导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧

函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结：

1、分类讨论思想

2、判别法

3、分离参数法

4、构造新函数法

一、分离讨论思想：

例题1： 讨论下列函数单调性：

1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x

2、()x f =)0,11(1

2≠<<--b x x bx

二、判别法

例2：已知不等式04)2(2)2(2

<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）⎩⎨⎧<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）⎪⎩

⎪⎨⎧<-=-=-040)2(202a a 解（1）得⎩⎨⎧<<-<2

22a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２．

练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

三、分离法参数：

分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即：

（1）

对任意x 都成立()min x f m ≤ （2）对任意x 都成立。

例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

解： 将问题转化为x

x x a 2

4-<对]4,0(∈x 恒成立，令x x x x g 24)(-=，则min )(x g a <由144)(2

-=-=x

x x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

例4．已知函数),1[,2)(2+∞∈++=x x

a x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。（答案3->a ）

例题 5. 已知函数()x x f ln =，()bx ax x g +=22

1，0≠a . 若2=b ，且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围； 解：当x ax x x h b 22

1ln )(,22--==时.，则.1221)(2x x ax ax x x h -+-=--=' 因为函数()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有解.由题设可知,()x h 的定义域是()+∞,0 ,而()0<'x h 在()+∞,0上有解,就等价()0<'x h 于在区间()+∞,0能成立, 即x x a 212->, ()+∞∈,0x 成立, 进而等价于()x u a min >成立,其中()x x

x u 212-=.由()x x

x u 212-=1112-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x 得,()1min -=x u .于是,1->a , 由题设0≠a ,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1

例6 已知x

a ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围. 解 ∵()2a a f x x x =-+，∴2()1a

f x x

'=+.又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数， ∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，

得21x -≤-.∴1-≥a .

四、构造法： 利用导数解决不等式问题，实质上是转化为构造函数，利用导数研究函数的单调性，转化的思路一般如下：

f (x )≥

g (x )⇔F (x )＝f (x )－g (x )≥0⇔F (x )min ≥0，

f (x )≤

g (x )⇔F (x )＝f (x )－g (x )≤0⇔F (x )max ≤0.

例题7 设()f x =ln x ，()()g x f x =+'()f x 。

（1）求()g x 的单调区间和最小值；（2）讨论()g x 和1()g x 的大小；（3）求a 的取值范围，使得()()g a g x -<1a

,对任意的0x >成立。

例题8：求证：当0x >时，ln(1)x x >+

例题7：答案：(1)减区间：(0,1);增区间()1,+∞；最小值1.(2)当11,()()x g x g x ==;当(0,1)x ∈1()()g x g x >；当1(1,)()()x g x g x ∈+∞<1()()g x g x >