人大版 微积分 第三章 导数与微分

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★ 如果 f ( x ) 在开区间a, b 内可导，且 f (a ) 及
f (b ) 都存在，就说 f ( x ) 在闭区间a, b 上可导.
x x0 , 讨论在点 x0的 x x0
( x ), ★ 设函数 f ( x ) ( x ), 可导性.
(sin x ) lim sin( x h) sin x h 0 h h sin h 2 cos x. lim cos( x ) h 0 h 2 2 (sin x ) cos x .
x 4
.
即
(sin x )
x
4
cos x
x
4
2 . 2
参考书
[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
微积分
第三章 导数与微分
• • • • • 引例 导数概念 导数的基本公式与运算法则 高阶导数 微分
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导数的概念
在许多实际问题中，需要从数量上研究 变量的变化速度。如物体的运动速度，电流 强度，线密度，比热，化学反应速度及生物 繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函 数的变化率问题，即导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微 分学中两个最重要的基本概念——导数与微 分，然后再建立求导数与微分的运算公式和 法则，从而解决有关变化率的计算问题。
f ( x0 x ) f ( x0 ) 若 lim0 x x
lim0 x
( x0 x ) ( x0 )
x
f ( x0 ) 存在,
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f ( x0 x ) f ( x0 ) 若 lim0 x x lim0 x
( x0 x ) ( x0 )
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例6 讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
h h
f ( 0 h) f ( 0 ) h lim lim 1, h 0 h 0 h h f ( 0 h) f ( 0 ) h lim lim 1. h 0 h 0 h h
即 f (0) f (0), 函数y f ( x )在x 0点不可导.
y
y x
o
x
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四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x ) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ( x0 ) tan , (为倾角) o
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim . h 0 h
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) lim . x x0 x x0
其它形式
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例1
求函数 y x 2 在任意点 x 处的导数.
解 在 x 处给自变量一个增量 Δx ，相应的函数 增量为 Δy f ( x Δx) f ( x) ( x Δx) 2 x 2 2 xΔx (Δx) 2 , 于是 则
导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x ) 的导函数. dy df ( x ) 记作 y, f ( x ), 或 . dx dx
f ( x x ) f ( x ) 即 y lim x 0 x f ( x h) f ( x ) 或 f ( x ) lim . h 0 h
x
f ( x0 ) 存在,
且 f ( x0 ) f ( x0 ) a,
则 f ( x ) 在点x0 可导，
且 f ( x0 ) a.
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三、由定义求导数（三步法）
步骤: (1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y ( 3) 求极限 y lim . x 0 x
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二、导数的定义
定义
y f ( x)在点x0的某个邻域内有定义.
x : x0 x0 x
y : f ( x0 ) f ( x0 x),
y f ( x0 x) f ( x0 )
y 若 lim 存在. 则称y f ( x)在点x0处可导 x 0 x
( x ) x 1 .
1
( R )
1 2 1 1 . ( x ) x 2 x 2
( x ) (1) x
1
1 1
1 2. x
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例4 求函数 f ( x ) a x (a 0, a 1) 的导数. 解
a xh a x (a x ) lim h 0 h ah 1 a x lim h 0 h
MN 0, NMT 0.
y f ( x)
N
C
o

T
M

x0
x
x
设 M ( x0 , y0 ), N ( x , y ).
y y0 f ( x ) f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan , x x0 x x0 N 沿曲线C M , x x 0 , f ( x ) f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k tan lim x x0 x x0
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例3 求函数 y x n (n为正整数) 的导数. 解
( x h) n x n ( x n ) lim h 0 h n( n 1) n 2 n 1 lim[nx x h hn1 ] nx n 1 h0 2!
即
更一般地 例如,
( x n ) nx n 1 .
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注意: 1. f ( x0 ) f ( x ) x x .
0
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
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★ 单侧导数 1.左导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
并称这个极限为函数y f ( x)在点x0处的导数 .
记为 y x x0
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dy dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
x x0
,
即 y
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
取一邻近于t 0的时刻t , 运动时间t ,
s s s 0 g 平均速度 v ( t 0 t ). t t t 0 2
t0
t
t
当 t t 0时,
取极限得
g(t 0 t) gt 0 . 瞬时速度 v lim t t0 2
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上述求瞬时速度的方法对一般变速直线 运动也同样适用。设物体作变速直线运动， 其运动路程为s = s(t)，则物体在时刻 t0 的 瞬时速度定义为
s v ( t0 ) lim v lim t 0 t 0 t
s ( t 0 t ) s ( t 0 ) lim t 0 t
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
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2.切பைடு நூலகம்问题 割线的极限位置——切线位置
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y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即

y
y f ( x)
T
M
x0
x
若f ( x0 ) 0且有限时 过( x0 , f ( x0 ))的 切线方程为
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导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一 步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的 快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有 微小变化时，函数大体上变化多少。
重点
导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导 导数的实质，用定义求导，链式法则
lim
t 0
1 loga (1 t )
1 t
1 ln a loga e
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例5 求函数 y log a x(a 0, a 1) 的导数.
log a ( x h) log a x 解 h 0 h h log a (1 ) x 1 lim h 0 h x x x 1 h h 1 lim log a (1 ) log a e . x h 0 x x 1 log a e . 即 (log a x ) x 1 特别地 (ln x ) . x y lim
★
点导数是因变量在点 x0处的变化率, 它
反映了 因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度. ★ y 是y在以x0和x0 x为端点的区间上的 x
平均变化率
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★ 如果函数 y f ( x )在开区间 I 内的每点
处都可导, 就称函数 f ( x )在开区间 I 内可导.
★ 对于任一 x I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的
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二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x ( 点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x )在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
a x ln a .
即
(a x ) a x ln a .
特别地
( e x ) e x .
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设 t a 1 h loga (1 t )
h
a 1 求 lim h 0 h
h
h0t 0
ah 1 t 则lim lim h0 t 0 log (1 t ) h a
例1 求函数 f ( x ) C (C为常数) 的导数.
f ( x h) f ( x ) C C 解 f ( x ) lim 0. lim h 0 h 0 h h
即
(C ) 0.
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例2 设函数 f ( x ) sin x , 求(sin x )及(sin x ) 解
2.右导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
★ 函数 f ( x )在点x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右
导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
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dx rx dt
莫兴德
广西大学 数信学院
Email:moxingde@gxu.edu.cn
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链接目录
第二章 极限与连续
第一章 函数
第三章 导数与微分
第五章 不定积分 第七章 无穷级数(不要求) 第九章 微分方程
第四章 中值定理,导数的应用
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
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难点
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基本要求
①准确叙述导数定义并深刻理解它的实质 ②会用定义求导数 ③熟记求导基本公式
④牢固掌握链式法则 ⑤掌握隐函数和参量函数求导法 ⑥理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法
⑦弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用 一阶微分的形式不变性
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一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t 0时刻的瞬时速度,
Δy lim lim (2 x Δx) 2 x ,即 ( x 2 ) 2 x . Δx0 Δx Δx0
Δy 2 x Δx , Δx
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关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量 所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画 变化率的本质