大学振动讲义.ppt

0 1 1.01
黑线代表强迫力，蓝线代表从静止开始的受迫振动
振幅随ω的变化
A
f0
(02 2 )2 4 22
根据 dA 0
d
共振频率 共振振幅
r 02 2 2
Amax 2
f0
02 2
A f0
2
0.01, 0.1, 1 , 0.25,
0
6
2 , 0.5, 2 , 1, 2
0.01
2 i 02 2
通解 x ( A1eif t A2e-if t )e-t f 02 2
或 x A0e-t cos(f t f )
x A0e-t cos(f t f ) f 02 2
系数由振动的初始条件确定
x0 A0 cosf 0 x0 f A0 sinf
2
A0
x1 x2
2x1 2x2
02 x1 0 02 x2 f0
cos(t
)
通解 特解
方程的通解= 齐次方程的通解 + 方程的特解
x x1 x2
x2 2x2 02x2 f0 cos(t) 特解
受迫振动的微分方程的求解问题就转化为寻找方程的特解
猜测 x2 Acos(t )
代入方程
4
2
0
速度随ω的变化
V A
f0
(02 2 )2 4 22
根据 dV 0
d
共振频率 0
共振速度
Vm ax
f0
2
A f0
2
0.01, 0.1, 1 , 0.25,
0
6
2 , 0.5, 2 , 1, 2
4
2
V f0
0
弹性力 Fx kx 受迫振动
阻尼力 R C dx dt
简谐强迫力 F(t) F0 cos(t) mx Cx kx F0 cos(t)
弹性力 Fx kx 阻尼力 R C dx
dt
简谐强迫力 F(t) F0 cos(t) mx Cx kx F0 cos(t)
x 2x 02x f0 cos(t)
其中 0
k, C ,
m
2m
f0
F0 m
x 2x 02x f0 cos(t)
方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和
dc
dt
d2x dt2
d2x dt2
6k 2m 9m0
x
0
T 2 2m 9m0
6k
x x0 cos
6k t
2m 9m0
§8-4 阻尼振动
1. 阻尼振子
阻力：R V C dx C : 阻力系数
dt
d 2x dx m dt2 C dt kx 0
令 0
k, C
m
2m
d2x dt2
2
x A0et cos( 02 2t f ) Acos(t )
A
f0
,
(02 2 )2 4 22
tan
2 02 2
第一项即阻尼振动，随时间衰减，故称暂态解 第二项不随时间衰减，称为稳态解
暂态解与稳态解 0 1 0.36
0 1 1
0 1 1.8
0 1 0.4
从静止开始的受迫振动
(a)欠阻尼 0
(b)过阻尼 0
0 x0 (f 0)
0 x0 2 02
(c)临界阻尼 0 0 x0
x
x0 b
oc
t
a
§8-5 受迫振动 共振
没有外部不断供给能量，耗散系统的振动是不能持久的
受迫振动：用周期力驱动的振动。 周期力中简谐强迫力最重要：
（1）简谐强迫力最简单，也最普遍 （2）非简谐强迫力都可以看作简谐强迫力的线性叠加
dx dt
02 x
0
阻尼系数
d2x dt2
2
dx dt
02 x
0
二阶常系数线性微分方程（齐次）
猜测解 x et 待定
特征方程 2 2 02 0
特征根
方程的通解
欠阻尼
1 2 02 2 2 02
x A1e1t A2e2t 系数由振动的初始条件确定
0 1 i 02 2
第八章 振 动
振动有各种不同的形式 机械振动 电磁振动 广义振动：任一物理量(如位移、电 流等) 在某一数值附近反复变化。
§8-1 简谐振动
(运动学部分)
一、简谐振动
表达式 x(t)=Acos( t+)
o
x
特点 (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T )
二、描述简谐振动的特征量
1. 振幅 A 2. 周期T 和频率 v
2 Acos(t ) 2Asin(t ) 02 Acos(t ) f0 cost
两边对应项的系数相等
A(02 2 ) cos 2Asin f0 A(02 2 ) sin 2Acos 0
A
f0
,
(02 2 )2 4 22
tan
2 02 2
受迫振动的微分方程的通解（小阻尼）
c
解： c
R
质元动能
o
d
x
l
dEk
1 2
m l
d
l
c
2
弹簧动能
Ek
l 0
1 2
m
c2
l3
2d
1 6
mc2
c
c
系统机械能
o
d
x
1 6
mc2
1 2
m0c2
1 2
1 2
m0
R2
c
R
2
l 1 kx2 2
恒量
1 3
mc
dc
dt
3 2
m0c
dc
dt
kx dx dt
0
利用
dx dt
c
振动的圆频率或角频率
= 1/T (Hz) = 2
T
3. 相位 (1) ( t + )是 t 时刻的相位
(2) 是t =0时刻的相位 — 初相
§8-2 简谐振动(动力学部分)
一、 简谐振动的动力学方程 1. 动力学方程 (以水平弹簧振子为例)
2. 受力特点: 线性恢复力 (F= -kx)
k
m
oF
- 2 02 t
2
A1
x0 2
2
x0 2 02 2
0 2 02
A2
x0 2
2
x0 2 02 2
0 2 02
1 2 02 2 2 02
临界阻尼
0 1 2
通解 考虑初条件
x ( A1 A2t)e-t
x e-t x0 (0 x0 )t
三种阻尼的比较
x
x 取平衡位置为坐标原点
由
F
ma
m
d2x d t2
及
F kx 有 k
m
d d
2x t2
Leabharlann Baidu
2
x
0
例 质量为 m0的匀质圆柱体的中心轴线上系一劲度系数为
k、质量为m的弹簧。假定圆柱体在水平面上作无滑动的
滚动，弹簧伸长为 x0时由静止释放圆柱体，试求
(1)系统的振动周期；
c
(2)圆柱体质心的运动方程。
x02
0
x0 f
tan f
0 x0
f x0
x A0e-t cos(f t f ) f 02 2
x 阻尼振动位移时间曲线
A0
A0et
A0et cosf t
O
t
A0 T
(f 0)
准周期：T 2 2
f
02 2
过阻尼 0
x A e A e - 2 02 t 1