≤⎨⎩或312x ⎫<<⎬⎭13,01,22⎛⎤⎛⎫=-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭故选:B【点睛】关键点点睛:本题考查集合的新定义,解绝对值不等式和分式不等式,理解题目中{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂中x 满足的条件是解题的关键,考查学生的分析试题能力与转化与化归能力,属于较难题.4.设A 是集合{}12345678910,,,,,,,,,的子集,只含有3个元素,且不含相邻的整数,则这种子集A 的个数为( )A .32B .56C .72D .84【答案】B【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.【详解】若1,3在集合A 内,则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个;若1,4在集合A 内,则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个;若1,8在集合A 内,则还有一个元素为10;共有6+5+4+3+2+1=21个.若2,4在集合A 内,则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个;若2,5在集合A 内,则还有一个元素为7,8,9,10中的一个;若2,8在集合A 内,则还有一个元素为10;共有5+4+3+2+1=15个.若3,5在集合A 内,则还有一个元素为7,8,9,10中的一个;若3,6在集合A 内,则还有一个元素为8,9,10中的一个;若3,8在集合A 内,则还有一个元素为10;共有4+3+2+1=10个.若4,6在集合A 内,则还有一个元素为8,9,10中的一个;若4,7在集合A 内,则还有一个元素为9,10中的一个;若4,8在集合A 内,则还有一个元素为10;共有3+2+1=6个.若5,7在集合A 内,则还有一个元素为9,10中的一个;若5,8在集合A 内,则还有一个元素为10;共有2+1=3个.若6,8,10在在集合A 内,只有1个.总共有21+15+10+6+3+1=56个故选:B.5.设{}1,2,3,4,I =,A 与B 是I 的子集,若{}1,3A B =,则称(,)A B 为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”(规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”)的个数是( )A .16B .9C .8D .4【答案】B【分析】根据题意,子集A 和B 不可以互换,从子集A 分类讨论,结合计数原理,即可求解.【详解】由题意,对子集A 分类讨论:当集合{}1,3A =,集合B 可以是{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3},共4种结果;当集合{}1,2,3A =,集合B 可以是{1,3,4},{1,3},共2种结果;当集合{}1,3,4A =,集合B 可以是{1,2,3},{1,3},共2种结果;当集合{}1,2,3,4A =,集合B 可以是{1,3},共1种结果,根据计数原理,可得共有42219+++=种结果.故选:B.【点睛】本题主要考查了集合新定义及其应用,其中解答正确理解题意,结合集合子集的概念和计数原理进行解答值解答额关键,着重考查分析问题和解答问题的能力.6.定义{|,}A B x x A x B -=∈∉,设A 、B 、C 是某集合的三个子集,且满足()()A B B A C -⋃-⊆,则()()A C B B C ⊆-⋃-是AB C =∅的( ) A .充要条件B .充分非必要条件C .必要非充分条件D .既非充分也非必要条件【答案】A【分析】作出示意图,由()()A B B A C -⋃-⊆可知两个阴影部分均为∅,根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】如图,由于()()A B B A C -⋃-⊆,故两个阴影部分均为∅,于是,,A I IV V B III IV V C I II III V =⋃⋃=⋃⋃=⋃⋃⋃,(1)若A B C =∅,则V =∅,A I IV ∴=⋃,而()()C B B C I II IV -⋃-=⋃⋃,()()A C B B C ∴⊆-⋃-成立;(2)反之,若()()A C B B C ⊆-⋃-,则由于()()()C B B II I C I V =⋃-⋃-⋃,()A I IV V =⋃⋃,()()I IV V I II IV ∴⋃⋃⊆⋃⋃,V ∴=∅,A B C ∴⋂⋂=∅,故选:A【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义,考查了分类讨论、数形结合思想的应用,属于较难题.7.已知集合{}1,2,3,4,5P =,若A ,B 是P 的两个非空子集,则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ,B )的个数为( )A .49B .48C .47D .46【答案】A【分析】利用分类计数法,当A 中的最大数分别为1、2、3、4时确定A 的集合数量,并得到对应B 的集合个数,它们在各情况下个数之积,最后加总即为总数量.【详解】集合{}1,2,3,4,5P =知:1、若A 中的最大数为1时,B 中只要不含1即可:A 的集合为{1},而B 有 42115-=种集合,集合对(A ,B )的个数为15;2、若A 中的最大数为2时,B 中只要不含1、2即可:A 的集合为{2},{1,2},而B 有3217-=种,集合对(A ,B )的个数为2714⨯=;3、若A 中的最大数为3时,B 中只要不含1、2、3即可:A 的集合为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},而B 有2213-=种,集合对(A ,B )的个数为4312⨯=;4、若A 中的最大数为4时,B 中只要不含1、2、3、4即可:A 的集合为{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},而B 有1211-=种,集合对(A ,B )的个数为818⨯=;∴一共有151412849+++=个,故选:A【点睛】本题考查了分类计数原理,按集合最大数分类求出各类下集合对的数量,应用加法原理加总,属于难题.8.设a ,b ,c 为实数,记集合2{|()()0S x x a x bx c =+++=,}x R ∈,2{|(1)(1)0T x ax cx bx =+++=,}x R ∈.若||S ,||T 分别为集合S ,T 的元素个数,则下列结论不可能的是( )A .||1S =且||0T =B .||1S =且||1T =C .||2S =且||2T =D .||2S =且||3T = 【答案】D【分析】要发现0x a +=与10ax +=、20x bx c ++=与210cx bx ++=的解的关系,同时考虑0a =,0c 以及判别式对方程的根的个数的影响,通过假设最高次含参数的方程10ax +=有一个解,210cx bx ++=有两个解,逆推集合S 的解的情况即可.【详解】令()2()0x a x bx c +++=,则方程至少有1个实数根x a =-,当240b c -=时,方程还有一个根2b x =-, 只要2b a ≠,方程就有2个实数根,2b a =,方程只有1个实数根,当240b c -<时,方程只有1个实数根,当240b c ->时,方程有2个或3个实数根,当0a b c ===时,||1S =且||0T =,当0,0,0a b c >=>时,||1S =且||1T =,当1,2a c b ===-时,||2S =且||2T =,若||3T =时,10ax +=有一个解,210cx bx ++=有两个解,且10ax +=的解1x a=-不是210cx bx ++=的解, ∴211()()0c b c a a-+-+≠,即20a ab c -+≠, 0x a ∴+=的解不是20x bx c ++=的解,又210cx bx ++=有两个解,故240b c ∆=->,20x bx c ++=有两个不等的根,2()()0x a x bx c ∴+++=有3个解,即3S =,故D 不可能成立,故选:D .【点睛】本题考查集合的元素个数,一元一次方程与一元二次方程的解的关系,还要考虑一元一次方程的解是否为一元二次方程的解,通过判别式判断一元二次方程方程的根的个数,属于难题.二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.)9.(多选)若非空实数集M 满足任意,x y M ∈,都有x y M +∈, x y M -∈,则称M 为“优集”.已知,A B 是优集,则下列命题中正确的是( )A .AB 是优集B .A B 是优集C .若A B 是优集,则A B ⊆或B A ⊆D .若A B 是优集,则A B 是优集【答案】ACD【解析】结合集合的运算,紧扣集合的新定义,逐项推理或举出反例,即可求解.【详解】对于A 中,任取,x A B y A B ∈∈,因为集合,A B 是优集,则,x y A x y B +∈+∈,则 x y A B +∈, ,x y A x y B -∈-∈,则x y A B -∈,所以A 正确;对于B 中,取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈,则{|2A B x x k ⋃==或3,}x k k Z =∈,令3,2x y ==,则5x y A B +=∉⋃,所以B 不正确;对于C 中,任取,x A y B ∈∈,可得,x y A B ∈,因为A B 是优集,则,x y A B x y A B +∈-∈,若x y B +∈,则()x x y y B =+-∈,此时 A B ⊆;若x y A +∈,则()x x y y A =+-∈,此时 B A ⊆,所以C 正确;对于D 中,A B 是优集,可得A B ⊆,则A B A =为优集;或B A ⊆,则A B B =为优集,所以A B 是优集,所以D 正确.故选:ACD.【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点:1、紧扣新定义,首先分析新定义的特点,把心定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程中;2、用好集合的性质,解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.10.用()C A 表示非空集合A 中的元素个数,定义()()*A B C A C B =-.已知集合2|10A x x ,{}22(3)(2)0B x ax x x ax =+++=,若*1A B =,则实数a 的取值可能是( )A.-B .0 C .1 D .【答案】ABD【解析】先分析()2C A =,又由*1A B =,分析易得()1C B =或3,即方程22(3)(2)0ax x x ax +++=有1个根或3个根,分析方程22(3)(2)0ax x x ax +++=的根的情况,可得a 可取的值,即可得答案.【详解】根据题意,已知{1A =,2},则()2C A =,又由*1A B =,则()1C B =或3,即方程22(3)(2)0ax x x ax +++=有1个根或3个根;若22(3)(2)0ax x x ax +++=,则必有230ax x +=或220x ax ++=,若230ax x +=,则0x =或30ax +=,当0a =时,{0}B =,()1C B =,符合题意;当0a ≠时,230ax x +=对应的根为0和3a -;故∴需220x ax ++=有两等根且根不为0和3a -,当∴0=时,a =±a ={0B =,-,,()3C B =,符合题意;a =-{0B =,,()3C B =,符合题意; ∴当3a -是220x ax ++=的根时,解得3a =±;3a =,此时{0B =,1-,2}-,()3C B =,符合题意;3a =-,此时{0B =,1,2},()3C B =,符合题意;综合可得:a 可取的值为0,3±,故选:ABD【点睛】本题考查集合的表示方法,关键是依据()C A 的意义,分析集合B 中元素的个数,进而分析方程22(3)(2)0ax x x ax +++=的根的情况.11.设集合{}Z y x y x a a M ∈-==,,22,则对任意的整数n ,形如4,41,42,43n n n n 的数中,是集合M 中的元素的有A .4nB .41n +C .42n +D .43n + 【答案】ABD【分析】将4,41,43n n n ++分别表示成两个数的平方差,故都是集合M 中的元素,再用反证法证明42n M . 【详解】∴224(1)(1)nn n ,∴4n M . ∴2241(21)(2)n n n ,∴41n M . ∴2243(22)(21)nn n ,∴43n M . 若42n M ,则存在,Z x y 使得2242x y n , 则42()(),n x y x y x y 和x y -的奇偶性相同.若x y +和x y -都是奇数,则()()x y x y +-为奇数,而42n +是偶数,不成立;若x y +和x y -都是偶数,则()()x y x y +-能被4整除,而42n +不能被4整除,不成立,∴42n M .故选ABD.【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质P ,考查平方差公式及反证法的灵活运用,对逻辑思维能力要求较高.12.设集合X 是实数集R 的子集,如果实数0x 满足:对任意0r >,都存在x X ∈,使得00x x r <-<成立,那么称0x 为集合X 的聚点.则下列集合中,0为该集合的聚点的有( )A .1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭B .,1n x x n N n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭C .{},0x x Q x ∈≠D .整数集Z【答案】AC【分析】利用集合聚点的新定义,集合集合的表示及元素的性质逐项判断. 【详解】A.因为集合1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭中的元素是极限为0的数列,所以对于任意0r >,都存在1n r >,使得10x r n <=<成立,所以0为集合1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭的聚点,故正确; B. 因为集合11,11n x x n N n n *⎧⎫==-∈⎨⎬++⎩⎭中的元素是极限为1的数列,除第一项外,其余项都至少比0大12,所以对于12r <时,不存在满足0x r <<的x ,所以0不为集合11,11n x x n N n n *⎧⎫==-∈⎨⎬++⎩⎭的聚点,故错误; C. 对任意0r >,都存在2=r x ,使得02x r r <=<成立,那所以0为集合{},0x x Q x ∈≠的聚点,故正确;D. 对任意0r >,如0.5r =,对任意的整数,都有00x x -=或01x x -≥成立,不可能有000.5x x <-<成立,所以0不是集合整数集Z 的聚点,故错误;故选:AC第II 卷(非选择题)三、填空题: 本题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知集合{}2280,R A x x x x =--≤∈ ,(){}2550,R B x x m x m x =-++≤∈ ,设全集为R ,若R B A ⊆,则实数m 的取值范围为______.【答案】()4,+∞【分析】解不等式求得R A ,根据R B A ⊆,分类讨论m 的取值,确定集合B ,从而求得m 的取值范围.【详解】解不等式2280x x --≤,得24x -≤≤,所以R {2A x x =<-或4}x > , (){}()(){}2550,R 50B x x m x m x x x x m =-++≤∈=--≤ , 因为R B A ⊆,当5m =时,{}5B =,满足题意;当5m >时,[]5,B m =,满足题意.当5m <时,[],5B m =, 由R B A ⊆,得4m >,所以45m <<.综上,m 的取值范围为()4,+∞.故答案为:()4,+∞ 14.{}{}(){}220,10,,2,R A x x px q B x qx px A B A B ϕ=++==++=⋂≠⋂=-则p q += _____.【答案】-1或5 【分析】由题意可得m A ∈,一点有1∈B m,再由A B φ⋂≠,可得1m =±,进而可得结果.【详解】设2,0∈∴++=m A m pm q两边同除2m ,可得210++=p q m m ,所以 1∈B m由A B φ⋂≠,一定有m A ∈,1∈A m ,即 1,1=∴=±m m m (){2}R A B =-,则 2,{2,1}-∈=-A A 或{2,-1}=-A代入可得4201102p q p p q q -+==⎧⎧⇒⎨⎨++==-⎩⎩或 4203102p q p p q q -+==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以1p q +=-或5故答案为:-1或5 【点睛】关键点点睛:通过两个方程的关系可得m A ∈,一点有1∈B m,是解题的关键.本题考查了逻辑推理能力和计算能力,属于中档题. 15.集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素,设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i =每一个i M 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i =,则1231023m m m m ++++=___________. 【答案】-1【分析】分析可得M 的所有非空子集为i M 可分为4类,分别分析4类子集中,所有元素乘积i m ,综合即可得答案.【详解】集合M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i =可以分成以下几种情况 ∴含元素0的子集共有92512=个,这些子集中所有元素乘积0i m =;∴不含元素0,含元素-1且含有其他元素的子集有821255-=个∴不含元素0,不含元素-1,但含其他元素的子集有821255-=个其中∴∴中元素是一一对应的,且为相反数,则i m 的和为0,∴只含元素-1的子集1个,满足1i m =-,综上:所有子集中元素乘积12310231m m m m ++++=-. 故答案为:-116.若集合()()()(){}10*,122022,Z,N M x y x x x y x y =++++⋅⋅⋅++=∈∈,则集合M 中元素有______个.【答案】242【分析】由题可得111010(21)23337y x y ++=⋅⋅,然后可得21y x y ++与必为一奇一偶,偶数必是1123337m n ⋅⋅,进而即得.【详解】由题可得(21)(1)(2)()2y x y x x x y ++++++⋅⋅⋅++=, ∴111010(21)23337y x y ++=⋅⋅,又21y x y ++与必为一奇一偶, 而偶数必是1123337m n ⋅⋅,*,N ,010,010m n m n ∈≤≤≤≤,共有121种情况,又21y x y ++与奇偶未定,故集合M 中元素只有242个.故答案为:242.四、解答题: 本大题共5小题,17题共10分,其余各题每题12分,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}13A x x =-≤ ,{}22240B x x mx m =-+-≤.(1)命题p :x ∴A ,命题q : x ∴B ,且p 是q 的必要非充分条件,求实数m 的取值范围:(2)若A ∩B ≠,∅求实数m 的取值范围.【答案】(1)[]02m ∈,(2)[]46m ∈-,【分析】(1)要使p 是q 的必要不充分条件,则 B A 即可;(2)求A B =∅时m 的取值范围,然后求其补集.(1)因为p 是q 的必要不充分条件,所以B A ,B 集合:()22444160m m ∆=--=>,所以B 不可能为空集,因为()()222422x mx m x m x m ⎡⎤⎡⎤-+-=---+⎣⎦⎣⎦, 所以{}22B x m x m =-≤≤+, 集合{}24A x x =-≤≤,所以2224m m -≥-⎧⎨+<⎩或2224m m ->-⎧⎨+≤⎩,分别解不等式组,取并集后可得[]02m ∈,. (2)由(1)知{}{}2422A x x B x m x m =-≤≤=-≤≤+,,当A B =∅时:22m +<-或24m ->,解之得:4m <-或6m >,则A B ⋂≠∅时,[]46m ∈-,. 18.设函数2()(,)f x x px q p q R =++∈,定义集合{|(()),}R f D x f f x x x ==∈,集合{|(())0,}R f E x f f x x ==∈.(1)若0p q ==,写出相应的集合f D 和f E ;(2)若集合{0}f D =,求出所有满足条件的,p q ;(3)若集合f E 只含有一个元素,求证:0,0p q ≥≥.【答案】(1){0,1}f D =,{0}f E =(2)1,0p q ==(3)证明见解析【分析】(1)由4x x =、40x =解得x ,可得f D ,f E ;(2)由(())0f f x x -=得2(1)10x p x p q +++++=或2(1)0x p x q +-+=,然后由21(1)4(1)∆=+-++p p q ,221(1)4∆=-->∆p q ,方程(())0f f x x -=只有一个实数解0,得210,0∆=∆<, 转化为2(1)0x p x q +-+=有唯一实数解0,可得答案;(3)由条件,(())0f f x =有唯一解,得()0f x =有解,分()0f x =有唯一解0x 、()0f x =有两个解1212,()x x x x <,结合()f x 的图像和实数解的个数可得答案.(1)2()f x x =,4(())=f f x x ,由4x x =解得0x =或1x =,由40x =解得0x =,所以{0,1}f D =,{0}f E =.(2)由22(())(())()()()()()f f x x f f x f x f x x f x pf x x px f x x -=-+-=+--+-=22(()1)(())((1)1)((1))0f x x p f x x x p x p q x p x q +++-=++++++-+=,得2(1)10x p x p q +++++=或2(1)0x p x q +-+=,221(1)4(1)(1)44p p q p q ∆=+-++=---,2221(1)4(1)4p q p q ∆=--=-->∆,而方程(())0f f x x -=只有一个实数解0,所以210,0∆=∆<,即只需2(1)0x p x q +-+=有唯一实数解0,所以1,0p q ==.(3)由条件,(())0f f x =有唯一解,所以()0f x =有解,∴若()0f x =有唯一解0x ,则20()()f x x x =-,且0()f x x =有唯一解,结合()f x 图像可知00x =,所以2()f x x =,所以0p q ==.∴若()0f x =有两个解1212,()x x x x <,则12()()()f x x x x x =--,且两个方程1()f x x =,2()f x x =总共只有一个解,结合()f x 图像可知2()f x x =有唯一解,所以20x <,10x <,所以120q x x =>,且()f x 的对称轴02p x =-<,所以0p >,所以0,0p q >>.综上,0,0p q ≥≥.【点睛】本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换,方程根与系数的应用,考查了系数对新定义的理解能力及计算能力.19.对于正整数集合{}()*12,,,,3n A a a a n n =∈≥N ,如果去掉其中任意一个元素()1,2,,i a i n =之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合A 为“和谐集”.(1)判断集合{}1,2,3,4,5与{}1,3,5,7,9是否为“和谐集”(不必写过程);(2)求证:若集合A 是“和谐集”,则集合A 中元素个数为奇数;(3)若集合A 是“和谐集”,求集合A 中元素个数的最小值.【答案】(1){}1,2,3,4,5不是“和谐集”,{}1,3,5,7,9不是“和谐集”(2)证明见解析(3)7【分析】(1)由“和谐集”的定义判断(2)根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明(3)由(2)知n 为奇数,根据n 的取值讨论后求解(1)对于{}1,2,3,4,5,去掉2后,{1,3,4,5}不满足题中条件,故{}1,2,3,4,5不是“和谐集”, 对于{}1,3,5,7,9,去掉3后,{1,5,7,9}不满足题中条件,{}1,3,5,7,9不是“和谐集” (2)设{}12,,,n A a a a =中所有元素之和为M ,由题意得i M a 均为偶数,故()1,2,,i a i n =的奇偶性相同 ∴若i a 为奇数,则M 为奇数,易得n 为奇数,∴若i a 为偶数,此时取2i i a b =,可得{}12,,,n B b b b =仍满足题中条件,集合B 也是“和谐集”, 若i b 仍是偶数,则重复以上操作,最终可得各项均为奇数的“和谐集”,由∴知n 为奇数 综上,集合A 中元素个数为奇数(3)由(2)知集合A 中元素个数为奇数,显然3n =时,集合不是“和谐集”,当5n =时,不妨设12345a a a a a <<<<,若A 为“和谐集”,去掉1a 后,得2534a a a a +=+,去掉2a 后,得1534a a a a +=+,两式矛盾,故5n =时,集合不是“和谐集”当7n =,设{1,3,5,7,9,11,13}A ,去掉1后,35791113+++=+,去掉3后,19135711++=++,去掉5后,91313711+=+++,去掉7后,19113513++=++,去掉9后,13511713+++=+,去掉11后,3791513++=++,去掉13后,1359711+++=+,故{1,3,5,7,9,11,13}A 是“和谐集”,元素个数的最小值为720.对于函数()f x ,若()f x x =,则称实数x 为()f x 的“不动点”,若()()f f x x =,则称实数x 为()f x 的“稳定点”,函数()f x 的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A 和B ,即(){}A x f x x ==,()(){}B x f f x x ==. (1)对于函数()21f x x =-,分别求出集合A 和B ;(2)对于所有的函数()f x ,集合A 与B 是什么关系?并证明你的结论;(3)设()2f x x ax b =++,若{}1,3A =-,求集合B .【答案】(1){1}A =,{1}B =(2)证明见解析;(3){B =-【分析】(1)由f (x )=x ,解出x 的值即集合A 的元素,由()f f x x ⎡⎤⎣⎦=,解出x 的值即集合B的元素; (2)分别讨论A =∅与A ≠∅的情况,当A ≠∅时,设t A ∈,则()f t t =,即[()]=()f f t f t t =,进而得证;(3)由{1,3}A =-可得(1)1(3)3f f -=-⎧⎨=⎩,则13a b =-⎧⎨=-⎩,进而求解()f f x x ⎡⎤⎣⎦=即可. (1)由f (x )=x ,得21x x -=,解得1x =; 由()f f x x ⎡⎤⎣⎦=,得221)1(x x --=,解得1x =, ∴集合A ={1},B ={1}.(2)若A =∅,则A B ⊆显然成立;若A ≠∅,设t 为A 中任意一个元素,由[()]=()f f t f t t B =∈,可得A B ⊆.(3)解:∴{1,3}A =-,∴(1)1(3)3f f -=-⎧⎨=⎩,即2211333a b a b ⎧--+=-⎨++=⎩(),∴13a b =-⎧⎨=-⎩, ∴2()3f x x x =--,∴2222[()](3)(3)(3)3f f x f x x x x x x x =--=------=,∴222(3)0x x x ---=,∴22(3)23)0x x x ---=(,∴(1)(3)0x x x x +-=,∴x =1x =-或3x =,∴{B =-.21.设集合A 为非空数集,定义{|A x x a b +==+,a 、}b A ∈,{|||A x x a b -==-,a 、}b A ∈.(1)若{1A =-,1},写出集合A +、A -;(2)若1{A x =,2x ,3x ,4}x ,1234x x x x <<<,且A A -=,求证:1423x x x x +=+;(3)若{|02021A x x ⊆,}x N ∈且A A +-=∅,求集合A 元素个数的最大值.【答案】(1){}{}2,0,20,2A A +-=-=,;(2)证明见解析;(3)1348.【分析】(1)根据新定义,直接得出集合A A +-、;(2)根据两集合相等即可得出1234x x x x 、、、的关系;(3)通过假设A 集合{124042}m m m ++,,,,(2021)m m N ≤∈,, 求出相应的A A +-、,根据=A A +-∅列出不等式即可求出结果.(1) 由题意知,{11}A =-,, 得{202}{02}A A +-=-=,,,,; (2)由于集合12341234{}A x x x x x x x x =<<<,,,,,且A A -=,所以集合A -中有且仅有4个元素,即213141{0}A x x x x x x -=---,,,剩下的元素满足213243x x x x x x -=-=-,即1423x x x x +=+;(3)设12{}k A a a a =,,,满足题意,其中12k a a a <<<, 则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<, 所以21A k +≥-,1121311k a a a a a a a a -<-<-<<-,所以A k -≥,因为=A A +-∅,由容斥原理,31A A A A k +-+-=+≥-, A A +-最小的元素为0,最大的元素为2k a ,所以21k A A a +-≤+,所以*31214043()k k a k N -≤+≤∈,解得1348k ≤,实际上当{6746752021}A =,,,时满足题意,证明如下: 设{122021}A m m m =++,,,,()m N ∈, 则{221224042}A m m m +=++,,,,,{0122021}A m -=-,,,,, 依题意,有20212m m -<,即26733m >,所以m 的最小值为674, 于是当674m =时,集合A 中的元素最多,即{6746752021}A =,,,时满足题意. 综上所述,集合A 中元素的个数的最大值为1348.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.22.含有有限个元素的数集,定义“元素和”如下:把集合中的各数相加;定义“交替和”如下:把集合中的数按从大到小的顺序排列,然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4,6,9}的元素和是4+6+9=19;交替和是9-6+4=7;而{5}的元素和与交替和都是5.(1)写出集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和的总和;(2)已知集合{}1,2,3,4,5,6M =,根据提示解决问题.∴求集合M 所有非空子集的元素和的总和;提示:方法1:x M ∀∈,先求出x 在集合M 的非空子集中一共出现多少次,进而可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和;方法2:如果我们知道了集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集的元素和的总和为k ,可以用k 表示出M 的非空子集的元素和的总和,递推可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和.∴求集合M 所有非空子集的交替和的总和.【答案】(1)12;(2)∴672,∴192【分析】(1)写出集合{1,2,3}的非空子集,根据交替和的概念,求得各个交替和,综合即可得答案.(2)∴求得集合{1,2,3}所有非空子集中,数字1、2、3各出现的次数,集合{1,2,3,4}所有非空子集中,数字1、2、3、4各出现的次数,根据规律,推测出集合M 中各数字出现的次数,即可得答案.∴分别求得集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和总和,根据规律,总结出n 个元素的交替和总和公式,代入数据,即可得答案.【详解】(1)集合{1,2,3}的非空子集为{1},{2},{3},{2,1},{3,1},{3,2},{3,2,1},集合{1},{2},{3}的交替和分别为1,2,3,集合{2,1}的交替和为2-1=1,集合{3,1}的交替和为3-1=2,集合{3,2}的交替和为3-2=1,集合{3,2,1}的交替和为3-2+1=2,所以集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.(2)∴集合{1,2,3}所有非空子集中,数字1、2、3各出现242=次,集合{1,2,3,4}所有非空子集为:{1},{2},{3},{4},{2,1},{3,1},{4,1},{3,2},{2,4},{3,4},{3,2,1},{4,2,1},{4,3,1},{4,3,2},{4,3,2,1}, 其中数字1、2、3、4各出现382=次,在集合{1,2,3,4,5}所有非空子集中,含1的子集的个数为42=16,故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次,同理数字2、3、4、5各出现42=16次,同理在集合{1,2,3,4,5,6}所有非空子集中,数字1、2、3、4、5、6各出现52=32次, 所以集合M 所有非空子集的元素和的总和为32(123456)672⨯+++++=.∴设集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和分别为1234,,,S S S S , 集合{1}的所有非空子集的交替和为11S =集合{1,2}的所有非空子集的交替和212(21)4S =++-=,集合{1,2,3}的非空子集的交替和3123(21)(31)(32)(321)12S =+++-+-+-+-+=, 集合{1,2,3,4}的非空子集的交替和41234(21)(31)(41)S =++++-+-+-(32)(42)(43)(321)(421)(431)(432)(4321)32+-+-+-+-++-++-++-++-+-=所以根据前4项猜测集合{1,2,,}n ⋅⋅⋅的所有非空子集的交替和总和为12n n S n -=⋅,所以集合M 所有非空子集的交替和的总和5662192S =⨯=【点睛】解题的关键是根据题意,列出非空子集,求得元素和、交替和,总结规律,进行猜想,再代数求解,分析理解难度大,属难题.。
2022 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题与答案
第7题图第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题只有12022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题个正确答案.) 1.设集合N ==+∈A x x n n 21,}{,N ==+∈B x x n n 41,}{,则=B A( ▲ )A .N =+∈x x n n 41,}{B .N =+∈x x n n 42,}{C .N =+∈x x n n 43,}{D .∅2.已知复数=-+z 22i 13(其中i 为虚数单位),z 的共轭复数为z ,则下列说法错误..的是( ▲ ) A .=z z 2B .=z z ()2C .=z 13D .=-z ()133.C 地发生地震时,相距d km 的A B ,两地都能感受到,已知C 地位于A 地的正东方向上,C 地位于B 地的东偏南30方向上,且C 地距离A B ,两地分别为100km 和200km ,则d 的值是( ▲ ) A .-100523B .1003C .1007D .+1005234.有三个盒子,每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片.第一个盒子中有三张分别标号为1,2,3的卡片;第二个盒子中有五张分别标号为1,2,3,4,5的卡片;第三个盒子中有七张分别标号为1,2,3,4,5,6,7的卡片.现从每个盒子中随机抽取一张卡片,设从第i 个盒子中取出的卡片的号码为=x i i (1,2,3),则++x x x 123为奇数的概率是( ▲ )A .10529B .10553C .10557D .215.设=⨯a 2021202020222,=⨯b 2022202120232,=⨯c 2023202220242,则( ▲ ) A .<<a b c B .<<a c b C .<<c a b D .<<c b a6.已知p x y +>:0,q x x y y +++++>:lg(1)lg(1)022,则p 是q 的( ▲ )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.已知矩形ABCD 中,AB =2,AD =4.E ,F 分别在边AD ,BC 上,且AE =1,BF =3.如图所示,沿EF 将四边形AEFB 翻折成EFB A 11,在翻折过程中,二面角--CD E B 1的大小为θ,则θtan 的最大值是( ▲ )A .532B .533C .432D .4338.已知点P 是边长为1的正五边形ABCDE 内(含边界)一点,则PA PB PC PD PE ++++的最大值是( ▲ ) A .2cos 361B .2sin 361C .2cos 365D .2sin 365二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
湖北高一高中数学竞赛测试带答案解析
湖北高一高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________一、选择题1.将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图像关于y轴对称,则m 的最小值是()A.B.C.D.2.已知,则的值为()A.B.-C.D.-3.函数在一个周期内的图象如右,此函数的解析式为()A.B.C.D.4.在中,角所对的边分别为,若,且,则下列关系一定不成立的是()A.B.C.D.5.各项均为正数的等比数列的前项和记为()A.150B.-200C.150或-200D.-50或4006.已知数列的首项,且,则为()A.7B.15C.30D.317.用火柴棒摆“金鱼”,按照上面的规律,第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A.B.C.D.8.在各项均为正数的等比数列中,若,则等于()A .5B .6C .7D .89.等差数列的前项和为,若,,则下列结论正确的是( )A .B .C .D .10.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加( ) A .尺B .尺C .尺D .尺二、填空题1.给出下面命题:①函数是奇函数;②存在实数,使得;③若是第一象限角且,则;④是函数的一条对称轴;⑤在区间上的最小值是-2,最大值是,其中正确命题的序号是.2.已知,若,化简______________.3.设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a,b,c ,若△ABC 的面积为 S=a 2-(b -c)2,则=.4.设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列,则q 的值为 .5.已知函数f (x )=sin2x +2cos 2x +m 在区间[0,]上的最大值为3,则(1)m =;(2)对任意a ∈R ,f (x )在[a ,a +20π]上的零点个数为.三、解答题1.在中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且角A 、B 、C 成等差教列.(1)若,求边c 的值;(2)设,求t 的最大值.2.在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin(A -B )=cos C . (1)若a =3,b =,求c ; (2)求的取值范围.3.已知向量,(1)求;(2)若的最小值是,求实数的值.4.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、.(1)求数列的通项公式;(2)数列的前n 项和为,求证:数列是等比数列.5.已知等差数列{}的首项为a .设数列的前n 项和为S n ,且对任意正整数n 都有.(1)求数列{}的通项公式及S n ;(2)是否存在正整数n 和k ,使得成等比数列?若存在,求出n 和k 的值;若不存在,请说明理由.6.已知数列的首项.(1)求证:数列为等比数列;(2)记,若,求最大正整数的值;(3)是否存在互不相等的正整数,使成等差数列,且成等比数列?如果存在,请给予证明;如果不存在,请说明理由.湖北高一高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图像关于y轴对称,则m 的最小值是()A.B.C.D.【答案】B【解析】原函数数化为,图像向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的函数表达式为,此函数图像关于y轴对称,所以当,=2,可得,所以,可得m的最小值为.【考点】三角函数变换,三角函数的对称轴.2.已知,则的值为()A.B.-C.D.-【答案】A【解析】,=====.【考点】诱导公式.3.函数在一个周期内的图象如右,此函数的解析式为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由图象最高点可知,,则,.原函数化为,图象过,则.可得 .【考点】的图像与系数的关系.4.在中,角所对的边分别为,若,且,则下列关系一定不成立的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】将代入可得,所以或,当时有有.【考点】解三角形.5.各项均为正数的等比数列的前项和记为()A.150B.-200C.150或-200D.-50或400【答案】A【解析】由等比数列的前项和公式,,,由两式解得,,.【考点】等比数列的前项和.6.已知数列的首项,且,则为()A.7B.15C.30D.31【答案】D【解析】由两边同加1,可得,,则是以2为首项,以2 为公比的等比数列.则,所以,.【考点】构造法求数列的通项公式.7.用火柴棒摆“金鱼”,按照上面的规律,第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A.B.C.D.【答案】D【解析】第一个需8根,第二个需8+6=14(根),第三个8+6+6=20(根),需要的火柴棒根数呈等差数列,首项为8,公差为6,则第个需(根).【考点】等差数列的通项公式.8.在各项均为正数的等比数列中,若,则等于()A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】=.又,所以==.【考点】等比数列的性质,对数运算.9.等差数列的前项和为,若,,则下列结论正确的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】.【考点】等差数列的性质.10.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加()A.尺B.尺C.尺D.尺【答案】B【解析】由题可知女子每天织布尺数呈等差数列,设为,首项为,,可得,解之得.【考点】等差数列的性质与应用.二、填空题1.给出下面命题:①函数是奇函数;②存在实数,使得;③若是第一象限角且,则;④是函数的一条对称轴;⑤在区间上的最小值是-2,最大值是,其中正确命题的序号是.【答案】①④【解析】①=为奇函数;②,最大值;③令,,,但;④对称轴可由,求得,也满足;⑤在区间上的最大值为2.【考点】三角函数的性质.2.已知,若,化简______________.【答案】【解析】,,又,则,所以【考点】三角恒等变形,三角函数的性质.3.设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a,b,c ,若△ABC 的面积为 S=a 2-(b -c)2,则=.【答案】4 【解析】,可化为,又,代入可得,所以=4.【考点】余弦定理.4.设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列,则q 的值为 . 【答案】【解析】由题可知,且,据等比数列的前n项和公式可得,解之.【考点】等比数列的前n项和公式,等差数列的定义.5.已知函数f (x )=sin2x +2cos 2x +m 在区间[0,]上的最大值为3,则(1)m =;(2)对任意a ∈R ,f (x )在[a ,a +20π]上的零点个数为. 【答案】(1)0(2)40或41. 【解析】(1),在区间[0,]上的函数值范围为,又最大值为3,刚.(2)原函数周期,区间[a ,a +20π]间距为,则与X 轴交点个数为40或41.【考点】二倍角公式,辅助角公式,的图角与性质.三、解答题1.在中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且角A 、B 、C 成等差教列.(1)若,求边c 的值;(2)设,求t 的最大值. 【答案】(1)(2)【解析】(1)由三内角成等差可求,再利用余弦定理可求c;(2)由,可将转化为,再由A 范围求出最值.试题解析:解:(1)因为角成等差数列,所以,因为,所以. 2分因为,,,所以.所以或(舍去). 6分(2)因为,所以9分 因为,所以,所以当,即时,有最大值. 12分【考点】等差数列,余弦定理,的性质.2.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A-B)=cos C.(1)若a=3,b=,求c;(2)求的取值范围.【答案】(1)c=4(2)(-1,1)【解析】(1)由cos C=sin(-C).结合条件可得A-B+C=,从而B=,再利用余弦定理求出c;(2)结合B=,利用正弦定理和两角差的正弦将原式化为sin(2A-),由A的范围可得原式的范围. 试题解析:解:(1)由sin(A-B)=cos C,得sin(A-B)=sin(-C).∵△ABC是锐角三角形,∴A-B=-C,即A-B+C=,①又A+B+C=π,②由②-①,得B=.由余弦定理b2=c2+a2-2ca cos B,得()2=c2+(3)2-2c×3cos,即c2-6c+8=0,解得c=2,或c=4.当c=2时,b2+c2-a2=()2+22-(3)2=-4<0,∴b2+c2<a2,此时A为钝角,与已知矛盾,∴c≠2.故c=4. 6分(2)由(1),知B=,∴A+C=,即C=-A.∴===sin(2A-).∵△ABC是锐角三角形,∴<A<,∴-<2A-<,∴-<sin(2A-)<,∴-1<<1.故的取值范围为(-1,1). 12分【考点】正弦定理,余弦定理,三角函数性质.3.已知向量,(1)求;(2)若的最小值是,求实数的值.【答案】(1),=2cosx(2)【解析】(1)由向量的坐标运算,利用公式化简即可;(2)原函数由向量坐标运算可化为即又最小值,则结合二次函数最值可求得.试题解析:解:(1)==,∵,∴∴=2cosx. 6分(2)由(1)得即∵,∴时,当且仅当取得最小值-1,这与已知矛盾.时,当且仅当取最小值由已知得,解得时,当且仅当取得最小值由已知得,解得,这与相矛盾.综上所述,为所求. 12分【考点】向量的坐标运算,二次函数求最值,函数与方程的数学思想,分类讨论的数学思想.4.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、. (1)求数列的通项公式;(2)数列的前n项和为,求证:数列是等比数列.【答案】(1)(2)证明过程见试题解析.【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为,可得,又成等比,可得方程,则等比数列的三项进一步求公比,可得通项公式.(2)等比数列前n 项和为,由可知数列是等比数列.试题解析:解:(1)设成等差数列的三个正数分别为依题意,得所以中的依次为依题意,有(舍去)故的第3项为5,公比为2.由所以是以为首项,2为以比的等比数列,其通项公式为 6分(2)数列的前项和,即所以所以,数列是等比数列. 12分【考点】等差数列定义,等比数列的定义,等比数列的前n项和公式.5.已知等差数列{}的首项为a.设数列的前n项和为S,且对任意正整数n都有.n;(1)求数列{}的通项公式及Sn(2)是否存在正整数n和k,使得成等比数列?若存在,求出n和k的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1),;(2)存在正整数n=1和k=3符合题目的要求.;(2)假设存在,由题可得【解析】(1)令n=1,可得=3,又首项为a,可得等差数列的通项公式及Sn,由S可得可化为即,又n和k为正整数,所以得出n=1,k=3满足n要求.}的公差为d,试题解析:(1)设等差数列{an在中,令n=1可得=3,即故d=2a,。
2021年温州市摇篮杯高一数学竞赛试题及答案
浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(4月15日)1、已知集合{}|1,A x x x R =≠∈,A B R =,则集合B 不也许...是 ( )A 、{}|1,x x x R >-∈B 、{}|1,x x x R <-∈C 、{}|1,x x x R ≠-∈D 、{}0,1 2、已知sin36a ︒=,则sin108︒等于( )A 、3aB 、334a a -C 、334a a +D 、2-3、已知c b a ,,均为正数,且都不等于1,若实数z y x ,,满足0111,=++==zy x c b a zyx,则abc 值等于 ( ) A 、1B 、2C 、3D 、44、将正整数中所有被7整除数删去,剩余数依照从小到大顺序排成一种数列{}n a ,则100a 等于 ( ) A 、114B 、115C 、116D 、1175、今有一组实验数据如下:最能近似地表达这些数据规律函数模型是 ( )A 、x y b a =•B 、21y bx ax =++C 、2()y x x a b =-+D 、sin()y A x B ωϕ=++6、已知函数()2f x x bx c =++,若方程()f x x =无实根,则( )A 、对一切实数x ,不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦都成立B 、对一切实数x ,不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦都成立C 、存在实数b 和c ,使得不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立D 、不存在实数b 和c ,使得不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立7、某流程如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出函数是 ( )A 、2()f x x =B 、()1sin f x x =+C 、()ln 26f x x x =+-D 、2()lg(1)f x x x =+8、已知点O 是ABC ∆所在平面内一点,3260OA OB OC +-=且::5:4:3AB BC CA =,下列结论错误..是 ( )A 、点O 在ABC ∆外;B 、::6:3:2AOB BOC COA S S S ∆∆∆=C 、点O 到,,AB BC CA 距离比是72:45:40D 、,,,O A B C 四点共圆;二、填空题:本大题共6小题,每小题8分,共48分。
广东省揭阳市普宁市勤建学校2022-2023学年高一下学期学科竞赛数学试题含解析
高一年级第二学期学科竞赛数学试卷2023.5(考试时间:120分钟试卷满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.1.设集合A={2,0,1,3},集合B={x|−x∈A,2−x2A.-5B.-4C. -3D.-26.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体的上、下底面平行,且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,它的高为2,AA 1,BB 1,CC 1,DD 1均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90°,则图中异面直线AB 1与CD 1所成角的余弦值为( )A.45B.35C.34D. 237.如图,平面ABCD ⊥平面ABEF ,四边形ABCD 是正方形,四边形ABEF 是矩形,且4AB =,1AF =,若G 是线段EF 上的动点,则三棱锥C ABG −的外接球表面积的最小值是( ) A .16π B .20π C .32πD .36π8.已知1x 是函数()1ln(2)f x x x =+−+的零点,2x 是函数2()244g x x ax a =−++的零点,且满足12||1x x −≤,则实数a 的最小值是( )A .1−B .2−C .2−D .1二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.C .丙球员连续5场比赛得分都不低于24分D .丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24 12.如图,正方体1111ABCD A B C D −棱长为2,P 是直线1A D 上的一个动点,则下列结论中正确的是( )A .BPB .PA PC +的最小值为 C .三棱锥1B ACP −的体积不变D .以点B 1AB C 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知函数f(x)=3-x+a 的图象经过第二、三、四象限,g(a)=f(a)-f(a +1),则g(a)的取值范围是____________.则AC 的值为 .15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()112f x f x −++=,当]1[0x ∈,时,()22f x x x =−,若()f x x b ≥+对一切x ∈R 恒成立,则实数b 的最大值为___________.16.若1a b >>,且35a b +=,1a b −m ,2ab b a b −−+的最大值为n ,则mn 为___________. 四、解答题:本小题共6小题,共70分。
广东高一高中数学竞赛测试带答案解析
广东高一高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________一、选择题1.若,则是()A.B.C.D.2.如图,已知分别是正方体的棱的中点,设为二面角的平面角,则=()A.B.C.D.3.点是直线:上的动点,点,则的长的最小值是()A.B.C.D.4.有下列命题:①;②;③;④,其中正确命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个5.已知角与角的终边相同,那么的终边不可能落在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.若幂函数在上是增函数,则()A.B.C.D.不能确定7.已知,分析该函数图象的特征,若方程一根大于3,另一根小于2,则下列推理不一定成立的是()A.B.C.D.8.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使得点与点重合.若此时点与点重合,则的值为()A.B.C.D.9.函数是()A.周期为的偶函数B.周期为的奇函数C.周期为的偶函数D.周期为的奇函数10.的三内角所对边的长分别为设向量,,若∥,则角的大小为()A.B.C.D.11.已知是偶函数,它在上是减函数,若,则的取值范围是()A.B.C.D.12.设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题1.已知,,与的夹角为,则.2.在中,,,,则最短边的边长=.3.已知,则的值是.4.某同学在借助计算器求“方程的近似解(精确到0.1)”时,设,算得;在以下过程中,他用“二分法”又取了4个的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是.那么他又取的的4个值分别依次是.5.已知两圆和相交于两点,则公共弦所在直线的直线方程是.6.正六棱锥中,为侧棱的中点,则三棱锥与三棱锥的体积之比=.三、解答题1.(本题10分)如图所示,在直三棱柱中,,,、分别为、的中点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:.2.已知圆.(1)此方程表示圆,求的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线相交于、两点,且(为坐标原点),求的值;(3)在(2)的条件下,求以为直径的圆的方程.3.(本小题满分10分)已知函数.(1)求函数的定义域并判断函数的奇偶性;(2)设,若记,求函数的最大值的表达式.4.已知向量,其中.(1)若,求函数的最小值及相应x的值;(2)若与的夹角为,且,求的值.5.(本小题满分14分)经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间(天)的函数,且销售量近似满足(件),价格近似满足(元).(1)试写出该种商品的日销售额与时间()的函数关系表达式;(2)求该种商品的日销售额的最大值与最小值广东高一高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.若,则是()A.B.C.D.【答案】D【解析】,所以【考点】集合的运算2.如图,已知分别是正方体的棱的中点,设为二面角的平面角,则=()A.B.C.D.【答案】B【解析】建立空间直角坐标系,令正方体的棱长为2,则,设平面的法向量为,则由得,令,则,故,又由为平面的一个法向量,为的平面角,,故.故选B.【考点】二面角的平面角及其求法3.点是直线:上的动点,点,则的长的最小值是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由点到直线的距离公式求得,点及直线的距离是,则的最小值是.【考点】点到直线的距离4.有下列命题:①;②;③;④,其中正确命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】A【解析】①当为偶数,为负数时,,所以①不对;②明显不对;③应该为;④,④不对.故选择A.【考点】(1)根式(2)对数运算5.已知角与角的终边相同,那么的终边不可能落在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】由题知为第二象限角,所以可能落在第一,二,三象限,故选择C.【考点】(1)终边相同的角(2)象限角,轴线角6.若幂函数在上是增函数,则()A.B.C.D.不能确定【答案】A【解析】因为幂函数在上是增函数,所以【考点】幂函数的性质7.已知,分析该函数图象的特征,若方程一根大于3,另一根小于2,则下列推理不一定成立的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题得,函数的大致图像如图:由图得,B一定不成立,C,D一定成立,而A可能成立,也可能不成立,故选A.【考点】(1)二次函数的图像(2)根的存在性及根的个数判断8.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使得点与点重合.若此时点与点重合,则的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意,得到折痕的对称轴,也是的对称轴,的斜率为,其中点为,所以图纸的折痕所在的直线方程为,所以的中点为,所以,由①②解得【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程9.函数是()A.周期为的偶函数B.周期为的奇函数C.周期为的偶函数D.周期为的奇函数【答案】D【解析】,故选D.【考点】(1)降幂公式(2)正弦函数的周期(3)函数的奇偶性10.的三内角所对边的长分别为设向量,,若∥,则角的大小为()A.B.C.D.【答案】B【解析】,故选B.【考点】(1)余弦定理(2)平行向量与共线向量11.已知是偶函数,它在上是减函数,若,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】是偶函数,,,又因为在区间是减函数,,故选C.【考点】奇偶性与单调性的综合12.设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】,,,,解得,因为点是线段上的一个动点,所以,即满足条件的实数的取值范围是.【考点】向量的线性运算性质及几何意义二、填空题1.已知,,与的夹角为,则.【答案】【解析】由题意可得.【考点】(1)向量的模(2)数量积2.在中,,,,则最短边的边长=.【答案】【解析】,,,由正弦定理得:.【考点】正弦定理3.已知,则的值是.【答案】【解析】,【考点】三角函数的化简求值4.某同学在借助计算器求“方程的近似解(精确到0.1)”时,设,算得;在以下过程中,他用“二分法”又取了4个的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是.那么他又取的的4个值分别依次是.【答案】1.5, 1.75, 1.875, 1.8125【解析】根据“二分法”的定义,最初确定的区间是,又方程的近似解是,故后4个区间分别是,故它去的4个值分别为1.5, 1.75, 1.875, 1.8125.【考点】二分法的定义5.已知两圆和相交于两点,则公共弦所在直线的直线方程是.【答案】【解析】两圆为①,②,可得,所以公共弦所在直线的方程为.【考点】相交弦所在直线的方程6.正六棱锥中,为侧棱的中点,则三棱锥与三棱锥的体积之比=.【答案】 2:1【解析】由于为的中点,故等于的体积,在底面正六边形中,,而,故,于是,故三棱锥与三棱锥的体积之比为2:1.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积三、解答题1.(本题10分)如图所示,在直三棱柱中,,,、分别为、的中点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:.【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】(1)本题考察的直线与平面垂直的证明,根据直三棱柱的性质,利用面面垂直性质定理证出得出.正方形,对角线,由线面垂直的判定定理可证出.(2)取的中点,连接,利用三角形中位线定理和平行四边形的性质,证出,且,从而得到是平行四边形,可得,结合线面平行判定定理即可证出.试题解析:(Ⅰ)在直三棱柱中,侧面⊥底面,且侧面∩底面=,∵∠=90°,即,∴平面∵平面,∴.∵,,∴是正方形,∴,∴.(Ⅱ)取的中点,连、在△中,、是中点,∴,,又∵,,∴,,分故四边形是平行四边形,∴,而面,平面,∴面【考点】(1)直线与平面垂直的判定(2)直线与平面平行的判定2.已知圆.(1)此方程表示圆,求的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线相交于、两点,且(为坐标原点),求的值;(3)在(2)的条件下,求以为直径的圆的方程.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)本题考察的是二元二次方程表示圆的判定,可以把方程化为圆的标准方程,利用半径大于0,即可求得的取值范围.也可以利用公式,也可求得的取值范围.(2)本题考察的线段的垂直,可以转化为向量的垂直,利用向量积为0,即可求出所求的值.本题可以把直线方程与圆的方程联立,利用韦达定理及,建立关于的方程,即可求出的值.(3)根据的值即可求出以为直径的圆的圆心和半径,然后根据圆的标准方程,代入所求的圆心和半径,即可得到圆的方程.试题解析:(1)方程,可化为,∵此方程表示圆,∴,即(2)消去得,化简得.设,,则由得,即,∴.将①②两式代入上式得,解之得.(3)由,代入,化简整理得,解得.∴,.∴,∴的中点的坐标为又∴所求圆的半径为∴所求圆的方程为【考点】(1)直线和圆的方程的应用(2)二元二次方程表示圆的条件3.(本小题满分10分)已知函数.(1)求函数的定义域并判断函数的奇偶性;(2)设,若记,求函数的最大值的表达式.【答案】(1),偶函数;(2)【解析】(1)函数的定义域是使函数有意义的的取值范围,本题考察的是开偶次方根,所以只需使根号下大于等于0就可以了,再求出两个的交集.判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,再判断定义域关于原点对称,函数的解析式可以化简的要先化简,再去判断与的关系,即可判断函数的奇偶性.(2)本题考察的是二次函数动轴定区间求最值问题,根据二次函数的图像和性质,对对称轴的位置进行讨论,判断函数在定区间上的单调性,从而判断出最大值再某个点取得,代入即可求出最大值.试题解析:(1)函数有意义,须满足,得,故函数定义域是---2分因为,所以函数是偶函数.(2)设,则,∵,∴,∵,∴,即函数的值域为,即∴令∵抛物线的对称轴为①当时,,函数在上单调递增,∴;②当时,,③当时,,若即时,函数在上单调递减,∴;若即时,;若即时,函数在上单调递增,∴;综上得【考点】(1)函数的奇偶性(2)函数的最值及其几何意义4.已知向量,其中.(1)若,求函数的最小值及相应x的值;(2)若与的夹角为,且,求的值.【答案】(1),(2)【解析】(1)根据向量的数量积表示出函数的解析式后,令转化为二次函数,然后利用二次函数的性质即可求出的最小值,及其所对应的x的值.(2)根据向量与的夹角为确定,再由向量与向量的数量积等于0,整理可得,再讲代入即可得到所求答案.试题解析:(1)∵,,∴.令,则,且.则,.∴时,,此时.由于,故.所以函数的最小值为,相应x的值为.(2)∵a与b的夹角为,∴.∵,∴,∴.∵a⊥c,∴.∴,.∴,∴.【考点】平面向量的坐标运算5.(本小题满分14分)经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间(天)的函数,且销售量近似满足(件),价格近似满足(元).(1)试写出该种商品的日销售额与时间()的函数关系表达式;(2)求该种商品的日销售额的最大值与最小值【答案】(1)(2)最大为1225元,最小为600元.【解析】(1)本题考察是关于函数的应用题,要认真读题,找出题目中的等量关系,建立起关系式.根据可得该种商品的日销售额与时间的函数表达式.(2)本题考察的是分段函数,求关于分段函数的题时,记住一句话分段函数分段求.根据函数的定义域所对应的不同的解析式,求出各段的最值,再进行比较即可得到答案.试题解析:(1)依题意,可得:(2)当时,的取值范围是,在时,取得最大值为1225;当时,的取值范围是,在时,取得最小值为600;综上所述,第五天日销售额最大,最大为1225元;第20天日销售额最小,最小为600元.【考点】分段函数的应用;函数解析式的求解及常用方法.。
高一数学竞赛试题含解析 试题
2021年高一年级数学竞赛试卷第一卷〔一共60分〕一、填空题〔每一小题10分,一共80分.〕1. 假设是单位向量,且,那么__________.【答案】0【解析】2. 函数的值域为__________.【答案】【解析】时,x-1时,1-x<0, <-1综上值域为故答案为点睛:分段函数求值域,先分段求,再求并集,注意的是指数函数都是大于0的3. 4个函数,,,图象的交点数一共有__________.【答案】5故答案为54. 假设,那么__________.【答案】0.........5. ,,,那么__________.【答案】【解析】∵cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0,∴cosγ=−cosα−cosβ,sinγ=−sinα−sinβ,∵=1,∴=1,整理得:2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即cosαcosβ+sinαsinβ=−,∴cos(β−α)= −,∵0⩽α<β<2π,∴0<β−α<2π∴β−α=或者.①∴同理可得:cos(γ−β)=−−,解得:γ−β=或者②。
cos(γ−α)= −;解得:γ−α=或者③。
∵0⩽α<β<γ<2π,∴β−α=,γ−β=,γ−α=.故β−α的值是.点睛:此题主要考察了同角平方关系的应用,解题的关键是要发现sin2γ+cos2γ=1,从而可得α,β的根本关系,但要注意出现多解时一定要三思而后行.6. 甲乙两人玩猜数学游戏,先由甲心中想一个数字,记为,再由乙猜甲刚刚所想的数字,把乙猜的数字记为,其中,假设,称甲乙“心相近〞,现任意两人玩这游戏,那么他们心相近的概率为__________.【答案】【解析】7. 在中,角所对边分别为,假设,那么__________.【答案】【解析】又A为锐角,所以A=8. 将10个数1,2,3,…,9,10按任意顺序排列在一个圆圈上,设其中连续相邻的3数之和为,那么的最大值不小于__________.【答案】18【解析】设10个在圆圈上的排列的数依次为其中于是=故中必有一个不小于18故答案为18二、解答题〔一共70分〕9. 函数〔〕是偶函数,假设对一实在数都成立,务实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析:函数〔〕是偶函数得出,证明出当时,为增函数,,根据单调性去掉f,得出,即得解试题解析:〔〕是偶函数,当时,,得对一切都成立,所以,.于是设,,所以,当时,为增函数.,,于是,即,所以即对一实在数都成立.点睛:型如的题目肯定会用到函数的奇偶性,单调性,所以做题时从这两方面着手即可.10. 记表示不超过实数的最大整数,在数列中,,〔〕,证明:.【答案】见解析【解析】试题分析:由〔〕知,数列化为,两边同除得,裂项相消求和即得解.试题解析:由〔〕知,数列为正项递增数列.又,所以,.化为,两边同除得.因此,故11. 如图,定直线与定相离,为上任意一点,为的两条切线,为两切点,其垂足为点,交于点,证明:为定长.【答案】见解析【解析】试题分析:因为,,由射影定理,得,因为,所以,四点一共圆,由圆幂定理得结合两个等式即得解.试题解析:连,设为,的交点,因为,,由射影定理,得因为,所以,四点一共圆.由圆幂定理,得所以,即〔定值〕,所以,为定长.12. 有〔〕个整数:,,…,,满足,,证明能被4整除.【答案】见解析【解析】试题分析:反证法来解决问题,假设为奇数,由,得均为奇数推出矛盾,所以,中必有偶数,假如中仅有一个偶数,推出矛盾,所以中必至少有2个偶数,即得证试题解析:首先,为偶数,事实上,假设为奇数,由,得均为奇数,而奇数个奇数和应为奇数,且不为0,这与矛盾,所以,为偶数所以,中必有偶数.假如中仅有一个偶数,那么中还有奇数个奇数,从而,也为奇数,矛盾,所以,中必至少有2个偶数.由知,能被4整除.励志赠言经典语录精选句;挥动**,放飞梦想。
2019-2020年高一下学期学科竞赛(学分认定考试)数学试题 含答案
2019-2020年高一下学期学科竞赛(学分认定考试)数学试题含答案一、选择题(共12个小题,每个小题5分,共60分,每个小题只有一个选项,把答案填涂在答题卡上).设集合,则( )A.B.C.D..函数f(x)=的零点在区间()A.(﹣1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3).某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D..设α是空间中的一个平面,,m,n是三条不同的直线,则下列命题中正确的是()A.若m⊂α,n⊂α,m,n,则αB.若m⊂α,nα,n,则//mC.若//m,mα,nα,则//n D.若m,n,则n//m.是定义在上的奇函数,且当时,,则函数的零点的个数是()A. B. C.D..已知定义在上的函数()为偶函数.记,则的大小关系为()A.B.C.D..已知实数满足,则函数的零点所在的区间是()A.B.C.D..已知函数是定义在上的偶函数, 且在区间单调递增,若实数满足, 则的取值范围是()A.B.C.D..若函数在区间内恒有,则函数的单调递增区间是()A.B.C.D..已知函数在上有两个零点,则的取值范围为()A.B.C.D..已知向量满足,与的夹角为,若对一切实数,恒成立,则的取值范围是()A.B.C.D..已知直线与圆交于不同的两点、,是坐标原点,若,则实数的取值范围是()A.B.C.D.[第II卷(共90分)二、填空题(共4个小题,每个小题4分,共16分,把答案填写在答题纸相应的位置).若,则..已知函数是定义在上的减函数,如果在上恒成立,那么实数的取值范围是_____..若函数的值域为,则实数的取值范围为 ..如果直线和函数的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆的内部或圆上,那么的取值范围为.三、解答题(共6个小题,把答案写在答题纸相应的位置,只有结果没有过程的不得分).(12分)设平面向量.(1)若,求的值;(2)若,求的取值范围..(12分)如图所示,在四棱锥中,平面,又,,且.(1)在网格中画出四棱准的正视图;(2)求证:平面平面;(3)在棱上是否存在一点,使得平面,若存在,求的值. 若不存在,请说明理由.(12分)已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;(2)当时,若恒成立,求的取值范围..(12分)已知圆的方程为.(1)求过点且与圆相切的直线的方程;(2)直线过点,且与圆交于两点,若,求直线的方程;(3)圆上有一动点,若点为的中点,求动点的轨迹方程..(12分)已知定义在的函数,其中e是自然对数的底数.(Ⅰ)判断奇偶性,并说明理由;(Ⅱ)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围..(14分)一般地,如果函数的图象关于点对称,那么对定义域内的任意,则恒成立,已知函数的定义域为,其图象关于点对称.(1)求常数的值;(2)解方程:;(3)求证:.高一学科竞赛试题答案(数学)第I卷(共60分)一、选择题DBACC BBCAA CB第II卷(共90分)二、填空题(共4个小题,每个小题4分,共16分,把答案填写在答题纸相应的位置)16、13、14、15、三、解答题(共6个小题,把答案写在答题纸相应的位置,只有结果没有过程的不得分)17、(12分)答案.(1);(2).【解析】(1)因为,所以,-------2分∴,∴. ------5分(2)----8分,------10分,. -------12分18、(12分)【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)【解析】(1)解:四棱准的正视图如图所示.-----4分(2)证明:因为平面,平面,所以 .因为,,平面,平面,所以平面.因为平面,所以平面平面. -----8分(3)分别延长交于点,连接,在棱上取一点,使得.下证平面.因为,,所以,即.所以 . 所以.因为平面,平面,所以平面.--------12分19、(12分)答案.(1),;(2).【解析】(1)----2分∴函数最小正周期是, -----4分解得,函数单调递增区间为---6分(2),∴的最小值1,-----9分由恒成立,得恒成立.所以的取值范围为--------12分20、(12分)【答案】(1)和;(2)或;(3)【解析】(1)显然直线斜率存在,设切线方程为,则由,得,从而所求的切线方程为和------4分(2)当直线垂直于轴时,此时直线方程为,与圆的两个交点坐标为和,这两点的距离为,满足题意:当直线不垂直于轴时,设其方程为,即,设圆心到此直线的距离为,则,得,从而,得,此时直线方程为,综上所述,所求直线方程为或.----8分(3)设点的坐标为,点坐标是,∴,所以.∵,∴∴点的轨迹方程是------12分21、(12分)【答案】(Ⅰ)是上的奇函数;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ),,∴是上的奇函数;-----3分(Ⅱ)由题意知是上的增函数(需要证明),------6分则,------ 8分,因为,则当时取最小值,∴------12分22、(14分)【答案】(1);(2);(3)证明见解析.【解析】(1)∵的定义域为,∴,由题意有恒成立,又,∴------4分(2)由(1)知:,∴,-----6分令,则原方程变为:,解之得或,当时,,无解;------8分当时,.-------10分(3)由(1)知,,法1:设g(n)=可写成,两式相加得,所以----14分.。
高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 (考试时间:5月14日上午8:30-11:00)一、选择题(每小题6分,共36分)1.已知集合203x A xx Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭,,则集合A 中所有元素的和为( ) A .1- B .0 C .2 D .3 【答案】 B 【解答】由203x x +≤-,得23x -≤<。
又x Z ∈。
因此{}21012A =--,,,,。
所以,集合A 中所有元素的和为0。
2.已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直,若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π,则三棱锥A BCD -的体积为( )A .43B .23C .16D .19【答案】 C【解答】设AB AC AD a ===,则三棱锥A BCD -外接球的半径R =。
由243R ππ=,得R =。
∴ 1a =,三棱锥A BCD -的体积31166V a ==。
3.已知x 为实数,若存在实数y ,使得20x y +<,且23xy x y =-,则x 的取值范围为( )A .(43)(0)--⋃+∞,, B .(02)(4)⋃+∞,, C .(4)(30)-∞-⋃-,, D .(0)(24)-∞⋃,, 【答案】 C 【解答】 由23xy x y =-,得23xy x =+ ∵ 20x y +<, ∴ 2203x x x +<+,即(4)03x x x +<+,解得4x <-或30x -<<。
∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-⋃-,,。
BC(第2题图)4.m 、n 是两条不重合的直线,α、β是两个不重合的平面,则下列命题中,正确的命题的个数是( )(1)对m 、n 外任意一点P ,存在过点P 且与m 、n 都相交的直线; (2)若m α⊥,n m ∥,n β∥,则αβ⊥; (3)若m α⊥,n β⊥,且αβ⊥,则m n ⊥; (4)若m α∥,n α∥,m β∥,n β∥,则αβ∥。
2023-2024学年安徽省高一下学期春季联赛数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年安徽省高一下册春季联赛数学模拟试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共8小题,其中第3题为选考题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}210A x x =-=,{}1B x ax ==,若A B B = ,则实数a 取值集合为()A.{}1- B.{}1 C.{}1,1- D.{}1,0,1-【正确答案】D【分析】由题意知B A ⊆,分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况,即可得出结果.【详解】由A B B = ,知B A ⊆,因为{}{}2101,1A x x =-==-,{|1}B x ax ==,若B =∅,则方程1ax =无解,所以0a =;若B ≠∅,0a ≠,则1{|1}B x ax x x a ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭,因为B A ⊆,所以11a=±,则1a =±;故实数a 取值集合为{}1,0,1-.故选:D.2.“()23x k k Z ππ=+∈”是“tan x =”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】若tan x =则3x k ππ=+()k ∈Z ,即()23x k k ππ=+∈Z 或()423x k k ππ=+∈Z ,推不出()23x k k ππ=+∈Z ;反过来,若()23x k k ππ=+∈Z ,可推出tan tan 3x π==.故“()23x k k ππ=+∈Z ”是“tan x =”的充分不必要条件.故选:A.【选考人教版】3.欧拉公式i e cos isin x x x =+(i 为虚数单位,x ∈R )是由瑞土著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数之间的关系,根据此公式可知,下面结论中正确的是()A.πi 2e10-= B.i i e e sin 2x xx --=C.5i e 在复平面内对应的点位于第二象限D.2(cos isin )cos 2isin 2x x x x+=+【正确答案】D【分析】由欧拉公式,代入对应x 的值,即可判断A 和C ;由i e cos isin x x x =+得i e cos isin x x x -=-,两式联立,解出sin x 即可判断B ;由二倍角公式即可判断D .【详解】对于A :由欧拉公式得πi 2ππe cosisin i 22=+=,所以πi 2e i 0-=,故A 错误;对于B :由i e cos isin x x x =+得i e cos isin x x x -=-,两式联立得i i e cos isin e cos isin x x x xx x -⎧=+⎨=-⎩,两式相减消去cos x 得,i i 2isin e e x x x -=-,所以i i i i i i ()sin 222x x x x x x e e ie i i e e x i e ------===-,故B 错误;对于C :由欧拉公式得,5i e cos5isin 5=+,在复平面对应点的坐标为(cos5,sin 5),因为35(,2)2ππ∈,所以cos50,sin 50><,所以5i e 在复平面内对应的点位于第四象限,故C 错误;对于D :222(cos isin )cos sin 2isin cos cos 2isin 2x x x x x x x x +=-+=+,故D 正确,故选:D .【选考北师大版】4.小明在整理数据时得到了该组数据的平均数为20,方差为28,后来发现有两个数据记录有误,一个错将11记录为21,另一个错将29记录为19.在对错误的数据进行更正后,重新求得该组数据的平均数为x ,方差为2s ,则()A.20x >,228s < B.20x <,228s > C.20x =,228s < D.20x =,228s >【正确答案】D【分析】不妨记更正前该组数据为:1218,,,,21,19x x x ⋅⋅⋅,然后根据平均数和方差公式先求出1818211360,(20)558i i i i x x ===-=∑∑,再利用公式即可求得更正后的平均数和方差.【详解】不妨记更正前该组数据为:1218,,,,21,19x x x ⋅⋅⋅,则更正后的数据为.1218,,,,11,29x x x ⋅⋅⋅由题可知,18182221111(2119)20,[(20)(2120)(1920)]282020i i i i x x ==++=-+-+-=∑∑,整理得1818211360,(20)558ii i i xx ===-=∑∑.所以1811(1129)2020i i x x ==++=∑,182222111[(20)(1120)(2920)]5588181)36282020i i s x ==-+-+-=++=>∑(.故选:D5.我国南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中给出了三角形的面积公式:已知ABC 的三边分别为a ,b ,c ,则ABC的面积S =在ABC 中,6c =,10a b +=,则ABC 面积的最大值为()A.12B.10C.8D.6【正确答案】A【分析】将6c =,10b a =-代入面积公式可得S =得5a =时,ABC 面积的最大值为12.【详解】由10a b +=可得10b a =-,将6c =,10b a =-代入面积公式可得S ======由二次函数单调性可知,当5a =时,S =12;经检验5a =符合题意,所以ABC 面积的最大值为12.故选:A6.计算:28cos 25tan 404︒-︒-的值为()A.1B.12C.312+ D.【正确答案】D【分析】根据余弦的倍角公式,合计两角和与差的正弦、余弦公式,准确化简,即可求解.【详解】由21cos508cos 25tan 4048tan 4044cos50tan 402+︒︒-︒-=⨯-︒-=︒-︒sin 404sin 40cos 40sin 404sin 40tan 404sin 40cos 40cos 40︒︒︒-︒=︒-︒=︒-=︒︒2sin 80sin 402cos10sin 402cos10sin(3010)cos 40cos 40cos 40︒-︒︒-︒︒-︒+︒===︒︒︒13332cos10(cos10sin10)cos10sin102222cos 40cos 40︒-︒+︒︒-︒==︒︒313(cos10sin10)3cos 4022cos 40cos 40︒-︒︒===︒︒故选:D.7.已知平面向量a 与a b +的夹角为60︒,若0a t b -≤ 恒成立,则实数t 的取值范围为()A.,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.3,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭C.[)2,+∞ D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【正确答案】A【分析】由两向量a 与a b +的夹角为60︒可画出图示表示其位置关系,再根据b 的取值范围即可求得实数t 的取值范围是,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【详解】根据题意可知,利用平面向量的三角形法则画出其几何关系,如下图所示:记,OA a AB b ==,则OB a b =+;由平面向量的三角形法则可知,点B 可以在射线OB (除O 点外)上移动,易知当90ABO ∠=,即OB AB ^时,AB b = 取最小值,此时32b a =,即32b ≥ ;若0a t b -≤恒成立时,即maxa tb ⎛⎫ ⎪≥ ⎪⎝⎭即可,由32b a ≥ 可得,33223aba a ≤=,即233t ≥;所以,实数t 的取值范围为23,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选:A8.已知函数1()e e x x f x ax -=--,若1x ,2x 是函数1()e e x x g x a -=+-的两个零点,且()()124f x f x +=-,则实数=a ()A.2B.3C.4D.5【正确答案】C【分析】根据题意,将函数()g x 的零点代入表达式,利用换元法,可得121x x =+,找到1x 与2x 关系,代入()()124f x f x +=-,化简可得()()111f x f x a +-=-,即可求得结果.【详解】1x ,2x 是函数1()e e x x g x a -=+-的两个零点,111e e0x x a -∴+-=,即11e e 0e xx a +-=,同理22e e 0ex x a +-=,1e x ∴,2e x 是方程2e 0t at -+=的两个根,其中11e x t =,22e xt =,1212e e e x x t t ∴==,可得121x x =+,()()124f x f x +=- ,11221112e e e e 4x x x x ax ax --∴--+--=-,即11111111111(1)111212e ee e e e e e ()4xx x x x x x x ax ax a x x a --------+--=-+--+=-=-,4a ∴=,故选:C .9.已知2ln 32a =,3ln 23b =,ln65c =,则()A.a b c <<B.b a c<< C.a c b<< D.b<c<a【正确答案】A【分析】根据题意得到ln ln 2ln 9a =,ln ln 3ln 8b =,ln ln 5ln 6c =,令()ln ln(11)f x x x =-,其中25x ≤≤,求得()0f x ¢>,结合函数()f x 的单调性,即可求解.【详解】由2ln 32a =,3ln 23b =,ln65c =,对,,a b c 两边取对数,可得ln ln 2ln 9a =,ln ln 3ln 8b =,ln ln 5ln 6c =,令()ln ln(11)f x x x =-,其中25x ≤≤,可得()ln(11)ln (11)ln(11)ln 11(11)x x x x x xf x x x x x ----'=-=--,令()ln ,1g x x x x =>,可得()ln 10g x x '=+>,所以()g x 为单调递增函数,当25x ≤≤时,可得11x x ->,所以(11)ln(11)ln 0x x x x --->,所以()0f x ¢>,()f x 在[]2,5单调递增,所以()()()()2345f f f f <<<,即ln 2ln 9ln 3ln 8ln 4ln 7ln 5ln 6<<<,所以a b c <<.故选:A.二、选择题(本题共4小题,其中第10题为选考题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)10.为了得到函数3π()2sin 82g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只需把()2cos 4f x x =函数图象上所有点()A.向左平移π4个单位长度,再将横坐标缩短到原来的12倍B.向右平移π4个单位长度,再将横坐标缩短到原来的12倍C.横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移π8个单位长度D.横坐标缩短到原来的12倍,再向左平移π8个单位长度【正确答案】ABD【分析】利用诱导公式将()g x 化简,再根据三角函数的变换规则一一判断即可.【详解】因为()3π()2sin 82cos82cos 8π2g x x x x ⎛⎫=+=-=± ⎪⎝⎭,所以将()2cos 4f x x =向左平移π4个单位长度得到()π2cos 42cos 4π4y x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,再将横坐标缩短到原来的12倍得到()2cos 8πy x =+,故A 正确;将()2cos 4f x x =向右平移π4个单位长度得到()π2cos 42cos 4π4y x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,再将横坐标缩短到原来的12倍得到()2cos 8πy x =-,故B 正确;将()2cos 4f x x =横坐标伸长到原来的2倍得到2cos 2y x =,再将2cos 2y x =向左平移π8个单位长度得到ππ2cos 2842cos 2y x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+ ⎝=⎪⎭,故C 错误;将()2cos 4f x x =横坐标缩短到原来的12倍得到2cos8y x =,再将2cos8y x =向左平移π8个单位长度得到()22cos8πcos 8π8y x x =+⎛⎫=+⎪⎝⎭,故D 正确;故选:ABD 【选考人教版】11.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1,BC CC 的中点,则()A.直线1A B 与EF 所成的角的大小为60︒B.直线1A C ⊥平面DEFC.平面DEF ⊥平面11BCC BD.平面DEF 将正方体截成的两部分的体积之比为23:1【正确答案】AD【分析】对于A ,利用异面直线所成的角将EF 平移至1BC 即可知直线1A B 与EF 所成的角的大小为60︒;对于B ,假设直线1A C ⊥平面DEF ,利用线面垂直的性质定理可得//BD DE ,显然不成立,即B 错误;同理对于C ,由面面垂直的性质定理可以得出矛盾,所以C 错误;对于D ,分别求得平面DEF 将正方体截成的两部分的体积即可知D 正确.【详解】对于A ,连接1111,,BC A B C A ,如下图所示:由正方体性质可知,1111BC A B AC ==,即三角形11A BC 为正三角形,又因为,E F 分别为1,BC CC 的中点,所以1//EF BC ,因此直线1A B 与EF 所成的角即为直线1A B 与1BC 所成的角,即11A BC ∠或其补角;又1160A BC ∠=,所以直线1A B 与EF 所成的角的大小为60︒,即A 正确;对于B ,假设直线1A C ⊥平面DEF ,又DE ⊂平面DEF ,所以1A C DE ⊥;连接,AC BD ,如下图所示:易知1AA ⊥平面ABCD ,DE ⊂平面ABCD ,所以1AA DE ⊥,又111AA AC A = ,11AA AC ⊂,平面1AAC ,所以DE ⊥平面1AAC ,又易知BD ⊥平面1AAC ,所以//BD DE ,这与BD DE D ⋂=矛盾,所以直线1AC 与平面DEF 不垂直,即B 错误;对于C ,取EF 的中点为M ,连接DM ,如下图所示:易知DE DF =,EF 的中点为M ,所以DM EF ⊥,假设平面DEF ⊥平面11BCC B ,且平面DEF ⋂平面11BCC B EF =,所以DM ⊥平面11BCC B ,又DC ⊥平面11BCC B ,可得//DM DC ,这与DM DC D = 矛盾,所以C 错误;对于D ,不妨设正方体边长为a ,则正方体的体积即为3a ,平面DEF 将正方体截成的较小部分为三棱锥F DEC -,由锥体体积公式可得31111113322224F DEC DEC V S FC a a a -=⋅=⨯⨯⨯=V ,则较大部分体积为332324F DEC a V a --=,所以平面DEF 将正方体截成的两部分的体积之比为23:1,即D 正确.故选:AD 【选考北师大版】12.一位植物学家想要研究某类植物生长1年之后的高度,他随机抽取了n 株此类作物,测得它们生长1年之后的高度(单位:cm ),将收集到的数据按照[)30,40,[)40,50,[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90,[]90,100分组,画出频率分布直方图,已知随机抽取的植物生长1年之后高度低于60cm 的有20株,则以下结论中正确的是()A.100n =B.此次检测植物生长高度的第80百分位数约为80C.此次检测植物生长高度的众数的估计值为80D.此次检测植物生长高度在[)70,90之间的有50株【正确答案】AD【分析】先由频率求得n ,再根据频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果.【详解】对于A ,植物生长1年之后高度低于60cm 的频率为(0.0050.0050.010)100.20++⨯=,所以0.2020n ⨯=,解得100n =.故A 正确;对于B ,设这组数据的第80百分位数为m ,则800.2590800.30m -=-,解得.88.3m ≈故B 错误;对于C ,由众数的定义知,估计这组数据的众数为85.故C 错误;对于D ,此次检测植物生长高度在[)70,90之间的频率为(0.0200.030)100.50+⨯=,所以此次检测植物生长高度在[)70,90之间的有0.5010050⨯=株.故D 正确.故选:AD13.已知()f x 是定义在有限实数集A 上的函数,且1A ∈,若函数()f x 的图象绕原点逆时针旋转30 后与原图象重合,则()1f 的值不可能是()A.0B.33C.2D.【正确答案】C【分析】问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合,根据定义就是要求一个x 只能对应一个y 可得答案.【详解】由题意得到,问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合,我们可以通过代入和赋值的方法,当()1,03f =时,此时得到的圆心角为ππ,,036,然而此时0x =或者1x =时,都有2个y 与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ,因此只有当x =π6,此时满足一个x 只会对应一个y .故选.C.14.已知函数()f x ,()g x 的定义域均为R ,且满足()()20f x f x -+=,()()13f x g x -+=,()()33f x g x +-=,则()A.()f x 为奇函数B.4为()g x 的周期C.()()()122060f f f ++⋅⋅⋅+=D.()()()122060g g g ++⋅⋅⋅+=【正确答案】BD【分析】对于A ,由()()20f x f x -+=得出()f x 的对称中心为(1,0),再由()()13f x g x -+=和()()33f x g x +-=得出()f x 关于2x =对称,则()f x 关于y 轴对称,为偶函数,判断出A ;对于B ,由()()20f x f x -+=和(3)(1)f x f x +=-,得出()f x 的周期为4,再根据()()31g x f x =--,即可得出()g x 的周期;对于C ,由()f x 的周期性和奇偶性,求出(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=,即可判断C ;对于D ,根据()()31g x f x =--和()g x 的周期即可判断D .【详解】对于A :因为()()20f x f x -+=,所以()f x 的对称中心为(1,0),因为()()33f x g x +-=,所以()()33f x g x ++=,又()()13f x g x -+=,所以(3)(1)f x f x +=-,则()f x 关于2x =对称,结合()f x 的对称中心为(1,0),所以()f x 关于y 轴对称,即()f x 为偶函数,故A 错误;对于B :因为()()20f x f x -+=,所以()()110f x f x ++-=,又(3)(1)f x f x +=-,所以()1(3)f x f x +=-+,即(2)()f x f x +=-,所以(4)(2)[()]()f x f x f x f x +=-+=--=,即()f x 的周期为4,又()()31g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故B 正确;对于C :由()f x 对称中心为(1,0),得(1)0f =,又因为()f x 对称轴为2x =,所以(3)0f =,所以()f x 关于(3,0)对称中心,所以(2,(2))f 和(4,(4))f 关于点(3,0)对称,所以(2)(4)0f f +=,所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=,所以()()()12200f f f ++⋅⋅⋅+=,故C 错误;对于D :由C 得(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=,因为()()31g x f x =--,所以(1)3(0)g f =-,(2)3(1)3(1)g f f =--=-,(3)3(2)g f =-,(4)3(3)g f =-,所以(1)(2)(3)(4)3(0)3(1)3(2)3(3)g g g g f f f f +++=-+-+-+-12[(0)(1)(2)(3)]12f f f f =-+++=,又因为()g x 的周期为4,所以()()()12205[(1)(2)(3)(4)]60g g g g g g g ++⋅⋅⋅+=⨯+++=,故D 正确,故选:BD .方法点睛:①若函数()f ax b +是奇函数,则函数()f x 的图像关于点(,0)b 对称;②若函数()f ax b +是偶函数,则函数()f x 的图像关于直线x b =对称;③若函数()f x 是奇函数,则函数()(0)f ax b a +≠的图像关于点(,0)ba-对称;④若函数()f x 是偶函数,则函数()(0)f ax b a +≠的图像关于直线bx a=-对称;⑤若函数()f x 的图像既有对称轴又有对称中心,则对称轴关于对称中心对称的直线仍是函数()f x 图像的对称轴,对称中心关于对称轴对称的点仍是函数()f x 图像的对称中心;⑥若函数()f x 的图像关于点(,)m n 对称,且函数()f x 在x m =时有意义,则有()f m n =;⑦若函数()f x 的图像具有双对称性,则函数()f x 为周期函数;若()f x 的图像关于直线x a =,x b =对称,则函数()f x 是以2a b -为周期的周期函数;若()f x 的图像关于点(,)a c 和(,)b c 对称,则函数()f x 是以2a b -为周期的周期函数;若()f x 的图像关于直线x a =对称,又关于点(,)b c 对称,则函数()f x 是以4a b -为周期的周期函数;⑧若函数()f x 的周期为T ,则函数()(0)f ax b a +≠的周期为Ta.第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)15.已知函数)()log a f x x =是奇函数,则a 的值为______.【正确答案】13【分析】易知函数是定义在R 上的函数,直接利用奇函数定义建立方程可以求出a .【详解】因为x x >=≥0x >在R 上恒成立,所以函数)()log a f x x =的定义域为R ,又函数)()log af x x =是奇函数,所以))()22()()log log log 3log 30aaa a f x f x x x x a x a +-=++=+-==,则31a =,所以13a =.故1316.中国扇文化有着深厚的文化底蕴,是民族文化的一个组成部分,与竹文化、道教文化有着密切关系,历来中国有“制扇王国”之称.现有一块扇子如图1所示,其平面图如图2所示,在扇形中,已知120AOB ∠=︒,6OA =,2OC =,则扇面(曲边四边形ABCD )的面积为______.【正确答案】32π3##32π3【分析】将圆心角化为弧度,然后用大扇形面积减小扇形面积可得.【详解】因为2π1203︒=,所以,扇面的面积为2212π12π32π6223233⨯⨯-⨯=.故32π317.已知正数a ,b 满足2ln224b a b a -=+-,则122a b ab++的最小值为______.【正确答案】52+【分析】根据式子结构特征构造函数,利用函数的单调性得到2a b +=,再利用基本不等式求解最小值.【详解】因为正数a ,b 满足2ln 224ba b a-=+-,所以ln(2)2(2)ln 2b b a a -+-=+,设()ln 2f x x x =+,则1()20f x x'=+>,所以函数()ln 2f x x x =+在(0,)+∞上单调递增,因为(2)()f b f a -=,所以2b a -=,即2a b +=,所以1221223123123()()(5)22a b b a a b a b ab a b ab a b a b a b+++=++=+=++=++15(522+≥+=,当且仅当232b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即46a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时,等号成立,故52+18.已知函数()y f x =,x A ∈,对任意的a ,b ,c A Î,都存在以()f a ,()f b ,()f c 为三边的三角形,则称该函数为三角形函数.若函数3,02()13,312x m x f x x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪-⎩是三角形函数,则实数m的取值范围是______.【正确答案】79(,)42【分析】根据题意,将问题转化为满足min max 2()()f x f x >求m 的取值范围,然后分类讨论函数()f x 的值域,根据min max 2()()f x f x >求解可得.【详解】当302x ≤≤时,3()[,2f x m m ∈+;当332x <≤时,1()111f x x x =-++-,令1t x =-,则11()1,(,2]2g t t t t =++∈,由对勾函数性质可知,()g t 在1(,1)2上单调递减,在(1,2]上单调递增,又17(1)3,()(2)22g g g ===,所以7()[3,]2g t ∈,即7()[3,]2f x ∈.不妨设()()()f a f b f c ≤≤,则对任意的a ,b ,c A Î,都存在以()f a ,()f b ,()f c 为三边的三角形,等价于对任意的a ,b ,c A Î,都有()()()f a f b f c +>,等价于min max 2()()f x f x >.当37220m m ⎧+≤⎪⎨⎪>⎩,即02m <≤时,722m >,即74m >,所以724m <≤;当37223m m ⎧+>⎪⎨⎪≤⎩,即23m <≤时,322m m >+,即32m >,所以23m <≤;当37223m m ⎧+>⎪⎨⎪>⎩,即3m >时,362m >+,即92m <,所以932m <<.综上,实数m 的取值范围为79(,)42.故79(,42四、解答题(本题共6小题,其中第19题为选考题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)19.如图,斜坐标系xOy 中,1e ,2e 分别是与x 轴,y 轴正方向同向的单位向量,且1e ,2e的夹角为60︒,定义向量12OP xe ye =+在斜坐标系xOy 中的坐标为有序数对(),x y ,在斜坐标系xOy 中完成下列问题:(1)若向量1OP ,2OP的坐标分别为()2,3,()3,4,计算12PP 的大小;(2)已知向量OM的坐标为()11,x y ,向量ON的坐标为()22,x y ,证明:若//OM ON,则12210x y x y -=.【正确答案】(1(2)证明见解析【分析】(1)依题意可得11223OP e e =+ ,21234OP e e =+ ,即可求出12PP ,根据数量积的定义求出12e e ⋅,最后根据数量积的运算律计算可得;(2)依题意1112OM x e y e =+ ,2122ON x e y e =+ ,分0ON = 和0ON ≠两种情况讨论,解得平面向量基本定理及共线定理证明即可.【小问1详解】因为向量1OP ,2OP的坐标分别为()2,3,()3,4,所以11223OP e e =+ ,21234OP e e =+ ,所以()12211212123423PP OP OP e e e e e e =-=+-+=+ ,又121== e e ,12121cos602e e e e ⋅=⋅︒= ,所以12PP=====.【小问2详解】因为1112OM x e y e=+,2122ON x e y e=+,当21220ON x e y e=+=时220x y==,显然1221x y x y-=;当21220ON x e y e=+≠时,即2x、2y至少有一个不为0,不妨设20y≠,若//OM ON,则存在实数λ使得OM ONλ=,即()11122122x e y e x e y eλ+=+,所以()()121122x x e y y eλλ-+-=,因为1e,2e不共线,所以1212x xy yλλ-=⎧⎨-=⎩,由12yyλ=代入12x xλ-=可得1122yx xy-=,即1221x y x y-=,综上可得若//OM ON,则12210x y x y-=;20.已知π()2sin()0,2f x xωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭在区间π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调,满足()0f=,对任意的x∈R,都有()3π8f x f⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.(1)求()f x的解析式;(2)设()()cos2g x f x x=,求()g x在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增区间.【正确答案】(1)()π2sin24f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭(2)3π0,16⎛⎤⎥⎝⎦和7ππ,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由()0f=求出ϕ,再根据函数的单调性求出ω的范围,由3π28f⎛⎫=⎪⎝⎭求出ω的值,即可得解;(2)利用两角差的正弦公式、二倍角公式将函数化简,再结合正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】因为π()2sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭且()0f =,所以()02sin f ϕ==2sin 2ϕ=-,所以π4ϕ=-,又因为()f x 在区间π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调,所以π3πππ8820ωω⎧⎛⎫≥--=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩,解得02ω<≤,又()3π8f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,所以23π3n ππ8i 842s f ω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以3πππ2π,Z 842k k ω-=+∈,解得162,Z 3k k ω=+∈,所以2ω=,所以()π2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为()()πcos 22sin 2cos 24g x f x x x x ⎛⎫==-⎪⎝⎭ππ2sin 2cos cos 2sin cos 244x x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 4cos 41sin 42242x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭,即()πsin 442g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,令πππ2π42π242k x k -+≤-≤+,Z k ∈,解得π13π1ππ162162k x k -+≤≤+,Z k ∈,所以()g x 在R 上的单调递增区间为π13π1π,π162162k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,Z k ∈,又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以0k =时3π016x <≤,当1k =时7ππ162x ≤<,所以()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增区间为3π0,16⎛⎤ ⎥⎝⎦和7ππ,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【选考人教版——立体几何初步】21.在四面体-P ABC 中,点H 为ABC 的垂心,且PH ⊥平面ABC .(1)若AP PC ⊥,求证:PA PB ⊥;(2)若PB AB =,证明:PC AC =.【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)连接AH 并延长,交于BC 于点D ,连接PD ,由点H 为ABC 的垂心得AD BC ⊥,首先证明出BC ⊥平面APD ,得出BC AP ⊥,再结合AP PC ⊥,证得AP ⊥平面PBC ,即可证得⊥AP BC ;(2)取AP 的中点E ,连接,BE EC ,由(1)得BC AP ⊥,由PB AB =得出BE AP ⊥,证得AP ⊥平面BCE ,得出AP CE ⊥,所以CE 垂直平分线段AP ,即可证得PC AC =.【小问1详解】连接AH 并延长,交于BC 于点D ,连接PD ,因为点H 为ABC 的垂心,所以AD BC ⊥,又因为PH ⊥平面ABC ,且BC ⊂平面ABC ,所以PH BC ⊥,又,AD PH ⊂平面APD ,且AD PH H ⋂=,所以BC ⊥平面APD ,因为AP ⊂平面APD ,所以BC AP ⊥,又因为AP PC ⊥,,BC PC ⊂平面PBC ,BC PC C ⋂=,所以AP ⊥平面PBC ,又PB ⊂平面PBC ,所以AP PB ⊥.【小问2详解】取AP 的中点E ,连接,BE EC ,由(1)得BC AP ⊥,因为PB AB =,且点E 为AP 的中点,所以BE AP ⊥,又BE BC B = ,,BE BC ⊂平面BCE ,所以AP ⊥平面BCE ,又CE ⊂平面BCE ,所以AP CE ⊥,所以CE 垂直平分线段AP ,所以PC AC =.【选考北师大版——概率与统计】22.某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加全国高中数学竞赛,现整理了近期两人5次模拟考试的成绩,结果如下表:第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩(分)7880658592乙的成绩(分)7586709574(1)如果根据甲、乙两人近5次的考试成绩,你认为选谁参加较合适?并说明理由;(2)如果按照如下方案推荐参加全国高中数学竞赛:方案一:每人从5道备选题中任意抽出1道,若答对,则可参加全国高中数学竞赛,否则被淘汰;方案二:每人从5道备选题中任意抽出3道,若至少答对其中2道,则可参加全国高中数学竞赛,否则被淘汰.已知学生甲只会5道备选题中的3道,那么学生甲选择哪种答题方案可参加全国高中数学竞赛的可能性更大?并说明理由.【正确答案】(1)选派甲参加数学竞赛较合适,理由见解析(2)选择方案二,理由见解析【分析】(1)计算并比较甲、乙两人近5次的考试成绩的平均分与方差即可;(2)计算并比较学生甲采用方案一与方案二可参加全国高中数学竞赛的概率即可.【小问1详解】选派甲参加数学竞赛较合适.由题意得7880658592805x ++++==甲,222222(7880)(8080)(6580)(8580)(9280)39855s -+-+-+-+-==甲,7586709574805x ++++==乙,222222(7580)(8680)(7080)(9580)(7480)42255s -+-+-+-+-==乙,由22,x x s s =<甲乙甲乙,可知甲、乙的平均分相同,但甲的成绩比乙稳定,故选派甲参加数学竞赛较合适;【小问2详解】5道备选题中学生甲会的3道分别记为a ,b ,c ,不会的2道分别记为E ,F ,方案一:学生甲从5道备选题中任意抽出1道的结果有:a ,b ,c ,E ,F ,共5种,抽中会的备选题的结果有a ,b ,c ,共3种,所以此方案学生甲可参加全国高中数学竞赛的概率135P =.方案二:学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有:(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),a b c a b E a b F a c E a c F (,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a E F b c E b c F b E F c E F ,共10种,抽中至少2道会的备选题的结果有:(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b E a b F a c E a c F b c E b c F ,共7种,所以此方案学生甲可参加全国高中数学竞赛的概率2710P =,因为12P P <,所以学生甲选择方案二可参加全国高中数学竞赛的可能性更大.23.已知函数2()f x x kx m =--,,R k m ∈.(1)若22m k =,()f x 在()1,+∞上单调递增,求k 的取值范围;(2)对任意[],x a b ∈,都有()1f x ≤,证明.b a -≤【正确答案】(1)11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)证明见解析【分析】(1)代入22m k =化简()f x ,从而分析()f x 的图像,结合()f x 的图像得到关于k 的不等式组,从而得解;(2)结合题意得到关于,,,a b k m 的不等式组,消去,k m 后得到关于,a b 的不等式,解之即可得解.【小问1详解】因为22m k =,所以22()2()(2)f x x kx k x k x k =--=+-,因为()(2)y x k x k =+-开口向上,对称轴为2k x =,而()f x 的图像是由()(2)y x k x k =+-的图像保留x 轴上方的图像,同时将x 轴下方的图像往上翻折得到,如图,因为()f x 在()1,+∞上单调递增,所以121k k -≤⎧⎨≤⎩,解得112k -≤≤,所以k 的取值范围为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】因为对任意[],x a b ∈,都有()1f x ≤,所以()1f a ≤,()1f b ≤,12a b f +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,即21a ak m --≤,21b bk m --≤,2122a b a b k m ++⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭,故21a ak m --≤①,21b bk m --≤②,2122a b a b k m ++⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭③,2+-①②③,消去,k m ,可得222()42a b a b ++-≤,整理得2()42a b -≤,解得a b -≤-≤,故b a -≤.24.如图所示,已知ABC 的外接圆半径为r ,E ,F 是线段AB ,AC 上的两点,点O 是ABC 的外心,且O 是线段EF的中点,3OE r =.(1)证明:223r AE EB AF FC ⋅=⋅=;(2)求ABC AEFS S 的最小值.【正确答案】(1)证明见解析(2)94【分析】(1)利用余弦定理表示出cos AEO ∠、cos BEO ∠,根据cos cos 0AEO BEO ∠+∠=,整理可得223r AE BE ⋅=,同理可得223r AF FC ⋅=;(2)由cos cos 0AOE AOF ∠+∠=利用余弦定理及基本不等式求出AE AF ⋅的最大值,再根据面积公式计算可得.【小问1详解】因为2222223cos 2233r AE AE EO AO AEO AE EO -+-∠==⋅,2222223cos 2233r BE BE EO BO BEO BE EO -+-∠==⋅,由cos cos 0AEO BEO ∠+∠=222222330232333r r AE BE --=,化简可得222222033r r AE BE BE BE AE AE ⋅-+⋅-=,所以()2203r AE BE AE BE ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭,所以223r AE BE ⋅=,同理可得223r AF FC ⋅=,所以223r AE EB AF FC ⋅=⋅=.【小问2详解】由cos cos 0AOE AOF ∠+∠=,可得222222022AO EO AE AO FO AF AO EO AO FO+-+-+=⋅⋅,化简得()222228223r AE AF AO EO AE AF +=+=≥⋅,所以243r AE AF ≥⋅,当且仅当AE AF =时等号成立,又()()1sin 21sin 2ABC AEF AB AC A AE EB AF FC S AB AC S AE AF AE AF AE AF A ⋅+⋅+⋅===⋅⋅⋅ AE AF AE FC BE AF BE FC AE AF ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅2242241339r AE r AF r AE AF AF AE AE AF AE AF⋅+⋅+⋅+⋅⋅=⋅()2242222121411339r r r AF AE AE AF =+⋅+⋅+⋅⋅()()222422241139r AF AE r AF AE AE AF +=+⋅+⋅⋅⋅()442420120991199164r r r AE AF =+⋅≥+=⋅,当且仅当AE AF =时等号成立,所以ABC AEF S S 的最小值为94.25.双曲函数是一类与三角函数类似的函数,在物理及生活中有着重要应用.称e e cosh 2x x x -+=为双曲余弦函数,称e e sinh 2x xx --=为双曲正弦函数.(1)若关于x 的不等式2cosh e 10x x m m -+--≥在[)ln 2,+∞上恒成立,求实数m 的取值范围;(2)函数()2cosh(2)2sinh()3f x m x x =--在[]0,ln 2x ∈有2个零点,求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)(,3]-∞(2)3113[,24【分析】(1)参变分离,将恒成立问题转化为求最值问题,利用基本不等式可解;(2)参变分离,通过换元将原问题转化为函数11()6g t t t =+-与1y m =有两个交点的问题,根据对勾函数性质作图可解.【小问1详解】因为[)ln 2,x ∈+∞,所以10e2x -<≤,得11e 12x -≤-<,所以e e 12cosh e 10e e e 101ex x x x x x x x m m m m m -----+-+--≥⇔++--≥⇔≤-,所以2cosh e 10xx m m -+--≥在[)ln 2,+∞上恒成立,等价于min e e 1()1e x x x m --+-≤-.因为2e e 1e 1e 1e 1131e e 1e 1x x x x x x x x --+-+-==-++≥---,当且仅当1e 1e 1x x -=-,即ln 2x =时,等号成立.所以3m ≤,即实数m 的取值范围为(,3]-∞.【小问2详解】因为函数()2cosh(2)2sinh()3f x m x x =--在[]0,ln 2x ∈有2个零点,所以()()22ee e e 30x x x x m --+---=,22(e e )(e e )30x x x x m --+---=在[]0,ln 2x ∈有2个实数根,所以22(e e )3e ex x x x m ---+=+在[]0,ln 2x ∈有2个实数根,令(e e )3x x t --+=,易知,(e e )3x x t -=-+在[]0,ln 2x ∈上单调递增,所以9[3,]2t ∈,则222(e e )31611116e e x x x x t t m t m t t---+-+=⇔==+-+,令11()6g t t t =+-,由对勾函数性质可知,()g t 在上单调递减,在92上单调递增,又2917(3),6,()3218g g g ===,作函数草图如图,当1263m -<≤时,函数11()6g t t t =+-与1y m =有两个交点,即函数()f x 在[]0,ln 2x ∈有2个零点,所以3324m +≤<,即33[,)24+.。
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高一数学竞赛试题
一、单选题(8×5′=40′)
1、已知集合{}27A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+<<-且B ≠∅,若A B A =,则( )
(A)34m -≤≤ (B)34m -<< (C)24m << (D)24m <≤
2、已知()1,2a =,(),2b x =-且()
a a
b ⊥-,则实数x 为( ) (A)-7 (B)9 (C)4 (D)-4 3、同时掷两枚骰子,得到的点数和为6的概率是( ) (A)
512 (B)536
(C)19 (D)518
40y m -+=与圆22220x y x +--=相切,则实数m 等于( )
(C)--5、函数2sin 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的一个单调递减区间是( )
(A)37,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
(B)3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
(C)35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D),44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
6、一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为π,则球的表面积为( )
(A) (B)8π
(C) (D)4π
7、直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是( ) (A)210x y +-= (B)210x y +-= (C)230x y +-= (D)230x y +-=
8、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-,则()6f 的值为( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 二、填空题(6×5′=30′)
9、方程()2
10
3
3log 1log x
x
-=+的解是 。
10、正方体的内切球与其外接球的体积之比为 。
11、过点()1,3-且平行于直线230x y -+=的直线方程为 。
12、方程sin 10
x
x =
有 个根。
13、已知()1
sin 2
πα+=-,则cos α= 。
14、已知()1,2a =,()2,3b =-,则a 在b 上的射影长 。
三、解答题(第15、16题各12分,第17、18、19、20题各14分) 15、若对于一切实数x 、y ,都有()()()f x y f x f y +=+
(1)求()0f 并证明()f x 为奇函数; (2)若()13f =,求()3f -。
16、为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A 、B 、
C 三个区中抽取7个工厂进行调查,已知A 、B 、C 区中分别有18、27、18个工
厂。
(1)求从A 、B 、C 区中应分别抽取的工厂个数;
(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,用列举法计算这
2个工厂中至少有1个来自A 区的概率。
17、已知函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛
⎫>>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示
(1)求函数()f x 的解析式; (2)如何由2sin y x =的图象通过 适当的变换得到函数()f x 的 图象,写出变换过程。
18、设两个非零向量1e 和2e 不共线;
(1)试确定实数k ,使12ke e +和12e ke +共线;
(2)若12e =,23e =,1e 与2e 的夹角为60°,试确定k ,使12ke e +与12
e ke +垂直。
19、如图:在四面体A BCD -中,AE ⊥平面
BCD ,BC CD ⊥,BC CD =,AC BD =, E 是BD 的中点;
(1)求证AC BD ⊥;
(2)求直线AC 与平面BCD 所成的角。
A
B
D
E
20、已知方程22240
+--+=;
x y x y m
(1)若此方程表示圆,求m的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线240
⊥
+-=相交于M、N两点且OM ON
x y
(O为坐标原点),求m的值。
高一数学竞赛试题参考答案
∴()()f x f x -=-
∴()y f x =为奇函数
(2)∵()y f x =为奇函数
∴()()33f f -=-
又()()()()()311131f f f f f =++= ∴()()3319f f -=-=-
16、解:(1)工厂总数为18+27+18=63 (2)样本容量与总体中的个体数之比为
71
639
= ∴从A 、B 、C 三个区应分别抽取工厂数为2、3、2 (2)1121
P =
17、(1)由图象可知2A =
()f x 的最小正周期5
412
6T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,故22T πω==
∵点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
在()f x 的图象上
∴sin 13πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
∵2π
ϕ<
∴6πϕ=
∴()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
即()()1210k e k e λλ-+-=
∵1e 与2e 为非零不共线向量
∴0
10k k λλ-=⎧⎨-=⎩ ∴1k =±
(2)由(
)12
ke e +()1
2
0e ke +=得
()2
2
2
11
2210k e k e e k e +++=
∴243390k k k +++=
∴k =
20、解:(1)方程22240x y x y m +--+=变形为 ()()2
2
125x y m -+-=-
∵此方程表示圆 ∴50m -> ∴5m <
(2)由22240240x y x y m x y ⎧+--+=⎨+-=⎩
消去x 得
设()11,M x y ,()22,N x y
∴121216585y y m y y ⎧
+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
∵OM ON ⊥ ∴12120x x y y +=
又∵1142x y =-,2242x y =- ∴()()121242420y y y y --+= ∴()121216850y y y y -++= ∴168
1685055
m +-⨯+⨯= ∴85
m =。