不定积分的性质和基本积分公式

第一节 不定积分的性质和基本积分公式

教学目的：使学生掌握原函数与不定积分的性质;

基本积分公式.

教学重点：基本积分公式的推导及应用. 教学过程：

一、不定积分的性质

性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即 ⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([

这是因为, ])([])([])()(['+'='+⎰⎰⎰⎰dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ).

性质2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来 即

⎰⎰=dx

x f k dx x kf )()((k 是常数 k ≠0)

例1. ⎰⎰

-=-dx

x x

dx x x )5()5(2

1

2

52

⎰

⎰-=dx

x dx

x 21255⎰

⎰

-=dx

x dx

x 21255

C

x x

+⋅

-=23

2

7

3

257

2

例2 dx x x x dx x

x x x dx x x )133(133)1(22

2323

-+-=-+-=-⎰⎰⎰

C x x x x dx x

dx x dx dx x +++-=-+-=⎰

⎰⎰⎰1

||ln 3321113322

例3 ⎰⎰⎰-=-xdx dx e dx x e x x cos 3)cos

3(C

x e x +-=sin 3

例4 C

e C e e dx e dx e x

x x x x x ++=

+==⎰⎰2

ln 12)

2ln()2()2(2 例5 dx x

x dx x x x x dx x x x x )1

11(

)

1()1()

1(122222

++=+++=+++⎰⎰

⎰

C x x dx x dx x ++=++=⎰⎰||ln arctan 1

112

.

例

6 dx x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++-+=++-=+2

22242411)1)(1(11

11 ⎰⎰⎰⎰++-=++

-=dx x dx dx x dx x x 2

22

211

)111(

C

x x x ++-=arctan

3

13

例7 ⎰⎰⎰⎰-=-=dx xdx dx x dx x 222sec )1(sec tan

= tan x - x + C

例8 ⎰⎰⎰-=-=dx x dx x dx x )cos 1(212cos 1 2sin 2

C

x x +-=)sin (2

1

例9 C x dx x

dx x x +-==⎰

⎰

cot 4sin 1

42

cos 2sin 122

2.

二、基本积分表 (1)C

kx kdx

+=⎰(k 是常数) (2)C x dx x ++=

+⎰11

1

μμμ

(3)C x dx x

+=⎰||ln 1 (4)C e dx e x x +=⎰ (5)C a

a dx a x

x +=⎰ln (6)C

x xdx +=⎰sin cos

(7)C

x xdx +-=⎰cos sin (8)C x xdx dx x

+==⎰⎰

tan sec cos 1

22

(9)C x xdx dx x

+-==⎰⎰

cot csc sin 1

22

(10)C x dx x +=+⎰

arctan 11

2

(11)C

x dx x

+=-⎰

arcsin 112

(12)C

x xdx x +=⎰sec tan sec

(13)C

x dx x +-=⎰csc cot csc

例10 ⎰⎰

-=dx x dx x

33

1C x C x +-=++-=+-21321131

例11 ⎰⎰=dx

x

dx x x

252

C

x ++=

+1

2512

51C x +=27

72

C x x +=37

2

例12⎰⎰

-

=dx

x

x

x dx 34

3

C x

++-=

+-13

413

4C x

+-=-

3

13C

x

+-=3

3