人大版 微积分 第三章 导数与微分
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高等数学微积分第三章一元函数导数与微分
法线方程为:
1 y y0 f ( x0 ) ( x x0 ).
定义 2（单侧导数，左右导数）
f( x0 )
lim
x0
y x
lim x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
(令
x
x0
x)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
存在,
则称
f (x) 在
x0
处
右 左
可导,
x 0
x
注意:
f ( x0 )
f ( x)
，但
x x0
f ( x0 )
f ( x0 ) .
二. 函数不可导的情况
函数 f ( x) 在 x0 不可导，有以下三种情况：
1. 若 f ( x) 在 x0 不连续， 则 f ( x) 在 x0 不可导.
2. 由定理1，知
( 定理 2 )
( i ) 若 f( x0 ) 与 f( x0 ) 都存在但值不相等，
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1. 给 x 一增量 x，求 y f ( x x) f ( x)；
2. 计算 y f ( x x) f ( x)；
x
x
3. 计算极限 :
lim y lim f ( x x) f ( x)（存在） f ( x)
微积分第三章导数与微分
y
y
y
0
x0
x
0
x0
x
0
x0
x
（1）曲线 f ( x) 在点
（2） 曲线 f ( x) 在点
（3）曲线 f ( x) 在点
x0
x0 处
x0 处有
处是尖点
间断
垂直切线
calculus
作业
先看书 再做练习
P89:T8； P106：T1(1)；T2；T5.
x 作业讲评 P88.5(2) y sin x
x
1 lim[(1 ) ] x x
x x x
1 x lim u ( x) lim (1 ) e 0 x x x
x 1 lim v( x) lim lim 0 x x x x x
原式 e 1
P89.6. (5).解法1： lim (1 1 ) x x
x
1 lim (1 ) x x
lim
1 1 2 x ( )
1 x2
lim e
x
x
1 x2
calculus
ln(1 1 ) x
e
x
lim
1 x2
ln(1
1 ) x
e x
即
f ( x) 在 x0 处可导,
y f ( x0 ) lim 存在 x 0 x lim y lim y x
x 0
x 0
y lim lim x 0 x 0 x x 0 所以,函数 y f ( x) 在 x0 处连续.
x
问题：连续是否一定可导？
二、导数的定义
calculus
定义1：设函数y f ( x)在点x0处的某邻域内有定义， 如果函数的改变量y f ( x0 x) f ( x0 )与自变量 的改变量x的比值当x 0的极限
微积分课件(导数与微分2)资料
设函数 f ( x)在点x0可导,即
lim y x0 x
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
第一节 导数的概念
例3 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 3
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x h) sin 2
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为
y 2 1 ( x 1), 42
即 2x 8 y 15 0.
第一节 导数的概念
四、函数可导性与连续性的关系
h0
2h
cos x
2
即 (sin x) cos x
(sin x) x cos x x
3
3
1 2
第一节 导数的概念
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
大学微积分第三章函数的求导法则ppt课件
x0
f( x) f(0)
x0
lim
x0
xe x 0 1 x
f ( 0 ) 1
f
(x)
e x
xex
,
x0
1,
x0
（讨论分断点的可导性用定义）
24
小结
(1) 掌握求导数的四则运算法则 (2) 熟记16个求导数公式
两条经验
(1).一般函数的求导用公式 (2).求分断点的导数用定义
25
作业 P82 1单 2单 3
h0
h
u( x h ) u( x )
v( x h ) v( x )
lim
v( x h ) lim
u( x )
h0
h
h0
h
u(x) v(x) u(x) v(x)
即 [u(x) v(x)] u(x) v(x) u(x) v(x)
7
3、商的导数
设函数 u u(x), v v(x)在点 x 处可导，(v(x) 0) 则
3x2 cos x ln x x3 sin x ln x x2 cos x
x
11
例4. y tan x 求 y
解
y
(tan
x)
sin
x
cos x
(sin
x)cos x sin cos2 x
x(cos
x)
cos2 x sin 2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
x sin y
在
Iy
2
,
2
内单调、可导，且 (sin y) cos y 0
f( x) f(0)
x0
lim
x0
xe x 0 1 x
f ( 0 ) 1
f
(x)
e x
xex
,
x0
1,
x0
（讨论分断点的可导性用定义）
24
小结
(1) 掌握求导数的四则运算法则 (2) 熟记16个求导数公式
两条经验
(1).一般函数的求导用公式 (2).求分断点的导数用定义
25
作业 P82 1单 2单 3
h0
h
u( x h ) u( x )
v( x h ) v( x )
lim
v( x h ) lim
u( x )
h0
h
h0
h
u(x) v(x) u(x) v(x)
即 [u(x) v(x)] u(x) v(x) u(x) v(x)
7
3、商的导数
设函数 u u(x), v v(x)在点 x 处可导，(v(x) 0) 则
3x2 cos x ln x x3 sin x ln x x2 cos x
x
11
例4. y tan x 求 y
解
y
(tan
x)
sin
x
cos x
(sin
x)cos x sin cos2 x
x(cos
x)
cos2 x sin 2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
x sin y
在
Iy
2
,
2
内单调、可导，且 (sin y) cos y 0
大学课程《微积分》PPT课件：微积分3章1节
柯西中值定理的应应用 例11 验证柯西中值定理对函数 f (x) x3 1, g(x) x2 在区间 [1,2]上的正确性.
例12 (讲义例5) 设函数 f (x) 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
第三章 导数的应用
第一节 中值定理
内容要点：
一、罗尔定理：在闭区间[a, b]上连续；在开区间(a, b)内 可导；在区间端点的函数值相等, 即 (a b), 结论：在(a, b)内至少存在一点 f (a) f (b). 使得 f ( ) 0.
注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足, 定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.
2 再由arcsin x, arccos x得定义知当x 1, x 1有
arcsin x arccos x
2
从而:arcsin x arccos x , x [1,1]
2
•证明当
x0
时,
x ln(1 x) x 1 x
证明：设 f (x) ln(1 x)，显然，f (x) 在[0, x]
论：在(a, b)内至少存在一点 (a b),使得 f (b) f (a) f ( )(b a)
拉格朗日中值公式反映了可导函数在 上整体平均变化率与在 内某点 处函 数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于 某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.
f (a) f (b) f ( ) g(a) g(b) g( )
显然, 若取 g(x) x, 则 g(b) g(a) b a, g(x) 1,
因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定 理又称为广义中值定理.
微积分第3章导数与微分
2021/4/21
9
三、左、右导数
定义 设函数 y = f(x) 在某U+(x0) (或 U-(x0))内有定义. 若
(或
)
存在，则称该极限值为 f 在点 x0 处的右 (左) 导数.
记作 f( x0 ) (或 f( x0 )) .
注：1. f 在x0可导 f 在 x0 的左, 右导数存在且相等.
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0 与 f(x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导.
0, x 0
2021/4/21
11
例5. 求下列函数的导函数：
(1) c ( 常函数 ) ;
答案：0
记结论
(2) xn , ( n∈N+ ) ; (3) sin x ,
cos x ; (4) log ax ( a > 0, a≠1, x > 0 ) .
方法一：F(x, y) = 0 显化 y = f(x) 已有方法 求 y.
√ 方法二：F(x, y) = 0 两边同时求导 [F(x, y)] 0 求 y.
例6. 已知 y x ln y 确定了函数 y = f(x)，求 y.
（答案：
y
y ln y y x
）
2021/4/21
第三章 导数与微分
22
要牢记！
(1) (c) 0 (c为常数);
(2) ( x ) x1 (为任意实数 );
(3) (a x ) a x ln a, (ex ) ex ;
(4)
(log a
x)
1, x ln a
(ln
x)
1; x
(5) (sin x) cos x,(cos x) sin x ;
第3导数与微分
例1 设 y arctan x, 求f (1).
解
y
1
1 x
2
y
( 1
1 x
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
(1
2x x2
)2
y
(
(1
2x x2
)2
)
2(3x 2 1) (1 x 2 )3
f (1)
2(3 x2 1) (1 x2 )3
x 1
1. 2
例2
设
y
f ( x)二阶可导，y
f
(e
x
),
求
d2 y dx 2
第3章 导数与微分
目录 §3.1 导数概念 §3.2 导数基本运算与导数公式 §3.3 隐函数与参变量函数求导法则 §3.4 微分及其运算 §3.5 高阶导数
目录 上一页 下一页 退 出
§3.5 高阶导数
一、高阶导数的概念
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f (t), 则瞬时速度为v(t) f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率
.
解 导数
dy f (e x ) (e x ) e x f (e x ) dx
得
d2 y dx 2
(e x )
f
(e x )
ex
f
(e x ) (e x )
e x f (e x ) e2x f (e x )
例3 求由方程 y x ln( x y)所确定的
隐函数y的二阶导数
例6 设 y sin x, 求y(n) .
解 y cos x sin( x ) 2
y
cos( x
)
sin(
x
)
sin(
微积分(上册)第三章
第三节
高阶导数
第三节 高 阶 导 数
当x变化时，f(x)的导数f′(x)仍是一 个关于x的函数，对于这个新的函数， 如果可导，就可以将f′(x)继续对x进行求 导，从而得到“导了再导”的函数，这 就是高阶导数.
一、 高阶导数的定义
三、 复合函数的求导法则
注
对于初学者来说，求复合函数的导数是一个难点.但若能够 熟悉复合函数的复合过程，并牢记“由外向里，逐层求导”的 八字原则，则复合函数的求导就会变得简便易行.所谓“由外向 里”，就是按照复合的层次，从最外面开始，依次向里；“逐 层求导”就是一层一层地求下去，直到自变量为止.最后，把各 层求的导数的结果乘起来即可.
二、 反函数的求导法则
定理5
如果x=φ (y)在某区间上单调可导，且φ ′(y)≠0，那么它 的反函数y=f(x)在对应区间上也可导，且有
证因x=φ (y)单调可导，故它的反函数单调连续，下面
证明它的可导性.
当x有增量Δx≠0
Δy=f(x+Δx)－
f(x)≠0
二、 反函数的求导法则
二、 反函数的求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理4
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
【例14】
设y=3x2+2x+7，求y′. 解y′=(3x2+2x+7)′=(3x2)′+(2x)′+(7)′=6x+2.
【例15】
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
【例16】
求下列函数的导数. (1)y=xsin x；(2)y=ax(2sin x－3cos x)；(3)y=x4•ex•ln x. 解(1)y′=(xsin x)′=(x)′sinx+x(sin x)′=sin x+xcosx； (2)y′=axln a(2sin x－3cos x)+ax(2cos x+3sinx)； (3)y′=4x3exln x+x4exln x+x3ex=x3ex(4ln x+xln x+1).
人大四版微积分第3章导数与微分
微积分 第三章 导数与微分
瞬时速度 切线斜率
两个问题的共性:
o
y
f (t0 )
f (t )
t0
t
s
y f ( x)
N
C
M
T
o x0
x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题
即 log a
x
1 x ln a
特别地，当 a e 时，有
微积分 第三章
l n x
1 x
导数与微分
5．指数函数的导数
a
x
a x ln a
a 0, a 1,
特别地，当 a e 时，有
e
x
ex
微积分
第三章
导数与微分
(二)导数的四则运算法则
f ( x0 ) f ( x) x x0
第三章
d f ( x0 ) dx
微积分
导数与微分
导数的定义式: f (x0 x) f (x0 ) y f (x0 ) lim lim x 0 x x 0 x f (x) f (x0 ) f (x0 h) f (x0 ) f (x0 ) lim lim h0 h x x0 x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导. y 若 lim 在 的导数为无穷大 . , 也称 x 0 x 若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f ( x) . ; 记作: y ; f ( x ) ; dx dx 注意:
瞬时速度 切线斜率
两个问题的共性:
o
y
f (t0 )
f (t )
t0
t
s
y f ( x)
N
C
M
T
o x0
x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题
即 log a
x
1 x ln a
特别地，当 a e 时，有
微积分 第三章
l n x
1 x
导数与微分
5．指数函数的导数
a
x
a x ln a
a 0, a 1,
特别地，当 a e 时，有
e
x
ex
微积分
第三章
导数与微分
(二)导数的四则运算法则
f ( x0 ) f ( x) x x0
第三章
d f ( x0 ) dx
微积分
导数与微分
导数的定义式: f (x0 x) f (x0 ) y f (x0 ) lim lim x 0 x x 0 x f (x) f (x0 ) f (x0 h) f (x0 ) f (x0 ) lim lim h0 h x x0 x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导. y 若 lim 在 的导数为无穷大 . , 也称 x 0 x 若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f ( x) . ; 记作: y ; f ( x ) ; dx dx 注意:
人大版微积分第三章导数的基本公式续
微积分
例
求 y 1 的高阶导数. x
解 y 1 (ln x) 注意这里的方法 x
y(n) ((ln x))(n) (ln x)(n1)
(1)(n1)1[(n 1) 1] ! x(n1)
(1)n n! x (n1)
y(n) (ln x)(n) (1)n1(n 1)! xn (n N )
2x 1 x2
5 1 5x
8 1 8x
4x3 1 x4
微积分
故
y
1 3
(1 x)(1 2x)(1 x2 )
3 (1 5x)(1 8x)(1 x4 )
1 1 x
1
2 2x
1
2
x x
2
5 1 5x
8 1 8x
4x3 1 x4
微积分
求导方法小结
按定义求导
基本初等函数的导数 导数的四则运算法则 复合函数求导法
记为 f (x) Cn (I) 或 f (x) Cn.
如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为
f (x) C (I) 或 f (x) C.
微积分
例 求幂函数 y xn , n Z 的高阶导数.
解 y (xn ) nxn1 y ( y) (nxn1) n(n 1)xn2 y ( y) n(n 1)(n 2)xn3 …………………………
t) t)
3a sin 2 t 3a cos2
cos t t sin t
tant
(t n , n Z )
2
微积分
取对数求导法
微积分
取对数求导法
方法: 在条件允许的情况下, 对 y = f (x) 两边
微积分 第三章 导数与微分
也记为
f ( x0 Δx) f ( x0 ) Δy lim 即 f ( x0 ) lim x0 Δx x0 Δx
df ( x) dy y ' x x0 ， 或 ， dx xx0 dx xx
0
.
如果极限不存在，我们说函数 y f ( x) 在点 x0 处不可导. 如果固定 x0 ，令 x0 Δx = x ，则当 Δx 0 时， 有 x x0 ，故函数在 x0 处的导数 f ( x0 ) 也可表为
st0 t st0 s v(t0 ) lim v lim lim . t 0 t 0 t t 0 t
就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量 和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限.
2 .平面曲线的切线斜率
平面曲线的切线几何演示
在曲线 L 上点 M 0 附近， 再取一 点 M ,作割线 M 0 M ，当点 M 沿曲 线 L 移动而趋 向于 M 0 时 ，割线
左右导数不相等，故函数在该点不可导.所以，函数连续 是可导的必要条件而不是充分条件.
四、求导举例
求函数 y f ( x) 的导数 y 的步骤： （1）求增 y f ( x x ) f ( x ) ,
y f ( x x ) f ( x ) （2）算比值： , x x
这就是说 y f ( x) 在点 x 处连续.也即，如果函数 y f ( x) 在 x 处可导，那么在 x 处必连续.但反过来不一定成立， 即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导. x, x 0, 例如，函数 y x 显然在 x 0 处连续， x, x 0 但是在该点不可导.
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x x0 x x0
微积分讲义_第三章-一元函数的导数和微分
3.6 导数和微分在经济学中的简单应用，由于知识体系的关联性，我们把本节放到第四章后面讲。
例11.求
的导数
【答疑编号11030311：针对该题提问】
例12.求
的导数
【答疑编号11030312：针对该题提问】
例13.求
的导数
【答疑编号11030313：针对该题提问】
例14.求
的导数
【答疑编号11030314：针对该题提问】
例15.（教材习题3.2，8题）已知 【答疑编号11030315：针对该题提问】
切线方程为 法线方程为
例8、求双曲线
处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
【答疑编号11030108：针对该题提问】
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
所求切线方程为
法线方程为
六、可导与连续的关系 1.定理 凡可导函数都是连续函数. 注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。 我们有：不连续一定不可导 极限存在、连续、可导之间的关系。
2.连续函数不存在导数举例
例9、讨论函数
在x=0处的连续性与可导性。
【答疑编号11030109：针对该题提问】
解：
例10、 P115第10题
设
，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。
（1）连续；（2）可导。 【答疑编号11030110：针对该题提问】 解：（1）
（2）
七、小结 1.导数的实质：增量比的极限； 2.导数的几何意义：切线的斜率； 3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；
第三章 一元函数的导数和 微分
一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
3.1 导数概念
如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即
人大版微积分第三版课件隐函数的导数
若参数方程
x y
(t (t
)确定 )
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx dt dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
两边对 x 求导
(含导数 y的方程)
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
位等于锥高的一半时水面上升的速度.
解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的
rh
x
体积为 V , 则
13
R2h
13
r2(h
x)
R2
3h2
[
微积分(第三章)
（1） y f (sin2 x) g (cos2 x)
（2） y f n [ g n (sin x n )]
第三章 导数、微分、边际与弹性
§3 高阶导数
§3 高阶导数
一般地，设 f ' ( x) 在点 x 的某个领域内有定义，若极
限
f ' ( x x ) f ' ( x ) lim x 0 x
f ' ( x0 ) 都存在，就说函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上可导。
第三章 导数、微分、边际与弹性
§1 导数的概念
三 、 导数的几何意义
函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ' ( x0 ) 的几何意义是曲 线 y f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率。
定理2 如果函数 x f ( y ) 在区间 I y 内单调、可导
I x x x f ( y ), y I y
且 f ' ( y) 0 ，则它的反函数 y f 1 ( x) 在区间
内也可导，且
[f
1
1 dy 1 ( x)]' f ' ( y) 或 d x dx dy
（4）y cos x
1 （ 6） y x 1 （ 8） y 2 x 5x 6
第三章 导数、微分、边际与弹性
§3 高阶导数
高阶导数有以下运算法则：
1、[u( x) v( x)]( n) u ( n) ( x) v( n) ( x)
1 ' ( n 1) 2、[u ( x) v( x)]( n ) u ( 0) v ( n ) Cn uv k ( k ) ( nk ) k ( k ) ( nk ) Cn u v u ( n ) v ( 0 ) Cn u v n
微积分第三章第一节导数概念
例7 讨论函数 f (x ) = 3x + 1 x3 + 3
2
x≤0 0 < x ≤1 x &处的连续性与可导性. 解 ① 在点 x = 0 处的连续性
f (0) = 2
x →0
lim− f ( x) = lim− 2 = 2
x →0
x →0
lim+ f ( x) =lim (3x + 1) = 1 +
y
y
0
x
0
x
定义3.2′
f (x) − f (x0 ) 存在, 则称此极限 如果极限 lim− x→x0 x − x0
值为 f (x) 在点 x0 处的左导数, 记作 f −′ ( x0 ).
f (x) − f ( x0 ) 如果极限 lim+ 存在, 则称此极限 x→x0 x − x0
值为 f (x) 在点 x0 处的右导数, 记作 f +′ ( x0 ). 注
f ′(0) = 0 .
三、导数的几何意义 函数 f (x) 在点 x0的导数 f ′(x0 ) 的几何意义是: 曲线 y = f (x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线斜率. 曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x0 ))处的切线方程为:
y − f ( x0 ) = f ′( x0 )( x − x0 ).
f ( x0 − ∆x) − f ( x0 ) f ′( x0 ) = lim ∆x →0 − ∆x
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 − ∆x) f ′( x0 ) = lim ∆x → 0 2 ∆x
f ( x0 + k∆x) − f ( x0 ) f ′( x0 ) = lim ∆x → 0 k∆x
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并称这个极限为函数y f ( x)在点x0处的导数 .
记为 y x x0
微积分
dy dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
x x0
,
即 y
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
参考书
[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
微积分
第三章 导数与微分
• • • • • 引例 导数概念 导数的基本公式与运算法则 高阶导数 微分
微积分
导数的概念
在许多实际问题中，需要从数量上研究 变量的变化速度。如物体的运动速度，电流 强度，线密度，比热，化学反应速度及生物 繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函 数的变化率问题，即导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微 分学中两个最重要的基本概念——导数与微 分，然后再建立求导数与微分的运算公式和 法则，从而解决有关变化率的计算问题。
微积分
注意: 1. f ( x0 ) f ( x ) x x .
0
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
播放
微积分
★ 单侧导数 1.左导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
Δy lim lim (2 x Δx) 2 x ,即 ( x 2 ) 2 x . Δx0 Δx Δx0
Δy 2 x Δx , Δx
微积分
关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量 所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画 变化率的本质
微积分
导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一 步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的 快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有 微小变化时，函数大体上变化多少。
重点
导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导 导数的实质，用定义求导，链式法则
微积分
二、导数的定义
定义
y f ( x)在点x0的某个邻域内有定义.
x : x0 x0 x
y : f ( x0 ) f ( x0 x),
y f ( x0 x) f ( x0 )
y 若 lim 存在. 则称y f ( x)在点x0处可导 x 0 x
( x ) x 1 .
1
( R )
1 2 1 1 . ( x ) x 2 x 2
( x ) (1) x
1
1 1
1 2. x
微积分
例4 求函数 f ( x ) a x (a 0, a 1) 的导数. 解
a xh a x (a x ) lim h 0 h ah 1 a x lim h 0 h
MN 0, NMT 0.
y f ( x)
N
C
o
T
M
x0
x
x
设 M ( x0 , y0 ), N ( x , y ).
y y0 f ( x ) f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan , x x0 x x0 N 沿曲线C M , x x 0 , f ( x ) f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k tan lim x x0 x x0
即 f (0) f (0), 函数y f ( x )在x 0点不可导.
y
y x
o
x
微积分
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x ) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ( x0 ) tan , (为倾角) o
lim
t 0
1 loga (1 t )
1 t
1 ln a loga e
微积分
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1) 的导数.
log a ( x h) log a x 解 h 0 h h log a (1 ) x 1 lim h 0 h x x x 1 h h 1 lim log a (1 ) log a e . x h 0 x x 1 log a e . 即 (log a x ) x 1 特别地 (ln x ) . x y lim
s v ( t0 ) lim v lim t 0 t 0 t
s ( t 0 t ) s ( t 0 ) lim t 0 t
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
微积分
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
微积分
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即
例1 求函数 f ( x ) C (C为常数) 的导数.
f ( x h) f ( x ) C C 解 f ( x ) lim 0. lim h 0 h 0 h h
即
(C ) 0.
微积分
例2 设函数 f ( x ) sin x , 求(sin x )及(sin x ) 解
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim . h 0 h
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) lim . x x0 x x0
其它形式
微积分
例1
求函数 y x 2 在任意点 x 处的导数.
解 在 x 处给自变量一个增量 Δx ，相应的函数 增量为 Δy f ( x Δx) f ( x) ( x Δx) 2 x 2 2 xΔx (Δx) 2 , 于是 则
难点
微积分
基本要求
①准确叙述导数定义并深刻理解它的实质 ②会用定义求导数 ③熟记求导基本公式
④牢固掌握链式法则 ⑤掌握隐函数和参量函数求导法 ⑥理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法
⑦弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用 一阶微分的形式不变性
微积分
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t 0时刻的瞬时速度,
微积分
例3 求函数 y x n (n为正整数) 的导数. 解
( x h) n x n ( x n ) lim h 0 h n( n 1) n 2 n 1 lim[nx x h hn1 ] nx n 1 h0 2!
即
更一般地 例如,
( x n ) nx n 1 .
a x ln a .
即
(a x ) a x ln a .
特别地
( e x ) e x .
微积分
设 t a 1 h loga (1 t )
h
a 1 求 lim h 0 h
h
h0t 0
ah 1 t 则lim lim h0 t 0 log (1 t ) h a
微积分
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x ( 点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x )在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
微积分
微积分
dx rx dt
Байду номын сангаас莫兴德
广西大学 数信学院
Email:moxingde@
微积分
链接目录
第二章 极限与连续
第一章 函数
第三章 导数与微分
第五章 不定积分 第七章 无穷级数(不要求) 第九章 微分方程
第四章 中值定理,导数的应用
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
微积分
导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x ) 的导函数. dy df ( x ) 记作 y, f ( x ), 或 . dx dx
f ( x x ) f ( x ) 即 y lim x 0 x f ( x h) f ( x ) 或 f ( x ) lim . h 0 h
取一邻近于t 0的时刻t , 运动时间t ,
s s s 0 g 平均速度 v ( t 0 t ). t t t 0 2
t0
t
t
当 t t 0时,
取极限得
g(t 0 t) gt 0 . 瞬时速度 v lim t t0 2
微积分
上述求瞬时速度的方法对一般变速直线 运动也同样适用。设物体作变速直线运动， 其运动路程为s = s(t)，则物体在时刻 t0 的 瞬时速度定义为
(sin x ) lim sin( x h) sin x h 0 h h sin h 2 cos x. lim cos( x ) h 0 h 2 2 (sin x ) cos x .
x 4
.
即
(sin x )
x
4
cos x
x
4
2 . 2
★
点导数是因变量在点 x0处的变化率, 它
反映了 因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度. ★ y 是y在以x0和x0 x为端点的区间上的 x
平均变化率