空间向量与立体几何(2)——向量法在立体几何中的综合应用

空间向量与立体几何（2）——向量法在立体几何中的综合应用

【学习目标】1、能够建立空间直角坐标系；

2、掌握平面的法向量的求解方法；

4、掌握向量法在一些平行、垂直证明中的应用；

3、掌握向量法在线面角和二面角的应用（重难点）.

【重点】空间直角坐标系的建立和法向量的求解

【难点】掌握法向量．．．

在线面角和二面角的应用. 【基础内容】

1、法向量：和平面垂直的向量叫做法向量.如果法向量的模长为1，则称为单位法向量.

2、平行：

①线线平行：a b a b ⇒

②线面平行：m 是平面α的法向量，若a m a ⊥⇒平面α

③面面平行：m 是平面α的法向量，n 是平面β的法向量，

若m

n ⇒平面α || 平面β

3、垂直：

①线线垂直：a b a b ⊥⇒⊥

②线面垂直：m 是平面α的法向量，若a m a ⇒⊥平面α

③面面垂直：m 是平面α的法向量，n 是平面β的法向量，

若m n ⊥⇒平面α ⊥平面β

4、线面夹角：θ是OP 和平面α的夹角 sin cos ,OP m OP m OP m θ⋅=<>=

⋅（根据θ的大小，考虑正负号）

思考：为什么sin cos ,OP m θ=<>？

5、二面角：θ是平面α和平面β的夹角

cos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=

⋅（根据θ的大小，考虑正负号）

思考：为什么cos cos ,m n θ=<>？

【前置作业】

1、如图，三棱锥O-ABC，OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=1，求平面ABC的法向量坐标.（提示：利用线面垂直的判定定理，若法向量m⊥平面ABC，

则m⊥AB，m⊥AC）

【研讨探究】

向量法基本方法：①建立坐标系（寻找两两垂直的三条线，特别是找到底面的垂直关系）；

②求出点坐标（不知道长度的用字母代替或设单位“1”）

③求解题目（法向量的应用）

探究一：平行、垂直的证明

1、如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M,N分别是AB，PC的中点，P A=AD=1，AB=2．（1）求证：MN || 平面P AD；

（2）求证：MN⊥平面PCD；

探究二：线面角、二面角的求解

（3）求MN和平面PBC的夹角的正弦值；

（4）求二面角A-PB-C的余弦值.

【当堂检测】

1、已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB || DC，AB=AD=DE=4，DC=8.

（1）证明：BD⊥平面BCF；

（2）M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP //平面BCE？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由.

（3）求CE与平面BEF夹角的正弦值Array

（4）求二面角F-EB-C的平面角的余弦值；

【课后作业】

1、（14浙江·文）如图，在四棱锥A­BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED ＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.

(1)证明：AC⊥平面BCDE；

(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．

2、（14浙江·理）如图，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED ＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.

(1)证明：DE⊥平面ACD；

(2)求二面角B -AD -E的大小