第四章、 动能和势能
漆安慎《力学》教案第04章 动能和势能
(4) 热学中永动机不可能实现的确认和各种物理现象之 间的普遍联系的发现，导致了能量守恒定律的最终确立.
(5) 能量守恒定律的发现最重要的贡献者是迈耶（M.Meyer） 焦耳（J.P.Joule）和亥姆霍兹（H.von.helmholtz）三位伟大的 科学家.
若 F F1 F2
则合力 F 的元功为：
dA ( Fi ) dr (Fi dr )
即合力所做的元功等于各分力所做元功的代数和.
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第四章 动能和势能
⑷ 充分理解功的定义中的位移 dr ：
① 更换受力点并不意味受力质点有位移，P.125
② 如果研究对象不是质点，则在力 F 的作用下，各部
F Fr
r
A F r F r cos Fr r
2. 变力的功 思想：无限分割，变曲为直
力 F 在元位移 dr 上的元功.
( r 是一有限位移)
dr m F
dA F dr F dr cos 元功的定义式
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第四章 动能和势能
不管是恒力还是变力，由功的定义可以看出以下几点：
Δt0 Δt dt
dt
在SI单位制中功率的单位为瓦特(W)，1W=1J/s dimP=L2MT3
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第四章 动能和势能
§4.2.2 利用不同坐标系表示元功
元功的定义式： dA F dr
1. 平面直角坐标系
y
Δr
r1
F Fxi Fy j
y
F
dr dxi dyj
4.7非对心碰撞
m 1 v 10 y m 1 v 1 y m 2 v 2 y
v 10 y e v 2 y v 1 y
v 10 x v 10 cos
v1 y
v 10 y v 1 sin
小球光滑
v2x 0
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第四章 动能和势能
特例 m1 m2 m2始终不动
v 1 x v 10 cos
第四章 动能和势能
§4.7 非对心碰撞
1.非对心碰撞基本公式 2.完全弹性碰撞的几种特殊情况
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第四章 动能和势能
§4.7 非对心碰撞
1.非对心碰撞基本公式 非对心碰撞(又称斜碰)——两球相碰之前的速
度不沿它们的中心连线.
斜碰一般为三维问题，较复杂.
这里讨论特殊情况，设小球光滑，碰撞前一个 小球处在静止状态，即 v 20 0 则这种碰撞是二维问题. 在碰撞中动量守恒. 动画演示
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第四章 动能和势能 令接触面法线方向为y 轴正方向
m 1 v 10 m 1 v 1 m 2 v 2
e v 2 y v1 y v 10
y
v1
m1
v2 y
x v10
m2
分量式
m 1 v 10 x m 1 v 1 x m 2 v 2 x
y
v1 x
v 1 y v 10 sin
v 10
ev 10 sin
v 10 cos cos v 10
v 10 sin
O
y
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普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第四章 动能和势能
第4章动能和势能习题解答4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。
绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg ，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s 的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。
分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg ，所以，人对传送带做功的功率为：N = fv = mgv = 50×9.8×2 = 9.8×102（瓦）4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为l l k l k f ,321+=表示弹簧的伸长量，k 1为正，⑴研究当k 2＞0、k 2<0和k 2=0时弹簧的劲度df/dl 有何不同；⑵求出将弹簧由l 1拉长至l 2时弹簧对外界所做的功。
解：弹簧的劲度df/dl=k 1+3k 2l 2. k 2=0时，df/dl =k 1，与弹簧的伸长量 无关；当k 2>0时，弹簧的劲度随弹簧 伸长量的增加而增大；k 2<0时，弹簧 的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。
在以上三种情况中，劲度df/dl 与弹簧伸长量l 的关系如图所示。
))](([)()()(2122212222112141422412122121321321212121l l l l k k l l k l l k dll k ldl k dl l k l k A l l l l l l -++-=----=--=+-=⎰⎰⎰4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F 向下拉绳，证明力F 对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。
证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r 1,θ1变为r 2,θ2，由于忽略绳的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=FFT F r r r r r r rT A A r r T r r F A r r T drTTdrdr FA =∴-=-=-==-==⎰⎰⎰),()()(2121211221214.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h 的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg α=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？解：设卡车匀速上坡时，速率为v, 牵引力为F, 功率为N,由质点平衡方程有，F = (0.04+sin α)mg ，∴N = Fv = (0.04+sin α)mgv设卡车匀速下坡时，速率为v ’,牵引力为F',功率为N', 由质点平衡方程有 F'+ mg sin α= 0.04mg, F'=(0.04-sin α)mg, ∴N'= (0.04-sin α)mgv'.令N'= N, 即（0.04+sin α）mgv = (0.04-sin α)mgv'，可求得：v'= v(0.04+sin α)/(0.04-sin α). 利用三角函数关系式，可求得： sin α≈tg α=0.02 ,∴v'=3v =3×15×103/602 m/s = 12.5m/s.4.3.1质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N ，木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s ，求力T 将木块从A 拉至B 点时的速度。
3 对心碰撞
打桩时,要求 Ek 0, 即m1>>m2 .
第四章 动能和势能
例题2 冲击摆可用于测子弹速率. 长度为 l 的线绳悬挂质量为m 的木块，子弹质量为m0，沿水平方向射入木块，子弹最后嵌在木
块内一定位置，且测得木块摆过角度 ，m m0
求: 子弹射入的速率v.
l m0 m
(a)
(b) O
(c) x
解：（1）全过程可分为：A下降、A与B碰撞和A、B下落。
（2）设A与B碰撞前的速 A
度为VA0，碰后它们的速度分 别为VA和VB，则
mAvA0
mAvA
mBvB
1 2
mAv
2 A0
1 2
mAvA2
1 2
mBvB2
B P
O LA A B LB
第四章 动能和势能
可解出：
VA
mA mA
v1 y v10 sin
v1 y
（m1
em2 )v10 sin
m1 m2
v2 y
（1
e）m1v10 m1 m2
sin
v10 cos
v10 cos
ev10 sin
v10
v10 sin
O
y
第四章 动能和势能
§4.7.2 完全弹性碰撞的几种特殊情况
已知mN = 14mp
m
vNmN vpmp vp vN
1.16mp
现代精确测量表明, m=1.01 mp
第四章 动能和势能
例题1 如图所示，质量为 mA的小球沿光滑的弧形轨道下滑，与 放在轨道水平面端点P处的静止的小球B发生弹性碰撞，B的质 量为mB, A、B两球碰后同时落在水平地面上。如果A、B两球的 落地点距P点正下方O点的距离之比LA/LB=2/5，求它们的质量比 mA/mB.
漆安慎 杜禅英 力学习题及答案04章
第四章 动能和势能 一、基本知识小结1、功的定义式：⎰⋅=2112r r r d F A直角坐标系中：⎰⎰+==221121,,1212y x y x yxx x xdy F dx F A dxF A ，自然坐标系中：⎰=2112s s ds F A τ极坐标系中： ⎰+=2211,,12θθθθr r rrd F dr F A2、⎰⋅-=-=b ap p k r d F a E b E mv E 保势能动能)()(,212重力势能mgy y E p =)(弹簧弹性势能 2)(21)(l r k r E p -=静电势能 rQqr E p πε4)(=3、动能定理适用于惯性系、质点、质点系∑∑∆=+k E A A内外4、机械能定理适用于惯性系∑∑+∆=+)p k E E A A（非保内外5、机械能守恒定律适用于惯性系若只有保守内力做功，则系统的机械能保持不变，C E E p k =+6、碰撞的基本公式接近速度）（分离速度（牛顿碰撞公式）动量守恒方程）e v v e v v v m v m v m v m =-=-+=+)((2010122211202101 对于完全弹性碰撞 e = 1对于完全非弹性碰撞 e = 0对于斜碰，可在球心连线方向上应用牛顿碰撞公式。
7、克尼希定理∑+=22'2121i i c k v m mv E 绝对动能=质心动能+相对动能 应用于二体问题 222121u mv E c k μ+=212121m m m m m m m +=+=μu 为二质点相对速率二、思考题解答4.1 起重机起重重物。
问在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种情况下合力之功的正负。
又：在加速上升和匀速上升了距离h 这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功是否一样多？答:在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种况下合力之功的正负分别为：正、0、负、正、0、负。
质点和质点系动能定理
x dr2 dr dr1
y
dr
dr1
F
dr2
er
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第四章 动能和势能 2.说明 (1)内力的总功一般不为零. (2)内力的总功与参考系无关
F只与1、2质点相对距离变化有关， 而二质点距离变化与参照系的选择无关. (3)一对内力所做的功, 只决定于两质点的相 对路径.对非惯性系同样成立.
第四章 动能和势能
定义
Ek
1 2
m v2
单位和量纲与功同.
——物体的动能
则：
A
1 2
mv
2
1 2
mv
2 0
或：
A Ek Ek0 ——动能定理
即：合力 F 对质点所做的功等于质点动能的增
量，是动力学基本定理之一.
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第四章 动能和势能 2.说明: (1)质点的动能定理中的功永远是合力的功. (2)Ek是状态量Ek ,A > 0 ; Ek ,A < 0，
动能是物体因具有速度而具有的作功的本领 与过程无关. 而功与过程有关. (3)动能定理只适用于惯性系. (4) 动能定理对于物体运动所能提供的信息比牛 顿运动定律少.
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第四章 动能和势能
[例题1]如图,物块质量m置于粗糙水平面上,用橡皮绳系于
墙上,橡皮绳原长a，拉伸时相当于劲度系数为k的弹簧,现
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第四章 动能和势能
§4.3.3质点系的动能定理
n个质点组成的系统，对第i个质点用动能定理
Ai外 Ai内 Eki Eki0
n个质点
Ai外 Ai内 Eki Eki0
第四章 动能和势能
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第四章 动能和势能
§4.3 质点和质点系动能定理
一、质点的动能定理
1.质点的动能定理 物体在合力作用下,由ab
dv A F dr m dr dt
dr m dv dt m v dv
va
a
dr
vb
F
b
L
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第四章 动能和势能 [解] 1.用质点动能定理求解
FN
FN2
F
Ff
受力分析如图，只有力 Ff , Ff 和 F 做功
根据质点动能定理得
1 [ 1W1 2 (W1 W )] L 0 m0 v 2 2 (1)
W
FN1
W1
Ff
O
s1
dr dset
et
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第四章 动能和势能 3.平面极坐标
F Fr er F e dr drer rde O dA F dr
e
Δr
F
er
A
(r, )
dA （Fr er F e） （ drer rde）
第四章 动能和势能
第四章 动能和势
§4.1 能量—又一个守恒量
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第四章 动能和势能
§4.2 力的功· 用线积分表示功
一、力的元功和功率
功——力对空间的积累作用. 1. 恒力的功
A Ft r
Fn
F cos r
F Ft
r
F r
第四章 动能和势能
教学时数:11教学目的与要求:（1）着重讲授正功与负功的意义，变力的功以弹性力的功为主，可用图解法导出其计算公式。
（2）关于系统的势能，本章仅讲授重力势能及弹性势能。
（3）使学生深刻地认识功能关系，并指出功是能量变化的量度，能是以作功的方式传递并转化的。
（4）结合本章内容，指出只有量纲相同的物理量间才能构成等式关系。
（5）分别讲授质点的与质点组的功能原理与机械能守恒定律，并通过势能曲线研究动能与势能间的相互转化关系。
（6）讲授质点组的功能原理时，要阐明内力做功与内势能的概念。
（7）要分清动量守恒定律与现机械能守恒定律的适用条件的不同，使学生能正确运用两个守恒定律解决实际问题。
教学重点:功，变力的功；功率，动能，动能定理；保守力与非保守力；势能（重力势能、弹性势能、引力势能）势能曲线和从势函数求力；功能原理；力学中的能量守恒定律；普遍的能量转换和守恒定律,对心和非对心碰撞教学难点:动能定理; 功能原理; 能量守恒定律本章主要阅读文献资料:顾建中编《力学教程》人民教育出版社赵景员、王淑贤编《力学》人民教育出版社漆安慎杜婵英《〈力学基础〉学习指导》高等教育出版社能量——另一个守恒量能量概念的认识和由来:从“使物体运动起来需要付出代价”（人们最早对生活中实际的问题的认识）；“运动的物体具有某种功效（例如：运动的子弹可以嵌入泥土）”；1686年莱布尼茨提出：物体“运动的量”与物体速度平方成反比；1965年,“运动的量”发展为“”,并称作“活力”；科里奥利称之为“功”；1801年，托马斯·杨提出将“”称作“能”，“功能原理”和“机械能守恒”思想，自然界一切过程都必须满足能量守恒定律；从经典物理学到现代物理学，对能量的认识发生了巨大的变化：能量可连续取值普朗克指出：物体只能以为单位发射和吸收电磁波微观世界的原子光谱是线状谱能级是分立的。
可以看出：能量概念最早源于生产经过概念的比较和辨别升华为科学的概念。
动能和势能第四章
当物体滑到最大高度 时，又到了容器的边缘，则： -------（2）
解得： ，这时物体的位置坐标
2一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落进框架.求此框架向下移动的最大距离.弹簧质量不计.空气阻力不计
分析：本题研究的过程可以分为三个阶段：（1）铅块自由下落，（2）铅块和框架进行完全弹性碰撞，（3）框架与铅块一起以碰撞结束时的速度为初速度向下运动，直至速度为零，达到最底点。
O
X
A
B
分析：
（1） A和B组成的系统在水平方向不受外力作用，所以沿水平方向动量守恒。
（2） A和B相对运动时，要克服内摩擦力作功，使系统动能减小，直到相对静止为止。
（3） A和B系统的质心作匀速直线运动，B相对A作匀变速率运动
三 例题：
1匀质容器高为b，容器口的半径为a，质量为m，形状对称，放在光滑平面上，质量为m的小物体由容器边缘处由速度为零开始沿容器的光滑内壁下滑，求物体滑至容器另一侧的最大高度及位置坐标
x
o
y
C2
分析：若选小物体、容器和地球为系统，只有内保守力（重力）作功，物体和容器的相互作用力是内保守力，但都不作功，因此机械能守恒。
即 外+ 内=
（三）一对内力的功之和
1．二质点相互作用力所做元功的代数和等于作用于其中一质点的力和该质点相对另一质点元位移的标积。
即 ：作用于其中一质点的力； ：该质点相对另一质点元位移
2．
3．注意：（1）一对内力的功并不一定等值反号，他们的代数和不一定为零。
（2）摩擦力不一定作负功，但一对摩擦力做功的代数和是负的。
物理动能与势能公式整理
物理动能与势能公式整理物理学中，动能和势能是两个重要的概念。
它们描述了物体在运动过程中的状态和性质。
本文将对动能和势能的公式进行整理和介绍，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、动能公式动能是描述物体运动状态的物理量，用字母K表示。
动能与物体的质量和速度有关，其计算公式为：K = 1/2 * m * v²其中，K代表动能，m代表物体的质量，v代表物体的速度。
动能公式的推导过程如下：首先，我们可以将物体的速度v表示为位移s与时间t的比值：v = s/t。
其次，物体的位移s可以表示为速度v与时间t的乘积：s = v * t。
将上述两个等式代入动能公式中，得到：K = 1/2 * m * (s/t)²化简可得：K = 1/2 * m * (v * t)² / t²进一步简化为：K = 1/2 * m * v²动能的单位是焦耳（J），常用于描述物体的能量。
二、势能公式势能是描述物体位置状态的物理量，用字母U表示。
势能与物体的位置和力量有关，其计算公式根据具体情况而定。
下面将介绍两种常见的势能公式。
1. 重力势能重力势能是指物体在重力作用下的势能，计算公式为：Ug = m * g * h其中，Ug代表重力势能，m代表物体的质量，g代表重力加速度，h代表物体的高度。
重力势能的推导过程如下：物体的重力是其质量m与重力加速度g的乘积：Fg = m * g。
物体在高度h上所受的力为Fg，其位移为h。
根据力学功的计算公式W = F * s，重力势能可表示为：Ug = W= F * s= m * g * h2. 弹性势能弹性势能是指物体在弹性力作用下的势能，计算公式为：Us = 1/2 * k * x²其中，Us代表弹性势能，k代表弹簧的劲度系数，x代表弹簧的伸长或压缩距离。
弹性势能的推导过程如下：弹性力与弹簧的伸长或压缩距离成正比，即F = k * x。
根据力学功的计算公式W = F * s，弹性势能可表示为：Us = W= F * s= k * x * x= 1/2 * k * x²弹性势能的单位也是焦耳（J），常用于描述弹簧和弹性体的弹性性质。
4.6对心碰撞
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第四章 动能和势能 而
m1 − m 2 2m 2 v1 = v10 + v 20 m1 + m 2 m1 + m2
v 20 = 0
m1 − m 2 v1 = ( )v 10 m1 + m 2
第四章 动能和势能
三、 非完全弹性碰撞
非完全弹性碰撞 (0 < e < 1)——小球碰撞后 小球碰撞后 彼此分开，而机械能又有一定损失的碰撞 根据前 彼此分开，而机械能又有一定损失的碰撞.根据前 面的结论， 面的结论，有：
m2 v1 = v10 − (1 + e )(v10 − v 20 ) m1 + m 2
v1 = v 20 , v 2 = v10
质量相等的两球碰撞后，相互交换速度 质量相等的两球碰撞后，相互交换速度.
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第四章 动能和势能 (2) 若m2静止，即v20 = 0 静止，
m1 − m 2 v1 = v10 m1 + m 2
v2 =
2m1 v10 m1 + m 2
若m1 << m2 , 则： v1 ≈ −v10 , v2 ≈ 0
F F12 O F21 v v10 v20 O v2 v1 t t
m1v1 + m 2 v 2 = m1v10 + m 2 v 20
1 1 1 1 2 2 2 2 m1v1 + m 2 v 2 = m1v10 + m 2 v 20 2 2 2 2
v2 − v1 =1 恢复系数 e = v10 − v20
教科版物理必修2 第四章 第3-4节势能;动能 动能定理1 势能和动能 (讲义)
教科版物理必修 2 第四章第3-4节势能；动能动能定理1 势能和动能（讲义）高中物理势能和动能知识点考纲要求题型说明势能和动能1. 理解动能和势能的概念；2. 掌握动能和势能的计算；3. 理解功是能量转换的量度。
选择题、计算题属于高频考点，是最基本的能量形式，高考中通常结合动能定理、功能关系、机械能守恒、能量守恒进行考查。
重点：动能和势能的计算。
难点：动能和势能的影响因素。
项目类别动能重力势能弹性势能定义物体由于运动而具有的能物体由于被举高而具有的能弹簧由于形变而具有的能表达式221mvEk=mghEp=2121kxE=影响因素质量、速度质量、高度劲度系数、形变量多少，外界对物体做功多少，自身能量就增加多少。
注意：我们所关注的不是物体具有多少能量，而是物体的能量转化了多少。
不同形式的能量转化对应着不同力做的功。
例题 1 一质量为m 的物体由静止开始下落，由于受空气阻力影响，物体下落的加速度为g 54，在物体下落高度为h 的过程中，下列说法正确的是（ ）A. 物体的动能增加了mgh 54 B. 物体的机械能减少了mgh 54 C. 物体克服阻力所做的功为mgh 54 D. 物体的重力势能减少了mgh 54 思路分析：根据牛顿第二定律45mgf ag m -==，根据运动学公式，下落h 高度的速度为2v ah =所以214mv mgh 25k E ==，故A 选项正确；重力势能减少了mgh =∆P E ，故机械能减少量mgh 51=∆E ，故B 选项错；同时可知阻力15f mg =，所以阻力做负功，也就是克服阻力做功为f 1mgh 5W fh ==，故C 选项错，由上面分析知，物体重力势能减少量等于重力做的功即mgh ，D 选项错。
答案：A例题2 某人用100N 的力将一质量为50g 的小球以10m/s 的速度从某一高处竖直向下抛出，经1s 小球刚好落地，不考虑空气阻力，选地面为零势能点，g ＝10m/s 2。
第四章 动能和势能
外力对质点所作的功等于质点动能的增量。 这个结论叫质点的动能定理。 （功是能量变化的量度！）
（二）质点系的内力功（成对力作功） 内力：质点系中两质点之间的相互作用力。 成对力：作用力与反作用力
dA F12 dr1 F21 dr2 F21 dr1 F21 dr2 F21 (dr2 dr1 ) F21 d (r2 r1 ) F21 dr12
dvt dvt dA F dr m dr m ds dt dt ds 1 2 m dvt mvt dvt d ( mv ) dt 2
定义动能：
1 2 Ek mv , dA dEk 2
1 1 2 2 mv mv0 2 2
两边积分： A Ek Ek 0
（二）完全弹性碰撞(e=1)
v10 v20 v2 v1 m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2
整理得：
v20 v2 v10 v1 m2 (v2 v20 ) m1 (v1 v10 )
两式相乘并整理得：
1 1 1 1 2 2 2 2 m1v1 m2v2 m1v10 m2v20 2 2 2 2
与绝对位置无关！
r1 r
2
r3
r12 r r13 23
§4.5 功能原理和机械能守恒定律
（一）质点系的功能原理
（二）质点系的机械能守恒定律
（一）质点系的功能原理 （质点系动能定理的变形）
质点系的动能定理
A保 EPE E K EPA外 A保 A非保 EK
v10 v10 vc , v20 v20 vc v1 v1 vc , v2 v2 vc
动能和势能
2
㈡ 力的元功及功率
⒈元功： dA = F ⋅ dr = F | dr | cos( F , dr ) = F | dr | cos θ 元功： 力的元功等于力与质点元位移的点乘积 ⒉功率：平均功率 功率： 瞬时功率
N = ∆A / ∆t ∆A dA F ⋅ dr N = lim = = = F ⋅ v = Fv cos( F , v ) ∆t → 0 ∆t dt dt
f1'
代入①中得： 代入①中得： l =
v2 2µ 1 g
−L
10
f1 l
v
L f2
m
f1'
用质点系动能定理求解：以地为参考系，把卡车、 用质点系动能定理求解：以地为参考系，把卡车、木箱视 为质点系，应用质点系动能定理： 为质点系，应用质点系动能定理： − µ 2( m + M ) gL − µ 1 mgl = 0 − 1 ( M + m )v 2 ① 2 其中， 其中，-µ1 mgl 是木箱和卡车间的互为反作用的一对滑动 摩擦力做功之和。 − µ 1 mg ( L + l ) + µ 1 mgL = − µ 1 mgl 摩擦力做功之和。 显然， 显然，互为反作用的一对滑动摩擦力做功之和永远为负 再以木箱m为质点，应用质点动能定理： 再以木箱 为质点，应用质点动能定理： 为质点
Aab = ∫ Fτ ds = − µ N ∫ ds = − µ N ( sb − sa ) = − µ NL
sa sa
6
sb
sb
§4.3质点和质点系动能定理 质点和质点系动能定理
㈠质点动能定理
质点m在合力 作用下的动力学方程： 分析与推导：质点 在合力 F 作用下的动力学方程： = m dv F
第四章动能和势能Kineticenergyandpotentialenergy
第四章 动能和势能
考虑物体沿斜面的下滑
求物体沿光滑斜面下降了h高度后的速度 由 F = ma 可确定物体沿斜面
h
s
下滑的加速度：
adown plane = g sin
2 2 0 2 0
h v v 2as v 2 g sin sin 2 2 v v0 2 gh
引力势能(Gravitational potential energy)
…
功: 度量机械能的改变
物体对外做功或外界对物体做功 机械能减少或增加
2006年11月20日 9:00-Байду номын сангаас:50 第四章 动能和势能 7
What about this problem !
如果斜面的斜面的 形状非常复杂，则 很难利用F = ma 得 到解析解 如果利用功能原理(work-energy principle), 则经过2、 3步的简单数学运算就可解决这一问题
• 功能原理：将 F = ma 两边对位移积分； 适合于计算经过一段位移后质点速率的改变.
2006年11月20日 9:00-9:50 第四章 动能和势能 3
第四章 动能和势能
物体下滑的加速度 将连续地发生改变.
如果斜面的形状可用一解析函数描述(如本例中的圆弧), 则仍可用牛顿运动定律求解 采用自然坐标系，可得到解析解！
2006年11月20日 9:00-9:50
第四章 动能和势能
4
第四章 动能和势能
2006年11月20日 9:00-9:50 第四章 动能和势能 5
第四章 动能和势能 功 (Work): 力在受力质点位移上的投影与位移的乘积。 F A F r cos F r r 能 (Energy): 物体对外作功的能力 • 能量的类型: 机械能(Mechanical Energy) 热能(Heat) 电能(Electrical Energy) 化学能(Chemical Energy) 核能(Nuclear Energy) • 能量守恒定律： 当运动从一种形态转变为另一种形态时，能量从一种 形式转变为另一种形式，并保持守恒。
第四章 第二节 动能 势能
第四章 第二节 动能 势能.@@@一、学习目标1、理解动能的概念，会用动能的定义进行计算。
2、理解重力势能的概念，会用重力势能的定义进行计算。
3、理解重力势能的变化和重力做功的关系。
4、知道重力做功与路径无关，知道重力势能的相对性。
5、知道弹性势能以及影响弹性势能大小的因素。
@@@二、基础知识点拨（一）功和能1、能及其基本性质(1)物体具有能量就能对外界做功，因此能是物体所具有的做功本领。
(2)能的最基本的性质是：各种不同形式的能量之间互相转化的过程中，能的总量是守恒的。
2、功和能的关系(1)区别：功是反映物体间在相互作用过程中能量转化多少的物理量。
做功的过程就是能量从一个物体转移给另一个物体、或由一种形式转化为另一种形式的过程。
能量是描述物体运动状态的物理量.物体处于一定的运动状态(如速度和相对位置)就有一定的能量。
(2)联系：功是能量变化的原因和量度（二）动能1、概念：物体由于运动而具有的能量叫动能。
2、表达式：221mv E k =，该式表示物体的动能等于物体质量与物体速度的二次方的乘积的一半。
3、动能的特点（1）动能是标量，不能合成或分解，且动能只有正值。
（2）动能具有瞬时性和相对性，这是由速度的瞬时性和相对性决定的。
4、单位：国际单位是焦耳（J ）5、动能定理及其表达式（1）动能定理：合外力所做的功等于物体动能的变化。
（2）表达式：12k k E E W -=（三）重力势能1、概念：地球上的物体具有跟它的高度有关的能量叫做重力势能。
2、计算公式：mgh E p =，表示物体的重力势能等于物体所受的重力和它的高度的乘积。
3、重力势能的特点（1）重力势能的系统性。
由于重力势能与重力有关，而重力是物体由于受到地球的吸引力而产生的，所以重力势能属物体和地球组成的系统所共有，并不是被举高的物体所独有。
然而通常所说的某个物体具有多大的重力势能，这种说法只是一种简略的习惯说法。
（2）重力势能的相对性。
动能和势能Kineticenergyandpotentialenergy
1900年普朗克：能量从连续取值到不连续取值，电磁波的
能量：h
1913年波尔: 原子能级 1905年爱因斯坦狭义相对论: 质量和能量是等价的: E =mc2
2009年11月18日 8:00-9:50
Hale Waihona Puke 4.1 能量--另一个守恒量
1
4.1 能量—另一个守恒量
人类认识能量和能量守恒定律的过程：
经典物理学时代：
伽利略：在做功中省力不省功；
牛顿时代：运动物体具有某种功效：如运动的子弹可穿入 木板；
1686年,莱布尼茨提出：物体“运动的量”与物体速度的平 方成正比；
1695年，科里奥利：运动的量=
1 2
mv2
活力(living
3
force)
1801年，托马斯-杨：称
1 2
mv2为“能”
焦尔和迈尔：研究了热功当量和能量守恒；
1847年，亥姆霍兹：研究了机械能守恒和涉及电磁现象和 热现象的能量守恒；
从莱布尼茨到亥姆霍兹==〉160年
2009年11月18日 8:00-9:50
4.1 能量--另一个守恒量
2
4.1 能量—另一个守恒量
力学(Mechanics)
第四章 动能和势能
Kinetic energy and potential energy
4.1 能量—另一个守恒量
(Energy—another conservative physical quantity)
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4.1 能量--另一个守恒量
第四章动能和势能(2)学习内容4.4保守力与非保守力势能4.5功能
第四章 动能和势能（2）学习内容： 4.4 保守力与非保守力 势能 4.5 功能原理和机械能守恒定律所做的工作：1.学习力场，保守力，非保守力势能等概念。
2.讨论机械能的 变化规律――功能原理和机械能守恒定律。
4.4 保守力与非保守力，势能。
在力学中，一谈到动能，往往同时需要考虑物体的势能。
势能概念是在 保守力概念基础上提出的。
所以在具体讨论势能概念之前我们先来学习力场，保守力和非保守力等概念。
（一） 力场一般情况下，质点所收到的外力可表现为：(,,)F F t r v = （1）如果F 只与质点的位置有关，即 ()(,,)V F r F x y z ==（2）则称F 为场力，即F 为空间坐标的单值矢量函数并 把场力F 存在的空间叫做力场。
物理“场”――物质存在的一种形式。
它具有动量和能量。
在经典理学中认为：力具有超距作用，力场概念仅限于（2）式所描述的力场。
常见的力场有：○1重力场，且在不太大的 时间◎◎◎ 范围内有场力：*F maW mg =-=W mg =＝恒量 ○2静电场：静电场力（库仑力） ：314q qF r r οοε=∏电场强度：314q E r rοοε=∏ ○3平行板电容器中的静电场 场强：E =恒量F`（x ，y ，z ） YXF （x ，y ，z ）RR` Z○4弹簧弹性力――――场力显然，○2和○4两种情况下，质点所受力的作用线始终通过某一固定点，称该力为有心力，并称该O 为力心。
另外，上述各力都只与质点的位置有关，所以，都是场力。
与此相反：洛仑兹力 F q E q V B =+⨯ 与V 有关摩镲力：F kV =-或F N μ=非主动力，由运动状态及其他外力而定。
都不是场力。
加速参考系的惯性力：*F ma =- 与 W m g =相类似。
离心惯性力：()()bx y a A F ar F i F j axi ayj ==++⎰⎰*2f mv r λ=- ⇒有心力科氏奥里力 *`2k f mv ω=⨯ 不是场力。
动能和势能Kineticenergyandpotentialenergy
-
L0 )2
r2 r1
1 2
k[(r2
-
L0 )2
(r1
-
L0
)2 ]
1 2
k (22
12 )
弹簧做功与质点的路径无关
a
p
dr
r
ds
b
O
x
A
1 2
k
(
2 2
12
)
弹簧所做的功只依赖于弹
簧的劲度系数和初末态伸
长量1 和 2
2009年11月18日 8:00-9:50
如果有多个力作用与一质点上：
合力: F F1 F2 Fn
dA F dr F1 F2 Fn dr
F1 dr F2 dr Fn dr
A1 A2 An dAi
合力所做的元功等于各个分力 所做的元功的代数和。
2009年11月18日 8:00-9:50
4.1 功和功率
4
4.2.1 力的元功和功率 3. 功率(power)
力在单位时间内所做的功
P dA F dr F v dt dt
作用在质点上的力 F 的瞬时功率 P 等于 F与质点在 该瞬时的速度 v 的标量积。
单位：1w (瓦特)= 1 Joule/s = 1 (N ·m)/s 量纲: L2MT-3
4.2 功和功率
Work and power
4.2.1 力的元功和功率 4.2.2 力在有限路径上的功 4.2.3 直角坐标系中功的计算 4.2.4 自然坐标系中功的计算 4.2.5 极坐标系中功的计算
2009年11月18日 8:00-9:50
第四章 动能和势能
df dℓ
k2 > 0
变。
ℓ
以上三种情况的弹簧劲度系数如 右图所示： （2）将弹簧由 ℓ 1 拉伸至 ℓ 2 时，弹簧对外界所做的功是：
ℓ2 1 1 2 4 A= − ∫ (k1ℓ + k 2 ℓ)dℓ = − k1 (ℓ2 − ℓ1 ) − k 2 (ℓ4 2 2 − ℓ1 ) ℓ1 2 4 1 1 2 2 2 2 = − k1 (ℓ 2 k 2 (ℓ 2 2 − ℓ1 ) − 2 − ℓ1 )(ℓ 2 + ℓ 1 ) 2 4 1⎡ 1 2 ⎤ 2 2 = − ⎢ k 1 + k 2 (ℓ 2 2 + ℓ 1 ) ⎥ (ℓ 2 − ℓ 1 ) 2⎣ 2 ⎦
4.5
人从静止开始步行，如鞋底不在地面上打滑，作用于鞋底
的摩擦力是否做了功？人体的动能是哪里来的？分析这个问题用质
点系动能定理还是用能量守恒定律分析较为方便？ [解 答] （1）作用于鞋底的摩擦力没有做功。 （2）人体的动能是内力做功的结果。 （3）用质点系动能定理分析这个问题较为方便。 4.6 零？ [解 答] 不一定。 4.7 力的功是否与参考系有关？一对作用力与反作用力所做 一对静摩擦力所做功的代数和是否总是负的？正的？为
dx
利用积分公式：
4
∫
udu u +a
2 2
= u 2 + a2
则上式
A T = ∫ 50 ×
0
−(4 − x) (4 − x )2 + 32
4 0
d(4 − x )
= −50 × (4 − x )2 + 32
= 100(J)
νB =
2 mν A + 2A T = 20.9(m / s) m
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；匀速上升(1)
,
｝,
处势能为零。
处势能为零处势能为零
N=F =50kg×9.8N/kg×2m/s=980w
拉伸至时，由于，所以
拉伸至
分解为沿( 为对
∴ （是力
∵
的速率向上行使，斜坡与水平的夹角的正切，所受的阻力等于卡车重量
上坡受力分析下坡受力分析∴ ∴
向右运动。
弹簧的劲度系数为为
和
4.3.5 相对于
, 沿
∵
∴
∵
∴
∴
系，动能定理的形式不变。
() ∴
、、
为圆柱体的绝对速度。
它们自由伸长的长度相差
和
时，无势能，只有有势能。
外界压缩弹簧势能增加。
设原点处为势能零点，则：
：外力做功
（ 1）运动员在A到B的滑动过程中，受到了重力和地面支持力作用。
（忽略摩擦）。
重力为保守力，支持力不做功以 B点为重力势能零点，得到运动员离开B处的速率：
（ 2）运动员从B到C做抛物线运动，当到达C点时，由题意知：沿水平方向，说明正好到达抛物线的最高点。
所以B、C的（ 3）因为运动员做抛物运动时在水平方向不受力，所以水平方向的动量守恒：
（ 4）d的高度:水平射程的一半
4.5.2 装置如图所示：球的质量为 5kg ，杆 AB 长 1cm ， AC 长 0.1m ， A 点距 O 点 0.5m ，弹簧的劲度系数为 800N/m ，杆为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动。
球小球到铅垂位置时的速度。
不及弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。
∵
由橡皮筋固
）物
和光滑圆弧的水平方向的作用力作用，为保守力，不做功。
所以机械能守恒。
4 ，氢原子的质量为；。
:
（
高度）又落下与开始向上运动。
如此往复。
由于冲击力大于重力、（
=0.790kg
=100m/s 内，问弹簧最多压缩了多少？为共同速度）
为子弹、小鸟共同速度）。
得：
，即
，。
运动。
另一车厢以 2 从相反方向向左运动
角散射。
（完全弹性碰撞）
方向上有关系式：。