09第九节欧拉方程

第九节欧拉方程

变系数的线性微分方程，一般说来都是不容易求解的 方程，则可以通过变量替换化为常系数的线性微分方程， 其中的一种

分布图示

★欧拉方程

★例2 ★例3

★例1

★ 内容小结

★课堂练习 ★ 习题12 — 9

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内容要点

形如

n (n)

n 1 (n 1)

x y p i x y

的方程称为欧拉方程，其中p 1, p 2,

, p n 为常数.

欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幕次相冋

作变量替换 x e t

或t ln x,

将上述变换代入欧拉方程，则将方程（9.1）化为以t 为自变量的常系数线性微分方程 ，求

出该方程的解后，把t 换为lnx,即得到原方程的解.

如果采用记号D 表示对自变量t 求导的运算-,则上述结果可以写为 dt

2

xy Dy, x y D(D 1)y ，

般地，有

两次积分，可求得其通解为

y C 1 C 2t t 3

•但是有些特殊的变系数线性微分 因而容易求出其解，欧拉方程就是

P n i xy P n y f(x) (9.1)

(D 3 3D 2

2D)y D(D 1)(D 2)y ，

x k y (k) D(D 1) (D k 1)y.

(9.2)

例题选讲

例1 （ E01）求欧拉方程x 2

y

1

xy 61 nx 的通解• x

解

作变量替换x e t 或t In x,则题设方程化为

D(D 1)y Dy 6t e t

,即

d 2y dt 2

6t e

代回原来变量，得原方程的通解y C1C2l nx (l nx)3 -

x 例2( E02)求欧拉方程x3y 2 2

x y 4xy 3x的通解.

作变量变换x e t或t In x,原方程化为

D(D 1)(D 2)y D(D 1)y 4 Dy 3e2t,

即D3y 2D2y 3 Dy

2写

dt2

3 罟3e2t

(1)

方程(1)所对应的齐次方程的特征方程r3 2r2 3r 0, 求得特征根「1 0, Q 1,「3 3,故所以齐次方程的通解

Y C1 C2e t 3t

C

3e C1 C2

x

C3XI

设特解y * be2t bx2,代入原方程得y*

2

—,故所求欧拉方程的通解为2

例3设有方程

(1 x)y

C i

C2

x

C3X3

x

0內(

1

2

x) y ]dx ln(1 x),(x 0), y (0) 0,

求由此方程所确定的函数y(x).

解将方程两边对2

(1 x) y (1 x)y y x求导，整理后得

—,且有

1 x

y(0) 0, y(0) 0,

这是欧拉方程，令1 x e t或t ln(1 X),将它化为常系数非齐次线性微分方程

其通解为y (° C2t)

由初始条件y(0) 0, y (0) 故由题设方程确定的函数为

d2y

dt2

2 鱼y e t dt

1故原方程的通解为

4

y [C1 C2I n(1 x)](1

0,可求得

C1 4,C2

x)

1

4(1 x)

1

尹1x) (1 x)

1

4(1 x)

课堂练习

求下列欧拉方程的通解

/ 2 ,

1.x y xy 4y 3x;

2.y

3. x2y xy 4y 3x;

4. x2y xy y 2cosl nx.

欧拉（Euler, 1707~1783）

欧拉，瑞士数学家及自然科学家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9

月18日於俄国的彼得堡去逝。

欧拉出生於牧师家庭，自幼已受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕

业，16岁获得硕士学位。欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣是是数学。在上大学时，他已受到约翰第一。伯努利的特别指导，专心研究数学，直到18岁，他彻底的放弃当

牧师的想法而专攻数学，於19岁时（1726年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金.1727年,

在丹尼尔.伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作.并在1731年接替丹尼尔第一.伯努利，成为物理学教授.在俄国的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现。此外，欧拉还应俄国政府的要求，解决了不少如地图学、造船业等的

实际问题。1735年，他因工作过度以致右眼失明。在1741年，他受到普兽士腓特烈大帝的

邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职。他在柏林斯间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着。与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其他数学领域均有开创性的发现。

1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在1771年，一场重病使他的左眼

亦完全失明。但以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作。他通过与助手们的讨论以

及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的最后一刻。

欧拉是18世记数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770）都成为数学中的经典著作。

欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程等）的产生与发展奠定了基础。欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目。他计算出函数在偶数点的值：他证明了a2k是有理数，而且可以伯努

利数来表示。此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数的值，其值

近似为0.57721566490153286060651209 …

在18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理方面的问题过程中，创立了微分方程学。

当中，在常微分方程方面，他完整地解决了n阶常系数为线性齐次方程的问题，对於非齐次

方程，他提出了一种降低方程阶的解法；而在偏微分方程方面，欧拉将二维物体振动的问题，

归结出一、二、三维波动方程的解法。欧拉所写的《方程的积分法研究》更是偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文。