09第九节欧拉方程
欧拉公式
编辑词条欧拉公式[编辑本段]欧拉公式(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。
（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P 的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。
牛顿-欧拉方程向量法推导
牛顿-欧拉方程向量法推导
欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，该定律为：
)]([1b
b b b b b I M I Ω⨯Ω-=Ω-& 其中b Ω为体坐标系下的角速度，b I 为体坐标系下的转动惯量，b M 为体坐标系下的外力矩。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)，此处只推导欧拉方程。
在不考虑外力矩时，约束条件为惯性坐标系的角动量守恒（非体坐标系的角动量守恒），即有：
0/)(=Ωdt RI d b b
其中R 为旋转矩阵。
拆解有：
0=Ω+Ωb
b b b RI I R && 0)(=Ω+Ω⨯Ωb
b b b b I I & 最后可得：
b
b b b b I I /)(Ω⨯Ω-=Ω& 加入外力矩后可得完整的欧拉方程：
)]([1b
b b b b b I M I Ω⨯Ω-=Ω-&。
牛顿—欧拉方程(可编辑修改word版)
M Ω b bb 牛顿-欧拉方程欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于 1750 年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：Ωb = I ‒ 1[M ‒ Ω × ( I Ω )]该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时 '刚体所受外力矩 与角加速度 的关系式，大多时候可简写成:Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ix x yy zz y x xx Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/I y y zz xx x z yy Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ixzzzyyx yzz其中，M x ,M y ,M z 分别为刚体坐标系S b 下三个轴的所受的外力矩， I xx ,I yy ,I zz 分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下S b )。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)：F (t ) = ma (t )M b = Ωb × ( I b Ωb ) + I b Ωb这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。
1. 单质点角动量定理 质点旋转时，有动量定理：F =d (mv ) dtr × F = r × d (mv )对两边叉乘质点位置矢量r ：dt b b观察：d (r × mv ) = r × d (mv ) + dr × mv因为：dt dt dt故有：dr× mv = v × mv = 0 dtd (r × mv ) = r × d (mv )dt dtr × F =d (r × mv )dt定义角动量L = r × mv ，可以看出r × F 为外力矩M故有单质点的角动量定理：2. 刚体的角动量定理M =dL dt定义刚体的角动量为：L G =∫L idm其中：L G 下标 G 表示该向量为大地坐标系S G 下的，L i 的下标 i 表示该向量为大地坐标S G 下各个质量元的向量。
(整理)同济六版章节和考试大纲的对照
这个是我看之前有不少人在讨论哪些章节不看同济六班的书的话，刚好我看完了高数，于是上网参考了下相关的帖子然后整理出来的，希望不会太晚。
高等数学》目录与数三大纲对照的重点标记及内容要求：★─大纲中要求“掌握”和“会”的内容以及对学习高数特别重要的内容，应当重点加强，对其概念、性质、结论及使用方法熟知，对重要定理、公式会推导。
要大量做题。
☆─大纲中要求“理解”和“了解”的内容以及对学习高数比较重要的内容，要看懂定理、公式的推导，知道其概念、性质和方法，能使用其结论做题。
要大量做题。
●─大纲中没有明确要求，但对做题和以后的学习有帮助。
▲─超出大纲要求。
第一章函数与极限第一节映射与函数（☆集合、影射，★其余）第二节数列的极限（☆）第三节函数的极限（☆）第四节无穷小与无穷大（★）第五节极限运算法则（★）第六节极限存在准则（★）第七节无穷小的比较（★）第八节函数的连续性与间断点（★）第九节连续函数的运算与初等函数的连续性（★）第十节闭区间上连续函数的性质（★）总习题第二章导数与微分第一节导数概念（★）第二节函数的求导法则（★）第三节高阶导数（★）第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数（★）第五节函数的微分（★）总习题二第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理（★罗尔，★拉格朗日，☆柯西）第二节洛必达法则（★）第三节泰勒公式（★）(泰勒这一节的知识点一直争议很大，大纲里面只有一个泰勒定理，要求是理解，但是泰勒其实是一个很好用的东西，而且对后面的无穷级数的展开式联系非常非常的紧密（迈克劳林展开式部分），所以我把他列为了掌握)第四节函数的单调性与曲线的凹凸性（★）第五节函数的极值与最大值最小值（★）第六节函数图形的描绘（★）第七节曲率(▲)第八节方程的近似解(▲)总习题三（★注意渐近线,这个知识点比较难找到）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质（★）第二节换元积分法（★）第三节分部积分法（★）第四节有理函数的积分（★）第五节积分表的使用（▲）总习题四第五章定积分第一节定积分的概念与性质（☆）第二节微积分基本公式（★）第三节定积分的换元法和分部积分法（★）第四节反常积分（☆概念，★计算）第五节反常积分的审敛法г函数(▲)总习题五第六章定积分的应用第一节定积分的元素法（★）第二节定积分在几何学上的应用（★平面面积，★旋转体，★简单经济应用）（同济六班的相关知识点里，经济应用没有，大家需要自己看别的教材把这一部分补上）第三节定积分在物理学上的应用（▲）总习题六、第七章微分方程（差分方程的内容，大纲要求是了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.和会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题.，同济的树上同样没有，同样需要大家自己去补上））第一节微分方程的基本概念（☆）第二节可分离变量的微分方程（☆）（★掌握求解方法）第三节齐次方程（☆）（★掌握求解方法）第四节一阶线性微分方程（☆）（★掌握求解方法）第五节可降阶的高阶微分方程（☆）第六节高阶线性微分方程（☆）第七节常系数齐次线性微分方程（★二阶的）第八节常系数非齐次线性微分方程（★二阶的）第九节欧拉方程(▲)第十节常系数线性微分方程组解法举例(▲)总习题七第八章空间解析几何与向量代数（▲）第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念（☆）第二节偏导数（☆概念。
高等数学欧拉方程
即
②
特征根:
设特解: yAt2et, 代入 ② 解得 A = 所求通解为
1,
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例3.
解: 由题设得定解问题
③
④
令xet, 记D d , 则③化为 dt
[D (D 1 ) D 4 ]y 5 e t
(D 24)y5et
⑤
特征根: r2i, 设特解: yAet,代入⑤得 A＝1
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得通解为
y C 1 c2 o t C 2 s s2 i t n e t C 1co 2 ln s x ) (C 2si2 lnn x )( 1 x
利用初始条件④得
C11, C2 ls n x) (1 si2 lnn x)(1
2
高等数学欧拉方程
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欧拉方程的算子解法:
x n y ( n ) p 1 x n 1 y ( n 1 ) p n 1 x y p n y f ( x )
令xet,
则
d y d y dt 1d y d x dt dx x dt
x
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思考: 如何解下述微分方程
提示: 原方程
直接令
记D d dt
记D d dt
[ D ( D 1 ) p 1 D p 2 ] y f( e t a )
作业 P319 2 ; 6; 8
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于是欧拉方程
x n y ( n ) p 1 x n 1 y ( n 1 ) p n 1 x y p n y f ( x )
欧拉公式PPT课件
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。
09 第九节 欧拉方程
第九节 欧拉方程变系数的线性微分方程，一般说来都是不容易求解的. 但是有些特殊的变系数线性微分方程，则可以通过变量替换化为常系数的线性微分方程，因而容易求出其解，欧拉方程就是其中的一种.分布图示★ 欧拉方程★ 例1★例2 ★ 例3 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—9 ★ 返回内容要点形如)(1)1(11)(x f y p y x p y x p y x n n n n n n =+'+++---Λ (9.1)的方程称为欧拉方程, 其中n p p p ,,,21Λ为常数.欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同. 作变量替换 t e x = 或 ,ln x t =将上述变换代入欧拉方程, 则将方程(9.1)化为以t 为自变量的常系数线性微分方程, 求出该方程的解后, 把t 换为ln x , 即得到原方程的解.如果采用记号D 表示对自变量t 求导的运算,dtd 则上述结果可以写为 ,Dy y x =' y D D y x )1(2-=''，y D D D y D D D y x )2)(1()23(233--=+-='''， 一般地，有y k D D D y x k k )1()1()(+--=Λ. (9.2)例题选讲例1（E01）求欧拉方程xx y x y x 1ln 62-='+''的通解. 解 作变量替换t e x =或,ln x t =则题设方程化为,6)1(te t Dy y D D --=+-即.622t e t dt y d --= 两次积分，可求得其通解为y .321t e t t C C --++=代回原来变量，得原方程的通解y .1)(ln ln 321xx x C C -++=例2（E02）求欧拉方程22334x y x y x y x ='-''+'''的通解.解 作变量变换t e x =或,ln x t =原方程化为,34)1()2)(1(2t e Dy y D D y D D D =--+--即te Dy y D y D 223332=-- 或.33222233t e dt dy dt y d dt y d =-- (1) 方程(1)所对应的齐次方程的特征方程 ,03223=--r r r求得特征根,01=r ,12-=r ,33=r 故所以齐次方程的通解Y t t e C e C C 3321++=-.3321x C x C C ++= 设特解*y t be 2=,2bx =代入原方程得,21-=b 即,2*2x y -=故所求欧拉方程的通解为 y .2123321x x C x C C -++=例3 设有方程,0)0(),0(),1ln(])1(2[)1(02='≥+-''++=+⎰y x x dx y x y y x x求由此方程所确定的函数).(x y解 将方程两边对x 求导，整理后得y y x y x +'+-''+)1()1(2,11x+=且有,0)0(=y ,0)0(='y 这是欧拉方程,令t e x =+1或),1ln(x t +=将它化为常系数非齐次线性微分方程,222t e y dt dy dty d -=+- 其通解为,41)(21t t e e t C C y -++=故原方程的通解为 ,)1(41)1)](1ln([21x x x C C y +++++= 由初始条件,0)0(=y ,0)0(='y 可求得,411-=C ,212=C 故由题设方程确定的函数为.)1(41)1()1ln(2141x x x y +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=课堂练习求下列欧拉方程的通解:1.x y y x y x 342='-''+''';2.x x y x y y 22=+'-''; 3.x y y x y x 342='-''+''';4.x y y x y x ln cos 22=+'+''.欧拉（Euler ，1707~1783）欧拉，瑞士数学家及自然科学家。
第九节 欧拉方程
特征根为
例例11 求求方方程程
解 作变换 x = et ，则原方程化为
第九节* 欧拉方程
即 例例22 求求方方程程
的的通通解解. .
的的通通解解. .
亦即解 将方程化为
令 x = et ，则方程化为 特征方程为 r2 – 3r + 2 = 0 , 特征根为 r1 = 1 , r2 = 2,
则 即对应的齐次方程的通解为第九节源自 欧拉方程一、定义 二、解法
第九节* 欧拉方程
一、定义
定义 形如
x n y (n) p1x n1 y (n1) pn1xy pn y f ( x) 的方程(其中 p1 , p2 , … , pn 为常数)称为欧拉方程.
第九节* 欧拉方程 x n y (n) p1x n1 y (n1) pn1xy pn y f ( x)
二、解法
作变换 x = et , 则
类似地可得
第九节* 欧拉方程 如果采用记号 D 表示对 t 求导的运算 计算结果可以写成
那么上述
一般地，有
第九节* 欧拉方程
把它代入欧拉方程，便得一个以 t 为自变量的常系数线 性微分方程. 在求出解后，把 t 换成 ln x 即可得到原方 程的解.
第第九九节节** 欧欧拉拉方方程程
[整理版]欧拉方程
![[整理版]欧拉方程](https://img.taocdn.com/s3/m/b4498afce109581b6bd97f19227916888486b974.png)
泛函的欧拉方程(by zhengpin1390)0(二)、泛函的欧拉方程欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题。
（1）最简单的欧拉方程：设函数F(x,y,y') 是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B内，则对形如0的变分，若其满足以下条件：0c) 在有界闭区域B内存在某条特定曲线y。
(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。
则函数y。
(x) 满足微分方程：上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。
（2）含有自变函数高阶倒数的泛函的欧拉方程一般来说，对于下述泛函：在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为：（3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程对于下述泛函：其欧拉方程组为：（4）多元函数的泛函及其欧拉方程此处仅考虑二元函数的情况，对如下所示多元函数的泛函：其欧拉方程为：泛函分析0泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
它是20世纪30年代形成的。
从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。
0泛函分析的产生0十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。
这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。
这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
0本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。
随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。
到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。
0由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。
比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。
欧拉方程公式
欧拉方程公式欧拉方程公式，这是一个让人们在数学领域中感到震撼和敬畏的名词。
欧拉方程公式是数学家欧拉在数学领域中提出的一种方程，它具有非常重要的意义和应用价值。
在数学领域中，欧拉方程公式被广泛应用于微积分、数论、物理学等各个领域，可以说是数学中的一颗璀璨明珠。
欧拉方程公式的形式简洁而优美，展现出了数学的神奇之处。
它将自然界中的一些基本常数e、π、i，以及自然对数等数学概念融合在一起，构成了一条具有深刻内涵的等式。
这个等式的美妙之处在于，它将三个看似毫不相关的数学概念融合在一起，展现出了数学的奇妙和神秘。
欧拉方程公式的形式为e^πi + 1 = 0，这个等式看似简单，却蕴含着丰富的数学内涵。
其中，e是自然常数，π是圆周率，i是虚数单位。
这三个数学常数在数学的不同领域有着重要的应用，它们的融合在欧拉方程公式中展现出了数学的统一性和美感。
欧拉方程公式的形式简洁明了，却蕴含着深刻的数学内涵。
这个等式的意义是多方面的，它不仅仅是一条数学公式，更是一种数学思想的体现。
欧拉方程公式将自然界中的一些基本常数融合在一起，展现出了数学的神奇和奥妙。
欧拉方程公式的形式虽简单，却有着无限的魅力。
它的美妙之处在于，它将看似不相关的数学概念融合在一起，展现出了数学的统一性和内在联系。
欧拉方程公式的提出，极大地推动了数学领域的发展，拓展了人们对数学的认识和理解。
欧拉方程公式的形式虽简单，却蕴含着深刻的数学内涵。
它将自然界中的一些基本常数融合在一起，展现出了数学的奥秘和神奇。
欧拉方程公式的提出，不仅仅是一次数学上的突破，更是一种数学思想的体现，它启示了人们对数学的认识和理解。
欧拉方程公式的提出，标志着数学领域的一次伟大的突破。
这个等式的形式虽简单，却蕴含着丰富的数学内涵。
欧拉方程公式的美妙之处在于，它将看似不相关的数学概念融合在一起，展现出了数学的统一性和内在联系。
欧拉方程公式的提出，对数学领域的发展起到了重要的推动作用。
欧拉方程公式的形式简洁而优美，展现出了数学的神奇之处。
欧拉方程解法课件
一阶线性欧拉方程的解
举例
(y' = 2xy) 的解为 (y = x^2)，通过分离变量法得到。
举例
(y' = frac{1}{x}) 的解为 (y = ln x)，通过变量代换法得到。
二阶常系数线性欧拉方程的解
举例
(y'' + 4xy = 0) 的解为 (y = c_1x^2 + c_2x^2)，通过特征值法得到。
应用示例
对于形如 (frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} = f(x,y)) 的偏微分方程，可以 使用有限差分法、有限元法等数值解 法进行求解。
03
欧拉方程的解的性质
解的存在性和唯一性
存在性
对于给定的初值条件和边界条件，欧 拉方程存在一个解。
应用示例
对于形如 (u(x,y) = v(x)w(y)) 的函数，如果满足一定的条件，可以将方程分解为两个独立的常微分方程， 分别求解后再组合得到原方程的解。
积分因子法
01
总结词
通过引入一个积分因子，将偏微分方程转化为全微分方程 ，从而简化求解过程。
02 03
详细描述
积分因子法是一种通过引入一个积分因子来简化偏微分方 程的方法。这种方法适用于具有特定对称性的偏微分方程 ，通过引入积分因子可以将偏微分方程转化为全微分方程 ，从而简化求解过程。
并行计算
将计算任务分解成多个子 任务，利用多核处理器或 分布式计算资源并行处理， 加快计算速度。
THANKS
感谢观看
VS
举例
(y'' - 2y' + y = 0) 的解为 (y = c_1e^x + c_2e^{-x})，通过常数变易法得到。
欧 拉 方 程
欧拉方程
欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘 积因子自变量的幂次相同.
当自变量x>0时，作变量替换x=et，则t=lnx，有
欧拉方程
欧拉方程
【例27】
求欧拉方程x2y″+xy′－y=x2的通解.பைடு நூலகம்解作变换x=et(设x>0),原方程化为
D(D－1)y+Dy－y=e2t, 即
D2y－y=e2t 或
(12-23) (12-24)
欧拉方程
其特征方程为r2－1=0, 特征根为r1,2=±1, 所以齐次方程(12-24)的通解为
谢谢聆听
欧拉方程
欧拉方程
因为变系数的二阶及二阶以上的线性微分方程还没有一般 的解法，所以本节介绍一类特殊的变系数的线性微分方程—— 欧拉方程，通过变量替换可以化为常系数的线性微分方程，因 而容易求解.
形如 xny(n)+p1xn-1y(n-1)+…+pn-1xy′+pny=f(x) (12-21) 的方程称为欧拉方程，其中p1，p2，…，pn为常数.
欧拉方程
第七章常微分方程7.12* 欧拉方程数学与统计学院赵小艳1 2 欧拉方程的一般形式1主要内容欧拉方程的解法1 2 欧拉方程的一般形式1主要内容欧拉方程的解法求解： 1 欧拉(Euler)方程的一般形式 ()11111d d d d d d n n n n n n n n x x x t a t a t a x f t t t t----++++=.,,,21均为常数其中n a a a 特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的乘方次数相同．作变量变换 ,ln t e t ==ττ或t x t x d d d d d d ττ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=t x t t x d d d d d d 22 ,1τd d x t =,1222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ττd d d d x x t 代入得到以为自变量的常系数线性微分方程. τ1 2 欧拉方程的一般形式1主要内容欧拉方程的解法例1 求微分方程 02=+-x x t x t 的通解． 解作变量变换 ,ln t e t ==ττ或,1τττd d d d d d d d x t t x t x ==,122222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ττd d d d d d x x t t x 则 代入原方程, 得 该方程的通解为 其特征方程为 ,0122=+-λλ,121==λλ.)(21ττe C C x +=.0222=+-x x x ττd d d d 即得原方程的通解为代换成把,ln t τ.)ln (t C t C x +=2 欧拉(Euler)方程的解法解 令 ,ln t e t ==ττ或代入原方程, 得 .2223τe y y y =+-d d d ,2t x =+原方程变为 .122332=++ty t y t t y t d d d d d d 两端乘以t ，得 .222333t ty t t y t t y t =++d d d d d d 令 则 ,1τττd d d d d d d d y t t y t y ==,122222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ττd d d d d d y y t t y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2233t y t t y d d d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=τττd d d d d d y y y t 23122333⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ττd d d d y y t 2232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2332111ττd d d d 2y t y t t Euler 方程代入原方程, 得 .2223τe y y y =+-d d d 对应齐次方程的特征方程为 ,02223=+-λλλ.1,03,21i ±==λλ对应齐次方程的通解为 ).sin cos (321τττC C e C Y ++=设非齐次方程的特解为 ,τe a y =*则 .1=a 该方程的通解为 .)sin cos (321ττττe C C e C y +++=原方程的通解为].1)2ln(sin )2ln(cos )[2(321++++++=x C x C x C y。
欧拉方程
欧拉方程 (刚体运动)莱昂哈德·欧拉用欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。
对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。
所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。
换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。
静态的定义三个欧拉角：() 。
蓝色的轴是xyz-轴，红色的轴是XYZ-坐标轴。
绿色的线是交点线(N) 。
对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。
参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。
而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。
参阅右图。
设定 xyz-轴为参考系的参考轴。
称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（Ｎ）代表。
zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义:•α是x-轴与交点线的夹角，•β是z-轴与Z-轴的夹角，•γ是交点线与X-轴的夹角。
很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。
科学家对此从未达成共识。
每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。
实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。
欧拉角方法只是其中的一种。
此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。
因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。
[编辑]角值范围•值从0 至2π弧度。
•β值从0 至π弧度。
对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：•两组欧拉角的α，一个是0 ，一个是2π，而β与γ分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。
•两组欧拉角的γ，一个是0 ，一个是2π，而α与β分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。
[编辑]旋转矩阵前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵合成的：单独分开作用，每个矩阵各自代表绕着其转动轴的旋转；但是，当它们照次序相乘，•最里面的(最右的) 矩阵代表绕着z 轴的旋转。
同济大学高等数学第六版第七章第九节欧拉方程
x2 即 y , 2 C2 1 2 3 所给欧拉方程的通解为 y C1 C 3 x x . x 2
1 代入原方程，得 b . 2
二、小结
欧拉方程解法思路 变系数的线 性微分方程
变量代换
x e t 或 t ln x
常系数的线 性微分方程
注意：欧拉方程的形式．
第九节 欧拉方程
欧拉方程
x y
n ( n)
第七章
p1 x
n 1 ( n 1)
y
pn 1 x y pn y f ( x)
( pk 为常数 )
令 x et , 即 t ln x
常系数线性微分方程
一、欧拉方程
形如
x n y ( n ) p1 x n1 y ( n1) pn1 xy pn y f ( x )
的方程(其中 p1 , p2 pn 为常数) 叫欧拉方程.
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同． 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
作变量变换
x e t 或 t ln x,
将自变量换为 t ,
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt
一般地， x k y ( k ) D( D 1)( D k 1) y.
将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量
的常系数 线性微分方程. 求出这个方程的解后，
把 t 换为 ln x ， 即得到原方程的解. 例 求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 3 x 2 的通解．
3 2 3 2
(1)
方程(1)所对应的齐次方程为
(完整版)牛顿—欧拉方程
牛顿-欧拉方程欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于1750年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：Ω⃗b=I b−1[M⃗⃗ b−Ω⃗b×( I b Ω⃗b)]该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时刚体所受外力矩M与角加速度Ω′的关系式，大多时候可简写成:Ωx′=[M x+(I yy−I zz)ΩyΩx]/I xxΩy′=[M y+(I zz−I xx)ΩxΩz]/I yyΩx′=[M z+(I zz−I yy)ΩxΩy]/I zz其中，M x,M y,M z分别为刚体坐标系S b下三个轴的所受的外力矩，I xx,I yy,I zz分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下S b)。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)：F(t)=ma(t)M⃗⃗ b=Ω⃗b×( I b Ω⃗b)+ I b Ω⃗b这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。
1.单质点角动量定理质点旋转时，有动量定理：F=d(mv ) dt对两边叉乘质点位置矢量r：r×F=r×d(mv ) dt观察：d(r×mv )dt =r×d(mv )dt+drdt×mv因为：drdt×mv=v×mv=0故有：d(r×mv )dt =r×d(mv )dtr×F=d(r×mv )定义角动量L⃗=r×mv，可以看出r×F为外力矩M⃗⃗ 故有单质点的角动量定理：M⃗⃗ =dL⃗dt2.刚体的角动量定理定义刚体的角动量为：L⃗G=∫L⃗i dm其中：L⃗G下标G表示该向量为大地坐标系S G下的，L⃗i的下标i表示该向量为大地坐标S G下各个质量元的向量。
欧拉方程——精选推荐
雅各布·马尔沙克雅各布・马尔沙克(Jacob Marschak) 经济学家,西方信息经济学的又一创始人。
1959年，美国著名经济学家马尔萨克(J.Marschak)发表《信息经济学家评论》一文，标志着信息经济学的诞生。
马尔沙克简介马尔沙克先后发表了“向一门组织与信息的经济学理论方向发展”（1954年）、“评论信息经济学”（1959年）、“查询、通信、决策的经济学”（1968年）以及“信息系统的经济可比性”（1968年）等一组文章。
他首次提出，信息论中的信息测度方法并不适用于经济信息范畴。
从“信息的价值是受它最满意使用的所产出的利益支配”这一基本思路出发，他强调信息经济是研究如何确定最优信息系统，即选择对于决策者具有最大价值信息系统的学科。
放心农资“放心农资”是农业部大力倡导的、针对中国农民最关注的农业生产资料的品质问题而提出的名称。
农资包括农用生产物资及农业生产有关的技术，比如种子、化肥、农药、兽药、农机、地膜、饲料及农用机械、计算机相关技术等。
农业部每年都把“放心农资”项目做为重中之重，通过一系列打假维权、下乡进村的活动对农资品质进行监管，切实为农村农民的生产带来放心的保证。
另外，通过广泛开展识假辨假维权和科学使用农资知识宣传培训，积极营造打假护农保春耕的良好社会氛围，切实维护农民利益，实现全年农产品有效供应、农业稳定发展和农民持续增收的目标。
Agricultural material农用物资农用物资简称农资，一般是指在农业生产过程中用以改变和影响劳动对象的物质资料和物质条件，如农业运输机械、生产及加工机械、农药、化肥、农膜等等。
土地不是农用物资，而是农业劳动对象（农业生产过程中人们将劳动加于其上的物质对象），与农用物资相比，它具有数量有限，位置固定，功能不可代替，肥力可以再生等特点。
农用物资应用于农业生产，必须采用先进的农业技术，才能使其发挥更大的作用。
如科学使用化肥和防治病虫害，采用现代技术改土治田，建立科学的耕作制度等。
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第九节欧拉方程
变系数的线性微分方程，一般说来都是不容易求解的 方程，则可以通过变量替换化为常系数的线性微分方程， 其中的一种
分布图示
★欧拉方程
★例2 ★例3
★例1
★ 内容小结
★课堂练习 ★ 习题12 — 9
★返回
内容要点
形如
n (n)
n 1 (n 1)
x y p i x y
的方程称为欧拉方程，其中p 1, p 2,
, p n 为常数.
欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幕次相冋
作变量替换 x e t
或t ln x,
将上述变换代入欧拉方程，则将方程（9.1）化为以t 为自变量的常系数线性微分方程 ，求
出该方程的解后，把t 换为lnx,即得到原方程的解.
如果采用记号D 表示对自变量t 求导的运算-,则上述结果可以写为 dt
2
xy Dy, x y D(D 1)y ，
般地，有
两次积分，可求得其通解为
y C 1 C 2t t 3
•但是有些特殊的变系数线性微分 因而容易求出其解，欧拉方程就是
P n i xy P n y f(x) (9.1)
(D 3 3D 2
2D)y D(D 1)(D 2)y ，
x k y (k) D(D 1) (D k 1)y.
(9.2)
例题选讲
例1 （ E01）求欧拉方程x 2
y
1
xy 61 nx 的通解• x
解
作变量替换x e t 或t In x,则题设方程化为
D(D 1)y Dy 6t e t
,即
d 2y dt 2
6t e
代回原来变量，得原方程的通解y C1C2l nx (l nx)3 -
x 例2( E02)求欧拉方程x3y 2 2
x y 4xy 3x的通解.
作变量变换x e t或t In x,原方程化为
D(D 1)(D 2)y D(D 1)y 4 Dy 3e2t,
即D3y 2D2y 3 Dy
2写
dt2
3 罟3e2t
(1)
方程(1)所对应的齐次方程的特征方程r3 2r2 3r 0, 求得特征根「1 0, Q 1,「3 3,故所以齐次方程的通解
Y C1 C2e t 3t
C
3e C1 C2
x
C3XI
设特解y * be2t bx2,代入原方程得y*
2
—,故所求欧拉方程的通解为2
例3设有方程
(1 x)y
C i
C2
x
C3X3
x
0內(
1
2
x) y ]dx ln(1 x),(x 0), y (0) 0,
求由此方程所确定的函数y(x).
解将方程两边对2
(1 x) y (1 x)y y x求导，整理后得
—,且有
1 x
y(0) 0, y(0) 0,
这是欧拉方程，令1 x e t或t ln(1 X),将它化为常系数非齐次线性微分方程
其通解为y (° C2t)
由初始条件y(0) 0, y (0) 故由题设方程确定的函数为
d2y
dt2
2 鱼y e t dt
1故原方程的通解为
4
y [C1 C2I n(1 x)](1
0,可求得
C1 4,C2
x)
1
4(1 x)
1
尹1x) (1 x)
1
4(1 x)
课堂练习
求下列欧拉方程的通解
/ 2 ,
1.x y xy 4y 3x;
2.y
3. x2y xy 4y 3x;
4. x2y xy y 2cosl nx.
欧拉（Euler, 1707~1783）
欧拉，瑞士数学家及自然科学家。
在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9
月18日於俄国的彼得堡去逝。
欧拉出生於牧师家庭，自幼已受到父亲的教育。
13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕
业，16岁获得硕士学位。
欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣是是数学。
在上大学时，他已受到约翰第一。
伯努利的特别指导，专心研究数学，直到18岁，他彻底的放弃当
牧师的想法而专攻数学，於19岁时（1726年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金.1727年,
在丹尼尔.伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作.并在1731年接替丹尼尔第一.伯努利，成为物理学教授.在俄国的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现。
此外，欧拉还应俄国政府的要求，解决了不少如地图学、造船业等的
实际问题。
1735年，他因工作过度以致右眼失明。
在1741年，他受到普兽士腓特烈大帝的
邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职。
他在柏林斯间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着。
与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其他数学领域均有开创性的发现。
1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。
在1771年，一场重病使他的左眼
亦完全失明。
但以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作。
他通过与助手们的讨论以
及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的最后一刻。
欧拉是18世记数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。
此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770）都成为数学中的经典著作。
欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程等）的产生与发展奠定了基础。
欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目。
他计算出函数在偶数点的值：他证明了a2k是有理数，而且可以伯努
利数来表示。
此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数的值，其值
近似为0.57721566490153286060651209 …
在18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理方面的问题过程中，创立了微分方程学。
当中，在常微分方程方面，他完整地解决了n阶常系数为线性齐次方程的问题，对於非齐次
方程，他提出了一种降低方程阶的解法；而在偏微分方程方面，欧拉将二维物体振动的问题，
归结出一、二、三维波动方程的解法。
欧拉所写的《方程的积分法研究》更是偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文。
在微分几何方面（微分几何是研究曲线、曲面逐点变化性质的数学分支），欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达方式。
在1766 年，他出版了《关于曲面上曲线的研究》，这是欧拉对微分几何最重要的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑。
他将曲面表为z f（x, y）,并引入一系列标准符号以表示z对x,y和偏导数，这些符号至今仍通用。
此外，在该著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式。
欧拉在分析学上的贡献不胜牧举，如他引入了G 函数和B 函数，这证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积分等等。
在代数学方面，他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积，即a+bi 的形式。
欧拉还给出了费马小定理的三个证明，并引入了数论中重要的欧拉函数（n）,他研究数论的一系列成果奠定了数论成为数学中的一个独立分支。
欧拉又用解析方法讨论数论问
题,发现了函数所满足的函数方程, 并引入欧拉乘积。
而且还解决了著名的柯尼斯堡七桥问题。
欧拉对数学的研究如此广泛, 因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。