2020届 四川省成都石室中学 高三适应性考试(一)数学(理)试题(解析版)

2020届四川省成都石室中学高三适应性考试（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}021,0,1,2|{}Ax x B -≤≤＝,＝，则A B ⋂＝（ ） A ．[]0,2B ．{}0,1,2C ．()1,2－D ．{}1,0,1－ 【答案】B【解析】根据交集的定义，即可求解.【详解】因为{}{|},021,0,1,2A x x B =≤≤=-，则{}0,1,2A B =I ，故选:B .【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2．设i 为虚数单位，则复数21z i =-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限.【详解】 ()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.3．计算2543log sincos ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( ) A ．32- B ．32 C ．23- D ．23【答案】A【解析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】原式2222221log cos 2log cos log 232322πππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.4．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D ．5．在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ===，，1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ）A 3B 3C ．155D ．105【答案】C【解析】在长方体中11//AB C D ， 得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论.【详解】在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥Q 平面11AA D D ，DO ⊂平面111,,AA D D AB DO AB AD D ∴⊥=I ，DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角， 在1111,3,2,5Rt ADD DD AA AD AD ∆===∴=， 111315cos 55DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为155. 故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.6．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤【答案】B 【解析】根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件.【详解】执行框图如下：初始值：0,1S i ==，第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环；故，判断条件为6i ≤.故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.7．已知平面向量a b r r ，满足21a b a r r r ＝，＝,与b r 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥r r r r +－，则实数λ的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．3【解析】由已知可得()()20a b a b λ+-=⋅r r r r ，结合向量数量积的运算律，建立λ方程，求解即可.【详解】 依题意得22113a b cos π⋅=⨯⨯=-r r 由()()20a b a b λ+-=⋅r r r r ，得()222210a b a b λλ-+-⋅=r r r r 即390λ-+=，解得3λ=.故选:D .【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.8．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A B ．C ．132 D ．【答案】C【解析】因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝13，即R ＝1329．若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫< ⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( )A ．24x π=- B ．3724x π= C ．1724x π= D ．1324x π=- 【答案】B【解析】由点012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得ϕ的值，化简()f x 解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得()f x 的对称轴，由此确定正确选项.由题可知220,122sin ππϕϕ⎛⎫⨯+=< ⎪⎝⎭.6πϕ=- 所以()2cos 266f x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5226412x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令52,122x k k Z πππ+=+∈， 得,242k x k Z ππ=+∈ 令3k =，得3724x π= 故选：B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.10．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．8 【答案】C【解析】求得A 点坐标，由此求得直线AF 的方程，联立直线AF 的方程和抛物线的方程，求得B 点坐标，进而求得AB【详解】抛物线焦点为()2,0F ，令1x =，28y =，解得y =±(A ，则直线AF 的方程为))2212y x x =-=---，由)228y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得((,4,A B -，所以9AB ==.故选：C【点睛】 本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.11．过点P 的直线l 与曲线y =A B ，两点，若25PA AB =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为( )A ．23-B ．23+C ．23+或23-D ．23-或31-【答案】A 【解析】利用切割线定理求得,PA AB ，利用勾股定理求得圆心到弦AB 的距离，从而求得30APO ∠=︒，结合45POx ∠=o ，求得直线l 的倾斜角为15o ，进而求得l 的斜率.【详解】曲线213y x =-为圆2213x y +=的上半部分，圆心为()0,0，半径为13. 设PQ 与曲线213y x =-相切于点Q ，则()2PQ PA PB PA PA AB =⋅=⋅+2225375PA PO OQ -=== 所以5,2PA AB ==， O 到弦AB 的距离为13123-=，23231sin 2262OP APO ===⨯∠，所以30APO ∠=︒，由于45POx ∠=o ，所以直线l 的倾斜角为453015-=o o o ，斜率为()tan 45tan 30tan15tan 4530231tan 45tan 30-=-==-+⨯o oo o oo o . 故选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．若函数()()2(2 2.71828...x f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( )A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】求得()f x 的导函数()'f x ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围.【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-， 要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =， 则()2221x x m x ++=+， 令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t +在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．在()()6411 x y ++的展开式中，23x y 的系数为________． 【答案】60【解析】根据二项展开式定理，求出6(1)x +含2x 的系数和4(1)y +含3y 的系数，相乘即可.【详解】()()6411 x y ++的展开式中， 所求项为：2233232364654602C x C y x y x y ⨯=⨯=， 23x y 的系数为60.故答案为:60.【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.14．已知矩形 ABCD ，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________.【答案】2【解析】根据,A B 为焦点，得2c =；又2AC BC a -=求得a ，从而得到离心率.【详解】,A B 为焦点 24c ⇒= 2c ⇒=C 在双曲线上，则2AC BC a -=又5AC == 22a ⇒= 1a ⇒=2c e a∴== 本题正确结果：2【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.15．已知函数()1x x f x e e -=--，则关于x 的不等式(2)(1)2f x f x ++>-的解集为_______． 【答案】1(,)3-+∞【解析】判断()()1g x f x =+的奇偶性和单调性，原不等式转化为()()()2?11g x g x g x -+=--＞，运用单调性，可得到所求解集．【详解】令()()1g x f x =+，易知函数()g x 为奇函数，在R 上单调递增，()()()()21221110f x f x f x f x ++>-⇔++++＞，即()()210g x g x ++＞，∴()()()2?11g x g x g x -+=--＞ ∴21x x ＞--，即x ＞13- 故答案为：1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16．已知数列{}n a 满足1211,3a a ==对任意2,*n n N ≥∈，若()111123n n n n n a a a a a -+-++=，则数列{}n a 的通项公式n a =________． 【答案】121n - 【解析】由()111123n n n n n a a a a a -+-++=可得1111112()n n n n a a a a +--=-，利用等比数列的通项公式可得1112n n n a a +-=，再利用累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论.【详解】由()111123n n n n n a a a a a -+-++=，得1111112()n n n n a a a a +--=- 21112a a -=，数列111{}n na a +-是等比数列，首项为2，公比为2， 1112n n na a +∴-=，11112,2n n n n a a --≥-=， 11221111111111()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+L 121222212112nn n n ---=++++==--L ， 111,1n a ==，满足上式，121n n a =-. 故答案为:121n -.【点睛】本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题.三、解答题17．在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:已知变量,x y且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲$453y x=-+，其中有且仅有一=-+；丙$ 4.6104y xy x=+；乙$4105位同学的计算结果是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X的分布列和数学期望.【答案】（1）乙同学正确（2）分布列见解析，()3E X=2x y代入验证，即可得出结论；【解析】（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点(,)（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数X的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.【详解】（1）已知变量,x y具有线性负相关关系，故甲不正确，Q，代入两个回归方程，验证乙同学正确，==6.5,79x y故回归方程为：$4105=-+y x（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数X 的取值为:0,1,2,3. ()0333361020C C P X C ===，()1233369120C C P X C === ()2133369220C C P X C ===，()3033361120C C P X C === 于是“理想数据”的个数X 的分布列()199130123202020202E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 18．已知在平面四边形ABCD 中，3,,1,4ABC AB AD AB ABC π∠=⊥=V 的面积为12. （1）求AC 的长； （2）已知CD =，ADC ∠为锐角，求tan ADC ∠. 【答案】（1（2）4.【解析】（1）利用三角形的面积公式求得BC ，利用余弦定理求得AC .（2）利用余弦定理求得cos CAB ∠，由此求得sin DAC ∠，进而求得sin ADC ∠，利用同角三角函数的基本关系式求得tan ADC ∠. 【详解】（1）在 ABC V 中，由面积公式：121sin 242ABC S AB BC ABC BC =⨯⨯⨯∠=⨯=V2BC ∴=在 ABC V 中，由余弦定理可得：22225AC AB BC AB BC cos ABC +⋅∠-⋅==5AC ∴=（2）在 ABC V 中，由余弦定理可得：222252AB AC BCcos CAB AB BC+-∠==⋅ ()2sin DAC sin DAB CAB sin CAB π⎛⎫∠=∠-∠=-∠ ⎪⎝⎭25sin DAC cos CAB ∴∠=∠=在 ADC V 中，由正弦定理可得:sin sin AC CD ADC DAC =∠∠，417sin ADC ∴∠= ADC ∠Q 为锐角217cos 1sin 17ADC ADC ∴∠=-∠=. tan 4ADC ∴∠=【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.19．如图，在四面体DABC 中，AB BC DA DC DB ⊥==，.（1）求证:平面ABC ⊥平面ACD ；（2）若30CAD ∠=︒，二面角 C AB D --为60o ，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】（1）取AC 中点,F 连接,FD FB ，得,DF AC ⊥AB BC ⊥，可得FA FB FC ==，可证DFA DFB V V ≌，可得DF FB ⊥，进而DF ⊥平面ABC ，即可证明结论； （2）设,,E G H 分别为边,,AB CD BD 的中点，连,,,,DE EF GF FH HG ，可得//GF AD ，//,//GH BC EF BC ，可得FGH ∠（或补角）是异面直线AD 与BC 所成的角，BC AB ⊥，可得EF AB ⊥，DEF ∠为二面角 C AB D --的平面角，即60DEF ∠=o ，设AD a =，求解FGH ∆，即可得出结论.【详解】（1）证明:取AC 中点,F 连接,FD FB ， 由,DA DC =则,DF AC ⊥AB BC ⊥Q ，则FA FB FC ==，故DFA DFB V V ≌，2DFB DFA π∠=∠=，,,DF AC DF FB AC FB F ⊥⊥⋂=QDF ⊥∴平面ABC ，又DF ⊂平面ACD ，故平面ABC ⊥平面ACD（2）解法一:设,G H 分别为边,CD BD 的中点， 则//,//FG AD GH BC ，FGH ∠（或补角）是异面直线AD 与BC 所成的角.设E 为边AB 的中点，则//EF BC ， 由,AB BC ⊥知EF AB ⊥.又由（1）有DF ⊥平面,ABC DF AB ∴⊥，,EF DF F AB =⊥I 平面.,D F B E E D A ∴⊥，所以DEF ∠为二面角C AB D --的平面角，60DEF ∴∠=o ， 设,DA DC DB a ===则2a DF AD CAD =⋅∠= 在Rt DEF △中，332a EF a =⋅= 从而1326GH BC EF a === 在Rt BDF V 中，122aFH BD ==， 又122aFG AD ==， 从而在FGH V 中，因FG FH =，132GHcos FGH FG ∴∠==， 因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为36.解法二:过点F 作FM AC ⊥交AB 于点,M 由（1）易知,,FC FD FM 两两垂直， 以F 为原点，射线,,FM FC FD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F xyz -.不妨设2AD =，由30CD AD CAD =∠=︒,，易知点,,A C D 的坐标分别为()0,3,0,()()3,0, 0,0,1A C D - 则 (0)3,1AD =u u u r显然向量()0,0,1k =r是平面ABC 的法向量已知二面角 C AB D --为60︒，设(),,0B m n ，则223,,3,0()m n AB m n +==+u u u r设平面ABD 的法向量为(),,nx y z =r，则()300030y z AD n AB n mx n y ⎧+=⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=++=⎩⎪⎩u u u v v u u u v v 令1y =，则3,1,3n n ⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝r 由2||31,234k n cos k n k n n m ⋅<>===⎛⎫++ ⎪⎝⎭u u r rr r r r由上式整理得2923210n n +-=， 解之得3n =-(舍)或73n =4673,,0B ⎛⎫∴± ⎪ ⎪⎝⎭4623,,0CB ⎛⎫∴=±- ⎪ ⎪⎝⎭u u ur ，233,6232AD CB cos AD CB AD CB⋅<>===⨯u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r 因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为3.【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20．已知1F ，2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=＞＞的左，右焦点，点(P -在椭圆E 上，且抛物线24y x =的焦点是椭圆E 的一个焦点． （1）求a ,b 的值：（2）过点2F 作不与x 轴重合的直线l ，设l 与圆2222x y a b +=+相交于A ，B 两点，且与椭圆E 相交于C ，D 两点，当111F A F B ⋅=u u u v u u u v时，求△1F CD 的面积． 【答案】（1）1a b ==；（2）7. 【解析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出a ，b ；（2）设直线l 方程为1x ty =+，联立直线与圆的方程可以求出2t ，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积． 【详解】（1）24y x ＝焦点为F （1，0），则F 1（1，0），F 2（1，0），122P F +P F a ＝＝，解得a =c ＝1，b ＝1，（Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩得22(1)220t y ty ++-=，易知△＞0，则1221222t t +12t +1y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩11 F A F B ⋅u u u v u u u v＝1122(1)(1)x x y y +++＝1212(ty +2)(ty +2)+y y＝22121222-2t t +1y y +2t y +y +4t +1（）（）＝ 因为111F A F B =⋅u u u r u u u r ，所以222-2t t +1＝1，解得21t 3＝ 联立22112x ty x y +⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝ ，得22t +2y +2ty-10（）＝，△＝82t +1（）＞0设3344C ,),(,)x y B x y （，则3423422t y +y t +21y y 2t -⎧⎪⎪⎨⎪-⎪+⎩＝＝1F CD 12341S F F y -y 23∆⋅＝＝ 【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题． 意在考查学生的数学运算能力． 21．已知函数()2, 2.718282a f x xlnx x x a R e =--∈≈⋅⋅⋅,是自然对数的底数. （1）若a e =-，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明:1212x x x x >+. 【答案】（1）减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明见解析. 【解析】（1）当a e =-时，求得函数()f x 的导函数()'f x 以及二阶导函数()''f x ，由此求得()f x 的单调区间. （2）令()'0fx =求得ln xa x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数求得()g x 的单调区间、极值和最值，结合()f x 有两个极值点，求得a 的取值范围.将12,x x 代入()f x lnx ax '=-列方程组，由()()1212212212ln ln ln x x x x x a x x x x x +<==++证得1212x x x x >+.【详解】（1）()'f x lnx ax lnx ex =-=+Q ，10e f ⎛⎫⎪⎝⎭'∴=，又()1"0f x e x=+>，所以()'f x 在(0)+∞，单增， 从而当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0, f x f x <递减，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 递增.（2）()f x lnx ax '=-.令()ln '0xf x a x=⇒=， 令()ln x g x x =，则()21ln xg x x -'= 故()g x 在()0,e 递增，在(,)e +∞递减， 所以()()max 1g x g e e==.注意到当1x >时()0g x >， 所以当0a <时，()f x 有一个极值点， 当10a e<<时，()f x 有两个极值点， 当1a e ≥时，()f x 没有极值点， 综上10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为12,x x 是()f x 的两个极值点，所以11112222ln 0ln ln 0ln x ax x ax x ax x ax -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩不妨设12x x <，得121x e x <<<，因为()g x 在(,)e +∞递减，且122x x x +>， 所以()()1212212212ln ln ln x x x x x a x x x x x ++<⇒<++又()()12121212ln ln ln x x x x a x x a x x +=+⇒=+所以()()121212121212ln ln x x x x x x x x x x x x +<⇒>+++【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30°，且经过点()2,1A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求出直线1l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求AP AQ ⋅的值．【答案】（Ⅰ）2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，()22400.x x y x -+=≠；（Ⅱ）3. 【解析】（Ⅰ）直接由已知写出直线l 1的参数方程，设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得1112ρρθθ=⎧⎨=⎩，即ρ＝4cos θ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得到关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义可得|AP |•|AQ |的值． 【详解】（Ⅰ）直线l 1的参数方程为x 2tcos30y 1tsin30=+⎧⎪=+⎨⎪⎩oo，（t 为参数）即22112x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则1ρρ121θθ=⎧=⎨⎩，即3ρ12cos θ⋅=，即ρ=4cos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-4x+y 2=0（x ≠0）. （Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得221(2t)42t (1t)0222⎛⎫+-+++= ⎪ ⎪⎝⎭，即2t t 302+-=，t 1，t 2为方程的两个根， ∴t 1t 2=-3，∴|AP|•|AQ|=|t 1t 2|=|-3|=3． 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．第 21 页 共 21 页 23．已知函数()|2||4|f x x x =++-.(1)求不等式()3f x x ≤的解集；(2)若()|1|f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围.【答案】(1)[)2,+∞；(2)(],2-∞.【解析】（1）通过讨论x 的范围，分为4x >，2x <-，24x -≤≤三种情形，分别求出不等式的解集即可；（2）通过分离参数思想问题转化为331111k x x ≤++---，根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到k 的范围.【详解】(1)当4x >时，原不等式等价于243x x x ++-≤，解得2x ≥-，所以4x >， 当2x <-时，原不等式等价于243x x x ---+≤，解得25x ≥，所以此时不等式无解， 当24x -≤≤时，原不等式等价于243x x x +-+≤，解得2x ≥，所以24x ≤≤ 综上所述，不等式解集为[)2,+∞.(2)由()1f x k x ≥-，得241x x k x ++-≥-，当1x =时，60≥恒成立，所以R k ∈；当1x ≠时，24131333111111x x x x k x x x x ++--++--≤==++-----. 因为3333111121111x x x x ⎛⎫⎛⎫++-≥++-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当且仅当3311011x x ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭即4x ≥或2x -≤时，等号成立， 所以k 2≤；综上k 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题.。