Z变换的性质定理
数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
06第六讲 Z变换的性质
Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。 若有极点被
抵消，收敛域可扩大。
证 Y ( z ) Z [ x( n) h(n)]
n
[ x(n) h(h)]z n
n
n m
x ( m) h ( n m) z
第2章 Z变换 2. 序列的移位
Z[ x(n m)] z m X ( z)
Rx | z | Rx
(1-80)
位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。 证
Z [ x(n m)]
n
x(n m) z n z m
k
x( k ) z k z m X ( z )
证
Z [ x (n)]
*
n
x ( n) z
*
n
n *
[ x(n)(z )
* n *
]
* n * * x(n)(z ) X ( z ) n
Rx | z | Rx
第2章 Z变换 6. 翻褶序列
1 Z[ x(n)] X z
9. 序列卷积（卷积定理）
若
y ( n ) x ( n ) h ( n)
则
m
x(m)h(n m)
Y ( z ) Z [ y(n)] X ( z ) H ( z ) max[Rx , Rh ] | z | min[Rx , Rh ]
(1-88)
第2章 Z变换
V平面收敛域为
(1-90)
|z| |z| max Rx , | v | min Rx , Ry Ry
7.4 z变换
2
对上式两边取z变换
而
Z[ x(t T )] z[ X ( z ) x(0)] zX ( z )
2
z 1 ( z 1) X ( z ) T z ( z 1)2
k 0
两式相减，
x[(k 1)T ] x(kT ) z k ( z 1) X ( z ) zx(0)
k 0
两边取z->1的极限， lim ( z 1) X ( z ) zx (0) lim( z 1) X ( z ) x (0) z 1 z 1
1 2
z 1 1
3
x1 (t ) 1(t )
采样
x ( t ) 1( t ) ( t kT )
* 1 k 0 * x2 ( t ) ( t kT ) k 0
x2 ( t ) ( t kT )
k 0
由该例可知，在z变换中只考虑时域函数在采样时刻的信号值， 单位阶跃函数和单位脉冲序列函数在采样时刻具有相同特性， 其z变换结果相同。 相同的z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定 对应于相同的连续函数x(t)。
z z
17
6、终值定理
x( ) lim( z 1) X ( z ) lim(1 z 1 ) X ( z )
z 1 z 1
证明：
X ( z ) x( kT ) z k
k 0
Z x(t T ) x(k 1)T z k z[ X ( z ) x(0)]
z变换复移位定理
z变换复移位定理摘要：1.引言2.Z变换及其性质3.复移位定理4.Z变换复移位定理的应用5.结论正文：【引言】在信号处理、系统分析等领域，Z变换及其相关理论发挥着重要作用。
复移位定理是Z变换理论中的一个重要定理，它为我们分析信号和系统提供了便利。
本文将详细介绍Z变换、复移位定理及其应用，帮助读者更好地理解和掌握这一理论。
【Z变换及其性质】Z变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
给定一个时域信号x(t)，其Z变换X(z)可以通过以下公式表示：X(z) = ∫(-∞,∞) x(t) * e^(-jωt) dt其中，ω为角频率，j为虚数单位。
Z变换具有许多有益的性质，如线性性质、时域性质、频域性质等。
这些性质为我们分析信号和系统提供了便利。
【复移位定理】复移位定理是Z变换理论中的一个重要定理。
它描述了将时域信号进行Z变换后，对变换结果进行复数域上的平移（即频域上的卷积）的操作。
复移位定理的数学表达式如下：X(z) * z^k = ∫(-∞,∞) x(t) * e^(-jωt) * z^k dt其中，z为复变量，k为实数。
复移位定理在信号处理、系统分析等领域具有广泛的应用。
【Z变换复移位定理的应用】在实际应用中，Z变换复移位定理可以帮助我们简化信号处理和系统分析的过程。
以下是一个具体例子：假设我们有一个线性时不变系统，其输入信号为x(t)，输出信号为y(t)。
我们可以通过分析系统的冲激响应h(t)来了解系统的性能。
利用Z变换和复移位定理，我们可以得到如下关系：H(z) = Y(z) / X(z)其中，H(z)为系统的传递函数，Y(z)为输出信号的Z变换，X(z)为输入信号的Z变换。
通过这一关系，我们可以轻松地求解系统的性能参数，如频率响应、群延迟等。
【结论】Z变换及其复移位定理在信号处理、系统分析等领域具有重要应用价值。
掌握这一理论，可以帮助我们更好地分析和设计信号处理系统。
第六节 Z 变 换
Z xn 1 z X ( z) x(1)
1
Z xn 2 z X ( z) z x(1) x(2)
2 1
三、频移性质（Ｚ域尺度变换）：
If x ( n ) X(z )
j0 n
ROC : R
then 1. e
x n X e
j0z k源自 z 1 j 0 j 0
1 e z e z cosk 0 k j 0 j 0 e z 1 e z 1 2 z z cos 0 2 z 2 z cos 0 1
2
z z cos 0 k cosk 0 k 2 z z 2 cos 0 1
2
a 1 b 1 z a b z a b a z b
1 k 1 k 1 x ( k ) * h( k ) a b k a b
七、序列除(k+m)（Z域积分）
If f ( n) F ( z )
z 2. F2 z 2 . z z 3 1
f 2 k ?
2 2 2
解：
1 z z z 1. F1 z 1 2 2 z 1 z 1
cos 0;
2
k f1 k k cos 2
k
z 2. F2 z 2 z z 3 1
3 2
z 1
解：
F ( z) 2 6 8 13 2 z z z z 1 z 0.5
k
f (k ) 2 k 1 6 k (8 130.5 ) k
Z变换的基本性质
第
22 页
Y z A1 A2 z z 1 z 0.9
A1 0.5
A2 0.45
z z Y z 0.5 0.45 z 1 z 0.9
y n 0.5 0.45 0.9
n
n 0
第
例8-7-2
已知系统框图 列出系统的差分方程。
a,b为任意常数。
二．位移性
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
(2) 右移位性质
第 4 页
1．双边z变换的位移性质
x ( n) 4
第 5 页
x ( n 2) 4
4
x ( n 2)
1O Hale Waihona Puke 2n 1O 1 2
n
2 1 O 1
n
的z变换为Z x( n m ) z m X ( z )
1 m k z X z x k z k m
（z域微分） 三．序列线性加权
若 则 Z x( n) X ( z )
第
12 页
d X (z) 1 d X z nx( n) z z dz d z 1
例：求na
解：
n
z2 Yzs z 2 z 2
n Yzs z yzs n n 1 2 un
第
b.由储能引起的零输入响应（对n 2都成立）
Yzi z 1 3z 1 2z 2 2z 1 y 1 3 y 1 2 y 2
z z 1 3z 2z Yzi z z 2z 1 z 2 z 1 零输入响应为
25 页
第二章Z变换
2n－
1 3
(0.5)n
u
(
n
)
由已知的收敛域 知道是因果序列
n0 n0
16
２、长除法
x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即
X (z )x ( n )z n x ( 1 )z x ( 0 ) x ( 1 )z 1 x ( 2 )z 2 n
因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数， 则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是 一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接 用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式， 从而得到x(n)。
[ x ( n ) ] X ( z ) R x |z | R x
[y (n ) ] Y (z ) R y |z| R y
则 [ a ( n ) b x ( n ) y a ] ( z ) b X ( z )Y R |z | R 其中RmaRx x,[Ry]，RmiR nx,[Ry]，即线性组合后的
zb
| z||b|
如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式 完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的， 不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围， 才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的
重要性。
10
４、双边序列
一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边 序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这 两个序列Z变换的公共收敛区间。
0 |z| , n 20
ROC
0
Re[z]
有限长序列的收敛域
5
例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其 X(z)。
解：
X(z)n x(n)znN n 0 1zn1 1 zz N 1
(优选)z变换的基本性质和定理
X (z)H(z)
两者交集 序列的卷积和
1
2j
c
X
(v)H ( z v
)v 1dv
上下限对应相乘
序列相乘
x(n)为因果序列
且X(z)的极点落在单 位圆内部，最多在
z=1处有一极点
初值定理 终值定理
ax(n) by(n) aX (z) bY(z)
x(n m)
zm X (z)
两者交集 不变
线性性质 移位性质
an x(n)
X (z a) 上下限放大|a| 乘以指数序列
序列
nx(n) x* (n)
Z变换 z d X (z)
dz
X *(z*)
收敛域 不变 不变
说明 线性加权
共轭
x(n)
X (1 z)
部分分式的系数Ak，Ck分别为（留数定理求出）：
Ck
(r
1 d rk
k
)!
dz
r
k
[(z
zi )r
x(z zk
)
z
zi
,
k 1,2r
3、长除法 将X(z）分解成简单分式和的形式，每部分对应
一个因果序列或一个反因果序列。
对因果序列，分子、分母多项式按降幂排列相除；
对反因果序列，分子、分母多项式按升幂排列相除。
3、乘以指数序列（z域尺度变换） 如果 则有： 证明：根据z变换的定义证明
4、序列的线性加权（z域求导数） 如果 则有：
证明： （见下页，怎样证明？）从右至左证明。
5、共轭序列 如果 则有：
证明：
6、翻褶序列 如果 则有：
证明： （见下页）
证明：
7、初值定理 证明： （怎样证明？） 显然： lim X (z) x(0)
第2章--Z变换及Z传递函数
F(z)
z za
z z eaT
z sin T z2 2z cosT 1
z(z cosT ) z2 2z cosT 1
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
则：
fi (kT )
1
ai z z zi
i 1, 2, , n
n
f * (t) fi (kT) (t kT) k 0 i1
第2章 Z变换及Z传递函数
3．留数法
设已知Z变换函数F(z)，则可证明，F(z)的Z反变换 f(kT)值，可由下式计算
f (kT ) 1 F (z)
1
i0
则
G(z)
F(z) 1 z 1
7．初值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (0) lim F(z) z
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (t)eat F(z eaT )
9．微分定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
G1 (z) G2 (z)
第2章 Z变换及Z传递函数
由上式可知，两个串联环节之间有同步采样开关隔开的 Z传递函数，等于每个环节Z传递函数的乘积。
在一般情况下，很容易证明：
G1G2 (z) G1 (z) G2 (z)
在进行计算时，应引起注意。
第2章 Z变换及Z传递函数
pi )F (z)zk1
n
f
(kT )
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
z变换的基本性质
z 变换的基本性质主要内容 线性 位移性 序列线性加权 序列指数加权 初值定理 终值定理 时域卷积定理z 域卷积定理（自阅）一．线性(表现为叠加性和均匀性）a ,b 为任意常数。
ROC ：一般情况下，取二者的重叠部分某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。
例8-5-1 解：已知[]()[]()[]()212121)()()()( )()( )()( R z R z bY z aX n by n ax Z R z R z Y n y Z R z Rz X n x Z y y x x <<+=+<<=<<=则若),min(),max( 2211y x y x R R z R R <<即()变换。
的求z n u n )(cosh 0ω()nzZ a u n z a⎡⎤=⎣⎦-()()0e e 21cosh 0n ωn ωn ω-+=并且同理例8-5-2零极点相消，收敛域扩大为整个z 平面。
二．位移性 1.双边z 变换 2.单边z 变换 (1) 左移位性质 (2) 右移位性质1．双边z 变换的位移性质原序列不变，只影响在时间轴上的位置。
()[][][])(e 21)(e21)(cosh 000n u Z n u Z n u n ωZ n ωn ω-+=所以00e 21e 21ωωz z z z -++-=()[]()1cosh 2cosh (020+--=ωz z ωz z ()00e ,e max :ROC n ωn ωz ->()()1ch 2sh )()sinh(0200+-↔ωz z ωz n u n ω()0e ,e max :ROC ωωz ->↔=)()(n u a n x n z a>↔-=)1()(n u a n y nz a>()↔=-n δn y n x )()(()z X z z a =-()aY z z a =-()()1X z Y z -=()[][])()()()(z X z m n x Z z z X n x Z z n x m -=-=变换为的，则其右移位后变换为的双边若序列证明双边z 变换的位移性 根据双边z 变换的定义可得2．单边z 变换的位移性质(1)左移位性质证明左移位性质根据单边z 变换的定义，可得(2)右移位性质处收敛域：只会影响∞==z z ,0[])()(z X z m n x Z z m =+变换为：同理，左移位后的[]()()nn Z x n m x n m z∞-=-∞-=-∑，则令k m n =-[]()()()mkm k Z x n m zx k zz X z ∞---=-∞-==∑()()()()()(),的长度有所增减。
2Z变换
n 1
dz
• X(z) 可以看作经过算子z由序列x[n]变换 而来，z是一个连续复变量.
• z 是一个能表示成极坐标形式的复变量 :
– z = rejw
Z变换和傅立叶变换之间的关系
• 序列x[n] 的z变换X(z) 为 :
X(z)
n
x [ n ]z
n
{x[ n]}
序列 1. d[n] 2. u[n] 变换 1 z/(z-1) ROC all z |z|>1
3. -u[-n-1]
4. d[n-m] 5. anu[n] 6. -anu[-n-1]
z/(z-1)
z-m z/(z-a) z/(z-a)
|z|<1
all z except 0 if m>0 or ฅ if m<0 |z|>|a| |z|<|a|
单位圆
• 显然，对于r = 1，z变换变为傅立叶变换.
• Z变换是一个复变量的函数，因此便于用复Z平 面来描述和解释。 • 对应于|z| = 1 是半径为1的圆，称为单位圆
• 单位圆上的Z变换对应于傅立叶变换。
复Z平面上的单位圆
Im
Unit Circle
z = ejw
w 1
Re
z-plane
收敛区域
Z反变换
• 观察法 有某些熟悉的或者凭观察就能辨认出的变换对构成。 • 部分分式展开法
X(z)
k 0 N
bk z a
k
M
k
z k
b0 a0
(1 c k z 1 )
M
k 0
(1 d
k 1
k 1 N
Z变换
f * t f nT t nT
n 0
其拉氏变换式为
L f * t F * s f nT e nTs
n 0
注意：
（1）z变换是对连续函数f*(t)采样后的采样函数f (S)的拉氏变换, 或用变量正z表示，则对取z正变换f*(t)表示为Z[F*(T)]=F(Z)。所以 f (Z)不是也不可能对连续函数f (t)取z变换。由于z变换只是在采样 点上的信号起作用，所以有时也简写成
用部分式分发求z变换之外,还有z变换的留数计算法。
三、Z反变换 如果已知Z变换式，要求其原函数。这一变换过程通常称作Z反 变换记为Z-1[F(z)]=ƒ*(t)。Z反变换一般有三种方法：因式分解法、 长除法和反演积分法。现分别阐述如下: 1、因式分解法（部分分式法） 先将变换式写成 的希望展开式，最后逐项查表或用计算的方法求其反变换。下面举 例来说明其具体处理方法。 7—3
上式的z变换为 F ( z ) z
a 2 2 s a 1 1 1 1 2 j 1 e jaT z 1 2 j 1 e jaT z 1
(sin aT ) z 1 z sin aT 2 1 (2 cos aT ) z 1 z 2 z 2 z cos aT 1
教学学时：2学时
第三节
Z变换
系统的分析中,采用微分方程和拉氏变换作为数学工具.而在采 样系统中则是用差分方程和z变换来描述与分析系统.所谓z变换,它 是由拉氏变换而来,属于一种线性坐标变换,它将差分方程化为代数 方程.是分析采样系统的主要数学工具。 一、Z变换的定义： f (t)经采样后的采样函数
Z f t nT Z F Z
n
6.1.4z变换 - z变换二性质(精品文档)
信信号号处处理理与与系系统统
（双边）
u(n 1) u(n 1)zn zn
n
n1
1
z
1
z 1
（单边） u(n 1) u(n) (n 1)
1
z 1 z1
1 1 z1
z 1
（双边）
信信号号处处理理与与系系统统
四、 z变换的性质
单、双边 z 变换的许多性质都相同，但也有一些显著不 同，我们将一起讨论其性质的同异。
0、共轭对称性 （单、双边）
若x(n) X (z) 收敛域R，则 x*(n) X *(z*) 收敛域R 当 x(n) 是实信号时，x*(n) x(n) 于是有
X (z) X *(z*)
表明如果 X (z)有复数零极点，必共轭成对出现。
信信号号处处理理与与系系统统
1、 x(n) X (z) 收敛域 r1 | z | r2
则 x(n n0 ) X (z)zn0 收敛域 r1 | z | r2
n0
n0
nanu(n) az1 (1 az1)2
| z || a |
信信号号处处理理与与系系统统
3、时域翻转 （双边）
(收敛域边界倒置)
若 x(n) X (z) 收敛域R，则 x(n) X (z1) 收敛域1/R
例2： 求 x(n) anu(n) 的z变换。
解:
若 x(n) X (z) 收敛域R，则 nx(n) z dX (z) 收敛域R dz
利用该性质可以方便地求出某些非有理函数X(z)的反变换， 或具有高阶极点的X(z)的反变换。
例1： 求 x(n) nanu(n) 的z变换
z变换的性质
z n
X
z
n0
n0
a
a
• 同理 an x(n) X az
Rx1 az Rx2
1n x(n) X z
Rx1 z Rx2
有x(n) u(n), n e jwn ,求序列x1(n) n x(n)的z变换.
x(n)的z变换为X (z) Z[u(n)] z ,| z | 1 z 1
Y(z).
1
1 1 2
z
1
,|z|>21/2,求y(n)=3x(n)的z变换
解：根据性质得Z[3x(n)] z dX (z) 1 z1(1 1 z1)2
所以Y(z)=Z[3x(n)]
z
dX
(z)
1
dz z 1 (1
1
z
2 1 ) 2
2
收敛域为|z|>1/2 dz 2 2
5.初值定理
• 若x(n)是一个因果序列，则 x(0) lim X (z) z
ROC2 :| z || a
|
• 根据线性性质得：
•
X (z)
Z[x(n)]
X1(z)
X 2 (z)
z
z a
a za
1, ROC : 0
|
z
|
时移性
n0是个整数
• 若 Z[x(n)] X (z), ROC: ROCx
•则
Z[x(n n0 )] z n0 X (z), ROCx
• ROC：除去对z=0或z= 可能的添加或 删除
Z[ (n 1)] z, ROC :| z |
例2.有信号 x(n) (1)nu(n)和 y(n) x(n 3)
利用Z变换的性质求2y(n)的Z变换Y(z).
第二章_Z变换
− ∑ x( m)z −m ]
m =0
n
在单位圆上无极点， 因为 ( z − 1) X ( z ) 在单位圆上无极点，上式两端对 z = 1 取极限
lim( z − 1) X ( z ) = lim[ ∑ x(m + 1) − ∑ x(m)]
z →1 n →∞ m = −1 m =0 n n
Z变换总结
X ( z) =
n=−∞
x(n)z−n = ∑ x(n)z−n + ∑ x(n)z−n ∑
n=0 n=−∞
∞
∞
−1
= 右边序列 + 左边序列
1） 的模决定， （1）由于收敛条件由 |z| 的模决定，所以收敛于一个 圆的边界 收敛， 大的Z的模一定 （2）对右边序列：z > r1 收敛，则比 r1 大的 的模一定 ）对右边序列： 收敛， r1 是右边序列的极点 收敛， 收敛， 小的数一定收敛， （3）对左边序列：z < r2 收敛，比 r2 小的数一定收敛， ）对左边序列： r2 是左边序列的极点
Z [ x ( n + n 0 )] = x ( m ) z − m + n0 ∑
∞
m = −∞
∞ n0 −m = z ∑ x ( m ) z = z n0 X ( z ) m = −∞
20
时移后收敛域一般不发生变化（单边序列0和 有例外 有例外） 时移后收敛域一般不发生变化（单边序列 和∞有例外）
∑
x(n) z − n
要使上式收敛，只要求 n1 ≤ n ≤ n2 时， x(n) < ∞ ，且 且 如果 n1 < 0 ，则收敛域不包括 z = ∞ 点 如果 n 2 > 0 ，则收敛域不包括 z = 0 点 也就是说收敛域至少是除了 z = 0 及 z = ∞ 外的开域
2第二章-z变换
调用： num [ p0 , p1 , p2 , , pM ]
den [d 0 , d1 , d 2 , , d N ] H freqz(num, den, )
ˆ X a ( s)
X (z )
思考练习
?
X a (s)
2. Z变换与傅里叶变换
s j 的拉普拉斯变换即为傅里叶变换，
ze e
sT
jT
映射为z平面的单位圆
jT
X ( z ) z e jT X (e
ˆ ) X a ( j)
抽样序列在单位圆上的z变换，等于其理想抽 样信号的傅里叶变换。
c
c
| H (e j ) |2 d
c
Parseval定理
序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系
统进行分析。它是用{ 变换用{
jt
e
j n
}作为基函数对序
列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶
e
}对模拟信号进行展开相似。
4. 序列傅立叶变换的对称性
• 序列的共轭对称性质
xe (n) xe (n) 若序列 xe (n)满足
则称 xe (n)为共轭对称序列
若序列xo (n)满足 xo (n) x
o
( n)
则称 xo (n)为共轭反对称序列
任何序列 x(n)均可表示成上述两种序列之和，
即x(n) xe (n) xo (n) 1 xe ( n) {x( n) x ( n)} 2 其中 1 xo ( n) {x( n) x ( n)} 2
第三章 Z变换(数字信号处理)
(3.7)
如果zk是N阶极点， 则根据留数定理
N 1 1 d n 1 N n 1 (3.8) R e s [( X z ) z , z ] [ ( z z ) X ( z ) z ] k k z z N 1 k ( N 1 ) ! d z
例 3.6 已知X(z)=(1-az-1)-1， |z|>a， 求其Z反变换x(n)。
此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。
对比序列的傅里叶变换定义， 很容易得到FT和ZT 之间的关系， 用下式表示：
Xe (j ) Xz ( )z j e
(3.4)
式中z=e
jω表示在z平面上r=1的圆，
该圆称为单位圆。
(3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。 如果已知序列的Z变换， 可用(3.4)式， 很方便的求出
序列的FT， 条件是收敛域中包含单位圆。
例 3.1 x(n)=u(n)， 求其Z变换。 解：
n Xz ( ) unz ( ) z n n n 0
X(z)存在的条件是|z-1|<1， 因此收敛域为|z|>1，
1 X(z) 1 z1
|z|>1
由x(z)表达式表明， 极点是z=1， 单位圆上的Z变
n n n n 1
n 2
0
n 2
n
第二项为有限长序列， 在整个Z平面收敛（ z=∞点 不收敛）。 第一项根据前式的论述，当
Z R
时收敛
因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域
例 3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。
n X (z) au ( n 1 )z a zn n n n n n n a z n 1 1
自动控制原理--z变换理论部分例题讲解
jn
j0
znE(z) 右
6.3 z变换理论
2. 实位移定理
② 超前定理
Ze(t
nT
)
zn
E(z)
n1
e(kT
)
z
k
k0
证：左 e(kT nT ) zk zn e(kT nT ) z(kn)
k0
k0
jkn
zn
e( jT ) z j
z
n
e( jT ) z j
n1
e(
E(z) 8 z 1 z 7 (z 0.8) 7 (z 0.1)
t
t
e(t ) (8 0.8T 0.1T ) / 7 e(nT ) (8 0.8n 0.1n ) / 7
e*(t ) (8 0.8n 0.1n ) / 7 (t n E(z)
e(0) e(1) z1 e(2) z2 e(3) z3
lim E(z) e(0)
z
例8
0.792 z2 E(z) (z 1)[z2 0.416z 0.208]
e(0) lim E(z) 0 z
6.3 z变换理论
5. 终值定理
lime(nT) lim (z 1) E(z)
e j nT e j nT
zn
1 (e jT z 1 )n (e jT z 1 )n 2 j n0
1 2j
1 1 e jT z 1
1
e
1
j T
z
1
1 2j
z z e jT
z z e jT
1
z(e jT e jT )
z sinT
2 j z 2 (e jT e jT )z 1 z2 2 cos T z 1