2015西城区高三一模数学理试题及答案word版

北京市西城区2015年高三一模试卷

数 学（理科） 2015.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）1a ≤

（B ）1a ≥

（C ）0a ≥

（D ）0a ≤

3. 在极坐标系中，曲线2cos ρ=θ是（ ）

（A ）过极点的直线 （B ）半径为2的圆 （C ）关于极点对称的图形 （D ）关于极轴对称的图形

4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3， 则输出的n 的值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

2．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限

（D ）第四象限

8. 已知抛物线214y x =

和21516

y x =-+所围成的封闭曲线如图所示，给定点(0,)A a ，若在此封闭曲线上

三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是（ ）

5．若函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ） （A ）476

（B ）233

（C ）152

（D ）7

7. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ） （A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定

（A ）(1,3) （B ）(2,4) （C ）3

(,3)2

（D ）5(,4)2

侧(左)视图

正(主)视图

俯视图

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____.

10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点是抛物线2

8y x =的焦点，且双曲线

C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____.

11．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若π3

A =

，cos 7B =，2b =，

则a =____.

12．若数列{}n a 满足12a =-，且对于任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，则3a =___；数

列{}n a 前10项的和10S =____．

13. 某种产品的加工需要A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中A 必须在D 的前面完成（不一定

相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种. （用数字作答）

14. 如图，四面体ABCD 的一条棱长为x ，其余棱长均为1， 记四面体ABCD 的体积为()F x ，则函数()F x 的单 调增区间是____；最大值为____.

B

A

D

C

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

设函数π

()4cos sin()3

f x x x =-+x ∈R . （Ⅰ）当π[0,]2

x ∈时，求函数()f x 的值域；

（Ⅱ）已知函数()y f x =的图象与直线1=y 有交点，求相邻两个交点间的最短距离.

16．（本小题满分13分）

2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）

已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．

（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在

陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；

（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；

（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．(只需写出结论)

票价(元)

17．（本小题满分14分）

如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =, AE AF =，点G 是EF 的中点.

（Ⅰ）证明：AG ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE

所成角的正弦值为

9

，求AG 的长；

（Ⅲ）判断线段AC 上是否存在一点M ，使MG //平面ABF ？若存在，求出AM MC

的值；

若不存在，说明理由．

18．（本小题满分13分）

设*

n ∈N ，函数ln ()n x f x x

=，函数e ()x

n g x x =，(0,)x ∈+∞.

（Ⅰ）当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由；

（Ⅱ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n 的所有可能取值.

19．（本小题满分14分）

设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:22

22>>=+b a b y

a x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，

且点P 和1F 关于点)4

3

,0(C 对称.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出

l 的方程；若不存在，说明理由.

F

C

A

D

B

G E