大学振动讲义.ppt
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大学物理(简谐振动篇)ppt课件
通过图表展示实验结果，如位移-时间 图、速度-时间图等，以便更直观地分 析振动特性。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验目的通过观察Βιβλιοθήκη 测量波动现象，验证波动方程的正确性。
实验原理
利用波动方程描述波的传播规律，通过实验数据验证理论预测。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验设计思路
选择合适的波动源和测量仪器，如振动台、激光 干涉仪等。
01
实验步骤
02
搭建实验装置，包括弹簧、振子、测量仪器等。
调整实验参数，如弹簧劲度系数、振子质量等，以获得不同条
03
件下的振动数据。
弹簧振子实验设计思路分享
使用测量仪器记录振动的位移、速度 、加速度等数据。
对实验数据进行处理和分析，提取简 谐振动的基本特征。
单摆实验数据处理技巧指导
实验目的
通过观察和测量单摆的运动，研究简谐振动的基本规律。
波动传播速度
波动在介质中传播的速度称为波动传播速度。对于简谐振动 形成的机械波而言，波动传播速度与介质的性质有关，如弹 性模量、密度等。同时，波动传播速度还与振动的频率有关 ，频率越高则波动传播速度越快。
02
简谐振动的动力学特征
回复力与加速度关系
回复力定义
指向平衡位置的力，大小与位移成正比，方 向始终指向平衡位置。
1 研究非线性振动现象
通过设计和实施非线性振动实验，探索非线性振动的基 本规律和特性，如混沌现象、分岔行为等。
2 探究复杂系统中的振动传播
研究复杂网络中振动传播的动力学行为，揭示网络结构 对振动传播的影响机制。
3 开发新型振动传感器件
结合微纳加工技术和振动理论，设计并制作具有高灵敏 度、高分辨率的振动传感器件，应用于精密测量和工程 领域。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验目的通过观察Βιβλιοθήκη 测量波动现象，验证波动方程的正确性。
实验原理
利用波动方程描述波的传播规律，通过实验数据验证理论预测。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验设计思路
选择合适的波动源和测量仪器，如振动台、激光 干涉仪等。
01
实验步骤
02
搭建实验装置，包括弹簧、振子、测量仪器等。
调整实验参数，如弹簧劲度系数、振子质量等，以获得不同条
03
件下的振动数据。
弹簧振子实验设计思路分享
使用测量仪器记录振动的位移、速度 、加速度等数据。
对实验数据进行处理和分析，提取简 谐振动的基本特征。
单摆实验数据处理技巧指导
实验目的
通过观察和测量单摆的运动，研究简谐振动的基本规律。
波动传播速度
波动在介质中传播的速度称为波动传播速度。对于简谐振动 形成的机械波而言，波动传播速度与介质的性质有关，如弹 性模量、密度等。同时，波动传播速度还与振动的频率有关 ，频率越高则波动传播速度越快。
02
简谐振动的动力学特征
回复力与加速度关系
回复力定义
指向平衡位置的力，大小与位移成正比，方 向始终指向平衡位置。
1 研究非线性振动现象
通过设计和实施非线性振动实验，探索非线性振动的基 本规律和特性，如混沌现象、分岔行为等。
2 探究复杂系统中的振动传播
研究复杂网络中振动传播的动力学行为，揭示网络结构 对振动传播的影响机制。
3 开发新型振动传感器件
结合微纳加工技术和振动理论，设计并制作具有高灵敏 度、高分辨率的振动传感器件，应用于精密测量和工程 领域。
大学物理-振动和波-PPT
t 3T 4
（振动状态 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 传至10 )
所以运动方程为：
x bCos(
g b
t
)
二、谐振动的图线描述法
x
A
0
t1
t
两类问题：
1、已知谐振动方程，描绘谐振动曲线 2、已知谐振动曲线，描绘谐振动方程
三、 简谐振动的旋转矢量表示法
1、旋转矢量
ω
M
旋转矢量的长度：振幅 A
A
旋转矢量旋转的角速度：
圆频率 0
旋转矢量与参考方向x 的夹角： 振动周相
则可得： x ACos(t )
其中： A A12 A22 2 A1A2Cos(2 1)
tg A1Sin1 A2Sin2 A1Cos1 A2Cos2
2、利用旋转矢量合成
A
x ACos(t )
A1
A2
A A12 A22 2 A1A2Cos(2 1)
x
tg A1Sin1 A2Sin2 A1Cos1 A2Cos2
a
v
0
t
问题： 是描述t=0时刻振动物体的状态，当给定计时时刻振动物 体的状态（t=0 时的位置及速度：x0 v0 )，如何求解相对应的 ？
（1）、已知 t = 0 振动物体的状态x(0), v(0)求
x(0) Acos v(0) A sin
可得：
A
x2
(0)
v2 (0) 2
tg v(0) x(0)
X
如果振动物体可表示为一质点，而与之相连接的所有弹簧等效 为一轻弹簧，忽略所有摩擦，可用弹簧振子描述简谐振动。
二、谐振动的特点：
1、动力学特征：
大学物理振动课件
大学物理振动课件•振动基本概念与分类•简谐振动特性分析•非简谐振动处理方法目录•波动现象与波动方程•光学中振动与波动应用•声学中振动与波动应用•总结回顾与拓展延伸01振动基本概念与分类振动定义及特点振动的定义物体在平衡位置附近所做的往复运动称为振动。
振动的特点周期性、重复性、稳定性。
振动分类方法自由振动、受迫振动。
按振动系统分类简谐振动、非简谐振动。
按振动规律分类直线振动、扭转振动。
按振动方向分类物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐振动。
简谐振动的定义回复力与位移成正比，且方向相反；加速度与位移成正比，且方向相反；速度与位移成反比。
简谐振动的特点不满足简谐振动条件的振动称为非简谐振动。
非简谐振动的定义回复力不满足与位移成正比的规律；加速度与位移的关系不满足简谐振动的规律；振动图像不是正弦或余弦曲线。
非简谐振动的特点简谐振动与非简谐振动02简谐振动特性分析简谐振动方程建立与求解建立简谐振动方程通过受力分析和牛顿第二定律，建立简谐振动的微分方程。
对于一维简谐振动，方程形式为$mfrac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$，其中$m$ 为振子质量，$k$ 为弹性系数。
方程的求解通过求解微分方程，得到简谐振动的通解为$x(t) = Acos(omega t + varphi)$，其中$A$ 为振幅，$omega$ 为角频率，$varphi$ 为初相位。
1 2 3表示振动物体离开平衡位置的最大距离，反映了振动的强弱程度。
振幅$A$表示振动物体完成一次全振动所需的时间，反映了振动的快慢程度。
周期$T$表示单位时间内振动物体完成全振动的次数，与周期互为倒数关系，即$f = frac{1}{T}$。
频率$f$振幅、周期、频率等参数意义相位差与波动传播关系相位差的概念两个同频率的简谐振动之间存在的相位之差。
当两个振动的相位差为$2npi$（$n$为整数）时，它们处于同相；当相位差为$(2n+1)pi$ 时，它们处于反相。
(优质)大学物理(振动学)PPT课件
)
速度 振幅
m
A
加速度 振幅
a m
2 A
5
三条特征
简 谐
F kx
简简
振
谐谐
动
振
的 普 遍
(
d2 dt
x
2
2
x
0
)
动 三 条
振 动 的 定
定
判义
义
据式
式 x Acos(t )
6
二点说明
(1）特征方程成立的条件: 坐标原点取在平衡位置 （2）证明一种振动是简谐振动的一般步骤
a）确定研究对象，找平衡位置 b）建立以平衡位置为原点的坐标系 c）进行受力分析
d）利用牛顿定律或转动定律写出物体在任一位置 的动力学方程
e）根据判据判断该振动是否为简谐振动
7
二 描述简谐振动的物理量 x Acos(t )
1、振幅：表示物体离开平衡位置的最大距离——A
2 周期 频率 圆频率 回到原来的运动状态 r,,a T :完成一次全振动所用时间 x( t T ) x( t )
（优质）大学物理(振动学)PPT 课件
1
弹簧振子的振动
l0 k
A
x0 F 0
m
x
o
A
2
7.1 简谐振动的描述
一、简谐振动的特征方程
弹
k km F m
簧
振
子
ox
物体所受合外 力为零的位置
平衡位置
k
x
x 0o x
m F
m
1 回复力 F kx
x
竖 直
F
mg
k(x
x 0
)
kx
斜放
3
大学物理机械振动(课堂PPT)
k , k串k,串, k并k,并
m
.
12
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t :相 位 ， 或 位 相(r， ad)或相相 位决定谐振子某
: t 0时的相,称 位为初. 相一瞬时的运动状态
: 相位差,即两个相位之差。
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间.
t t2
t1
(t2) (t1)
4 上一页 下一页
要定义或证明一个运动是简谐振动，可以从 是否满足下面三个方程之一为依据。
Fkx
d2x dt2
2x
0
动力学特点
x A c o t s
运动学特点
某物理量如果满足后两个方程，那么这个物理量
是简谐振动量。
.
5
上一页 下一页
A （振幅决定谐振子运动的范围）
振子偏离平衡位 大置 位的 移最 的绝对 m）值
T
对于弹 :簧 k振 , T 子 2 m, 1 k
m
k 2 m
☆ 确定振动系统周期的方法：
（1）分析受力情F况 m，a或M 由J,写出动力学
（2）将动力学方dd2程 t2x变 2x为 0的形式，
如果能化为这种 也形 就式 证， 明了振动 振为 动
（3）由动力学方程 , 求写出出周T或 期频率 。
cos x0 0
A
sin v0 0
2
A
物体的振动 x方 0.1c程 o1st0 为 ： m
.
2 19
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振 A 幅 矢 A 的 量长
角频率 矢量逆时针匀角 速速 度 旋转的
周 期 T矢 量 旋 转 一 圈 所 T需 2 时 间
频率 矢量单位时间内圈旋数转的P
大学物理课件-第6章 振动(vibration)-PPT课件
M
x
ω
⑸周期T—旋转矢量转一周所需的时间。
鞍山科技大学 姜丽娜
20
2.相量图法的优点：
⑴初位相直观明确。 ⑵比较两个简谐振动的位相差直观明确。 M o X X M3 M2 M1 o
M
x
⑶计算同一简谐振动状态变化所经历的时间容易。
o
M4
鞍山科技大学 姜丽娜
21
例1 已知一个物体沿X轴作简谐振动,周期T=2s、振幅 A=0.20m，t=0时,
t=0 x
x x = A cos( t + )
·
•矢量长度 = A； •以为角速度绕o点逆时针旋转； •t = 0时矢量与x轴的夹角为 •矢量端点在x轴上的投影为SHM。
相位差
x A c o s ( t ) 1 1 1 1
x A c o s ( t ) 2 2 2 2
=( 2 t+ 2)-(1 t+ 1) 对两同频率的谐振动 = 2- 1 初位相差
对两同频率的谐振动 (i) 当2 -1 = 0 , (ii) 当 2 -1 = ,
x
两振动步调相同,称同相 两振动步调相反 , 称反相 。
x
A1
A2 o - A2
x2
x1
同相
T t
3 xA cos( t ) 3
鞍山科技大学 姜丽娜 17
3.一个沿X轴方向运动的弹簧振子,振幅A,周期T已知, t=0时的 状态分别为: ⑴过平衡位置向X轴正向运动; ⑵过x=A/2处向X轴负向运动。
求:上述两种情况下的振动方程
解 ( 1 ) x A cos 0 0
广义振动：凡是物理量随时间作周期性变化的现象都称振动。
大学物理物理学课件振动与波动
光的折射规律
折射光线、入射光线和法线在同一平面内；折射光线和入射光线分 居法线两侧；折射角与入射角满足斯涅尔定律。
全反射规律
当光从光密介质射向光疏介质时，如果入射角大于或等于临界角，则 会发生全反射现象，即全部光线被反射回原介质中。
现代光学技术应用
激光技术
利用受激辐射原理产生高强度、单色性 好的激光束，广泛应用于科研、工业、 医疗等领域。
超声波的性质
超声波具有高频、高能量、方向性好、穿透力强 等特点。
超声波的应用
超声波在医学、工业、农业等领域有广泛应用， 如超声诊断、超声加工、超声育种等。
次声波简介和危害防范
01
次声波简介
次声波是指频率低于20Hz的声 波，人耳无法听到，但会对人体 产生危害。
02
次声波的危害
03
次声波的防范
次声波会对人体内脏器官产生共 振作用，导致头晕、恶心、呕吐 等症状，严重时甚至危及生命。
虑共振问题，并采取相应的防范措施。
03
波动基本概念与传播特性
波动定义及分类
波动是物质运动的一种形式，指振动在 介质中的传播过程。
机械波：机械振动在介质中的传播，如 声波、水波等。
波动可分为机械波和电磁波两大类。
电磁波：电磁场在空间的传播，如光波 、无线电波等。
机械波产生条件与传播过程
产生条件
波源（振动的物体）和介质（传播振动的媒质）。
04
干涉、衍射与多普勒效应
干涉现象及其条件
03
干涉现象
干涉条件
干涉类型
当两列或多列波的频率相同，振动方向一 致，相位差恒定时，它们在空间某些区域 振动加强，在另一些区域振动减弱，形成 稳定的强弱分布的现象。
折射光线、入射光线和法线在同一平面内；折射光线和入射光线分 居法线两侧；折射角与入射角满足斯涅尔定律。
全反射规律
当光从光密介质射向光疏介质时，如果入射角大于或等于临界角，则 会发生全反射现象，即全部光线被反射回原介质中。
现代光学技术应用
激光技术
利用受激辐射原理产生高强度、单色性 好的激光束，广泛应用于科研、工业、 医疗等领域。
超声波的性质
超声波具有高频、高能量、方向性好、穿透力强 等特点。
超声波的应用
超声波在医学、工业、农业等领域有广泛应用， 如超声诊断、超声加工、超声育种等。
次声波简介和危害防范
01
次声波简介
次声波是指频率低于20Hz的声 波，人耳无法听到，但会对人体 产生危害。
02
次声波的危害
03
次声波的防范
次声波会对人体内脏器官产生共 振作用，导致头晕、恶心、呕吐 等症状，严重时甚至危及生命。
虑共振问题，并采取相应的防范措施。
03
波动基本概念与传播特性
波动定义及分类
波动是物质运动的一种形式，指振动在 介质中的传播过程。
机械波：机械振动在介质中的传播，如 声波、水波等。
波动可分为机械波和电磁波两大类。
电磁波：电磁场在空间的传播，如光波 、无线电波等。
机械波产生条件与传播过程
产生条件
波源（振动的物体）和介质（传播振动的媒质）。
04
干涉、衍射与多普勒效应
干涉现象及其条件
03
干涉现象
干涉条件
干涉类型
当两列或多列波的频率相同，振动方向一 致，相位差恒定时，它们在空间某些区域 振动加强，在另一些区域振动减弱，形成 稳定的强弱分布的现象。
大学物理振动和波动ppt课件(2024)
大学物理振动和波动 ppt课件
2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 振动基本概念与分类 • 波动基本概念与传播特性 • 振动与波动相互作用原理 • 光学中振动和波动现象解析 • 声学中振动和波动现象解析 • 总结与展望
2
01 振动基本概念与分类
2024/1/28
3
振动的定义及特点
振动的定义
振幅
声源振动的幅度用振幅表示，振幅越大，声音的 响度越大。
3
相位
声波在传播过程中，各质点的振动状态用相位描 述。相位差反映了声波在空间中的传播情况。
2024/1/28
25
室内声学环境评价指标体系
响度
音调
人耳对声音强弱的主观感受称为响度，与 声源的振幅和频率有关。
人耳对声音高低的主观感受称为音调，与 声源的频率有关。
物体在平衡位置附近所做的往复运动。
振动的特点
周期性、重复性、等时性。
2024/1/28
4
简谐振动与阻尼振动
2024/1/28
简谐振动
物体在回复力作用下，离开平衡位置 后所做的往复运动，其回复力与位移 成正比，方向相反。
阻尼振动
在振动过程中，由于摩擦、空气阻力 等因素，振幅逐渐减小的振动。
5
受迫振动与共振现象
传播途径控制
在噪声传播途径中采取措施，阻断或减弱噪声的传播。例如设置声屏 障、采用吸音材料等。
接收者防护
对受噪声影响的人员采取防护措施，如佩戴耳塞、耳罩等个人防护用 品。
案例分析
以某工厂噪声控制为例，通过采取上述综合措施，使工厂噪声降低到 国家标准以内，改善了工人的工作环境和周边居民的生活环境。
27
2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 振动基本概念与分类 • 波动基本概念与传播特性 • 振动与波动相互作用原理 • 光学中振动和波动现象解析 • 声学中振动和波动现象解析 • 总结与展望
2
01 振动基本概念与分类
2024/1/28
3
振动的定义及特点
振动的定义
振幅
声源振动的幅度用振幅表示，振幅越大，声音的 响度越大。
3
相位
声波在传播过程中，各质点的振动状态用相位描 述。相位差反映了声波在空间中的传播情况。
2024/1/28
25
室内声学环境评价指标体系
响度
音调
人耳对声音强弱的主观感受称为响度，与 声源的振幅和频率有关。
人耳对声音高低的主观感受称为音调，与 声源的频率有关。
物体在平衡位置附近所做的往复运动。
振动的特点
周期性、重复性、等时性。
2024/1/28
4
简谐振动与阻尼振动
2024/1/28
简谐振动
物体在回复力作用下，离开平衡位置 后所做的往复运动，其回复力与位移 成正比，方向相反。
阻尼振动
在振动过程中，由于摩擦、空气阻力 等因素，振幅逐渐减小的振动。
5
受迫振动与共振现象
传播途径控制
在噪声传播途径中采取措施，阻断或减弱噪声的传播。例如设置声屏 障、采用吸音材料等。
接收者防护
对受噪声影响的人员采取防护措施，如佩戴耳塞、耳罩等个人防护用 品。
案例分析
以某工厂噪声控制为例，通过采取上述综合措施，使工厂噪声降低到 国家标准以内，改善了工人的工作环境和周边居民的生活环境。
27
大学物理机械振动和机械波ppt课件
天文学
天文学家通过观察恒星光谱的多普勒效应来判断恒星相对于地球的运动速度，进而研究 恒星的运动规律和宇宙结构。
音乐合成
在音乐制作中，可以利用多普勒效应原理来模拟乐器声音的空间感和运动感，使音乐更 加生动和立体。
05
干涉和衍射现象在机械波中表 现
Chapter
干涉现象产生条件及类型划分
产生条件
两列波频率相同，会出现稳定的干涉现象。
波源。
多普勒效应在医学诊断中应用
超声诊断
医生利用超声波的多普勒效应来检测人体内部器官的运动状态，如心脏跳动、 血流速度等。
胎儿监测
孕妇在产前检查时，医生可以通过多普勒超声仪监测胎儿的心跳和血流情况， 以评估胎儿的健康状况。
其他领域多普勒效应应用案例
交通测速
交警使用雷达测速仪测量车辆速度时，利用了多普勒效应原理。当车辆靠近或远离测速 仪时，反射回来的微波频率会发生变化，从而计算出车辆的速度。
数据分析
根据测量数据，分析波的干涉和衍射现象，验证 相关理论。
06
非线性振动与混沌理论简介
Chapter
非线性振动概念引入和分类
非线性振动定义
描述系统振动特性不满足叠加原理的振动现象。
分类
根据振动性质可分为自治、非自治、周期激励和 随机激励等类型。
与线性振动的区别
线性振动满足叠加原理，而非线性振动则不满足。
振动的特点
周期性、重复性、等时性。
简谐振动与阻尼振动
简谐振动
物体在回复力作用下，离开平衡位置 后所做的简谐运动。
阻尼振动
物体在振动过程中受到阻力作用，振 幅逐渐减小的振动。
受迫振动与共振现象
受迫振动
物体在周期性外力作用下所发生的振动。
天文学家通过观察恒星光谱的多普勒效应来判断恒星相对于地球的运动速度，进而研究 恒星的运动规律和宇宙结构。
音乐合成
在音乐制作中，可以利用多普勒效应原理来模拟乐器声音的空间感和运动感，使音乐更 加生动和立体。
05
干涉和衍射现象在机械波中表 现
Chapter
干涉现象产生条件及类型划分
产生条件
两列波频率相同，会出现稳定的干涉现象。
波源。
多普勒效应在医学诊断中应用
超声诊断
医生利用超声波的多普勒效应来检测人体内部器官的运动状态，如心脏跳动、 血流速度等。
胎儿监测
孕妇在产前检查时，医生可以通过多普勒超声仪监测胎儿的心跳和血流情况， 以评估胎儿的健康状况。
其他领域多普勒效应应用案例
交通测速
交警使用雷达测速仪测量车辆速度时，利用了多普勒效应原理。当车辆靠近或远离测速 仪时，反射回来的微波频率会发生变化，从而计算出车辆的速度。
数据分析
根据测量数据，分析波的干涉和衍射现象，验证 相关理论。
06
非线性振动与混沌理论简介
Chapter
非线性振动概念引入和分类
非线性振动定义
描述系统振动特性不满足叠加原理的振动现象。
分类
根据振动性质可分为自治、非自治、周期激励和 随机激励等类型。
与线性振动的区别
线性振动满足叠加原理，而非线性振动则不满足。
振动的特点
周期性、重复性、等时性。
简谐振动与阻尼振动
简谐振动
物体在回复力作用下，离开平衡位置 后所做的简谐运动。
阻尼振动
物体在振动过程中受到阻力作用，振 幅逐渐减小的振动。
受迫振动与共振现象
受迫振动
物体在周期性外力作用下所发生的振动。
《大学物理振动》课件
調音叉實驗
通过调音叉实验，我们可以直观地观察和测量振动的特征。这个实验对理解 振动现象具有重要意义。
例子和應用
在这个部分，我们将介绍一些与振动有关的具体例子和实际应用。这些例子和应用将帮助我们更好地理解和应 用振动的知识。
結論及問題解答
在这个部分，我们将总结我们在整个课件中学到的关于物体振动的知识，并 回答一些与振动相关的问题。
《大学物理振动》PPT课 件
欢迎来到《大学物理振动》PPT课件。在这个课件中，我们将深入探讨物体振 动的定义、不同种类、振幅、频率和周期之间的关系，以及调音叉实验、例 子和应用。最后，我们将总结并回答一些问题。
簡介
在这个部分，我们将对振动进行简要介绍。振动是指物体周期性地往复运动。它是物理学中一个非常重要的概 念，涉及到许多实际应用。
物體振動的定義
这一部分讨论物体振动的准确定义。物体振动是指物体围绕其平衡位置以往 复运动的现象。
物體振動Байду номын сангаас種類
在这个部分，我们将介绍物体振动的各种类型。这包括机械振动、电磁振动、 声波振动等。
振幅、频率和周期的關係
振幅、频率和周期是描述物体振动的重要参数。在这个部分，我们将讨论它 们之间的关系，并给出具体的数学公式。
大学物理上册振动课件
3、旋转矢量合成法（几何法）
振动
同方向同频率的两个简谐振动的合成
振动
A2
AA 1A2
20
A1
0
10
x1
x2
x
x
O
xAcots(0)
A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s 0(1)0 tg0A A11csoin11s00 A A22scion220s0
A A3
3
x
A2
2
1 A1
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
振动
*二. 同方向不同频率简谐振动的合成
分振动 x1Aco1 st (0)
x2A co2 st (0)
合振动 xx1x2
x 2 A co22 s1 ()tco22 s1 (t0 )
AA1A2 两分振动相互减弱
如 A1=A2 , 则 A=0
振动
多个同方向同频率简谐运动的合成
x 1 A 1 co t s1 ) ( x 2 A 2 co t s2 ) (
x n A ncot sn ( )
x x 1 x 2 x n
xA co ts () o
合振动不是简谐振动
振动
x 2 A co 22 s 1 ()tco 22 s 1 (t 0)
当21时,21 21 则： xA(t)cost
式中 A(t)2Aco s2(1)t
2
c ostc o s2(1)t
2
随t 缓变 随t 快变
某一时刻
E =Ek+Ep
vA si n t (0)
xAcost(0)
Ek
振动
同方向同频率的两个简谐振动的合成
振动
A2
AA 1A2
20
A1
0
10
x1
x2
x
x
O
xAcots(0)
A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s 0(1)0 tg0A A11csoin11s00 A A22scion220s0
A A3
3
x
A2
2
1 A1
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
振动
*二. 同方向不同频率简谐振动的合成
分振动 x1Aco1 st (0)
x2A co2 st (0)
合振动 xx1x2
x 2 A co22 s1 ()tco22 s1 (t0 )
AA1A2 两分振动相互减弱
如 A1=A2 , 则 A=0
振动
多个同方向同频率简谐运动的合成
x 1 A 1 co t s1 ) ( x 2 A 2 co t s2 ) (
x n A ncot sn ( )
x x 1 x 2 x n
xA co ts () o
合振动不是简谐振动
振动
x 2 A co 22 s 1 ()tco 22 s 1 (t 0)
当21时,21 21 则： xA(t)cost
式中 A(t)2Aco s2(1)t
2
c ostc o s2(1)t
2
随t 缓变 随t 快变
某一时刻
E =Ek+Ep
vA si n t (0)
xAcost(0)
Ek
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第八章 振 动
振动有各种不同的形式 机械振动 电磁振动 广义振动：任一物理量(如位移、电 流等) 在某一数值附近反复变化。
§8-1 简谐振动
(运动学部分)
一、简谐振动
表达式 x(t)=Acos( t+)
o
x
特点 (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T )
二、描述简谐振动的特征量
1. 振幅 A 2. 周期T 和频率 v
x02
0
x0 f
tan f
0 x0
f x0
x A0e-t cos(f t f ) f 02 2
x 阻尼振动位移时间曲线
A0
A0et
A0et cosf t
O
t
A0 T
(f 0)
准周期：T 2 2
f
02 2
过阻尼 0
x A e A e - 2 02 t 1
0 1 1.01
黑线代表强迫力，蓝线代表从静止开始的受迫振动
振幅随ω的变化
A
f0
(02 2 )2 4 22
根据 dA 0
d
共振频率 共振振幅
r 02 2 2
Amax 2
f0
02 2
A f0
2
0.01, 0.1, 1 , 0.25,
0
6
2 , 0.5, 2 , 1, 2
0.01
2 Acos(t ) 2Asin(t ) 02 Acos(t ) f0 cost
两边对应项的系数相等
A(02 2 ) cos 2Asin f0 A(02 2 ) sin 2Acos 0
A
f0
,
(02 2 )2 4 22
tan
2 02 2
受迫振动的微分方程的通解（小阻尼）
弹性力 Fx kx 阻尼力 R C dx
dt
简谐强迫力 F(t) F0 cos(t) mx Cx kx F0 cos(t)
x 2x 02x f0 cos(t)
其中 0
k, C ,
m
2m
f0
F0 m
x 2x 02x f0 cos(t)
方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和
2 i 02 2
通解 x ( A1eif t A2e-if t )e-t f 02 2
或 x A0e-t cos(f t f )
x A0e-t cos(f t f ) f 02 2
系数由振动的初始条件确定
x0 A0 cosf 0 x0 f A0 sinf
2
A0
x A0et cos( 02 2t f ) Acos(t )
A
f0
,
(02 2 )2 4 22
tan
2 02 2
第一项即阻尼振动，随时间衰减，故称暂态解 第二项不随时间衰减，称为稳态解
暂态解与稳态解 0 1 0.36
0 1 1
0 1 1.8
0 1 0.4
从静止开始的受迫振动
dc
dt
d2x dt2
d2x dt2
6k 2m 9m0
x
0
T 2 2m 9m0
6k
x x0 cos
6k t
2m 9m0
§8-4 阻尼振动
1. 阻尼振子
阻力：R V C dx C : 阻力系数
dt
d 2x dx m dt2 C dt kx 0
令 0
k, C
m
2m
d2x dt2
2
4
2
0
速度随ω的变化
V A
f0
(02 2 )2 4 22
根据 dV 0
d
共振频率 0
共振速度
Vm ax
f0
2
A f0
2
0.01, 0.1, 1 , 0.25,
0
6
2 , 0.5, 2 , 1, 2
4
2
V f0
0
弹性力 Fx kx 受迫振动
阻尼力 R C dx dt
简谐强迫力 F(t) F0 cos(t) mx Cx kx F0 cos(t)
c
解： c
R
质元动能
o
d
x
l
dEk
1 2
m l
d
l
c
2
弹簧动能
Ek
l 0
1 2
m
c2
l3
2d
1 6
mc2
c
c
系统机械能
o
d
x
1 6
mc2
1 2
m0c2
1 2
1 2
m0
R2
R
2
l 1 kx2 2
恒量
1 3
mc
dc
dt
3 2
m0c
dc
dt
kx dx dt
0
利用
dx dt
c
- 2 02 t
2
A1
x0 2
2
x0 2 02 2
0 2 02
A2
x0 2
2
x0 2 02 2
0 2 02
1 2 02 2 2 02
临界阻尼
0 1 2
通解 考虑初条件
x ( A1 A2t)e-t
x e-t x0 (0 x0 )t
三种阻尼的比较
振动的圆频率或角频率
= 1/T (Hz) = 2
T
3. 相位 (1) ( t + )是 t 时刻的相位
(2) 是t =0时刻的相位 — 初相
§8-2 简谐振动(动力学部分)
一、 简谐振动的动力学方程 1. 动力学方程 (以水平弹簧振子为例)
2. 受力特点: 线性恢复力 (F= -kx)
k
m
oF
x
x 取平衡位置为坐标原点
由
F
ma
m
d2x d t2
及
F kx 有 k
m
d d
2x t2
2
x
0
例 质量为 m0的匀质圆柱体的中心轴线上系一劲度系数为
k、质量为m的弹簧。假定圆柱体在水平面上作无滑动的
滚动，弹簧伸长为 x0时由静止释放圆柱体，试求
(1)系统的振动周期；
c
(2)圆柱体质心的运动方程。
dx dt
02 x
0
阻尼系数
d2x dt2
2
dx dt
02 x
0
二阶常系数线性微分方程（齐次）
猜测解 x et 待定
特征方程 2 2 02 0
特征根
方程的通解
欠阻尼
1 2 02 2 2 02
x A1e1t A2e2t 系数由振动的初始条件确定
0 1 i 02 2
(a)欠阻尼 0
(b)过阻尼 0
0 x0 (f 0)
0 x0 2 02
(c)临界阻尼 0 0 x0
x
x0 b
oc
t
a
§8-5 受迫振动 共振
没有外部不断供给能量，耗散系统的振动是不能持久的
受迫振动：用周期力驱动的振动。 周期力中简谐强迫力最重要：
（1）简谐强迫力最简单，也最普遍 （2）非简谐强迫力都可以看作简谐强迫力的线性叠加
x1 x2
2x1 2x2
02 x1 0 02 x2 f0
cos(t
)
通解 特解
方程的通解= 齐次方程的通解 + 方程的特解
x x1 x2
x2 2x2 02x2 f0 cos(t) 特解
受迫振动的微分方程的求解问题就转化为寻找方程的特解
猜测 x2 Acos(t )
代入方程
振动有各种不同的形式 机械振动 电磁振动 广义振动：任一物理量(如位移、电 流等) 在某一数值附近反复变化。
§8-1 简谐振动
(运动学部分)
一、简谐振动
表达式 x(t)=Acos( t+)
o
x
特点 (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T )
二、描述简谐振动的特征量
1. 振幅 A 2. 周期T 和频率 v
x02
0
x0 f
tan f
0 x0
f x0
x A0e-t cos(f t f ) f 02 2
x 阻尼振动位移时间曲线
A0
A0et
A0et cosf t
O
t
A0 T
(f 0)
准周期：T 2 2
f
02 2
过阻尼 0
x A e A e - 2 02 t 1
0 1 1.01
黑线代表强迫力，蓝线代表从静止开始的受迫振动
振幅随ω的变化
A
f0
(02 2 )2 4 22
根据 dA 0
d
共振频率 共振振幅
r 02 2 2
Amax 2
f0
02 2
A f0
2
0.01, 0.1, 1 , 0.25,
0
6
2 , 0.5, 2 , 1, 2
0.01
2 Acos(t ) 2Asin(t ) 02 Acos(t ) f0 cost
两边对应项的系数相等
A(02 2 ) cos 2Asin f0 A(02 2 ) sin 2Acos 0
A
f0
,
(02 2 )2 4 22
tan
2 02 2
受迫振动的微分方程的通解（小阻尼）
弹性力 Fx kx 阻尼力 R C dx
dt
简谐强迫力 F(t) F0 cos(t) mx Cx kx F0 cos(t)
x 2x 02x f0 cos(t)
其中 0
k, C ,
m
2m
f0
F0 m
x 2x 02x f0 cos(t)
方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和
2 i 02 2
通解 x ( A1eif t A2e-if t )e-t f 02 2
或 x A0e-t cos(f t f )
x A0e-t cos(f t f ) f 02 2
系数由振动的初始条件确定
x0 A0 cosf 0 x0 f A0 sinf
2
A0
x A0et cos( 02 2t f ) Acos(t )
A
f0
,
(02 2 )2 4 22
tan
2 02 2
第一项即阻尼振动，随时间衰减，故称暂态解 第二项不随时间衰减，称为稳态解
暂态解与稳态解 0 1 0.36
0 1 1
0 1 1.8
0 1 0.4
从静止开始的受迫振动
dc
dt
d2x dt2
d2x dt2
6k 2m 9m0
x
0
T 2 2m 9m0
6k
x x0 cos
6k t
2m 9m0
§8-4 阻尼振动
1. 阻尼振子
阻力：R V C dx C : 阻力系数
dt
d 2x dx m dt2 C dt kx 0
令 0
k, C
m
2m
d2x dt2
2
4
2
0
速度随ω的变化
V A
f0
(02 2 )2 4 22
根据 dV 0
d
共振频率 0
共振速度
Vm ax
f0
2
A f0
2
0.01, 0.1, 1 , 0.25,
0
6
2 , 0.5, 2 , 1, 2
4
2
V f0
0
弹性力 Fx kx 受迫振动
阻尼力 R C dx dt
简谐强迫力 F(t) F0 cos(t) mx Cx kx F0 cos(t)
c
解： c
R
质元动能
o
d
x
l
dEk
1 2
m l
d
l
c
2
弹簧动能
Ek
l 0
1 2
m
c2
l3
2d
1 6
mc2
c
c
系统机械能
o
d
x
1 6
mc2
1 2
m0c2
1 2
1 2
m0
R2
R
2
l 1 kx2 2
恒量
1 3
mc
dc
dt
3 2
m0c
dc
dt
kx dx dt
0
利用
dx dt
c
- 2 02 t
2
A1
x0 2
2
x0 2 02 2
0 2 02
A2
x0 2
2
x0 2 02 2
0 2 02
1 2 02 2 2 02
临界阻尼
0 1 2
通解 考虑初条件
x ( A1 A2t)e-t
x e-t x0 (0 x0 )t
三种阻尼的比较
振动的圆频率或角频率
= 1/T (Hz) = 2
T
3. 相位 (1) ( t + )是 t 时刻的相位
(2) 是t =0时刻的相位 — 初相
§8-2 简谐振动(动力学部分)
一、 简谐振动的动力学方程 1. 动力学方程 (以水平弹簧振子为例)
2. 受力特点: 线性恢复力 (F= -kx)
k
m
oF
x
x 取平衡位置为坐标原点
由
F
ma
m
d2x d t2
及
F kx 有 k
m
d d
2x t2
2
x
0
例 质量为 m0的匀质圆柱体的中心轴线上系一劲度系数为
k、质量为m的弹簧。假定圆柱体在水平面上作无滑动的
滚动，弹簧伸长为 x0时由静止释放圆柱体，试求
(1)系统的振动周期；
c
(2)圆柱体质心的运动方程。
dx dt
02 x
0
阻尼系数
d2x dt2
2
dx dt
02 x
0
二阶常系数线性微分方程（齐次）
猜测解 x et 待定
特征方程 2 2 02 0
特征根
方程的通解
欠阻尼
1 2 02 2 2 02
x A1e1t A2e2t 系数由振动的初始条件确定
0 1 i 02 2
(a)欠阻尼 0
(b)过阻尼 0
0 x0 (f 0)
0 x0 2 02
(c)临界阻尼 0 0 x0
x
x0 b
oc
t
a
§8-5 受迫振动 共振
没有外部不断供给能量，耗散系统的振动是不能持久的
受迫振动：用周期力驱动的振动。 周期力中简谐强迫力最重要：
（1）简谐强迫力最简单，也最普遍 （2）非简谐强迫力都可以看作简谐强迫力的线性叠加
x1 x2
2x1 2x2
02 x1 0 02 x2 f0
cos(t
)
通解 特解
方程的通解= 齐次方程的通解 + 方程的特解
x x1 x2
x2 2x2 02x2 f0 cos(t) 特解
受迫振动的微分方程的求解问题就转化为寻找方程的特解
猜测 x2 Acos(t )
代入方程