数学必修一第二章基本初等函数(Ⅰ)教案
电子教案：人教A版高中数学必修1第二章 基本初等函数(1)2.1 指数函数教案
4.2.1 指数函数及其图像与性质【教学目标】1.知识与技能目标：使学生理解指数函数的定义、图象及性质，培养学生正确使用几何画板工具。
2.过程与方法目标：在实验活动过程中引领学生主动探索指数函数性质，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会学习数学规律的方法。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会辨证的思维及数学图形的和谐美。
【教学重、难点】教学重点：理解指数函数的定义、图象及性质。
教学难点：指数函数性质的归纳与运用。
【教学方法】我校汽修专业的学生数学基础比较薄弱，学生对数学普遍不感兴趣。
本节课概念性比较强，而且突出数学图形的运用，这恰是学生学习的弱项，但是思想比较活跃的他们对新事物具有强烈的好奇心，动手能力、观察能力比较强。
因此本节课主要采用数学实验教学活动的方法，通过结合计算机软件工具，让学生在实验活动过程中来去体验、感悟知识，让学习成为一种愉悦的主动认知过程，切实做到将数学课堂还给学生。
【教学过程】1.流程（1）教学流程：（2）学生认知流程：2.教学过程设计三、深入探究、引导发现（2）动眼观察，产生猜想：展示学生制作的6个函数图像（图1，分开独立的6个图像；图2，将它们放在同一坐标系下），让他们观察这6个指数函数图像有何共同的特征：图1图2思考：能将他们分分类吗？这个图象特征与底数a是否存在关系？引导学生大胆猜测：指数函数的图象按底数分成两类。
教师：让学生自由发挥，说说他们观察到的有共性的图像特征。
学生：容易发现：①都过点（0，1）；②图像都在x轴上方；③有的图像呈上升趋势；有的图像呈下降趋势。
教师：引导学生去观察图像呈上升或下降这一图像特征与它们的底数存在的关系。
学生:发现呈上升趋势的3个图象，底数都大于1；呈下降趋势的3个图象，底数都大于0小于1；从而对“指数函数图像形按底数分成两类”形成初步的认识。
教师：引导学生一起观察发现：底数大于1的三个函数，虽然它们的弯曲程度不同，但是都呈上升的趋势；底数大于0小于1的三个函数也类似，形成“指数函数的图象按底数分成两类，即底数大于1的指数函数图像呈上升趋势，底数大于0且小于1的指数函数图像呈下降的趋势”这一猜想。
人教A版高中数学必修1第二章基本初等函数(1)2.2对数函数教案(1)
给学生更加直观的感受。
3、例题讲述
例 1 求下列函数的定义域
（1） y log 0.2 (4 x);
（ 2） y loga x 1(a 0,a 1).
说明：通过例 1 要让学生明确，求解对数函数定义域问题的关键是要抓住“
真数大
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
于零”， 当真数为某一代数式时，可将其看作一个整体单独提出来求其大于零的解集即该
函数的定义域
例 2 利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小
⑴ log 23.4 , log 28.5
.
⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7
精品文档
⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a
＞0 , a ≠1 )
例 3 比较下列各组中两个值的大小 :
⑴ log 67 , log 7 6 ;
⑵ log 3 π , log 2 0.8 .
说明：例 2 例 3 考察学生利用对数函数性质解决问题的能力， 讲解时， 先让学生回顾
利用指数函数比较大小时的处理方法，然后引导学生采用类似的方法解决本题。
即：如
果两个对数值同底，应构造一个同底的对数函数，利用它的单调性直接判断；如果底不
同，应构造两个对数函数，借助两个对数函数的单调性和中间值“ 1”或“ 0”进行判断。
上述问题实际上就是从 18
x 20 1.01 ,
x 30 1.01 ,
x
1.01
，...
中分别求出
x，即已知底
13
13
13
数和幂的值，求指数这是我们这节课将要学习的对数函数问题， 通过我们学习的对数表示方法，咱们可以把上面的式子表示成：
.
高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数习题2.3》24教案教学设计 一等奖
教学课题：幂函数（第二课时）授课老师：封辉（蓝山四中）教学目标：本人设计了一堂利用多媒体软件探索幂函数的图像和性质的课。
教学中引导学生利用几何画板和不完全归纳法去探索数十种比较复杂的幂函数的图像，通过观察、思考、归纳、分析、理解和应用，会应用函数的奇偶性和单调性归纳幂函数的图像，以求达到比较深入的掌握幂函数图像和性质的目的。
教学重点：掌握比较复杂幂函数的图像和性质教学难点：用函数的单调性和奇偶性理解幂函数的图像教学设计：一．知识回顾：1.【回顾1】五种常见幂函数的图像你能在同一坐标系画出12312,,,,yxyxyxyxyx图像吗？2.【回顾2】五种常见幂函数的性质：yx2yx3yx12yx1yx图像定义域值域奇偶性单调性定点二.探索新知：问题1：试指出幂函数246,,,...yxyxyx的定义域，在坐标系中利用性质做出它们的图像？问题2：试指出幂函数357,,,...yxyxyx的定义域，在坐标系中利用性质做出它们的图像？问题3：试指出幂函数111684,,,...yxyxyx的定义域，在坐标系中利用性质做出它们的图像？问题4：试指出幂函数357,,,...yxyxyx的定义域，在坐标系中利用性质做出它们的图像？问题5：试指出幂函数246,,,...yxyxyx的定义域，在坐标系中利用性质做出它们的图像？问题6：试指出幂函数111357,,,...yxyxyx的定义域，在坐标系中利用性质做出它们的图像？问题7：试指出幂函数246357,,,...yxyxyx的定义域，在坐标系中利用性质做出它们的图像？问题8：试指出幂函数468357,,,...yxyxyx的定义域，在坐标系中利用性质做出它们的图像？问题9：试指出幂函数573684,,,...yxyxyx的定义域，在坐标系中利用性质做出它们的图像？问题10：试指出幂函数735624,,,...yxyxyx的定义域，在坐标系中利用性质做出它们的图像？三.提炼归纳幂函数nyx定义域奇偶性单调性图像0n0yx1nyx1nn为偶数n为奇数(,bnaba互质，a为偶数）(,bnaba互质，a为奇数）01n(,bnaba互质，a为偶数）(,bnaba互质，a为奇数，b为奇数）(,bnaba互质，a为奇数，b为偶数）0nn为偶数n为奇数(,bnaba互质，a为偶数）(,bnaba互质，a为奇数）四．例题精析例题：下面四个图像都是幂函数的图像，其中是函数23yx 的图像的是（）练习：幂函数53yx的大致图像是（）课堂检测：观察思考，对号入座ABCDABCD34yx（1）；23yx（2）；32yx（3）；23yx（4）；1yx3（5）；13yx（6）.五.课堂小结：（1）利用幂函数的单调性和奇偶性作图；（2）利用幂函数的单调性和奇偶性解题。
河北省高一数学上册 第二单元《基本初等函数(I)》全套教案
河北省高一数学上册第二单元《基本初等函数（I）》全套教案本单元以元素与集合为主题，分为三篇课文，通过本单元学习，引导学生明白理解基本初等函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用。
2.1 指数函数教学目标：知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用.能力目标：1.通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类2.讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方法，增强识图用图的能力.情感目标:通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质.教学重点：指数函数的图象、性质及其简单运用.教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底的关系.学前准备：多媒体辅助教学.教学过程：2.2. 对数函数教学目标：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能．会运用对数的运算性质解决有关问题．教学重点：对数函数的图象、性质及其简单运用.教学难点：对数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底的关系.教学过程：教学后记2.3 幂函数教学目的：（1.知识与技能目标了解幂函数的概念, 会画五个简单的幂函数12132,,,,-=====xyxyxyxy xy的图象，能根据图象概括出幂函数的一般性质，同时能应用幂函数的图象和性质解决相关的简单问题；2.过程与方法目标引导学生从具体幂函数的图象与性质中归纳出共性，培养学生的识图能力和抽象概括能力，培养学生数形结合的意识；通过对幂函数的学习，了解类比法在研究问题中的作用，使学生进一步熟练掌握研究一般函数的思想方法；3.情感、态度与价值观目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，引导学生主动参与作图、分析图象的特征，培养学生合作、交流、探究的意志品质，并在研究函数变化的过程中体会事物的量变、质变规律，感受数学的对称美、和谐美，同时信息技术的应用也会激发学生的求知欲望.四、教学重难点：重点：通过具体实例认识幂函数的概念，研究其性质，体会图象的变化规律．难点：幂函数的图象与性质的简单应用重、难点突破措施：1.以情感人，以理醒人创设情境中：问题开题，扣人心弦；层层探究中：分类探究，步步为营，丝丝入扣.2.数形结合现代的多媒体技术直观、形象展示幂函数的指数与图象之间的关联，突破重难点.教具：利用ppt、几何画板、DrawTools等多媒体手段辅助教学.：一般研究函数从哪些方面着手？类比之前研对数函数的方法一般研究函数从其定义奇偶性与单调性等一般借助函数的图：幂函数图像：幂函数在区：增函数在上的图象特征与指数：减函数在何动手操作：根据上述图象的特征，填写表格可以看出，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的图象和性质也存在着很大的差异，下面就请同学们通过观察图象来探寻幂函数的一些共性.从图象中可以看出，<α时，幂函数αxy=在第一象限的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴函数请画出该函数的草图的定义可知，m数的草图，究函数的性质。
人教版高中数学必修一《基本初等函数》全章教学设计
第二章 基本初等函数 §2．1指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）第一课时：教学目标：1.理解n 次方根、根式的概念；2.正确运用根式运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教学重点：根式的概念、运算性质 教学难点：根式概念的理解 教学方法：学导式 教学过程：（Ⅰ）创设情景；阅读问题1、问题2，认识将指数的取值范围进行推广的重要性和必要性。
（Ⅱ）复习回顾 ___； -9)0a _____(2≥=；（Ⅲ）讲授新课 22=4 ，（-2）2=4 ⇒ 2，-2叫4的平方根 23=8 ⇒ 2叫8的立方根； （-2）3=-8⇒-2叫-8的立方根 25=32 ⇒ 2叫32的5次方根 … 2n =a ⇒2叫a 的n 次方根 1.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？na x =是否正确？次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。
此时，a 的n 次方根可表示为na x =。
从而有：3273=，2325-=-，236a a =数，负数没有n 次方根。
此时正数a 的n 次方根可表示为：)0a (a n >± 其中n a 表示a 的正的n 次方根，n a -表示a 的负的n 次方根。
结论3：0的n 次方根是0，记作n n a ,00即=当a=0时也有意义。
这样，可在实数范围内，得到n 次方根的性质： 3.n 次方根的性质：（板书）*)(2,12,N k kn a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+== 其中叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
注意：根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。
4.根式运算性质：（板书）①a a nn =）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。
问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ ②⎩⎨⎧=为偶数为奇数；n a n a a nn|,|,性质的推导（略）： （III ）课堂练习：求下列各式的值通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。
必修一的第二章基本初等函数全章教案
课 题：2.1.1 指数-根式教学目的：1．掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力； 教学重点：根式的概念性质教学难点：根式的概念 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析：指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛性质之后较为系统地研究的第一个初等函数为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展，初中代数中学习了正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质本节在此基础上学习的运算性质为下一节学习分数指数幂概念和性质做准备 教学过程：一、复习引入：1．整数指数幂的概念*)(N n a a a a a an n∈⋅⋅=个 )0(10≠=a a ,0(1N n a a a nn∈≠=-2．运算性质：)()(),()(),(Z n b a ab Z n m aa Z n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+3．注意① nma a ÷可看作nmaa -⋅ ∴n m a a ÷=nm aa -⋅=nm a-② n b a )(可看作nn b a -⋅ ∴n ba )(=n nb a -⋅=n n b a二、讲解新课：1．根式：⑴计算（可用计算器）①23= 9 ，则3是9的平方根 ；②3)5(-=－125 ，则－5是－125的立方根 ； ③若46=1296 ，则6是1296 的 4次方根 ；④57.3=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 . ⑵定义：一般地，若*),1(N n n a x n∈>= 则x 叫做a 的n 次方根na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数例如，27的3次方根表示为327，-32的5次方根表示为532-，6a 的3次方根表示为36a ；16的4次方根表示为!416，即16的4次方根有两个，一个是416，另一个是-416，它们绝对值相等而符号相反.⑶性质：①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作： na x =②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作：na x ±= ③负数没有偶次方根，④ 0的任何次方根为0注：当a ≥0时， ≥0，表示算术根，所以类似=2的写法是错误的. ⑷常用公式根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：①当n 为任意正整数时，()n =a.例如，(327)3=27，(532-)5=-32.②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a .例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2)3(-=|-3|=3.⑶根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0）. 注意，⑶中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如3628)8(-≠-. 用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 三、讲解例题：例1（课本第71页 例1）求值①33)8(-= -8 ；②2)10(-= |-10| = 10 ； ③44)3(π-= |π-3| = 3-π ；④)()(2b a b a >-= |a- b| = a- b .去掉‘a>b ’结果如何？ 例2求值：63125.132)2(;246347625)1(⨯⨯---++分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 解：负去掉绝对值符号。
高一数学第二章基本初等函数(I)教案新课标数学必修1
课题：§2.1.1指数教学目的：（1）掌握根式的概念；（2）规定分数指数幂的意义；（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；（5）了解无理数指数幂的意义教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．教学过程：一、引入课题1．以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性2．由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；3．复习初中整数指数幂的运算性质；4．初中根式的概念；如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；二、新课教学（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念x n ，那么x叫做a的n次方根（n th root），其一般地，如果a中n>1，且n∈N*．当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号n a表示．式子n a叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a 叫做被开方数（radicand）．当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号－n a表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 思考：（课本P 58探究问题）n n a =a 一定成立吗？．（学生活动） 结论：当n 是奇数时，a a n n =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn例1．（教材P 58例1）． 解：（略）巩固练习：（教材P 58例1） 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·sr r aa += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rssr a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）srra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．引导学生解决本课开头实例问题 例2．（教材P 60例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．巩固练习：（教材P 63练习1-3） 4． 无理指数幂结合教材P 62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．思考：（教材P 63练习4）巩固练习思考：：（教材P 62思考题）例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出31升，然后用水填满，再倒出31升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？ 解：（略）点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题． 三、归纳小结，强化思想本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则． 四、作业布置1． 必做题：教材P 69习题2．1（A 组） 第1－4题． 2． 选做题：教材P 70习题2．1（B 组） 第2题．课题：§2.1.2指数函数及其性质教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．教学重点：指数函数的的概念和性质．教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程： 五、引入课题（备选引例）5． （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．○1 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？○2 到2050年我国的人口将达到多少？ ○3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？6． 上一节中GDP 问题中时间x 与GDP 值y 的对应关系y=1.073x （x∈N *，x ≤20）能否构成函数？7． 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？ 8． 上面的几个函数有什么共同特征？ 六、新课教学 （一）指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数（exponentialfunction ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； ○2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P 68例2、3） （二）指数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）x )31(y = （2）x)21(y =（3）x2y = （4）x 3y = （5）x 5y =2．从画出的图象中你能发现函数x2y =的图象和函数x)21(y =的图象有什么关系？可否利用x2y =的图象画出x)21(y =的图象？ 3．从画出的图象（x2y =、x3y =和x5y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？9． 利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =； （4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；（三）典型例题例1．（教材P 66例6）． 解：（略）问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？ 例2．（教材P 66例7） 解：（略）问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？ 说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式． 巩固练习：（教材P 69习题A 组第7题） 七、归纳小结，强化思想本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法． 八、作业布置3． 必做题：教材P 69习题2．1（A 组） 第5、6、8、12题． 4． 选做题：教材P 70习题2．1（B 组） 第1题．课题：§2.2.1对数教学目的：（1）理解对数的概念；（2）能够说明对数与指数的关系； （3）掌握对数式与指数式的相互转化．教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化教学难点：对数概念的理解． 教学过程： 九、引入课题10．（对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神． 11．尝试解决本小节开始提出的问题．十、新课教学1．对数的概念一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ），记作： a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a ax=⇔=log○3 注意对数的书写格式． 思考：○1 1≠； ○2 是否是所有的实数都有对数呢？ 设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备．两个重要对数：○1 常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ；○2 自然对数（natural logarithm ）：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2． 对数式与指数式的互化对数式 ⇔指数式对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数← N → 幂例1．（教材P 73例1）巩固练习：（教材P 74练习1、2）设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念． 说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题．3． 对数的性质 （学生活动）○1 阅读教材P 73例2，指出其中求x 的依据； ○2 独立思考完成教材P 74练习3、4，指出其中蕴含的结论 对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：01log =a ；（3）底数的对数是1：1log =a a ； （4）对数恒等式：N aNa =log ；（5）n a na =log ．十一、 归纳小结，强化思想○1 引入对数的必要性； ○2 指数与对数的关系； ○3 对数的基本性质． 十二、 作业布置教材P 86习题2．2（A 组） 第1、2题，（B 组） 第1题．课题：§2.2.1对数的运算性质教学目的：（1）理解对数的运算性质；（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； （3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用． 教学过程： 十三、 引入课题12． 对数的定义：b N N a a b=⇔=log ；13．对数恒等式：b a N ab a Na ==log ,log ；十四、 新课教学1．对数的运算性质提出问题：根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：○1 设m a =2log ，n a=3log ，求nm a +； ○2 设m M a =log ，n N a=log ，试利用m 、n 表示M a (log ·)N ．（学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）（引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质） 学生活动：○1 阅读教材Ｐ75例3、4，；设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质．○2 完成教材Ｐ79练习1~3 设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识．4． 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法． 思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解1318log 01.1的值？从而引入换底公式．5． 换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 学生活动○1 根据对数的定义推导对数的换底公式． 设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系．○2 思考完成教材P 76问题（即本小节开始提出的问题）； ○3 利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a na m log log =；（2）ab b a log 1log =．设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数．6． 课堂练习○1 教材Ｐ79练习4 ○2 已知的值。
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第二章基本初等函数（Ⅰ）§2.1.1 指数一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解三．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法四、教学过程：第一课时一、复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？=，则x叫做a的平方根.同理，若归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a3=，则x叫做a的立方根.x a根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根为2根、立方根均为零.二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.=，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n n次方根：一般地，若n x a∈Ｎ＊,当n为偶数时，a的n表示，.n 为奇数时，a 的nn 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？n a n a n a n ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n0=举例：16的次方根为2±，275-的而27-的4次方根不存在. 小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.根据n 次方根的意义，可得：n a =n a =a n 的na =一定成立吗？如果不让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：na =n 为偶数,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩|8|8==-=-=小结：当n样就避免出现错误：例题：求下列各式的值（1）(1)(2)(3)(4)分析：当n||a =，然后再去绝对值.n =是否成立，举例说明. 课堂练习：1. 求出下列各式的值(1)a ≤21,a a =-求的取值范围.3三．归纳小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,n 为偶数时，x =2．掌握两个公式：(0),||(0)n a a n n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为奇数时为偶数时3．作业：P 59习题2.1 A 组 第1题第二课时提问：1．初中时的整数指数幂，运算性质？00,1(0),0n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠无意义1(0)n n a a a -=≠;()m nm n m n mn a a a a a +⋅== (),()n m mn n n n a a ab a b ==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.2．观察以下式子，并总结出规律：a ＞0①1025a a === ②842a a ===③1234a a === 1025a a ===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：23(0)a a==>12(0)b b==>54(0)c c==>*(0,,1)mna a n N n=>∈>为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：*0,,)mna a m n N=>∈正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：*1(0,,)mnmna a m n Na-=>∈规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)nm m m ma a a a a=⋅⋅⋅⋅>由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0,,)r s r sa a a a r s Q+⋅=>∈（2）()(0,,)r S rsa a a r s Q=>∈（3）()(0,0,)r r ra b a b Q b r Q⋅=>>∈若a＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P62——P62..所以，的方向逼近时，近时，(如课本图所示)所以，.一般来说，无理数指数幂(0,)pa a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考：由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈ ()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈3．例题 （1）．（P 51，例2）求值 解：① 2223323338(2)224⨯====② 1112()21222125(5)555--⨯--====③ 5151(5)1()(2)2322----⨯-=== ④334()344162227()()()81338-⨯--===（2）．（P 52，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）解：117333222a a a aa +=⋅==228222333a a a aa +⋅==421332()a a ====分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 课堂练习：P 54练习 第 1，2，3，4题 小结：1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.作业：P59习题 2.1 第2题第三课时一．教学目标1．知识与技能：（1）掌握根式与分数指数幂互化；（2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.2．过程与方法：通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.3．情感、态度、价值观（1）培养学生观察、分析问题的能力；（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.二．重点、难点：1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.三．学法：讲授法、讨论法.四．教学过程：1．复习分数指数幂的概念与其性质2．例题讲解例1．（P52，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-（2）31884 () m n-（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.解：（1）原式=211115326236[2(6)(3)]ab+-+-⨯-÷-=04ab =4a（2）原式=318884()()m n -=23m n - 例2．（P 52 例5）计算下列各式 （1）（22(a ＞0）分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.解：（1）原式= 111324(25125)25-÷= 231322(55)5-÷ = 2131322255---= 1655-5 （2）原式=125222362132a aa a a--===⋅小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数. 课堂练习：化简：（1）2932)-（2（3）归纳小结：1． 熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算. 作业：P 59 习题2.1 A 组 第4题 B 组 第2题2.1.2指数函数及其性质一. 教学目标：1．知识与技能①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题，分析问题的能力. 3．过程与方法展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. 二．重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用. 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用. 三、学法：观察法、讲授法及讨论法.第一课时一．教学过程： 1. 情境设置①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)xy x x =∈≤与问题(2)t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2，请问这两个函数有什么共同特征.②这两个函数有什么共同特征157301][()]2t P =t57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用xy a =（a ＞0且a ≠1来表示）.二．讲授新课 指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2xy =-（4）xy π= （5）2y x = （6）24y x =（7）xy x = （8）(1)xy a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8xy x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)xy a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)x y a a a =>≠且.的形式，所以不是指数函数。