高中数学第一章不等关系与基本不等式本章高效整合课件
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课件高一数学必修：不等关系与不等式PPT课件_优秀版
x
≥
0
y ≥ 0
这是一个二元一次不等式组的问题
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
作差
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 变形
7
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0)，
若再加 m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
怎么解决这个数学问题?
分析:起初糖水的浓度为 b ,加入 m 克糖后的糖 a
水浓度为 b m ,只要证明 b m b 即可,怎么
am
am a
证呢? 这是一个不等式的证明问题
问题 2: 某杂志以每本 2.5 元的价格发行时，可以售出 8 万 册．经过调查，若价格每提高 0.1 元，销售量就相应减少 2000 册．要使杂志社的销售收入不低于 20 万元，每本杂志的价
得到相反的结论，从而误解。
1.不等关系和不等 0
小
a b ab 0
结
a b ab 0
3.作差法的步骤：
（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论
其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；通分，分子 /分母有理化等，必要时进行讨论。
4、作商法步骤：（1）作商；（2）变形； （3）判断商与1的大小；（4）结论。
证明: =x2(x－1)+(x－1) ∵ b m b (b m)a (a m)b
作差
a m a (a m)a 今天的天气预报说：明天早晨最低温度t为7℃，明天白天的最高温度t为13℃;
=x2(x－1)+(x－1)
高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 2.1 绝对值不等式课件5高二选修45数学课件
12/12/2021
第十三页，共二十九页。
解答
反思(fǎn sī)与感悟 (1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的 性质进行转化，构造绝对值不等式的形式. (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键.
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第十四页，共二十九页。
跟踪(gēnzōng)训练2 (1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值； 解 ∵|f(x)|＝||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤f(x)≤3， ∴f(x)min＝－3，f(x)max＝3.
证明 ∵f(x)＝x2－2x，且|x－a|＜1， ∴|f(x)－f(a)|＝|x2－2x－a2＋2a| ＝|(x＋a)(x－a)－2(x－a)| ＝|(x－a)(x＋a－2)|＝|x－a|·|x＋a－2| ＜|x＋a－2|＝|(x－a)＋(2a－2)|≤|x－a|＋|2a－2| ＜1＋|2a|＋|2|＝2|a|＋3， ∴|1f2/(12x/2)02－1 f(a)|＜2|a|＋3.
所以f(x)≥2.
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第十七页，共二十九页。
证明
(2)若f(3)＜5，求a的取值范围(fànwéi).
解 f(3)＝|3＋1a|＋|3－a|， 当 a＞3 时，f(3)＝a＋1a，
5＋ 21 由 f(3)＜5，得 3＜a＜ 2 ；
当 0＜a≤3 时，f(3)＝6－a＋1a，
1＋ 由 f(3)＜5，得 2
对任意实数a和b，有|a＋b| |a|＋|b|. ≤
拓展 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
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第七页，共二十九页。
题型探究(tànjiū)
12/12/2021
高中数学人教A版必修不等关系与不等式一PPT精品课件
分析1：y 1 的单调性 x
两个函数图像关系
分析2：y x2与y x3图像关系
分析3：y x与y 1 的图像关系 x
三.课堂训练
(1)比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小； (2)设 x，y，z∈R，比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的 大小．
解 (1)∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4) ＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0. ∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)． (2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2) ＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1 ＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， ∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当 x＝y＝12且 z＝1 时取等号．
分析：比较两个实数的大小，可考察它们的商．作商比较实
数的大小一般步骤是作商→恒等变形→判断与 1 的大小 →下结论．
1.已知 a>b>0 试利用作商法比较 aabb 与 abba 的大小．
(3)利用函数图像(单调性、上下位置关系)
分析：比较两个实数的大小， 可考察相应函数的图像． 分析函数图像性质或者 两个图像位置关系即可. 1.已知a b 0,比较 1 与 1 大小.
如果 a－b 是正数，那么 a＞b；
如果 a－b 是负数，那么 a＜b；
如果 a－b 等于零，那么a＝b. 以上结论反过来也成立，即 a>b⇔ a－b>0 ； a＝b⇔ a－b＝0 ； a<b⇔ a－b<0 .
实数大小和差的符号的关系
如果a＞b a－b＞0; 如果a＜b a－b＜0; 如果a＝b a－b＝0
作用： 1.比较大小； 2.判断差的符号。
两个函数图像关系
分析2：y x2与y x3图像关系
分析3：y x与y 1 的图像关系 x
三.课堂训练
(1)比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小； (2)设 x，y，z∈R，比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的 大小．
解 (1)∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4) ＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0. ∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)． (2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2) ＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1 ＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， ∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当 x＝y＝12且 z＝1 时取等号．
分析：比较两个实数的大小，可考察它们的商．作商比较实
数的大小一般步骤是作商→恒等变形→判断与 1 的大小 →下结论．
1.已知 a>b>0 试利用作商法比较 aabb 与 abba 的大小．
(3)利用函数图像(单调性、上下位置关系)
分析：比较两个实数的大小， 可考察相应函数的图像． 分析函数图像性质或者 两个图像位置关系即可. 1.已知a b 0,比较 1 与 1 大小.
如果 a－b 是正数，那么 a＞b；
如果 a－b 是负数，那么 a＜b；
如果 a－b 等于零，那么a＝b. 以上结论反过来也成立，即 a>b⇔ a－b>0 ； a＝b⇔ a－b＝0 ； a<b⇔ a－b<0 .
实数大小和差的符号的关系
如果a＞b a－b＞0; 如果a＜b a－b＜0; 如果a＝b a－b＝0
作用： 1.比较大小； 2.判断差的符号。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1不等式的性质课件北师大版
5．已知①－1≤a＋b≤1，②1≤a－b≤3，求 3a－b 的取值范围． 解：设 3a－b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b. ∴xx＋ －yy＝ ＝－3，1， ∴xy＝＝21.， 由①＋②×2 得：－1＋2≤(a＋b)＋2(a－b)≤1＋3×2， 即 1≤3a－b≤7.
ab＝1⇔ a＝b .
2．不等式的性质 (1)性质 1(对称性)：如果 a>b，那么 b<a ； 如果 b<a，那么 a>b . (2)性质 2(传递性)：如果 a>b，b>c，那么， a>c . (3)性质 3(加法性质)：如果 a>b，那么 a＋c>b＋c . ①移项法则：如果 a＋b>c，那么 a>c－b . ②推论(加法法则)：如果 a>b，c>d，那么 a＋c>b＋d .
1．已知 x≠0，求证：(x2－1)2＜x4＋x2＋1. 证明：(x2－1)2－(x4＋x2＋1) ＝x4－2x2＋1－x4－x2－1 ＝－3x2＜0， ∴(x2－1)2＜x4＋x2＋1.
2．设 a>b>0，求证：aa22－ ＋bb22>aa＋－bb. 证明：法一：aa22－ ＋bb22－aa－ ＋bb＝a－ba[2a＋＋bb22a－＋ab2＋b2] ＝a22＋abb2a－a＋b b>0， 所以原不等式成立． 法二：∵a>b>0，故 a2>b2>0.故左边>0，右边>0. ∴左 右边 边＝aa2＋＋bb22＝1＋a22＋abb2>1. ∴原不等式成立.
证明：∵ab＝dc，∴a－b b＝c－d d. ∴(a－b)d＝(c－d)b. 又∵a＞b＞c＞d＞0， ∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0 且bd＞1， ∴ac－－db＝bd＞1， ∴a－b＞c－d，即 a＋d＞b＋c.
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.1绝对值不等式课件
∴|x－A|<2ε，|y－A|<2ε是|x－y|<ε 成立的充分条件．
反之，若|x－y|<ε，则可以取|x－A|<34ε，|y－A|<4ε ，而使得
条件|x－A|<2ε，|y－A|<2ε得不到满足．
因此，|x－A|<2ε，|y－A|<2ε是|x－y|<ε 成立的充分而不必要条
件．
答案： A
数学D 选修4-5
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
3．已知|a＋b|<－c(a、b、c∈R)，给出下列不等式： ①a<－b－c；②a>－b＋c；③a<b－c；④|a|<|b|－c； ⑤|a|<－|b|－c. 其中一定成立的不等式是________(注：把成立的不等式 的序号都填上)．
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
预习学案
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
1．绝对值的几何意义 |a|表示数轴上__表__示__数__a_的__点__到_原__点___的距离． |a－b|表示数轴上表__示__数__a_的__点____到_表__示__数__b_的__点__的距离． 2．不等式关于“运算”的基本性质 加法性质：_a_>__b_⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_______. 乘法性质：__a_>__b_且__c>__0_⇒_a_c_>_b_c_；__a_>_b_且__c_<_0_⇒__a_c_<_b_c_____.
第1讲 不等关系与不等式 课件(共63张PPT)
解析
解决此类题目常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是 否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可 以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
1．如果 a>0>b 且 a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是
解析 答案
角度 2 作商法 例 3 设 a，b 都是正数，且 a≠b，则 aabb 与 abba 的大小关系是________. 答案 aabb>abba 解析 aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b.若 a>b，则ab>1，a－b>0，∴aba－b>1，∴ aabb>abba；若 a<b，则 0<ab<1，a－b<0，∴aba－b>1，∴aabb>abba.
解析 答案
作商法的步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论．
4．若 a>0，且 a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa 与 7aa7 的大小不确定 解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当 a>7 时，0<7a<1,7－a<0，则7a7－a>1， ∴77aa>7aa7；当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.综上， 77aa>7aa7.
6.若 0<a<b<1，则 ab，logba，log b 的大小关系是________. 答案 log b<ab<logba 解析 ∵0<a<1，∴1a>1.又 0<b<1， ∴log b<log 1＝0.∵0<ab<a0＝1，logba>logbb＝1， ∴log b<ab<logba.
解决此类题目常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是 否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可 以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
1．如果 a>0>b 且 a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是
解析 答案
角度 2 作商法 例 3 设 a，b 都是正数，且 a≠b，则 aabb 与 abba 的大小关系是________. 答案 aabb>abba 解析 aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b.若 a>b，则ab>1，a－b>0，∴aba－b>1，∴ aabb>abba；若 a<b，则 0<ab<1，a－b<0，∴aba－b>1，∴aabb>abba.
解析 答案
作商法的步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论．
4．若 a>0，且 a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa 与 7aa7 的大小不确定 解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当 a>7 时，0<7a<1,7－a<0，则7a7－a>1， ∴77aa>7aa7；当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.综上， 77aa>7aa7.
6.若 0<a<b<1，则 ab，logba，log b 的大小关系是________. 答案 log b<ab<logba 解析 ∵0<a<1，∴1a>1.又 0<b<1， ∴log b<log 1＝0.∵0<ab<a0＝1，logba>logbb＝1， ∴log b<ab<logba.
高中数学 第一章 不等关系与基本不等式本章整合课件5高二选修45数学课件
当且仅当-3≤x≤7时等号成立.
令f(x)=lg(|x+3|+|x-7|),
则f(x)=lg(|x+3|+|x-7|)≥lg 10=1.
所以要使lg(|x+3|+|x-7|)>a的解集为R,只需a<1.
12/12/2021
第七页，共二十五页。
综合应用
专题
(zhuāntí)
一
专题三
专题
(zhuāntí)
专题
(zhuāntí)
一
专题
(zhuāntí)
二
专题
(zhuāntí)
三
专题四
2.判别式法
判别式法是根据已经构造出的一元二次方程、一元二次函数或一元
二次不等式的解集等特征,确定出其判别式所满足的不等式,从而推出欲证的
不等式的方法.
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第十二页，共二十五页。
综合应用
专题
(zhuāntí)
由0≤a≤2知f(a)表示一条线段.
又f(0)=b2+c2-2bc=(b-c)2≥0,
f(2)=b2+c2-4b-4c+8=(b-2)2+(c-2)2≥0.
可见上述线段在x轴及其上方.
∴f(a)≥0,
即4a+b2+c2+abc≥2ab+2bc+2ca.
12/12/2021
第十一页，共二十五页。
综合应用
定”“三相等”的情况下进行应用,要特别注意等号取得的条件以及是否符合其实际
意义.
专题一
12/12/2021
第三页，共二十五页。
综合应用
专题
(zhuāntí)
令f(x)=lg(|x+3|+|x-7|),
则f(x)=lg(|x+3|+|x-7|)≥lg 10=1.
所以要使lg(|x+3|+|x-7|)>a的解集为R,只需a<1.
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专题
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一
专题三
专题
(zhuāntí)
专题
(zhuāntí)
一
专题
(zhuāntí)
二
专题
(zhuāntí)
三
专题四
2.判别式法
判别式法是根据已经构造出的一元二次方程、一元二次函数或一元
二次不等式的解集等特征,确定出其判别式所满足的不等式,从而推出欲证的
不等式的方法.
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综合应用
专题
(zhuāntí)
由0≤a≤2知f(a)表示一条线段.
又f(0)=b2+c2-2bc=(b-c)2≥0,
f(2)=b2+c2-4b-4c+8=(b-2)2+(c-2)2≥0.
可见上述线段在x轴及其上方.
∴f(a)≥0,
即4a+b2+c2+abc≥2ab+2bc+2ca.
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综合应用
定”“三相等”的情况下进行应用,要特别注意等号取得的条件以及是否符合其实际
意义.
专题一
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综合应用
专题
(zhuāntí)
高三数学总复习《不等关系与基本不等式》课件
1 1 1 1 1 解析 : x y x y 2y 2x 2 2x 2y 1 1 1 2 x 2 y 4, 2 2x 2y 1 1 x y 2y 2y 1 2 当 x , 即x y 时取得最小值. 2x 2 1 y 2y
∵b<c,∴b-c<0,又a>0,∴a(b-c)<0,
∵b>0,c>0,∴bc>0,-bc<0, ∴a(b-c)-bc<0,∴ab<ac+bc.
题型二 含绝对值的不等式 例2已知f(x)=|x-1|+|2x+3|. (1)若f(x)≥m对一切x∈R都成立,求实数m的取值范围; (2)解不等式f(x)≤4.
ab ab (当且仅当a b时取" "号), 2 即两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 定理2 : 对任意两个正数a, b, 有
定理3:对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥3abc(当且仅当
a=b=c时取“=”号).
abc 3 abc (当且仅当a b c时取" "号), 3 即三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 定理4 : 对任意三个正数a, b, c有
推论1:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 推论2:如果a>b>0,那么a2>b2. 推论3:如果a>b>0,那么an>bn(n为正整数). 推论4:如果a>b>0,那么a1n>b1n(n为正整数).
3.含有绝对值不等式 (1)定理:对任意实数a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,其中等号成立的条 件为ab≥0. 说明:①定理中的b以-b代替,则有|a-b|≤|a|+|b|.
∵b<c,∴b-c<0,又a>0,∴a(b-c)<0,
∵b>0,c>0,∴bc>0,-bc<0, ∴a(b-c)-bc<0,∴ab<ac+bc.
题型二 含绝对值的不等式 例2已知f(x)=|x-1|+|2x+3|. (1)若f(x)≥m对一切x∈R都成立,求实数m的取值范围; (2)解不等式f(x)≤4.
ab ab (当且仅当a b时取" "号), 2 即两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 定理2 : 对任意两个正数a, b, 有
定理3:对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥3abc(当且仅当
a=b=c时取“=”号).
abc 3 abc (当且仅当a b c时取" "号), 3 即三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 定理4 : 对任意三个正数a, b, c有
推论1:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 推论2:如果a>b>0,那么a2>b2. 推论3:如果a>b>0,那么an>bn(n为正整数). 推论4:如果a>b>0,那么a1n>b1n(n为正整数).
3.含有绝对值不等式 (1)定理:对任意实数a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,其中等号成立的条 件为ab≥0. 说明:①定理中的b以-b代替,则有|a-b|≤|a|+|b|.
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.2绝对值不等式的解法课件
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
1．若 A＝{x||x－1|＜2}，B＝x|x－x 2＞0，则 A∩B 等于(
)
A．{x|－1＜x＜3}
B．{x|x＜0，或 x＞2}
C．{x|－1＜x＜0，或 2＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜0}
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
3．如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＞a的解集是全体实数 ，则a的取值范围是________．
解析： 由绝对值的几何意义可知， |x－3|＋|x－4|≥1， 故a＜1. 答案： (－∞，1)
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
4．运用分段讨论法解绝对值符号里是一次式的不等式(特 别是含两个或两个以上绝对值符号的)，其一般步骤是：
(1)令每个绝对值里的代数式__为__零__，并求出相应的根(又 叫零点)；
(2)把这些根由__小__到__大__排__列__，把不等式的存在域(未知数 的取值范围)分成若干段；
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
(3)在每一段上去掉_绝__对__值__符__号___组成若干个不等式(组)， 解这些不等式(组)，求出交集；
(4)取这些不等式(组)的解集的___并__集_就是原不等式的解集 ．
在变形的过程中要特别注意保证同解，还要注意步骤的简 捷与表达的明晰．区别“并”还是“交”的关键是“或”还是“且”， 同时还要分清端点是否包括在内．
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.1不等式的性质省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
【例1】 比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)大小.
分析:此题为两个代数式比较大小,可先作差,再展开,合并同类项,
最终判断差值正负.
解:由题意,作差得
(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)
=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)
=-7<0,
故(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).
)
A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2
D.ab>ab2>a
解析:∵a<0,-1<b<0,
∴ab>0,b-1<0,1-b>0,0<b2<1,
∴1-b2>0,
∴ab-a=a(b-1)>0.∴ab>a.
∵ab-ab2=ab(1-b)>0,∴ab>ab2.
又∵a-ab2=a(1-b2)<0,
2 2 2
+ + +
-
=
-
-
a-b a-c b-c b-a c-a c-b
=a
·a ·b ·b ·c ·c
=
·
·
.
∵a>b>0,
-
∴ > 1, − > 0, 即
即(x2-x)-(x-2)>0,
∴x2-x>x-2.
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题型一
题型二
题型三
题型二 利用求商法比较大小
分析:此题为两个代数式比较大小,可先作差,再展开,合并同类项,
最终判断差值正负.
解:由题意,作差得
(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)
=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)
=-7<0,
故(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).
)
A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2
D.ab>ab2>a
解析:∵a<0,-1<b<0,
∴ab>0,b-1<0,1-b>0,0<b2<1,
∴1-b2>0,
∴ab-a=a(b-1)>0.∴ab>a.
∵ab-ab2=ab(1-b)>0,∴ab>ab2.
又∵a-ab2=a(1-b2)<0,
2 2 2
+ + +
-
=
-
-
a-b a-c b-c b-a c-a c-b
=a
·a ·b ·b ·c ·c
=
·
·
.
∵a>b>0,
-
∴ > 1, − > 0, 即
即(x2-x)-(x-2)>0,
∴x2-x>x-2.
第11页
题型一
题型二
题型三
题型二 利用求商法比较大小
人教A版高中数学必修五第一节不等关系与不等式一PPT课件
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→下结论.
人教A版高中数学必修五第三章第一节 不等关 系与不 等式( 一）(共 16张PP T)
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比较两个数(式)的大小的方法:
例1．比较x2－x与x－2的大小. 解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2 =(x－1)2+1，
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不等式的定义：用不等号连接两个数或者解析式所得的式子，叫做 人教A版高中数学必修五第三章第一节不等关系与不等式(一）(共16张PPT) 不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠． (2)解析式是指：代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集 R．
500x 600y 4000 x3x0y y 0 x,y∈N
考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈N
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课堂练习：书本：P74，练习1、2
1、用不等式表示下面的不等关系：
（1）a与b的和是非负数； a+b≥0
（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高
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高中数学第一章不等关系与基本不等式1.5不等式的应用
解析:∵x>0,y>0,
1 ������
+
9 ������
=
1,
∴x+y= 1 + 9 (������ + ������) = ������ + 9������ + 10≥6+10=16,
������ ������
������ ������
当且仅当
������ ������
=
9������ ������
1
3
=
1.
3
3
27
当且仅当 x-1=x-1=3-2x,即 x= 4 时等号成立,
3
故
y
的最大值为
1.
27
题型一 题型二
题型二 利用平均值不等式解决实际问题
【例2】 制造一个能盛放108 L水的无盖长方体形水箱,问如何选
择尺寸,才能使用料最省?
分析:所谓用料最省,是指长方体的表面积最小.
解:设长方体的长、宽分别为a(dm)和b(dm),高为h(dm),易知该水
f(x)=2+log2x
+
lo
5 g2
������
的最大值,
其中 0 < ������ < 1;
(2)求函数 y=(x-1)2(3-2x)
1 < ������ < 3
2
的最大值.
解:(1)∵0<x<1,
∴-log2x>0,−
lo
5 g 2 ������
>
0,
∴(-log2x)+
-5
lo g2������
解:(1)∵x<0,
高中数学 第一章 不等关系与基本不等式章整合提升课件5高二选修45数学课件
12/12/2021
第十三页，共二十七页。
解析：法一 ∵a＞b＞0，ab＝1， ∴log2(a＋b)＞log2(2 ab)＝1.
1 有2ba＝2aa＝a－1·2－a.令 f(a)＝a－1·2－a， ∵b＝1a，a＞b＞0，∴a＞1a.解得 a＞1.
12/12/2021
第十四页，共二十七页。
∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－aln 2 ＝－a－2·2－a(1＋aln 2)＜0. ∴函数 f(a)在区间(1，＋∞)上单调递减． ∴f(a)＜f(1)，即2ba＜12. ∵a＋1b＝a＋a＝2a＞a＋b＞log2(a＋b)， ∴2ba＜log2(a＋b)＜a＋1b.
12/12/2021
第二十三页，共二十七页。
2．(2015·全国卷Ⅱ)设 a，b，c，d 均为正数，且 a＋b＝c
＋d.
证明：
(1)若 ab＞cd，则 a＋ b＞ c＋ d；
(2) a＋ b＞ c＋ d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
证明：(1)因为( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab，
( c＋ d)2＝c＋d＋2 cd，
12/12/2021
第十八页，共二十七页。
3．(2017·日照模拟)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源 损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造 可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该 建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单 位：cm)满足关系 C(x)＝3x＋k 5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年 能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能 源消耗费用之和．
明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
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第一章 不等关系与基本不等式
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(2)由(1) a≥－3，∴6－3 a－(－a)＝2a3＋3≥0， ∴6－3 a≥－a，为使 A∩Z＝{3,4}， 则有2＜6－3 a≤3 ⇒－2≤a＜－1.
4≤6＋a＜5 故存在实数 a，使 A∩Z＝{3,4}， 此时 a∈[－2，－1)．
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解析： a＞b 并不能保证 a、b 均为正数，从而不能保证 A、 B 成立．又 a＞b⇒a－b＞0，但不能保证 a－b＞1，从而不能保 证 C 成立．显然只有 D 成立．事实上，指数函数 y＝12x 是减函 数，所以 a＞b⇔12a＜12b 成立．
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本章是对必修5中“不等式”的补充和深化，重点是不等式 的证明、绝对值不等式的解法、不等式的应用，但近几年来高 考对不等式的证明难度要求有所降低，出现题目较少，因此我 们把绝对值不等式的解法和证明放在重点位置，把不等式的综 合应用放在次重点上，把不等式的证明放在一般位置上(但必 需要看，注重知识的连贯性)，强化练习，注意难度把握即可 ．
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[命题探究]
本章为选修部分新增内容，也是选考内容，命题时，主要 题型有：含有绝对值不等式的解法，利用含有绝对值的重要不 等式证明不等式问题，用比较法、综合法、分析法、放缩法、 反证法证明简单的不等式，难度通常为中档题．
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第一章 不等关系与基本不等式
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2．会利用不等式求最大(小)值． 3．了解比较法、分析法、综合法和放缩法、反证法等不 等式的证明方法． 4．会利用不等式解决一些简单的实际问题．
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答案： D [点拨提升] 为保证解题速度，特殊值法与不等式性质应 交叉运用．
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绝对值不等式与集合
由于不等式的解集与集合紧密联系，因此经常借助于不等 式的解集给出集合．解决此类问题的主要策略有以下几点：① 能化简的集合先化简，以便使问题明朗化；②掌握求解各类不 等式解集的方法，如公式法、转化法等；③进行集合运算时， 不等式解集端点的合理取舍；④解含参数的不等式与集合问题 ．合理运用数轴来表示集合是解决这类问题的重要技巧．
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第一章 不等关系点例析
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解含有绝对值的不等式的方法
1．公式法 |f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)； |f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)． 2．平方法 |f(x)|＞|g(x)|⇔[f(x)]2＞[g(x)]2.
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[典型问题举例] 不等式性质的应用
本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是 否成立，再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的 比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进 行考查，考查形式多以选择题出现．
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[课标导航]
内容精要：本章是在复习已有的不等式知识(不等式的性 质，基本不等式等)的基础上，继续学习不等式的知识，包括 一些关于绝对值不等式的性质；平均不等式；证明不等式的方 法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法；不等式的应 用等等．本章知识的重点是不等式的基本性质，求解绝对值不 等式和运用不等式的基本方法解决实际问题，掌握证明不等式 的基本方法与技巧．
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已知不等式|x－3|≤x＋2 a的解集为 A，Z 为整数集． (1)若 A≠∅，求 a 的范围； (2)是否存在实数 a 使 A∩Z＝{3,4}？若存在，求 a 的范围； 若不存在，说明理由．
[思维导引] 先解不等式，再按集合运算的要求求a的范 围．
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若 a、b 是任意实数，且 a＞b，则( )
A．a2＞b2
B．ab＜1
C．lg(a－b)＞0
D．12a＜12b
[思维导引] 结合不等式性质和函数的性质(单调性)来比 较大小，或用特殊值法判断．
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解析： (1)原不等式等价于不等式组
x＋2 a≥0
x－3≤x＋2 a x－3≥－x＋2 a
x≥－a ⇔x≤6＋a ，
x≥6－3 a
为使 A≠∅，则 6＋a≥－a 且 6＋a≥6－3 a⇒a≥－3.
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课标要求：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值 不等式的几何意义证明以下不等式：
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|. (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－ b|≤c.