三角函数的定义导学案.doc

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第一章基本初等函数（Ⅱ）

1.2 任意角的三角函数

1.2.1 三角函数的定义

学 1. 掌握任意角的三角函数的定义；

习 2. 已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；

目 3. 记住三角函数的定义域、值域.

标 4. 会判断三角函数在各象限的符号；预

习：

1. 三角函数的定义：（1）正弦：；（ 2）余弦：；

（3）正切：；（ 4）余切：；

（5）正割：；（ 6）余割：；

2、三角函数的定义域：

三角函数定义域

课sin

前cos

准tan

备

3、三角函数在各象限的符号

sin cos

tan

思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示

锐角三角函数吗？

新

课结论：在引 C对边为Rt △ABC中，设 A 对边为 a，B 对边为b，c，锐角 A 的正弦，余弦，正切依次为：

入a b a

sinA, cosA,tanA

c c b

锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数

探究一：角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义.

你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

如图 , 设锐角的顶点与原点O 重合,始边与x轴的正半轴重合, 那么它的终边在第

新一象限 .在的终边上任取一点P( a, b) , 它与原点的距离课

导

r 2 2

0 .过 P 作x轴的垂线,垂足为 M ,则线段

学

a b

OM 的长度为a,线段 MP 的长度为 b .

则 sin MP

b

; cos OM

a

; tan MP b .

OP r OP r OM a

Y

P(a,b)

x

O M

新知 1：任意角的三角函数的定义

如图 , 设是一个任意角, 它的终边上任一点P( x, y) ,那么: OM x, MP y, R OPx 2 y2 0

（ 1）x

叫做r

（ 2）y

叫做r

（ 3）y

叫做x

r

（4）叫做

r （5）叫做

x （6）叫做的余弦 , 记作cos , 即cos

x

；

r

的正弦 , 记作sin , 即sin

y

；

r

的正切 , 记作tan , 即tan y x 0 .

x

的正割 , 记作secc , 即sec r x 0 ；

x

的余割 , 记作csc , 即csc r y 0 ；

y

的余切 , 记作cot , 即cot x y 0 ；

y

y

P

r

y

O x M x

探究二：在上述三角函数定义中, 自变量是什么?函数的定义域是什么?

新知 2：

三角函数定义域

sin

cos

tan

说明 : 当k (k Z ) 时，的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于2

0 ，所以tan y

x

无意义 ,除此情况外，对于确定的值，上述各值都是唯一确定的实

数.

探究三：三角函数值在各象限的符号的什么？新知 3：三角函数在各象限的符号

sin cos

tan

结论：一全正，二正弦，三两切，四余弦

例1．已知角的终边经过点P（ 2，－３），求的六个三角函数值．典

型

例

题

训练 1．已知角的终边经过点P 1, 3 ，求的六个三角函数值．

例 2．求下列各角的六个三角函数值：

3

（1）０；（2）；（3）

2

训练 2．求下列各角的六个三角函数值：

5

（1）2；（2）

2

例3．确定下列各三角函数值的符号：

10

（ 1）cos260°；（2） sin ；（ 3） tan（－ 672° 20’）；（ 4） tan

3 3

训练 3．确定下列各三角函数值的符号：

（ 1） sin( － 120° )；（ 2） cos 5 ；（ 3）tan672° 20’；（ 4）sin3400cos2650

4

例 4．设 sin

0 且 tan 0 ，确定 是第几象限角．

训练 4．设 cos

0 且 tan 0 ，确定 是第几象限角．

小 1．任意角的三角函数的定义；

结 2．三角函数的定义域及三角函数值的符号．

1．已知角

的终边过点 P 0 ( 3, 4) ，求角

的正弦 , 余弦和正切值 .

当

2．确定下列各三角函数值的符号：

堂

检 （1） cos2500 （ 2） sin(

) （ 3） tan( 6720 )

（ 4） tan3

测

4

3．（ 1）若 sin α >0 且 （ 2）若 tan α>0 且

cos α <0 ，则 α 是第

sin α <0 ，则 α 是第

象限的角；

象限的角．

课 1．求下列三角函数值：

后

25 tan( 15 ) （1） cos 思

3 4

考