高一学科竞赛(数学)模拟附答案

高一数学竞赛试题

一、单选题（8×5′＝40′）

1、已知集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+<<-且B ≠∅，若A B A =，则（ ）

(A)34m -≤≤ (B)34m -<< (C)24m << (D)24m <≤

2、已知()1,2a =，(),2b x =-且()

a a

b ⊥-，则实数x 为（ ） (A)－7 (B)9 (C)4 (D)－4 3、同时掷两枚骰子，得到的点数和为6的概率是（ ） (A)

512 (B)536

(C)19 (D)518

40y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）

(C)--5、函数2sin 24y x π⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭的一个单调递减区间是（ ）

(A)37,88ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

(B)3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

(C)35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D),44ππ⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

6、一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为π，则球的表面积为（ ）

(A) (B)8π

(C) (D)4π

7、直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） (A)210x y +-= (B)210x y +-= (C)230x y +-= (D)230x y +-=

8、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()6f 的值为（ ） (A)－1 (B)0 (C)1 (D)2 二、填空题（6×5′＝30′）

9、方程()2

10

3

3log 1log x

x

-=+的解是 。

10、正方体的内切球与其外接球的体积之比为 。 11、过点()1,3-且平行于直线230x y -+=的直线方程为 。

12、方程sin 10

x

x =

有 个根。 13、已知()1

sin 2

πα+=-，则cos α= 。

14、已知()1,2a =，()2,3b =-，则a 在b 上的射影长 。 三、解答题（第15、16题各12分，第17、18、19、20题各14分） 15、若对于一切实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=+

（1）求()0f 并证明()f x 为奇函数； （2）若()13f =，求()3f -。

16、为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A 、B 、

C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A 、B 、C 区中分别有18、27、18个工

厂。

（1）求从A 、B 、C 区中应分别抽取的工厂个数；

（2）若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这

2个工厂中至少有1个来自A 区的概率。

17、已知函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛

⎫>>< ⎪⎝

⎭的部分图象如图所示

（1）求函数()f x 的解析式； （2）如何由2sin y x =的图象通过 适当的变换得到函数()f x 的 图象，写出变换过程。

18、设两个非零向量1e 和2e 不共线；

（1）试确定实数k ，使12ke e +和12e ke +共线；

（2）若12e =，23e =，1e 与2e 的夹角为60°，试确定k ，使12ke e +与12

e ke +垂直。

19、如图：在四面体A BCD -中，AE ⊥平面

BCD ，BC CD ⊥，BC CD =，AC BD =， E 是BD 的中点；

（1）求证AC BD ⊥；

（2）求直线AC 与平面BCD 所成的角。

A

B

D

E

20、已知方程22240

+--+=；

x y x y m

（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；

（2）若（1）中的圆与直线240

⊥

+-=相交于M、N两点且OM ON

x y

（O为坐标原点），求m的值。

高一数学竞赛试题参考答案

∴()()f x f x -=-

∴()y f x =为奇函数

（2）∵()y f x =为奇函数

∴()()33f f -=-

又()()()()()311131f f f f f =++= ∴()()3319f f -=-=-

16、解：（1）工厂总数为18＋27＋18＝63 （2）样本容量与总体中的个体数之比为

71

639

= ∴从A 、B 、C 三个区应分别抽取工厂数为2、3、2 （2）1121

P =

17、（1）由图象可知2A =

()f x 的最小正周期5

412

6T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故22T πω==

∵点,26π⎛⎫

⎪⎝⎭

在()f x 的图象上

∴sin 13πϕ⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

∵2π

ϕ<

∴6πϕ=

∴()2sin 26f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭

即()()1210k e k e λλ-+-=

∵1e 与2e 为非零不共线向量

∴0

10k k λλ-=⎧⎨-=⎩ ∴1k =±

（2）由(

)12

ke e +()1

2

0e ke +=得

()2

2

2

11

2210k e k e e k e +++=

∴243390k k k +++=